1.3条件概率与独立性复习 返回
1,定 义条 件 概 率 ─ ─ 考 虑 A 已 发 生 的 条 件 下,B 发 生 的 概率 。
例 1,一 枚 硬 币 抛 两 次,观 察 其 正 反 面 出 现 的 次 数 。
解,样 本 空 间? = { 正 正,正 反,反 正,反 反 }
事 件 A 表 示 至 少 有 一 次 为 正 面,
事 件 B 表 示 两 次 都 是 同 一 面,则
A = { 正 正,正 反,反 正 },B = { 正 正,反 反 }
现 在,求 已 知 A 发 生 的 条 件 下,B 发 生 的 概 率 。
注 意,A 发 生,样 本 空 间? 缩 小 为
= { 正 正,正 反,反 正 }?A
其 中,只 有 一 个,正 正,? B,
P B A( | ) 13 5分 国徽
P A( ),? 34 P AB( ),? 1
4
P ABP A( )( ) 1 43 4 13
P B A P ABP A( | ) ( )( )
P B A P AB
P A
( | ) ( )
( )
恒成立吗？
古 典 概 型 的 情 形设 试 验 的 基 本 事 件 总 数 （ 即 样 本 空 间 的 容 量 ） 为 n,
事 件 A 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 m m( )? 0,
事 件 AB 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 k,
则
m
kABP?)|(
定 义,设 A,B 为 两 事 件,且 P A( )? 0,称
P B A P ABP A( | ) ( )( )?
为 在 事 件 A 发 生 的 条 件 下,事 件 B 发 生 的 概 率 。
nm
nk?
)(
)(
AP
ABP?
P A( | )? 符 合 概 率 定 义 中 的 三 个 条 件,
1 ) 对 每 一 个 事 件 B,P B A( | )? 0
2 ) P A( | ) 1
3 ) 设 B B B n1 2,,, 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则 有
11
)|()|(
i
i
i
i ABPABP?
P A( | )? 具 有 概 率 的 重 要 结 果,
1 ) 如 B B B n1 2,,,? 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则
n
i
i
n
i
i ABPABP
11
)|()|(?
2 ) 若 B B1 2,是 对 立 事 件,则 P B A P B A( | ) ( | )2 11
3 )? B B1 2,,P B B A P B A P B A P B B A( | ) ( | ) ( | ) ( | )1 2 1 2 1 2
例 2,一盒装有 5 只产品，其中有 3 只是一等品,2 只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件 A 为,第一次取到的是一等品”，事件 B 为,第二次取到的是一等品”。试求条件概率 )|( ABP 。
解,方 法 一,条 件 概 率 的 定 义 。
P A( ),? 35 P AB C C
A( )
3
1
2
1
5
2
6
20
P B A P ABP A( | ) ( )( ) 6 203 5 12
方 法 二,给 产 品 编 号,1,2,3 为 一 等 品,4,5 为 二 等 品,
则 {,,}1 2,3 4,5 。
在 A 已经发生的条件下，第二次只能从剩余的
2 只一等品,2 只二等品中抽取，
所以，这时抽到一等品的概率为
P B A( | ),24 12
2,乘 法 定 理,P AB P B A P A( ) ( | ) ( )
推 广,
1 ) P ABC P C AB P B A P A( ) ( | ) ( | ) ( )
2 ) P A A A n( )1 2P A A An n( | )1 1?
P A A A P A A P An n( | ) ( | ) ( )1 1 2 2 1 1
注意：条件 0)(?AP
0)(?ABP注意：条件
0)( 121nAAAP?
注意：条件例 3,一 批 零 件 共 1 0 0 个,次 品 率 1 0 %,每 次 从 其 中 任取 一 个,取 出 的 不 再 放 回,求 第 三 次 才 取 得 合 格品 的 概 率 。
解,设 A i 表示第 i 次取得合格品则 321 AAA
10100 999 9098 0 0083.
即,第 三 次 才 取 得 合 格 品 的 概 率 为 0,0 0 8 3,
)(P )|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
例 4,眼镜落地，第一次落下打破的概率为 1 /2 ；第一次未打破，第二次落下被打破的概率为 7 /10 ；若前二次未打破，第三次落下打破的概率为 9 /10,试求：眼镜在三次落下内打破的概率。
解,设 A
i 表 示 眼 镜 第 i 次 落 下 打 破,B 表 示 眼 镜 落 下 三 次内 打 破,则B A A A A A A1 2 1 3 1 2
方 法 一,直 接 计 算 。
P B P A P A A P A A A( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2
P A P A A P A P A A A P A A P A( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( )1 2 1 1 3 1 2 2 1 1
2
1?
方 法 二,先 算 对 立 事 件 的 概 率 。
B A A A? 1 2 3
P B P A A A P A A P A( ) ( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 11
10
3
10
1
2
3
200
985.0200197200 31)(1)( BPBP
2
1
10
7
2
1?
10
3
10
9 985.0
200
197
即：眼镜在三次落下 内打破的概率为 0.985。
的区别：与 )|()( ABPABP
A
A O B
ABP
ABP
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(
1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP2.
1.3.2独立性复习返回设 A,B 是 随 机 试 验 E 的 两 个 事 件一 般 P B A P B( | ) ( )?,即 A 的 发 生 对 B 发 生 有 影 响,
若这种影响不存在，则否 则,称 为 是 不 独 立 的 。
独立的定义
)()|( BPABP?
独立的对称性：
证 明,? P B A P B( | ) ( ),?
P A B P B A P AP B P B P AP B P A( | ) ( | ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
即 B 对 A 是 独 立 的 。
若 A 对 B 是独立，则 B 对 A 是独立的,
相互独立,若 A,B 两事件中任一事件的发生不影响另一事件的发生，则称 A 与 B 相互独立。
这时，称 事件 A 对事件 B 是独立的，
解,1 ） 放 回 的 情 形
P B A P B( | ) ( ) 35,
2 ） 不 放 回 的 情 形
P B A( | )24 12
P B P AB P A B( ) ( ) ( )
P B A P A P B A P A( | ) ( ) ( | ) ( )
24 35 34 25 1220 35
这 时,P B A P B( | ) ( )? 。
例 1,袋中有 3 个白球,2 个黑球，从袋中陆续取出两个球，设 A 表示第一次取出白球,B 表示第二次取出白球，考察在放回和不放回两种情况下，事件 A 和 B 是否独立。
即 A 对 B 不是独立的。
即 A 对 B 是独立的。
若 )()()( BPAPABP?,则称 A 与 B 相互独立。
若 P A P B( ) ( )? 0,则,A,B 互不相容”与,A,B
相互独立”不能同时成立。
（,A,B 互 不 相 容,P AB P( ) ( ) 0,
,A,B 相 互 独 立,P AB P A P B( ) ( ) ( ) 0,）
独立性的另一种定义注意：
定理 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B,A 与 B,A 与
B 也相互独立。
证 明,（ 1 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P A P AB P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P A P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P A P B P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
（ 2 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P B P AB P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P B P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P B P A P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P B P A P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
（ 3 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P A P A B P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P A P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P A P B P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
推 广,( 1 ) 三 个 事 件 A B C,,两 两 独 立,若 满 足 P A P A B P A C( ) ( | ) ( | )
P B P B A P B C( ) ( | ) ( | )
P C P C A P C B( ) ( | ) ( | )
或 满 足 P AB P A P B( ) ( ) ( )?
P BC P B P C( ) ( ) ( )?
P AC P A P C( ) ( ) ( )?
( 2 ) A B C,,相 互 独 立,若 满 足 P A P A B P A C P A BC( ) ( | ) ( | ) ( | )
P B P B A P B C P B AC( ) ( | ) ( | ) ( | )
P C P C A P C B P C AB( ) ( | ) ( | ) ( | )
或 满 足 P AB P A P B( ) ( ) ( )?
P BC P B P C( ) ( ) ( )?
P AC P A P C( ) ( ) ( )?
P ABC P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )?
注 意,两 两 独 立? 相 互 独 立,
两两独立
=相互独立
？
A B C,,不 是 相 互 独 立 的 。
例 2,有 四 个 球,其 中 一 个 红,一 个 白,一 个 黑,还 有一 个 是 红 白 黑 三 色 球,任 取 一 球,设 A B C,,分 别表 示 取 到 的 球 上 有 红,白,黑 色,问 A B C,,是 否相 互 独 立 。
解,P A P A B P A C( ),( | ) ( | ) ;2
4
1
2
P A P A B P A C( ) ( | ) ( | ) 12
同 理,P B P B A P B C( ) ( | ) ( | ) 1
2
P C P C A P C B( ) ( | ) ( | ) 12
A B C,,是 两 两 独 立 的 。
P A BC P B AC P C AB( | ) ( | ) ( | ) 1
推 广,A A A n1 2,,,? 相 互 独 立,如 果 任 意 的 A i 与 其 余 的任 意 m 个 事 件 的 积 是 独 立 的,即
P A P A A A A
i i j j j
m
( ) ( | ),?
1 2
其 中,j j j m1 2,,,? 是 1 ~ n 中 除 i 外 的 任 意 m 个
m n1 2 1,,,?
或者，若对任意的 nkk2,，
任取 niii k211
有 P A A A P A P A P Ai i i i i i
k k
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
（ 共 有 等 式 C C C C Cn n nn n n n2 3 0 11 1 ( )
2 1n n 个 ）
解,设 A i 表示第 i 道工序出次品，则 A A A1 2 3,,相互独立，
P A P A P A( ) ( ) ( )1 2 32 %,3 %,5%
三 道 工 序 中 只 要 有 一 道 工 序 出 次 品,加 工 出 来 的 零 件就 是 次 品,
即 P A A A P A P A P A
P A A P A A P A A P A A A
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 1 3 1 2 3
P A P A P A P A P A P A P A
P A P A P A P A P A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
1 2 3 1 2 2 3
1 3 1 2 3
0 09693
或 者,)(1)(1)( 321321321 AAAPAAAPAAAP
1
1 1 2 % ) 1 3 % ) 1 5 % )
1 0 90307 0 09693
1 2 3P A P A P A( ) ( ) ( )
( ( (
.,
例 3,加工零件要三道工序，三道工序的次品率分别为 2%,3% 和 5%,
各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率是多少？
加工出来的零件的次品率是 0.09693。
例 4,考察由 n 个相互独立的元件构成的系统的可靠性,1 ）串联系统； 2 ）并联系统。
（元件的可靠性是指一个电子元件能正常工作的概率；系统的可靠性是指由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率。）
(1 ) 串联系统 ( 2 ) 并联系统解,设 A i 表 示 第 i 个 元 件 可 靠,P A p i n
i i( ),,,, 1 2?
1 ） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时,系 统才 会 可 靠,所 以 串 联 系 统 可 靠 性 为,
P A A A P A P A P A p p pn n n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
2 ） 并 联 情 况 下,只 要 有 一 个 元 件 是 可 靠 的,系统 就 是 可 靠 的,所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为,
)1()1)(1(1
)()()(1
)(1)(
21
21
2121
n
n
nn
ppp
APAPAP
AAAPAAAP
若 这 n 个 元 件 （ 相 互 独 立 ） 相 同,P A pi( )?
i n? 1 2,,,?
则 串联,( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A pn n n1 2 1 2
并联,( ) ( )P A A A pn n1 2 1 1
1.3.4、
贝努里概型返回复习
1,贝 努 里 概 型
1 ) 贝 努 里 试 验
─ ─ 只 有 两 个 可 能 结 果 的 随 机 试 验
2 ) 重 复 独 立 试 验
─ ─ 试 验 在 相 同 的 条 件 下 重 复 进 行,各 试 验 结 果 互 不影 响 。
3 ) 贝 努 里 概 型
── n 重贝努里试验的数学模型。
2,二 项 概 率 公 式
n 重 贝 努 里 试 验 中,事 件 A 可 能 发 生 0 次,1
次,?,n 次 。
事 件 A 恰 好 发 生 k k n( )0 次 的 概 率P kn( )
1) 定理,n 重贝努里试验中，一次试验中，事件
A 发生的概率为 p p( )0 1,则事件 A
恰好发生 k k n( )0 次的概率：
2 ) 性 质,
（ 1 ） P kn
k
n
0
1( )
（ 2 ） P kn ( ) 是 ( )px q n? 展 开 式 中 x k 的 系 数,
P k C p q q p k nn nk k n k( ),,,,, 1 0 1?,
knk
n
k
k
n
n qpxCqpx?
)()(
0
kknk
n
k
k
n xqpC
0
3 ) 贝 努 里 概 型 中 常 用 公 式( 1 ) n 次贝努里试验中，事件 A 发生次数介于
1m 与 2m 之间的概率：
P m m m P mn
m m
m
( ) ( )1 2
1
2
(2) n 次贝努里试验中，事件 A 至少发生 r 次的概率：
P m r P m P mn
m r
n
n
m
r
( ) ( ) ( )
1
0
1
全概率公式和贝叶斯公式
1.4
复习返回
1,样 本 空 间 的 划 分,
为 试 验 E 的 样 本 空 间,
B B B n1 2,,,? 为 E 一 组 事 件,若
( 1 ) B B i j n i ji j,,,,,;1 2? ；
( 2 ) B B B n1 2
则 称 B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分 。
即,将? 划 分 成 一 组 互 不 相 容 的 事 件 。
例 1,掷 一 骰 子,观 察 其 点 数 。
解,样 本 空 间 {,,,,,}1 2 3 4 5 6
B 1 1 2 3? {,,},B 2 4 5? {,},B 3 6? { } 是? 的 一 个 划 分
C 1 1 2 3? {,,},C 2 3 4? {,},C 3 5 6? {,} 不 是? 的 划 分 。
2,全 概 率 公 式
A 为 一 事 件,B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分,
且 P B i( )? 0,
P A P A B P Bi i
i
n
( ) ( | ) ( )?
1
证 明,P A p A P A B B B n( ) ( ) ( ( )) 1 2?
P AB AB AB n( )1 2?
P A B P B P A B P B P A B P Bn n( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2?
P A B P Bi i
i
n
( | ) ( )
1
则
5个
2个
3个例 2.有十个袋子，装球情况如左图所示。任选一个袋子，并从中任取两球,
求取出的两球都是白球的概率。
解,设 A 表 示 取 出 的 2 个 球 都 是 白 球,
B i 表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第 i 种
（ i? 1 2 3,,） 。
P B P A B CC( ),( | ) ;1 1 2
2
6
2
2
10
1
15
P B P A B CC( ),( | ) ;2 2 3
2
6
2
3
10
3
15
P B P A B CC( ),( | ),3 3 4
2
6
2
5
10
6
15
P A P A B P B P A B P B P A B P B( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2 3 3
210 115 310 315 510 615 41150 0 273.
例 3,某工厂生产的产品以 1 0 0 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有 )4,3,2,1,0(?ii 个次品的概率如下：
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求各批产品通过检查的概率。
解,设 事 件 B i 表 示 一 批 产 品 中 有 i 个 次 品 （ i? 0 1 2 3 4,,,,）,
则
P B P B P B
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ),,( ),,
0 1 2
3 4
0 1 0 2 0 4
0 2 0 1
设 事 件 A 表 示 这 批 产 品 通 过 检 查,即 抽 样 检 查 的 1 0
个 产 品 都 是 合 格 品,则P A B( | ),
0 1?
P A B CC( | ),,1 99
10
100
10 0 900P A B
C
C( | ),,2
98
10
100
10 0 809
P A B CC( | ),,3 97
10
100
10 0 727
P A B CC( | ),4 96
10
100
10 0 652
P A P A B P Bi i
i
( ) ( | ) ( ),
0
4
0 8142
继续全 概 率 公 式P A P A B P B
i i
i
n
( ) ( | ) ( )?
1
P B i( ) ─ ─ 试 验 前 的 假 设 概 率 。 （ i n? 0 1 2,,,,? ）
如 果 进 行 一 次 试 验,事 件 A 确 实 发 生 了,
则 应 当 重 新 估 计 事 件 的 概 率,即 求 P B Ai( | ) 。
P B Ai( | ) ─ ─ 试 验 后 的 假 设 概 率 。 （ i n? 0 1 2,,,,? ）
3,贝 叶 斯 公 式,
A 为 一 事 件,B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分,且
P A( ),? 0 P B i ni( ),,,,0 1 2?
则 P B A P A B P B
P A B P B
i ni i i
i i
i
n( | )
( | ) ( )
( | ) ( )
,,,,
1
1 2?
例 4,某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，
并且其中恰有 )4,3,2,1,0(?ii 个次品的概率如下：
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
求通过检查的各批产品中恰有 i （ i? 0 1 2 3 4,,,,） 个次品的概率。
解,设事件 A 表示这批产品通过检查，即抽样检查的 10
个产品都是合格品，则
8 14 2.0)(?AP
设 事 件 B i 表 示 一 批 产 品 中 有 i 个 次 品 （ i? 0 1 2 3 4,,,,）,
P B P B P B
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ),,( ),,
0 1 2
3 4
0 1 0 2 0 4
0 2 0 1
P B A P A B P BP A ii i i( | ) ( | ) ( )( ),,,,, 0 1 2 3 4
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 P B Ai( | ) 0,1 2 3 0,2 2 1 0,3 9 7 0,1 7 9 0,0 8 0
一 批 产 品 中 有 次 品 数 0 1 2 3 4
概 率 P B i( ) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
比 较,P B A( | )0? P B( )0,P B A( | )1? P B( )1,
P B A( | )2? P B( )2,P B A( | )3? P B( )3,
P B A( | )4? P B( )4,
结论：没有次品的必然通过检查，较少次品的较易通过检查；次品较多的较难通过检查。
检查前后的次品数的概率分布是有所不同的。
)|( ABP i比较 与 )( iBP
例 5,临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 9 5 %,对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占 9 6 % 。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 4?，
求,（ 1 ）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； （ 2 ）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率。
解,设 事 件 A 表 示 试 验 结 果 呈 阳 性 反 应,事 件 B 表 示 被 检查 者 患 有 癌 症,
则 据 题 意,
P B( ),? 0 004,P A B( | ),? 0 95,P A B( | ),? 0 96
P B( ),,0 996 P A B( | ),,? 0 05 P A B( | ),? 0 04
( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )1 P B A P B P A BP B P A B P B P A B
0 004 0 950 004 0 95 0 996 0 04 0 0871.,.,,,,
说明,试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大，还需要通过进一步的检查才能确诊。
( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )2 P B A P B P A BP B P A B P B P A B
0 996 0 960 004 0 05 0 996 0 96 0 9998.,.,,,,
说明：试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大。
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1,定 义条 件 概 率 ─ ─ 考 虑 A 已 发 生 的 条 件 下,B 发 生 的 概率 。
例 1,一 枚 硬 币 抛 两 次,观 察 其 正 反 面 出 现 的 次 数 。
解,样 本 空 间? = { 正 正,正 反,反 正,反 反 }
事 件 A 表 示 至 少 有 一 次 为 正 面,
事 件 B 表 示 两 次 都 是 同 一 面,则
A = { 正 正,正 反,反 正 },B = { 正 正,反 反 }
现 在,求 已 知 A 发 生 的 条 件 下,B 发 生 的 概 率 。
注 意,A 发 生,样 本 空 间? 缩 小 为
= { 正 正,正 反,反 正 }?A
其 中,只 有 一 个,正 正,? B,
P B A( | ) 13 5分 国徽
P A( ),? 34 P AB( ),? 1
4
P ABP A( )( ) 1 43 4 13
P B A P ABP A( | ) ( )( )
P B A P AB
P A
( | ) ( )
( )
恒成立吗？
古 典 概 型 的 情 形设 试 验 的 基 本 事 件 总 数 （ 即 样 本 空 间 的 容 量 ） 为 n,
事 件 A 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 m m( )? 0,
事 件 AB 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 k,
则
m
kABP?)|(
定 义,设 A,B 为 两 事 件,且 P A( )? 0,称
P B A P ABP A( | ) ( )( )?
为 在 事 件 A 发 生 的 条 件 下,事 件 B 发 生 的 概 率 。
nm
nk?
)(
)(
AP
ABP?
P A( | )? 符 合 概 率 定 义 中 的 三 个 条 件,
1 ) 对 每 一 个 事 件 B,P B A( | )? 0
2 ) P A( | ) 1
3 ) 设 B B B n1 2,,, 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则 有
11
)|()|(
i
i
i
i ABPABP?
P A( | )? 具 有 概 率 的 重 要 结 果,
1 ) 如 B B B n1 2,,,? 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件,则
n
i
i
n
i
i ABPABP
11
)|()|(?
2 ) 若 B B1 2,是 对 立 事 件,则 P B A P B A( | ) ( | )2 11
3 )? B B1 2,,P B B A P B A P B A P B B A( | ) ( | ) ( | ) ( | )1 2 1 2 1 2
例 2,一盒装有 5 只产品，其中有 3 只是一等品,2 只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件 A 为,第一次取到的是一等品”，事件 B 为,第二次取到的是一等品”。试求条件概率 )|( ABP 。
解,方 法 一,条 件 概 率 的 定 义 。
P A( ),? 35 P AB C C
A( )
3
1
2
1
5
2
6
20
P B A P ABP A( | ) ( )( ) 6 203 5 12
方 法 二,给 产 品 编 号,1,2,3 为 一 等 品,4,5 为 二 等 品,
则 {,,}1 2,3 4,5 。
在 A 已经发生的条件下，第二次只能从剩余的
2 只一等品,2 只二等品中抽取，
所以，这时抽到一等品的概率为
P B A( | ),24 12
2,乘 法 定 理,P AB P B A P A( ) ( | ) ( )
推 广,
1 ) P ABC P C AB P B A P A( ) ( | ) ( | ) ( )
2 ) P A A A n( )1 2P A A An n( | )1 1?
P A A A P A A P An n( | ) ( | ) ( )1 1 2 2 1 1
注意：条件 0)(?AP
0)(?ABP注意：条件
0)( 121nAAAP?
注意：条件例 3,一 批 零 件 共 1 0 0 个,次 品 率 1 0 %,每 次 从 其 中 任取 一 个,取 出 的 不 再 放 回,求 第 三 次 才 取 得 合 格品 的 概 率 。
解,设 A i 表示第 i 次取得合格品则 321 AAA
10100 999 9098 0 0083.
即,第 三 次 才 取 得 合 格 品 的 概 率 为 0,0 0 8 3,
)(P )|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
例 4,眼镜落地，第一次落下打破的概率为 1 /2 ；第一次未打破，第二次落下被打破的概率为 7 /10 ；若前二次未打破，第三次落下打破的概率为 9 /10,试求：眼镜在三次落下内打破的概率。
解,设 A
i 表 示 眼 镜 第 i 次 落 下 打 破,B 表 示 眼 镜 落 下 三 次内 打 破,则B A A A A A A1 2 1 3 1 2
方 法 一,直 接 计 算 。
P B P A P A A P A A A( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2
P A P A A P A P A A A P A A P A( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( )1 2 1 1 3 1 2 2 1 1
2
1?
方 法 二,先 算 对 立 事 件 的 概 率 。
B A A A? 1 2 3
P B P A A A P A A P A( ) ( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 11
10
3
10
1
2
3
200
985.0200197200 31)(1)( BPBP
2
1
10
7
2
1?
10
3
10
9 985.0
200
197
即：眼镜在三次落下 内打破的概率为 0.985。
的区别：与 )|()( ABPABP
A
A O B
ABP
ABP
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(
1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP2.
1.3.2独立性复习返回设 A,B 是 随 机 试 验 E 的 两 个 事 件一 般 P B A P B( | ) ( )?,即 A 的 发 生 对 B 发 生 有 影 响,
若这种影响不存在，则否 则,称 为 是 不 独 立 的 。
独立的定义
)()|( BPABP?
独立的对称性：
证 明,? P B A P B( | ) ( ),?
P A B P B A P AP B P B P AP B P A( | ) ( | ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
即 B 对 A 是 独 立 的 。
若 A 对 B 是独立，则 B 对 A 是独立的,
相互独立,若 A,B 两事件中任一事件的发生不影响另一事件的发生，则称 A 与 B 相互独立。
这时，称 事件 A 对事件 B 是独立的，
解,1 ） 放 回 的 情 形
P B A P B( | ) ( ) 35,
2 ） 不 放 回 的 情 形
P B A( | )24 12
P B P AB P A B( ) ( ) ( )
P B A P A P B A P A( | ) ( ) ( | ) ( )
24 35 34 25 1220 35
这 时,P B A P B( | ) ( )? 。
例 1,袋中有 3 个白球,2 个黑球，从袋中陆续取出两个球，设 A 表示第一次取出白球,B 表示第二次取出白球，考察在放回和不放回两种情况下，事件 A 和 B 是否独立。
即 A 对 B 不是独立的。
即 A 对 B 是独立的。
若 )()()( BPAPABP?,则称 A 与 B 相互独立。
若 P A P B( ) ( )? 0,则,A,B 互不相容”与,A,B
相互独立”不能同时成立。
（,A,B 互 不 相 容,P AB P( ) ( ) 0,
,A,B 相 互 独 立,P AB P A P B( ) ( ) ( ) 0,）
独立性的另一种定义注意：
定理 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B,A 与 B,A 与
B 也相互独立。
证 明,（ 1 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P A P AB P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P A P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P A P B P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
（ 2 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P B P AB P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P B P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P B P A P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P B P A P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
（ 3 ） 证 明 A 与 B 相 互 独 立
P A P A B P A B( ) ( ) ( )
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )
P A P A P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( | ) ( )
P A P B P A B P B( )( ( )) ( | ) ( )1
P A P B P A B P B( ) ( ) ( | ) ( )?
P A B P A( | ) ( )
即 A 与 B 相 互 独 立,
推 广,( 1 ) 三 个 事 件 A B C,,两 两 独 立,若 满 足 P A P A B P A C( ) ( | ) ( | )
P B P B A P B C( ) ( | ) ( | )
P C P C A P C B( ) ( | ) ( | )
或 满 足 P AB P A P B( ) ( ) ( )?
P BC P B P C( ) ( ) ( )?
P AC P A P C( ) ( ) ( )?
( 2 ) A B C,,相 互 独 立,若 满 足 P A P A B P A C P A BC( ) ( | ) ( | ) ( | )
P B P B A P B C P B AC( ) ( | ) ( | ) ( | )
P C P C A P C B P C AB( ) ( | ) ( | ) ( | )
或 满 足 P AB P A P B( ) ( ) ( )?
P BC P B P C( ) ( ) ( )?
P AC P A P C( ) ( ) ( )?
P ABC P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )?
注 意,两 两 独 立? 相 互 独 立,
两两独立
=相互独立
？
A B C,,不 是 相 互 独 立 的 。
例 2,有 四 个 球,其 中 一 个 红,一 个 白,一 个 黑,还 有一 个 是 红 白 黑 三 色 球,任 取 一 球,设 A B C,,分 别表 示 取 到 的 球 上 有 红,白,黑 色,问 A B C,,是 否相 互 独 立 。
解,P A P A B P A C( ),( | ) ( | ) ;2
4
1
2
P A P A B P A C( ) ( | ) ( | ) 12
同 理,P B P B A P B C( ) ( | ) ( | ) 1
2
P C P C A P C B( ) ( | ) ( | ) 12
A B C,,是 两 两 独 立 的 。
P A BC P B AC P C AB( | ) ( | ) ( | ) 1
推 广,A A A n1 2,,,? 相 互 独 立,如 果 任 意 的 A i 与 其 余 的任 意 m 个 事 件 的 积 是 独 立 的,即
P A P A A A A
i i j j j
m
( ) ( | ),?
1 2
其 中,j j j m1 2,,,? 是 1 ~ n 中 除 i 外 的 任 意 m 个
m n1 2 1,,,?
或者，若对任意的 nkk2,，
任取 niii k211
有 P A A A P A P A P Ai i i i i i
k k
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
（ 共 有 等 式 C C C C Cn n nn n n n2 3 0 11 1 ( )
2 1n n 个 ）
解,设 A i 表示第 i 道工序出次品，则 A A A1 2 3,,相互独立，
P A P A P A( ) ( ) ( )1 2 32 %,3 %,5%
三 道 工 序 中 只 要 有 一 道 工 序 出 次 品,加 工 出 来 的 零 件就 是 次 品,
即 P A A A P A P A P A
P A A P A A P A A P A A A
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 1 3 1 2 3
P A P A P A P A P A P A P A
P A P A P A P A P A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
1 2 3 1 2 2 3
1 3 1 2 3
0 09693
或 者,)(1)(1)( 321321321 AAAPAAAPAAAP
1
1 1 2 % ) 1 3 % ) 1 5 % )
1 0 90307 0 09693
1 2 3P A P A P A( ) ( ) ( )
( ( (
.,
例 3,加工零件要三道工序，三道工序的次品率分别为 2%,3% 和 5%,
各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率是多少？
加工出来的零件的次品率是 0.09693。
例 4,考察由 n 个相互独立的元件构成的系统的可靠性,1 ）串联系统； 2 ）并联系统。
（元件的可靠性是指一个电子元件能正常工作的概率；系统的可靠性是指由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率。）
(1 ) 串联系统 ( 2 ) 并联系统解,设 A i 表 示 第 i 个 元 件 可 靠,P A p i n
i i( ),,,, 1 2?
1 ） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时,系 统才 会 可 靠,所 以 串 联 系 统 可 靠 性 为,
P A A A P A P A P A p p pn n n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
2 ） 并 联 情 况 下,只 要 有 一 个 元 件 是 可 靠 的,系统 就 是 可 靠 的,所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为,
)1()1)(1(1
)()()(1
)(1)(
21
21
2121
n
n
nn
ppp
APAPAP
AAAPAAAP
若 这 n 个 元 件 （ 相 互 独 立 ） 相 同,P A pi( )?
i n? 1 2,,,?
则 串联,( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A pn n n1 2 1 2
并联,( ) ( )P A A A pn n1 2 1 1
1.3.4、
贝努里概型返回复习
1,贝 努 里 概 型
1 ) 贝 努 里 试 验
─ ─ 只 有 两 个 可 能 结 果 的 随 机 试 验
2 ) 重 复 独 立 试 验
─ ─ 试 验 在 相 同 的 条 件 下 重 复 进 行,各 试 验 结 果 互 不影 响 。
3 ) 贝 努 里 概 型
── n 重贝努里试验的数学模型。
2,二 项 概 率 公 式
n 重 贝 努 里 试 验 中,事 件 A 可 能 发 生 0 次,1
次,?,n 次 。
事 件 A 恰 好 发 生 k k n( )0 次 的 概 率P kn( )
1) 定理,n 重贝努里试验中，一次试验中，事件
A 发生的概率为 p p( )0 1,则事件 A
恰好发生 k k n( )0 次的概率：
2 ) 性 质,
（ 1 ） P kn
k
n
0
1( )
（ 2 ） P kn ( ) 是 ( )px q n? 展 开 式 中 x k 的 系 数,
P k C p q q p k nn nk k n k( ),,,,, 1 0 1?,
knk
n
k
k
n
n qpxCqpx?
)()(
0
kknk
n
k
k
n xqpC
0
3 ) 贝 努 里 概 型 中 常 用 公 式( 1 ) n 次贝努里试验中，事件 A 发生次数介于
1m 与 2m 之间的概率：
P m m m P mn
m m
m
( ) ( )1 2
1
2
(2) n 次贝努里试验中，事件 A 至少发生 r 次的概率：
P m r P m P mn
m r
n
n
m
r
( ) ( ) ( )
1
0
1
全概率公式和贝叶斯公式
1.4
复习返回
1,样 本 空 间 的 划 分,
为 试 验 E 的 样 本 空 间,
B B B n1 2,,,? 为 E 一 组 事 件,若
( 1 ) B B i j n i ji j,,,,,;1 2? ；
( 2 ) B B B n1 2
则 称 B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分 。
即,将? 划 分 成 一 组 互 不 相 容 的 事 件 。
例 1,掷 一 骰 子,观 察 其 点 数 。
解,样 本 空 间 {,,,,,}1 2 3 4 5 6
B 1 1 2 3? {,,},B 2 4 5? {,},B 3 6? { } 是? 的 一 个 划 分
C 1 1 2 3? {,,},C 2 3 4? {,},C 3 5 6? {,} 不 是? 的 划 分 。
2,全 概 率 公 式
A 为 一 事 件,B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分,
且 P B i( )? 0,
P A P A B P Bi i
i
n
( ) ( | ) ( )?
1
证 明,P A p A P A B B B n( ) ( ) ( ( )) 1 2?
P AB AB AB n( )1 2?
P A B P B P A B P B P A B P Bn n( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2?
P A B P Bi i
i
n
( | ) ( )
1
则
5个
2个
3个例 2.有十个袋子，装球情况如左图所示。任选一个袋子，并从中任取两球,
求取出的两球都是白球的概率。
解,设 A 表 示 取 出 的 2 个 球 都 是 白 球,
B i 表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第 i 种
（ i? 1 2 3,,） 。
P B P A B CC( ),( | ) ;1 1 2
2
6
2
2
10
1
15
P B P A B CC( ),( | ) ;2 2 3
2
6
2
3
10
3
15
P B P A B CC( ),( | ),3 3 4
2
6
2
5
10
6
15
P A P A B P B P A B P B P A B P B( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2 3 3
210 115 310 315 510 615 41150 0 273.
例 3,某工厂生产的产品以 1 0 0 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有 )4,3,2,1,0(?ii 个次品的概率如下：
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求各批产品通过检查的概率。
解,设 事 件 B i 表 示 一 批 产 品 中 有 i 个 次 品 （ i? 0 1 2 3 4,,,,）,
则
P B P B P B
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ),,( ),,
0 1 2
3 4
0 1 0 2 0 4
0 2 0 1
设 事 件 A 表 示 这 批 产 品 通 过 检 查,即 抽 样 检 查 的 1 0
个 产 品 都 是 合 格 品,则P A B( | ),
0 1?
P A B CC( | ),,1 99
10
100
10 0 900P A B
C
C( | ),,2
98
10
100
10 0 809
P A B CC( | ),,3 97
10
100
10 0 727
P A B CC( | ),4 96
10
100
10 0 652
P A P A B P Bi i
i
( ) ( | ) ( ),
0
4
0 8142
继续全 概 率 公 式P A P A B P B
i i
i
n
( ) ( | ) ( )?
1
P B i( ) ─ ─ 试 验 前 的 假 设 概 率 。 （ i n? 0 1 2,,,,? ）
如 果 进 行 一 次 试 验,事 件 A 确 实 发 生 了,
则 应 当 重 新 估 计 事 件 的 概 率,即 求 P B Ai( | ) 。
P B Ai( | ) ─ ─ 试 验 后 的 假 设 概 率 。 （ i n? 0 1 2,,,,? ）
3,贝 叶 斯 公 式,
A 为 一 事 件,B B B n1 2,,,? 为? 的 一 个 划 分,且
P A( ),? 0 P B i ni( ),,,,0 1 2?
则 P B A P A B P B
P A B P B
i ni i i
i i
i
n( | )
( | ) ( )
( | ) ( )
,,,,
1
1 2?
例 4,某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，
并且其中恰有 )4,3,2,1,0(?ii 个次品的概率如下：
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
求通过检查的各批产品中恰有 i （ i? 0 1 2 3 4,,,,） 个次品的概率。
解,设事件 A 表示这批产品通过检查，即抽样检查的 10
个产品都是合格品，则
8 14 2.0)(?AP
设 事 件 B i 表 示 一 批 产 品 中 有 i 个 次 品 （ i? 0 1 2 3 4,,,,）,
P B P B P B
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ),,( ),,
0 1 2
3 4
0 1 0 2 0 4
0 2 0 1
P B A P A B P BP A ii i i( | ) ( | ) ( )( ),,,,, 0 1 2 3 4
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 P B Ai( | ) 0,1 2 3 0,2 2 1 0,3 9 7 0,1 7 9 0,0 8 0
一 批 产 品 中 有 次 品 数 0 1 2 3 4
概 率 P B i( ) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
比 较,P B A( | )0? P B( )0,P B A( | )1? P B( )1,
P B A( | )2? P B( )2,P B A( | )3? P B( )3,
P B A( | )4? P B( )4,
结论：没有次品的必然通过检查，较少次品的较易通过检查；次品较多的较难通过检查。
检查前后的次品数的概率分布是有所不同的。
)|( ABP i比较 与 )( iBP
例 5,临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 9 5 %,对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占 9 6 % 。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 4?，
求,（ 1 ）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； （ 2 ）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率。
解,设 事 件 A 表 示 试 验 结 果 呈 阳 性 反 应,事 件 B 表 示 被 检查 者 患 有 癌 症,
则 据 题 意,
P B( ),? 0 004,P A B( | ),? 0 95,P A B( | ),? 0 96
P B( ),,0 996 P A B( | ),,? 0 05 P A B( | ),? 0 04
( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )1 P B A P B P A BP B P A B P B P A B
0 004 0 950 004 0 95 0 996 0 04 0 0871.,.,,,,
说明,试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大，还需要通过进一步的检查才能确诊。
( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )2 P B A P B P A BP B P A B P B P A B
0 996 0 960 004 0 05 0 996 0 96 0 9998.,.,,,,
说明：试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大。
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