2.2.2、离散型随机变量及其分布列
1,离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布(1) 定义：离散型随机变量的统计规律：
P X x p kk k( ),, 1 2,?
称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
其中,p k 满足如下条件：
( 2 ) 分 布 律 的 表 格 形 式,
X x
1 x 2? x n?
p k p 1 p 2? p n?
p kk0 1 2,,,?,
p k
k
1,
图形特点：右连续，台阶形
F x( )
1
p
k
k
i
1
p p
1 2
p
1
x
1 0
x
2
x
3
x
i
x
i? 1
x
n
x
如需分布函数 F(x) 的表达式时，应注意 F(x) 是区间函数的特点，即
而用图形表示时，可利用阶梯状分布函数的跃度等于此点概率的特点
（即 ）
进行绘制。
xkx
kpxF )(
)0()()( kkkk xFxFpxp?
★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它的分布函数。
,1
,
,
,
,0
)(
21
321
21
1
n
ppp
ppp
pp
p
xF
n
xx
xxx
xxx
xxx
xx
43
32
21
1
xx
i
i
xXPxXPxF }{}{)(
nipxXP ii,,2,1,}{例如,
例 2,随机变量 X 的分布律为
X -1 2 3
p k 0,2 5 0,5 0,2 5
求 X 的 分 布 函 数,并 求 P X{ },?
1
2
P X{ },
3
2
5
2
P X{ }2 3 。
解,X 的分布函数为
F x( )
,
.,
.,
,
0
0 25
0 75
1
3
32
21
1
x
x
x
x
P X P X{ } { },,12 1 0 25
P X P X{ } { },,32 52 2 0 5
例 3,袋 中 有 2 个 白 球,3 个 黑 球,每 次 从 中 任 取 一 球,
直 到 取 到 白 球 为 止,求 取 球 次 数 的 概 率 分 布 。 ( 分放 回 和 不 放 回 两 种 情 形 讨 论,）
解,( 1 ) 放 回设 X 为取到白球时的取球次数，
这种分布称为几何分布。
显 然,P X m
m m
m
( )
1 1
12
5
3
5
2 5
1 3 5
1
则 X? 1 2,,?
,5352)3(
2
XP
,
5
2)1(XP
,
5
3
5
2)2(XP
,
5
3
5
2)( 1?
m
mXP,m? 1 2,,?
几何级数
P Y( ),,1 25 0 4
显 然,P Y m
m
( ),,,,
1
4
0 4 0 3 0 2 0 1 1
(2 ) 不放回设 Y 为取到白球时的取球次数,4,3,2,1?Y,则
P Y( ),,2
3
5
2
4 0 3
P Y( ),,3 35 24 23 0 2
P Y( ),,4 35 24 13 22 0 1
Y
P
1 2 3 4
0.4 0.3 0.2 0.1
2.2.3、连续型随机变量及密度函数
4,连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度
1) 定义,如果对于随机变量? 的分布函数
F x( )
存在非负函数 )( xp,使对于任意实数
x x R,?,有?
x dttpxF )()(,则称? 为连续型随机变量,其中 )( xp 称为? 的概率密度。
2 ) 概 率 密 度 的 性 质,
(1) 0)(?xp ;
(2) 1)( dxxp ;
(3)
2
1
)()()(}{ 1221 xx dxxpxFxFxXxP,
其中密度函数的规范性是一个非常有用的性质，它不仅可用于求密度函数表达式中的待定常数，更多的可用于简化概率计算中有关积分的运算过程例 已知随机变量 的密度函数 为试求常数 c及分布函数
ab
c
abcdxcdxxp
baxc
xp
b
a
1
)()(1
,
,0
),(,
)(
故
＝
解：利用规范性其他
3,连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数
1) 定义：设? 是一个随机变量,x 是任意实数，函数
}{)( xPxF 称为随机变量? 的分布函数。
2) 求概率 的 密度 计算 公式,
结论：对任意的两个实数 x x R x x1 2 1 2,,,有
)()(}{ 1221 xFxFxXxP
即,概率等于分布函数 的差等于 密度 函数 的 积分 。
[ }{}{ 12 xXxX,
}{}{}{ 1221 xXPxXPxXxP
2
1
)()()(
12
x
x
dttpxFxF
]
(1) 比较，则 dx 可以与 相对应
(2)从图形上看 不一定连续，也不局限于 [0,1]间，但
以极限观点看在 处，它必定为 0 。
(3)随机变量取一点值的概率等于 0；
（ 4）由 求 F(x)可通过积分公式 来计算
c）由 F(x)求,可通过求导法进行；在计算时如存在不可导点,可以在可导开区间上先行求导找
而对不可导点（注：这种点往往不多），则可以任意指定 的值。该法成立的理由是概率论中 的作用主要涉及概率（或积分），而个别点处 值的改变不会影响积分值。
)(x?
k,)(x? kp
)(x?
)(x?
x dxxxF )()(?
)(x?
)(x?
)(x?
)(x?
即 X 落在区间 ],( xxx 上的概率近似地等于
xxp)(,
若 )( xp 在点 x 处连续，则 )()( xpxF,F (x)
必连续，但不一定处处可导。
即
x
xFxxF
xp
x
)()(
lim)(
0
x
xxXxP
x?
)(
lim
0
当? x? 0 时,xxFxxxxXxP )()()(?
例 5,随机变量 X 的分布函数为
Rx
Rx
R
x
x
xF
,1
0,
0,0
)(
2
2
，
求 X 的概率密度。
解,?
其它,0
0,
2
)( 2 RxR
x
x?
注 意,x R? 时,左 导 数 为
2
R
,右 导 数 为 0,所 以,
F x( ) 在 x R? 不 可 导,现 规 定? ( ) ( )R F R 0 。
即,? ( )x 在 x R? 间 断,( 密 度 函 数 f x( ) 不 一 定 连续 。 )
( 1 ) 均 匀 分 布 U a b(,) ( U n i f o r m d i s t r i b u t i o n )
a,定义
0 x
( )x
1
b a?
a b
称 X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,
的 概 率 密 度 密 度 为
其它,0
,
1
)(
bxa
abxp
记为 X U a b~ (,) 。
常用连续型随机变量的分布
b,意义
a b
F x( )
0 x
1
X 具有下述意义的等可能性，即 X 落在 (,)a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话说，它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。
即(,) (,),c c l a b
P c X c l x dx
l
b ac
c l
{ } ( )
F x
x a
x a
b a
a x b
x b
( )
,
,
,
0
1
c,应用：
1) 读刻度器上读数时，把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差,
2) 每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停靠站上，乘客候车的时间,
例 9,秒 表 的 最 小 刻 度 差 为 0,2 秒,如 果 计 时 的 精 确 度是 取 最 近 的 刻 度 值,求 使 用 该 秒 表 计 时 产 生 的 随机 误 差 的 概 率 分 布,并 计 算 误 差 的 绝 对 值 不 超 过
0,0 5 秒 的 概 率 。
解：设随机误差 X 可能取得区间 (- 0,1,0,1 ) 内的任一值，并在此区间内服从均匀分布，则 X 的密度函数为
1.0||,0
1.0||,5
)(
x
x
x?
0-0.2 0.2-0.1 0.1
P X dx(| |,),.
.
0 05 5 0 5
0 05
0 05
即误差的绝对值不超过 0,05 秒的概率为 0,5 。
例 1 0,设 电 阻 值 R 是 一 个 随 机 变 量,均 匀 分 布 在 9 0 0?
~ 1 1 0 0? 。 求 R 的 概 率 密 度 及 R 落 在
9 5 0? ~ 1 0 5 0? 的 概 率 。 ( )
,
,
r
r
1
1100 900
900 1100
0 其它
1
200
900 1100
0
,
,
r
其它
P R dr{ },950 1050
1
200
0 5
950
1050
解,R 的概率密度为
R 落在 950? ~ 1 0 5 0? 的概率为例 6,设 随 机 变 量 X 具 有 概 率 密 度 为
( )
,
,
x
ke x
x
x
3
0
0 0,
试 确 定 常 数 k,并 求 P X(,)? 0 1 及 F x( ) 。解,(1) ( )x dx?
1,
ke dx
x3
0
1,
k e x
1
3
13
0,k 3,
即? ( )
,
,x
e x
x
x
3 0
0 0
3
(2) P X x dx e dx
x(,) ( )
..
0 1 3
3
0 10 1
e x3
0 1
0 7408
.
.
( 3 ) 当 x? 0 时,F x dxx( ) 0 0
一般，随机变量 X 的分布密度为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
，
0,则称 X 为指数分布，记为 e ( )? 。
（常用在产品的寿命）
当 x? 0 时,F x dx e dxxx( )0 30 30e ex x x3 0 31
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
3
( 2 ) 指 数 分 布 e ( )? ( E x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n )
a,定 义若 随 机 变 量 X 的 分 布 密 度 为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
, 0,
则 这 种 分 布 叫 做 指 数 分 布,称 随 机 变 量
X
服 从 参 数为? 的 指 数 分 布,记 为 X e~ ( )? 。 其 分 布 函 数 为
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
密度函数和分布函数的图形：
( )x F x( )
1
0
x
0
x
b,应 用,寿 命,某 种 服 务 的 等 待 时 间 （ 如 银 行 取 款,
售 票 处 买 票 等 ） 。
例 1 1,已 知 某 种 电 子 管 的 寿 命 X 服 从 指 数 分 布,密 度函 数 为
( )
,
,
x
e x
x
x
1
1000
0
0 0
1000
求 这 种 电 子 管 能 使 用 1 0 0 0 小 时 以 上 的 概 率 。
解,P X x dx( ) ( )
1000
1000
1
1000
1000
1000
e dx
x
e e
x
1000
1000
1
0 368.
2009-7-27
随机变量的分布函数全面 反映随机变量的统计特征
随机变量的数字特征反映随机变量 局部 但重要特征
内容,数学期望,方差,原点矩和中心矩
2009-7-27
2.3 数学期望
2009-7-27
1,随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量? 的分布律为
X x
1
x
2
x
i
p k p 1 p 2? p i?
若级数 x p
i
i
i
1
绝对收敛，则称级数 x p
i
i
i
1
的和为随机变量? 的数学期望,
记为 )(?E 或?E 。
即 )(?E = x pi
i
i
1
。
2009-7-27
例 1,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
试评定他们的成绩的好坏。
解,8.18.022.01001EX
5.01.023.016.002EX
即乙的成绩远不如甲的成绩。
甲 乙
1,两点分布 （,0 — 1,分布）
证明：若 X 的分布律为
P X x p p xx x( ) ( ),,1 0 11,
[ 证 ] E X( ) = 0 1 1( )p p = p,
则 E X( ) = p,
5分 国徽
2009-7-27
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试验中所得随机变量的观测值的算术平均值 （称为样本平均值）有密切的关系。
设进行 n 次独立试验，得到随机变量 X 的统计分布如下,X x
1 x 2? x l 总计频数 m 1 m 2? m l n
频率? ( )x 1? ( )x 2 ( )x l 1
2009-7-27
计算随机变量 X 的样本平均值：
与期望 E X( ) = x pi
i
i
1
比较上式中，只是用频率? ( )x i 代替了概率 p i
已知，当试验次数很大时，事件 X x i? 的频率? ( )x i 在对应的概率 p i 附近摆动，所以，当试验次数很大时，
随机变量 X 的样本平均值 x 将在随机变量 X 的数学期望 E X( ) 附近摆动。
x
x m x m x m
n
l l
1 1 2 2
l
i
ii
mx
n 1
1
或者,x x
m
n
x
m
n
x
m
n
i
l
1
1
2
2
x x x x x x
l l1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x xi
i
l
i
1
( )
2009-7-27
例 2,按规定，某车站每天 8,0 0 ~ 9,0 0,9,0 0 ~ 1 0,0 0 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为到站时间 8,1 0
9,1 0
8,3 0
9,3 0
8,5 0
9,5 0
概率 1 / 6 3 / 6 2 / 6
(1 ) 一旅客 8,0 0 到车站，求他候车时间的数学期望,
(2 ) 一旅客 8,2 0 到车站，求他候车时间的数学期望,
解：设旅客的候车时间为 X 分钟，( 1) X 的分布律为
X 10 30 50
p k 1/ 6 3/ 6 2/ 6
候车时间的数学期望为
E X( ),10 16 30 36 50 26 33 33 （分钟）
( 2 ) X 的分布律为
X 10 30 50 70 90
p
k 3
6
2
6
1
6
1
6
3
6
1
6
2
6
1
6
36
290
36
370
36
150
6
230
6
310)(XE
27 22,（分钟）
2,连续随机变量的数学期望数学期望简称为 期望,又称为 均值 。
期望是分布密度曲线与 X 轴之间的平面图形的重心的横坐标。
定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为? ( )x,若积分 x x dx? ( )
绝对收敛 （即 | | ( )x x dx?
存在），则称积分 x x dx? ( )
的值为随机变量 X
的数学期望。记为 E X( ) 或 EX 。即
E X( ) = x x dx? ( ) 。
几何意义：
1,均匀分布则 EX a
b
x
b a
dx
1
1
2
2
( )b a
x
a
b
b a
b a
2 2
2 ( )
a b
2
已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
.2),,(~ baEXbaUX则若例 3,设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为
( )
( )
,x
x
x?
1
1 2
求数学期望 EX 。
解,EX x x dx
1
1 2? ( )
0
2
2
01
1
2
1
x
x
dx xl n ( ) 发散
| |x
x
dx
1
2 发散，即
x
x
dx
1
2 不绝对收敛。
EX 不存在。
例 8,连续型随机变量 X 的概率密度函数为
( )
,
,
x
Ax e x
x
k x
2
1
2
0
0 0
其中,k 为正整数。求系数 A 的值,
及 期望 E X 。
,122
2
kA
k
2
2
1
2 k
A k
.
k
t e dt
k
t
2
2
1
0
令 x t? 2,则 A t e dt
k k
t 2 2 12 1 2 1
0
解, ( )x dx Ax e dx
k x
2 1 2
0
1
连续型随机变量 X 的概率密度函数为
0,0
0,
2
2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
k
x
xk
k
称随机变量 X 服从自由度为 k 的卡方分布，记为 X k~ ( )? 2 。
函 数,? ( ),
x e dxx1
0
0? 函 数 的 性 质,( ) ( )1
( ) !n n1
( )
1
2
.
)
2
(
)
2
(
2
2
)
2
(
)
2
2
(
2)
2
2
(2
)
2
(2
1
)
2
2
(2
)
2
(2
1
)
2
(2
1
)()(
)
2
(2
1
)
2
(2
1
)(
2
2
2
2
2
0
2
1
2
2
0
2
1
2
2
2
2
1
2
0
2
0
22
1
2
0
2
1
2
0
2
n
n
nn
n
n
n
n
E
n
dxex
dxex
n
dxex
n
xdxxxpdxxxpE
n
dxex
dxex
n
dxxp
n
n
nxn
xn
n
xn
n
nxn
xn
n
＝
＋
＝
＋
＝
故
＋
＝而又因为即
＋
＋
数学期望是综合了”取值”与”概率”两方面特性的一种加权均值,
注意
(1) ∑为绝对收敛（相应的积分则为绝对可积）
(EX值与 x 的取值前后次序关系无关 )
(2)随机变量的期望不一定存在,
(期望存在时 X与 EX的量纲（或单位）相同 )。
(3)把 EX合在一起，理解为均值 ；
(E的实质是积分运算符 )。
(4)表达式中的积分，当 F(x)可导时可理解为普通的
Riemann积分
(在一般时可理解为所谓的 Riemann- Stieljes积分 )。
随机变量函数的数学期望及关于数学期望的定理随机变量的期望
)()( xx d FdxxxpE?
)()( xdFxfEf ）（
随机变量函数的期望
1,随机变量 Y 是随机变量 X 的函数,Y f X? ( )
1) 随机变量 X 是离散的，
则 EY f x pk k
k
n
( )
1
分布律为 P X x pk k( ),k n? 1 2,,,,
则 EY f x pk k
k
( )
1
.
分布律为 P X x pk k( ),k n? 1 2,,,?
例 4,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
求 Y Xi i2 1,和 Z Xi i?
2
(,)i? 1 2 的数学期望。
解,E Y( ) ( ),,,1 1 0 1 0 2 3 0 8 2 6
E Y( ) ( ),,,2 1 0 6 1 0 3 3 0 1 0
E Z( ),,,1 0 0 1 0 2 4 0 8 3 4
E Z( ),,,,2 0 0 6 1 0 3 4 0 1 0 7
2) 随机变量 X 是连续的，密度函数为? ( )x,
定义：若 | ( )| ( )f x x dx 收敛，则
EY Ef X f x x dx( ) ( ) ( )?
是随机变量 Y 的数学期望。a)原先例 5,已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
则 EX
2
a
b
x
b a
dx
2
1
1
3
3
( )b a
x
a
b
a ab b
2 2
3
2,关于期望的定理定理 1,Ec c?
定理 2,E X c EX c( )
定理 3,E cX c E X( )?
定理 4,E a bX a b E X( )
)()()()(
)()(
5
EgEfgfE
gf
则期望都存在；或分段连续函数，对应的连续都是随机变量、
定理
)()(
)()(
6
EgEf
gf
则期望都存在；或分段连续函数，对应的连续都是随机变量定理
1,离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布(1) 定义：离散型随机变量的统计规律：
P X x p kk k( ),, 1 2,?
称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
其中,p k 满足如下条件：
( 2 ) 分 布 律 的 表 格 形 式,
X x
1 x 2? x n?
p k p 1 p 2? p n?
p kk0 1 2,,,?,
p k
k
1,
图形特点：右连续，台阶形
F x( )
1
p
k
k
i
1
p p
1 2
p
1
x
1 0
x
2
x
3
x
i
x
i? 1
x
n
x
如需分布函数 F(x) 的表达式时，应注意 F(x) 是区间函数的特点，即
而用图形表示时，可利用阶梯状分布函数的跃度等于此点概率的特点
（即 ）
进行绘制。
xkx
kpxF )(
)0()()( kkkk xFxFpxp?
★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它的分布函数。
,1
,
,
,
,0
)(
21
321
21
1
n
ppp
ppp
pp
p
xF
n
xx
xxx
xxx
xxx
xx
43
32
21
1
xx
i
i
xXPxXPxF }{}{)(
nipxXP ii,,2,1,}{例如,
例 2,随机变量 X 的分布律为
X -1 2 3
p k 0,2 5 0,5 0,2 5
求 X 的 分 布 函 数,并 求 P X{ },?
1
2
P X{ },
3
2
5
2
P X{ }2 3 。
解,X 的分布函数为
F x( )
,
.,
.,
,
0
0 25
0 75
1
3
32
21
1
x
x
x
x
P X P X{ } { },,12 1 0 25
P X P X{ } { },,32 52 2 0 5
例 3,袋 中 有 2 个 白 球,3 个 黑 球,每 次 从 中 任 取 一 球,
直 到 取 到 白 球 为 止,求 取 球 次 数 的 概 率 分 布 。 ( 分放 回 和 不 放 回 两 种 情 形 讨 论,）
解,( 1 ) 放 回设 X 为取到白球时的取球次数，
这种分布称为几何分布。
显 然,P X m
m m
m
( )
1 1
12
5
3
5
2 5
1 3 5
1
则 X? 1 2,,?
,5352)3(
2
XP
,
5
2)1(XP
,
5
3
5
2)2(XP
,
5
3
5
2)( 1?
m
mXP,m? 1 2,,?
几何级数
P Y( ),,1 25 0 4
显 然,P Y m
m
( ),,,,
1
4
0 4 0 3 0 2 0 1 1
(2 ) 不放回设 Y 为取到白球时的取球次数,4,3,2,1?Y,则
P Y( ),,2
3
5
2
4 0 3
P Y( ),,3 35 24 23 0 2
P Y( ),,4 35 24 13 22 0 1
Y
P
1 2 3 4
0.4 0.3 0.2 0.1
2.2.3、连续型随机变量及密度函数
4,连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度
1) 定义,如果对于随机变量? 的分布函数
F x( )
存在非负函数 )( xp,使对于任意实数
x x R,?,有?
x dttpxF )()(,则称? 为连续型随机变量,其中 )( xp 称为? 的概率密度。
2 ) 概 率 密 度 的 性 质,
(1) 0)(?xp ;
(2) 1)( dxxp ;
(3)
2
1
)()()(}{ 1221 xx dxxpxFxFxXxP,
其中密度函数的规范性是一个非常有用的性质，它不仅可用于求密度函数表达式中的待定常数，更多的可用于简化概率计算中有关积分的运算过程例 已知随机变量 的密度函数 为试求常数 c及分布函数
ab
c
abcdxcdxxp
baxc
xp
b
a
1
)()(1
,
,0
),(,
)(
故
＝
解：利用规范性其他
3,连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数
1) 定义：设? 是一个随机变量,x 是任意实数，函数
}{)( xPxF 称为随机变量? 的分布函数。
2) 求概率 的 密度 计算 公式,
结论：对任意的两个实数 x x R x x1 2 1 2,,,有
)()(}{ 1221 xFxFxXxP
即,概率等于分布函数 的差等于 密度 函数 的 积分 。
[ }{}{ 12 xXxX,
}{}{}{ 1221 xXPxXPxXxP
2
1
)()()(
12
x
x
dttpxFxF
]
(1) 比较，则 dx 可以与 相对应
(2)从图形上看 不一定连续，也不局限于 [0,1]间，但
以极限观点看在 处，它必定为 0 。
(3)随机变量取一点值的概率等于 0；
（ 4）由 求 F(x)可通过积分公式 来计算
c）由 F(x)求,可通过求导法进行；在计算时如存在不可导点,可以在可导开区间上先行求导找
而对不可导点（注：这种点往往不多），则可以任意指定 的值。该法成立的理由是概率论中 的作用主要涉及概率（或积分），而个别点处 值的改变不会影响积分值。
)(x?
k,)(x? kp
)(x?
)(x?
x dxxxF )()(?
)(x?
)(x?
)(x?
)(x?
即 X 落在区间 ],( xxx 上的概率近似地等于
xxp)(,
若 )( xp 在点 x 处连续，则 )()( xpxF,F (x)
必连续，但不一定处处可导。
即
x
xFxxF
xp
x
)()(
lim)(
0
x
xxXxP
x?
)(
lim
0
当? x? 0 时,xxFxxxxXxP )()()(?
例 5,随机变量 X 的分布函数为
Rx
Rx
R
x
x
xF
,1
0,
0,0
)(
2
2
，
求 X 的概率密度。
解,?
其它,0
0,
2
)( 2 RxR
x
x?
注 意,x R? 时,左 导 数 为
2
R
,右 导 数 为 0,所 以,
F x( ) 在 x R? 不 可 导,现 规 定? ( ) ( )R F R 0 。
即,? ( )x 在 x R? 间 断,( 密 度 函 数 f x( ) 不 一 定 连续 。 )
( 1 ) 均 匀 分 布 U a b(,) ( U n i f o r m d i s t r i b u t i o n )
a,定义
0 x
( )x
1
b a?
a b
称 X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,
的 概 率 密 度 密 度 为
其它,0
,
1
)(
bxa
abxp
记为 X U a b~ (,) 。
常用连续型随机变量的分布
b,意义
a b
F x( )
0 x
1
X 具有下述意义的等可能性，即 X 落在 (,)a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话说，它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。
即(,) (,),c c l a b
P c X c l x dx
l
b ac
c l
{ } ( )
F x
x a
x a
b a
a x b
x b
( )
,
,
,
0
1
c,应用：
1) 读刻度器上读数时，把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差,
2) 每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停靠站上，乘客候车的时间,
例 9,秒 表 的 最 小 刻 度 差 为 0,2 秒,如 果 计 时 的 精 确 度是 取 最 近 的 刻 度 值,求 使 用 该 秒 表 计 时 产 生 的 随机 误 差 的 概 率 分 布,并 计 算 误 差 的 绝 对 值 不 超 过
0,0 5 秒 的 概 率 。
解：设随机误差 X 可能取得区间 (- 0,1,0,1 ) 内的任一值，并在此区间内服从均匀分布，则 X 的密度函数为
1.0||,0
1.0||,5
)(
x
x
x?
0-0.2 0.2-0.1 0.1
P X dx(| |,),.
.
0 05 5 0 5
0 05
0 05
即误差的绝对值不超过 0,05 秒的概率为 0,5 。
例 1 0,设 电 阻 值 R 是 一 个 随 机 变 量,均 匀 分 布 在 9 0 0?
~ 1 1 0 0? 。 求 R 的 概 率 密 度 及 R 落 在
9 5 0? ~ 1 0 5 0? 的 概 率 。 ( )
,
,
r
r
1
1100 900
900 1100
0 其它
1
200
900 1100
0
,
,
r
其它
P R dr{ },950 1050
1
200
0 5
950
1050
解,R 的概率密度为
R 落在 950? ~ 1 0 5 0? 的概率为例 6,设 随 机 变 量 X 具 有 概 率 密 度 为
( )
,
,
x
ke x
x
x
3
0
0 0,
试 确 定 常 数 k,并 求 P X(,)? 0 1 及 F x( ) 。解,(1) ( )x dx?
1,
ke dx
x3
0
1,
k e x
1
3
13
0,k 3,
即? ( )
,
,x
e x
x
x
3 0
0 0
3
(2) P X x dx e dx
x(,) ( )
..
0 1 3
3
0 10 1
e x3
0 1
0 7408
.
.
( 3 ) 当 x? 0 时,F x dxx( ) 0 0
一般，随机变量 X 的分布密度为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
，
0,则称 X 为指数分布，记为 e ( )? 。
（常用在产品的寿命）
当 x? 0 时,F x dx e dxxx( )0 30 30e ex x x3 0 31
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
3
( 2 ) 指 数 分 布 e ( )? ( E x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n )
a,定 义若 随 机 变 量 X 的 分 布 密 度 为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
, 0,
则 这 种 分 布 叫 做 指 数 分 布,称 随 机 变 量
X
服 从 参 数为? 的 指 数 分 布,记 为 X e~ ( )? 。 其 分 布 函 数 为
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
密度函数和分布函数的图形：
( )x F x( )
1
0
x
0
x
b,应 用,寿 命,某 种 服 务 的 等 待 时 间 （ 如 银 行 取 款,
售 票 处 买 票 等 ） 。
例 1 1,已 知 某 种 电 子 管 的 寿 命 X 服 从 指 数 分 布,密 度函 数 为
( )
,
,
x
e x
x
x
1
1000
0
0 0
1000
求 这 种 电 子 管 能 使 用 1 0 0 0 小 时 以 上 的 概 率 。
解,P X x dx( ) ( )
1000
1000
1
1000
1000
1000
e dx
x
e e
x
1000
1000
1
0 368.
2009-7-27
随机变量的分布函数全面 反映随机变量的统计特征
随机变量的数字特征反映随机变量 局部 但重要特征
内容,数学期望,方差,原点矩和中心矩
2009-7-27
2.3 数学期望
2009-7-27
1,随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量? 的分布律为
X x
1
x
2
x
i
p k p 1 p 2? p i?
若级数 x p
i
i
i
1
绝对收敛，则称级数 x p
i
i
i
1
的和为随机变量? 的数学期望,
记为 )(?E 或?E 。
即 )(?E = x pi
i
i
1
。
2009-7-27
例 1,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
试评定他们的成绩的好坏。
解,8.18.022.01001EX
5.01.023.016.002EX
即乙的成绩远不如甲的成绩。
甲 乙
1,两点分布 （,0 — 1,分布）
证明：若 X 的分布律为
P X x p p xx x( ) ( ),,1 0 11,
[ 证 ] E X( ) = 0 1 1( )p p = p,
则 E X( ) = p,
5分 国徽
2009-7-27
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试验中所得随机变量的观测值的算术平均值 （称为样本平均值）有密切的关系。
设进行 n 次独立试验，得到随机变量 X 的统计分布如下,X x
1 x 2? x l 总计频数 m 1 m 2? m l n
频率? ( )x 1? ( )x 2 ( )x l 1
2009-7-27
计算随机变量 X 的样本平均值：
与期望 E X( ) = x pi
i
i
1
比较上式中，只是用频率? ( )x i 代替了概率 p i
已知，当试验次数很大时，事件 X x i? 的频率? ( )x i 在对应的概率 p i 附近摆动，所以，当试验次数很大时，
随机变量 X 的样本平均值 x 将在随机变量 X 的数学期望 E X( ) 附近摆动。
x
x m x m x m
n
l l
1 1 2 2
l
i
ii
mx
n 1
1
或者,x x
m
n
x
m
n
x
m
n
i
l
1
1
2
2
x x x x x x
l l1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x xi
i
l
i
1
( )
2009-7-27
例 2,按规定，某车站每天 8,0 0 ~ 9,0 0,9,0 0 ~ 1 0,0 0 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为到站时间 8,1 0
9,1 0
8,3 0
9,3 0
8,5 0
9,5 0
概率 1 / 6 3 / 6 2 / 6
(1 ) 一旅客 8,0 0 到车站，求他候车时间的数学期望,
(2 ) 一旅客 8,2 0 到车站，求他候车时间的数学期望,
解：设旅客的候车时间为 X 分钟，( 1) X 的分布律为
X 10 30 50
p k 1/ 6 3/ 6 2/ 6
候车时间的数学期望为
E X( ),10 16 30 36 50 26 33 33 （分钟）
( 2 ) X 的分布律为
X 10 30 50 70 90
p
k 3
6
2
6
1
6
1
6
3
6
1
6
2
6
1
6
36
290
36
370
36
150
6
230
6
310)(XE
27 22,（分钟）
2,连续随机变量的数学期望数学期望简称为 期望,又称为 均值 。
期望是分布密度曲线与 X 轴之间的平面图形的重心的横坐标。
定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为? ( )x,若积分 x x dx? ( )
绝对收敛 （即 | | ( )x x dx?
存在），则称积分 x x dx? ( )
的值为随机变量 X
的数学期望。记为 E X( ) 或 EX 。即
E X( ) = x x dx? ( ) 。
几何意义：
1,均匀分布则 EX a
b
x
b a
dx
1
1
2
2
( )b a
x
a
b
b a
b a
2 2
2 ( )
a b
2
已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
.2),,(~ baEXbaUX则若例 3,设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为
( )
( )
,x
x
x?
1
1 2
求数学期望 EX 。
解,EX x x dx
1
1 2? ( )
0
2
2
01
1
2
1
x
x
dx xl n ( ) 发散
| |x
x
dx
1
2 发散，即
x
x
dx
1
2 不绝对收敛。
EX 不存在。
例 8,连续型随机变量 X 的概率密度函数为
( )
,
,
x
Ax e x
x
k x
2
1
2
0
0 0
其中,k 为正整数。求系数 A 的值,
及 期望 E X 。
,122
2
kA
k
2
2
1
2 k
A k
.
k
t e dt
k
t
2
2
1
0
令 x t? 2,则 A t e dt
k k
t 2 2 12 1 2 1
0
解, ( )x dx Ax e dx
k x
2 1 2
0
1
连续型随机变量 X 的概率密度函数为
0,0
0,
2
2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
k
x
xk
k
称随机变量 X 服从自由度为 k 的卡方分布，记为 X k~ ( )? 2 。
函 数,? ( ),
x e dxx1
0
0? 函 数 的 性 质,( ) ( )1
( ) !n n1
( )
1
2
.
)
2
(
)
2
(
2
2
)
2
(
)
2
2
(
2)
2
2
(2
)
2
(2
1
)
2
2
(2
)
2
(2
1
)
2
(2
1
)()(
)
2
(2
1
)
2
(2
1
)(
2
2
2
2
2
0
2
1
2
2
0
2
1
2
2
2
2
1
2
0
2
0
22
1
2
0
2
1
2
0
2
n
n
nn
n
n
n
n
E
n
dxex
dxex
n
dxex
n
xdxxxpdxxxpE
n
dxex
dxex
n
dxxp
n
n
nxn
xn
n
xn
n
nxn
xn
n
＝
＋
＝
＋
＝
故
＋
＝而又因为即
＋
＋
数学期望是综合了”取值”与”概率”两方面特性的一种加权均值,
注意
(1) ∑为绝对收敛（相应的积分则为绝对可积）
(EX值与 x 的取值前后次序关系无关 )
(2)随机变量的期望不一定存在,
(期望存在时 X与 EX的量纲（或单位）相同 )。
(3)把 EX合在一起，理解为均值 ；
(E的实质是积分运算符 )。
(4)表达式中的积分，当 F(x)可导时可理解为普通的
Riemann积分
(在一般时可理解为所谓的 Riemann- Stieljes积分 )。
随机变量函数的数学期望及关于数学期望的定理随机变量的期望
)()( xx d FdxxxpE?
)()( xdFxfEf ）（
随机变量函数的期望
1,随机变量 Y 是随机变量 X 的函数,Y f X? ( )
1) 随机变量 X 是离散的，
则 EY f x pk k
k
n
( )
1
分布律为 P X x pk k( ),k n? 1 2,,,,
则 EY f x pk k
k
( )
1
.
分布律为 P X x pk k( ),k n? 1 2,,,?
例 4,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
求 Y Xi i2 1,和 Z Xi i?
2
(,)i? 1 2 的数学期望。
解,E Y( ) ( ),,,1 1 0 1 0 2 3 0 8 2 6
E Y( ) ( ),,,2 1 0 6 1 0 3 3 0 1 0
E Z( ),,,1 0 0 1 0 2 4 0 8 3 4
E Z( ),,,,2 0 0 6 1 0 3 4 0 1 0 7
2) 随机变量 X 是连续的，密度函数为? ( )x,
定义：若 | ( )| ( )f x x dx 收敛，则
EY Ef X f x x dx( ) ( ) ( )?
是随机变量 Y 的数学期望。a)原先例 5,已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
则 EX
2
a
b
x
b a
dx
2
1
1
3
3
( )b a
x
a
b
a ab b
2 2
3
2,关于期望的定理定理 1,Ec c?
定理 2,E X c EX c( )
定理 3,E cX c E X( )?
定理 4,E a bX a b E X( )
)()()()(
)()(
5
EgEfgfE
gf
则期望都存在；或分段连续函数，对应的连续都是随机变量、
定理
)()(
)()(
6
EgEf
gf
则期望都存在；或分段连续函数，对应的连续都是随机变量定理
