DX
2?
DX
2)( EXXE?
22 )( EXEXDX
随机变量 X 的 离差,反映随机变量 X 的一切可能值在其 数学期望周围的分散程度。
离差的均值为零。
定义：称 E X EX( )? 2 为随机变量 X 的方差，记为
D X( ),或 v a r( )X 。 D X( ) ＝ E X EX( )? 2
离散：
连续：
注意：方差 D X( )? 0
:EXX?
:0)( EXXE
i
i
i pEXxXD
2)()(
dxxEXxXD )()()( 2
)( ii xXPp其中，
的密度函数是其中,Xx )(?
说明：当随机变量的可能值密集在数学期望的附近时，
方差较小；反之，方差较大。
统一用分布函数描述为,
)()()(
2
xdFEXxXD?
重要公式,DX EX EX2 2( )
证明,DX E X EX( ) 2
))(2( 22 EXEXXXE
22 )(2 EXEXEXEX
22 )( EXEX
例 6,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
试求 DX 1,DX 2 。
解,EX 1 0 0 1 0 2 2 0 8 1 8.,,
EX 1 2 2 2 20 0 1 0 2 2 0 8 3 4.,,
DX EX EX1 1 2 1 2 ( )3 4 1 8 3 4 3 24 0 162.,,,,
EX 2 0 0 6 1 0 3 2 0 1 0 5.,,,
EX 22 2 2 20 0 6 1 0 3 2 0 1 0 7.,,,
DX EX EX2 22 2 2 ( )0 7 0 5 0 7 0 25 0 452.,,,,
说明甲的打靶成绩较好且较稳定，而乙的打靶成绩较差且不稳定。
1,均匀分布则 EX
2
a
b
x
b a
dx2
1
1
3
3
( )b a
x
a
b
b a
b a
3 3
3 ( )
,
3
22 baba
所以,DX EX EX
2 2
( )?
a ab b a b
2 2 2
3 2
a ab b a b
2 2 2
2
12 12
( )
2
baEX
已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
定义：标准差 （均方差）,DX,其量纲与 X 相同。
定理 1,D c( )? 0
D c = E (c - E c ) 2 = E (c - c) 2 = E 0 = 0
方差的 性质 定理定理 2,D X c DX( )
D (X + c )= E (X + c - E (X + c )) 2 = E (X - E X ) 2 = D X
定理 3,D cX c DX( )? 2
D (c X )= E (c X - E (c X )) 2 = E (c X - c E X ) 2
= E (c (X - E X )) 2 = E (c 2 (X - E X ) 2 )
= c 2 E (X - E X ) 2 =c 2 D X
注意各参数的意义定理 4,标准化随机变量：
Y
X EX
DX
,则
EY? 0
，
DY? 1
,
证：
0)(
1
))((
1
)(
1
EXEX
DX
EXEEX
DX
EXXE
DXDX
EXX
EEY
DY
1
1
)(
1
DX
DX
EXXD
DXDX
EXX
D
切 贝 雪 夫 不 等 式 设 随 机 变 量 （ r v.,）? 的 E? 及 D? 存 在,
则 对 于 任 何 0,有
P E
D
( )
2,
或
P E
D
( )
1
2 （ 对 立 事 件 ）证 明,1 ) 设? 是 离 散 型 r v.,,事 件E 表 示 r v.,?
取 得 一 切 满 足 x Ei 的 可 能 值 x i,则
P E p x
i
x Ei
( ) ( )
| |
由
E E
E
( )
( )2 2 2
2 1
定理 5
得 P E
x E p xi
i
x Ei
( ) ( ) ( )
| |
2
2
1 2 2
( ) ( )
| |
x E p xi i
x Ei
1 2 2( ) ( )x E p xi i
i
D 2
2 ) 设? 是 连 续 型 r v.,,事 件E 表 示 r v.,? 落在 区 间 (,)E E 之 外,则
P E x dx
x E
( ) ( )
| |
（? ( )x 是? 概 率 密 度 ）
P E x E x dx
x E
( ) ( ) ( )
| |
2
2
1
2
2
( ) ( )| | x E x dxx E
1
2
2
( ) ( )x E x dx
D 2 ＃
例 题,利 用 切 贝 雪 夫 不 等 式 估 计 随 机 变 量 与 其 数 学 期望 的 差 不 小 于 三 倍 标 准 差 的 概 率 。
解,设 随 机 变 量?,期 望 E?,方 差 D?,
取 3 D,由 切 贝 雪 夫 不 等 式,
P E D
D
D
( )
( )
.
3
3
1
9
0 1112
所 以,随 机 变 量 与 其 数 学 期 望 的 差 不 小 于 三 倍标 准 差 的 概 率 约 为 0 111,。
2.5 常用的随机变量的分布
(2.5.1) 离散型随机变量的分布
( 即样本空间? 只含有两个基本事件,)或者，
X 0 1
P X m( )? 1? p p
a,随机变量 X 的取值范围,0,1.
0 - 1 分布 （两点分布）
b,分布律,P X m p q m p qm m( ),,;1 0 1 1
c,定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律，
则称 X 服从两点分布。
pq
pp
pqp
EXEXDX
pqpEX
2
222
22
)01(
)(
01
（ 2 ） 二项分布（贝努里概型） B n p(,)
c,如果随机变量 X 具有以上的分布律，则称 X 服从二项分布，记 X B n p~ (,) 。
a,X 的可能取值为,0 1 2,,,,? n
b,分布律为：
,1,)()( qpqpCmPmXP mnmmnn
m n? 1 2,,,?
其中,P m p q
n
m
n
n( ) ( )
0
1
x
p(x)
0
B(20,0.25)B(20,0.5) B(20,0.75)
事件 A发生的次数 不到 k次的概率：
事件 A发生的次数 多于 k次的概率：
事件 A发生的次数 不少于 k次的概率：
事件 A发生的次数 不多于 k次的概率：
)()1()( nPkPkP nnn
)()1()0( kPPP nnn
)1()1()0( kPPP nnn?
)()2()1( nPkPkP nnn
二项分布常用公式,
np
qp
l
g
pg
qp
lgl
gg
EX
gnlm
qp
mnm
n
qp
mnm
n
mqp
m
n
mpxEX
lgl
g
l
lgl
g
l
mnm
n
m
mnm
n
m
mnm
n
m
m
n
m
m
0
1
0
0
000
)1(
)!(!
!1(
1,1
)!()!1(
!
)!(!
!
）
＝
则令
2,二项分布 B n p(,)
证明：若 X ~ B n p(,),
np p p n[ ( )]1 1? np
则 E X( ) = np 。
[ 证 ] E X( ) =
k C p p
n
k
k
n
k n k
0
1( )
k
n
k n k
p p
k
n
k n k
!
! ( )!
( )
0
1
n p
n
k n k
p p
k
n
k n k
( ) !
( ) ![( ) ( )] !
( )
( ) ( )
1
1 1 1
1
1
1 1 1
np C p pn
k k n k
k
n
1
1 1 1 1
1 0
1
1( )
( ) ( )
3 ) 贝 努 里 概 型 中 常 用 公 式( 1 ) n 次贝努里试验中，事件 A 发生次数介于
1m 与 2m 之间的概率：
P m m m P mn
m m
m
( ) ( )1 2
1
2
(2) n 次贝努里试验中，事件 A 至少发生 r 次的概率：
P m r P m P mn
m r
n
n
m
r
( ) ( ) ( )
1
0
1
例 4,规 定 某 种 型 号 的 电 子 元 件 使 用 寿 命 超 过 1 5 0 0 小时 为 一 级 品 。 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一 级 品 率 为
0,2,现 在 从 中 随 机 地 抽 查 2 0 只,问 2 0 只 元 件 中,
恰 有 k (,,,)k? 0 1 20? 只 为 一 级 品 的 概 率 是 多 少？
随机变量 X 表示 20 只中的一级品个数，
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0,01 2 0,05 8 0,13 7 0,20 5 0,21 8 0,17 5 0,10 9 0,05 5 0,02 2 0,00 7 0,00 2
当 k? 11 时,P X k( ), 0 001
解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。
则 X ～ B p p(,),.20 0 2?
P X k C p q kk k k( ),,,,,20 20 0 1 2 20?
例 5,已 知 随 机 变 量 X B n p~ (,),问,当 m 为 何 值 时,
P X m( )? 最 大？
解,分 析,找 一 个 m,使 P X m P X m( ) ( )1,且
P X m P X m( ) ( )1 。
当 ( )n p m1 0,即 m n p( )1 时,P X m P X m( ) ( )1
当 ( )n p m1 0,即 m n p( )1 时,P X m P X m( ) ( )1
这时，
P X m
P X m
( )
( )
0
0 1
1,
P X m
P X m
C p q
C p q
n m
m
p
q
n p m
m p
n
m m n m
n
m m n m
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1
11 1 1
1) 当 ( )n p? 1 是整数时，取 m n p0 1( ),
则 P X m P X m( ) ( )0 01 都是最大值。
2) 当 ( )n p? 1 不是整数时，取 m n p n p0 1 1[( ) ] ( ),
这时有 P X m P X m( ) ( )0 01,而 m n p0 1 1( ),
所以,P X m P X m( ) ( )0 01 。
最后得,P X m( )? 0 是最大值。
例 4,一个工人负责维修 10 台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障需要维修的概率为 0,3 。求：
(1 ) 在这段时间内有 2 至 4 台机床需要维修的概率；
(2 ) 在这段时间内至少有 2 台机床需要维修的概率。
解,每 台 机 床 是 否 需 要 维 修 是 相 互 独 立 的,设 在 这 一 段 时间 内 有 m 台 需 要 维 修,
n? 10,p? 0 3.,q p1 0 7.
则 ( ) ( )1 2 4P mP P P10 10 102 3 4( ) ( ) ( )
C C C102 2 8 103 3 7 104 4 60 3 0 7 0 3 0 7 0 3 0 7(,) (,) (,) (,) (,) (,)
0 2335 0 2668 0 2001 0 7004.,,,
答,在 这 段 时 间 内 有 2 至 4 台 机 床 需 要 维 修 的 概率 为 0,7 0 0 4 。
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 0 110 10P m P P
1 0 3 0 7 0 3 0 7100 0 10 101 1 9C C(,) (,) (,) (,)
1 0 0282 0 1211 0 8507.,,
答,在 这 段 时 间 内 至 少 有 2 台 机 床 需 要 维 修 的 概率 为 0,8 5 0 7 。
例 5,已 知 每 枚 地 对 空 导 弹 击 中 来 犯 敌 机 的 概 率 为
0,9 6,问 需 要 发 射 多 少 枚 导 弹 才 能 保 证 至 少 有 一枚 导 弹 击 中 敌 机 的 概 率 大 于 0,9 9 9？
解,设 导 弹 要 发 射 n 枚,击 中 m 枚,
P m P n( ) ( )1 1 01 0 96 0 040 0C n n(,) (,)
1 0 04 0 999(,),n
即,(,),0 04 0 001n?
n lg,0 04 3
n? 2 15.
答,需 要 发 射 3 枚 导 弹 才 能 保 证 至 少 有 一 枚 导 弹击 中 敌 机 的 概 率 大 于 0,9 9 9,
c,记为 X ~ P ( )?,? 是参数。其中，
P X m
m
e
m
m
m
( )
!
0 0
e
m
m
m
!0
e e 1
E X = D X =?
泊松分布 ( P oi ss on ) P ( )?
a,X 的可能取值为,0 1 2,,,?
b,X 的分布律为：
P X m P m
m
e
m
( ) ( )
!
,
0
[证 ]
ekkXE
k
k
0 !
)( )!1(
1
1?
ke
k
k
01
1
)!1(k
k
ke
e e
证明：若 X ~ P ( )?,则 E X( ) =? 。
P(x)
x0
=2.5
=5
=10
注 意,泊 松 分 布 是 非 对 称 的,但 是,? 越 大,非 对 称性 越 不 明 显 。
应用：用于稠密性问题中,
例如：
某一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数某一段时间内候车的旅客数某一段时间内原子放射粒子个数一批产品共 N 个，其中 M 个为次品，从中任取 n 个产品，求其中恰有 m 个次品的概率。
解,设 A 表 示 恰 有 m 个 次 品,
样本空间中样本点的总数为 nNC,
事件 A 所包含的样本点个数为 C CMm N Mn m,
n
N
mn
MN
m
M
C
CCAP )(
即 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 为.
n
N
mn
MN
m
M
C
CC
(5)超几何分布
EX=nM/N 返回证明：若 X ~ H n M N(,,),
[ 证 ] P X m
C C
C m n M
M
m
N M
n m
N
n( ),,,,,m i n (,)
0 1 2?
P X m C CC
m
n M
m
n M
M
m
N M
n m
N
n
0 0
1
m i n (,) m i n (,)
( )
C C CNn Mm N Mn m
m
n M
0
m i n (,)
，
C C CNn Mm N Mn m
m
n M
11 1 1 11
0
1 1
( ) ( )
( )
m i n (,)
C CMm N Mn m
m
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
，
则 E X( ) =
nM
N 。
E X m
C C
C
M
m
N M
n m
N
n
m
n M
( )
m i n(,)
0
),m i n (
1
Mn
m
n
N
mn
MN
m
M
C
CCm
令 m k 1,则上式可写成：
)1,1m i n (
0
)!(!
!
)!1()!1(
)!(
)!1()!1(
!
)1(Mn
k
nNn
N
knMNkn
MN
kMk
M
k
EX
)1,1m i n (
0
)!()!1(
)!1(
)!1()!1(
)!(
)!1(!
)!1(
Mn
k
nNn
N
n
N
knMNkn
MN
kMk
MM
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
nM
N
C C
C0
1 1
1
1
1
1
m i n (,)
nMN?
( )
m i n (,)
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
C C
C0
1 1
1
1
1
1
C Nn 11
C CMm N Mn m
m
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
C CMk N Mn k
k
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
，
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
C C
C?
0
1 1
1
1
1
1 1
m i n (,)
E X( ) = nMN,
（ 6 ）几何 分布 )( pGe
c,如果随机变量 X 具有以上的分布律，则称 X 服从几何分布，记 )(~ pGeX 。
2;
1
p
q
DX
p
EX
a,首次 成 功 发生 在 第 k 次 试验 时 所服从 的 概率 分布 。
b,分布律为：
,1,)()( 1 qppqmPmXP mn
,,2,1m
其中,1)()(
0
n
m
n
qpmP
[ 证 ]
)(XE
1
1)1(
k
kppk
1
)1(
k
kpp
p p p11 1( )
p pp1
p p1 1
( )p p1 2 = 1p
证明：若 X ~ G p( ),则 E X( ) =
1
p 。
二、连续型随机变量
( 1 ) 均 匀 分 布 U a b(,) ( U n i f o r m d i s t r i b u t i o n )
a,定义
0 x
( )x
1
b a?
a b
称 X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,
的 概 率 密 度 密 度 为
其它,0
,
1
)(
bxa
abxp
记为 X U a b~ (,) 。
( 2 ) 正态分布 N (,) 2 （高斯分布，常态分布）
a,定义若随机变量 X 的分布密度为
( )
( )
x e
x
1
2
2
2
2
,,
2
0? 是常数，
则称随机变量 X 服从正态分布，记为
),(~ 2NX
0 x
( )x
关于参数的说明：
密度函数图形特点：
关于 x 对称；
极大值,极大( )
1
2 ；
拐点：在 x 处；? 渐近线,x 轴。
位置参数? （在 x 轴上平移）
比例参数?,? 大，图形平坦；? 小，图形呈尖塔形。
0 x
()x
2
1
xx
b,分 布 函 数,
F x e dx
x
x
( )
( )
1
2
2
22
分 布 函 数 的 图 形,
x
F x( )
标 准 正 态 分 布 X N~ (,)0 1
分 布 密 度 为( )x e
x
1
2
2
2
0 x
( )x
-x x
)( x )(1 x
( )x 的 性 质,
( 1 )? ( ),0 0 5?,( 2 )? ( ) 1,( 3 )( ) ( )x x1,
分 布 函 数 记 为? ( )x,即? ( )x e dt
t
x
1
2
2
2
。
( )x 的 图 形,?( )x
0 x
0,5
定 理 1,若 随 机 变 量 X N~ (,)
2
,X 的 分 布 函 数 为
F x( ),则 Z
X
N?
~ (,)0 1,F x
x
( ) ( )?
。
证 明,
F x P X x e dx
x
x
( ) ( )
( )
1
2
2
2
2
t x( )
1
2
2
2
e dt
tx
( )
x?
#
定 理 2,若 随 机 变 量 X N~ (,)
2
,则 X 落 在 区 间 (,)x x1 2
内 的 概 率,P x X x( )1 2
( ) ( )
x x2 1?
证 明,P x X x F x F x( ) ( ) ( )1 2 2 1
( ) ( )x x2 1
例 12,)4,1(~ NX,求 P X(,)0 1 6 。
解,P X(,)0 1 6
)5.0()3.0( )]5.0(1[)3.0(
6915.016179.0
3094.0?
)2 10()2 16.1(
例 13,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在 d ℃，液体的温度 X （以
℃计）是一个随机变量，且 X N d~ (,,)0 5
2
。
（ 1 ）若 d = 9 0,求 X 小于 89 的概率； （ 2 ）
若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0,9 9,问
d
至少为多少？
解,（ 1 ）所求概率为
P
X d d
0 5
80
0 5.,
1
0 5
80
0 5
P
X d d
.,
1
80
0 5
d
.
即
80
0 5
1 0 99 0 01
d
.
.,
( )2? 0 0228,。9 7 7 2.01
)2(1
5.0 90895.0 90895.0 90}89{ XPXP
}80{?XP
（ 2 ）按题意需求 d 满足
99.0
0 x
( )x
80
05
d
.
d?80
05.
d 800 5 0 99.,
查 表 的,? (,),2 32 0 9898?,? (,),2 33 0 9901?
由 插 值 法 得,? (,),2 327 0 99?
d 80
0 5
2 327
.
.
即 d? 81 1635,。
0 x
( )x
u?
设 X N~ (,)0 1,若 u? 满足条件
P X u{ },0 1
则称点 u? 为标准正态分布的上? 分位点。
分位点：
例 1 4,设 X N~ (,) 2,求 X 落 在 区 间 (,)k k
内 的 概 率 。 (,,)k? 1 2?
解,P k X k( )
0 6826
0 9544
0 9973
0 99994
0 9999994
.,
.,
.,
.,
.,
k
k
k
k
k
1
2
3
4
5
kk
)()( kk )](1[)( kk 1)(2 k
3? 原理如果随机变量 X 服从正态分布 N (,)
2
，则随机变量 X 落在 (,)3 3 之 外 的 概 率 小 于
0,003 。通常认为这一概率是很小的，因此，我们常把区间 (,)3 3 看作是随机变量 X 实际可能的取值区间。这一原理叫作,3? 原理”。
EX
x e dx
x1
2
2
22
( )
令
x
t
，上式写成
EX
( )
t e dt
t
1
2
2
2
1
2 2
2 2
2 2
e dt te dt
t t
（
te
t
2
2
是奇函数,?
te dt
t
2
2
0
）
.),,(~ 2EXNX 则若令
x
t
,
2EX dtet
t
22
2
2
1
)(
222222 )( EXEXDX
已知随机变量 X ~ N (,)
2
则 2EX dxex
x
2
2
2
)(
2
2
1?
dte
t
dttedte
ttt
2
2
2222
222
22
2
2
1
2222
2
2
22
2
2
0
22
222
dteete
ttt
( 3 ) 指数分布 e ( )? (Exp on e n ti al d i s tr i b u ti on )
a,定 义若 随 机 变 量 X 的 分 布 密 度 为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
, 0,
则 这 种 分 布 叫 做 指 数 分 布,称 随 机 变 量
X
服 从 参 数为? 的 指 数 分 布,记 为 X e~ ( )? 。 其 分 布 函 数 为
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
EX 0 x e dxx
( ) ( )
0
x d e x
( ) ( )x e e dxx x0 0 1
0
1
0?
e x1 0 1 1
( )
),(~?eX若?
1?EX则
，
则 2EX dxex x 20
)()(
2
0
x
edx
dxexex
xx
00
2
)2()(
dxex
x
0
20 )(
2
0
x
exd
)(
2
00
dxeex
xx
2
0
2
22
x
e
2
2
2
22 1)1(2)(
EXEXDX
注意：若随机变量 X ~ e ( )
1
,即随机变量 X 的分布密度为
( )
,
,
x
e x
x
x
1
0
0 0
则 EX
0
1
x e dx
x
( ) ( )
0
x d e
x
( ) ( )x e e dx
x x
0
0
1
0
0
e
x
( ) ( )0 1
则
2
EX
dxex
x
1
2
0
)()(
2
0
x
edx
dxexex
xx
0
0
2
)2()(
x
edx
0
20
dxeex
xx
0
0
22
22
0
2
2)10)(2()()2(
x
e
22222 2)( EXEXDX
4,? 2 分布则
EX x
k
x e dxk
k x
0
2
2
1
2
1
2
2
已知随机变量 X 的密度函数为
( )
,
,
x
k
x e x
x
k
k x
1
2
2
0
0 0
2
2
1
2
kEXkX?则若 ),(~ 2?
dxex
k
xk
k
22
0
2
2
2
1
令 x t? 2,dx dt? 2,得
2 分布的数学期望就等于其自由度 k 。
EX
k
t e dt
k
t
2
2
0
2
2
2
2
1
k
k
2
2
2 2
k
k k
k
dxex
k
xEX
xk
k
2
1
2
2
2
0
2
2
2
1
dxex
k
xk
k
2
1
2
0
2
2
2
1
令 x t? 2,dx dt? 2,得
dtet
k
EX
t
k
1
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
)2(
22
)1
2
(
2
2
2
kk
kkk
k
已知 kEX? kkkkEXEXDX 22)( 2222
（ 5）对数正态分布的数学期望＝试求设随机变量 euN ),,(~ 2
22
)(
2
2
)(2
22
)(
222
22
2
)(
222
2
2
22
22
2
2
2
1
22
22
)(
22
1
2
1
)(
u
y
u
y
u
y
u
y
y
u
y
yu
ux
xx
edyee
dye
e
dye
e
E
yy
y
dye
e
dyeeE
ux
y
dxeedxxpeE
配方变换
2
baEX),( baU
9,? 2 分布 )(2 k? kEX? kDX 2?
1.两点分布 pXP }1{ pEX? 1, qppqDX
2.二项分布 ),( pnB npEX? 1, qpn p qDX
),,( NMnH3.超几何分布
4.泊松分布 )(?PEXDX
5.几何分布 )(pG pEX 1?
6.均匀分布
)(?e?1?EX 21DX8.指数分布
)1(
))((
2?
NN
nNMNnMDX
N
nMEX?
2pqDX?
12)( 2abDX
2DXEX7.正态分布 ),( 2N
2?
DX
2)( EXXE?
22 )( EXEXDX
随机变量 X 的 离差,反映随机变量 X 的一切可能值在其 数学期望周围的分散程度。
离差的均值为零。
定义：称 E X EX( )? 2 为随机变量 X 的方差，记为
D X( ),或 v a r( )X 。 D X( ) ＝ E X EX( )? 2
离散：
连续：
注意：方差 D X( )? 0
:EXX?
:0)( EXXE
i
i
i pEXxXD
2)()(
dxxEXxXD )()()( 2
)( ii xXPp其中，
的密度函数是其中,Xx )(?
说明：当随机变量的可能值密集在数学期望的附近时，
方差较小；反之，方差较大。
统一用分布函数描述为,
)()()(
2
xdFEXxXD?
重要公式,DX EX EX2 2( )
证明,DX E X EX( ) 2
))(2( 22 EXEXXXE
22 )(2 EXEXEXEX
22 )( EXEX
例 6,甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X 1,
X
2 它们的分布律分别为
X
1 0 1 2
X
2 0 1 2
p
k 0 0,2 0,8
p
k 0,6 0,3 0,1
试求 DX 1,DX 2 。
解,EX 1 0 0 1 0 2 2 0 8 1 8.,,
EX 1 2 2 2 20 0 1 0 2 2 0 8 3 4.,,
DX EX EX1 1 2 1 2 ( )3 4 1 8 3 4 3 24 0 162.,,,,
EX 2 0 0 6 1 0 3 2 0 1 0 5.,,,
EX 22 2 2 20 0 6 1 0 3 2 0 1 0 7.,,,
DX EX EX2 22 2 2 ( )0 7 0 5 0 7 0 25 0 452.,,,,
说明甲的打靶成绩较好且较稳定，而乙的打靶成绩较差且不稳定。
1,均匀分布则 EX
2
a
b
x
b a
dx2
1
1
3
3
( )b a
x
a
b
b a
b a
3 3
3 ( )
,
3
22 baba
所以,DX EX EX
2 2
( )?
a ab b a b
2 2 2
3 2
a ab b a b
2 2 2
2
12 12
( )
2
baEX
已知随机变量 X 的概率密度密度为,
( )
,
,
x b a
a x b
1
0 其它
,
定义：标准差 （均方差）,DX,其量纲与 X 相同。
定理 1,D c( )? 0
D c = E (c - E c ) 2 = E (c - c) 2 = E 0 = 0
方差的 性质 定理定理 2,D X c DX( )
D (X + c )= E (X + c - E (X + c )) 2 = E (X - E X ) 2 = D X
定理 3,D cX c DX( )? 2
D (c X )= E (c X - E (c X )) 2 = E (c X - c E X ) 2
= E (c (X - E X )) 2 = E (c 2 (X - E X ) 2 )
= c 2 E (X - E X ) 2 =c 2 D X
注意各参数的意义定理 4,标准化随机变量：
Y
X EX
DX
,则
EY? 0
，
DY? 1
,
证：
0)(
1
))((
1
)(
1
EXEX
DX
EXEEX
DX
EXXE
DXDX
EXX
EEY
DY
1
1
)(
1
DX
DX
EXXD
DXDX
EXX
D
切 贝 雪 夫 不 等 式 设 随 机 变 量 （ r v.,）? 的 E? 及 D? 存 在,
则 对 于 任 何 0,有
P E
D
( )
2,
或
P E
D
( )
1
2 （ 对 立 事 件 ）证 明,1 ) 设? 是 离 散 型 r v.,,事 件E 表 示 r v.,?
取 得 一 切 满 足 x Ei 的 可 能 值 x i,则
P E p x
i
x Ei
( ) ( )
| |
由
E E
E
( )
( )2 2 2
2 1
定理 5
得 P E
x E p xi
i
x Ei
( ) ( ) ( )
| |
2
2
1 2 2
( ) ( )
| |
x E p xi i
x Ei
1 2 2( ) ( )x E p xi i
i
D 2
2 ) 设? 是 连 续 型 r v.,,事 件E 表 示 r v.,? 落在 区 间 (,)E E 之 外,则
P E x dx
x E
( ) ( )
| |
（? ( )x 是? 概 率 密 度 ）
P E x E x dx
x E
( ) ( ) ( )
| |
2
2
1
2
2
( ) ( )| | x E x dxx E
1
2
2
( ) ( )x E x dx
D 2 ＃
例 题,利 用 切 贝 雪 夫 不 等 式 估 计 随 机 变 量 与 其 数 学 期望 的 差 不 小 于 三 倍 标 准 差 的 概 率 。
解,设 随 机 变 量?,期 望 E?,方 差 D?,
取 3 D,由 切 贝 雪 夫 不 等 式,
P E D
D
D
( )
( )
.
3
3
1
9
0 1112
所 以,随 机 变 量 与 其 数 学 期 望 的 差 不 小 于 三 倍标 准 差 的 概 率 约 为 0 111,。
2.5 常用的随机变量的分布
(2.5.1) 离散型随机变量的分布
( 即样本空间? 只含有两个基本事件,)或者，
X 0 1
P X m( )? 1? p p
a,随机变量 X 的取值范围,0,1.
0 - 1 分布 （两点分布）
b,分布律,P X m p q m p qm m( ),,;1 0 1 1
c,定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律，
则称 X 服从两点分布。
pq
pp
pqp
EXEXDX
pqpEX
2
222
22
)01(
)(
01
（ 2 ） 二项分布（贝努里概型） B n p(,)
c,如果随机变量 X 具有以上的分布律，则称 X 服从二项分布，记 X B n p~ (,) 。
a,X 的可能取值为,0 1 2,,,,? n
b,分布律为：
,1,)()( qpqpCmPmXP mnmmnn
m n? 1 2,,,?
其中,P m p q
n
m
n
n( ) ( )
0
1
x
p(x)
0
B(20,0.25)B(20,0.5) B(20,0.75)
事件 A发生的次数 不到 k次的概率：
事件 A发生的次数 多于 k次的概率：
事件 A发生的次数 不少于 k次的概率：
事件 A发生的次数 不多于 k次的概率：
)()1()( nPkPkP nnn
)()1()0( kPPP nnn
)1()1()0( kPPP nnn?
)()2()1( nPkPkP nnn
二项分布常用公式,
np
qp
l
g
pg
qp
lgl
gg
EX
gnlm
qp
mnm
n
qp
mnm
n
mqp
m
n
mpxEX
lgl
g
l
lgl
g
l
mnm
n
m
mnm
n
m
mnm
n
m
m
n
m
m
0
1
0
0
000
)1(
)!(!
!1(
1,1
)!()!1(
!
)!(!
!
）
＝
则令
2,二项分布 B n p(,)
证明：若 X ~ B n p(,),
np p p n[ ( )]1 1? np
则 E X( ) = np 。
[ 证 ] E X( ) =
k C p p
n
k
k
n
k n k
0
1( )
k
n
k n k
p p
k
n
k n k
!
! ( )!
( )
0
1
n p
n
k n k
p p
k
n
k n k
( ) !
( ) ![( ) ( )] !
( )
( ) ( )
1
1 1 1
1
1
1 1 1
np C p pn
k k n k
k
n
1
1 1 1 1
1 0
1
1( )
( ) ( )
3 ) 贝 努 里 概 型 中 常 用 公 式( 1 ) n 次贝努里试验中，事件 A 发生次数介于
1m 与 2m 之间的概率：
P m m m P mn
m m
m
( ) ( )1 2
1
2
(2) n 次贝努里试验中，事件 A 至少发生 r 次的概率：
P m r P m P mn
m r
n
n
m
r
( ) ( ) ( )
1
0
1
例 4,规 定 某 种 型 号 的 电 子 元 件 使 用 寿 命 超 过 1 5 0 0 小时 为 一 级 品 。 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一 级 品 率 为
0,2,现 在 从 中 随 机 地 抽 查 2 0 只,问 2 0 只 元 件 中,
恰 有 k (,,,)k? 0 1 20? 只 为 一 级 品 的 概 率 是 多 少？
随机变量 X 表示 20 只中的一级品个数，
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0,01 2 0,05 8 0,13 7 0,20 5 0,21 8 0,17 5 0,10 9 0,05 5 0,02 2 0,00 7 0,00 2
当 k? 11 时,P X k( ), 0 001
解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。
则 X ～ B p p(,),.20 0 2?
P X k C p q kk k k( ),,,,,20 20 0 1 2 20?
例 5,已 知 随 机 变 量 X B n p~ (,),问,当 m 为 何 值 时,
P X m( )? 最 大？
解,分 析,找 一 个 m,使 P X m P X m( ) ( )1,且
P X m P X m( ) ( )1 。
当 ( )n p m1 0,即 m n p( )1 时,P X m P X m( ) ( )1
当 ( )n p m1 0,即 m n p( )1 时,P X m P X m( ) ( )1
这时，
P X m
P X m
( )
( )
0
0 1
1,
P X m
P X m
C p q
C p q
n m
m
p
q
n p m
m p
n
m m n m
n
m m n m
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1
11 1 1
1) 当 ( )n p? 1 是整数时，取 m n p0 1( ),
则 P X m P X m( ) ( )0 01 都是最大值。
2) 当 ( )n p? 1 不是整数时，取 m n p n p0 1 1[( ) ] ( ),
这时有 P X m P X m( ) ( )0 01,而 m n p0 1 1( ),
所以,P X m P X m( ) ( )0 01 。
最后得,P X m( )? 0 是最大值。
例 4,一个工人负责维修 10 台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障需要维修的概率为 0,3 。求：
(1 ) 在这段时间内有 2 至 4 台机床需要维修的概率；
(2 ) 在这段时间内至少有 2 台机床需要维修的概率。
解,每 台 机 床 是 否 需 要 维 修 是 相 互 独 立 的,设 在 这 一 段 时间 内 有 m 台 需 要 维 修,
n? 10,p? 0 3.,q p1 0 7.
则 ( ) ( )1 2 4P mP P P10 10 102 3 4( ) ( ) ( )
C C C102 2 8 103 3 7 104 4 60 3 0 7 0 3 0 7 0 3 0 7(,) (,) (,) (,) (,) (,)
0 2335 0 2668 0 2001 0 7004.,,,
答,在 这 段 时 间 内 有 2 至 4 台 机 床 需 要 维 修 的 概率 为 0,7 0 0 4 。
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 0 110 10P m P P
1 0 3 0 7 0 3 0 7100 0 10 101 1 9C C(,) (,) (,) (,)
1 0 0282 0 1211 0 8507.,,
答,在 这 段 时 间 内 至 少 有 2 台 机 床 需 要 维 修 的 概率 为 0,8 5 0 7 。
例 5,已 知 每 枚 地 对 空 导 弹 击 中 来 犯 敌 机 的 概 率 为
0,9 6,问 需 要 发 射 多 少 枚 导 弹 才 能 保 证 至 少 有 一枚 导 弹 击 中 敌 机 的 概 率 大 于 0,9 9 9？
解,设 导 弹 要 发 射 n 枚,击 中 m 枚,
P m P n( ) ( )1 1 01 0 96 0 040 0C n n(,) (,)
1 0 04 0 999(,),n
即,(,),0 04 0 001n?
n lg,0 04 3
n? 2 15.
答,需 要 发 射 3 枚 导 弹 才 能 保 证 至 少 有 一 枚 导 弹击 中 敌 机 的 概 率 大 于 0,9 9 9,
c,记为 X ~ P ( )?,? 是参数。其中，
P X m
m
e
m
m
m
( )
!
0 0
e
m
m
m
!0
e e 1
E X = D X =?
泊松分布 ( P oi ss on ) P ( )?
a,X 的可能取值为,0 1 2,,,?
b,X 的分布律为：
P X m P m
m
e
m
( ) ( )
!
,
0
[证 ]
ekkXE
k
k
0 !
)( )!1(
1
1?
ke
k
k
01
1
)!1(k
k
ke
e e
证明：若 X ~ P ( )?,则 E X( ) =? 。
P(x)
x0
=2.5
=5
=10
注 意,泊 松 分 布 是 非 对 称 的,但 是,? 越 大,非 对 称性 越 不 明 显 。
应用：用于稠密性问题中,
例如：
某一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数某一段时间内候车的旅客数某一段时间内原子放射粒子个数一批产品共 N 个，其中 M 个为次品，从中任取 n 个产品，求其中恰有 m 个次品的概率。
解,设 A 表 示 恰 有 m 个 次 品,
样本空间中样本点的总数为 nNC,
事件 A 所包含的样本点个数为 C CMm N Mn m,
n
N
mn
MN
m
M
C
CCAP )(
即 其 中 恰 有 m 个 次 品 的 概 率 为.
n
N
mn
MN
m
M
C
CC
(5)超几何分布
EX=nM/N 返回证明：若 X ~ H n M N(,,),
[ 证 ] P X m
C C
C m n M
M
m
N M
n m
N
n( ),,,,,m i n (,)
0 1 2?
P X m C CC
m
n M
m
n M
M
m
N M
n m
N
n
0 0
1
m i n (,) m i n (,)
( )
C C CNn Mm N Mn m
m
n M
0
m i n (,)
，
C C CNn Mm N Mn m
m
n M
11 1 1 11
0
1 1
( ) ( )
( )
m i n (,)
C CMm N Mn m
m
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
，
则 E X( ) =
nM
N 。
E X m
C C
C
M
m
N M
n m
N
n
m
n M
( )
m i n(,)
0
),m i n (
1
Mn
m
n
N
mn
MN
m
M
C
CCm
令 m k 1,则上式可写成：
)1,1m i n (
0
)!(!
!
)!1()!1(
)!(
)!1()!1(
!
)1(Mn
k
nNn
N
knMNkn
MN
kMk
M
k
EX
)1,1m i n (
0
)!()!1(
)!1(
)!1()!1(
)!(
)!1(!
)!1(
Mn
k
nNn
N
n
N
knMNkn
MN
kMk
MM
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
nM
N
C C
C0
1 1
1
1
1
1
m i n (,)
nMN?
( )
m i n (,)
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
C C
C0
1 1
1
1
1
1
C Nn 11
C CMm N Mn m
m
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
C CMk N Mn k
k
n M
1
1
0
1 1
( )
( )
m i n (,)
，
k
n M
M
k
N M
n k
N
n
C C
C?
0
1 1
1
1
1
1 1
m i n (,)
E X( ) = nMN,
（ 6 ）几何 分布 )( pGe
c,如果随机变量 X 具有以上的分布律，则称 X 服从几何分布，记 )(~ pGeX 。
2;
1
p
q
DX
p
EX
a,首次 成 功 发生 在 第 k 次 试验 时 所服从 的 概率 分布 。
b,分布律为：
,1,)()( 1 qppqmPmXP mn
,,2,1m
其中,1)()(
0
n
m
n
qpmP
[ 证 ]
)(XE
1
1)1(
k
kppk
1
)1(
k
kpp
p p p11 1( )
p pp1
p p1 1
( )p p1 2 = 1p
证明：若 X ~ G p( ),则 E X( ) =
1
p 。
二、连续型随机变量
( 1 ) 均 匀 分 布 U a b(,) ( U n i f o r m d i s t r i b u t i o n )
a,定义
0 x
( )x
1
b a?
a b
称 X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,
的 概 率 密 度 密 度 为
其它,0
,
1
)(
bxa
abxp
记为 X U a b~ (,) 。
( 2 ) 正态分布 N (,) 2 （高斯分布，常态分布）
a,定义若随机变量 X 的分布密度为
( )
( )
x e
x
1
2
2
2
2
,,
2
0? 是常数，
则称随机变量 X 服从正态分布，记为
),(~ 2NX
0 x
( )x
关于参数的说明：
密度函数图形特点：
关于 x 对称；
极大值,极大( )
1
2 ；
拐点：在 x 处；? 渐近线,x 轴。
位置参数? （在 x 轴上平移）
比例参数?,? 大，图形平坦；? 小，图形呈尖塔形。
0 x
()x
2
1
xx
b,分 布 函 数,
F x e dx
x
x
( )
( )
1
2
2
22
分 布 函 数 的 图 形,
x
F x( )
标 准 正 态 分 布 X N~ (,)0 1
分 布 密 度 为( )x e
x
1
2
2
2
0 x
( )x
-x x
)( x )(1 x
( )x 的 性 质,
( 1 )? ( ),0 0 5?,( 2 )? ( ) 1,( 3 )( ) ( )x x1,
分 布 函 数 记 为? ( )x,即? ( )x e dt
t
x
1
2
2
2
。
( )x 的 图 形,?( )x
0 x
0,5
定 理 1,若 随 机 变 量 X N~ (,)
2
,X 的 分 布 函 数 为
F x( ),则 Z
X
N?
~ (,)0 1,F x
x
( ) ( )?
。
证 明,
F x P X x e dx
x
x
( ) ( )
( )
1
2
2
2
2
t x( )
1
2
2
2
e dt
tx
( )
x?
#
定 理 2,若 随 机 变 量 X N~ (,)
2
,则 X 落 在 区 间 (,)x x1 2
内 的 概 率,P x X x( )1 2
( ) ( )
x x2 1?
证 明,P x X x F x F x( ) ( ) ( )1 2 2 1
( ) ( )x x2 1
例 12,)4,1(~ NX,求 P X(,)0 1 6 。
解,P X(,)0 1 6
)5.0()3.0( )]5.0(1[)3.0(
6915.016179.0
3094.0?
)2 10()2 16.1(
例 13,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在 d ℃，液体的温度 X （以
℃计）是一个随机变量，且 X N d~ (,,)0 5
2
。
（ 1 ）若 d = 9 0,求 X 小于 89 的概率； （ 2 ）
若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0,9 9,问
d
至少为多少？
解,（ 1 ）所求概率为
P
X d d
0 5
80
0 5.,
1
0 5
80
0 5
P
X d d
.,
1
80
0 5
d
.
即
80
0 5
1 0 99 0 01
d
.
.,
( )2? 0 0228,。9 7 7 2.01
)2(1
5.0 90895.0 90895.0 90}89{ XPXP
}80{?XP
（ 2 ）按题意需求 d 满足
99.0
0 x
( )x
80
05
d
.
d?80
05.
d 800 5 0 99.,
查 表 的,? (,),2 32 0 9898?,? (,),2 33 0 9901?
由 插 值 法 得,? (,),2 327 0 99?
d 80
0 5
2 327
.
.
即 d? 81 1635,。
0 x
( )x
u?
设 X N~ (,)0 1,若 u? 满足条件
P X u{ },0 1
则称点 u? 为标准正态分布的上? 分位点。
分位点：
例 1 4,设 X N~ (,) 2,求 X 落 在 区 间 (,)k k
内 的 概 率 。 (,,)k? 1 2?
解,P k X k( )
0 6826
0 9544
0 9973
0 99994
0 9999994
.,
.,
.,
.,
.,
k
k
k
k
k
1
2
3
4
5
kk
)()( kk )](1[)( kk 1)(2 k
3? 原理如果随机变量 X 服从正态分布 N (,)
2
，则随机变量 X 落在 (,)3 3 之 外 的 概 率 小 于
0,003 。通常认为这一概率是很小的，因此，我们常把区间 (,)3 3 看作是随机变量 X 实际可能的取值区间。这一原理叫作,3? 原理”。
EX
x e dx
x1
2
2
22
( )
令
x
t
，上式写成
EX
( )
t e dt
t
1
2
2
2
1
2 2
2 2
2 2
e dt te dt
t t
（
te
t
2
2
是奇函数,?
te dt
t
2
2
0
）
.),,(~ 2EXNX 则若令
x
t
,
2EX dtet
t
22
2
2
1
)(
222222 )( EXEXDX
已知随机变量 X ~ N (,)
2
则 2EX dxex
x
2
2
2
)(
2
2
1?
dte
t
dttedte
ttt
2
2
2222
222
22
2
2
1
2222
2
2
22
2
2
0
22
222
dteete
ttt
( 3 ) 指数分布 e ( )? (Exp on e n ti al d i s tr i b u ti on )
a,定 义若 随 机 变 量 X 的 分 布 密 度 为
( )
,
,
x
e x
x
x
0
0 0
, 0,
则 这 种 分 布 叫 做 指 数 分 布,称 随 机 变 量
X
服 从 参 数为? 的 指 数 分 布,记 为 X e~ ( )? 。 其 分 布 函 数 为
F x
e x
x
x
( )
,
,
1 0
0 0
EX 0 x e dxx
( ) ( )
0
x d e x
( ) ( )x e e dxx x0 0 1
0
1
0?
e x1 0 1 1
( )
),(~?eX若?
1?EX则
，
则 2EX dxex x 20
)()(
2
0
x
edx
dxexex
xx
00
2
)2()(
dxex
x
0
20 )(
2
0
x
exd
)(
2
00
dxeex
xx
2
0
2
22
x
e
2
2
2
22 1)1(2)(
EXEXDX
注意：若随机变量 X ~ e ( )
1
,即随机变量 X 的分布密度为
( )
,
,
x
e x
x
x
1
0
0 0
则 EX
0
1
x e dx
x
( ) ( )
0
x d e
x
( ) ( )x e e dx
x x
0
0
1
0
0
e
x
( ) ( )0 1
则
2
EX
dxex
x
1
2
0
)()(
2
0
x
edx
dxexex
xx
0
0
2
)2()(
x
edx
0
20
dxeex
xx
0
0
22
22
0
2
2)10)(2()()2(
x
e
22222 2)( EXEXDX
4,? 2 分布则
EX x
k
x e dxk
k x
0
2
2
1
2
1
2
2
已知随机变量 X 的密度函数为
( )
,
,
x
k
x e x
x
k
k x
1
2
2
0
0 0
2
2
1
2
kEXkX?则若 ),(~ 2?
dxex
k
xk
k
22
0
2
2
2
1
令 x t? 2,dx dt? 2,得
2 分布的数学期望就等于其自由度 k 。
EX
k
t e dt
k
t
2
2
0
2
2
2
2
1
k
k
2
2
2 2
k
k k
k
dxex
k
xEX
xk
k
2
1
2
2
2
0
2
2
2
1
dxex
k
xk
k
2
1
2
0
2
2
2
1
令 x t? 2,dx dt? 2,得
dtet
k
EX
t
k
1
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
)2(
22
)1
2
(
2
2
2
kk
kkk
k
已知 kEX? kkkkEXEXDX 22)( 2222
（ 5）对数正态分布的数学期望＝试求设随机变量 euN ),,(~ 2
22
)(
2
2
)(2
22
)(
222
22
2
)(
222
2
2
22
22
2
2
2
1
22
22
)(
22
1
2
1
)(
u
y
u
y
u
y
u
y
y
u
y
yu
ux
xx
edyee
dye
e
dye
e
E
yy
y
dye
e
dyeeE
ux
y
dxeedxxpeE
配方变换
2
baEX),( baU
9,? 2 分布 )(2 k? kEX? kDX 2?
1.两点分布 pXP }1{ pEX? 1, qppqDX
2.二项分布 ),( pnB npEX? 1, qpn p qDX
),,( NMnH3.超几何分布
4.泊松分布 )(?PEXDX
5.几何分布 )(pG pEX 1?
6.均匀分布
)(?e?1?EX 21DX8.指数分布
)1(
))((
2?
NN
nNMNnMDX
N
nMEX?
2pqDX?
12)( 2abDX
2DXEX7.正态分布 ),( 2N
