4.4 二维随机变量的数字特征
EX x p x yi
ji
i j (,)x p x yi
i
i j
j
(,)
EY y p x yj
ji
i j (,)y p x yj
j
i j
i
(,)
DX x EX p x yi
ji
i j ( ) (,)
2( ) (,)x EX p x y
i
i
i j
j
2
DY y EY p x yj
ji
i j ( ) (,)
2( ) (,)y EY p x y
j
j
i j
i
2
1.离散
)( iX
i
i xpx
)( jY
j
j ypy?
22 )()()( EXXExpEXx iX
i
i
22 )()()( EYYEypEYy jY
j
j
1）期望
2）方差
4.4.1,二维随机变量的期望和方差的定义性质 3.3.1 （线性性质） 设为二维随机向量,a与 b为二个
（确定性）常数，则
),(
为
bEaEbaE )(
性质 3.2.2 若 与 独立，则成立期望乘法公式：
EEE)(
EX x x y d x d y (,)x d x x y dy? (,)
EY y x y d x d y (,)y d y x y dx? (,)
2.连续
dxxx X )(
dyyy Y )(
1）期望
例 3.3.1 在单位长的线段上任取两个点 M和 N，求线段
MN长度的数学期望。
解：设 M和 N的坐标分别为 和,则都服从 U(0,1)，又由于这二点可以任意取，所以相互独立，这样的联合密度为
利用公式（ 3.3.1）,线段 MN长度的数学期望为：
。
其他
10,10,
0
1),( yxyxp
10 110 010 10 ])([])([1 xx dxdyxydxdyyxd x d yyxE
10
2
0
21
0 3
1
22|]2[2 dx
xdxyxy x
定义 3.3.1 以条件分布构成的数学期望（若存在）
称之为条件期望，此时有连续型离散型
),(
),(
,
)|(
)|(
)|(
|
dyxyyP
xyPy
xE j
jj
连续型),(，)|(
离散型),(，)|(
)|(
|
dxyxxP
yxPx
yE i
ii
DX x EX x y d x d y ( ) (,)2?
dyyxdxEXx ),()( 2
22 )()()( EXXEdxxEXx X
2）方差
d xd yyxEYyDY ),()( 2
dxyxdyEYy ),()( 2
22 )()()( EYYEdyyEYy Y
定义 3.3.2 设随机向量 的期望存在，则当由它们构成的矩阵中各个分量的期望也都存在时，
称为 的协方差矩阵，边际分布方差，而称
为的协方差（ Covariance），记为 。
),(
2
2
)())((
))(()(
EEE
EEEEE
E
E
2
2
)())((
))(()(
),(
EEEEE
EEEEE
EE
E
E
E
),(
))(( EEE
),c ov(
)()(),c o v ( EEE
性质 3.3.4 （可交换性）
性质 3.3.5 （线性性质）
),c ov (),c ov (
),c o v (),c o v (),c o v ( baba
性质 3.3.6 若 独立，且它们的协方差存在，则协方差必为 0。
性质 3.3.7 设 与 的方差存在，则
性质 3.3.8 若 相互独立，方差存在，则
。
,
),c ov (2)( DDD
n,,,21?
nn DDD 11 )(
4.4.2,二维随机变量函数的期望和方差设 Z f X Y? (,)
1,离 散,EZ f x y p x yi j i j
ji
(,) (,)
2,连 续,EZ f x y x y d x d y
(,) (,)?
例 3（ P.102）
例 4（ P.102）
例 3（ P.102）
例 4（ P.102）
定 理 1,E X Y EX EY( ),
证 明,1 ） 离 散
E X Y x y p x y
i j
ji
i j
( ) ( ) (,)
x p x y
i
ji
i j
(,) y p x y
j
ji
i j
(,)
EX EY
2 ） 连 续
E X Y x y x y dx dy( ) ( ) (,)
x x y dx dy? (,)?
y x y dx dy? (,)
EX EY
推 论 1,E X EX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
4.4.2,随机变量和的期望例 5（ P.105）超几何分布的数学期望。
例 6（ P.105）信与信封配对数的期望与方差
4.5 矩、协方差与相关系数
4.5.1 阶中心矩阶原点矩与 kk?
4.5.2 协方差与相关系数
,))((,的协方差与为随机变量称定义 EEE
))((),( EEEC o v，即记为 ),(C o v
DC ovDC ov ),(),(,特别，
不相关。与，称的协方差为与若随机变量定义 0:
不相关。与独立，则与若随机变量定理:
证：
，是连续型随机变量），若（
)()(),( yxyx
d x d yyxEyExC o v ),())((),(则
dyyEydxxEx )()()()(
,0)()( EEEE
独立，与
不相关。与即
,不相关与独立与注意：
例,设 (,)X Y 在以原点为中心,r 为半径的圆域 R 上服从均匀分布，二维概率密度为,
(,)
,
,
x y r
x y r
x y r
1
0
2
2 2 2
2 2 2
考察 X 与 Y 之间的独立性。
解,EX x x y dx dy
R
(,)?
r
r
r y
r ydy x
r dx2 2
2 2
2 0
EY y x y dx dy
R
(,)?
r
r
r x
r x
dx y
r
dy2 2
2 2
2 0
K C o v X Y
x EX y EY x y d x d y
XY
(,)
( )( ) (,)?
r y
r y
r
r
xy
r
d x d y
2 2
2 2 1
2
y d y
x
r
dx
r y
r y
r
r
2 2
2 2
2
0
X Y,的 边 缘 分 布 密 度 分 别 为,
X
x
r x
r
x r
x r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
Y
y
r y
r
y r
y r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
(,) ( ) ( )x y x yX Y
因 而,尽 管 K C o v X YXY(,) 0,但 X 与 Y 不 独 立 。
4,1 4 设
n
,,,
21
是任意 n 个随机变量，证明：
nji
ij
n
i
i
n
i
i
KDD
111
2)(,
其中
ij
K 表示随机变量
i
与
j
的相关矩，即
)])([(
jjii
EEEK
；并由此证明：如果
n
,,,
21
相互独立，则有
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( 。
证明,)(
1
n
i
iD? 2
11
)]()[(
n
i
i
n
i
i EE 2
11
)]()[(
n
i
i
n
i
i EE
2
1
)]([ i
n
i
i EE
]))((2)([
1
2
1
nji
jjiii
n
i
i EEEE
nji
jjiii
n
i
i EEEEE
1
2
1
))((2)(
nji
ij
n
i
i KD
11
2?
若 n,,,21? 相互独立，则所有的 0?ijK,
n
i
i
n
i
i DD
11
)(
即一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0,10,0,2 0
和 0,3 0 。假设各部件的状态相互独立，以
X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望 EX 和方差 DX 。
例,
321,,XXX 相互独立，且 321 XXXX
则解：设 iX 表示第 i 部分调整的次数 （ 3,2,1?i ），
即
部分无需调整第，
部分需要调整第
i
i
X i
0
,1
321321 )( EXEXEXXXXEEX
6.03.02.01.0
321321 )( DXDXDXXXXDDX
46.07.03.08.02.09.01.0
例,进行 n 次独立试验，事件 A 在第 i 次试验中发生的概率 p i (,,,,)0 1 1 2p i ni? 。 求事件 A 在 n 次试验中发生次数 X 的数学期望及方差。
解,设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 A 发 生 的 次 数,
则 X i 服从两点分布，设分布律为
X i 0 1
P 1? p
i p i
EX pi i?,DX p pi i i( )1
设
X X
i
i
n
1
,由 于 X X X n1 2,,,? 相 互 独 立,
则
E X EX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
p i
i
n
1
，
D X DX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
p pi i
i
n
( )1
1
.
若 事 件 A 在 第 各 次 试 验 中 发 生 的 概 率 相 同,即
p p p pn1 2,
则 E X EXi
i
n
i
i
n
( )
1 1
p i
i
n
1
np,
D X DXi
i
n
i
i
n
( )
1 1
p pi i
i
n
( )1
1
np p( )1,
这 时,X X i
i
n
1
服 从 二 项 分 布 B n p(,),
注意：尽管 EX EY DX DY,，但 X 与 Y
不是服从同一个分布。
例 1 4,随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为
X
x u
x
ce x
x
u
( )
,
,
c os
0
0 0
随 机 变 量
Y
的 密 度 函 数 为
Y
u x u
y
c x u e x
x
u
( )
( s in( cos )),
,
cos
1 0
0 0
其 中,
0
1
2
u
，
c
u u
u
u
(cos )?
1
1
.
EX EYn n?
但X Yx y( ) ( )?
即 X 与 Y 不 是 服 从 同 一 个 分 布 。
协方差的性质
EEEC o v),()1(
))((),( EEEC o v
)( EEEEE
EEEEEEE
EEE
),( C o vEEE推论：
证：
EEE不相关，则与若推论：
EEE独立，则与若推论：
n
i
i
n
i
in EE
11
1, ）（相互独立，则若推论,?
),(2)()2( C o vDDD
2)]()[()( EED
2)]()[( EEE
)])((2)()[( 22 EEEEE
))((2)()( 22 EEEEEEE
),(2 C o vDD
证：
DDD )(不相关，则与若推论：
DDD )(独立，则与若推论：
n
i
i
n
i
in DD
11
1 )(, 相互独立，则若推论,?
),(),()4( a c C o vdcbaC o v
证：
),(
))(()]() ] [([
))() ) (((
),(
a c C o v
EEa c EEcEaE
dcEdcbaEbaE
dcbaC o v
),(),(),()5( 2121 C ovC ovC ov
证：
)) ] (([),( 212121 EEEC ov
)) ] (()[( 2211 EEEE
))(())(( 2211 EEEEEE
),(),( 21 C o vC o v
),(),()3( C o vC o v?
),(
))(())((),(
C o v
EEEEEEC o v
证：
DDD
EEE
C o v
)()4(
)3(
0),(2
1
）（
不相关与）（
下列命题是等价的。与定理：对随机变量与不相关等价的命题相关系数定义：
的相关系数，记为与为随机变量称
DD
C ov ),(
DD
C ov ),(?即是无量纲的量。
D
E
D
EC ov ****,),( 其中，结论：
))((),( ******
D
E
D
EEEEEC ov
DD
EEE ))((
证：
DDC o v?),(
DDEEE推论：
DDDDD 2)(,推论
23,2
1),16,0(~),9,1(~.3
NN设例
。的相关系数与求 )2(;,)1(,DE
定 理 1,任 意 两 个 随 机 变 量 的 相 关 系 数 的 绝 对 值 不 大于 一,即 | |r XY? 1,
证 明,设 Z X Y
* *
DZ D X Y DX DY K
X Y
( )
* * * *
* *2
2 2 r
XY
2 1( )r
XY
0,
1? r XY? 0,1 1r XY,即 | |r XY? 1,
相关系数的性质定 理 2,当 且 仅 当 随 机 变 量 X 与 Y 之 间 存 在 线 性 关 系,
即 Y a bX 时,它 们 的 相 关 系 数 的 绝 对 值 等于 一,并 且
r
b
b
XY
1 0
1 0
,
,
当当,
证 明,( 1 ) 必 要 性,设 Y a bX,证 明 r XY 1,
EY a b EX,DY b DX?
2
,DY b DX? | |
K E X EX Y EYXY( )( )
E X EX a bX a bE X( )( )
bE X EX( )
2
b D X
r
K
DX DY
XY
XY
b D X
DX b DX
b
b| | | |
.
当 b? 0 时,r XY? 1 ； 当 b? 0 时,r XY 1,
( 2 ) 充 分 性,设
r
XY
1
,证 明 Y a bX
(,,)a s
.
DZ D X Y r
XY
( ) ( )
* *
2 1
当
r
XY
1
时,
DZ D X Y( )
* *
0
.
即
Z EZ a s? (,,)
而 当
r
XY
1
时,
EZ E X Y EX EY( ),
* * * *
0
当
r
XY
1
时,
Z X Y a s
* *
,(,,)? 0
即
X EX
DX
Y EY
DY
a s
0 (,,)
整 理 得,
Y a bX a s (,,)
其 中,
a EY
DY
DX
EX
，
b
DY
DX
.
注 意,随 机 变 量 的 相 关 系 数 实 质 上 只 是 表 示 随 机 变 量之 间 的 线 性 相 关 性 。 随 机 变 量 之 间 的 线 性 相 关性 就 是,当 一 个 变 量 增 大 时 另 一 变 量 有 按 线 性关 系 增 大 （ 当 b? 0 ） 或 减 小 （ 当 b? 0 ） 的 趋势 。 当 相 关 系 数 愈 接 近 1 或 - 1 时,这 种 趋 势 就愈 明 显 。
定 理 3,独 立 随 机 变 量 的 相 关 系 数 等 于 零,即 如 果 X 与
Y 独 立,则 r XY? 0,
注 意,逆 命 题 不 成 立 。
即,不 能 从 r XY? 0 推 出 X 与 Y 独 立 。
例 1 5,设 X N~ (,)0 1,显 然,EX? 0
设 Y X?
2
,显 然,X 与 Y 不 独 立,
然 而,由 于 E XY E X E X EX( ) ( ) ( )
3 3
0,
（ 前 面 在 讲 中 心 矩 的 时 候 已 经 证 明,服 从 正 态分 布 的 随 机 变 量 的 奇 数 阶 中 心 矩 为 零 。 ）
因 此,K EXY EX EY EYXY0 0 0
r
K
DX DY
XY
XY
0
.
二维正态分布独立与不相关等价
EX x p x yi
ji
i j (,)x p x yi
i
i j
j
(,)
EY y p x yj
ji
i j (,)y p x yj
j
i j
i
(,)
DX x EX p x yi
ji
i j ( ) (,)
2( ) (,)x EX p x y
i
i
i j
j
2
DY y EY p x yj
ji
i j ( ) (,)
2( ) (,)y EY p x y
j
j
i j
i
2
1.离散
)( iX
i
i xpx
)( jY
j
j ypy?
22 )()()( EXXExpEXx iX
i
i
22 )()()( EYYEypEYy jY
j
j
1）期望
2）方差
4.4.1,二维随机变量的期望和方差的定义性质 3.3.1 （线性性质） 设为二维随机向量,a与 b为二个
（确定性）常数，则
),(
为
bEaEbaE )(
性质 3.2.2 若 与 独立，则成立期望乘法公式：
EEE)(
EX x x y d x d y (,)x d x x y dy? (,)
EY y x y d x d y (,)y d y x y dx? (,)
2.连续
dxxx X )(
dyyy Y )(
1）期望
例 3.3.1 在单位长的线段上任取两个点 M和 N，求线段
MN长度的数学期望。
解：设 M和 N的坐标分别为 和,则都服从 U(0,1)，又由于这二点可以任意取，所以相互独立，这样的联合密度为
利用公式（ 3.3.1）,线段 MN长度的数学期望为：
。
其他
10,10,
0
1),( yxyxp
10 110 010 10 ])([])([1 xx dxdyxydxdyyxd x d yyxE
10
2
0
21
0 3
1
22|]2[2 dx
xdxyxy x
定义 3.3.1 以条件分布构成的数学期望（若存在）
称之为条件期望，此时有连续型离散型
),(
),(
,
)|(
)|(
)|(
|
dyxyyP
xyPy
xE j
jj
连续型),(，)|(
离散型),(，)|(
)|(
|
dxyxxP
yxPx
yE i
ii
DX x EX x y d x d y ( ) (,)2?
dyyxdxEXx ),()( 2
22 )()()( EXXEdxxEXx X
2）方差
d xd yyxEYyDY ),()( 2
dxyxdyEYy ),()( 2
22 )()()( EYYEdyyEYy Y
定义 3.3.2 设随机向量 的期望存在，则当由它们构成的矩阵中各个分量的期望也都存在时，
称为 的协方差矩阵，边际分布方差，而称
为的协方差（ Covariance），记为 。
),(
2
2
)())((
))(()(
EEE
EEEEE
E
E
2
2
)())((
))(()(
),(
EEEEE
EEEEE
EE
E
E
E
),(
))(( EEE
),c ov(
)()(),c o v ( EEE
性质 3.3.4 （可交换性）
性质 3.3.5 （线性性质）
),c ov (),c ov (
),c o v (),c o v (),c o v ( baba
性质 3.3.6 若 独立，且它们的协方差存在，则协方差必为 0。
性质 3.3.7 设 与 的方差存在，则
性质 3.3.8 若 相互独立，方差存在，则
。
,
),c ov (2)( DDD
n,,,21?
nn DDD 11 )(
4.4.2,二维随机变量函数的期望和方差设 Z f X Y? (,)
1,离 散,EZ f x y p x yi j i j
ji
(,) (,)
2,连 续,EZ f x y x y d x d y
(,) (,)?
例 3（ P.102）
例 4（ P.102）
例 3（ P.102）
例 4（ P.102）
定 理 1,E X Y EX EY( ),
证 明,1 ） 离 散
E X Y x y p x y
i j
ji
i j
( ) ( ) (,)
x p x y
i
ji
i j
(,) y p x y
j
ji
i j
(,)
EX EY
2 ） 连 续
E X Y x y x y dx dy( ) ( ) (,)
x x y dx dy? (,)?
y x y dx dy? (,)
EX EY
推 论 1,E X EX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
4.4.2,随机变量和的期望例 5（ P.105）超几何分布的数学期望。
例 6（ P.105）信与信封配对数的期望与方差
4.5 矩、协方差与相关系数
4.5.1 阶中心矩阶原点矩与 kk?
4.5.2 协方差与相关系数
,))((,的协方差与为随机变量称定义 EEE
))((),( EEEC o v，即记为 ),(C o v
DC ovDC ov ),(),(,特别，
不相关。与，称的协方差为与若随机变量定义 0:
不相关。与独立，则与若随机变量定理:
证：
，是连续型随机变量），若（
)()(),( yxyx
d x d yyxEyExC o v ),())((),(则
dyyEydxxEx )()()()(
,0)()( EEEE
独立，与
不相关。与即
,不相关与独立与注意：
例,设 (,)X Y 在以原点为中心,r 为半径的圆域 R 上服从均匀分布，二维概率密度为,
(,)
,
,
x y r
x y r
x y r
1
0
2
2 2 2
2 2 2
考察 X 与 Y 之间的独立性。
解,EX x x y dx dy
R
(,)?
r
r
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2 2
2 0
EY y x y dx dy
R
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r
r
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2 2
2 0
K C o v X Y
x EX y EY x y d x d y
XY
(,)
( )( ) (,)?
r y
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r
r
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2 2
2 2 1
2
y d y
x
r
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2 2
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2
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X Y,的 边 缘 分 布 密 度 分 别 为,
X
x
r x
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,| |
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2 2
2
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y
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,| |
,| |
2
0
2 2
2
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因 而,尽 管 K C o v X YXY(,) 0,但 X 与 Y 不 独 立 。
4,1 4 设
n
,,,
21
是任意 n 个随机变量，证明：
nji
ij
n
i
i
n
i
i
KDD
111
2)(,
其中
ij
K 表示随机变量
i
与
j
的相关矩，即
)])([(
jjii
EEEK
；并由此证明：如果
n
,,,
21
相互独立，则有
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( 。
证明,)(
1
n
i
iD? 2
11
)]()[(
n
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i EE 2
11
)]()[(
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i
i
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2
1
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1
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nji
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n
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n
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1
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nji
ij
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11
2?
若 n,,,21? 相互独立，则所有的 0?ijK,
n
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n
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11
)(
即一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0,10,0,2 0
和 0,3 0 。假设各部件的状态相互独立，以
X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望 EX 和方差 DX 。
例,
321,,XXX 相互独立，且 321 XXXX
则解：设 iX 表示第 i 部分调整的次数 （ 3,2,1?i ），
即
部分无需调整第，
部分需要调整第
i
i
X i
0
,1
321321 )( EXEXEXXXXEEX
6.03.02.01.0
321321 )( DXDXDXXXXDDX
46.07.03.08.02.09.01.0
例,进行 n 次独立试验，事件 A 在第 i 次试验中发生的概率 p i (,,,,)0 1 1 2p i ni? 。 求事件 A 在 n 次试验中发生次数 X 的数学期望及方差。
解,设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 A 发 生 的 次 数,
则 X i 服从两点分布，设分布律为
X i 0 1
P 1? p
i p i
EX pi i?,DX p pi i i( )1
设
X X
i
i
n
1
,由 于 X X X n1 2,,,? 相 互 独 立,
则
E X EX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
p i
i
n
1
，
D X DX
i
i
n
i
i
n
( )
1 1
p pi i
i
n
( )1
1
.
若 事 件 A 在 第 各 次 试 验 中 发 生 的 概 率 相 同,即
p p p pn1 2,
则 E X EXi
i
n
i
i
n
( )
1 1
p i
i
n
1
np,
D X DXi
i
n
i
i
n
( )
1 1
p pi i
i
n
( )1
1
np p( )1,
这 时,X X i
i
n
1
服 从 二 项 分 布 B n p(,),
注意：尽管 EX EY DX DY,，但 X 与 Y
不是服从同一个分布。
例 1 4,随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为
X
x u
x
ce x
x
u
( )
,
,
c os
0
0 0
随 机 变 量
Y
的 密 度 函 数 为
Y
u x u
y
c x u e x
x
u
( )
( s in( cos )),
,
cos
1 0
0 0
其 中,
0
1
2
u
，
c
u u
u
u
(cos )?
1
1
.
EX EYn n?
但X Yx y( ) ( )?
即 X 与 Y 不 是 服 从 同 一 个 分 布 。
协方差的性质
EEEC o v),()1(
))((),( EEEC o v
)( EEEEE
EEEEEEE
EEE
),( C o vEEE推论：
证：
EEE不相关，则与若推论：
EEE独立，则与若推论：
n
i
i
n
i
in EE
11
1, ）（相互独立，则若推论,?
),(2)()2( C o vDDD
2)]()[()( EED
2)]()[( EEE
)])((2)()[( 22 EEEEE
))((2)()( 22 EEEEEEE
),(2 C o vDD
证：
DDD )(不相关，则与若推论：
DDD )(独立，则与若推论：
n
i
i
n
i
in DD
11
1 )(, 相互独立，则若推论,?
),(),()4( a c C o vdcbaC o v
证：
),(
))(()]() ] [([
))() ) (((
),(
a c C o v
EEa c EEcEaE
dcEdcbaEbaE
dcbaC o v
),(),(),()5( 2121 C ovC ovC ov
证：
)) ] (([),( 212121 EEEC ov
)) ] (()[( 2211 EEEE
))(())(( 2211 EEEEEE
),(),( 21 C o vC o v
),(),()3( C o vC o v?
),(
))(())((),(
C o v
EEEEEEC o v
证：
DDD
EEE
C o v
)()4(
)3(
0),(2
1
）（
不相关与）（
下列命题是等价的。与定理：对随机变量与不相关等价的命题相关系数定义：
的相关系数，记为与为随机变量称
DD
C ov ),(
DD
C ov ),(?即是无量纲的量。
D
E
D
EC ov ****,),( 其中，结论：
))((),( ******
D
E
D
EEEEEC ov
DD
EEE ))((
证：
DDC o v?),(
DDEEE推论：
DDDDD 2)(,推论
23,2
1),16,0(~),9,1(~.3
NN设例
。的相关系数与求 )2(;,)1(,DE
定 理 1,任 意 两 个 随 机 变 量 的 相 关 系 数 的 绝 对 值 不 大于 一,即 | |r XY? 1,
证 明,设 Z X Y
* *
DZ D X Y DX DY K
X Y
( )
* * * *
* *2
2 2 r
XY
2 1( )r
XY
0,
1? r XY? 0,1 1r XY,即 | |r XY? 1,
相关系数的性质定 理 2,当 且 仅 当 随 机 变 量 X 与 Y 之 间 存 在 线 性 关 系,
即 Y a bX 时,它 们 的 相 关 系 数 的 绝 对 值 等于 一,并 且
r
b
b
XY
1 0
1 0
,
,
当当,
证 明,( 1 ) 必 要 性,设 Y a bX,证 明 r XY 1,
EY a b EX,DY b DX?
2
,DY b DX? | |
K E X EX Y EYXY( )( )
E X EX a bX a bE X( )( )
bE X EX( )
2
b D X
r
K
DX DY
XY
XY
b D X
DX b DX
b
b| | | |
.
当 b? 0 时,r XY? 1 ； 当 b? 0 时,r XY 1,
( 2 ) 充 分 性,设
r
XY
1
,证 明 Y a bX
(,,)a s
.
DZ D X Y r
XY
( ) ( )
* *
2 1
当
r
XY
1
时,
DZ D X Y( )
* *
0
.
即
Z EZ a s? (,,)
而 当
r
XY
1
时,
EZ E X Y EX EY( ),
* * * *
0
当
r
XY
1
时,
Z X Y a s
* *
,(,,)? 0
即
X EX
DX
Y EY
DY
a s
0 (,,)
整 理 得,
Y a bX a s (,,)
其 中,
a EY
DY
DX
EX
，
b
DY
DX
.
注 意,随 机 变 量 的 相 关 系 数 实 质 上 只 是 表 示 随 机 变 量之 间 的 线 性 相 关 性 。 随 机 变 量 之 间 的 线 性 相 关性 就 是,当 一 个 变 量 增 大 时 另 一 变 量 有 按 线 性关 系 增 大 （ 当 b? 0 ） 或 减 小 （ 当 b? 0 ） 的 趋势 。 当 相 关 系 数 愈 接 近 1 或 - 1 时,这 种 趋 势 就愈 明 显 。
定 理 3,独 立 随 机 变 量 的 相 关 系 数 等 于 零,即 如 果 X 与
Y 独 立,则 r XY? 0,
注 意,逆 命 题 不 成 立 。
即,不 能 从 r XY? 0 推 出 X 与 Y 独 立 。
例 1 5,设 X N~ (,)0 1,显 然,EX? 0
设 Y X?
2
,显 然,X 与 Y 不 独 立,
然 而,由 于 E XY E X E X EX( ) ( ) ( )
3 3
0,
（ 前 面 在 讲 中 心 矩 的 时 候 已 经 证 明,服 从 正 态分 布 的 随 机 变 量 的 奇 数 阶 中 心 矩 为 零 。 ）
因 此,K EXY EX EY EYXY0 0 0
r
K
DX DY
XY
XY
0
.
二维正态分布独立与不相关等价
