例 某 工 厂 在 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命?
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
样本均值 x? 1548,总体均值? 0 1600?
问题：差异是随机的还是实质性的？
第 7 章 假设检验
7.1 假设检验的基本思想解,1 ) 提 出 假 设,H 0 0, v,s,H 1 0,
（ 原 假 设 ） （ 备 择 假 设 ）
2 ) 检 验 假 设检 验 目 的,在 H 0 和 H 1 之 间 选 择 一 个 。
对给定的一个临界概率? （显著性水平），
在 H 0 成立的条件下，找一个临界值,使
P x(| | )
0,
如何找临界值？
已 知 统 计 量 u x n N 0
0
0 1/ ~ (,)
要 使 P x(| | )0
只 要 P
x
n n
(
| |
/ /
)
0
0 0
)|(|,/
2
1
02
1
uuP
n
u 即其中
9 7 5.0)96.1(
05.0)|(|
,96.1,05.0
97 5.0
97 5.0
2
1
uuP
uu
即
,| |,u? 1 96,是 一 个 小 概 率 事 件,根 据 小 概率 事 件 的 实 际 不 可 能 原 理,我 们 认 为 在 H 0 成立 的 条 件 下,事 件,| |,u? 1 96,是 不 可 能 发 生 的 。
如 果 发 生 了,就 有 理 由 拒 绝 原 假 设 H 0 ； 否 则,
没 有 理 由 拒 绝 原 假 设 H 0,或 者 接 受 原 假 设 H 0,
或 者 作 进 一 步 的 检 验 。
x? 1548,| | | |
/,,u?
1548 1600
80 10 2 06 1 96
拒 绝 原 假 设 H 0,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 不 是 1 6 0 0 小时 。
如 果 x? 1570,则 | | | |/,,u1570 160080 10 1 19 1 96
没有理由拒绝原假设 H 0,则往往可以接受原假设 H 0,
即可以认为这批灯泡的寿命均值为 1600 小时。
假 设 检 验 的 基 本 思 想,
1 ） 提 出 假 设,H 0 0, （ 原 假 设 ） H 1 0, （ 备 择假 设 ）
2 ） 检 验 假 设,如 果 H 0 成 立,经 过 一 系 列 的 推 理 后,
假 如 没 有 矛 盾 出 现,便 说 明 原 假 设 H 0 成 立 （ 没 有理 由 拒 绝 原 假 设 ）,这 时 便 接 受 原 假 设 ； 反 之,
则 拒 绝 原 假 设,转 而 接 受 备 择 假 设 。
两类错误
1 ) 弃 真 ─ ─ 原 假 设 H
0
是 正 确 的,我 们 却 错 误 地 拒 绝 了它 。 弃 真 的 概 率 P x u H(| | | )0
2
0 。 （ 预先 取 定 ）
2 ) 取 伪 ─ ─ 原 假 设 H 0 是 错 误 的,我 们 却 错 误 地 接 受 了它 。 弃 真 的 概 率 为
。 （ 可 通 过 增 加 样 本容 量 来 减 小 ）
假 设 检 验 的 步 骤,
1,提出统计假设
2,构造统计量，确定其分布
3,按显著性水平?,确定拒绝域
4,计算统计量的观测值，作出统计推断双 侧 检 验 和 单 侧 检 验
1,双侧检验：当拒绝域在两侧（形如
21
||?
uu 时）。
2,单 侧 检 验,
上 例 中 问 题 改 为,是 否 可 以 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 均 值不 小 于 1 6 0 0？
检 验 假 设,H 0 0, v,s,H 1 0,( 1 ) 设 0,则 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平?,有
P u u P
x
n
u( )
/
0
0( 2 ) 设 0,? 是 总 体 均 值,对 于 给 定 的 显 著 性 水 平?,
P
x
n
u
0 /
.
注 意,当
0
时,x x
0
，
x
n
x
n
0
0
0
/ /
若
x
n
u
0
0
/
,则
x
n
u
0
/
.
即 {
x
n
u
0
0
/
}
{
x
n
u
0
/
}
P u u P
x
n
u P
x
n
u( )
/ /
0
0 0
.
综 合 ( 1 ),( 2 ) 得,
在 原 假 设 H 0 0, 成 立 的 条 件 下,P u u( ),
即 { u u } 是 小 概 率 事 件 。
若 u u,则 拒 绝 H 0 而 接 受 H 1,即 认 为 0,
若 u u,则 往 往 接 受 H 0,即 认 为 0,
上 例 中,如 果 x? 1570,u?
1548 1600
80 10
2 06 1 96
/
.,,
则 拒 绝 原 假 设 H 0 而 接 受 H 1,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 显著 地 小 于 1 6 0 0 小 时 。如 果 x? 1570,则 u?
1570 1600
80 10
1 19 1 96
/
.,,即 不能 拒 绝 H 0,即 可 以 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 均 值 不 小 于
1 6 0 0 小 时 。
这里 u u 是拒绝域，位于左侧，这类假设检验为左侧假设检验。类似地，若 H 0 0, v.s.
H
1 0
,,则拒绝域为 u u?
位于右侧，这类假设检验为右侧假设检验。左侧假设检验和右侧假设检验统称单侧假设检验。
7.2 正态总体参数的假设检验
7.2.1 单个总体，方差已知时，均值的检验例 某 工 厂 在 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命?
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
2）统计量
)05.0(
)1,0(~
/
0
0
0 N
n
xu H 成立
;,00H 01,H
解,1）检验假设
x? 1548,06.2
10/80
|1 60 01 54 8|||u
拒 绝 原 假 设 H 0,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 不 是 1 6 0 0 小时 。
3）计算统计量的值已知
4）比较
975.096.106.2|| uu
（统计量的值落在拒绝域内）
结论：
例 2,某厂生产合金钢，其抗拉强度 ),,(~ 2 N 现在抽查 5件样品，测得抗拉强度为 46.8,45.0,48.3,45.1,144.7，
要检验假设 ;48:
0H 48:1H
7.2.2 单个总体，方差未知时，均值的检验
2）统计量
)4(~/ 0* 0 tnsxt
H 成立;,00H 01,H
解,1）检验假设
535.1,98.45 * sx
9 4 2.2
5/5 3 5.1
|4898.45|||t
3）计算统计量的值
)4(7 7 6 4.29 4 2.2|| 025.0tt
（统计量的值落在拒绝域内）
结论,拒绝原假设，即认为 。48
4）与临界值比较
7.2.3 单个总体，均值未知时，方差的检验
2）统计量
)4(~ 22
0
2
2 0?
成立Hns
)0 4 8.0(:;,00100 HH解,1）检验假设
0 0 6 2 2 4.0,5 2 sn
3）计算统计量的值
4）与临界值比较,1 4 3.11)4(,4 8 4.0)4( 2 975.02 025.0
结论,拒绝原假设，即认为纤度的 发生了显著的变化 。
下有 现从中抽查 5根，测得纤度为 1.32,1.55，
1.36,1.40,1.44，问,的标准差 是否发生了显著的变化？
。0 4 8.0
例 2,某厂生产的维尼纶的纤度 ),,(~ 2 N 已知在正常情况
)05.0(
507.13048.0 006224.05 22
0
2
2
ns
)4(143.11507.13 2 975.02
7.2.4 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验例 4 任选 19个工人分成两组，让他们每人做一件同样的工作，
测得他们的完工时间（单位：分钟）如下：
饮酒者 30,46,51,34,48,45,39,61,58,67
未饮酒者 28,22,55,45,39,35,42,38,20
问：饮酒对工作能力是否有显著的影响？ （假设方差相等）
（显著水平 ）05.0
211210,;, HH
解,1）检验假设
2）统计量
21
11
nn
s
yx
T
w?
3）计算统计量的值
5 3 2 3.11
2910
00.1 1 2929.1 2 510
2
21
2
22
2
11
nn
snsn
s
w
29.125,9.47,10 211 sxn
00.1 1 2,0.36,9 222 syn
其中，
2 4 5 8.2
9
1
10
1
5 3 2 3.11
0.369.47
11
21
nn
s
yx
T
w
4）与临界值比较
1 0 9 8.2)17(2 5 8.2|| 975.0 tT 拒绝原假设结论：饮酒对工作能力有显著的影响。
7.2.5 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验前例中，假设方差相等。假设对不对？
211210,;, HH
解,1）检验假设
2）统计量
3）计算统计量的值
2*
2
2*
1
s
sF?
2 1 1.1 3 9
1
,29.1 2 5,10 21
1
12*
1
2
11 sn
nssn
00.1 2 6
1
,00.1 1 2,9 22
2
22*
2
2
22 sn
nssn
105.1000.126 211.1392*
2
2*
1
s
sF
4）与临界值比较
36.4)8,9(975.0?F
接受原假设结论：可以认为方差相等。
244.0
10.4
1
)9,8(
1)8,9(
975.0
025.0 FF
36.4)8,9(105.1244.0)8,9( 975.0025.0 FFF
例 某 工 厂 在 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命?
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
7.2.6 单侧检验达到例 2,某厂生产合金钢，其抗拉强度 ),,(~ 2 N 现在抽查 5件样品，测得抗拉强度为 46.8,45.0,48.3,45.1,144.7，
,98.45?x 能否认为抗拉强度不到 48？
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
样本均值 x? 1548,总体均值? 0 1600?
问题：差异是随机的还是实质性的？
第 7 章 假设检验
7.1 假设检验的基本思想解,1 ) 提 出 假 设,H 0 0, v,s,H 1 0,
（ 原 假 设 ） （ 备 择 假 设 ）
2 ) 检 验 假 设检 验 目 的,在 H 0 和 H 1 之 间 选 择 一 个 。
对给定的一个临界概率? （显著性水平），
在 H 0 成立的条件下，找一个临界值,使
P x(| | )
0,
如何找临界值？
已 知 统 计 量 u x n N 0
0
0 1/ ~ (,)
要 使 P x(| | )0
只 要 P
x
n n
(
| |
/ /
)
0
0 0
)|(|,/
2
1
02
1
uuP
n
u 即其中
9 7 5.0)96.1(
05.0)|(|
,96.1,05.0
97 5.0
97 5.0
2
1
uuP
uu
即
,| |,u? 1 96,是 一 个 小 概 率 事 件,根 据 小 概率 事 件 的 实 际 不 可 能 原 理,我 们 认 为 在 H 0 成立 的 条 件 下,事 件,| |,u? 1 96,是 不 可 能 发 生 的 。
如 果 发 生 了,就 有 理 由 拒 绝 原 假 设 H 0 ； 否 则,
没 有 理 由 拒 绝 原 假 设 H 0,或 者 接 受 原 假 设 H 0,
或 者 作 进 一 步 的 检 验 。
x? 1548,| | | |
/,,u?
1548 1600
80 10 2 06 1 96
拒 绝 原 假 设 H 0,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 不 是 1 6 0 0 小时 。
如 果 x? 1570,则 | | | |/,,u1570 160080 10 1 19 1 96
没有理由拒绝原假设 H 0,则往往可以接受原假设 H 0,
即可以认为这批灯泡的寿命均值为 1600 小时。
假 设 检 验 的 基 本 思 想,
1 ） 提 出 假 设,H 0 0, （ 原 假 设 ） H 1 0, （ 备 择假 设 ）
2 ） 检 验 假 设,如 果 H 0 成 立,经 过 一 系 列 的 推 理 后,
假 如 没 有 矛 盾 出 现,便 说 明 原 假 设 H 0 成 立 （ 没 有理 由 拒 绝 原 假 设 ）,这 时 便 接 受 原 假 设 ； 反 之,
则 拒 绝 原 假 设,转 而 接 受 备 择 假 设 。
两类错误
1 ) 弃 真 ─ ─ 原 假 设 H
0
是 正 确 的,我 们 却 错 误 地 拒 绝 了它 。 弃 真 的 概 率 P x u H(| | | )0
2
0 。 （ 预先 取 定 ）
2 ) 取 伪 ─ ─ 原 假 设 H 0 是 错 误 的,我 们 却 错 误 地 接 受 了它 。 弃 真 的 概 率 为
。 （ 可 通 过 增 加 样 本容 量 来 减 小 ）
假 设 检 验 的 步 骤,
1,提出统计假设
2,构造统计量，确定其分布
3,按显著性水平?,确定拒绝域
4,计算统计量的观测值，作出统计推断双 侧 检 验 和 单 侧 检 验
1,双侧检验：当拒绝域在两侧（形如
21
||?
uu 时）。
2,单 侧 检 验,
上 例 中 问 题 改 为,是 否 可 以 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 均 值不 小 于 1 6 0 0？
检 验 假 设,H 0 0, v,s,H 1 0,( 1 ) 设 0,则 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平?,有
P u u P
x
n
u( )
/
0
0( 2 ) 设 0,? 是 总 体 均 值,对 于 给 定 的 显 著 性 水 平?,
P
x
n
u
0 /
.
注 意,当
0
时,x x
0
，
x
n
x
n
0
0
0
/ /
若
x
n
u
0
0
/
,则
x
n
u
0
/
.
即 {
x
n
u
0
0
/
}
{
x
n
u
0
/
}
P u u P
x
n
u P
x
n
u( )
/ /
0
0 0
.
综 合 ( 1 ),( 2 ) 得,
在 原 假 设 H 0 0, 成 立 的 条 件 下,P u u( ),
即 { u u } 是 小 概 率 事 件 。
若 u u,则 拒 绝 H 0 而 接 受 H 1,即 认 为 0,
若 u u,则 往 往 接 受 H 0,即 认 为 0,
上 例 中,如 果 x? 1570,u?
1548 1600
80 10
2 06 1 96
/
.,,
则 拒 绝 原 假 设 H 0 而 接 受 H 1,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 显著 地 小 于 1 6 0 0 小 时 。如 果 x? 1570,则 u?
1570 1600
80 10
1 19 1 96
/
.,,即 不能 拒 绝 H 0,即 可 以 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 均 值 不 小 于
1 6 0 0 小 时 。
这里 u u 是拒绝域，位于左侧，这类假设检验为左侧假设检验。类似地，若 H 0 0, v.s.
H
1 0
,,则拒绝域为 u u?
位于右侧，这类假设检验为右侧假设检验。左侧假设检验和右侧假设检验统称单侧假设检验。
7.2 正态总体参数的假设检验
7.2.1 单个总体，方差已知时，均值的检验例 某 工 厂 在 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命?
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
2）统计量
)05.0(
)1,0(~
/
0
0
0 N
n
xu H 成立
;,00H 01,H
解,1）检验假设
x? 1548,06.2
10/80
|1 60 01 54 8|||u
拒 绝 原 假 设 H 0,即 认 为 这 批 灯 泡 的 寿 命 不 是 1 6 0 0 小时 。
3）计算统计量的值已知
4）比较
975.096.106.2|| uu
（统计量的值落在拒绝域内）
结论：
例 2,某厂生产合金钢，其抗拉强度 ),,(~ 2 N 现在抽查 5件样品，测得抗拉强度为 46.8,45.0,48.3,45.1,144.7，
要检验假设 ;48:
0H 48:1H
7.2.2 单个总体，方差未知时，均值的检验
2）统计量
)4(~/ 0* 0 tnsxt
H 成立;,00H 01,H
解,1）检验假设
535.1,98.45 * sx
9 4 2.2
5/5 3 5.1
|4898.45|||t
3）计算统计量的值
)4(7 7 6 4.29 4 2.2|| 025.0tt
（统计量的值落在拒绝域内）
结论,拒绝原假设，即认为 。48
4）与临界值比较
7.2.3 单个总体，均值未知时，方差的检验
2）统计量
)4(~ 22
0
2
2 0?
成立Hns
)0 4 8.0(:;,00100 HH解,1）检验假设
0 0 6 2 2 4.0,5 2 sn
3）计算统计量的值
4）与临界值比较,1 4 3.11)4(,4 8 4.0)4( 2 975.02 025.0
结论,拒绝原假设，即认为纤度的 发生了显著的变化 。
下有 现从中抽查 5根，测得纤度为 1.32,1.55，
1.36,1.40,1.44，问,的标准差 是否发生了显著的变化？
。0 4 8.0
例 2,某厂生产的维尼纶的纤度 ),,(~ 2 N 已知在正常情况
)05.0(
507.13048.0 006224.05 22
0
2
2
ns
)4(143.11507.13 2 975.02
7.2.4 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验例 4 任选 19个工人分成两组，让他们每人做一件同样的工作，
测得他们的完工时间（单位：分钟）如下：
饮酒者 30,46,51,34,48,45,39,61,58,67
未饮酒者 28,22,55,45,39,35,42,38,20
问：饮酒对工作能力是否有显著的影响？ （假设方差相等）
（显著水平 ）05.0
211210,;, HH
解,1）检验假设
2）统计量
21
11
nn
s
yx
T
w?
3）计算统计量的值
5 3 2 3.11
2910
00.1 1 2929.1 2 510
2
21
2
22
2
11
nn
snsn
s
w
29.125,9.47,10 211 sxn
00.1 1 2,0.36,9 222 syn
其中，
2 4 5 8.2
9
1
10
1
5 3 2 3.11
0.369.47
11
21
nn
s
yx
T
w
4）与临界值比较
1 0 9 8.2)17(2 5 8.2|| 975.0 tT 拒绝原假设结论：饮酒对工作能力有显著的影响。
7.2.5 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验前例中，假设方差相等。假设对不对？
211210,;, HH
解,1）检验假设
2）统计量
3）计算统计量的值
2*
2
2*
1
s
sF?
2 1 1.1 3 9
1
,29.1 2 5,10 21
1
12*
1
2
11 sn
nssn
00.1 2 6
1
,00.1 1 2,9 22
2
22*
2
2
22 sn
nssn
105.1000.126 211.1392*
2
2*
1
s
sF
4）与临界值比较
36.4)8,9(975.0?F
接受原假设结论：可以认为方差相等。
244.0
10.4
1
)9,8(
1)8,9(
975.0
025.0 FF
36.4)8,9(105.1244.0)8,9( 975.0025.0 FFF
例 某 工 厂 在 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命?
（ 小 时 ） 服 从 正 态 分 布 N (,)1600 80
2
。 从 该 工 厂 生 产的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 1 0 个 灯 泡,测 得 它 们 的 寿命 如 下,1 4 5 0,1 4 8 0,1 6 4 0,1 6 1 0,1 5 0 0,
1 6 0 0,1 4 2 0,1 5 3 0,1 7 0 0,1 5 5 0
如 果 标 准 差 不 变,能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 电 灯泡 的 寿 命 均 值 为 1 6 0 0 小 时？
7.2.6 单侧检验达到例 2,某厂生产合金钢，其抗拉强度 ),,(~ 2 N 现在抽查 5件样品，测得抗拉强度为 46.8,45.0,48.3,45.1,144.7，
,98.45?x 能否认为抗拉强度不到 48？
