)( xF X ── 二维随机变量 ),( YX 关于 X 的边际 分布函数。
)( yF Y ── 二维随机变量 ),( YX 关于 Y 的边际 分布函数。
),(),()()( xFYxXPxXPxF X
即 ),(l i m),()( yxFxFxF yX
),(),()()( yFyYXPyYPyF Y
即 ),(l i m),()( yxFyFyF xY
3.2.1 边际分布
1,离 散设 二 维 离 散 随 机 变 量 的 概 率 分 布,
Y
X y
1
y
2
y
n
p p
i ij
j
n

1
x
1
p
11
p
12
p
n1
p
1?
x
2
p
21
p
22
p
n2
p
2?
x
m
p
m 1
p
m 2
p
mn
p
m?
p p
j ij
i
m

1
p
1
p
2
p
n?
p p
j
j
n
i
i
m

1 1
1
其 中,
p P X x Y y
ij i j
(,)
，
P P x P X x P X x Y y i m
i X i i i j
j
n
( ) ( ) (,),,,,
1
1 2?
P P y P Y y P X x Y y j n
j Y j j i j
i
m
( ) ( ) (,),,,,
1
1 2?
p p p
i
i
m
j
j
n
ij
j
n
i
m


1 1 11
1
Y
X y
1
y
2
y
n
p p
i ij
j


1
x
1
p
11
p
12
p
n1
p
1?
x
2
p
21
p
22
p
n2
p
2?
x
m
p
m 1
p
m 2
p
mn
p
m?
p p
j ij
i


1
p
1
p
2
p
n?
p p
j
j
i
i



1 1
1
P P x P X x P X x Y y i
i X i i i j
j

( ) ( ) (,),,,
1
1 2?
P P y P Y y P X x Y y j
j Y j j i j
i

( ) ( ) (,),,,
1
1 2?
p p p
i
i
j
j
ij
ji





1 1 11
1
),,2,1( nip i 或 ),2,1( ip i ── ),( YX 关于 X 的边 际分布律。
),,2,1( njp j 或 ),2,1( jp j ── ),( YX 关于 Y 的边际 分布律。
例 1,已知 10 件产品中有 3 件一等品,5 件二等品,2
件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，求其中一等品、二等品件数各自的分布律。
解,设 X 及 Y 分 别 是 取 出 的 4 件 产 品 中 一 等 品 及 二 等品 的 件 数,则 我 们 有
P X i Y j
C C C
C
i j i j
(,)

3 5 2
4
10
4,
i j i j0 1 2 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2,,,;,,,,;,,
即 i j i j0 1 2 3 0 1 2 3 4 2 3 4,,,;,,,,;,,
即
Y
X 0 1 2 3 4
p
i?
0 0 0
10
210
20
210
5
210
35
210
1 0
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
0 0
63
210
3
2
210
5
210
0 0 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
一 等 品 件 数 X 的 分 布 律 为,
X 0 1 2 3
p i? 35
210
105
210
63
210
7
210二 等 品 件 数 Y 的 分 布 律 为,
Y 0 1 2 3 4
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
2,连 续
1) X 的边 际 分布函数,
F x F x dx x y dyX x( ) (,) (,)
2) X 的边 际 概率密度,
X x x y dy( ) (,)
3) Y 的边 际 分布,
F y F y dy x y dxY
y
( ) (,) (,)



4) Y 的边际 概率密度,
Y y x y dx( ) (,)?


r-r
-r
r
x
y
0
例 2,设 (,)X Y 在以原点为中心,r 为半径的圆域 R 上服从均匀分布，求 X 及 Y 边 际 概率密度。



222
222
2
,0
,1),(
ryx
ryx
ryx
解：已经求出（ X,Y）的联合密度函数为
2
22
2
21)( 22
22 r
xrdy
rx
xr
xrX




rx
rx
r
xr
xX
||,0
||,
2
)( 2
22

22 xr
22 xr?
x
,|| 时当 rx?
dyyxxX ),()(
0)(?xX?,|| 时当 rx?
说明,(,)X Y 的联合分布是均匀分布，
但边 际 分布都不是均匀分布。
r-r
-r
r
x
y
y
22 yr 22 yr?
同理，

ry
ry
r
yr
yY
||,0
||,
2
)( 2
22

P x y P X x Y yX Y i j i j| ( | ) ( | )


P X x Y y
P Y y
p
p
i
i j
j
ij
j
(,)
( )
,,,1 2?
111)|(|
i
j
j
ij
ji j
ij
jiYX
i
p
p
p
pp
pyxP
P y x P Y y X xY X j i j i| ( | ) ( | )


P X x Y y
P X x
p
p
j
i j
i
ij
i
(,)
( )
,,,1 2?
111)|(|

i
ij
ij
ij i
ij
ijXY
j
ppppppxyP
1.离散型随机变量的条件分布则则
3.2.2条件分布例 3,已知 10 件产品中有 3 件一等品,5 件二等品,2 件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，已知其中有两件二等品，求其中一等品件数的概率分布；若其中一等品有一件，求其中二等品的概率分布。
解：设 X 及 Y 分别是取出的 4 件产品中一等品及二等品的件数，则我们有
P X i Y j
C C C
C
i j i j
(,)

3 5 2
4
10
4,
i j i j0 1 2 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2,,,;,,,,;,,
即 i j i j0 1 2 3 0 1 2 3 4 2 3 4,,,;,,,,;,,
一等品 二等品 三等品则 （ X,Y ）联合分布律及边缘分布律为
Y
X
0 1 2 3 4 p
i?
0 0 0
10
210
20
210
5
210
35
210
1 0
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
0 0
63
210
3
2
210
5
210
0 0 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
则 210100)2|(
2
2
2 ii p
p
pYiXP
,i? 0 1 2 3,,,
210105
)1|(
1
1
1 jj p
p
p
XjYP
,j? 0 1 2 3 4,,,,
即：
X 0 1 2 3
)2|( YiXP
1
10
6
10
3
10
0
Y 0 1 2 3 4
)1|( XjYP 0
1
7
4
7
2
7
0
1 )? Y y( )? 0,则 在 Y y? 条 件 下,连 续 随 机 变 量 X 的条 件 分 布 函 数 记 作 F x yX Y| ( | ) 。
★ 注 意,由 于 P Y y( ) 0,所 以 不 能 直 接 用 条 件 概率 公 式,而 从 区 域 上 的 分 布 概 率 入 手 。
则 )|( yyYyxXP
由 积 分 中 值 定 理,
y
y y x x
dy x y dx x y y y dx


(,) (,)
1
y
y y
Y Y
y dy y y y

( ) ( )
2
2.连续型随机变量的条件分布设 0)( yyYyP,
dyy
dxyxdy
Y
yy
y
xyy
y
)(
),(




)( ),( yyYyP yyYyxXP
)10( 2,1
则
)(
),(
)|(
2
1
yy
dxyyx
yyYyxXP
Y
x






所以,)|(l i m)|(
0
| yyYyxXPyxF
y
YX


x
Y
x y dx
y
(,)
( )
F x yX Y| ( | ) 对 x 求导，得
X Y Y
x y
x y
y|
( | )
(,)
( )
,
称? X Y x y| ( | ) 为在 Y y? 条件下，连续随机变量 X 的条件概率密度函数。
2)? X x( )? 0,则在 X x? 的条件下，连续随机变量 Y 的条件分布函数：


y
XY
X
y
XY dyxy
x
dyyx
xyF )|(
)(
),(
)|( ||?
;
条件概率密度函数：
Y X X
y x
x y
x|
( | )
(,)
( )
,
)(
),()|(
| x
yxyx
Y
YX?

0)(?yY?,则在 Y = y 的条件下，连续随机变量 X 的条件分布函数：


x
YX
Y
x
YX dxyx
y
dxyx
yxF )|(
)(
),(
)|( ||?
例 4,设 (,)X Y 在以原点为中心,r 为半径的圆域 R 上服从均匀分布，求条件概率密度
(,)
,
,
x y r
x y r
x y r



1
0
2
2 2 2
2 2 2
)|(),|( || xyyx XYYX
解：已知联合概率密度为
X Y,的边缘分布密度分别为：
X
x
r x
r
x r
x r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
Y
y
r y
r
y r
y r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
r-r
-r
r
x
y
y
22 yr 22 yr?
r-r
-r
r
x
y
22 xr
22 xr?
x
X Y
Y
x y
x y
y
r y
x r y
x r y
|
( | )
(,)
( )
,
| |
,| |



1
2
0
2 2
2 2
2 2
Y X
X
y x
x y
x
r x
y r x
y r x
|
( | )
(,)
( )
,
| |
,| |



1
2
0
2 2
2 2
2 2
即：在 Y y? 的条件下,X 的条件分布是均匀分布；
在 X x? 的条件下,Y 的条件分布是均匀分布。
}5.1|2.0{2
)1(
}.20{
5


XYP
EX
yxyyxD
DYX
）计算（
求
）：，（
上的均匀分布，）服从区域，：设二维随机变量（例
1
0 x
y
21 1.5
xy? xy2
(1,1)
解,的联合密度函数为 ),)(1( YX


其它,0
20,1),( yxyyx?





其它其它
,0
21,2
10,
,0
21,
10,
)(
2
0
0
xx
xx
xdy
xdy
x
x
x
X
2110 )2( dxxxx d xxEX
13131 213212103 xxx
则条件概率密度函数,?
Y X Xy x
x y
x| ( | )
(,)
( )?,



其它其它
,0
5.00,2
,0
5.00
,5.0
1
)5.1(
),5.1(
)5.1|(|
y
yy
y
X
XY


2.0
0
2.0
0
|
4.02
)5.0|(}5.1|2.0{
dy
dyyXYP XY?
4.0)5.1|2.0(|?XYF即
3.2.3、随机变量的独立性
2) 结论,
1) 定义,对任意的 X x i?,Y y j?,如果事件 { }X x i?
与 { }Y y j? 是独立的，则称随机变量 X 与
Y 是独立的。
1.离散型随机变量的独立性
a,)()(),( jiji yYPxXPyYxXP,
i m? 1 2,,,, ; j n? 1 2,,,,,
b,)()|( iji xXPyYxXP,
)()|( jij yYPxXyYP
若随机变量 X 与 Y 是独立的，则
【 例 1】 已知 的联合分布如下，求,
(1) 满足的条件；,
(2)当 与 独立时，求出 的值。?,
1 2 3
1 1 1
1
6 9 1 8
1
2
3

1
3
1
3
1
2
1
9
1
18
11,3 0,0
【 解 】
212,99
例 6,已知 10 件产品中有 3 件一等品,5 件二等品，
2 件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，
问：其中一等品件数和二等品件数是否独立？
Y
X
0 1 2 3 4 p
i?
0 0 0
10
210
20
210
5
210
35
210
1 0
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
0 0
63
210
3
2
210
5
210
0 0 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
解,设 X 与 Y 分 别 是 取 出 的 4 件 产 品 中 一 等 品 与 二 等品 的 件 数,已 经 求 出 联 合 分 布 律,边 缘 分 布 律 为
}0{}0{
}0,0{


YPXP
YXP? X? 与 Y 不相互独立，即一、
二等品的件数不相互独立。
1) 定义,对任意的实数 x y R,?,事件 }{ xX? 与事件
}{ yY? 是独立的，则称随机变量 X 与 Y 是独立的。
b, ),( yYxXP )()( yYPxXP
即,F x y F x F yX Y(,) ( ) ( )
或者,(,) ( ) ( )x y x yX Y
2.连续型随机变量的独立性
2) 结论,下列命题是等价的
a,随机变量 X 与 Y 独立
c,X Y Xx y x| ( | ) ( )?,Y X Yy x y| ( | ) ( )?
例 7,设 (,)X Y 在以原点为中心,r 为半径的圆域
R 上服从均匀分布，二维概率密度为,
(,)
,
,
x y r
x y r
x y r


1
0
2
2 2 2
2 2 2
问,X 与 Y 是否相互独立？
解：已经求出 X Y,的边缘分布密度分别为：
X
x
r x
r
x r
x r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
，
Y
y
r y
r
y r
y r
( )
,| |
,| |
2
0
2 2
2
，
显然,(,) ( ) ( )x y x yX Y?
因此,X 与 Y 不相互独立,
说明
(,)X Y 的 联 合分布是均匀分布，但边缘分布都不是均匀分布。
例 8,随机变量 X 与 Y 独立，且 X N x x~ (,) 2,
Y N y y~ (,) 2,求 (,)X Y 的联合概率密度。
解：因为随机变量 X 与 Y 独立，
所以有(,) ( ) ( )x y x yX Y

1
2
1
2
2
2
2
2
2 2

x
x
y
y
e e
x
x
y
y
( ) ( )

2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1 y
y
x
x yx
yx
e

【 例 2】 设二维随机变量 具有概率密度,

2 0,04
,
0
xy xye
xy?


其 他
【 解 】
,x x y d y
2
0
40
00
xye d y x
x




判断 是否独立。,
220
00
xex
x


同理

220
00
yey
y
y?



,x y x y
, 独立