导数的应用（一）
单调性：用一阶导数的符号判断极值
（局部）
凸性,用二阶导数的符号（一阶导数的单调性）判断最值
（全局）
一阶充分条件二阶充分条件 *
必要条件（可导点）
可能的极值点（驻点和不可导点）
（比较驻点、不可导点和端点的函数值）
实际问题中，唯一驻点即是最值点。
的极值点。不是则
，，而若
)(
0)(0)()(
0
000
xfx
xfxfxf
3
0
2
0
0
000
)(
!3
)(
)(
!2
)(
))(()()(
xx
f
xx
xf
xxxfxfxf



3
00 )(!3
)()()( xxfxfxf
变号)()( 0xfxf?
的极值点。不是 )(0 xfx?
结论说明：
的极小值点。是函数时，当的极大值点；是函数时，当的极值点：必是函数，则且连续，处，驻点若在函数定理
)(0)()1(
)(0)()1(
)(0)(
)()(4
00
00
00
0
xfxxf
xfxxf
xfxxf
xfxxfy




的极大值点。
是，则的极小值点；是则
，，而若
)(
0)()(
0)(0)()()(
00
)4(
0
0
)4(
000
xf
xxfxfx
xfxfxfxf

4
0
)4(
3
0
0
2
0
0
000
)(
!4
)(
)(
!3
)(
)(
!2
)(
))(()()(
xx
f
xx
xf
xx
xf
xxxfxfxf




结论证明：
4
0
)4(
0 )(!4
)()()( xxfxfxf
不变号)()( 0xfxf?
故有以上结论。
的大小顺序为
，，则上在设级 )0()1()1()0(,0)(]1,0[)03( ffffxf
单调性
)1()0()1()0( ffff
。加的时刻，求它速度开始单调增运动规律为一质点作直线运动，其级
tttt
S

24 6
)02(
1?t
拐点在拐点处的切线方程为曲线级 244)02( 2 xxy
极值
）正确结论为（
的极值的关于则设级 ye
xx
xy x,)
62
1()03(
32

eA 31)( 有极小值 35)( 有极大值B
1)( 有极大值D1)( 有极小值C
D
极值的必要条件 练习八之四、七,
练习八之五、八,极值的充分条件方法一：用单调性练习八之一 /1.
练习八之二 /1.
不等式的证明方法二：用极值（最值）
练习八之一 /3.
方法三：用拉格朗日中值定理练习八之一 /2.
练习九之三,
根的个数
）（
方程则适合设级
0
432,53,)03( 352
cbxaxxaaba
个不同的实根；有 5)( A 个不同的是根有 3)( B
无实根)( D有唯一实根)( C
）为（
）内的实根的个数，在（方程级 30013)01( 3 xx
0)(1)(2)(3)( DCBA ；；；
C
B