随机变量的 k 阶原点矩,v EXk k?
原点矩与中心矩离散,}{,iiii kik xXPppxv
连续,的密度函数是 Xxdxxxv kk )(,)(
特别,v EX1? （期望），
v EX2 2?
随机变量的 k 阶中心矩,? k kE X EX( )
原点矩与中心矩的关系：
离散,? k i ki ix EX p ( )
连续,k kx EX x dx ( ) ( )
特别,? 1 0E X EX( ),
2 2E X EX( ) （方差）
k 阶中心矩可用不超过 k 阶的原点矩表示。
例 8,? 2 2 1
2v v
( 1 )
3 3 2 1 133 2v v v v ( 2 )
4 4 3 1 2 12 144 6 3v v v v v v ( 3 )
证明,（ 1 ）重要公式? 2 2 12v v
（ 3 ）4 1
4



( ) ( )x v x dx



( ) ( )x x v x v xv v x dx
4 3
1
2
1
2
1
3
1
4
4 6 4?
v v v v v v v
4 3 1 2 1
2
1
4
1
4
4 6 4
v v v v v v
4 3 1 2 1
2
1
4
4 6 3
（ 2 ）3 1
3



( ) ( )x v x dx



( ) ( )x x v xv v x dx
3 2
1 1
2
1
3
3 3?
v v v v v
3 1 2 1
3
1
3
3 3
v v v v
3 1 2 1
3
3 2
例 9,设随机变量 X ~ N (,) 2,求 X 的中心矩? k 。
解：

k
k
x x dx


( ) ( )



( )
( )
x e dx
k
x

1
2
2
2
2



1
2
2
2
2

( )
( )
x e dx
k
x
令
x
t
，则上式写成
dtet
t
kk
k
2
2
2
1


当
k
为奇数时，
t e
k
t
2
2
是奇函数
02
1 22

dtet
t
kk
k,k? 1 3,,?
是收敛的且0 2
2t
kk et?
当 k 为偶数时,? t e
k
t
2
2
是偶函数
dtet
t
kk
k
2
2
2
1





2
2
0
2
2
t e dt
k k
t
令
z
t
2
2
，则
k
k k k
z
z e
z
dz

2
2
2
1
2
2 2
0
1
2
1
2


k k k
z
z e dz2
2
1
2
0


2
2
1
2
1
0
k
k k
z
z e dz

2 1
2
2
k
k
k?

2 1
2
1
2
k
k
k?


2 1
2
1
2
2
k
k
k k?


2 1
2
3
2
3
2
2
k
k
k k k?


2 1
2
3
2
1
2
1
2
2
k
k
k k?


2 1
2
1
2
2
2
k
k
k
k?
( ) !!
( )?

2 1
2
2
2
k
k
k
k?
( ) !!
( ) !!k
k
1?
,6,4,2?k


,6,4,2,!)!1(
,7,5,3,1,0
kk
k
kk
如,4 43?,6 6 61 3 5 15
结论：
若随机变量 X ~ N (,) 2,X 的中心矩? k 为,
4.5.2 协方差与相关系数
,))((,的协方差与为随机变量称定义 EEE
))((),( EEEC o v，即记为 ),(C o v
DC ovDC ov ),(),(,特别，
不相关。与，称的协方差为与若随机变量定义 0:
不相关。与独立，则与若随机变量定理:
不相关与独立与注意：
协方差的性质
EEEC o v),()1(
),( C o vEEE推论：
EEE不相关，则与若推论：
EEE独立，则与若推论：


n
i
i
n
i
in EE
11
1, ）（相互独立，则若推论,?
),(2)()2( C o vDDD
DDD )(不相关，则与若推论：
DDD )(独立，则与若推论：


n
i
i
n
i
in DD
11
1 )(, 相互独立，则若推论,?
),(),()4( a c C o vdcbaC o v
证：
),(
))(()]() ] [([
))() ) (((
),(




a c C o v
EEa c EEcEaE
dcEdcbaEbaE
dcbaC o v



),(),(),()5( 2121 C ovC ovC ov
证：
)) ] (([),( 212121 EEEC ov
)) ] (()[( 2211 EEEE
))(())(( 2211 EEEEEE
),(),( 21 C o vC o v
),(),()3( C o vC o v?
),(
))(())((),(


C o v
EEEEEEC o v

证：
相关系数定义：

的相关系数，记为与为随机变量称
DD
C ov ),(


DD
C ov ),(?即是无量纲的量。


D
E
D
EC ov ****,),( 其中，结论：
))((),( ******


D
E
D
EEEEEC ov


DD
EEE ))((
证：
DDC o v?),(
DDEEE推论：
DDDDD 2)(,推论
23,2
1),16,0(~),9,1(~.3
NN设例
。的相关系数与求 )2(;,)1(,DE
16,90,1)1(, DDEE,解
,3123 EEE
)2,3(2)2()3( C o vDDD
),(2131249 C o vDD DD3
1
4
16
9
9
343)21(3141
)2,()3,()23,(),( C o vC o vC o vC o v
DDDC o vC o v 2131),(21),(31
0169)21(2139
相关系数的性质
1||11,即相关系数的绝对值小于与性质


D
E
D
E **,证明：设
),(2)()()( ****** C o vDDD
022211
1||,11 即


0,1
01
1
2
a
a
ba
当当，
，即的相关系数的绝对值为与时，有线性关系与当且仅当性质




0,1
01
1
2
a
a
ba
当当，
，即的相关系数的绝对值为与时，有线性关系与当且仅当性质


，，则设证明,baEEba DaD 2?
))((),( EEEC o v
))()(( baEbaEE
aDEaEaEaEE 2)())((


Da
aD
DD
C ov
||
),(


0,1
01
a
a
当当，
|| a
a?
,,1 ** 令设
),(2)()()( ****** C o vDDDD
022211
1}0{}{ PEP
0)( **EE
1}0{


D
E
D
EP?

E
D
D
Eb
D
D
a
baP


,
,1}{
其中，
注 意,随 机 变 量 的 相 关 系 数 实 质 上 只 是 表 示 随 机 变 量之 间 的 线 性 相 关 性 。 随 机 变 量 之 间 的 线 性 相 关性 就 是,当 一 个 变 量 增 大 时 另 一 变 量 有 按 线 性关 系 增 大 （ 当 b? 0 ） 或 减 小 （ 当 b? 0 ） 的 趋势 。 当 相 关 系 数 愈 接 近 1 或 - 1 时,这 种 趋 势 就愈 明 显 。






DDD
EEE
C o v

)()5(
)4(
0)3(
0),(2
1
）（
不相关与）（
下列命题是等价的。与定理：对随机变量与不相关等价的命题表示。数用注意：有的书上相关系r
定 理 3,独 立 随 机 变 量 的 相 关 系 数 等 于 零,即 如 果 X 与
Y 独 立,则 r XY? 0,
注 意,逆 命 题 不 成 立 。
即,不 能 从 r XY? 0 推 出 X 与 Y 独 立 。
例 1 5,设 X N~ (,)0 1,显 然,EX? 0
设 Y X?
2
,显 然,X 与 Y 不 独 立,
然 而,由 于 E XY E X E X EX( ) ( ) ( )
3 3
0,
（ 前 面 在 讲 中 心 矩 的 时 候 已 经 证 明,服 从 正 态分 布 的 随 机 变 量 的 奇 数 阶 中 心 矩 为 零 。 ）
因 此,K EXY EX EY EYXY0 0 0
r
K
DX DY
XY
XY
0
.
二维正态分布独立与不相关等价
1}{04 EPD,则如果性质
0}|{|,0 2 DEP证明：
0}|{| EP又
0}|{| EP
0}|{|}{ EPEP?
1}{ EP