1.2 概率的定义及性质复习问题：
在 一 次 试 验 中,事 件 发 生 的 可 能 性 究 竟 有 多 大？
1,频 率
( 1 ) 定义,总的试验次数发生的频数
A
n
nAf A
n )(
频率表示事件 A 发生的频繁程度。
( 2 ) 基 本 性 质,
1) 0 1f An ( ) ;
2) f fn n( ),( )1 0 ;
3 ) 若 A A A k1 2,,,? 是两两不相容事件，则
)()()( 121 knnkn AfAfAAAf
1,频 率 有 随 机 波 动 性,即 对 同 样 的 n,f n 不 同 。
2,一般情况下,n 较小,nf 随机波动的幅度较大；随着
n 增大,nf 呈现出稳定性。在上例中，即当 n 逐渐增大时,nf 总是在 0,5 附近摆动，而逐渐稳定于 0,5 。
投掷硬币的实验频率的特点：
5分 国徽结论：频率不能表示事件发生可能性的大小。
注意,n 增大时，由于随机性,f n 的个别值有可能偏离稳定值。
1,2,1 概率 定义 (1) 统计定义：随机试验的样本空间? 对于随机事件 A,赋于一个实数，记为 P A( ),称为事件 A 的概率，如果集合函数 P ( )? 满足下列条件,
用大数定理可以证明：
当n 时,)()( APAf n?,
1) 对于任一事件 A,有 P A( )? 0 。
2) P ( ) 1
3) 设 A A1 2,,? 是两两互不相容的事件，
即对于 i j A A i ji j,,,,,1 2? 则有
P A A P A P A( ) ( ) ( )1 2 1 2
（ 2）几何定义如果试验的样本空间含有无限多个样本点，则可以理解为一个可度量的几何图形，其度量值可以理解为一几何度量（长度、面积、体积等），并且试验的任一随机事件 A发生的概率与表示 A的子区域的几何度量?A成正比，则事件 A发生的概率为的几何度量区域的几何度量区域
AAP A
)(
上式称为概率的几何定义。
这种类型的概率问题称为集合概型。
会面问题两人相约 7时到 8时在某地会面，先到者等候另一人 20分钟，过时就可离去。试求这两人能会面的概率。
解：以 x,y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为 20|| yx
0
60
20
20 60
y
x
则这两人能会面的概率为
9
5
60
4060)(
2
22
AAP
例题：随机地向半圆 240 xxy 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比例，试求该点与原点的连线与 x轴的夹角大于 6/? 的概率。
A
4
y
x0 2
dxxxxS A
3
0
2
3
3
4
6?
3
2
3
4
3
)(
AP
3
43
则所求事件的概率为解：
1.2.2、古典概型复习返回
1,定义：若样本空间? 的元素只有 有限个 ；
每个基本事件发生的 可能性相同,则这种试验称为等可能概型，即古典概型。
2,计 算 公 式,设 样 本 空 间? 中 样 本 点 的 总 数 为 N,
事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 为 M,则事 件 A 发 生 的 概 率 为
P A MN( ) A 所包含的样本点个数样本空间的样本点总数例 1,从 0 ~ 9 十 个 数 字 中 任 意 选 取 一 个 数 字,求,1 )
取 得 偶 数 数 字 的 概 率 ； 2 ) 取 得 能 被 3 整 除 的 数字 的 概 率 。
解,设 A 表 示 取 得 偶 数 数 字,
B 表 示 取 得 被 3 整 除 的 数 字,
则 {,,,,,,,,,},0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
},8,6,4,2,0{?A }9,6,3,0{?B
P A( ) 510 12
即,取 得 偶 数 数 字 的 概 率 为 1 / 2 。
P B( )410 25
即,取 得 能 被 3 整 除 的 数 字 的 概 率 为 2 / 5 。
1
7
0
9
4 62
3
8
5
例 2,三 白 二 黑 共 5 个 球,从 中 任 取 两 个,则 两 个 都 是白 球 的 概 率 。
解,设 A 表示两个都是白球，
样本空间中样本点的总数为 C 52,
事件 A 所包含的样本点个数为 C 32,
P A
C
C
( ) !
! !
3
2
5
2
3
5
2 3
3
10
即：两个都是白球的概率 3 / 1 0 。
返回例 3,一 批 产 品 共 N 个,其 中 M 个 为 次 品,从 中 任 取 n
个 产 品,求 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 。
解,设 A 表 示 恰 有 m 个 次 品,
样本空间中样本点的总数为 nNC,
事件 A 所包含的样本点个数为 C CMm N Mn m,
n
N
mn
MN
m
M
C
CCAP )(
即 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 为.
n
N
mn
MN
m
M
C
CC
超几何分布返回例 4,袋 内 有 a 个 白 球,b 个 黑 球,每 次 从 袋 中 任 取 一个 球,取 出 的 球 不 再 放 回,连 取 k 个 球
（ k a b ）,求 第 k 次 取 得 白 球 的 概 率 。
解,设 A 表示第 k 次取得白球，
样 本 空 间 中 样 本 点 的 总 数 为 A a bk?,
事件 A 所包含的样本点个数为 A Aa a bk1 11,
P A
A A
A
a
a b
a a b
k
a b
k( )
1
1
1
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理返回例 5.生日问题
（ 1）班级中有 n个学 生，
问：没有人同一天生日的概率是多少？至少有两人同一天生日的概率又是多少
？
（ 2）足球场上有 22个运动员和一个教练，
问：没人同一天生日的概率大还是有人同一天生日的概率大
？
返回解,( 1 )设 A 表示生日各不相同，
则 A 表示至少有两人生日相同，
样本空间中样本点的总数为 365 n,
事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 为 A n365,
P A A n
n
n n( )
( )365
365
365 364 365 1
365
P A P A A
n
n( ) ( )1 1 365
365
1 365 364 365 1365? ( )nn
\;5 0 6 9.0)(,23 APn;8 1 4 2.0)(,35 APn
n P A40 0 891,( ),;
n P A50 0 970,( ),;
n P A64 0 997,( ),;
n P A100 0 9999997,( ),
（ 2）
即足球场上 23个有人同一天生日的概率略大于没有人同一天生日的概率。
返回
1.2.3概率论的公理化体系返回
( 1 ) 概率的统计定义,n 时,f A P An ( ) ( )?
问 题,在 什 么 意 义 下,f A P An ( ) ( )?？
( 2 ) 概 率 的 古 典 定 义,P A n
n
A( )?
不 能 保 证,等 可 能 性,。问 题,
( 3 ) 概 率 的 公 理 化 定 义,
设 试 验 的 样 本 空 间 为?,随 机 事 件 A 是? 的 子 集,
P A( ) 是 实 值 函 数,如 果 满 足 下 述 三 条 公 理,
公理 1,（ 非负性 ）P A( )? 0
公理 2,（ 规范性 ）P ( ) 1
公理 3,（ 有限可加性 ）
对于有限个互不相容的事件 A A A k1 2,,,?,有
P A P Ai
i
k
i
i
k
1 1
( )
公理?3 （ 完全可加性 ）
对 于 可 数 无 穷 多 个 互 不 相 容 的 事 件A A A k1 2,,,,
有
P A P Ai
i
i
i?
1 1
( )
则 称 P A( ) 为 随 机 事 件 A 的 概 率 。返回
( 2 ) 性质：
1) P ( ) 0
2) A A A n1 2,,? 是两两互不相容的事件，则有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
4 ) P A( )? 1
5 ) P A P A( ) ( )1
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
推论,)()()( ABPBPABP
2 )
P A P A Ai
i
n
i j n
i j( ) ( )
,1 1
( ) ( )1 1 1 2n nP A A A?
P A A A n( )1 2
推 广,1 )
P A A P A A P A A( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3
P A A A( )1 2 3
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
1) P ( ) 0
证明,设 A nn,,,1 2?,,则
A n
n
,
1
P A P P Pn
n
( ) ( ) ( ) ( ),
1
P ( ) 0
P ( ) 0
2 ) A A A n1 2,,? 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则 有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
证 明,设 A i n ni,,,1 2?,则
1 1 1
,)(
n
n
i
n
i
iin AAA
P A P An i
in
n
( ) ( )?
11
P A P A P A Pn( ) ( ) ( ) ( )1 2
P A P A P A n( ) ( ) ( )1 2?
P A A A P A P A P A
n n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
证 明,B A B A A B A( ),( )且由性质 2 ）：
P B P A B A P A P B A( ) ( ( )) ( ) ( )
P B A P B P A( ) ( ) ( )
P B A( ) 0
P B P A( ) ( ) 0
即 P B P A( ) ( )?
AB
B-A
=B -AB推论,)()()( ABPBPABP
证 明,ABBAB
BAB?
)()()()( ABPBPABBPABP
A
5 ) P A P A( ) ( )1A
A
证 明,A A A A,
P P A A P A P A( ) ( ) ( ) ( )? 1
P A P A( ) ( )1
4 ) P A( )? 1
证 明,? A,
P A P( ) ( )? 1
P ( ) 1
BB-AB
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
证 明,P A B( )?
))(( ABBAP
)()()( ABPBPAP
)()( ABBPAP
例 7,设 A 与 B 为两个随机事件,P A( ) = 0,4,
P A B( )? = 0,7,当 A,B 互不相容时，求 P B( ) 。
解,P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
A,B 互不相容
0)()( PABP
又 P A( ) = 0,4,P A B( )? = 0,7
P B P A B P A P AB( ) ( ) ( ) ( )
0 7 0 4 0.,
03.
例 8,设 A,B 为随机事件，已知 P A( ) = 0,7,P B( ) = 0,5,
P A B( )? = 0,3,求 P AB( ) 和 P B A( )?,
解,AB A?,A B A AB
则
)()()( BAPAPABP
)()()( ABPBPABP0 5 0 4 0 1.,,
)()()()( ABPAPABAPBAP
0 7 0 3 0 4.,,
A BAB
课堂练习
1,已 知 P ( A ) = 0,4,P ( B ) = 0,3,P ( A B? ) = 0,6,求
P ( A B ) 。
2,已 知 事 件 A 和 B 满 足 条 件 P ( A B ) = P ( A B ),且
P ( A ) = p,求 P ( B ) 。
BA
ABA
BA
B
1.06.03.04.0
)()()()(
BAPBPAPABP?
3.01.04.0)()(
)()()(
ABPAP
ABAPBAPBAP
)()()()(1
)(1)()(
ABPABPBPAP
BAPBAPBAP
0)()(1 BPAP pAPBP 1)(1)( 返回
1,频 率
( 1 ) 定义,总的试验次数发生的频数
A
n
nAf A
n )(
频率表示事件 A 发生的频繁程度。
( 2 ) 基 本 性 质,
1) 0 1f An ( ) ;
2) f fn n( ),( )1 0 ;
3 ) 若 A A A k1 2,,,? 是两两不相容事件，则
)()()( 121 knnkn AfAfAAAf
2,概 率
(1) 定义：随机试验的样本空间? 对于随机事件 A,
赋于一个实数，记为 P A( ),称为事件 A 的概率，如果集合函数 P ( )? 满足下列条件：
1) 对于任一事件 A,有 P A( )? 0 。
2) P ( ) 1
3) 设 A A1 2,,? 是两两互不相容的事件，
即对于 i j A A i ji j,,,,,1 2? 则有
P A A P A P A( ) ( ) ( )1 2 1 2
( 2 ) 性质：
1) P ( ) 0
2) A A A n1 2,,? 是两两互不相容的事件，则有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
4 ) P A( )? 1
5 ) P A P A( ) ( )1
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
推论,)()()( ABPBPABP
2 )
P A P A Ai
i
n
i j n
i j( ) ( )
,1 1
( ) ( )1 1 1 2n nP A A A?
P A A A n( )1 2
推 广,1 )
P A A P A A P A A( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3
P A A A( )1 2 3
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
返回
在 一 次 试 验 中,事 件 发 生 的 可 能 性 究 竟 有 多 大？
1,频 率
( 1 ) 定义,总的试验次数发生的频数
A
n
nAf A
n )(
频率表示事件 A 发生的频繁程度。
( 2 ) 基 本 性 质,
1) 0 1f An ( ) ;
2) f fn n( ),( )1 0 ;
3 ) 若 A A A k1 2,,,? 是两两不相容事件，则
)()()( 121 knnkn AfAfAAAf
1,频 率 有 随 机 波 动 性,即 对 同 样 的 n,f n 不 同 。
2,一般情况下,n 较小,nf 随机波动的幅度较大；随着
n 增大,nf 呈现出稳定性。在上例中，即当 n 逐渐增大时,nf 总是在 0,5 附近摆动，而逐渐稳定于 0,5 。
投掷硬币的实验频率的特点：
5分 国徽结论：频率不能表示事件发生可能性的大小。
注意,n 增大时，由于随机性,f n 的个别值有可能偏离稳定值。
1,2,1 概率 定义 (1) 统计定义：随机试验的样本空间? 对于随机事件 A,赋于一个实数，记为 P A( ),称为事件 A 的概率，如果集合函数 P ( )? 满足下列条件,
用大数定理可以证明：
当n 时,)()( APAf n?,
1) 对于任一事件 A,有 P A( )? 0 。
2) P ( ) 1
3) 设 A A1 2,,? 是两两互不相容的事件，
即对于 i j A A i ji j,,,,,1 2? 则有
P A A P A P A( ) ( ) ( )1 2 1 2
（ 2）几何定义如果试验的样本空间含有无限多个样本点，则可以理解为一个可度量的几何图形，其度量值可以理解为一几何度量（长度、面积、体积等），并且试验的任一随机事件 A发生的概率与表示 A的子区域的几何度量?A成正比，则事件 A发生的概率为的几何度量区域的几何度量区域
AAP A
)(
上式称为概率的几何定义。
这种类型的概率问题称为集合概型。
会面问题两人相约 7时到 8时在某地会面，先到者等候另一人 20分钟，过时就可离去。试求这两人能会面的概率。
解：以 x,y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为 20|| yx
0
60
20
20 60
y
x
则这两人能会面的概率为
9
5
60
4060)(
2
22
AAP
例题：随机地向半圆 240 xxy 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比例，试求该点与原点的连线与 x轴的夹角大于 6/? 的概率。
A
4
y
x0 2
dxxxxS A
3
0
2
3
3
4
6?
3
2
3
4
3
)(
AP
3
43
则所求事件的概率为解：
1.2.2、古典概型复习返回
1,定义：若样本空间? 的元素只有 有限个 ；
每个基本事件发生的 可能性相同,则这种试验称为等可能概型，即古典概型。
2,计 算 公 式,设 样 本 空 间? 中 样 本 点 的 总 数 为 N,
事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 为 M,则事 件 A 发 生 的 概 率 为
P A MN( ) A 所包含的样本点个数样本空间的样本点总数例 1,从 0 ~ 9 十 个 数 字 中 任 意 选 取 一 个 数 字,求,1 )
取 得 偶 数 数 字 的 概 率 ； 2 ) 取 得 能 被 3 整 除 的 数字 的 概 率 。
解,设 A 表 示 取 得 偶 数 数 字,
B 表 示 取 得 被 3 整 除 的 数 字,
则 {,,,,,,,,,},0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
},8,6,4,2,0{?A }9,6,3,0{?B
P A( ) 510 12
即,取 得 偶 数 数 字 的 概 率 为 1 / 2 。
P B( )410 25
即,取 得 能 被 3 整 除 的 数 字 的 概 率 为 2 / 5 。
1
7
0
9
4 62
3
8
5
例 2,三 白 二 黑 共 5 个 球,从 中 任 取 两 个,则 两 个 都 是白 球 的 概 率 。
解,设 A 表示两个都是白球，
样本空间中样本点的总数为 C 52,
事件 A 所包含的样本点个数为 C 32,
P A
C
C
( ) !
! !
3
2
5
2
3
5
2 3
3
10
即：两个都是白球的概率 3 / 1 0 。
返回例 3,一 批 产 品 共 N 个,其 中 M 个 为 次 品,从 中 任 取 n
个 产 品,求 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 。
解,设 A 表 示 恰 有 m 个 次 品,
样本空间中样本点的总数为 nNC,
事件 A 所包含的样本点个数为 C CMm N Mn m,
n
N
mn
MN
m
M
C
CCAP )(
即 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 为.
n
N
mn
MN
m
M
C
CC
超几何分布返回例 4,袋 内 有 a 个 白 球,b 个 黑 球,每 次 从 袋 中 任 取 一个 球,取 出 的 球 不 再 放 回,连 取 k 个 球
（ k a b ）,求 第 k 次 取 得 白 球 的 概 率 。
解,设 A 表示第 k 次取得白球，
样 本 空 间 中 样 本 点 的 总 数 为 A a bk?,
事件 A 所包含的样本点个数为 A Aa a bk1 11,
P A
A A
A
a
a b
a a b
k
a b
k( )
1
1
1
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理返回例 5.生日问题
（ 1）班级中有 n个学 生，
问：没有人同一天生日的概率是多少？至少有两人同一天生日的概率又是多少
？
（ 2）足球场上有 22个运动员和一个教练，
问：没人同一天生日的概率大还是有人同一天生日的概率大
？
返回解,( 1 )设 A 表示生日各不相同，
则 A 表示至少有两人生日相同，
样本空间中样本点的总数为 365 n,
事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 为 A n365,
P A A n
n
n n( )
( )365
365
365 364 365 1
365
P A P A A
n
n( ) ( )1 1 365
365
1 365 364 365 1365? ( )nn
\;5 0 6 9.0)(,23 APn;8 1 4 2.0)(,35 APn
n P A40 0 891,( ),;
n P A50 0 970,( ),;
n P A64 0 997,( ),;
n P A100 0 9999997,( ),
（ 2）
即足球场上 23个有人同一天生日的概率略大于没有人同一天生日的概率。
返回
1.2.3概率论的公理化体系返回
( 1 ) 概率的统计定义,n 时,f A P An ( ) ( )?
问 题,在 什 么 意 义 下,f A P An ( ) ( )?？
( 2 ) 概 率 的 古 典 定 义,P A n
n
A( )?
不 能 保 证,等 可 能 性,。问 题,
( 3 ) 概 率 的 公 理 化 定 义,
设 试 验 的 样 本 空 间 为?,随 机 事 件 A 是? 的 子 集,
P A( ) 是 实 值 函 数,如 果 满 足 下 述 三 条 公 理,
公理 1,（ 非负性 ）P A( )? 0
公理 2,（ 规范性 ）P ( ) 1
公理 3,（ 有限可加性 ）
对于有限个互不相容的事件 A A A k1 2,,,?,有
P A P Ai
i
k
i
i
k
1 1
( )
公理?3 （ 完全可加性 ）
对 于 可 数 无 穷 多 个 互 不 相 容 的 事 件A A A k1 2,,,,
有
P A P Ai
i
i
i?
1 1
( )
则 称 P A( ) 为 随 机 事 件 A 的 概 率 。返回
( 2 ) 性质：
1) P ( ) 0
2) A A A n1 2,,? 是两两互不相容的事件，则有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
4 ) P A( )? 1
5 ) P A P A( ) ( )1
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
推论,)()()( ABPBPABP
2 )
P A P A Ai
i
n
i j n
i j( ) ( )
,1 1
( ) ( )1 1 1 2n nP A A A?
P A A A n( )1 2
推 广,1 )
P A A P A A P A A( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3
P A A A( )1 2 3
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
1) P ( ) 0
证明,设 A nn,,,1 2?,,则
A n
n
,
1
P A P P Pn
n
( ) ( ) ( ) ( ),
1
P ( ) 0
P ( ) 0
2 ) A A A n1 2,,? 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则 有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
证 明,设 A i n ni,,,1 2?,则
1 1 1
,)(
n
n
i
n
i
iin AAA
P A P An i
in
n
( ) ( )?
11
P A P A P A Pn( ) ( ) ( ) ( )1 2
P A P A P A n( ) ( ) ( )1 2?
P A A A P A P A P A
n n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
证 明,B A B A A B A( ),( )且由性质 2 ）：
P B P A B A P A P B A( ) ( ( )) ( ) ( )
P B A P B P A( ) ( ) ( )
P B A( ) 0
P B P A( ) ( ) 0
即 P B P A( ) ( )?
AB
B-A
=B -AB推论,)()()( ABPBPABP
证 明,ABBAB
BAB?
)()()()( ABPBPABBPABP
A
5 ) P A P A( ) ( )1A
A
证 明,A A A A,
P P A A P A P A( ) ( ) ( ) ( )? 1
P A P A( ) ( )1
4 ) P A( )? 1
证 明,? A,
P A P( ) ( )? 1
P ( ) 1
BB-AB
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
证 明,P A B( )?
))(( ABBAP
)()()( ABPBPAP
)()( ABBPAP
例 7,设 A 与 B 为两个随机事件,P A( ) = 0,4,
P A B( )? = 0,7,当 A,B 互不相容时，求 P B( ) 。
解,P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
A,B 互不相容
0)()( PABP
又 P A( ) = 0,4,P A B( )? = 0,7
P B P A B P A P AB( ) ( ) ( ) ( )
0 7 0 4 0.,
03.
例 8,设 A,B 为随机事件，已知 P A( ) = 0,7,P B( ) = 0,5,
P A B( )? = 0,3,求 P AB( ) 和 P B A( )?,
解,AB A?,A B A AB
则
)()()( BAPAPABP
)()()( ABPBPABP0 5 0 4 0 1.,,
)()()()( ABPAPABAPBAP
0 7 0 3 0 4.,,
A BAB
课堂练习
1,已 知 P ( A ) = 0,4,P ( B ) = 0,3,P ( A B? ) = 0,6,求
P ( A B ) 。
2,已 知 事 件 A 和 B 满 足 条 件 P ( A B ) = P ( A B ),且
P ( A ) = p,求 P ( B ) 。
BA
ABA
BA
B
1.06.03.04.0
)()()()(
BAPBPAPABP?
3.01.04.0)()(
)()()(
ABPAP
ABAPBAPBAP
)()()()(1
)(1)()(
ABPABPBPAP
BAPBAPBAP
0)()(1 BPAP pAPBP 1)(1)( 返回
1,频 率
( 1 ) 定义,总的试验次数发生的频数
A
n
nAf A
n )(
频率表示事件 A 发生的频繁程度。
( 2 ) 基 本 性 质,
1) 0 1f An ( ) ;
2) f fn n( ),( )1 0 ;
3 ) 若 A A A k1 2,,,? 是两两不相容事件，则
)()()( 121 knnkn AfAfAAAf
2,概 率
(1) 定义：随机试验的样本空间? 对于随机事件 A,
赋于一个实数，记为 P A( ),称为事件 A 的概率，如果集合函数 P ( )? 满足下列条件：
1) 对于任一事件 A,有 P A( )? 0 。
2) P ( ) 1
3) 设 A A1 2,,? 是两两互不相容的事件，
即对于 i j A A i ji j,,,,,1 2? 则有
P A A P A P A( ) ( ) ( )1 2 1 2
( 2 ) 性质：
1) P ( ) 0
2) A A A n1 2,,? 是两两互不相容的事件，则有
P A A A P A P A P An n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
3) 设 BA?,则 )()()( APBPABP 且
)()( APBP? 。
4 ) P A( )? 1
5 ) P A P A( ) ( )1
6) P A B P A P B P AB( ) ( ) ( ) ( )
推论,)()()( ABPBPABP
2 )
P A P A Ai
i
n
i j n
i j( ) ( )
,1 1
( ) ( )1 1 1 2n nP A A A?
P A A A n( )1 2
推 广,1 )
P A A P A A P A A( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 3
P A A A( )1 2 3
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3
返回
