6.1 点估计用样本估计总体的分布是数理统计的主要任务之一。
（ 1）当总体分布未知时，估计总体的方法称为非参数估计，
如：频率直方图，样本分布函数等。
（ 2）当总体分布已知时，只需对其中一些未知参数作出估计，这种估计总体的方法称为参数估计，
—估计参数的范围—区间估计
—估计参数的值—点估计参数估计
),,( 21 nxxxTT为未知参数，找统计量设?
的估计值，记为作为将?),,( 21 nxxxTT
).,,(? 21 nxxxT
6.1.1 矩法估计用样本矩代替总体矩。
则的样本为来自总体，设,,,21 Xxxx n?
k
n
i
k
i
k Xx
nEX 1
1
辛钦大数定理
，有，则对任意的有限的数学期望随机变量序列，且具有的是满足相互独立同分布，设
0),2,1(
,,21
i
E i
n
。
n
i
in nP
1
1}|1[|lim 。
n
i
in
1
1即
,,,21 的样本为来自总体，因为 Xxxx n?
独立同分布，，所以,nxxx?,,21
独立同分布，，因而,knkk xxx?,,21
kkik EXExEXX?存在，则若总体,
由辛钦大数定理：
k
n
i
k
i
k Xx
nEX 1
1
注意,（ 1） 总体矩一般与参数有关
（ 2）方程个数 m=待估参数个数
k
n
i
k
i
k Xx
nEX 1
1
解方程组：
),,2,1( mk
,,,.1 21 的样本为来自总体，设例 Xxxx n?
的矩估计。与、。求令但未知的期望和方差均存在，已知总体
22, DXEX
X
,? X,? 2222 sXX ）（?
sXX 22? ）（?
所求矩估计为注意：期望、方差的矩估计没有涉及总体的分布。
n
i
ixnEX
1
22 1
XxnEX
n
i
i
1
1 即解：解方程组：
222 X
,,,.2 21 的样本为来自总体，设例 Xxxx n?
的矩估计。求已知总体 ),(~ EX
,?1 XEX
解：
X
1
。的矩估计为即 X1?
已知分布类型，参数未知。求参数的矩估计。
,,,.3 21 的样本为来自总体，设例 Xxxx n?
的矩估计。未知，求上的均匀分布，服从已知总体
0,]0[?X
,2
XEX解：
X2
。的矩估计为即 X2?
,95321,,,,54321 ），，，，（）若（?xxxxx
45 95321X
82 X?
矩估计的优缺点优点：计算简单。
缺点,（ 1）总体的矩不一定存在。故矩估计不一定可行。
（ 2）可能会有不同的矩估计。
规定：尽量使用低阶矩。
（ 3）可能会得到不合理的解。
的矩估计：），则（服从已知总体PX
XEX1,解
2222?2 ）（）（：解 XXEXEXDX
例 3中，,8?9
5x
不合理。8
6.1.2 极大似然估计例：从一批产品中抽出 5件检查，发现有前 2件是次品，
问这批产品的次品率是多少？
)1,0(?pp,设产品的次品率为
),5,4,3,2,1(?ii i?次抽到的次品数为设第
),1(~,,,,54321 pbi 独立同分布，样本
),1(~ pb?总体）任取一产品，次品数（
3254321 )1()0,0,0,1,1( ppP
32 )1( pp?
p 0.2 0.4 0.6 0.8
0.02048 0.03456 0.02304 0.00512
法。极大似然估计的思想方值作为其估计，这是大的以样本值出现可能性最 p
4.0pp 的极大似然估计为：这里，
样本值出现可能性是离散型随机变量，若总体 X)1(
n
i
iinn xXPxXxXxXP
1
2211 }{},,{,?
的一组样本，为来自总体，设 XXXX n?,,21
,)2( ）（率密度为是连续型随机变量，概若总体 xX?
成正比。，与?
n
i
in xxxx
1
21
* )(),,(
（ 1）、（ 2）中的分布概率或密度函数均含有未知参数。
问题转化：
当参数取何值时，样本分布概率或概率密度函数值最大？
称以上样本的联合概率分布或联合密度为极大似然函数，
。记为 L
求极大似然估计的步骤：
1,写出似然函数 L
是离散型随机变量，若总体 X)1(
n
i
iin xXPxxL
1
1 }{);,,(
,)2( ）（率密度为是连续型随机变量，概若总体 xX?
n
i
in xxxL
1
1 )();,(，?
2,求 L（ ）的最大值点?
0)1(ddL一维，令
),,1(0))2( 1 miL
i
m
,令，，（
) 1 m,，（
例 12．设的概率密度为
,其 >0且未知； 是总体的简单随机样本，求 的最大似然估计量 。
解：
当 时，,求导
,
故有最大似然估计量
0
0
,
,
0
}e x p {
2
),( 2
2
2
x
x
xx
xf
nXXX,,21
其它
,2,1,0
0
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（ 1）当总体分布未知时，估计总体的方法称为非参数估计，
如：频率直方图，样本分布函数等。
（ 2）当总体分布已知时，只需对其中一些未知参数作出估计，这种估计总体的方法称为参数估计，
—估计参数的范围—区间估计
—估计参数的值—点估计参数估计
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缺点,（ 1）总体的矩不一定存在。故矩估计不一定可行。
（ 2）可能会有不同的矩估计。
规定：尽量使用低阶矩。
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0.02048 0.03456 0.02304 0.00512
法。极大似然估计的思想方值作为其估计，这是大的以样本值出现可能性最 p
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例 12．设的概率密度为
,其 >0且未知； 是总体的简单随机样本，求 的最大似然估计量 。
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