概率论与数理统计概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科主 要 内 容
随机事件及其概率
随机变量及其分布
随机变量的数字特征
多维随机变量
大数定理与中心极限定理
数理统计的基本知识
参数估计
假设检验
方差分析
回归分析第一章 随机事件及其概率一、基本概念二、事件间的关系和运算三、频率和概率四、古典概型五、条件概率六、全概率公式和贝叶斯公式七、独立性八、贝努里概型和二项概率公式九、概率论的公理化体系一、基本概念复习
确定现象
电荷同性相斥，异性相吸。
向上抛一枚硬币硬币会落下。
随机现象 ——在个别试验中，其结果呈不确定性，在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。
电荷可能带正电，可能带负电
向上抛一枚硬币，硬币会落下后，可能正面朝上，可能反面朝上。
现象 ——现象分为确定性现象和随机现象。
可在相同条件下重复进行。
每次试验的可能结果不止一个，并且事先明确试验的所有可能结果。
试验前无法预知究竟哪个结果出现。
样本空间所有可能结果放在一起构成的集合，记为 。
随机试验
样本点每一个可能的结果，记为 。
随机事件样本空间的一个子集，简称事件。
事件常用大写字母 A,B,C等表示。
一、随机变量随机试验的结果数量化
随机变量。
目的：全面研究随机试验，揭示客观存在的统计规律性。
1,两 个 例 子例 1,抛 硬 币,H 表 示 正 面,T 表 示 反 面,抛 一 次 硬 币,
得 样 本 空 间 {,}H T 。
引 入 变 量 X,将 随 机 试 验 的 结 果 与 X 的 取 值 对 应 起来,
假 设,X H
T?
1
0
,
,
X X ( )?
X ( )? 的 所 有 可 能 取 值 为 R x? {,}0 1,R x 即 为 X ( )? 的值 域 。
由 于? 为 随 机 的,所 以,X ( )? 的 取 值 也 是 随 机 的,即
X ( )? 是 随 机 变 量 。
X ( )? 是随机变量。
H
T
例 2,测 试 灯 泡 的 寿 命 。
样 本 空 间{ | }t t 0
引 入 变 量 X,将 随 机 试 验 的 结 果 与 X 的 取 值 对 应 起来,X 是 定 义 在 样 本 空 间{ } { | }? t t 0 上 的 函 数,
即
X X t( ),t?
是 随 机 的,? X ( )? 也 是 随 机 的,
X ( )? 的 值 域 R x[,)0 。
2,定 义,
设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 { }?,若 对 每 一 个
,有一个实数 X ( )? 与之对应，则得一定义 在
上的单值实值函数 X X? ( )? 称为随机变量。
引入随机变量 X 后，就可以用随机变量 X 来描述事件。
例 1 中,}{}1{ HX,}{}0{ TX
一般，任意实数集合 L,
{ } { | ( ) }X L X L 。
注意：随机变量 X 取各个值也有一定的概率,
,21}{}1{ HPXP P T P X{ } { }12 0
P X L P X L{ } { | ( ) }
2 ) 随 机 变 量 取 各 个 值 有 一 定 的 概 率 。
1 ） 随 机 变 量 随 着 试 验 结 果 而 取 不 同 的 值,在 试 验前 只 知 道 它 可 能 取 值 的 范 围,而 不 能 预 知 它 取什 么 值 。
3 ) 普 通 函 数 定 义 在 实 数 轴 上 （ 一 元 ）,而 随 机 变量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不一 定 是 实 数 。
（ 以 上 1 ） 和 2 ） 是 本 质 差 异 。 ）
随机变量与普通函数的区别例 1,一袋中有三个白球 （编号 1,2,3 ）与二个黑球
（编号 4,5 ），现从中任取两个，观察两球的
1 ）颜色； 2 ）号码。
解,1 ）令 1? 表示两个白球,2? 表示两个黑球，
3? 表示一黑一白，
则? ={ 1?,2?,3? }
2 ） 令 )5,4,3,2,1,,( jijiij? 表示两球的号码为 i
和 j,
则? = { 45353425242315141312,,,,,,,,, }
注意：同一随机试验可能有不同的样本空间。
即样本点和样本空间是由试验内容而确定的。
随 机 变 量 的 优 点,
可以用数学分析 （微积分）的方法来研究随机试验。
随 机 变 量 的 分 类,（按随机变量可能取值范围）
1 ） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）
2 ) 连 续 型 随 机 变 量 （ 某 一 区 间 内 ）
解：令? ij i j i j(,,,,,,) 1 2 3 4 5 表示两球的号码为 i 和 j,
则? = {12 13 14 15 23 24 25 34 35 45,,,,,,,,,}
事件 A 表示两个球的号码为双数，
则 A ={? 24 }
事件 B 表示两个球的号码为单数，
则 B ={ 351513,, }
事件 C 表示两个球的号码均不超过 3,
则 C ={12 13 23,,}
例 2,一袋中有三个白球 （编号 1,2,3 ）与二个黑球
（编号 4,5 ），现从中任取两个，观察两球的号码。试表示事件,两个球的号码为双数”,“两个球的号码为单数”,“两个球的号码不超过 3,。
“两个球的号码都不超过 5”=
“有一个球的号码是 6”=
事件 A 发生——该子集 A 中至少有一个样本点出现。
必然事件,?
不可能事件,?
基本事件 ——由单个样本点构成的样本空间的子集,记作 。{ }?
几种特殊的事件返回二、事件间的关系和运算
（一）事件间的关系复习
1,事件 B 包含 事件 A,
A 发 生 必 然 导 致 B 发 生,
记 为 B? A,或 A? B 。
2,事件 A 与事件 B 相等,
若 BA? 且 B? A,
记 为 A = B 。
3,事件 A 与事件 B 的 和,
A,B 中 至 少 有 一 个 发 生,
记为 A? B 。
推 广,
1 ) 有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 的 和,
A A A n1 2,,,? 中 至 少 有 一 个 发 生,记 为,A i
i
n
1
。
B A
A B
A B
AB
BA?
2 ) 可 列 个 事 件 A A A n1 2,,,, 的 和,
A A A n1 2,,,, 中 至 少 有 一 个 发 生,
记 为,A i
i?
1
。
4,事件 A 与事件 B 的 积,
事 件 A 与 B 同 时 发 生,
记 为,A? B 或 A B 。
推 广,
1 ) 有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 的 积,
A A A n1 2,,,? 同 时 发 生,
记 为,A i
i
n
1
。
A
BAB
2 ) 可 列 个 事 件 A A A n1 2,,,, 的 积,
A A A n1 2,,,, 同 时 发 生,
记 为,A i
i?
1
。
5,事件 A 与事件 B 的 差,
若 A 发 生,而 B 不 发 生,
记 为 A － B 。
6,事件 A 与事件 B 互斥 （ 互不相容 ）：
A,B 不 能 同 时 发 生,
记 为,A B =? 。
这 时,A? B = A + B 。
AA -B B
A B
推 广,
有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 是 互 不 相 容 的 （ 互 斥 ）,
即,A A i j ni j,( )1 ；
这 时,记 A i
i
n
1
= A i
i
n
1
，
即 A i
i
n
1
= A A A n1 2 。
7,事件 A 和事件 B 互逆 （ 对立 ）：
若 A,B 中 有 且 仅 有 一 个 发 生,
即 A? B =?,A B =? 。
A 的 对 立 事 件 记 为 A A,
注 意,对 立? 互 斥互 斥 + 互 补 = 对 立,
A A
8,完 备 事 件 组,
如 果 n 个 事 件 A A A n1 2,,,? 中 至 少 有 一 个 事 件 一 定 发生,
即 A i
i
n
1
=?,
则 称 这 n 个 事 件 构 成 完 备 事 件 组 。
互 不 相 容 的 完 备 事 件 组,
如 果 n 个 事 件 A A A n1 2,,,? 满 足,
（ 1 ） A i
i
n
1
=?,
（ 2 ） A A i j ni j,( )1
注意：
样 本 空 间? 中,所 有 的 基 本 事 件 构 成 互 不 相 容 的 完 备事 件 组 。
1A
2A
3A
4A
5A
nA
例 3：掷骰子，观察掷得的点数。
假设 A表示掷出奇数点，则
B表示掷出点数不超过五点，则 }5,3,1{?A }5,4,3,2,1{?B
BA若 C表示不是偶数，即
},5,3,1{?C 则 CA?
},5,4,3,2,1{?BA? }5,3,1{?BA?
},4,2{ AB
若 D表示不超过 4的偶数点，即 }4,2{?D
则AD
若 E表示掷出的是偶数点，即
,EAEA?
A与 D互斥（互不相容）
A与 E对立（互逆）
B 1 1 2 3? {,,},B 2 4 5? {,},B 3 6? { } 是一个互不相容的完备事件组
}6,4,2{?E
}6{},5{},4{},3{},2{},1{ 是一个互不相容的完备事件组事件间的关系
8,完备事件组互不相容的完备事件组
1,事件 B 包含 事件 A
2,事件 A 与事件 B 相等
3,事件 A 与事件 B 的 和
4,事件 A 与事件 B 的 积
6,事件 A 与事件 B 互斥 （ 互不相容 ）
5,事件 A 与事件 B 的 差
7,事件 A 和事件 B 互逆 （ 对立 ）
（二）事件间的运算
1,交换律,A? B = B? A,
2,结合律,CBACBA )()(?
CBACBA )()(?
3,分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
n
i
i
n
i
i BABA
11
)()(
4,德·摩根律,BABA,BABA
n
i
i
n
i
i AA
11
,
n
i
i
n
i
i AA
11
ABBA
5,对立事件的性质,.,, AAAAAA
n
i
i
n
i
i ABBA
11
)(
事件关系和运算的作用
——将复杂事件化为简单事件。
例 4,射击三枪,A i 表示第 i 枪打中,i? 1 2 3,,
只 击 中 第 一 枪,A A A
1 2 3
只 击 中 一 枪,A A A
1 2 3? A A A1 2 3? A A A1 2 3
三枪都未击中：
321321 AAAAAA
至少击中一枪,
三枪没有都击中,
321 AAA
321321 AAAAAA
例 5,检查产品质量，从一批产品中任取 5 件样品。
A i 表示发现 i 件次品,5,4,3,2,1,0?i,
543210,,,,,AAAAAA 构成互不相容的完备事件组设 B 表 示 发 现 两 件 或 三 件 次 品,B A A2 3
C 表 示 最 多 发 现 两 件 次 品,C A A A0 1 2
D 表 示 至 少 发 现 一 件 次 品,54321 AAAAAD
D A? 0
例 5,电 路 如 图 所 示,A,B,C 分 别 表 示 继 电 器 a,b,
c 闭 合,D 表 示 指 示 灯 亮,问 如 何 用 A,B,C
表 示 D 和 D 。 b
a
c
解,D? A B C( )
D? A B C( )? A B C( )
在某系学生中任选一名,设 A表示被选出的是一名男生,B表示被选出的是一名二年级学生,C表示被选出的是学生会委员,则下列事件的含义是什么?
例题
CAB)1( 被选出的是一名二年级男生,他不是是学生会委员
CA B C?)2(
学生会委员都是二年级男生
AC?)3( 学生会委员都是男生例题
ABBABABA
BA
试证：
都是随机事件。，设证明,BA右边 (德摩根律 )
BAABBA
BA
)()(
BABABABA
左边 BABABA
例题
BABAABBA
CBA
)(
,
试证：
是随机事件。，设证明,ABBA ）（左边
))(( BABA
BBABBAAA
ABBA
右边 ABBA
研究对象,随机现象的统计规律性。
基本概念,随机试验、样本空间、样本点、随机事件及其发生。
特殊事件,必然事件、不可能事件和基本事件。
事件间的关系,包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立（互逆）和完备事件组。
事件间的运算律,交换律、结合律、分配律和德
.摩根律。
返回
研究对象,随机现象的统计规律性。
基本概念,随机试验、样本空间、样本点、随机事件及其发生。
特殊事件,必然事件、不可能事件和基本事件。
返回
事件间的关系,包含、相等、和、积
、互斥（互不相容）、对立（互逆）
和完备事件组。
事件间的运算律,交换律、结合律、
分配律和德,摩根律。
用简单事件将复杂事件表示出来。
返回
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科主 要 内 容
随机事件及其概率
随机变量及其分布
随机变量的数字特征
多维随机变量
大数定理与中心极限定理
数理统计的基本知识
参数估计
假设检验
方差分析
回归分析第一章 随机事件及其概率一、基本概念二、事件间的关系和运算三、频率和概率四、古典概型五、条件概率六、全概率公式和贝叶斯公式七、独立性八、贝努里概型和二项概率公式九、概率论的公理化体系一、基本概念复习
确定现象
电荷同性相斥，异性相吸。
向上抛一枚硬币硬币会落下。
随机现象 ——在个别试验中，其结果呈不确定性，在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。
电荷可能带正电，可能带负电
向上抛一枚硬币，硬币会落下后，可能正面朝上，可能反面朝上。
现象 ——现象分为确定性现象和随机现象。
可在相同条件下重复进行。
每次试验的可能结果不止一个，并且事先明确试验的所有可能结果。
试验前无法预知究竟哪个结果出现。
样本空间所有可能结果放在一起构成的集合，记为 。
随机试验
样本点每一个可能的结果，记为 。
随机事件样本空间的一个子集，简称事件。
事件常用大写字母 A,B,C等表示。
一、随机变量随机试验的结果数量化
随机变量。
目的：全面研究随机试验，揭示客观存在的统计规律性。
1,两 个 例 子例 1,抛 硬 币,H 表 示 正 面,T 表 示 反 面,抛 一 次 硬 币,
得 样 本 空 间 {,}H T 。
引 入 变 量 X,将 随 机 试 验 的 结 果 与 X 的 取 值 对 应 起来,
假 设,X H
T?
1
0
,
,
X X ( )?
X ( )? 的 所 有 可 能 取 值 为 R x? {,}0 1,R x 即 为 X ( )? 的值 域 。
由 于? 为 随 机 的,所 以,X ( )? 的 取 值 也 是 随 机 的,即
X ( )? 是 随 机 变 量 。
X ( )? 是随机变量。
H
T
例 2,测 试 灯 泡 的 寿 命 。
样 本 空 间{ | }t t 0
引 入 变 量 X,将 随 机 试 验 的 结 果 与 X 的 取 值 对 应 起来,X 是 定 义 在 样 本 空 间{ } { | }? t t 0 上 的 函 数,
即
X X t( ),t?
是 随 机 的,? X ( )? 也 是 随 机 的,
X ( )? 的 值 域 R x[,)0 。
2,定 义,
设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 { }?,若 对 每 一 个
,有一个实数 X ( )? 与之对应，则得一定义 在
上的单值实值函数 X X? ( )? 称为随机变量。
引入随机变量 X 后，就可以用随机变量 X 来描述事件。
例 1 中,}{}1{ HX,}{}0{ TX
一般，任意实数集合 L,
{ } { | ( ) }X L X L 。
注意：随机变量 X 取各个值也有一定的概率,
,21}{}1{ HPXP P T P X{ } { }12 0
P X L P X L{ } { | ( ) }
2 ) 随 机 变 量 取 各 个 值 有 一 定 的 概 率 。
1 ） 随 机 变 量 随 着 试 验 结 果 而 取 不 同 的 值,在 试 验前 只 知 道 它 可 能 取 值 的 范 围,而 不 能 预 知 它 取什 么 值 。
3 ) 普 通 函 数 定 义 在 实 数 轴 上 （ 一 元 ）,而 随 机 变量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不一 定 是 实 数 。
（ 以 上 1 ） 和 2 ） 是 本 质 差 异 。 ）
随机变量与普通函数的区别例 1,一袋中有三个白球 （编号 1,2,3 ）与二个黑球
（编号 4,5 ），现从中任取两个，观察两球的
1 ）颜色； 2 ）号码。
解,1 ）令 1? 表示两个白球,2? 表示两个黑球，
3? 表示一黑一白，
则? ={ 1?,2?,3? }
2 ） 令 )5,4,3,2,1,,( jijiij? 表示两球的号码为 i
和 j,
则? = { 45353425242315141312,,,,,,,,, }
注意：同一随机试验可能有不同的样本空间。
即样本点和样本空间是由试验内容而确定的。
随 机 变 量 的 优 点,
可以用数学分析 （微积分）的方法来研究随机试验。
随 机 变 量 的 分 类,（按随机变量可能取值范围）
1 ） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）
2 ) 连 续 型 随 机 变 量 （ 某 一 区 间 内 ）
解：令? ij i j i j(,,,,,,) 1 2 3 4 5 表示两球的号码为 i 和 j,
则? = {12 13 14 15 23 24 25 34 35 45,,,,,,,,,}
事件 A 表示两个球的号码为双数，
则 A ={? 24 }
事件 B 表示两个球的号码为单数，
则 B ={ 351513,, }
事件 C 表示两个球的号码均不超过 3,
则 C ={12 13 23,,}
例 2,一袋中有三个白球 （编号 1,2,3 ）与二个黑球
（编号 4,5 ），现从中任取两个，观察两球的号码。试表示事件,两个球的号码为双数”,“两个球的号码为单数”,“两个球的号码不超过 3,。
“两个球的号码都不超过 5”=
“有一个球的号码是 6”=
事件 A 发生——该子集 A 中至少有一个样本点出现。
必然事件,?
不可能事件,?
基本事件 ——由单个样本点构成的样本空间的子集,记作 。{ }?
几种特殊的事件返回二、事件间的关系和运算
（一）事件间的关系复习
1,事件 B 包含 事件 A,
A 发 生 必 然 导 致 B 发 生,
记 为 B? A,或 A? B 。
2,事件 A 与事件 B 相等,
若 BA? 且 B? A,
记 为 A = B 。
3,事件 A 与事件 B 的 和,
A,B 中 至 少 有 一 个 发 生,
记为 A? B 。
推 广,
1 ) 有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 的 和,
A A A n1 2,,,? 中 至 少 有 一 个 发 生,记 为,A i
i
n
1
。
B A
A B
A B
AB
BA?
2 ) 可 列 个 事 件 A A A n1 2,,,, 的 和,
A A A n1 2,,,, 中 至 少 有 一 个 发 生,
记 为,A i
i?
1
。
4,事件 A 与事件 B 的 积,
事 件 A 与 B 同 时 发 生,
记 为,A? B 或 A B 。
推 广,
1 ) 有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 的 积,
A A A n1 2,,,? 同 时 发 生,
记 为,A i
i
n
1
。
A
BAB
2 ) 可 列 个 事 件 A A A n1 2,,,, 的 积,
A A A n1 2,,,, 同 时 发 生,
记 为,A i
i?
1
。
5,事件 A 与事件 B 的 差,
若 A 发 生,而 B 不 发 生,
记 为 A － B 。
6,事件 A 与事件 B 互斥 （ 互不相容 ）：
A,B 不 能 同 时 发 生,
记 为,A B =? 。
这 时,A? B = A + B 。
AA -B B
A B
推 广,
有 限 个 事 件 A A A n1 2,,,? 是 互 不 相 容 的 （ 互 斥 ）,
即,A A i j ni j,( )1 ；
这 时,记 A i
i
n
1
= A i
i
n
1
，
即 A i
i
n
1
= A A A n1 2 。
7,事件 A 和事件 B 互逆 （ 对立 ）：
若 A,B 中 有 且 仅 有 一 个 发 生,
即 A? B =?,A B =? 。
A 的 对 立 事 件 记 为 A A,
注 意,对 立? 互 斥互 斥 + 互 补 = 对 立,
A A
8,完 备 事 件 组,
如 果 n 个 事 件 A A A n1 2,,,? 中 至 少 有 一 个 事 件 一 定 发生,
即 A i
i
n
1
=?,
则 称 这 n 个 事 件 构 成 完 备 事 件 组 。
互 不 相 容 的 完 备 事 件 组,
如 果 n 个 事 件 A A A n1 2,,,? 满 足,
（ 1 ） A i
i
n
1
=?,
（ 2 ） A A i j ni j,( )1
注意：
样 本 空 间? 中,所 有 的 基 本 事 件 构 成 互 不 相 容 的 完 备事 件 组 。
1A
2A
3A
4A
5A
nA
例 3：掷骰子，观察掷得的点数。
假设 A表示掷出奇数点，则
B表示掷出点数不超过五点，则 }5,3,1{?A }5,4,3,2,1{?B
BA若 C表示不是偶数，即
},5,3,1{?C 则 CA?
},5,4,3,2,1{?BA? }5,3,1{?BA?
},4,2{ AB
若 D表示不超过 4的偶数点，即 }4,2{?D
则AD
若 E表示掷出的是偶数点，即
,EAEA?
A与 D互斥（互不相容）
A与 E对立（互逆）
B 1 1 2 3? {,,},B 2 4 5? {,},B 3 6? { } 是一个互不相容的完备事件组
}6,4,2{?E
}6{},5{},4{},3{},2{},1{ 是一个互不相容的完备事件组事件间的关系
8,完备事件组互不相容的完备事件组
1,事件 B 包含 事件 A
2,事件 A 与事件 B 相等
3,事件 A 与事件 B 的 和
4,事件 A 与事件 B 的 积
6,事件 A 与事件 B 互斥 （ 互不相容 ）
5,事件 A 与事件 B 的 差
7,事件 A 和事件 B 互逆 （ 对立 ）
（二）事件间的运算
1,交换律,A? B = B? A,
2,结合律,CBACBA )()(?
CBACBA )()(?
3,分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
n
i
i
n
i
i BABA
11
)()(
4,德·摩根律,BABA,BABA
n
i
i
n
i
i AA
11
,
n
i
i
n
i
i AA
11
ABBA
5,对立事件的性质,.,, AAAAAA
n
i
i
n
i
i ABBA
11
)(
事件关系和运算的作用
——将复杂事件化为简单事件。
例 4,射击三枪,A i 表示第 i 枪打中,i? 1 2 3,,
只 击 中 第 一 枪,A A A
1 2 3
只 击 中 一 枪,A A A
1 2 3? A A A1 2 3? A A A1 2 3
三枪都未击中：
321321 AAAAAA
至少击中一枪,
三枪没有都击中,
321 AAA
321321 AAAAAA
例 5,检查产品质量，从一批产品中任取 5 件样品。
A i 表示发现 i 件次品,5,4,3,2,1,0?i,
543210,,,,,AAAAAA 构成互不相容的完备事件组设 B 表 示 发 现 两 件 或 三 件 次 品,B A A2 3
C 表 示 最 多 发 现 两 件 次 品,C A A A0 1 2
D 表 示 至 少 发 现 一 件 次 品,54321 AAAAAD
D A? 0
例 5,电 路 如 图 所 示,A,B,C 分 别 表 示 继 电 器 a,b,
c 闭 合,D 表 示 指 示 灯 亮,问 如 何 用 A,B,C
表 示 D 和 D 。 b
a
c
解,D? A B C( )
D? A B C( )? A B C( )
在某系学生中任选一名,设 A表示被选出的是一名男生,B表示被选出的是一名二年级学生,C表示被选出的是学生会委员,则下列事件的含义是什么?
例题
CAB)1( 被选出的是一名二年级男生,他不是是学生会委员
CA B C?)2(
学生会委员都是二年级男生
AC?)3( 学生会委员都是男生例题
ABBABABA
BA
试证：
都是随机事件。，设证明,BA右边 (德摩根律 )
BAABBA
BA
)()(
BABABABA
左边 BABABA
例题
BABAABBA
CBA
)(
,
试证：
是随机事件。，设证明,ABBA ）（左边
))(( BABA
BBABBAAA
ABBA
右边 ABBA
研究对象,随机现象的统计规律性。
基本概念,随机试验、样本空间、样本点、随机事件及其发生。
特殊事件,必然事件、不可能事件和基本事件。
事件间的关系,包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立（互逆）和完备事件组。
事件间的运算律,交换律、结合律、分配律和德
.摩根律。
返回
研究对象,随机现象的统计规律性。
基本概念,随机试验、样本空间、样本点、随机事件及其发生。
特殊事件,必然事件、不可能事件和基本事件。
返回
事件间的关系,包含、相等、和、积
、互斥（互不相容）、对立（互逆）
和完备事件组。
事件间的运算律,交换律、结合律、
分配律和德,摩根律。
用简单事件将复杂事件表示出来。
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