第十七章 振动学习要点
１、简谐振动的描述 (2学时 )
２、简谐振动的合成 (2学时 )
任何一个物理量（位移、电流等）随时间的周期性变化。
广义振动机械振动电磁振动
I U B… 的值在某一数值附近反复变化如晶格点阵上原子在平衡位置附近的振动微观振动物体在一定位置附近做往复运动 (x)
振 动振动类型自由振动受迫振动无阻尼振动非简谐振动阻尼振动简谐振动一切复杂的振动都可以认为是由许多简谐运动合成的最简单最基本
17.1简谐运动的描述简谐运动,
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。
)c o s ( tAx
)c o s ( tAx
描述简谐振动的三个特征量
A 振幅,最大位移的绝对值 (A恒 >0)
角频率,反映振动的快慢初相,t = 0时刻的相位? x—t
曲线 砂摆
2?T
T
1
)(s )( 1?sHz 或T?
简谐振动的速度和加速度
)c o s ( tAx
)s i n ( tAdtdx
)
2
c o s ( tA
)c o s (22
2
tA
dt
xda
x2
（ 1）
（ 2）
总结简谐振动的描述
)c o s ( tAx
表达式描述简谐振动的三个特征量
T
2?
2?
)
2
c o s ( tA
)c o s (2 tAa
简谐振动的速度和加速度
A
解析法作匀速圆周运动的质点在 x轴上的 投影点 的坐标
)c o s ( tAx
t?
0
a
A
b
作 匀速圆周运动的质点 在某一直径（取作 x轴）上的 投影的运动 就是简谐运动。
A
简谐运动与匀速圆周运动用相量图法描述简谐运动
0
A?
某一确定简谐振动相量图法画一个图表示出作匀速圆周运动的质点的初始径矢的位置，
并标以,则相应的简谐运动的 三个特征量都表示出来了，因此可以用这样一个图表示一个 确定的简谐运动 。简谐运动的这种表示法叫做 相量图法 。
A? 振幅矢量相量图
解析法,
)c o s ( tAx
t 时刻 t振动的相（相位）
相量图法,
t
0
A?
t
在时刻 t振幅矢量和
x轴的夹角
)s in ( tA
1.解析法和相量图法对 运动状态 的描述的比较位移 速度
t
（ 1）,
（ 2）,
0 A
v 0, vAx
0
A
v
2
t
1.
2.
2举例说明相量图的直观性
, vx0 t
m a x,0 vvx
向量图中的相 与作 简谐振动 质点的状态是 一一对应的
0
t
x
x?
x?
x?
x?
0?x?
0?x?
0?x0?x
3,在不同象限对应的状态t
4.几个特殊点阵振动相位与振动状态的对应关系
A
x
0
a
b
c
d
:a 0 t
0,Ax
:b
2
t
m a x,0x
:ct
0,Ax
:d
2
3t
m a x,0x
相量图
5.利用相位角判断简谐运动的步调两个 同频率 简谐振动
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt
12
0 x
1x
2x
2t
1t
0 （或者 的整数倍）两振动步调相同，称 同相
2
x0
1x
2x
1x
1x
2x
2x
同相和反相超前和落后
)c o s ( tAx
)
2
c o s ( tA
)c o s (2 tAa
6.相位表示的频率相同的不同物理量变化的步调
a
x
v
1.将 变速运动 化为以做 匀速圆周运动 的质点为参考点再向 x轴投影。使问题形象化，便于思考。
2.相位相当于圆心角，形象化。
3。利用圆心角易比较运动的步调，判断超前还是落后。
相量图法研究简谐运动的优点：
——t=0时，振幅矢量与 x轴的夹角
t ——t时刻振幅矢量与 x轴的夹角例 17.1 已知,mA 05.0?
0
A
v
2
)c o s ( tAx（ 1）
)(102 1 s
T
（ 2）
)s i n ( tA
xa 2
)c o s ( tAx
（ 3） )c o s ( tAx
x
（ 4） 相量图振动相量图
sT 2.0?
2/?
2/
A?
v
p185
运动学描述物体在空间中的运动和其随时间的变化的一种学问。 具体的说就是描质点的 位置,速度,加速度及其 对时间的变化关系 。
动力学的 主要研究作用于物体的 力 与 物体运动 关系。动力学的研究以牛顿运动定律为基础。
)cos( tAx
)sin( tA
xa 2
解析法曲线法相量图法
17.2 简谐运动的动力学方程 (自学了解 )
m
k
k
mT?2弹簧振子：
17.3简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例简谐振动的能量动能势能
)(
m
k
弹簧振子的动能
2
2
1?mE
k?
2)]s i n ([
2
1 tAm
)(s i n21 222 tAm
随时间变化
2
m a x 2
1 kAE? 0
m in?E
)( mk
)(s i n21 22 tkA
平均值
222
4
1)(s i n
2
111 kAdttkA
TdtETE
T
o
T
o kk
弹簧振子的势能
2
2
1 kxE
p?
2)]c o s ([
2
1 tAk
)(c o s
2
1 22 tkA
随时间变化
2
m a x 2
1 kAE
p? 0m in?pE
平均值
222
4
1)(c o s
2
111 kAdttkA
TdtETE
T
o
T
o pp
pk EEE
)(s i n21 22 tkA )(c o s
2
1 22 tkA
2
2
1 kA?
不随时间变化 机械能守恒
2AE? 振幅 A
简谐运动的运动 范围简谐运动的振动 强度系统总能量
2
2
1 kA?
0A? A
kE
pE
pE
pk EEE
弹簧振子的势能曲线
2
2
1 kxE
p?
x x
pE
简谐振动的能量动能势能
2
2
1 mvE
k?
2
2
1 kxE
p?
2
2
1 kAE?
机械能守恒
2A?
2
4
1 kAEE
pk
已知 A,T,振动曲线已知 振动曲线 A,T、
(1)解析法 (简谐振动表达式 )
简谐振动表达式：
已知 表达式 A、,,T
已知 A、,表达式
(3)相量图法振幅矢量：长度等于振幅 A；以 w为角速度逆时针旋转； t =0
1.简谐振动的描述方法
)c o s ( tAx
已知 旋转矢量 A,T、
已知 A,T,振幅矢量时矢量与 x 轴的夹角为初相 。矢量端点在 x
轴上的投影做简谐振动。
(2)曲线法 (由振动曲线 )
振动曲线,x(振动位移 )--t 关系曲线
2.简谐振动的能量计算简谐振动的总能量守恒
pk EEE
2)(
2
1
dt
dxmE
k?
2
2
1 kxE
p?
2
2
1 kAE?
2
4
1
2
1 kAEEE
pk
习题 17.7 一个弹簧振子已知：弹簧劲度系数为 k=25N/m
动能 JE
k 2.0?
势能 JE
p 6.0?
求（ 1）振幅多大总能量
JEEE pk 8.0
K
EAkAE 2
2
1 2
（ 2）位移多大时，势能和动能相等
k
ExEkxE
p 22
1 2
（ 3）位移是振幅的一半时，势能多大
22 )
2(2
1
2
1 AkkxE
p
p202
１、简谐振动的描述 (2学时 )
２、简谐振动的合成 (2学时 )
任何一个物理量（位移、电流等）随时间的周期性变化。
广义振动机械振动电磁振动
I U B… 的值在某一数值附近反复变化如晶格点阵上原子在平衡位置附近的振动微观振动物体在一定位置附近做往复运动 (x)
振 动振动类型自由振动受迫振动无阻尼振动非简谐振动阻尼振动简谐振动一切复杂的振动都可以认为是由许多简谐运动合成的最简单最基本
17.1简谐运动的描述简谐运动,
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。
)c o s ( tAx
)c o s ( tAx
描述简谐振动的三个特征量
A 振幅,最大位移的绝对值 (A恒 >0)
角频率,反映振动的快慢初相,t = 0时刻的相位? x—t
曲线 砂摆
2?T
T
1
)(s )( 1?sHz 或T?
简谐振动的速度和加速度
)c o s ( tAx
)s i n ( tAdtdx
)
2
c o s ( tA
)c o s (22
2
tA
dt
xda
x2
（ 1）
（ 2）
总结简谐振动的描述
)c o s ( tAx
表达式描述简谐振动的三个特征量
T
2?
2?
)
2
c o s ( tA
)c o s (2 tAa
简谐振动的速度和加速度
A
解析法作匀速圆周运动的质点在 x轴上的 投影点 的坐标
)c o s ( tAx
t?
0
a
A
b
作 匀速圆周运动的质点 在某一直径（取作 x轴）上的 投影的运动 就是简谐运动。
A
简谐运动与匀速圆周运动用相量图法描述简谐运动
0
A?
某一确定简谐振动相量图法画一个图表示出作匀速圆周运动的质点的初始径矢的位置，
并标以,则相应的简谐运动的 三个特征量都表示出来了，因此可以用这样一个图表示一个 确定的简谐运动 。简谐运动的这种表示法叫做 相量图法 。
A? 振幅矢量相量图
解析法,
)c o s ( tAx
t 时刻 t振动的相（相位）
相量图法,
t
0
A?
t
在时刻 t振幅矢量和
x轴的夹角
)s in ( tA
1.解析法和相量图法对 运动状态 的描述的比较位移 速度
t
（ 1）,
（ 2）,
0 A
v 0, vAx
0
A
v
2
t
1.
2.
2举例说明相量图的直观性
, vx0 t
m a x,0 vvx
向量图中的相 与作 简谐振动 质点的状态是 一一对应的
0
t
x
x?
x?
x?
x?
0?x?
0?x?
0?x0?x
3,在不同象限对应的状态t
4.几个特殊点阵振动相位与振动状态的对应关系
A
x
0
a
b
c
d
:a 0 t
0,Ax
:b
2
t
m a x,0x
:ct
0,Ax
:d
2
3t
m a x,0x
相量图
5.利用相位角判断简谐运动的步调两个 同频率 简谐振动
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt
12
0 x
1x
2x
2t
1t
0 （或者 的整数倍）两振动步调相同，称 同相
2
x0
1x
2x
1x
1x
2x
2x
同相和反相超前和落后
)c o s ( tAx
)
2
c o s ( tA
)c o s (2 tAa
6.相位表示的频率相同的不同物理量变化的步调
a
x
v
1.将 变速运动 化为以做 匀速圆周运动 的质点为参考点再向 x轴投影。使问题形象化，便于思考。
2.相位相当于圆心角，形象化。
3。利用圆心角易比较运动的步调，判断超前还是落后。
相量图法研究简谐运动的优点：
——t=0时，振幅矢量与 x轴的夹角
t ——t时刻振幅矢量与 x轴的夹角例 17.1 已知,mA 05.0?
0
A
v
2
)c o s ( tAx（ 1）
)(102 1 s
T
（ 2）
)s i n ( tA
xa 2
)c o s ( tAx
（ 3） )c o s ( tAx
x
（ 4） 相量图振动相量图
sT 2.0?
2/?
2/
A?
v
p185
运动学描述物体在空间中的运动和其随时间的变化的一种学问。 具体的说就是描质点的 位置,速度,加速度及其 对时间的变化关系 。
动力学的 主要研究作用于物体的 力 与 物体运动 关系。动力学的研究以牛顿运动定律为基础。
)cos( tAx
)sin( tA
xa 2
解析法曲线法相量图法
17.2 简谐运动的动力学方程 (自学了解 )
m
k
k
mT?2弹簧振子：
17.3简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例简谐振动的能量动能势能
)(
m
k
弹簧振子的动能
2
2
1?mE
k?
2)]s i n ([
2
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)(s i n21 222 tAm
随时间变化
2
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1 kAE? 0
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222
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弹簧振子的势能
2
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1 22 tkA
2
2
1 kA?
不随时间变化 机械能守恒
2AE? 振幅 A
简谐运动的运动 范围简谐运动的振动 强度系统总能量
2
2
1 kA?
0A? A
kE
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弹簧振子的势能曲线
2
2
1 kxE
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简谐振动的能量动能势能
2
2
1 mvE
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2
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1 kxE
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2
2
1 kAE?
机械能守恒
2A?
2
4
1 kAEE
pk
已知 A,T,振动曲线已知 振动曲线 A,T、
(1)解析法 (简谐振动表达式 )
简谐振动表达式：
已知 表达式 A、,,T
已知 A、,表达式
(3)相量图法振幅矢量：长度等于振幅 A；以 w为角速度逆时针旋转； t =0
1.简谐振动的描述方法
)c o s ( tAx
已知 旋转矢量 A,T、
已知 A,T,振幅矢量时矢量与 x 轴的夹角为初相 。矢量端点在 x
轴上的投影做简谐振动。
(2)曲线法 (由振动曲线 )
振动曲线,x(振动位移 )--t 关系曲线
2.简谐振动的能量计算简谐振动的总能量守恒
pk EEE
2)(
2
1
dt
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2
2
1 kxE
p?
2
2
1 kAE?
2
4
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2
1 kAEEE
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习题 17.7 一个弹簧振子已知：弹簧劲度系数为 k=25N/m
动能 JE
k 2.0?
势能 JE
p 6.0?
求（ 1）振幅多大总能量
JEEE pk 8.0
K
EAkAE 2
2
1 2
（ 2）位移多大时，势能和动能相等
k
ExEkxE
p 22
1 2
（ 3）位移是振幅的一半时，势能多大
22 )
2(2
1
2
1 AkkxE
p
p202
