1,? 2 分布 （ 卡方分布 ）
构造定理,设随机变量1 2,,,? k 相互独立，并且都服从标准正态分布 N (,)0 1,则随机变量

2
1
2
2
2 2

k
服从自由度为 k 的?
2
分布，记为?
2
( )k 。
自由度 ──独立随机变量的个数。
5.3 三大抽样分布分布的密度函数：2?



0,0
0,
)
2
(2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
nx
xn
n
的性质：)( x?
0)(,)1( xx?时取到最大值。时 )(,2)2( xnx
）分布的临界值（表 3 1 0.6 2 P?
2 分布的性质,设~ ( )2 1k,~ ( )2 2k,? 与? 相互独立，则? +? ~? 2 1 2( )k k? 。
2,t 分布 （ 学生分布 ）
构造定理,设随机变量? 与? 相互独立，并且
~ N (,)0 1,~ ( )
2
k,则随机变量
t
k
服从自由度为 k 的 t 分布，记为
t k( ) 。
）分布的临界值（表 3 09.5 Pt
的性质：)( x? 0)(,)1( xx?时取到最大值。时 )(,0)2( xx
2
12
)1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
n
n
x
n
n
n
x
密度函数：
对称。关于 0)()3(?xx?
标准正态）时,(
2
1)()3( 2 2xexn
3,F 分布构造 定 理,设随 机变量? 与? 相 互 独立,并且
~ ( )
2
1
k,~ ( )
2
2
k,则随机变量
F
k
k
1
2
服从自由度为 (,)k k1 2 的 F 分布，记为 F k k(,)1 2 。
F 分布的性质,F k k F k k1 1 2
2 1
1

(,) (,)
）分布的临界值（表 311.7 PF
假设总体服从正态分布。
定理 1 设总体? ~ N (,) 2,则样本平均值 x n x i
i
n
1
1
~ N n(,)?
2
。
证明,x x x
n1 2
,,,相互独立，并且都服从 N (,)
2
它们的线性组合 x
n
x
i
i
n
1
1
服从正态分布且
E x E
n
x
n
E x
i
i
n
i
i
n
( ) ( ) ( )


1 1
1 1
D x D
n
x
n
D x
n
n
n
i
i
n
i
i
n
( ) ( ) ( )


1 1 1
1
2
1
2
2
2

x
n
x
i
i
n
1
1
~
N
n
(,)?
2 n
n
1
5。 4 正态总体统计量的分布推论 设总体? ~ N (,) 2,则统计量
x
n

~ N (,)0 1
定理 2? ~ N (,) 2,则统计量
1
2
2
1?
( )x i
i
n
~? 2 ( )n证明,x x x n1 2,,,相互独立，并且都服从 N (,)
2
( )
x
i
2
服从?
2
1( ),i n? 1 2,,,?,且相互独立




1
2
2
1 1
2
( )x
x
i
i
n
i
i
n
~?
2
( )n



n
i
i
n
i
i xxxx
1
2
2
1
2
2 )]()[(
1)(1?

注意：
])()()(2)([1
1
2
11
2
2


n
i
n
i
i
n
i
i xxxxxx
2
22 ])([
xnns
定理 3 设总体? ~ N (,)
2
，则
(1 ) 样本平均值 x 与样本方差 s
2
（修正样本方差 s
*2
）独立。
(2 ) 统计量
ns n s
2
2 2
1

( )
*2
~?
2
1( )n?
说明,?
x x
x n x
i
i
n
i
i
n




1 1
1
0( )





ns n s
x x
x x
i
i
n
i
i
n2
2 2 2
1
2
1
2
1 1

( )
( )
*2
中只有 n? 1 个独立随机变量

ns n s
2
2 2
1

( )
*2
~?
2
1( )n?
定理 4 设总体? ~ N (,) 2,则统计量
x
s n

* ~ t n( )? 1
证明,? x 与 s
*2
独立，
x
n
与
( )
*2
n s? 1
2
独立
x
n

~ N (,)0 1,
ns n s
2
2 2
1

( )
*2
~?
2
1( )n?
x
n
n s
n
x
s n
t n
( )
( )
~ ( )
*2
*
1
1
1
2
定理 5 设总体? ~ N (,)1 1 2,总体? ~ N (,)2 2 2,则统计量
( ) ( )x y
n n



1 2
1
2
1
2
2
2
~ N (,)0 1
证明：
x
n
x
i
i
n
1
1 1
1
~ N
n
(,)?
1
1
2
1
，
y
n
y
i
i
n
1
2 1
2
~ N
n
(,)?
2
2
2
2
x 与 y 独立
x y N
n n
~ (,)

1 2
1
2
1
2
2
2

( ) ( )x y
n n


1 2
1
2
1
2
2
2
~ N (,)0 1
推论 设总体? ~ N (,)1
2
，总体? ~ N (,)2
2
，则统计量
( ) ( )x y
n n


1 2
1 2
1 1 ~ N (,)0 1
定理 6 设总体? ~ N (,)1
2
，总体? ~ N (,)2
2
，则统计量
( ) ( )x y
n n
s
w


1 2
1 2
1 1 ~
t n n( )
1 2
2,
其中 s
n s n s
n n
w

1 1
2
2 2
2
1 2
2
证明：
U
x y
n n

( ) ( )
1 2
1 2
1 1 ~ N (,)0 1
由定理 3 得：
n s
n
1 1
2
2
2
1
1
~ ( )?
n s
n
2 2
2
2
2
2
1
~ ( )?
因为 s
1
2
与 s
2
2
相互独立所以统计量
V
n s n s
n n?

1 1
2
2 2
2
2
2
1 2
2
~ ( )
所以统计量：
U
V
n n
x y
n n
n s n s
n n
x y
n n
s
t n n
w
1 2
1 2
1 2
1 1
2
2 2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2
1 1
2
1 1
2





( ) ( )
( )
( ) ( )
~ ( )


定理 7 设总体? ~ N (,)1 1
2
，总体? ~ N (,)2 2
2
，则统计量
( )
( )
x n
y n
i
i
n
j
j
n
1
1
2
1 1
2
2
2
2 2
2
1
1
2


~ F n n(,)1 2
证明：


1
2
1
2 1
2
1
2
1
1
2

( ) ~ ( )x ni
i
n

2
2
2
2 2
2
1
2
2
1
2

( ) ~ ( )y nj
j
n
且?
1
2
与?
2
2
相互独立 （
x
i 与
y
j 都独立）



1
2
1
2
2
2
1
1
2
1 1
2
2
2
2 2
2
1
1
2
n
n
x n
y n
i
i
n
j
j
n
( )
( )
~ F n n(,)
1 2
定理 8 设总体? ~ N (,)1 1 2,总体? ~ N (,)2 2 2,则统计量
s
s
1 1
2
2
2
2
2
*2
*
~ F n n(,)1 21 1
证明,?
1
2 1 1
1
2
2
1
1
1?
( )
~ ( )
*2
n s
n
2
2 2 2
2
2
2
2
1
1?
( )
~ ( )
*2
n s
n
s
1
*2
与 s 2
*2
相互独立

1
2
与? 2
2
相互独立
1
2
1
2
2
2
1 1
2
2 2
2
1
1
( )
( )
*2
*2
n
n
s
s
~ F n n(,)
1 2
1 1