32-9 Relativistic Momentum and Mass (P749-751)
In classical mechanics,the law of conservation of
momentum (P=constant) holds in different inertial
reference frames.
But in relativity,if we continue to define P=mv,and
m is a constant,the total momentum is not conserved
for different inertial frames.
Two choices:
(1) Give up the law of conservation of momentum;
(2) Redefine the momentum in some new way so that
the law of conservation of momentum still holds.
即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量
(1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理
(2) 应满足对应原理即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变原则
1,Relativistic mass （相对论质量）
Suppose a particle with mass M’,that is stationary
at o’ in frame S’,split to two parts,m’A=m’B in
frame S’,from conservation of momentum,we
have:
vA’? =?vB’? === ulet
质量为 M的小球,分裂之前静止于 。 现分裂为 质量完全相等 的两部分 A和 B。 分别沿 x’轴的正反方向运动,这两半的速率相等,用 u表示 。
在 系中观察,如下图：
O?
S?
y?
x?O?
'iu?
'iu
S?
2
'
'
1
c
vu
vu
u
x
x
x
设另一参考系 S以速率 u向左运动。
S’ moves at constant velocity v relative to S.
在此参考系中 (For observer in frame S ),A将是静止的，而 B是运动的。
在 S系中看，速度变换公式：
'iu
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
在 S系中看,A的速度
0
1
2
c
uu
uu
v A
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
'iu
A B
在 S系中看,B的速度为：
2
2
2 1
2
1
c
u
u
c
uu
uu
v B
在 S系中观察，粒子在分裂前的速度，即 O’的速度为,
分裂前的动量为,
ivm BB?
iMu?分裂后的动量为两个粒子的总动量为合理的假定在 S参考系中动量守恒
iu?
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
'iu
A B
ivmiMu BB
From the law of conservation of momentum,
2
2
1
2
c
u
um
vmMu B
BB
BA mmM
2
2
1
2
)(
c
u
um
umm B
BA
？
This require mA=mB,or the law of conservation of
momentum will not hold.
To find the relation of mA and mB:
2
2
1
2
c
u
u
v B
2
2
1
2
)(
c
u
um
umm B
BA
2
2
1
c
v
m
m
B
A
B
这说明，在 S系中观察,有了差别。由于 A是静止的，它的质量叫静质量（ rest
mass)，以 表示，以 v代替 vB,m代替 mB,物体相对于惯性系静止时的质量 --相对论质量
(relativistic mass)
2
2
0
1
c
v
m
m
相对论质量
2
0
1
mm
0m
BA mm,
Where,m0 is rest mass （ 静止质量 ）,m is
relativistic mass (相对论质量,总质量 total mass)
022
0
/1
m
cv
m
m
学的讨论范围。
牛顿力—于其静止质量质量与速率无关，就等
，低速物体的时，由上式，当 01 mmcv
的变化曲线与 cvmm 02
由图可知：当物体的速度接近光速时，质量明显增加。
明确几点
②,当m,cv? 时
①,物体质量与速度有关，,0?v 0mm?
物体静止时质量最小。
2
0
)/(1 cv
m
m
2,Relativistic momentum(相对论动量 P751):
22
0 /1/ cmmp vvv
可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛伦兹变换下，对任何惯性系都保持不变性,
Notes:
1,If v << c,m is constant,then
amF?
2,If a constant force act on a object,when v?c,
m,a?0,the speed can not accelerate,so c is
the ultimate speed.
am
dt
vd
mv
dt
dm
dt
Pd
F
3,Relativistic dynamic equation
(相对论质点动力学基本方程 )：
相对论动力学的基本方程 P751
相对论动量：
2
2
0
1
c
v
vm
vmP
相对论动力学基本方程：
2
2
0
1
c
v
vm
dt
d
dt
Pd
F
32-11 Energy and Mass (p751-754)
In relativity:
Suppose a force act on a static particle,then its speed
increases from 0 to v,so its kinetic energy is:
F? F?
X
In classical mechanics：
1,relativistic kinetic energy（相对论动能）,
2
0 2
1 mvrdFE v
k
v
v
x
v
k dxFrdFE
00
v
dx
cv
vm
dt
d
0
2
0 )
)/(1
(
2
0
2 cmmc
202 cmmcE k
v
x
v
k dxFrdFE
00
v
dx
cv
vm
dt
d
0
2
0 )
)/(1
(
v
cv
vmd
dt
dx
0
2
0 )
)/(1
(
v
cv
vmvd
0
2
0 )
)/(1
(
dv
cv
vm
cv
vm v
0
2
0
2
2
0 )
)/(1
(
)/(1
vcvcm
cv
vm
0
22
02
2
0 |)/(1
)/(1
2
02
2
0
)/(1
cm
cv
cm?
相对论动能公式时，动能的增量为作用下位移当其在外力点的静止质量为设在某一惯性系中一质
rdF
m
0
)()( vmdvrd
dt
vmdrdFdE
k
因为
dmvm v d v
dmvvvdvmvmdv
2
)(
2
0
)/(1 cv
mm
由得
22
0
2222 cmvmcm
两边求微分得
0222 222 v d vmdmmvdmmc
得所以有
m v d vdmvdmc 22
dmcvmdv 2)(
所以代入
)()( vmdvrd
dt
vmdrdFdE
k
dmcdE k 2?
m
m
E
k dmcdE
k
0
2
0
2
0
2 cmmcE
k
2,relativistic energy （相对论能量）,p752
From:
0202 EEcmmcE k
So,E0=m0c2 ---called mass energy (rest energy静能量 );
E=mc2 ---called total energy （ relativistic energy 总能量、相对论能量 ）,
2
0
2 cmmcE
k
物体的静能：
2
00 cmE?
物体的总能量：
kEcmmcE
2
0
2
物理意义 2mcE? 2)( cmE
惯性质量的增加和能量的增加相联系，
质量的大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极其重要的推论,
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理论基础,这是一个具有划时代的意义的理论公式,
在核反应中，以 m01和 m02分别表示反应粒子和生成粒子的总的静质量，以 Ek1和 Ek2分别表示反应前后它们的总能量。利用能量守恒定律式，有：
2
2
021
2
01 KK EcmEcm
2
2
021
2
01 KK EcmEcm
质量亏损
2
020112 )( cmmEE KK
所以
12 KK EEE
02010 mmm
表示核反应后和前相比，粒子总能量的增加，
即核反应所释放的能量。
表示核反应后和前相比，粒子总净质量的减小。
2
0 cmE
所以说明核反应中释放一定的能量相应于一定的质量亏损。
该公式是关于原子能的一个基本公式。
原子核反应能量质量核反应堆
n2SrXenU 109538139 5410235 92
u22.0 m质量亏损原子质量单位 kg1066.1u1 27
放出的能量 M e V2 0 02 cmEQ
1g 铀 — 235 的原子裂变所释放的能量
J105.8 10Q
1 重核裂变质能公式在原子核裂变和聚变中的作用轻核 聚变条件,温度要达到 时，使 具有 的动能，足以克服两 之间的库仑排斥力,
2 轻核聚变
HeHH 422121
2 4 M e VJ1087.3)( 122cmEQ释放能量
kg103.4u0 2 6.0 29 m质量亏损
K108 H21
H21ke V10
氘核氦核
kg103437.3)H( 27210m
kg106425.6)He( 27420m
1克铀裂变释放的能量是 1克煤的 250
万倍。
1克氘聚变释放能量是铀的 4倍，煤的
1000万倍。
核电站
Example 32-7,32-8,32-9 on page 753
3,relation of momentum and energy
（相对论动量和能量的关系） p745:
2220222402 cpEcpcmE1.表述
2.证明的大小为的物体的总能量和动量，速度为静止质量为 vm?0
22
22
2
02
1
1
cv
mv
mvP
cv
cm
mcE
E 平方得
22
22
022
1 cv
cm
mc
化简得
22222022 cvmcmmc
将下列关系代入上式
22
00 mcEcmEmvP,，
得
222
0
2 cPEE
E
200 cmE?
pc
例,
解求某粒子的静止质量为 m0,当其动能等于其静能时其质量和动量各等于多少？
202 cmmcE k动能：
由此得，动量 cm
c
mmp
02
0 3
)(1
v
v=v
c23=v由质速关系 201 βmm
20cmE k? 02mm?
1） Momentum
2） Dynamic equation,
3） Mass:
4） Energy:
5） relation of momentum and energy:
kEcmmcE 202
Summary：
022
0
/1
m
cv
mm
220 /1/ cmmp vvv
am
dt
vdmv
dt
dm
dt
PdF
20222 EcpE
Read the summary on page 756
Homework,p758,5,8
P759:26
P760:35,39
In classical mechanics,the law of conservation of
momentum (P=constant) holds in different inertial
reference frames.
But in relativity,if we continue to define P=mv,and
m is a constant,the total momentum is not conserved
for different inertial frames.
Two choices:
(1) Give up the law of conservation of momentum;
(2) Redefine the momentum in some new way so that
the law of conservation of momentum still holds.
即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量
(1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理
(2) 应满足对应原理即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变原则
1,Relativistic mass （相对论质量）
Suppose a particle with mass M’,that is stationary
at o’ in frame S’,split to two parts,m’A=m’B in
frame S’,from conservation of momentum,we
have:
vA’? =?vB’? === ulet
质量为 M的小球,分裂之前静止于 。 现分裂为 质量完全相等 的两部分 A和 B。 分别沿 x’轴的正反方向运动,这两半的速率相等,用 u表示 。
在 系中观察,如下图：
O?
S?
y?
x?O?
'iu?
'iu
S?
2
'
'
1
c
vu
vu
u
x
x
x
设另一参考系 S以速率 u向左运动。
S’ moves at constant velocity v relative to S.
在此参考系中 (For observer in frame S ),A将是静止的，而 B是运动的。
在 S系中看，速度变换公式：
'iu
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
在 S系中看,A的速度
0
1
2
c
uu
uu
v A
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
'iu
A B
在 S系中看,B的速度为：
2
2
2 1
2
1
c
u
u
c
uu
uu
v B
在 S系中观察，粒子在分裂前的速度，即 O’的速度为,
分裂前的动量为,
ivm BB?
iMu?分裂后的动量为两个粒子的总动量为合理的假定在 S参考系中动量守恒
iu?
S
y y?
x x?
O O?
'iu?
'iu
S?
'iu
A B
ivmiMu BB
From the law of conservation of momentum,
2
2
1
2
c
u
um
vmMu B
BB
BA mmM
2
2
1
2
)(
c
u
um
umm B
BA
？
This require mA=mB,or the law of conservation of
momentum will not hold.
To find the relation of mA and mB:
2
2
1
2
c
u
u
v B
2
2
1
2
)(
c
u
um
umm B
BA
2
2
1
c
v
m
m
B
A
B
这说明，在 S系中观察,有了差别。由于 A是静止的，它的质量叫静质量（ rest
mass)，以 表示，以 v代替 vB,m代替 mB,物体相对于惯性系静止时的质量 --相对论质量
(relativistic mass)
2
2
0
1
c
v
m
m
相对论质量
2
0
1
mm
0m
BA mm,
Where,m0 is rest mass （ 静止质量 ）,m is
relativistic mass (相对论质量,总质量 total mass)
022
0
/1
m
cv
m
m
学的讨论范围。
牛顿力—于其静止质量质量与速率无关，就等
，低速物体的时，由上式，当 01 mmcv
的变化曲线与 cvmm 02
由图可知：当物体的速度接近光速时，质量明显增加。
明确几点
②,当m,cv? 时
①,物体质量与速度有关，,0?v 0mm?
物体静止时质量最小。
2
0
)/(1 cv
m
m
2,Relativistic momentum(相对论动量 P751):
22
0 /1/ cmmp vvv
可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛伦兹变换下，对任何惯性系都保持不变性,
Notes:
1,If v << c,m is constant,then
amF?
2,If a constant force act on a object,when v?c,
m,a?0,the speed can not accelerate,so c is
the ultimate speed.
am
dt
vd
mv
dt
dm
dt
Pd
F
3,Relativistic dynamic equation
(相对论质点动力学基本方程 )：
相对论动力学的基本方程 P751
相对论动量：
2
2
0
1
c
v
vm
vmP
相对论动力学基本方程：
2
2
0
1
c
v
vm
dt
d
dt
Pd
F
32-11 Energy and Mass (p751-754)
In relativity:
Suppose a force act on a static particle,then its speed
increases from 0 to v,so its kinetic energy is:
F? F?
X
In classical mechanics：
1,relativistic kinetic energy（相对论动能）,
2
0 2
1 mvrdFE v
k
v
v
x
v
k dxFrdFE
00
v
dx
cv
vm
dt
d
0
2
0 )
)/(1
(
2
0
2 cmmc
202 cmmcE k
v
x
v
k dxFrdFE
00
v
dx
cv
vm
dt
d
0
2
0 )
)/(1
(
v
cv
vmd
dt
dx
0
2
0 )
)/(1
(
v
cv
vmvd
0
2
0 )
)/(1
(
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cv
vm
cv
vm v
0
2
0
2
2
0 )
)/(1
(
)/(1
vcvcm
cv
vm
0
22
02
2
0 |)/(1
)/(1
2
02
2
0
)/(1
cm
cv
cm?
相对论动能公式时，动能的增量为作用下位移当其在外力点的静止质量为设在某一惯性系中一质
rdF
m
0
)()( vmdvrd
dt
vmdrdFdE
k
因为
dmvm v d v
dmvvvdvmvmdv
2
)(
2
0
)/(1 cv
mm
由得
22
0
2222 cmvmcm
两边求微分得
0222 222 v d vmdmmvdmmc
得所以有
m v d vdmvdmc 22
dmcvmdv 2)(
所以代入
)()( vmdvrd
dt
vmdrdFdE
k
dmcdE k 2?
m
m
E
k dmcdE
k
0
2
0
2
0
2 cmmcE
k
2,relativistic energy （相对论能量）,p752
From:
0202 EEcmmcE k
So,E0=m0c2 ---called mass energy (rest energy静能量 );
E=mc2 ---called total energy （ relativistic energy 总能量、相对论能量 ）,
2
0
2 cmmcE
k
物体的静能：
2
00 cmE?
物体的总能量：
kEcmmcE
2
0
2
物理意义 2mcE? 2)( cmE
惯性质量的增加和能量的增加相联系，
质量的大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极其重要的推论,
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理论基础,这是一个具有划时代的意义的理论公式,
在核反应中，以 m01和 m02分别表示反应粒子和生成粒子的总的静质量，以 Ek1和 Ek2分别表示反应前后它们的总能量。利用能量守恒定律式，有：
2
2
021
2
01 KK EcmEcm
2
2
021
2
01 KK EcmEcm
质量亏损
2
020112 )( cmmEE KK
所以
12 KK EEE
02010 mmm
表示核反应后和前相比，粒子总能量的增加，
即核反应所释放的能量。
表示核反应后和前相比，粒子总净质量的减小。
2
0 cmE
所以说明核反应中释放一定的能量相应于一定的质量亏损。
该公式是关于原子能的一个基本公式。
原子核反应能量质量核反应堆
n2SrXenU 109538139 5410235 92
u22.0 m质量亏损原子质量单位 kg1066.1u1 27
放出的能量 M e V2 0 02 cmEQ
1g 铀 — 235 的原子裂变所释放的能量
J105.8 10Q
1 重核裂变质能公式在原子核裂变和聚变中的作用轻核 聚变条件,温度要达到 时，使 具有 的动能，足以克服两 之间的库仑排斥力,
2 轻核聚变
HeHH 422121
2 4 M e VJ1087.3)( 122cmEQ释放能量
kg103.4u0 2 6.0 29 m质量亏损
K108 H21
H21ke V10
氘核氦核
kg103437.3)H( 27210m
kg106425.6)He( 27420m
1克铀裂变释放的能量是 1克煤的 250
万倍。
1克氘聚变释放能量是铀的 4倍，煤的
1000万倍。
核电站
Example 32-7,32-8,32-9 on page 753
3,relation of momentum and energy
（相对论动量和能量的关系） p745:
2220222402 cpEcpcmE1.表述
2.证明的大小为的物体的总能量和动量，速度为静止质量为 vm?0
22
22
2
02
1
1
cv
mv
mvP
cv
cm
mcE
E 平方得
22
22
022
1 cv
cm
mc
化简得
22222022 cvmcmmc
将下列关系代入上式
22
00 mcEcmEmvP,，
得
222
0
2 cPEE
E
200 cmE?
pc
例,
解求某粒子的静止质量为 m0,当其动能等于其静能时其质量和动量各等于多少？
202 cmmcE k动能：
由此得，动量 cm
c
mmp
02
0 3
)(1
v
v=v
c23=v由质速关系 201 βmm
20cmE k? 02mm?
1） Momentum
2） Dynamic equation,
3） Mass:
4） Energy:
5） relation of momentum and energy:
kEcmmcE 202
Summary：
022
0
/1
m
cv
mm
220 /1/ cmmp vvv
am
dt
vdmv
dt
dm
dt
20222 EcpE
Read the summary on page 756
Homework,p758,5,8
P759:26
P760:35,39
