定理 1,设随机变量 X ～ H n M N(,,),则当 N 时，
X 近似地服从二项分布 B n p(,),即
C C
C
M
m
N M
n m
N
n
C p q
n
m m n m?
,
其中，
p
M
N
q p
N M
N
,1
注意：当
n
N
0 1.,不放回抽样与放回抽样无大的差别即,超几何分布可用二项分布来近似。
定理 2,（用泊松分布近似二项分布）
设 X B n p~ (,),当 n 时,X 近似地服从 P ( )?,其中 np,即
C p q
n
m m n m?
m
m
e
!
,
例 6,设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，随机抽取
100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。
(1) 不放回抽样； (2) 放回抽样。
适当（可查表）。，而很小充分大，使用条件,nppn )1.0(?
次品数 X ~ H (,,)100 40 2000
解,( 1 ) 不放回抽样
P X m C CC
m m
( )
40 1960
100
2000
100,m? 0 1 2 40,,,,?
批量 N? 2000 很大,抽样数 n? 100,
P X m C CC
m m
( )
40 1960
100
2000
100
n
N
100
2000 5% 0 1.
所以，可用二项分布来近似超几何分布，即
C p qm m m100 100,m? 0 1 2 40,,,,?,
其中,p
40
2000 0 02.,
( 2 ) 放回抽样
P X m( ) C p qm m m100 100?,m? 0 1 2 100,,,,?,
次品数 X ~ B (,,)100 0 02
p0 02 0 1.,
所以可用泊松分布近似二项分布，
np 100 0 02 2,不是很大
P X m( ) C p qm m m100 100
2 2m
m
e
!,40,,2,1,0m,
正态分布为何如此广泛，从而在概率论中占如此重要的地位？
概率论中，有关论证 随机变量和的极限分布是正态分布 的那些定理。
问题：
中心极限定理
4.1 中心极限定理令n i
i
n
1
，
则 E En i
i
n
i
i
n
1 1
，
D D sn i
i
n
i n
i
n
1
2 2
1
,
再 令?
n n n
n n
i i
i
nE
D s
( )?
1
1
则 E Dn n0 1,
标准化设独立随机变量,,,,21 n,期望和方差都存在，即 iiE,2iiD,,,,2,1 ni?,
林 德 伯 格 定 理 ─ ─ 设 独 立 随 机 变 量1 2,,,,n,
E i i,D i i 2,i n? 1 2,,,,,
若1 2,,,,n 满 足 林 德 伯 格 条件,对 任 何 0,有
n
i sx
ii
nn ni
dxxxs
1 ||
2
2 0)()(
1lim
其 中,? i x( ) 是 随 机 变 量? i 的 概 率 密 度,
则 当 n 时,有
z t
n
n
i
ii
n
dtez
s
P 21
2
2
1
)
)(
(lim
z t
n
n
dtezP 2
2
2
1
)(l i m
,
即设 A i 表示事件?
n
ii
s
||
，即 nii s ||,
则
ni sx
ii dxxAP|| )()(
)()||m a x( 21
1 nn
ii
ni
AAAP
s
P
n
i
sx ii
n
i ni
dxxAP
1
||
1
)()(
（
22
2)(
1
n
i
s
x
）
n
i
sx ii
n ni
dxxx
s 1 ||
2
22
)()(11
0 ( )n
lim ( m a x | | )
n i n
i i
n
P s
1
1
林德伯格定理的意义
P s P s i ni i
n i n
i i
n
( | | ) ( m a x | | ),,,,
1
1 2
lim (
| |
),,,,
n
i i
n
P
s
i n
1 1 2?
又lim (
| | ),,,,
n
i i
n
P
s
i n
1 1 2
lim ( | | ),,,,
n
i i
n
P
s
i n 1 1 2?
即,当 n 时,各
i i
ns
一 致 地 按 概 率 收 敛 于 零 。
假设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和,其中每一个别随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。
意义：
列 维 定 理 （ 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 ）
设 独 立 随 机 变 量1 2,,,,n,服 从 相 同 分 布,且
E i D i 2,i n? 1 2,,,,,
则 当 n 时,有
z t
n
i
i
n
dtez
n
n
P 21
2
2
1
)(l i m
其 中 z 是 任 意 实 数 。
推 论,如 果 随 机 变 量1 2,,,,n 独 立,服 从 相 同 分布,且 E i,D i 2,i n? 1 2,,,,,
则 n 充 分 大 时,有 下 面 的 近 似 公 式,
)()()( 12211 zzz
n
n
zP
n
i
i
其 中,z z1 2,是 任 何 实 数 。
解,设? i 表 示 第 i 个 加 数 的 取 整 误 差,则? i 在 区 间
[ - 0,5,0,5 ] 上 服 从 均 匀 分 布,并 且 有例 2 计 算 机 进 行 加 法 计 算 时,把 每 个 加 数 取 为 最 接 近于 它 的 整 数 来 计 算 。 设 所 有 的 取 整 误 差 是 相 互 独立 的 随 机 变 量,并 且 都 在 区 间 [ - 0,5,0,5 ] 上 服 从 均匀 分 布,求 3 0 0 个 数 相 加 时 误 差 总 和 的 绝 对 值 小于 1 0 的 概 率 。
E i
0 5 0 5
2
0
.,
,即 0
D i
[,(,)]0 5 0 5
12
1
12
2
,i n? 1 2,,,,,即
2 112?,由 列 维 定 理 的 推 论,
P i
i
n
(| | )?
1
10
P
i
i
n
(
| |
)
0
300
1
12
10 0
300
1
12
1
P
i
i
n
(
| |
)
0
300
1
12
21
( ) ( ) ( )2 2 2 2 1
2 0 9772 1 0 9544.,
答,3 0 0 个 数 相 加 时 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于 1 0 的 概 率为 0,9 5 4 4 。
德 莫 威 尔 - 拉 普 拉 斯 定 理,设 在 独 立 试 验 序 列 中,事 件
A 在 各 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为 p p( )0 1,随机 变 量? n 表 示 事 件 A 在 n 次 试 验 中 发 生 的 次 数,
则有其 中 z 是 任 何 实 数,p q 1 。
（ 简 称 D - L 定 理 ）
z
t
n
n
dtez
n p q
npP
2
2
2
1)(lim
说 明,( 1 ) 当 n 充 分 大 时,服 从 二 项 分 布 B n p(,) 的 随机 变 量? n 近 似 地 服 从 正 态 分 布
N np npq(,)
N np npq(,) ；
( 2 ) 当 抽 取 比 例 小 于 1 0 % 时,超 几 何 分 布 用 二项 分 布 来 近 似 ；
( 3 ) 当 次 品 率 小 于 1 0 % 时,二 项 分 布 用 普 松 分布 来 近 似 。
例,某 工 厂 有 2 0 0 台 同 类 型 的 机 器,每 台 机 器 工 作 时需 要 的 电 功 率 为 Q 千 瓦 。 由 于 工 艺 等 原 因,每 台机 器 的 实 际 工 作 时 间 只 占 全 部 工 作 时 间 的 7 5 %,
各 台 机 器 是 否 工 作 是 相 互 独 立 的 。
求,( 1 ) 任 一 时 刻 有 1 4 4 至 1 6 0 台 机 器 正 在 工 作 的概 率 ；
( 2 ) 需 要 供 应 多 少 电 功 率 可 以 保 证 所 有 机 器正 常 工 作 的 概 率 不 小 于 0,9 9？
解,已 知 n p q200 0 75 0 25,.,.
所 以 有 np npq150 37 5,.
( 1 ) 设? 表 示 任 一 时 刻 正 在 工 作 的 机 器 的 台 数,则
P ( )144 160(,) (,)
160 150
37 5
140 150
37 5
=(,) (,)1 63 0 98 =(,) [ (,)]1 63 1 0 98
= 0 9484 1 0 8365,[,] = 0 7849.
所 以,任 一 时 刻 有 1 4 4 至 1 6 0 台 机 器 正 在 工 作的 概 率 为 0 7849,。
( 2 ) 设 任 一 时 刻 正 在 工 作 的 机 器 的 台 数 不 超 过 m,
则 按 题 意 有 P m( ),0 0 99
由 D - L 定 理,(,) (,),
m150
37 5
150
37 5 0 99
因 为(,) (,)
150
37 5 24 5 0
则? (,),
m150
37 5 0 99,而? (,),2 33 0 9901?
“保证所有机器能正常工作”
=“所供电功率能使所有能够工作的机器都可以工作”
所 以
m150
37 5 2 33.,,
由 此 得,m? 164 3.
即 m? 165
所 以,需 要 供 应 165 Q 千 瓦 的 电 功 率 可 以 保 证所 有 机 器 正 常 工 作 的 概 率 不 小 于 0,9 9 。
切 贝 雪 夫 不 等 式,估 计 概 率切贝雪夫定理大数定律 推论 ( 独立同分布 )
伯努利定理 ( 独立同两点分布 )
林德伯格定理中心极限定理 列维定理 ( 独立同分布 )
德莫威尔 - 拉普拉斯定理
( 独立同两点分布 )
总 结小概率事件的实际不可能原理
3? 原理
X 近似地服从二项分布 B n p(,),即
C C
C
M
m
N M
n m
N
n
C p q
n
m m n m?
,
其中，
p
M
N
q p
N M
N
,1
注意：当
n
N
0 1.,不放回抽样与放回抽样无大的差别即,超几何分布可用二项分布来近似。
定理 2,（用泊松分布近似二项分布）
设 X B n p~ (,),当 n 时,X 近似地服从 P ( )?,其中 np,即
C p q
n
m m n m?
m
m
e
!
,
例 6,设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，随机抽取
100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。
(1) 不放回抽样； (2) 放回抽样。
适当（可查表）。，而很小充分大，使用条件,nppn )1.0(?
次品数 X ~ H (,,)100 40 2000
解,( 1 ) 不放回抽样
P X m C CC
m m
( )
40 1960
100
2000
100,m? 0 1 2 40,,,,?
批量 N? 2000 很大,抽样数 n? 100,
P X m C CC
m m
( )
40 1960
100
2000
100
n
N
100
2000 5% 0 1.
所以，可用二项分布来近似超几何分布，即
C p qm m m100 100,m? 0 1 2 40,,,,?,
其中,p
40
2000 0 02.,
( 2 ) 放回抽样
P X m( ) C p qm m m100 100?,m? 0 1 2 100,,,,?,
次品数 X ~ B (,,)100 0 02
p0 02 0 1.,
所以可用泊松分布近似二项分布，
np 100 0 02 2,不是很大
P X m( ) C p qm m m100 100
2 2m
m
e
!,40,,2,1,0m,
正态分布为何如此广泛，从而在概率论中占如此重要的地位？
概率论中，有关论证 随机变量和的极限分布是正态分布 的那些定理。
问题：
中心极限定理
4.1 中心极限定理令n i
i
n
1
，
则 E En i
i
n
i
i
n
1 1
，
D D sn i
i
n
i n
i
n
1
2 2
1
,
再 令?
n n n
n n
i i
i
nE
D s
( )?
1
1
则 E Dn n0 1,
标准化设独立随机变量,,,,21 n,期望和方差都存在，即 iiE,2iiD,,,,2,1 ni?,
林 德 伯 格 定 理 ─ ─ 设 独 立 随 机 变 量1 2,,,,n,
E i i,D i i 2,i n? 1 2,,,,,
若1 2,,,,n 满 足 林 德 伯 格 条件,对 任 何 0,有
n
i sx
ii
nn ni
dxxxs
1 ||
2
2 0)()(
1lim
其 中,? i x( ) 是 随 机 变 量? i 的 概 率 密 度,
则 当 n 时,有
z t
n
n
i
ii
n
dtez
s
P 21
2
2
1
)
)(
(lim
z t
n
n
dtezP 2
2
2
1
)(l i m
,
即设 A i 表示事件?
n
ii
s
||
，即 nii s ||,
则
ni sx
ii dxxAP|| )()(
)()||m a x( 21
1 nn
ii
ni
AAAP
s
P
n
i
sx ii
n
i ni
dxxAP
1
||
1
)()(
（
22
2)(
1
n
i
s
x
）
n
i
sx ii
n ni
dxxx
s 1 ||
2
22
)()(11
0 ( )n
lim ( m a x | | )
n i n
i i
n
P s
1
1
林德伯格定理的意义
P s P s i ni i
n i n
i i
n
( | | ) ( m a x | | ),,,,
1
1 2
lim (
| |
),,,,
n
i i
n
P
s
i n
1 1 2?
又lim (
| | ),,,,
n
i i
n
P
s
i n
1 1 2
lim ( | | ),,,,
n
i i
n
P
s
i n 1 1 2?
即,当 n 时,各
i i
ns
一 致 地 按 概 率 收 敛 于 零 。
假设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和,其中每一个别随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。
意义：
列 维 定 理 （ 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 ）
设 独 立 随 机 变 量1 2,,,,n,服 从 相 同 分 布,且
E i D i 2,i n? 1 2,,,,,
则 当 n 时,有
z t
n
i
i
n
dtez
n
n
P 21
2
2
1
)(l i m
其 中 z 是 任 意 实 数 。
推 论,如 果 随 机 变 量1 2,,,,n 独 立,服 从 相 同 分布,且 E i,D i 2,i n? 1 2,,,,,
则 n 充 分 大 时,有 下 面 的 近 似 公 式,
)()()( 12211 zzz
n
n
zP
n
i
i
其 中,z z1 2,是 任 何 实 数 。
解,设? i 表 示 第 i 个 加 数 的 取 整 误 差,则? i 在 区 间
[ - 0,5,0,5 ] 上 服 从 均 匀 分 布,并 且 有例 2 计 算 机 进 行 加 法 计 算 时,把 每 个 加 数 取 为 最 接 近于 它 的 整 数 来 计 算 。 设 所 有 的 取 整 误 差 是 相 互 独立 的 随 机 变 量,并 且 都 在 区 间 [ - 0,5,0,5 ] 上 服 从 均匀 分 布,求 3 0 0 个 数 相 加 时 误 差 总 和 的 绝 对 值 小于 1 0 的 概 率 。
E i
0 5 0 5
2
0
.,
,即 0
D i
[,(,)]0 5 0 5
12
1
12
2
,i n? 1 2,,,,,即
2 112?,由 列 维 定 理 的 推 论,
P i
i
n
(| | )?
1
10
P
i
i
n
(
| |
)
0
300
1
12
10 0
300
1
12
1
P
i
i
n
(
| |
)
0
300
1
12
21
( ) ( ) ( )2 2 2 2 1
2 0 9772 1 0 9544.,
答,3 0 0 个 数 相 加 时 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于 1 0 的 概 率为 0,9 5 4 4 。
德 莫 威 尔 - 拉 普 拉 斯 定 理,设 在 独 立 试 验 序 列 中,事 件
A 在 各 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为 p p( )0 1,随机 变 量? n 表 示 事 件 A 在 n 次 试 验 中 发 生 的 次 数,
则有其 中 z 是 任 何 实 数,p q 1 。
（ 简 称 D - L 定 理 ）
z
t
n
n
dtez
n p q
npP
2
2
2
1)(lim
说 明,( 1 ) 当 n 充 分 大 时,服 从 二 项 分 布 B n p(,) 的 随机 变 量? n 近 似 地 服 从 正 态 分 布
N np npq(,)
N np npq(,) ；
( 2 ) 当 抽 取 比 例 小 于 1 0 % 时,超 几 何 分 布 用 二项 分 布 来 近 似 ；
( 3 ) 当 次 品 率 小 于 1 0 % 时,二 项 分 布 用 普 松 分布 来 近 似 。
例,某 工 厂 有 2 0 0 台 同 类 型 的 机 器,每 台 机 器 工 作 时需 要 的 电 功 率 为 Q 千 瓦 。 由 于 工 艺 等 原 因,每 台机 器 的 实 际 工 作 时 间 只 占 全 部 工 作 时 间 的 7 5 %,
各 台 机 器 是 否 工 作 是 相 互 独 立 的 。
求,( 1 ) 任 一 时 刻 有 1 4 4 至 1 6 0 台 机 器 正 在 工 作 的概 率 ；
( 2 ) 需 要 供 应 多 少 电 功 率 可 以 保 证 所 有 机 器正 常 工 作 的 概 率 不 小 于 0,9 9？
解,已 知 n p q200 0 75 0 25,.,.
所 以 有 np npq150 37 5,.
( 1 ) 设? 表 示 任 一 时 刻 正 在 工 作 的 机 器 的 台 数,则
P ( )144 160(,) (,)
160 150
37 5
140 150
37 5
=(,) (,)1 63 0 98 =(,) [ (,)]1 63 1 0 98
= 0 9484 1 0 8365,[,] = 0 7849.
所 以,任 一 时 刻 有 1 4 4 至 1 6 0 台 机 器 正 在 工 作的 概 率 为 0 7849,。
( 2 ) 设 任 一 时 刻 正 在 工 作 的 机 器 的 台 数 不 超 过 m,
则 按 题 意 有 P m( ),0 0 99
由 D - L 定 理,(,) (,),
m150
37 5
150
37 5 0 99
因 为(,) (,)
150
37 5 24 5 0
则? (,),
m150
37 5 0 99,而? (,),2 33 0 9901?
“保证所有机器能正常工作”
=“所供电功率能使所有能够工作的机器都可以工作”
所 以
m150
37 5 2 33.,,
由 此 得,m? 164 3.
即 m? 165
所 以,需 要 供 应 165 Q 千 瓦 的 电 功 率 可 以 保 证所 有 机 器 正 常 工 作 的 概 率 不 小 于 0,9 9 。
切 贝 雪 夫 不 等 式,估 计 概 率切贝雪夫定理大数定律 推论 ( 独立同分布 )
伯努利定理 ( 独立同两点分布 )
林德伯格定理中心极限定理 列维定理 ( 独立同分布 )
德莫威尔 - 拉普拉斯定理
( 独立同两点分布 )
总 结小概率事件的实际不可能原理
3? 原理
