第八章 齿轮机构
§ 8－ 1 齿轮机构的应用和分类
§ 8－ 2 齿廓啮合基本定理
§ 8－ 3 渐开线及渐开线齿轮
§ 8－ 4 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
§ 8－ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
§ 8－ 6 渐开线齿轮的切齿原理
§ 8－ 7 根切现象、最少齿数及变位齿轮
§ 8－ 8 渐开线斜齿圆柱齿轮机构
§ 8－ 9 圆锥齿轮机构
§ 8－ 1 齿轮机构的应用和分类作用,传递空间任意两轴（ 平行,相交,交错 ）的旋转运动，或将 转动转换为移动 。
结构特点,圆柱体外（或内）均匀分布有大小一样的 轮齿 。
优点：
① 传动比准确、传动平稳。
② 圆周速度大，高达 300 m/s。
③ 传动功率范围大，从几瓦到 10万千瓦。
④ 效率高 (η→0.99 )、使用寿命长、工作安全可靠。
⑤ 可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。
缺点,要求较高的制造和安装精度，加工成本高、
不适宜远距离传动 (如单车 )。
平面齿轮传动
（轴线平行）
外齿轮 传动直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮空间齿轮传动
（轴线不平行）
按相对运动分按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆 传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮 (1765年 )
摆线齿轮 (1650年 )
圆弧齿轮 (1950年 )
按速度高低分,
按传动比分,
按封闭形式分：
齿轮传动的类型 应用实例：提问参观对象,SZI型统一机芯手表有 18个齿轮,炮塔,内然机 。
高速,中速,低速齿轮传动 。
定传动比,变传动比齿轮传动 。
开式齿轮传动,闭式齿轮传动 。
球齿轮抛物线齿轮 (近年 )
分类：
内齿轮 传动齿轮齿条
2
ω 2
1
ω 1
非圆齿轮曲线齿圆锥齿轮斜齿圆锥齿轮准双曲面齿轮
o1
ω 1
共轭齿廓,一对能实现预定传动比 (i12=ω 1/ω2)规律的啮合齿廓 。
§ 8－ 2 齿廓啮合基本定理
1.齿廓啮合基本定律 一对齿廓在任意点 K接触时,作法线 n-n
得,i12＝ ω 1/ω 2＝ O2 P /O1P
齿廓啮合基本定律,
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比,都与连心线 O1O2
被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比 。
根据三心定律可知：
P点为相对瞬心 。
n
n
P
o2
ω 2
k
由,v12＝ O1Pω 1 v12＝ O2 P ω 2
节圆如果要求传动比为常数,则应使 O2 P/O1P为常数 。
节圆：
设想在 P点放一只笔,则笔尖在两个齿轮运动平面内所留轨迹 。
由于 O2,O1为定点,故 P必为一个定点 。
两节圆相切于 P点,且两轮节点处速度相同,故 两节圆作纯滚动 。
r’1
r’2
a=r’1+r’2中心距：
o1
ω 1
n
n
P
o2
ω 2
ka
2.齿廓曲线的选择理论上,满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多,但考虑到便于制造和检测等因素,工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线,如渐开线,其中应用最广的是渐开线,其次是 摆线 (仅用于钟表 )和 变态摆线 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了 圆弧 和 抛物线 。
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史,目前还没有其它曲线可以替代 。 主要在于它具有很好的传动性能,而且便于 制造,安装,测量 和 互换 使用等优点 。
本章只研究渐开线齿轮 。
§ 8－ 3 渐开线及渐开线齿轮一,渐开线的 形成 和特性
― 条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹
2.渐开线的特性
② 渐开线上任意点的法线切于基圆 纯滚动时，
B为瞬心，速度沿 t-t线，是渐开线的切线，故 BK为法线
③ B点 为曲率中心,BK为曲率半径。
渐开线起始点 A处曲率半径为 0。 可以证明
BK－发生线,
① AB = BK;
t
t
发生线
B
k
基圆
O
A rkθ
k基圆－ r
b
θ k－ AK段的展角
－渐开线渐开线
r
b
O
A
B
k
A1 B
1
o1
θ k
K
⑤ 渐开线形状取决于基圆
⑥ 基圆内无渐开线。
⑦ 同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
当 rb→∞,变成直线。
rk
θ k α k
α k
vk
④ 离中心越远，渐开线上的压力角越大。 r
b
定义,啮合时 K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之 压力角 α k。
rb＝ rk cosα k
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
B
C’
A
C
rb
O
E
C”
⑦ 同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。
由性质①和②有：两条反向渐开线,
两条同向渐开线：
B1E1 = A1E1－ A1B1
B2E2 = A2E2－ A2B2
B1E1 = B2E2
∴ A1B1 = A2B2
A1E1 = A2E2
AB = AN1 + N1B = A1N1 + N1B1 = A1B1
AB = AN2 + N2B = A2N2 + N2B2 = A2B2
A1
B1
N1
A2
B2N2
顺口溜：
弧长等于发生线,基圆切线是法线,
曲线形状随基圆,基圆内无渐开线 。
E2
E1
N2
N1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 1二,渐开线齿廓的啮合特性要使两齿轮作定传动比传动,则两轮的齿廓无论在任何位置接触,过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点 。
两齿廓在任意点 K啮合时,过 K作两齿廓的法线 N1N2,是基圆的切线,为定直线 。
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
工程意义,i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷,振动和噪音,延长齿轮的使用寿命,提高机器的工作精度 。
两轮中心连线也为定直线,故交点 P必为 定点 。 在位置 K’时同样有此结论 。
C1C
2
K
PK’
1.渐开线齿廓满足定传动比要求
N2
N1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 12.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹,
称为 啮合线由渐开线的性质可知,啮合线又是接触点的法线,正压力总是沿法线方向,
故正压力方向不变 。 该特性对传动的平稳性有利 。
C1C
2
K
啮合线与节圆公切线之间的夹角 α ’,称为 啮合角实际上 α ’就是节圆上的压力角
K’ P
α ’
rb1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 1
N2
N1
P C1C
2
K
3.运动可分性
△ O1N1P≌ △ O2N2P
由于上述特性,工程上广泛采用渐开线齿廓曲线 。
实际安装中心距略有变化时,不影响 i12,这一特性称为 运动可分性,
对加工和装配很有利 。
故传动比又可写成：
i12=ω1/ω2= O2P/ O1P = rb2 /rb1
－－基圆半径之反比。 基圆半径是定值
rb
O
一,外齿轮
1.名称与符号
pn齿顶圆－ da,ra
齿根圆－ df,rf
齿厚－ sk 任意圆上的 弧长齿槽宽－ ek 弧长齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓 弧长齿顶高 ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf
齿宽－ B
ha
hfh
B
p
ra
分度圆－－ 人为规定的计算基准圆表示符号,d,r,s,e,p= s+e
法向齿距 （周节）－ pn
s e sk
ek
= pb
§ 8－ 4 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
pb
rf r
pk
m=4 z=16
2.基本参数
② 模数－ m
① 齿数－ z 出现无理数,不方便为了计算,
制造和检验的方便分度圆 周长,πd=zp,d=zp/π
称为模数 m 。
m=2 z=16
模数的单位,mm，
它是决定齿轮尺寸的一个基本参数 。 齿数相同的齿轮,模数大,
尺寸也大 。
于是有：
d=mz,r = mz/2
人为规定,m=p/π 只能取某些简单值,
m=1 z=16
0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75)
第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22
28 (30) 36 45
标准模数系列表（ GB1357－ 87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8
第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8
10 12 16 20 25 32 40 50
为了便于制造,检验和互换使用,国标 GB1357-87
规定了 标准模数系列。
O
rf
ra
rb
r
O
ω
rb
ri
Bi
KiN
③ 分度圆压力角得,α i＝ arccos(rb/ri)由 rb＝ ri cosα i
定义分度圆压力角为齿轮的 压力角：
对于同一条渐开线,ri ↓ → α i ↓ α b＝ 0
α 1
A
α i
α i
B1
K1
r1
α
由 d=mz知,m和 z一定时,分度圆是一个大小唯一确定的圆 。
规定标准值,α ＝ 20°
由 db＝ dcosα 可知,基圆也是一个大小唯一确定的圆。
称 m,z,α 为渐开线齿轮的三个基本参数 。
对于分度圆大小相同的齿轮,
如果 α 不同,则基圆大小将不同,因而其齿廓形状也不同 。
α 是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
或 rb＝ rcosα,
α ＝ arccos(rb/r)
db＝ dcosα
齿轮各部分尺寸的计算公式：
齿顶高,ha=ha*m
齿根高,hf=(ha* +c*)m
全齿高,h= ha+hf
齿顶圆直径,da=d+2ha
齿顶高 系数,ha*
齿 根 圆直径,df=d-2hf
顶隙系数,c*
分度圆直径,d=mz
=(2ha* +c*)m
=(z+2ha*)m
=(z-2ha*-2c*)m
rrf正常齿,ha
*＝ 1
短齿制,ha*＝ 0.8
正常齿,c*＝ 0.25
短齿制,c*＝ 0.3
ra
ha
hfh
ha
hfh
B
p
ra
rf r
pn
pb
rb
O
基圆直径：
法向齿距：
标准齿轮：
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后,其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了 。
=mzcosα
=π db/z
=π mcosα
=pcosα 统一用 pb表示
m,α,ha*,c* 取标准值,
且 e=s的齿轮 。
N
α
db=dcosα
pn=pb
s e
B
二,齿条特点,齿廓是直线,各点法线和速度方向线平行
1)压力角处处相等,且等于齿形角,
2)齿距处处相等,p=π m
其它参数的计算与外齿轮相同,如：
s=π m/2 e=π m/2
e s
p
pn
ha
hf
z→∞ 的特例 。 齿廓曲线 （ 渐开线 ） → 直线
ha=ha*m hf=(ha* +c*)m
pn=pcosα
α 为常数 。
α
α
α
pn
h N
α
s e
hahf
p B
O
rb
rf
ra
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反 。
2) df>d>da
三,内齿轮
3) 为保证齿廓全部为渐开线,
,da＝ d-2ha,df＝ d+2hf
结构特点,轮齿分布在空心圆柱体内表面上 。
不同点,
要求 da>db。
r
rb2r2
O2
ω 2
rb2r2
O2
ω 2
rb2r2
O2
ω 2
rb1
r1
O1
ω 1
rb1
r1
O1
ω 1 rb1
r1
O1
ω 1
pb1
pb1<pb2 p
b1>pb2pb1=pb2
pb1 pb1
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 !能正确啮合 !
一对齿轮传动时,所有啮合点都在 啮合线 N1N2上 。
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律,那么,是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
m1<m2
从外观看齿
1比齿 2小
m1 > m2
外观齿 1
比齿 2大
§ 8－ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
P
N1
N2
B2B
1 B1 P
N1
N2
B2
P
N1
N2
B1
B2
rb2r2
O2
rb1
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
B2
B1
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合,
两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：
1.正确啮合条件
pb1=pb2
将 pb=πmcosα 代入得：
m1cosα 1=m2cosα 2
因 m和 α 都取标准值,使上式成立的条件为,m1=m2,α 1=α 2
结论：
一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们 模数 和 压力角 应分别相等 。
i12 = --ω1ω
2
传动比,= --db2d
b1
= --d’2d’
1
= --d2d
1
= --Z2Z
1
pb1
rb2 r2
O2
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1
二,标准中心距 a
对 标准 齿轮,确定中心距 a时,应满足两个要求：
1)理论上齿侧间隙为零
2)顶隙 c为标准值 。 储油用此时有：
a=ra1+ c +rf2
=r1+ha*m
=r1+ r2
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。
ra1 r
a1
rf2
rf2
a
c
s‘1-e’2=0
c=c*m
+c*m+ r2-(ha*m+c*m)
=m(z1+z2)/2
a =r1+ r2 标准中心距标准安装
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1
两轮节圆总相切,a=r’1+ r’2 =r1+ r2
两轮的传动比,i12 = r’2 / r’1
r’1 = r1
r’2 = r2
在标准安装时节圆与分度圆重合。
= r2 / r1
α ’=α
因此有,α ’=α
必须指出：
1.分度圆和压力角是单个齿轮就有的；而节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。
2.非标准安装时,两分度圆将分离，此时由：
α ’ >α
提问：有可能 α ’ <α 吗？
r’2 =r2
r’1 =r1
N1
N2
O1
rb1
P
rb2
ω 2
ω 1
O2
1.一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与 N1N2 线交点 B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿 N1N2 线移动。
在主动轮顶圆与 N1N2 线交点处 B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。
B1B2 －实际啮合线
N1N2,因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段 --
N1,N 2 －啮合极限点阴影线部分 －齿廓的实际工作段。
理论啮合线段一、重合度
ra2
B1----终止啮合点
B2 ----起始啮合点
ra1
B2
B1
pb
2.连续传动条件 一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。
为保证连续传动，要求：
实际啮合线段 B1B2≥ pb (齿轮的法向齿距 )，
定义,ε = B1B2/pb 为一对齿轮的 重合度一对齿轮的连续传动条件是：
为保证可靠工作，工程上要求：
[ε ]的推荐值：
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机
[ε ] 1.4 1.1～ 1.2 1.3
从理论上讲，重合度为 1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差即,B1B2/pb≥1
ε ≥[ ε ]
ε ≥1
采用标准齿轮，总是有,ε ≥1 故不必验算。
O1
N2
N1
K
O2
ω 2
ω 1
B1
B2
§ 8－ 6 渐开线齿轮的切齿原理齿轮加工方法 成形法盘铣刀 指状铣刀铸造法热轧法冲压法模锻法粉末冶金法切制法最常用铣削拉削一、成形法铣削范成法
(展成法共轭法包络法 )
插齿滚齿剃齿磨齿指状铣刀加工盘铣刀加工铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。
适用于加工大模数
m>20 的齿轮和人字齿轮。
由 db=mzcosα 可知，渐开线形状随齿数变化。
要想获得精确的齿廓，
加工一种齿数的齿轮，
就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。
进给分度分度切削
ω
切削
ω
进给成形法加工的特点：
产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。
铣刀号数所切齿轮 12～ 13 14～ 16 17～ 20 21～ 25 26～ 34 35～ 54 55～ 134 ≥ 135
齿数把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围
1 2 3 4 5 6 7 8
ω
ω 0
ω
ω
齿轮插刀加工i=ω 0 /ω=z/z 0
二、范成法
1,齿轮插刀 共轭齿廓互为包络线切削运动
ωω 0
范成运动让刀运动进给切削让刀
ω
v
范成
V＝ ωr ＝ ωmz/2
2,齿条插刀插齿加工过程为断续切削，生产效率低。
齿条插刀加工时齿廓包络过程滚刀进给进给
ω 0
ω v
ω
ω 0
范成运动
V＝ ωr ＝ ωmz/2
γ
滚刀倾斜 t
t
滚刀轴剖面相当于齿条相当于齿轮齿条啮合传动
ω 0 切削
3,齿轮滚刀被加工齿轮为什么滚刀要倾斜一个角度呢？
范成法加工的特点：
一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。
t
t
t
t
γ
hf=(h*a+ c*)m
4.用标准齿条型刀具加工标准齿轮标准齿条型刀具比基准齿形高出 c*m一段切出齿根过渡曲线 。 非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。
GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。
4.1标准齿条型刀具
4.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮
h* a
m
分度线分度圆 h
a=h*am
加工标准齿轮：
刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。
加工结果,s＝ e＝ π m/2 e
s
ha=h*am
hf=(h*a+ c*)m
h* a
m
c* m
c* m 顶线
α=20 °
π m/2π m/2
Pα
α
rb
rra
N1
O1
分度圆基圆一、根切现象图示现象称为轮齿的根切。
根切的后果：
①削弱轮齿的抗弯强度；
以下分析产生根切的原因,
② 使重合度 ε 下降。
§ 8－ 7 根切现象、最少齿数及变位齿轮
2 3B1
PB2<PN1 不根切
1
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
当 B2落在 N1点的下方,PB2<PN1
B2
Pα
α
rb
rra
N1
O1
3
PB2=PN1 不根切
1
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
当 B2落在 N1点之上,PB2=PN1
2B1
B2
O1
Pα
α
N1
rb
r
1 发生根切 4
M
在位置 2开始切削渐开线齿廓；在位置 3切削完全部齿廓；
已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；
刀具沿水平移动的距离,
N1M＝ rφ
沿法线移动的距离,
N1K＝ N1Mcosα
弧长与直线长度相等,
N1K＝ N1N’1
到达位置 4时,轮坯转过 φ
K
强调 B2的位置强调 N’1是齿廓起始点,并证明该点落在刀刃左边基圆转过的弧长为：
N1 N’1＝ rbφ
＝ rφ cosα
＝ rφ cosα
2
B1
B2
3
α
φ
N’1
根切
O1
P
α
N1
rb
r
结论,刀具齿顶线与啮合线的交点 B2落在极限啮合点
N1的右上方，必发生根切。
根切条件为,PB2>PN1
B2
P
二、渐开线齿轮不发生根切的最少齿数当被加工齿轮的模数 m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点 B2就唯一确定，
这时极限啮合点 N1的位置随基圆大小变动当 N1 B2两点重合时，正好不根切。
不根切的条件：
在 △ PN1O1 中有：
在 △ PB2B’中有：
代入求得,z≥2 h a*/sin2α
取 α =20°,ha*=1,得,zmin=17
h*am
即,zmin＝ 2 ha*/sin2α
P N1≥P B2
=mzsinα /2 PN1=rsinα
PB2=ha*m/sinα
B2
B’α
rb3
N1
rb
N1
O1
rb1
N1
r
α
三、变位齿轮及其齿厚的确定标准齿轮的 优点：
计算简单,互换性好 。
缺点：
① 当 z<zmin时,产生根切 。 但实际生产中经常要用到
z<zmin的齿轮 。
② 不适合 a’≠a的场合 。 a’<a时,不能安装 。 当 a’>a
时,产生过大侧隙,且 ε ↓
③ 小齿轮容易坏 。 原因,ρ 小,滑动系数大,齿根薄 。 希望两者寿命接 近 。
为改善上述不足,就必须对齿轮进行变位修正 。
N1
α
α
1.加工齿轮时刀具的移位 从避免根切引入为避免根切,可径向移动刀具 xm
B2
x-----为移距系数 。
xm
xm
----移距
B2
靠近轮坯中心时,x<0，
负变位齿轮 。
规定,
远离轮坯中心时,x>0，
正变位齿轮 。 刀具中线由于刀具一样,变位齿轮的基本参数 m,z,α 与标准齿轮相同,故 d,db与标准齿轮也相同,齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段 。
正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆负变位齿轮 x<0
变位后,齿轮的齿顶高与齿根高有变化 。
分度圆
P N1
基圆
O1
α
rb
2.齿厚与齿槽宽的确定齿厚,s=πm/2
xmtgα
a b
c
正变位：齿厚变宽,齿槽宽减薄 。
xm
xm
刀具节线变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，
而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。
齿槽宽,e=πm/2
+ 2xmtgα
－ 2xmtgα
负变位,正好相反 。
采用变位修正法加工变位齿轮,不仅可以避免根切,
而且与标准齿轮相比,齿厚等参数发生了变化,因而,可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度,以改善齿轮的传动质量 。 且加工所用刀具与标准齿轮的一样,所以 变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用 。
α
B2
刀具分度线
ac b
S=π m/2
s’
三,变位齿轮传动的类型标准齿轮传动 x1＝ x2＝ 0
等变位齿轮传动
x1＝ -x2≠0
不等变位齿轮传动或角度变位。
零传动 x1＋ x2＝ 0
正传动 x1＋ x2>0
负传动 x1＋ x2<0
变位齿轮传动类型高度变位齿轮传动变位系数的确定：
小齿轮采用正变位,x1>0,大齿轮采用负变位,x2<0
优缺点：
① 可采用 z1≤z min的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。
② 改善小齿轮的磨损情况。
③ 相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。
④ 缺点是,没有互换性，必须成对使用,ε 略有减小。
§ 8－ 8 渐开线斜齿圆柱齿轮机构
1.斜齿轮的共轭齿廓曲面考虑齿轮宽度,则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时,发生面内一条与轴线平行的直线 KK所展成的曲面 。
直齿轮：啮合线 → 啮合面 两基圆的内公切面啮合点 → 接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。
啮合特点,沿齿宽同时进入或退出啮合 。 突然加载或卸载,运动平稳性差,冲击,振动和噪音大 。
斜直线 KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面 → 螺旋线渐开面
K
β b － 基圆柱上的 螺旋角 KK线上每一点都产生一条渐开线,其形状相同而起始点不在同一条母线上发生面基圆柱发生面
AK
A A A
β b
K
K
1
2
β b
啮合面基圆柱渐开线螺旋面
K
K
齿面接触线齿面接触线始终与 K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。
啮合特点,
接触线长度的变化：
短 → 长 → 短加载、卸载过程是逐渐进行的 → 传动平稳、冲击、
振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。
在端面内，斜齿轮的齿廓曲线为渐开线，相当于直齿圆柱齿轮传动，满足定传动比要求。
β
二,斜齿轮的基本参数
1,斜齿轮的螺旋角将分度圆柱展开,得一矩形,有：
tgβ =π d/l
其中 α t为端面压力角 。 π d
π db
同理,将基圆柱展开,
也得一矩形,有：
tgβ b=π db/l
l
得,tgβ b /tgβ =db/ d
∴ tgβ b = tgβ cosα t
=cosα t
β
定义 分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角 β 。
判别方法
d
β
β b
右旋
β
左旋
β
B
法面内的齿形与刀具的齿形一样,取 标准值 。
2,模数 mn,mt
将分度圆柱展开,得一矩形,
pn=ptcosβ
将 pn＝ π mn,pt＝ π mt 代入得：
β
pt
β
可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：
斜齿轮的齿面为螺旋渐开面,其法面齿形和端面齿形不一样,参数也不一样 。 切削加工时,刀具沿齿槽方向运动,故法面内的齿形与刀具的齿形一样,取标准值 。 计算时,
按端面参数进行,故应建立两者之间的关系 。 端面是圆,而法面不是圆
π d
mn=mtcosβ
n
n
pn
b'
a'
c
压力角,αn,αt
用斜齿条说明：
β β
在 △ a’b’c’中,有：
∠ a’b’c=αn
在 △ abc中,有：
∠ abc=αt
由 ab=a’b’,a’c=accosβ 得：
tgαn = tgαt cosβ
3,斜齿轮传动的几何尺寸不论在法面还是端面,其齿顶高和齿根高一样：
h*an－法面齿顶高系数,han*＝ 1
c*n－法面顶隙系数,c*n＝ 0.25
过 c点作轮齿的法剖面在法面和端面内齿高一样
,tgαn =a’c/a’b’
tgαt =ac/ab
ha=h*anmn hf= (h*an+c * n) m n
αn
a
b
ca
a’
β
αt
分度圆直径,d=zmt=z mn / cosβ
中心距,a=r1+r2
可通过改变 β 来调整 a的大小 。
4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件啮合处的齿向相同 。
外啮合,β 1＝ -β 2
mn1=mn2,αn1 =αn1
mt1=mt2,αt1＝ αt2
一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。
= mn (z1+ z2) /2 cosβ
内啮合,β 1＝ β 2
b
B2
B2
斜齿轮传动的重合度直齿轮：
斜齿轮：
ε 的 增量：
△ ε ＝ △ L/pbt
分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入啮合 (B2 B2)和退出啮合 (B1 B1)的情形。
△ L
β b β b
B1
B1
＝ b tgβ b /pbt
＝ ε + △ ε
若 b＝ 100,β ＝ 20° mn＝ 2
则：
B1
B1
b
B2
B2
L
ε ＝ L /pb
ε γ ＝ (L+△ L)/pbt
＝ b tgβ /pt
△ ε ＝ 5.45
c
d
β
ρ
斜齿圆柱齿轮的当量齿数用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因此，有必要知道一个齿数为 z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。
定义,与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。
过分度圆 C点作轮齿的法剖面得一椭圆，以 C点曲率半径 ρ 作为当量齿轮的分度圆半径。
rv ＝ ρ
得,zv ＝ 2rv /mn
斜齿轮不发生根切的最少齿数：
zmin=zvmincos3β
＝ d/mn cos2β
＝ zmt/mn cos2β
＝ z/cos3β
a
椭圆长半轴,a=d/2cosβ
短半轴,b=d/2 由高数知,C点的曲率半径为：
b
＝ a2/b =d/2cos2β
若 β=20 ° zvmin =17 zmin=14 齿槽
β
n n
βFn Ft
ββ
FtFn
7,斜齿轮的主要优缺点
① 啮合性能好、传动平稳，噪音小。
② 重合度大，承载能力高。
③ zmin< zvmin,机构更紧凑 。
④ 缺点是产生轴向力，且随 β 增大而增大，
一般取 β ＝ 8° ～ 20° 。
采用 人字齿轮,可使 β ＝ 25° ～ 40° 。
常用于高速大功率传动中 (如船用齿轮箱 )。
FsFs
β β
r2
O2
r1
P
O1
P1
rv1
§ 8－ 9 圆锥齿轮机构一,圆锥齿轮 概述作用,传递两相交轴之间的运动和动力 。
结构特点,轮齿分布在锥台表面上,轮齿大小逐渐由大变小 。
轴交角 ∑,根据需要确定为了计算和测量的方便,取大端参数 (如 m)为标准值 。
名称变化,圆柱 → 圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。
δ 1
=90°
相当于齿轮齿条啮合分度圆锥角 δ 。
P 2
1
冠轮δ 2
∑
轴交角 ∑ 根据需要确定圆锥齿轮类型按齿形分有,直齿,斜齿,曲齿 (圆弧齿,
螺旋齿 )
∑ =90°
常用 ∑ =90°
直齿 斜齿 曲齿渐缩齿 等高齿平面啮合内啮合等顶隙齿圆锥齿轮类型按齿形分,直齿,斜齿,曲齿 ;
按啮合方式分,外啮合,内啮合,平面啮合 ;
按轮齿高度分,渐缩齿,等高齿,等顶隙齿,
外啮合
O1
O2
1,理论齿廓一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时,平面上任一点的轨迹由于两锥齿轮作定点运动，只有到定点距离相等的点
（球面上的点）才能啮合，故共轭齿廓分布在球面上。
齿廓曲面,圆平面上某一条半径上所有点的轨迹 。
演示模型公共锥顶球面渐开线
----球面渐开线。
圆平面称 发生面发生面
，圆锥称 基圆锥。
基圆锥二,背锥及当量齿轮
o2.背锥及当量齿轮过大端作母线与分度圆锥母线垂直的圆锥 将球面齿往该圆锥上投影,则球面齿形与锥面上的投影非常接近 。 锥面可以展开,故用锥面上的齿形代替球面齿 。 演示纸片模型 。
将背锥展开得扇形齿轮,补全,
得 当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的球面齿形相当,两者 m
和 α相同 。
当量齿轮的参数：
r
rv
rv
p
又 rv=zvm/2
得,zv＝ z/cosδ
因球面不能展开,给锥齿轮的设计和制造带来困难,不得已用近似方法研究其齿廓曲线 。
δ 1
δ 1
= r /cosδ =zm/2 cosδ
Re
O1
---背锥
e’
f’
e
f
rv= O1 P
正确啮合条件,m1=m2,α1=α2 Re1 =Re2
不根切最少齿数,zvmin=17,z=17cosδ,
三,几何参数和尺寸计算大端参数 m取标准值,α =20 °
δ = 45° z=12
锥齿轮模数（ GB12368-90） mm
… 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3
3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…
引入当量齿轮的概念后,一对锥齿轮的啮合传动问题就转化为一对圆柱直齿轮啮合传动 。 故可直接引用直齿轮的结论,锥齿轮 圆柱直齿轮
Re－外锥距 δ －分度圆锥角
δ a－齿顶圆锥角
b－ 齿宽
da－齿顶圆
df－齿根圆
b
R d
1
δ a1
δ a2
da2
d2
df 2
δ 2 δ 1 d1,d2-分度圆直径传动比：
i12＝ ω1/ω2
当 ∑ ＝ 90° 时,
＝ z2 /z1
＝ r2 / r1
＝ sinδ 2 /sinδ 1
＝ ctgδ 1i12 ＝ tgδ2 ∑=90 °
δ 2 +δ 1 ＝ 90°
设计时,如果给定 i12,据此可确定 δ 。
GB12369-90规定,多采用等顶隙圆锥齿轮传动 。
2 hah
f
O
θ f
1
δ 1 r1
r2
δ 2R
∑ ＝ 90° 标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算名 称 符 号 计算公式及参数的选择模数 me 按 GB12368-90取值传动比 i i=z2/z1=tgδ 2 =ctgδ 1 单级 i<6~7
分度圆直径 d1 d2 d1=mez1,d2=mez2
齿顶高 ha ha= ha* me ha* =1
齿顶圆直径 da1 da2 da1=d1+2mecosδ 1,da2=d2+2mecosδ 2
分度圆锥角 δ 1 δ 2 δ 2 =arctg z2/z1,δ 1=90° - δ 2
顶隙 c c=0.2me
齿根圆直径 df1 df2 df1=d1-2.4mecosδ 1,df2=d2-2.4mecosδ 2
齿根高 hf hf=(ha* + c*)me =1.2 me c* =0.2
全齿高 h h=hf+hf =2.2me
…………… ………… …………………………………
续表 ∑ ＝ 90° 标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算名 称 符 号 计算公式及参数的选择齿顶角 θ a θ a=arctgha/Re
齿根角 θ f θ f=arctghf/Re
顶锥角 δ a1 δ a2 δ a1 =δ 1 +θ a δ a2 =δ 2 -θ a
根锥角 δ f1 δ f2 δ f1 =δ 1 -θ f δ f2 =δ 2 -θ f
外锥距 Re Re= r12+r22
本章重点：
① 渐开线的形成与性质；
② 标准齿轮的参数计算；
③ 正确啮合条件与重合度；
④ 根切、最少齿数、变位齿轮的齿厚计算；
⑤ 斜齿轮法面参数与端面参数之间的关系；
§ 8－ 1 齿轮机构的应用和分类
§ 8－ 2 齿廓啮合基本定理
§ 8－ 3 渐开线及渐开线齿轮
§ 8－ 4 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
§ 8－ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
§ 8－ 6 渐开线齿轮的切齿原理
§ 8－ 7 根切现象、最少齿数及变位齿轮
§ 8－ 8 渐开线斜齿圆柱齿轮机构
§ 8－ 9 圆锥齿轮机构
§ 8－ 1 齿轮机构的应用和分类作用,传递空间任意两轴（ 平行,相交,交错 ）的旋转运动，或将 转动转换为移动 。
结构特点,圆柱体外（或内）均匀分布有大小一样的 轮齿 。
优点：
① 传动比准确、传动平稳。
② 圆周速度大，高达 300 m/s。
③ 传动功率范围大，从几瓦到 10万千瓦。
④ 效率高 (η→0.99 )、使用寿命长、工作安全可靠。
⑤ 可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。
缺点,要求较高的制造和安装精度，加工成本高、
不适宜远距离传动 (如单车 )。
平面齿轮传动
（轴线平行）
外齿轮 传动直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮空间齿轮传动
（轴线不平行）
按相对运动分按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆 传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮 (1765年 )
摆线齿轮 (1650年 )
圆弧齿轮 (1950年 )
按速度高低分,
按传动比分,
按封闭形式分：
齿轮传动的类型 应用实例：提问参观对象,SZI型统一机芯手表有 18个齿轮,炮塔,内然机 。
高速,中速,低速齿轮传动 。
定传动比,变传动比齿轮传动 。
开式齿轮传动,闭式齿轮传动 。
球齿轮抛物线齿轮 (近年 )
分类：
内齿轮 传动齿轮齿条
2
ω 2
1
ω 1
非圆齿轮曲线齿圆锥齿轮斜齿圆锥齿轮准双曲面齿轮
o1
ω 1
共轭齿廓,一对能实现预定传动比 (i12=ω 1/ω2)规律的啮合齿廓 。
§ 8－ 2 齿廓啮合基本定理
1.齿廓啮合基本定律 一对齿廓在任意点 K接触时,作法线 n-n
得,i12＝ ω 1/ω 2＝ O2 P /O1P
齿廓啮合基本定律,
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比,都与连心线 O1O2
被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比 。
根据三心定律可知：
P点为相对瞬心 。
n
n
P
o2
ω 2
k
由,v12＝ O1Pω 1 v12＝ O2 P ω 2
节圆如果要求传动比为常数,则应使 O2 P/O1P为常数 。
节圆：
设想在 P点放一只笔,则笔尖在两个齿轮运动平面内所留轨迹 。
由于 O2,O1为定点,故 P必为一个定点 。
两节圆相切于 P点,且两轮节点处速度相同,故 两节圆作纯滚动 。
r’1
r’2
a=r’1+r’2中心距：
o1
ω 1
n
n
P
o2
ω 2
ka
2.齿廓曲线的选择理论上,满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多,但考虑到便于制造和检测等因素,工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线,如渐开线,其中应用最广的是渐开线,其次是 摆线 (仅用于钟表 )和 变态摆线 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了 圆弧 和 抛物线 。
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史,目前还没有其它曲线可以替代 。 主要在于它具有很好的传动性能,而且便于 制造,安装,测量 和 互换 使用等优点 。
本章只研究渐开线齿轮 。
§ 8－ 3 渐开线及渐开线齿轮一,渐开线的 形成 和特性
― 条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹
2.渐开线的特性
② 渐开线上任意点的法线切于基圆 纯滚动时，
B为瞬心，速度沿 t-t线，是渐开线的切线，故 BK为法线
③ B点 为曲率中心,BK为曲率半径。
渐开线起始点 A处曲率半径为 0。 可以证明
BK－发生线,
① AB = BK;
t
t
发生线
B
k
基圆
O
A rkθ
k基圆－ r
b
θ k－ AK段的展角
－渐开线渐开线
r
b
O
A
B
k
A1 B
1
o1
θ k
K
⑤ 渐开线形状取决于基圆
⑥ 基圆内无渐开线。
⑦ 同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
当 rb→∞,变成直线。
rk
θ k α k
α k
vk
④ 离中心越远，渐开线上的压力角越大。 r
b
定义,啮合时 K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之 压力角 α k。
rb＝ rk cosα k
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
B
C’
A
C
rb
O
E
C”
⑦ 同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。
由性质①和②有：两条反向渐开线,
两条同向渐开线：
B1E1 = A1E1－ A1B1
B2E2 = A2E2－ A2B2
B1E1 = B2E2
∴ A1B1 = A2B2
A1E1 = A2E2
AB = AN1 + N1B = A1N1 + N1B1 = A1B1
AB = AN2 + N2B = A2N2 + N2B2 = A2B2
A1
B1
N1
A2
B2N2
顺口溜：
弧长等于发生线,基圆切线是法线,
曲线形状随基圆,基圆内无渐开线 。
E2
E1
N2
N1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 1二,渐开线齿廓的啮合特性要使两齿轮作定传动比传动,则两轮的齿廓无论在任何位置接触,过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点 。
两齿廓在任意点 K啮合时,过 K作两齿廓的法线 N1N2,是基圆的切线,为定直线 。
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
工程意义,i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷,振动和噪音,延长齿轮的使用寿命,提高机器的工作精度 。
两轮中心连线也为定直线,故交点 P必为 定点 。 在位置 K’时同样有此结论 。
C1C
2
K
PK’
1.渐开线齿廓满足定传动比要求
N2
N1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 12.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹,
称为 啮合线由渐开线的性质可知,啮合线又是接触点的法线,正压力总是沿法线方向,
故正压力方向不变 。 该特性对传动的平稳性有利 。
C1C
2
K
啮合线与节圆公切线之间的夹角 α ’,称为 啮合角实际上 α ’就是节圆上的压力角
K’ P
α ’
rb1
ω 2
O2
rb2
O1
ω 1
N2
N1
P C1C
2
K
3.运动可分性
△ O1N1P≌ △ O2N2P
由于上述特性,工程上广泛采用渐开线齿廓曲线 。
实际安装中心距略有变化时,不影响 i12,这一特性称为 运动可分性,
对加工和装配很有利 。
故传动比又可写成：
i12=ω1/ω2= O2P/ O1P = rb2 /rb1
－－基圆半径之反比。 基圆半径是定值
rb
O
一,外齿轮
1.名称与符号
pn齿顶圆－ da,ra
齿根圆－ df,rf
齿厚－ sk 任意圆上的 弧长齿槽宽－ ek 弧长齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓 弧长齿顶高 ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf
齿宽－ B
ha
hfh
B
p
ra
分度圆－－ 人为规定的计算基准圆表示符号,d,r,s,e,p= s+e
法向齿距 （周节）－ pn
s e sk
ek
= pb
§ 8－ 4 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
pb
rf r
pk
m=4 z=16
2.基本参数
② 模数－ m
① 齿数－ z 出现无理数,不方便为了计算,
制造和检验的方便分度圆 周长,πd=zp,d=zp/π
称为模数 m 。
m=2 z=16
模数的单位,mm，
它是决定齿轮尺寸的一个基本参数 。 齿数相同的齿轮,模数大,
尺寸也大 。
于是有：
d=mz,r = mz/2
人为规定,m=p/π 只能取某些简单值,
m=1 z=16
0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75)
第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22
28 (30) 36 45
标准模数系列表（ GB1357－ 87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8
第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8
10 12 16 20 25 32 40 50
为了便于制造,检验和互换使用,国标 GB1357-87
规定了 标准模数系列。
O
rf
ra
rb
r
O
ω
rb
ri
Bi
KiN
③ 分度圆压力角得,α i＝ arccos(rb/ri)由 rb＝ ri cosα i
定义分度圆压力角为齿轮的 压力角：
对于同一条渐开线,ri ↓ → α i ↓ α b＝ 0
α 1
A
α i
α i
B1
K1
r1
α
由 d=mz知,m和 z一定时,分度圆是一个大小唯一确定的圆 。
规定标准值,α ＝ 20°
由 db＝ dcosα 可知,基圆也是一个大小唯一确定的圆。
称 m,z,α 为渐开线齿轮的三个基本参数 。
对于分度圆大小相同的齿轮,
如果 α 不同,则基圆大小将不同,因而其齿廓形状也不同 。
α 是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
或 rb＝ rcosα,
α ＝ arccos(rb/r)
db＝ dcosα
齿轮各部分尺寸的计算公式：
齿顶高,ha=ha*m
齿根高,hf=(ha* +c*)m
全齿高,h= ha+hf
齿顶圆直径,da=d+2ha
齿顶高 系数,ha*
齿 根 圆直径,df=d-2hf
顶隙系数,c*
分度圆直径,d=mz
=(2ha* +c*)m
=(z+2ha*)m
=(z-2ha*-2c*)m
rrf正常齿,ha
*＝ 1
短齿制,ha*＝ 0.8
正常齿,c*＝ 0.25
短齿制,c*＝ 0.3
ra
ha
hfh
ha
hfh
B
p
ra
rf r
pn
pb
rb
O
基圆直径：
法向齿距：
标准齿轮：
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后,其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了 。
=mzcosα
=π db/z
=π mcosα
=pcosα 统一用 pb表示
m,α,ha*,c* 取标准值,
且 e=s的齿轮 。
N
α
db=dcosα
pn=pb
s e
B
二,齿条特点,齿廓是直线,各点法线和速度方向线平行
1)压力角处处相等,且等于齿形角,
2)齿距处处相等,p=π m
其它参数的计算与外齿轮相同,如：
s=π m/2 e=π m/2
e s
p
pn
ha
hf
z→∞ 的特例 。 齿廓曲线 （ 渐开线 ） → 直线
ha=ha*m hf=(ha* +c*)m
pn=pcosα
α 为常数 。
α
α
α
pn
h N
α
s e
hahf
p B
O
rb
rf
ra
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反 。
2) df>d>da
三,内齿轮
3) 为保证齿廓全部为渐开线,
,da＝ d-2ha,df＝ d+2hf
结构特点,轮齿分布在空心圆柱体内表面上 。
不同点,
要求 da>db。
r
rb2r2
O2
ω 2
rb2r2
O2
ω 2
rb2r2
O2
ω 2
rb1
r1
O1
ω 1
rb1
r1
O1
ω 1 rb1
r1
O1
ω 1
pb1
pb1<pb2 p
b1>pb2pb1=pb2
pb1 pb1
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 !能正确啮合 !
一对齿轮传动时,所有啮合点都在 啮合线 N1N2上 。
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律,那么,是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
m1<m2
从外观看齿
1比齿 2小
m1 > m2
外观齿 1
比齿 2大
§ 8－ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
P
N1
N2
B2B
1 B1 P
N1
N2
B2
P
N1
N2
B1
B2
rb2r2
O2
rb1
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
B2
B1
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合,
两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：
1.正确啮合条件
pb1=pb2
将 pb=πmcosα 代入得：
m1cosα 1=m2cosα 2
因 m和 α 都取标准值,使上式成立的条件为,m1=m2,α 1=α 2
结论：
一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们 模数 和 压力角 应分别相等 。
i12 = --ω1ω
2
传动比,= --db2d
b1
= --d’2d’
1
= --d2d
1
= --Z2Z
1
pb1
rb2 r2
O2
r1
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1
二,标准中心距 a
对 标准 齿轮,确定中心距 a时,应满足两个要求：
1)理论上齿侧间隙为零
2)顶隙 c为标准值 。 储油用此时有：
a=ra1+ c +rf2
=r1+ha*m
=r1+ r2
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。
ra1 r
a1
rf2
rf2
a
c
s‘1-e’2=0
c=c*m
+c*m+ r2-(ha*m+c*m)
=m(z1+z2)/2
a =r1+ r2 标准中心距标准安装
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1
两轮节圆总相切,a=r’1+ r’2 =r1+ r2
两轮的传动比,i12 = r’2 / r’1
r’1 = r1
r’2 = r2
在标准安装时节圆与分度圆重合。
= r2 / r1
α ’=α
因此有,α ’=α
必须指出：
1.分度圆和压力角是单个齿轮就有的；而节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。
2.非标准安装时,两分度圆将分离，此时由：
α ’ >α
提问：有可能 α ’ <α 吗？
r’2 =r2
r’1 =r1
N1
N2
O1
rb1
P
rb2
ω 2
ω 1
O2
1.一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与 N1N2 线交点 B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿 N1N2 线移动。
在主动轮顶圆与 N1N2 线交点处 B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。
B1B2 －实际啮合线
N1N2,因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段 --
N1,N 2 －啮合极限点阴影线部分 －齿廓的实际工作段。
理论啮合线段一、重合度
ra2
B1----终止啮合点
B2 ----起始啮合点
ra1
B2
B1
pb
2.连续传动条件 一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。
为保证连续传动，要求：
实际啮合线段 B1B2≥ pb (齿轮的法向齿距 )，
定义,ε = B1B2/pb 为一对齿轮的 重合度一对齿轮的连续传动条件是：
为保证可靠工作，工程上要求：
[ε ]的推荐值：
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机
[ε ] 1.4 1.1～ 1.2 1.3
从理论上讲，重合度为 1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差即,B1B2/pb≥1
ε ≥[ ε ]
ε ≥1
采用标准齿轮，总是有,ε ≥1 故不必验算。
O1
N2
N1
K
O2
ω 2
ω 1
B1
B2
§ 8－ 6 渐开线齿轮的切齿原理齿轮加工方法 成形法盘铣刀 指状铣刀铸造法热轧法冲压法模锻法粉末冶金法切制法最常用铣削拉削一、成形法铣削范成法
(展成法共轭法包络法 )
插齿滚齿剃齿磨齿指状铣刀加工盘铣刀加工铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。
适用于加工大模数
m>20 的齿轮和人字齿轮。
由 db=mzcosα 可知，渐开线形状随齿数变化。
要想获得精确的齿廓，
加工一种齿数的齿轮，
就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。
进给分度分度切削
ω
切削
ω
进给成形法加工的特点：
产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。
铣刀号数所切齿轮 12～ 13 14～ 16 17～ 20 21～ 25 26～ 34 35～ 54 55～ 134 ≥ 135
齿数把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围
1 2 3 4 5 6 7 8
ω
ω 0
ω
ω
齿轮插刀加工i=ω 0 /ω=z/z 0
二、范成法
1,齿轮插刀 共轭齿廓互为包络线切削运动
ωω 0
范成运动让刀运动进给切削让刀
ω
v
范成
V＝ ωr ＝ ωmz/2
2,齿条插刀插齿加工过程为断续切削，生产效率低。
齿条插刀加工时齿廓包络过程滚刀进给进给
ω 0
ω v
ω
ω 0
范成运动
V＝ ωr ＝ ωmz/2
γ
滚刀倾斜 t
t
滚刀轴剖面相当于齿条相当于齿轮齿条啮合传动
ω 0 切削
3,齿轮滚刀被加工齿轮为什么滚刀要倾斜一个角度呢？
范成法加工的特点：
一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。
t
t
t
t
γ
hf=(h*a+ c*)m
4.用标准齿条型刀具加工标准齿轮标准齿条型刀具比基准齿形高出 c*m一段切出齿根过渡曲线 。 非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。
GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。
4.1标准齿条型刀具
4.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮
h* a
m
分度线分度圆 h
a=h*am
加工标准齿轮：
刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。
加工结果,s＝ e＝ π m/2 e
s
ha=h*am
hf=(h*a+ c*)m
h* a
m
c* m
c* m 顶线
α=20 °
π m/2π m/2
Pα
α
rb
rra
N1
O1
分度圆基圆一、根切现象图示现象称为轮齿的根切。
根切的后果：
①削弱轮齿的抗弯强度；
以下分析产生根切的原因,
② 使重合度 ε 下降。
§ 8－ 7 根切现象、最少齿数及变位齿轮
2 3B1
PB2<PN1 不根切
1
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
当 B2落在 N1点的下方,PB2<PN1
B2
Pα
α
rb
rra
N1
O1
3
PB2=PN1 不根切
1
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
当 B2落在 N1点之上,PB2=PN1
2B1
B2
O1
Pα
α
N1
rb
r
1 发生根切 4
M
在位置 2开始切削渐开线齿廓；在位置 3切削完全部齿廓；
已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；
刀具沿水平移动的距离,
N1M＝ rφ
沿法线移动的距离,
N1K＝ N1Mcosα
弧长与直线长度相等,
N1K＝ N1N’1
到达位置 4时,轮坯转过 φ
K
强调 B2的位置强调 N’1是齿廓起始点,并证明该点落在刀刃左边基圆转过的弧长为：
N1 N’1＝ rbφ
＝ rφ cosα
＝ rφ cosα
2
B1
B2
3
α
φ
N’1
根切
O1
P
α
N1
rb
r
结论,刀具齿顶线与啮合线的交点 B2落在极限啮合点
N1的右上方，必发生根切。
根切条件为,PB2>PN1
B2
P
二、渐开线齿轮不发生根切的最少齿数当被加工齿轮的模数 m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点 B2就唯一确定，
这时极限啮合点 N1的位置随基圆大小变动当 N1 B2两点重合时，正好不根切。
不根切的条件：
在 △ PN1O1 中有：
在 △ PB2B’中有：
代入求得,z≥2 h a*/sin2α
取 α =20°,ha*=1,得,zmin=17
h*am
即,zmin＝ 2 ha*/sin2α
P N1≥P B2
=mzsinα /2 PN1=rsinα
PB2=ha*m/sinα
B2
B’α
rb3
N1
rb
N1
O1
rb1
N1
r
α
三、变位齿轮及其齿厚的确定标准齿轮的 优点：
计算简单,互换性好 。
缺点：
① 当 z<zmin时,产生根切 。 但实际生产中经常要用到
z<zmin的齿轮 。
② 不适合 a’≠a的场合 。 a’<a时,不能安装 。 当 a’>a
时,产生过大侧隙,且 ε ↓
③ 小齿轮容易坏 。 原因,ρ 小,滑动系数大,齿根薄 。 希望两者寿命接 近 。
为改善上述不足,就必须对齿轮进行变位修正 。
N1
α
α
1.加工齿轮时刀具的移位 从避免根切引入为避免根切,可径向移动刀具 xm
B2
x-----为移距系数 。
xm
xm
----移距
B2
靠近轮坯中心时,x<0，
负变位齿轮 。
规定,
远离轮坯中心时,x>0，
正变位齿轮 。 刀具中线由于刀具一样,变位齿轮的基本参数 m,z,α 与标准齿轮相同,故 d,db与标准齿轮也相同,齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段 。
正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆负变位齿轮 x<0
变位后,齿轮的齿顶高与齿根高有变化 。
分度圆
P N1
基圆
O1
α
rb
2.齿厚与齿槽宽的确定齿厚,s=πm/2
xmtgα
a b
c
正变位：齿厚变宽,齿槽宽减薄 。
xm
xm
刀具节线变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，
而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。
齿槽宽,e=πm/2
+ 2xmtgα
－ 2xmtgα
负变位,正好相反 。
采用变位修正法加工变位齿轮,不仅可以避免根切,
而且与标准齿轮相比,齿厚等参数发生了变化,因而,可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度,以改善齿轮的传动质量 。 且加工所用刀具与标准齿轮的一样,所以 变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用 。
α
B2
刀具分度线
ac b
S=π m/2
s’
三,变位齿轮传动的类型标准齿轮传动 x1＝ x2＝ 0
等变位齿轮传动
x1＝ -x2≠0
不等变位齿轮传动或角度变位。
零传动 x1＋ x2＝ 0
正传动 x1＋ x2>0
负传动 x1＋ x2<0
变位齿轮传动类型高度变位齿轮传动变位系数的确定：
小齿轮采用正变位,x1>0,大齿轮采用负变位,x2<0
优缺点：
① 可采用 z1≤z min的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。
② 改善小齿轮的磨损情况。
③ 相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。
④ 缺点是,没有互换性，必须成对使用,ε 略有减小。
§ 8－ 8 渐开线斜齿圆柱齿轮机构
1.斜齿轮的共轭齿廓曲面考虑齿轮宽度,则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时,发生面内一条与轴线平行的直线 KK所展成的曲面 。
直齿轮：啮合线 → 啮合面 两基圆的内公切面啮合点 → 接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。
啮合特点,沿齿宽同时进入或退出啮合 。 突然加载或卸载,运动平稳性差,冲击,振动和噪音大 。
斜直线 KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面 → 螺旋线渐开面
K
β b － 基圆柱上的 螺旋角 KK线上每一点都产生一条渐开线,其形状相同而起始点不在同一条母线上发生面基圆柱发生面
AK
A A A
β b
K
K
1
2
β b
啮合面基圆柱渐开线螺旋面
K
K
齿面接触线齿面接触线始终与 K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。
啮合特点,
接触线长度的变化：
短 → 长 → 短加载、卸载过程是逐渐进行的 → 传动平稳、冲击、
振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。
在端面内，斜齿轮的齿廓曲线为渐开线，相当于直齿圆柱齿轮传动，满足定传动比要求。
β
二,斜齿轮的基本参数
1,斜齿轮的螺旋角将分度圆柱展开,得一矩形,有：
tgβ =π d/l
其中 α t为端面压力角 。 π d
π db
同理,将基圆柱展开,
也得一矩形,有：
tgβ b=π db/l
l
得,tgβ b /tgβ =db/ d
∴ tgβ b = tgβ cosα t
=cosα t
β
定义 分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角 β 。
判别方法
d
β
β b
右旋
β
左旋
β
B
法面内的齿形与刀具的齿形一样,取 标准值 。
2,模数 mn,mt
将分度圆柱展开,得一矩形,
pn=ptcosβ
将 pn＝ π mn,pt＝ π mt 代入得：
β
pt
β
可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：
斜齿轮的齿面为螺旋渐开面,其法面齿形和端面齿形不一样,参数也不一样 。 切削加工时,刀具沿齿槽方向运动,故法面内的齿形与刀具的齿形一样,取标准值 。 计算时,
按端面参数进行,故应建立两者之间的关系 。 端面是圆,而法面不是圆
π d
mn=mtcosβ
n
n
pn
b'
a'
c
压力角,αn,αt
用斜齿条说明：
β β
在 △ a’b’c’中,有：
∠ a’b’c=αn
在 △ abc中,有：
∠ abc=αt
由 ab=a’b’,a’c=accosβ 得：
tgαn = tgαt cosβ
3,斜齿轮传动的几何尺寸不论在法面还是端面,其齿顶高和齿根高一样：
h*an－法面齿顶高系数,han*＝ 1
c*n－法面顶隙系数,c*n＝ 0.25
过 c点作轮齿的法剖面在法面和端面内齿高一样
,tgαn =a’c/a’b’
tgαt =ac/ab
ha=h*anmn hf= (h*an+c * n) m n
αn
a
b
ca
a’
β
αt
分度圆直径,d=zmt=z mn / cosβ
中心距,a=r1+r2
可通过改变 β 来调整 a的大小 。
4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件啮合处的齿向相同 。
外啮合,β 1＝ -β 2
mn1=mn2,αn1 =αn1
mt1=mt2,αt1＝ αt2
一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。
= mn (z1+ z2) /2 cosβ
内啮合,β 1＝ β 2
b
B2
B2
斜齿轮传动的重合度直齿轮：
斜齿轮：
ε 的 增量：
△ ε ＝ △ L/pbt
分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入啮合 (B2 B2)和退出啮合 (B1 B1)的情形。
△ L
β b β b
B1
B1
＝ b tgβ b /pbt
＝ ε + △ ε
若 b＝ 100,β ＝ 20° mn＝ 2
则：
B1
B1
b
B2
B2
L
ε ＝ L /pb
ε γ ＝ (L+△ L)/pbt
＝ b tgβ /pt
△ ε ＝ 5.45
c
d
β
ρ
斜齿圆柱齿轮的当量齿数用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因此，有必要知道一个齿数为 z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。
定义,与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。
过分度圆 C点作轮齿的法剖面得一椭圆，以 C点曲率半径 ρ 作为当量齿轮的分度圆半径。
rv ＝ ρ
得,zv ＝ 2rv /mn
斜齿轮不发生根切的最少齿数：
zmin=zvmincos3β
＝ d/mn cos2β
＝ zmt/mn cos2β
＝ z/cos3β
a
椭圆长半轴,a=d/2cosβ
短半轴,b=d/2 由高数知,C点的曲率半径为：
b
＝ a2/b =d/2cos2β
若 β=20 ° zvmin =17 zmin=14 齿槽
β
n n
βFn Ft
ββ
FtFn
7,斜齿轮的主要优缺点
① 啮合性能好、传动平稳，噪音小。
② 重合度大，承载能力高。
③ zmin< zvmin,机构更紧凑 。
④ 缺点是产生轴向力，且随 β 增大而增大，
一般取 β ＝ 8° ～ 20° 。
采用 人字齿轮,可使 β ＝ 25° ～ 40° 。
常用于高速大功率传动中 (如船用齿轮箱 )。
FsFs
β β
r2
O2
r1
P
O1
P1
rv1
§ 8－ 9 圆锥齿轮机构一,圆锥齿轮 概述作用,传递两相交轴之间的运动和动力 。
结构特点,轮齿分布在锥台表面上,轮齿大小逐渐由大变小 。
轴交角 ∑,根据需要确定为了计算和测量的方便,取大端参数 (如 m)为标准值 。
名称变化,圆柱 → 圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。
δ 1
=90°
相当于齿轮齿条啮合分度圆锥角 δ 。
P 2
1
冠轮δ 2
∑
轴交角 ∑ 根据需要确定圆锥齿轮类型按齿形分有,直齿,斜齿,曲齿 (圆弧齿,
螺旋齿 )
∑ =90°
常用 ∑ =90°
直齿 斜齿 曲齿渐缩齿 等高齿平面啮合内啮合等顶隙齿圆锥齿轮类型按齿形分,直齿,斜齿,曲齿 ;
按啮合方式分,外啮合,内啮合,平面啮合 ;
按轮齿高度分,渐缩齿,等高齿,等顶隙齿,
外啮合
O1
O2
1,理论齿廓一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时,平面上任一点的轨迹由于两锥齿轮作定点运动，只有到定点距离相等的点
（球面上的点）才能啮合，故共轭齿廓分布在球面上。
齿廓曲面,圆平面上某一条半径上所有点的轨迹 。
演示模型公共锥顶球面渐开线
----球面渐开线。
圆平面称 发生面发生面
，圆锥称 基圆锥。
基圆锥二,背锥及当量齿轮
o2.背锥及当量齿轮过大端作母线与分度圆锥母线垂直的圆锥 将球面齿往该圆锥上投影,则球面齿形与锥面上的投影非常接近 。 锥面可以展开,故用锥面上的齿形代替球面齿 。 演示纸片模型 。
将背锥展开得扇形齿轮,补全,
得 当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的球面齿形相当,两者 m
和 α相同 。
当量齿轮的参数：
r
rv
rv
p
又 rv=zvm/2
得,zv＝ z/cosδ
因球面不能展开,给锥齿轮的设计和制造带来困难,不得已用近似方法研究其齿廓曲线 。
δ 1
δ 1
= r /cosδ =zm/2 cosδ
Re
O1
---背锥
e’
f’
e
f
rv= O1 P
正确啮合条件,m1=m2,α1=α2 Re1 =Re2
不根切最少齿数,zvmin=17,z=17cosδ,
三,几何参数和尺寸计算大端参数 m取标准值,α =20 °
δ = 45° z=12
锥齿轮模数（ GB12368-90） mm
… 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3
3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…
引入当量齿轮的概念后,一对锥齿轮的啮合传动问题就转化为一对圆柱直齿轮啮合传动 。 故可直接引用直齿轮的结论,锥齿轮 圆柱直齿轮
Re－外锥距 δ －分度圆锥角
δ a－齿顶圆锥角
b－ 齿宽
da－齿顶圆
df－齿根圆
b
R d
1
δ a1
δ a2
da2
d2
df 2
δ 2 δ 1 d1,d2-分度圆直径传动比：
i12＝ ω1/ω2
当 ∑ ＝ 90° 时,
＝ z2 /z1
＝ r2 / r1
＝ sinδ 2 /sinδ 1
＝ ctgδ 1i12 ＝ tgδ2 ∑=90 °
δ 2 +δ 1 ＝ 90°
设计时,如果给定 i12,据此可确定 δ 。
GB12369-90规定,多采用等顶隙圆锥齿轮传动 。
2 hah
f
O
θ f
1
δ 1 r1
r2
δ 2R
∑ ＝ 90° 标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算名 称 符 号 计算公式及参数的选择模数 me 按 GB12368-90取值传动比 i i=z2/z1=tgδ 2 =ctgδ 1 单级 i<6~7
分度圆直径 d1 d2 d1=mez1,d2=mez2
齿顶高 ha ha= ha* me ha* =1
齿顶圆直径 da1 da2 da1=d1+2mecosδ 1,da2=d2+2mecosδ 2
分度圆锥角 δ 1 δ 2 δ 2 =arctg z2/z1,δ 1=90° - δ 2
顶隙 c c=0.2me
齿根圆直径 df1 df2 df1=d1-2.4mecosδ 1,df2=d2-2.4mecosδ 2
齿根高 hf hf=(ha* + c*)me =1.2 me c* =0.2
全齿高 h h=hf+hf =2.2me
…………… ………… …………………………………
续表 ∑ ＝ 90° 标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算名 称 符 号 计算公式及参数的选择齿顶角 θ a θ a=arctgha/Re
齿根角 θ f θ f=arctghf/Re
顶锥角 δ a1 δ a2 δ a1 =δ 1 +θ a δ a2 =δ 2 -θ a
根锥角 δ f1 δ f2 δ f1 =δ 1 -θ f δ f2 =δ 2 -θ f
外锥距 Re Re= r12+r22
本章重点：
① 渐开线的形成与性质；
② 标准齿轮的参数计算；
③ 正确啮合条件与重合度；
④ 根切、最少齿数、变位齿轮的齿厚计算；
⑤ 斜齿轮法面参数与端面参数之间的关系；
