14 稳恒电流的磁场主要内容电流密度矢量和电动势磁场毕奥 -萨伐尔定律安培环路定理磁场对载流导线的作用带电粒子在磁场中的运动本章导引类比稳恒电流磁场的基本内容,研究方法和思路与静电场相似 原因是研究对象都是场,.
磁场将运动电荷或电流之间的相互作用 (不是电力 )
看成一个运动电荷或电流产生的磁场对另一个根据磁场对运动电荷的作用力而引入描磁感应运动电荷或电流的作用,从而引入磁场的概念,
述磁场基本性质的物理量 ----磁感应强度,
强度以场作为研究对象讨论电流产生磁场的毕 —萨定律 基本规律 ----毕奥 —萨伐尔定律和场强的叠加原理,得出计算电流产生磁场的基本方法,
讨论磁场的通量和环流,得出磁场是
“无源” (高斯定理 )和“有旋” (环路定场的性质理 )场,
作用力讨论磁场对电流和运动电荷的作用力,得到电流所受磁场力 (安培力 )及运动电荷所受力 洛仑兹力 的计算公式( ),
注意,(1)电现象与磁现象的类比,
电场 ----磁场点电荷的场强计算公式 毕奥 萨伐尔定律---- —
电场的高斯定理和环路定理 ----磁场的高斯定理和环路定理静电场对静止电荷的作用力 ----磁场对电流和运动电荷的作用力电场强度的计算方法 磁感应强度的计算方法
(2)电现象与磁现象的区别,
----
电场力的计算方法 ----磁场力的计算方法
()
有孤立的点电荷而没有孤立的稳恒电流元,因稳恒电流要形成回路 ;
静电场是保守力场而磁场是非保守力场,
(3)掌握磁感应强度的两种计算方法,
一是利用毕 —萨定律和磁场的叠加原理,掌握无限长直线电流和圆电流等典型电流产生的磁场,结合叠加原理进行有关磁场的计算方法,
二是利用安培环路定理,不过,此方法仅适用于具有一定对称性的电流分布所产生的磁场,
(4)掌握轴向对称性 面对称性长直螺线管及螺绕环等典型的对称电,
流分布所产生的磁场计算,
(5)掌握电流所受磁场力解磁聚焦 磁约
(7)了解电和磁力矩及运动电荷所受磁场力的计算方法,
(6)理,
束和霍耳效应等,
场与磁场的相对性,
14.1 电流密度矢量和电动势
1.1.1 电流是怎么形成的?
电流是由电荷的运动形成的,电流可分为传导电流和运流电流,
(1)传导电流是由导体中 金属中的载流子是自由电子,离子()
的载流子 (荷电的微观粒子 )
规则或定向运动形成的,
运流电流是由宏观带电体的机械运动形成的溶液和电离气体中的载流子是电离的正负离子或正离子和电子,
(2),
如带电圆盘绕轴转动所形成的环形电流,
1.1.2形成持续电流的条件是什么?
导体置于外电场中要产生静电感当导体达到静电平衡应,在发生静电感应过程中,导体内的电场不为零,导体内的自由电子将状态后,导体内的场强为零,自由电子不再作产生宏观定向运动而形成电流,
宏观定向运动,电流消失,
可见,要在导体中形成持续电流的条件是,(1)要有能作宏观自由移动的电荷 ;(2)要维持一个电场,
1.1.3 什么是电流强度?
电流强度是单位时间
dqqΔ
用于描述电内通过某一截面的电量,
0
lim
d
t
I
tt
Δ→
= =
Δ
(14.1)
流的强弱,
电流强度是标量 (代数量 ),其正负与电路中正方向的规定有关,其国际单位是安培 (A),1安 =1库 ·秒
-1
(C·s
-1
).
1.2.1 什么是电流密度矢量?
电流密度矢 d
量 δ 的定义是式中 dS 为通过导体中某点且垂
0
d
I
S
⊥
=δ n
n
0
dI
δ
(14.2)
⊥
直于该点电流方向的面积元 ;
dS
⊥
dI为通过该面积元的电流强度电流强度描述导体中某 截面上电流的整体;
n
0
为该点带正电的载流子定向运动方向的单位矢量,
电流密度矢量在导体中某点的方向表示该点的电流方向一 截面上电流的整体情况,电流密度矢量描述导体中各处的电流情况,
,
其数值等于通过该点且垂直于该点电流方向的单位面积上电流强度 其国际单位是安培 ·米
-2
(A·m
-2
),米,
1.2.2 电流密度矢量与电荷的运动速度有什么关系?
设导体中某点的电荷体密度为 ρ 电荷运动的速度大小为ρ,v.
电荷经过时间 dt运动的距离为 dl=vdt;
在垂直于电荷运动方向取 面积
dS
dI
δ
一 面积元 dS
⊥
,流过面积元的电量在柱体中,柱体的体积为 dV=dldS
⊥
=vdtdS
⊥
,
ρ
dV
dq
v
⊥
dl=vdt
中
⊥ ⊥
些电荷在 时间内将穿过体积内的电量为 dq=ρdV=ρvdtdS
⊥
,
用矢量表示就是 δ (14 3)
这 dt dS
⊥
面,
形成的电流强度为 dI=dq/dt=ρvdS
⊥
,
电流密度的大小为 δ d /dS
=ρv.,3)
δ = I
⊥
=ρ v
可见,导体中的电流密度矢量的方向与正电荷的运动方向相同 ;
导体中电荷密度越大,电荷运动速度越大,电流密度就越大,
1.2.3 什么是电流的连续性方程?
在导体中作一面积元 dS,其方向与电流密度 δ 方向的夹角直电流密度 向的 电流 度为 θ,垂 直 电流密 度 方 向 的面积为 dS
⊥
=dScosθ,电流强 度 如下
dI=δdS
⊥
=δdScosθ=δ?dS (14.4)
通过导体中任 截
∫
n
dS
一 截面 S的电流强度为,
d
S
I =?δ S
即,电流强度是电流密度矢量的通
dS
θ
n
0
dI
δ
(14.5)
即量,可见,电流强度类似于电通量,
在导体中任取一个封闭曲面,则流出此封闭曲面的电流强度为
⊥
dI =?
∫
δ S
v
电流的连续性方程
d
d
d
q
I =?=?
∫
δ S
v
:
(14.6)
S
根据电荷守恒定律可知,流出封闭曲面的电流强度等于曲面内电荷的减少率
S
t
()
:
把封闭曲面当作一个水池,把电流当作水流 同时有水流出和流入水池 流出水池的流,.
水量较多,水池中的水量就减少,反之增加,
将流入水池中的水量当作流出水池中的水量的水池流出流入 =-
流出负值,那么单位时间内流出 (包括流入 )水池中的水量就是水池水量减少率,即水量增加率的负值,
1.2.4 什么是电流场?
导体中各处的电流密度矢量构成一个矢量场 称为电流场,.
在场中画出一组曲线,曲线上每一点的切线方向为该点的电流密度矢量 δ的方向 这 一 组曲线就是电流线通过垂直于该处电流线方向上单位面积的电流线的根数在数值上等于该处的 δ 的大小
,组曲线就是电流线,
δ,
导体中各处的电流密度矢量不随时间
1.3 什么是稳恒电流,其形成条件是什么?
变化的电流称为稳恒电流 (俗称直流电 ).
由于导体中的电流是由导体中自由电荷在电场的作用下做宏观运动形成的,所以导体中的电场强度不随时间变化才能形成稳恒电流,同时,导体内各处的电荷分布也不随时间变化,
稳恒电场是由不随时间变化的电荷分布产生的 (电荷完全可以运动 ),静电场是由静止的电荷产生的,
稳恒电场的性质与静电场相似,它们都满足同样的高斯定理和环路定理,静电场是稳恒电场的特例,
d
d0
d
S
q
t
=? =
∫
δ S
v
(14.7)
在导体中任取一个闭合面,由于 dq/dt=0,所以,
由于电流线不会中断 可想,稳恒电流必形成闭合回路面可知,流入导体内任一封闭面的电流必等于流出此封闭面的电流,
,.
1.4.1 什么是电源,其作用是什么?
导体组成的闭合回路形成电路 由于电路中存在电阻 当有,,
电流通过时,就会产生焦耳热,如果不补充焦耳热造成的电场能的损失,电路中的电势能就将减少,电场以及电荷分布将发生变化,破坏稳恒电流的条件,就不能维持稳恒电流,
稳恒电场力是保守力,保守力不能通过在电
+q
F
k
路中做功而将其他形式的能量转化为电场能,
因此,电路中必须有非静电力 (非保守力 )
-q
F
e
电源是一种提供非静电力的装置,它使正 (负 )电荷由电源负 极经电源内部克 稳恒电场力回做功,将其他形式的能量转化为电场能,
(正 ) 服 稳恒电场力回到电源的正 (负 )极,从而维持电荷的闭合运动,
电源也是 种能源 它将 其他形式的能量 化学能机一 种能源,(
械能等 )转化为电场能,以弥补电路中电场能的损失,
1.4.2 什么是电动势?
电源的电动势定义为将单位正电荷从电源负
dε
+
∫
El
(14 8)
极经电源内部移到正极时非静电力所做的功,
k
=?
E
k
是非静电场强,是单位正电荷所受的非静电力 E
k
=F
k
/q (14.9)
电动势反映电源中非静电力做功的本领 这种非静电力
.8)
,,
可以是一种实质性的物质场,如涡旋电场,也可以是一种非实质性的等效场 如,化学力场,,洛仑兹力场,等,如,等,
k
d
L
ε =?
∫
E l
在通常情况下,非静电场强沿一段路径的线积分称为这 一 段路径的电动势
(14.10)
当路径闭合时,线积分就是绕回路的电动势,
k
d
L
ε =?
∫
E l
v
段路径的电动势即,绕回路一周非静电力对单位正电荷所做的功,
(14.10)
电动势是标量,其正负号取决于路径的方向,电源取从负极经过电源内部指向正极的方向为电动势的方向,电动势的单位是伏 (V).
注意,由于非静电力是一种非保例如 从电源的负极经电源内守力,所以电动势的数值和符号与所选取的路径有关 ;这是电动势与
,
部到正极,电动势为正 ;如果由负极经外电路到正极,电动电势差的最主要的区别 (电势差与路径无关,只与始末位置有关 ).
势可能为零,而电源正负极间的电势差则与路径无关,
14.2 磁场
211我国古代对磁学有什么贡献?2.1.1
人类发现磁现象与发现电现象是一样古老 我国四大发明之 就是指南针,一 就是指南针,
我国东汉的王充在《论衡》中最先描述了“司南勺” (磁石指南 );北宋的沈括在,梦溪笔谈,中最早记载地磁偏角
2.1.2 西方是如何建立磁学理论的?
在西方 早期的磁学与电学的研究是独立进行的
,,.
,.
1820年丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应 第一次揭示了电与磁的联系,.
不久,法国物理学家安培从实验中总结出两个电流元
(载流导体中所取的小段电流 )之间相互作用力的公式,
1822年,他提出“分子电流”假说来解释物质的磁性 建立了电流是 一 切磁性起源的理,切磁性起源的理论,
2.2.1 什么是磁场?
与电场类似 运动电荷之间的磁相互作用是通过磁场来传递的,.
从本质上讲,一个运动电荷在其周围激发磁场,通过磁场对另外的运动电荷产生作用力 即磁场力,.
运动电荷之间的相互作用可表示为运动电荷磁场 运动电荷和实物 一 样 磁场也具有磁场是存在于 运 动电样,
质量,能量和动量,和电场一样,磁场也具有叠加性,
动电荷或电流周围 (除电场以外 )的一种特殊物质,
2.2.2 磁感应强度矢量 B是怎么定义的?
实验发现,当运动电荷以速度 v通过磁场中的任意一点 P时,一般要受磁力 F的作用,
v:F≠ 0
v=v
⊥
θ
F:F⊥ v,B
但是当 v沿过 P点的 一
F=F
m
据此定义场点 P
P
v:F=0
条确定方向时,运动电荷所受磁力 F=0.
B
处 B的方向沿着 v
或相反的方向,
实验还发现,运动电荷所受的磁力 F既垂直于速度 又垂直于由此规定,运动正电荷的速度 v的方向,B的方向和磁力 F
的方向组成右手螺旋关系v,B.
实验表明,当速度 v与 B垂直时,电荷所受的磁力 F
最大 这个速度的大小用 表示 力的大小用 F 表示
.
,v
⊥
,
m
.
空间任一点的 F
m
/qv
⊥
是唯一的,与运动电荷无关,
P点磁感应强度矢量 B的大小定义为 B F / (14 12)
磁感应强度 B是描述磁场强弱和方向的物理量 其国际单位是特斯拉 (T)
,=
m
qv
⊥
.
,.
1特 =1牛 ·秒 ·库
-1
·米
-1
(N·s·C
-1
·m
-1
),1特 =10
4
高斯 (G).
2.2.3 什么是磁感应线?
磁感应线是形象表示磁场的 一 组曲线,与电力线类似,(1)磁组曲线 磁感应线上任何一点的切线方向与该点 B的方向一致 ;(2)通过垂直于 B方向上单位面积的磁感应线数等于该点 B的大小,
实验发现,磁感应线总是连续的,为环绕电流的闭合曲线 ;磁感应线的方向与电流方向间 呈 右手螺旋关系,
(c)螺线管电流磁场,
(a)长直流电的磁场 ;
(b)圆电流的磁场 ;
线 右手螺旋关系
I
B
B
I I
B
2.2.4 什么是磁通量?
n
通过任一曲面的磁感应线的数目称为通过此曲面的磁通量,符号是 Φ.
θ
B
dS
S
在曲面 S上取一面积元 dS,其方向与 B的方向之间的 夹角为 θ,则 通过 面积 元的磁通量 为
∫∫
则面积 为
dΦ=BcosθdS=B·dS
通过曲面 S的磁通量为 (14.13)dd
SS
Φ Φ= =?BS
在计算磁通量之前要确定曲面的正方向,
对于封闭曲面常取外法线方向为正方向,
磁通量的国际单位为韦伯 (Wb) 1Wb=1T·m
2
,.
2.2.5 什么是磁场中的高斯定理?
由于磁感应线总是连续的 在磁场中任取,
一闭合曲面,穿入此闭合曲面的磁感应线数一 定等于穿出此闭合曲面的磁感应线数,即
B
即
d0
S
=
∫
BS
v
这就是磁场的高斯定 也叫做磁通连续性原
(14.14)
理,理,
磁场的高斯定理是电磁学的基本的定理之一,但是它与静电场的高斯定理有本质区别,
磁场是无源场,自然界中没有与电荷相对应的“磁荷”或磁单极子,磁极总是成对存在的,
14.3 毕奥 -萨伐尔定律
311什么是电流元?3.1.1
在一个电流强度为 I的回路中取一矢量线元
dl Idl就是电流元 dl的方向与电流的流向相同
Idl
,,.
在静电学中,一个静止的电荷系统所产生的静电场是系统中各电荷元所产生的静电场的矢量叠加
I
.
与此类似,在稳恒磁场中,一个稳恒电流回路所产生的磁场就是回路中各电流元所产生的磁场的矢量叠加,
不过,由于稳恒电流必须闭合,不存在独立的电流元 所以不能直接用实验测量电流元所产生的磁场元,.
但是,借助于理论分析,可得出与实验相同的结果 由此证明电流元概念的正确性,.
电流元产生磁场的规律是由法国科学家毕奥和萨伐尔
3.1.2 什么是毕奥 -萨伐尔定律?
他们指出,电流元 Idl在空间 P处产生的磁感应强度为,
于 1820年在实验的基础上借助理论分析首先提出来的,
Idl
0
0
2
d
d
4π
I
r
μ ×
=
lr
B
I
r
θ
dB
P
0
3
d
4π
I
r
μ ×
=
lr
(14.15)
式中,r为电流元 Idl到场点 P的矢径,r
0
为单位矢量 ;μ
0
为真 空磁导 率,在 国 际单位制中为 μ
0
=4π× 10
-7
N·A
-2
.真率 际单位制中为电流元产生的磁场的规律比电荷元产生的电场的规律要复杂,
这是微分形式的毕奥 -萨伐尔定律,
dB的大小与电流元到场点 P的距离平方成反比,与电流元的大小成正比,还与电流元 Idl与矢 径 r的 夹角 有关 ;dB的方径向垂直于 Idl与 r所在的平面,它们之间遵守右手螺旋关系,
电流元 Idl在空间产生的磁感应强度大小为,
0
0
d
d|d|
I
B
μ
×
==
lr
B
0
dsinIlμ θ
=
P
3
P
在电流元所在平面内以电流元为圆心作 半径为 的圆
r
Idl
θ
P
1
2
4π r
2
4π r
P
2
r
1
r
2
r
3
一 半径为 r,
(1)在延长线上的 P
1
和 P
2
点,θ =0和
θ =π 电流元产生的场强为 dB=0
r
4
P
θ,.
(2)在中垂线上的 P
3
点,θ =π/2,场强大小为,
0
2
d
d
4π
Il
B
r
μ
=
P
3
是场强最大的点之最大值用 dB 表示
4
点一,
m
,
其方向垂直屏幕向外,(3)在中垂线上的 P
4
点,θ =π/2,场强大小仍为 dB,方向垂直屏幕向里,
m
(4)其他点 P的场强可用公式 dB=dB
m
sinθ 计算,如果 P
点在 电 流元 上 方,则 磁 场方向 垂直 屏幕向外,否则向 里,
一段载有稳恒电流的导线所产生的磁场等于所有 电流 元产 生 的 磁 场的 叠 加,
0
0
2
d
d
4π
L
L
I
r
μ ×
==
∫∫
lr
BB
流元 方 场方向 屏幕向外元产 的 场的 加
(14.17)
这是积分形式的毕奥 -萨伐尔定律,
例 14.1 直线电流磁场,设真空中有长度为 L的直线段,通以强度为 I
的电流,求其在空间某点 P产生的磁感应强度,P点到导线的距离为 a.
根据毕 -奥定律,电流元 Idl在 P点所生的磁感应强度大小为
θ
2
解,以 P点在直导线上的垂足为原点 O,作坐标系,
0
2
dsin
d
Il
B
μ θ
=
:
θ
r为电流元到 P点的距离,θ为 Idl与 r之间的夹角,
4π r
由 得
rl
dl
L
P
I
由 l=acot(π-θ)=-acotθ得 dl=adθ/sin
2
θ.
由 a=rsin(π-θ)得 r=a/sinθ.
aO
dB
可得
0
dsind
4π
B
a
μ
θ θ=
由于直导线上各电流元在 P点产生的磁感应
θ
1
I
2
0
did
I
BB
θ
μ
θθ
∫∫
方向都垂直屏幕向里,所以总磁感应强度为
(14 17)
0
()
Iμ
θθ
1
d sin
4π
L
a
θ
==
.
12
(cos cos )
4π a
=?
可见 直线电流的强度越大 在周围空间产生的场强越大:,.
例 14.1 直线电流磁场,设真空中有长度为 L的直线段,通以强度为 I
的电流,求其在空间某点 P产生的磁感应强度,P点到导线的距离为 a.
讨论,(14.17)
0
12
(cos cos )
4π
I
B
a
μ
θ θ=?
P
1
θ
2
可知,在直线电流的上和下两个
(1)当 θ
1
=θ
2
=0,或 θ
1
=θ
2
=π,可得 B=0.
延长线上的磁感应强度为零,
0
I
B
μ
(14 18)
(2)当导线趋于无限长
a
L
O
P
I
无限长直载流导线之
2π a
=
.
()
时,θ
1
=0,θ
2
=π,可得,
θ
1
I
B
磁场的磁感应线是垂直于导线且以导线为圆心的一系列同心圆,
P
2
例 14.2 圆电流的磁场,一半径为 R的圆环形载流导线,电流强度为 I.求圆环形导线轴线上的磁场分布,
解,把圆电流的轴线取为 x轴,原点取在圆心上,在圆线圈上取一电流元 Idl,在距离为 r的轴上 P点产生磁场 dB,dB垂直于 dl和 r.
0
dl
0
2
d
4π
I
B
r
μ
×
=
r
设 与 轴之间的夹角为 θ 将 dB
Idl
dB
⊥
dB
由于 dl与 r垂直,所以 dB的大小为,
0
2
d
4π
Il
r
μ
=
设 r与 x,将进行正交分解,dB与垂直 x轴的分量 dB 之间的夹角也是 θ
O
R
⊥
θ
θ
r
I
⊥
.
x
P
dB
x
dB'
Idl'
在圆环对称部分,电流元 Idl'总有与
dB 大小相反的分量 两者叠加后为零
0
3
ddsin d
4π
x
IR
B Bl
r
μ
θ==
合磁场的大小如下,
⊥
dB'
⊥
,.
平行 x轴的分量为,
(14.19)
0
3
dd
4π
x
L
IR
B Bl
r
μ
==
∫∫
v
0
3
d
4π
IR
l
r
μ
=
∫
v
0
3
4π
IR
r
μ
=
2πR
2
0
3
2
IR
r
μ
=
2
0
223/2
2()
IR
R x
μ
=
+
B的方向沿 x轴正向,与圆电流的环绕方向之间符合右手螺旋关系,
例 14.2 圆电流的磁场,一半径为 R的圆环形载流导线,电流强度为 I.求圆环形导线轴线上的磁场分布,
讨论,
x
R
r
I
2
0
3
2
IR
B
r
μ
=
2
0
223/2
2( )
IR
Rx
μ
=
+
(14.19)
(1)在圆电流中心处的磁感应强度最大,令 r=R或 x=0得
P
O
B
圆环中心的磁感应强度为,
0
I
B
μ
(14 20)
2R
=,
(2)当 x很大
2
00
IRIS
B
μμ
这种情况与电偶极子的
()
时,场强为,
33
22πxx
≈ =
可见,环电流和电流包围的面积越大 在远处的轴线场强的变化规律类似,
,
上产生的场强越大 ;在环电流和电流的面积一定的情况下,远处轴线 上 的场强与距离的 立 方成反比,的场强与距离的 方成反比
例 14.3 一均匀密绕螺线管,管的长度为 L,单位长度上绕有
n匝线圈,通有强度为 I的电流,求螺线管轴线上的磁场分布,
解 螺线管各匝线圈都螺线形的 在密绕的情况下可以当作多解,,
匝圆形线圈紧密排列而成,
L
P点在轴线上 在相距为 l的地方
R
rθ
1
θ
θ
,
取一段元 dl,段元中有 dN=ndl匝线圈,电流强度为 dI=IdN=Indl,
22
00
33
dd
d
22
RI nIRl
B
rr
μμ
==
l dl
P
2
共 N匝线圈在 P点产生的磁场为设 θ为轴线与 P点到 dl连线之间的夹角,则有 R=rsinθ,r=R/sinθ;
I
可得共
Rr
I
θ
0
dsind
2
n
B
μ
θ θ=?
l=Rcotθ,dl=-Rdθ/sin
2
θ.
可见 电流强度越
2
1
0
dsind
2
n
BB
θ
μ
θ θ==?
∫∫
积分得
(14 22)
0
nIμ
:
大,单位长度上的匝数越多,在轴线
.
21
(cos cos )
2
θ θ=?
上产生的场强越大,
例 14.3 一均匀密绕螺线管,管的长度为 L,单位长度上绕有
n匝线圈,通有强度为 I的电流,求螺线管轴线上的磁场分布,
讨论 (14.22)
0
21
(cos cos )
2
nI
B
μ
θ θ=?
L
(1)如果管长比半径大很多,可认为直螺线管为无限
R
θ
1
多长,令 θ
1
=π,θ
2
=0,可得
A
1
A
2
P
θ
2
B=μ
0
nI,(14.23)
(2)在半无限长管的一端的中心 A
1
(θ
1
=π/2 θ
2
=0)或共 N匝线圈
()
,或
A
2
(θ
1
=π,θ
2
=π/2),磁场为
B=μ nI/2 (14 24)
载流长螺线管外部的磁场很弱,而管内磁场基本上是均匀的,
0
.,
螺线管越长,这种特点越显著,
14.4 安培环路定理
4.1.1 对于无限长直导线,B的线积分 是多少?
d
L
∫
B l
v
(1)在长直电流垂直的平面上取一包围电流的闭合路径,路径的环绕方向与电流方向成右手螺旋关系,积分得
dcosd
LL
Blθ? =
∫∫
Bl
v v
为线元 与 之间的夹角θ dl与 B,
由图得 cosθdl=rdφ,其中 r是场点到直线电流的距离 dφ是线元 dl对 O点的张角
I
dl
0
2π
I
B
r
μ
=
直线电流的磁场为
,对,
可得
B
O
x
φ
r
θ
2π
0
0
dd
2π
L
I
r
r
μ
=
∫∫
Bl
v
2π
0
0
0
d
2π
I
I
μ
μ==
∫
B
dφ
(2)如果闭合路径的环绕方向与电流方向成左手螺旋关系 例如 直线电流的这个结果与回路的形状和大小无关,
φ
dl
r
θ
,,
方向相反而回路的环绕方向不变,则得
dcos(πB
∫∫
Bl
v v
)d cos dlBlIθθμ
∫
v
O
x
LL
=
0
L
=? =?
结果是电流由 I变成 -I.如果电流包括符号,两公式的形式完全相同,
I
dφ
(3)如果所取的闭合路径不包括直线电流,设回路对 O点的张角为 θ,过 O点
I
的切线将曲线分为两段 L
1
和 L
2
,则得
ddd? =?+?
∫∫∫
Bl Bl Bl
v
12
LLL
O
x
θL
1
L
2
0
[()]0
2
Iμ
θθ= +? =
0
0
(d d)
2
I
θ
μ
=+
∫∫
π
此时环路积分为零
0
π
θ
(4)如果包围电流的闭合路径不在与直线电流垂直的平面上,可将线元分解为平行和垂直平面的两个分量 dl=dl
‖
+dl
⊥
.
.
上
‖ ⊥
∫∫∫
d0
L
⊥
=
∫
Bl
v
由于 dl
⊥
⊥ B,所以此
I
dl
⊥
dl
0
dd d
LL L
Iμ
⊥
=? +?=Bl Bl Bl
&
v v v
因 此与前面推导的结果相同
O
dl
‖
.
补充例题 14.1 环电流在轴线上产生的场强为,
证明 轴从 到 磁感应强度不为零 方向沿着 轴正向 当试证明
2
0
223/2
,
2( )
IR
B
Rx
μ
=
+
0
d.
L
Iμ?=
∫
Bl
v
:x -∞到 +∞,,x ;当
x=± ∞时,B=0.
θ
x
P
O
R
x
B
+∞
-∞
+∞?∞
2
IR
+∞
I
磁感应强度的可在无穷远处从 +∞到 -∞作一曲线,此与 x轴形成一条闭合曲线,
设 x=Rtanθ 当 x=-∞时 θ=-π/2;当 x=+∞时 θ=π/2
dd0d
L
∞ +∞
=?+?
∫ ∫∫
Bl Bl l
v
0
223/2
d
2( )
x
Rx
μ
∞
=
+
∫
环路积分为,
可得 dx=Rdθ/cos
2
θ.
设,当 时,当 x+时,.
证
+π/2
2 2
d/IR R θθ
+π/2
I
+π/2
I
,因此
2
2
22
sin 1
1tan 1
cos cos
θ
θ
θ θ
+=+=
由于证毕,
通电螺线管在轴线
0
33
π/2
cos
d
2/co
L
R
μ
θ
=
∫∫
Bl
v
0
π/2
cos d
2
μ
θ θ
=
∫
0
0
-π/2
sin
2
I
μ
θ μ==
也可以nIμ
∫
上的磁感应强度为,
证明,
0
21
(cos cos )
2
B θ θ=? 0
.d
L
NIμ? =Bl
v
4.1.2 什么是安培环路定理?
可以 证 明,对于任意形状的稳恒电流回路,都有
0
d.
L
Iμ?=
∫
Bl
v明在一般情况下,当真空中有若干个稳恒电流回路存在时,根据磁场叠加原理,其合磁场的磁感应强度 B对任一闭合路径的线积分为
0
d
i
L
Iμ?=
∑
∫
Bl
v
其中 I为环路所包含的电流强度
(14.25)
这就是安培环路定理,在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B
沿任何闭合路径 L的线积分
i
,
当电流方向与路径绕行的方向成右手螺旋关系时为正,否则为负,
(环流 )等于路径所包围的电流强度的代数和的 μ
0
倍注意,(1)ΣI
i
是闭合环路 L所包围的电流的代数和,
倍,
(2)B为空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和,包括 L之外的电流产生的磁场,后者的磁场对于闭合路径的环流没有贡献,
(3)安培环路定 理 只 适 用 于稳 恒 电流 产 生的磁()安培环路定只用 恒 产场,如果电流随时间发生变化,则定理需要修正,
(4)如果 空 间存在其他 磁 性物质,定 理 的形式 也 要改变,() 间存在其他 性物质 的形式 要改变磁场是有旋场 ;静电场是无旋场,
例 14.4 同轴电缆的磁场,设同轴电缆的内导体圆柱半径为 R
1
,
外导体圆筒内外半径分别为 R
2
和 R
3
,电缆载有电流 I.求各区域之磁场分布 设电流在内导体圆柱和外导体圆筒截面上均匀分布小结,同轴电缆载流时,内导体圆柱中的磁感应强度与到轴线的距离成 比 内导
( ).
解,由于同轴电缆的电流分布具有轴对称性,所以电缆中各区域的磁感应线皆为以电缆轴线为对称轴正 比 ;
体与外导体之间的磁感应强度则与距离成反比 ;外导体圆筒的磁感应强度也随着的同心圆,在各区域都取以 r为半径的圆为安培环路,
(1)内柱的电流密度为 δ=I/πR
1
2
I
距离的增加而减少 ;电缆外部则没有磁场,
()
环路包围的电流为 ΣI
i
=πr
2
δ=Ir
2
/R
1
2
B与回路方向相同,由安培定 理 得
II
Iμ
得
0
ddd2π
i
LL L
B lB l rB Iμ?= = = =
∑
∫∫∫
Bl
v v v
(2)在柱和筒之间 由于 ΣI =I 所以
0
I
B
μ
=
R
1
0
2
1
2π
B r
R
→=
(3)外筒的电流密度为 δ'=I/π(R
3
2
–R
2
2
)
,
i
,
2π r R
2
R
3
r
电流为 ΣI
i
=I-π(r
2
-R
2
2
)δ'
所以 0
d2π
i
L
rB Iμ?= =
∑
∫
Bl
v
r
r
22
03
22
2
IR r
B
RR
μ?
→=
=I(R
3
2
-r
2
)/(R
3
2
-R
2
2
)
B
B
(4)在电缆外,由于 ΣI
i
=I-I=0,所以 B=0.
r
32
πr?
B
例 14.5 螺绕环的磁场,环形螺线管叫螺绕环,设环的内外半径分别 R
1
和 R
2
(R
2
-R
1
<<R
1
),环上均匀密绕 N匝线圈,线圈中通有电流 I.
解 取螺绕环的纵剖截面 电流在外圆流进 在内圆流出解,,,.
(1)在管内,根据对称性,与螺绕环共对称轴的圆周上各点的 B大小相等 方向沿着圆周切线方向 并与电流环绕方向成右旋关系,,.
0
dd2π
LL
B lrBNIμ?= = =
∫∫
Bl
v v
在管内取半径为 r的圆周为一闭合回路,根据安培环路定理得,
解得
0
2π
NI
B
r
μ
= R
2
R
1
可知螺线管内不是均匀磁场,
或 B=μ
0
nI,
当管的横截面线度 (R
2
-R
1
)远小于环半径 R
1
或 R 时 管内 B的大小可以认为是均匀的
n=N/2πr为螺绕环上单位长度上的匝数,
I
或
2
时,.
r
(2)在管外,作一圆环安培环路 由于 ΣI =0 可得,B=0
R
2
r
,
i
,.
R
1
O
讨论,保持 n=N/2πr不变,令内环半径
R
1
→∞,螺绕环就变成无限长螺线管,管内磁场是均匀的,与管的横截面的形状和大小无关,场强大小仍为 B=μ
0
nI.
例 14.6 无限大均匀载流平板的磁场,设无限大导体平板厚度为 d,板内电流密度为 δ.求板内外的磁场分布,
大均匀载流 板 有 板 向的解,由于无限 平 板 具 有 沿平行于平 板 方 向的 平移对称性,磁感应线的绕行方向与电流方向之间成右手螺旋关系,可知,
磁感应线为垂直于电流方向且平行于平板的一些平行直线,
(1)在板外,作 一 矩形安培环路 ABCD,设
d
同一磁感应线上 B相等 ;B的大小在板的两边对称分布,方向相反,
矩形安培环路 设
AB=CD=a,它们沿着磁感应线方向 ;BC和
DA垂直于磁感应线方向,回路的环流为
δ
ddddd
LABBCCDDA
=?+?+?+?
∫∫∫∫∫
Bl Bl Bl Bl Bl
v
B
C D
=Ba+0+Ba+0=2aB
回路包围的电流为 ΣI
i
=δad.根据安培环路定理,得 B=μ
0
δd/2.
d
y
0
d
i
L
Iμ?=
∑
∫
Bl
v
C' D'
B'
AB
a
(2)在板内类似作一矩形安培环路 A'B'C'D',环绕方向不变,宽度不变,高为 2y.环流仍为 2aB,但包围的电流为 ΣI δ 2 同理可得 B δ
A'B'
i
= a y,=μ
0
y.
小结,板外是均匀磁场 ;板内的磁场与板的中心面距成正比,
14.5 磁场对载流导线的作用力
51安培力公式是什么?5.1
1820年法国物理学家安培在实验的基础上得出稳恒电流回路电流元之间的相互作用力的规律,
B
dF Idl× B (14 26)
电流元 Idl在外磁场 B中受到的作用力为力的方向与电流元 Idl的方向和磁感应强度 B的方向垂直,
dF
dl
dF
Idl
= ×,
力的大小为
I
I
B
I
dF=|dF|=|Idl× B|=IdlBsinφ,
其中,φ是 Idl与 B之间的夹角,
段载流导线在磁
∫
|| ×
一场中所受的力为
d
L
I= ×F lB
(14.27) 这就是安培力公式,
在解决问题时常常用分量式,
例 14.7 载流 I
1
的无限长直导线与一载流 I
2
的半圆形线圈共面,线圈的直边平行于长直导线,线圈半圆边半径为圆心到长直导线的距离也为 求线圈所受安培力a,a,.
解,电流 I
1
在线圈处产生磁场方向是垂直屏幕直边电流元 I
2
dl与磁场 B
1
垂直,根据安培力公式 dF'=I dl× B 其大小为 dF'=I dlB
向里的,在直边处的磁场大小为 B
1
=μ
0
I
1
/2πa.
y
F'=(I
2
2a)B
1
=μ
0
I
1
I
2
/π.
2
×
1
,
2 1
,
直边受力方向向左,大小为
a
dF
I
2
dl
在半圆上,电流元 I
2
dl受力方向沿径向向外,大小为,
01
21 2
dd d
2π
I
F IlB Il
r
μ
== I
1
F'
r
其中 r=a(1+cosφ),dl=adφ.由于对称,y方向的合力为零,x分量为
x
O
φ
ddcos
x
FFφ=
I
2
F
cos d
,
1
φ φ
φ
012
2
IIμ
=
B
1
故
012
2π
x
II
F
μ
=
a
cos+
π/2
cos d
1cos
φ φ
φ+
∫
012
2π
IIμ
=
π/2
1
(1 )d
1cos
φ
φ
+
∫
π
π/2?
2)?
012
(π
2π
IIμ
=
π/2?
012
2π
IIμ
=
π/2
2
d( / 2)
[π ]
cos ( / 2)
φ
φ
∫
π/2
/2
(tan 2)
2
φ
=
小结,载流线圈在非均匀磁场中线圈受到的合力为
012
(4 π
2π
x
II
FFF
μ
′
=?=?
方向向左,
)
π/2?
-π
所受安培力的合力一般不为零,
5.2 电流单位“安培”是怎么定义的?
设有两平行的“无限”长
B D
I
1
在 I
2
处产生的磁场的直电流 AB和 CD,垂直距离为 a,
电流分别为 I
1
和 I
2
,方向相同,
dF
21
I
2
dl
2
d
大小为 B
21
=μ
0
I
1
/2πa,
方向垂直屏幕向里,
IIμ
B
21
F
12
在 CD上取一电流元 I
2
dl
2
,所受的安培力为 dF
21
=I
2
dl
2
× B
21
,方向向着 AB.
由于 dl 垂直 所以力的大小为
0 12
21 2
dd
2π
F l
a
=
021 1 2
d
d2
F II
l
μ
=
CD单位长度受到的作用力为
I
1
I
2
(14.28a)
I
2 2
B
21
,
同理,AB所受的力指向 CD,单位长度导线所受的安培力为,
2
π a
012 1 2
d
d2π
F II
la
μ
=
:
(14.28b)
A
C
a
()
1
当电流的方向相反时,导线的相互作用力为斥力,
在国际单位制中,电流强度的单位,安培,在通有 1安 (A)
就是按 (14.28)式定义的,在真空中两根无限长的平行直导线相距 1m,通以大小相同的稳恒电安电流的导线中,
每秒流过导线横流,如果导线每米长度受的作用力为 2× 10
-7
N,
则每根导线中的电流强度就规定为 1“安培
(A)”
截面上的电量定义为 1库 (C).
5.3.1 磁场对载流平面线圈有什么作用?
设在均匀磁场中有矩形线圈 ABCD,
其中 BC和 DA边垂直于外磁场 B,长度为 l
2
,AB和 CD边长为 l
1
,与外磁场 B的
l
1
F'
1
C
θ
为 和 的夹角为 θ,线圈中电流强度为 I.
B
D
B
φ
I
AB和 CD边受安培力大小都为 F =IBl sinθ
BC和 DA边受安培力大小同为 F IBl
l
2
F
1
A
n
和
1 1
,
方向相反且在同一直线上,是一对平衡力,
和
2
=
2
,
方向也相反,但不在同一直线上,所以线圈所受的合力为零 但力矩不为零
F'
2
,.
力矩大小为 M=F
2
l
1
cosθ=IBl
1
l
2
sinφ,
φ
θ
B
l
1
D(A)
C(B)
φ为线圈平面的正正法线方向与线圈
F
2
n
法线方向与磁场方向的夹角,
中电流的绕行方向满足右手螺旋关系,
力矩使线圈的法线向磁场 B的方向偏转,
5.3.2 什么是磁矩?
磁矩 p
m
大小是线圈中电流强度 I与平面线圈单位是 安培 米
2
(A
2
) 线圈面积面积 S的乘积,方向为线圈平面的正法线方向,
p
m
=ISn=IS (14.29)
l
1
F'
1
C
安培 ·米 ·m,
为 S=l
1
l
2
,所受的磁力矩大小为
B
D
B
φ
I
θ
M=IBl l sinφ=ISBsinφ =p Bsinφ
注意,(1)磁力矩公式对任何形状的平
l
2
F
A
n
1 2
m
用矢量表示就是 M=p
m
× B (14.30)
面载流线圈都成立,(2)对于非均匀磁场,
载流线圈所受的合力不一定为零,
1
F'
2
θ
l
1
磁矩与电偶极矩相似,
电偶极矩 ----磁矩
l IS
F
2
φ
n
B
p
e
=q ----p
m
=
M=p
e
× E----M=p
m
× B
在均匀 中 在均匀 中E中,F
合
=0---- B中,F
合
=0
在非均匀 E中,向 E强处移动 ----在非均匀 B中,向 B强处移动,
例 14.8 一半径为 R,电荷面密度为 σ 的圆盘,
绕 过盘心 O并与 盘垂 直的轴以角速度 ω 旋转,求绕 直的轴以角速度 求其在与盘面平行的匀强磁场中所受的力矩,
解,在圆盘上取一半径为 r,宽度为 dr的圆环,
圆环的面积为 dS=2πrdr,
所带的电量为 dq=σ dS=2πσ rdr,
ω
B
R
O
r
dr
环形电流元为 dI=dq/T=ω dq/2π=ωσrdr,
圆环以角速度 ω 运动一周的时间为 T=2π/ω,
电流元包含的面积为 S=πr
2
,
电流元的磁矩为 dp
m
=SdI=πωσr
3
dr,
圆盘的磁矩大小为
mm
d πppωσ==
∫
方向向 上,
34
π
d,
4
R
rr Rωσ=
∫
所受的磁力矩大小为
4
mm m
π
sin,
4
MpB p BBRφ ωσ=×= = =p B
0
pp
根据右手螺旋法则,方向垂直屏幕向里,
5.4.1 怎么计算磁力的功元?
设均匀磁场 B垂直于矩形线圈所在平面,
矩形线圈载有稳恒电流 I.其 AB边可滑动,
根据安培力公式,AB边受安培力方向向右,大小为 F=IlB,l为 AB边的长度,
当 AB边移动 dx距离时,安培力所作之功元为即 d dΦ ()
A
dA=Fdx=IBldx=IBdS=Id(BS)
这里,dS为 AB边扫过的面积,Φ为回路中磁通量 dΦ 为磁通量的增量即 A=I Φ (14.31)
lI
dx
FB
,Φ,
B
5.4.2 怎么计算磁力矩的功元?
设 载有稳恒电流 I的平面线圈在均匀磁场 B中转动当 p
m
与 B之间的夹角由 φ增至 φ+dφ时,磁力矩之功元为设 一 载有稳恒电流,
dA=-Mdφ=-p
m
Bsinφdφ=ISBdcosφ
即 dA=Id(BScosφ)=IdΦ
可以 证 明,一 个任意的闭合电流回路在
d
n
式中,dΦ 为通过线圈的磁通量的增量,
B
φ
明磁场中改变位置或方向或形状时,磁力或磁力矩所作的功元都可以按 dA=IdΦ 计算,
φ
2
1
dA I
Φ
Φ
Φ=
∫
(14.32)
当通过线圈回路的磁通量从 Φ
1
变到
Φ
2
时,磁力或磁力矩所做的总功为,
如果 I是常量,则得 A=I(Φ
2
-Φ
1
).
例 14.9 半径为 R的半圆形载流线圈,电流强度为 I,可绕其直径 OO'转动,置 于匀强磁场 B中,求,(1)线圈所受最大磁力中 求 ()
矩 ;(2)线圈从 p
m
与 B的夹角为 90o转到 45o时,磁力矩作功多少?
解,(1)半圆的面积为 S=πR
2
/2
根据磁力矩的公式 M=p
m
Bsinφ
线圈磁矩的大小为 p
m
=IS=IπR
2
/2
大磁力
O
I
R
(2)磁通量公式为 Φ=BScosφ
最 矩为 M
max
=p
m
B=πR
2
IB/2
B
O'
当 φ
1
=π/2时 Φ
1
=0
当 φ
2
=π/4时
2
2
1
π RBΦ =
2
2
π RB=
π
cos
磁力矩所做的功为当 时
2
4
4
2
2
21
2
d (
4
.) πA II RIB
Φ
Φ
Φ ΦΦ= =?=
∫
1
14.6 带电粒子在磁场中的运动
6.1.1 什么是洛仑兹力?
运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力,
式中 q是电量 (包括符号 ),v是电荷的运动速度,
洛仑兹力的公式为 f=qv× B (14.33)
洛仑兹力不仅垂直磁感应强度 B,也垂直粒子的速度 v,所以洛仑兹力不做功,不能改变粒子速度的大小,只能改变速度的方向,
6.1.2 洛仑兹力与安培力有什么关系?
安培力是载流导体中作定向运动的带电电流 的电荷体密度为 电荷粒子在磁场中受到的洛仑兹力的宏观体现,
δ v SI
q
dF
f
B
设一 元 Idl ρ,以速度 v运动时,产生的电流密度的大小是 δ=ρv.
Idl
再设一个带电粒子的电量为 q,单位体积内的粒子数为 n(即粒子的密度 ),则 ρ=qn.
电流元 Idl在磁场中所受的安培力为 dF=Idl× B=nqSvdl× B,
还设电流元导体截面为 S,则电流强度为 I=δS=nqvS.
由于 v与 dl的方向相同,所以 vdl=vdl,
可得 dF=nSdlqv× B.
电流元 Idl的体积为 dV=Sdl,
每个粒子所受的 磁 力就是洛 仑 兹力,
粒子数为 dN=ndV,
f=dF/dN=qv× B.力就是洛 兹力
613带电粒子运动的方程是什么?
如果空间同时存在电场和磁场,则运动电荷就同时受到电场力和磁场力,所受的电磁场力为,f=f +f =qE+qv× B,(14.34)
6.1.3
这也称为洛仑兹力公式,
e m
×
2
dd
根据牛顿第二定律 f=ma,可得
2
.mqq
tt
=+ ×
rr
E B
(14.35)
这就是带电粒子在电磁场中运动的基本微分方程,
6.2.1 带电粒子在匀强磁场中是怎么运动的?
(1)如果外磁场是均匀磁场,且带电粒子的速度 v平行于磁场
B,可得 f=qv× B=0,故,粒子沿着磁场方向作匀速直线运动,
(2)如果速度 v垂直于磁场 B,由于洛仑兹力同时垂直 v()
和 B,所以粒子将在垂直于 B的平面内做匀速圆周运动,
洛仑兹力大小为 f=qvB,
f
B
v
qm
根据牛顿第二定律得 qvB=mv
2
/R
向心力大小为 f=mv
2
/R
mv
圆周运动的半径为圆周运动的周期为
R
O
R
qB
=
2π R
T
2π m
(14.36)
(14 3 )
可见,圆周运动的半径与速度
v
=
qB
=
,7
成正比,而周期与速度无关,
(3)如果速度 v与磁场 B的方向成一定的角 θ,就将速度分解为垂直于磁场的分量 v
⊥
=vsinθ和平行于磁场的分量 v
‖
=vcosθ.
⊥ ‖
v
v
⊥
B
圆周运动的半径为,(14.38)
sinmv
R
qB
θ
=
2π m
θ
v
‖
粒子的两个分运动是匀速圆周运动和匀速直周期仍为
T
qB
=
h
(14 39)
线运动,合运动是一个以磁场方向为轴线的螺旋运动,螺距为
2π
cos cos
m
hv Tθθ=? =
.
qB
==
6.2.2 什么是磁聚焦原理?
在电子枪外罩一个螺线管,产生轴向均匀磁场,电子枪发射的电子束有一个小发散角,因此电子作半径不同的螺旋运动,
电子的轴向速度主要由阳极加速电压决定,所以螺旋运动的螺距是相等的,电子经过一个周期后都交于一点,
这就是磁聚焦原理 其聚焦质量远好于电聚焦 主要应用在聚,,
焦质量要求较高的装置中,如电子显微镜,电子扫描等装置中,
6.2.3 什么是磁镜?
在非均匀磁场中,速度方向和磁场方向不平行的带电粒子也做螺旋运动,但是半径和螺距都会发生变化,
当粒子向磁场较强的地方做螺旋运动时,所
v
f
f
轴受的磁场力就有一个与前进方向相反的分量,
使粒子的轴向速度减为零并向相反方向运动,
强度 渐加强的磁场能使粒子发什么是磁瓶?
逐 渐加强的磁场能使粒子发生“反射”,这种磁场分布叫做磁镜,
6.2.4
用两个电流方向相同的线圈产生个中间弱两端强的磁场 在两端形一,
成两个磁镜,这种磁场分布叫做 磁瓶,
在现代研究受控热核反应的实验中 需要把温度高达,
10
7
~10
8
K的等离子体约束在一定空间区域,这样的高温会使 的 所有固体材料气化,因此磁 瓶就是常用 的 方 法之一,所有固体材料气化 方
6.3.1 什么是霍尔效应?
把导电片放入均匀磁场中 使磁场方,
向与导电片表面垂直,当通以垂直磁场方向的电流时 在导电片上下两面之间
--- - -
B
f
b
,
就出现电势差,这种现象叫做称为霍尔效应,出现的电势 差 称为霍尔电势 差,
-
v
I
+++++
h
U
H
实验表明,霍尔电势差的符号与载流子电荷的正负有关,大小为出现的电势差称为霍尔电势差
HH
IB
UR
b
= (14.40)
b是导电片的厚度,R
H
为取决于材料的霍尔系数,
6.3.2 霍尔效应是怎么产生的?
磁场 B垂直屏幕向里 导电片中电流 I向右当载流子为正电荷时,就受到向上磁场力,从而使导电片上表面带正电 下表面带负电
,.
f
++ +++
,;
v
B
I
当载流子为负电荷时,运动方向与 I指示的方向相反 所受的洛仑兹力也向上 则导电
---- -
,,
片上表面带负电荷,下表面带正电荷,
上下两表面的电荷产生静电场,当载流子受的磁场力与电场力平衡时得 qvB=qE,由公式 I=nqSv,得 v=I/nqbh.
H
1 IB
UEhvBh
nq b
== =
霍尔电势差为,
R
H
与 n和 q成反比,
比较实验公式
H
1
R
nq
=
(14.41)HH
IB
UR
b
=
霍尔系数为,
6.3.3 霍尔效应有什么应用?
霍尔系数与载流子的密度成 利用霍尔效应可制成测量电反比,金属的载流子密度大,霍尔系数小 ;半导体的载流子密度远流和磁感应强度的仪表,可用于测定载流子荷电的正负、载小于金属,霍尔系数大,所以霍尔元件多用半导体材料制成,
流子的漂移速度 v(v=U
H
/Bh)和载流子的密度数 (n=IB/qbU
H
).
6.3.4 什么是磁流体发电?
霍尔效应是磁流体发电的基本原理,
I
使高 高速 的等离
B ++ +++
高温使 处于 高 温 (3000K) (1000m·s
-1
)
子态气体通过耐高温材料制成的导电管,
-- -- -
等离子气体如果在垂直于气流的方向加上磁场,
则气体中的正负离子由于受到磁场力的作用 将分别向与流速 和磁场
I
不过,还需要解决通道效率低下 耐高温和耐腐蚀
,v B
都相垂直的两个相反方向偏移,
结果在导电管两侧的电极上
,
材料以及电极材料等问题,
产生电势差,从而输出电流,
例 14.10 一块半导体样品中电流 I沿 X轴正向,均匀磁场
B沿 Z轴正向,测得 a=0.10cm,b=0.35cm,c=1.0cm,I=1.0mA,
B=0.3T,U
12
=6.55mV.(1)试问此半导体是 p型还是 n型?(2)
求载流子浓度 n为多少?
解,(1)方法一,假设载流子是正电荷 (p型 ),根据右手螺旋法则,1面应该是正电荷,即 U
1
>U
2
,与 题意相同 所以载流子是正电荷 半导体是 型
B
Z
,,p型,
Y
O
a
c
1
2
I
方法二,假设载流子是负电荷 (n型 ),其运动方向与电流方向相反 在公式 f=qv× B中
X
b
,× 中,
根据右手螺旋法则,v× B的方向沿 Y方向,
由于 q<0 所以 f的方向向左 1面应该是负电荷 即
1 IB
,,,即
U
1
<U
2
,与题意相反,所以半导体不是 n型,而是 p型,
(2)根据公式
H
U
nq a
=
3
10 0.3
×
IB
,得
3192
6.55 10 1.6 10 0.1 10
=
××× ××
H
n
Uqa
=
=2.9× 10
20
m
-3
.
例 14.7 电流 I=7.0A,流过一半径为 R=0.05m的圆环,环置于 B=1.0T
的匀强磁场中,环平面与 B垂直,求环中由均匀磁场所产生的张力,
分析 由安培力公式得知 圆环上各电流元在外磁场中:,
所受安培力都在圆环所在的平面上,方向沿圆环的径向,
由对称性可知,圆环所受安培力的合力为零取半个圆环作研究对象,半圆环所受安培力与圆环两端所受之张力平衡,所以只
y
R
df
Idl
T
I
.
需要求出半圆环所受安培力即可得出张力,
解,在圆环上取电流元 Idl,它到圆心的连线与轴正向的夹角为 θ 它所受到的安培力 df方向
x
O
θ
x,
沿半径方向指向圆外,大小为 df=IBdl=IBRdθ.
两个分量为 df =dfcosθ df =dfsinθ
B
T
π /2
π /2
dcosd
xx
ff IBRθ θ==
∫∫
x
,
y
安培力为
π /2
π /2
sinIBR θ
=
2IBR=
π /2
π /2
dsind
yy
ff IBRθ θ
==
∫∫
根据对称性也 得
π /2
π /2
cos 0IBR θ
=? =
半圆环所受的合外力为零,f
x
-2T=0,所以 T=f
x
/2=IBR=0.35(N).
可 得 f
y
=0.
磁场将运动电荷或电流之间的相互作用 (不是电力 )
看成一个运动电荷或电流产生的磁场对另一个根据磁场对运动电荷的作用力而引入描磁感应运动电荷或电流的作用,从而引入磁场的概念,
述磁场基本性质的物理量 ----磁感应强度,
强度以场作为研究对象讨论电流产生磁场的毕 —萨定律 基本规律 ----毕奥 —萨伐尔定律和场强的叠加原理,得出计算电流产生磁场的基本方法,
讨论磁场的通量和环流,得出磁场是
“无源” (高斯定理 )和“有旋” (环路定场的性质理 )场,
作用力讨论磁场对电流和运动电荷的作用力,得到电流所受磁场力 (安培力 )及运动电荷所受力 洛仑兹力 的计算公式( ),
注意,(1)电现象与磁现象的类比,
电场 ----磁场点电荷的场强计算公式 毕奥 萨伐尔定律---- —
电场的高斯定理和环路定理 ----磁场的高斯定理和环路定理静电场对静止电荷的作用力 ----磁场对电流和运动电荷的作用力电场强度的计算方法 磁感应强度的计算方法
(2)电现象与磁现象的区别,
----
电场力的计算方法 ----磁场力的计算方法
()
有孤立的点电荷而没有孤立的稳恒电流元,因稳恒电流要形成回路 ;
静电场是保守力场而磁场是非保守力场,
(3)掌握磁感应强度的两种计算方法,
一是利用毕 —萨定律和磁场的叠加原理,掌握无限长直线电流和圆电流等典型电流产生的磁场,结合叠加原理进行有关磁场的计算方法,
二是利用安培环路定理,不过,此方法仅适用于具有一定对称性的电流分布所产生的磁场,
(4)掌握轴向对称性 面对称性长直螺线管及螺绕环等典型的对称电,
流分布所产生的磁场计算,
(5)掌握电流所受磁场力解磁聚焦 磁约
(7)了解电和磁力矩及运动电荷所受磁场力的计算方法,
(6)理,
束和霍耳效应等,
场与磁场的相对性,
14.1 电流密度矢量和电动势
1.1.1 电流是怎么形成的?
电流是由电荷的运动形成的,电流可分为传导电流和运流电流,
(1)传导电流是由导体中 金属中的载流子是自由电子,离子()
的载流子 (荷电的微观粒子 )
规则或定向运动形成的,
运流电流是由宏观带电体的机械运动形成的溶液和电离气体中的载流子是电离的正负离子或正离子和电子,
(2),
如带电圆盘绕轴转动所形成的环形电流,
1.1.2形成持续电流的条件是什么?
导体置于外电场中要产生静电感当导体达到静电平衡应,在发生静电感应过程中,导体内的电场不为零,导体内的自由电子将状态后,导体内的场强为零,自由电子不再作产生宏观定向运动而形成电流,
宏观定向运动,电流消失,
可见,要在导体中形成持续电流的条件是,(1)要有能作宏观自由移动的电荷 ;(2)要维持一个电场,
1.1.3 什么是电流强度?
电流强度是单位时间
dqqΔ
用于描述电内通过某一截面的电量,
0
lim
d
t
I
tt
Δ→
= =
Δ
(14.1)
流的强弱,
电流强度是标量 (代数量 ),其正负与电路中正方向的规定有关,其国际单位是安培 (A),1安 =1库 ·秒
-1
(C·s
-1
).
1.2.1 什么是电流密度矢量?
电流密度矢 d
量 δ 的定义是式中 dS 为通过导体中某点且垂
0
d
I
S
⊥
=δ n
n
0
dI
δ
(14.2)
⊥
直于该点电流方向的面积元 ;
dS
⊥
dI为通过该面积元的电流强度电流强度描述导体中某 截面上电流的整体;
n
0
为该点带正电的载流子定向运动方向的单位矢量,
电流密度矢量在导体中某点的方向表示该点的电流方向一 截面上电流的整体情况,电流密度矢量描述导体中各处的电流情况,
,
其数值等于通过该点且垂直于该点电流方向的单位面积上电流强度 其国际单位是安培 ·米
-2
(A·m
-2
),米,
1.2.2 电流密度矢量与电荷的运动速度有什么关系?
设导体中某点的电荷体密度为 ρ 电荷运动的速度大小为ρ,v.
电荷经过时间 dt运动的距离为 dl=vdt;
在垂直于电荷运动方向取 面积
dS
dI
δ
一 面积元 dS
⊥
,流过面积元的电量在柱体中,柱体的体积为 dV=dldS
⊥
=vdtdS
⊥
,
ρ
dV
dq
v
⊥
dl=vdt
中
⊥ ⊥
些电荷在 时间内将穿过体积内的电量为 dq=ρdV=ρvdtdS
⊥
,
用矢量表示就是 δ (14 3)
这 dt dS
⊥
面,
形成的电流强度为 dI=dq/dt=ρvdS
⊥
,
电流密度的大小为 δ d /dS
=ρv.,3)
δ = I
⊥
=ρ v
可见,导体中的电流密度矢量的方向与正电荷的运动方向相同 ;
导体中电荷密度越大,电荷运动速度越大,电流密度就越大,
1.2.3 什么是电流的连续性方程?
在导体中作一面积元 dS,其方向与电流密度 δ 方向的夹角直电流密度 向的 电流 度为 θ,垂 直 电流密 度 方 向 的面积为 dS
⊥
=dScosθ,电流强 度 如下
dI=δdS
⊥
=δdScosθ=δ?dS (14.4)
通过导体中任 截
∫
n
dS
一 截面 S的电流强度为,
d
S
I =?δ S
即,电流强度是电流密度矢量的通
dS
θ
n
0
dI
δ
(14.5)
即量,可见,电流强度类似于电通量,
在导体中任取一个封闭曲面,则流出此封闭曲面的电流强度为
⊥
dI =?
∫
δ S
v
电流的连续性方程
d
d
d
q
I =?=?
∫
δ S
v
:
(14.6)
S
根据电荷守恒定律可知,流出封闭曲面的电流强度等于曲面内电荷的减少率
S
t
()
:
把封闭曲面当作一个水池,把电流当作水流 同时有水流出和流入水池 流出水池的流,.
水量较多,水池中的水量就减少,反之增加,
将流入水池中的水量当作流出水池中的水量的水池流出流入 =-
流出负值,那么单位时间内流出 (包括流入 )水池中的水量就是水池水量减少率,即水量增加率的负值,
1.2.4 什么是电流场?
导体中各处的电流密度矢量构成一个矢量场 称为电流场,.
在场中画出一组曲线,曲线上每一点的切线方向为该点的电流密度矢量 δ的方向 这 一 组曲线就是电流线通过垂直于该处电流线方向上单位面积的电流线的根数在数值上等于该处的 δ 的大小
,组曲线就是电流线,
δ,
导体中各处的电流密度矢量不随时间
1.3 什么是稳恒电流,其形成条件是什么?
变化的电流称为稳恒电流 (俗称直流电 ).
由于导体中的电流是由导体中自由电荷在电场的作用下做宏观运动形成的,所以导体中的电场强度不随时间变化才能形成稳恒电流,同时,导体内各处的电荷分布也不随时间变化,
稳恒电场是由不随时间变化的电荷分布产生的 (电荷完全可以运动 ),静电场是由静止的电荷产生的,
稳恒电场的性质与静电场相似,它们都满足同样的高斯定理和环路定理,静电场是稳恒电场的特例,
d
d0
d
S
q
t
=? =
∫
δ S
v
(14.7)
在导体中任取一个闭合面,由于 dq/dt=0,所以,
由于电流线不会中断 可想,稳恒电流必形成闭合回路面可知,流入导体内任一封闭面的电流必等于流出此封闭面的电流,
,.
1.4.1 什么是电源,其作用是什么?
导体组成的闭合回路形成电路 由于电路中存在电阻 当有,,
电流通过时,就会产生焦耳热,如果不补充焦耳热造成的电场能的损失,电路中的电势能就将减少,电场以及电荷分布将发生变化,破坏稳恒电流的条件,就不能维持稳恒电流,
稳恒电场力是保守力,保守力不能通过在电
+q
F
k
路中做功而将其他形式的能量转化为电场能,
因此,电路中必须有非静电力 (非保守力 )
-q
F
e
电源是一种提供非静电力的装置,它使正 (负 )电荷由电源负 极经电源内部克 稳恒电场力回做功,将其他形式的能量转化为电场能,
(正 ) 服 稳恒电场力回到电源的正 (负 )极,从而维持电荷的闭合运动,
电源也是 种能源 它将 其他形式的能量 化学能机一 种能源,(
械能等 )转化为电场能,以弥补电路中电场能的损失,
1.4.2 什么是电动势?
电源的电动势定义为将单位正电荷从电源负
dε
+
∫
El
(14 8)
极经电源内部移到正极时非静电力所做的功,
k
=?
E
k
是非静电场强,是单位正电荷所受的非静电力 E
k
=F
k
/q (14.9)
电动势反映电源中非静电力做功的本领 这种非静电力
.8)
,,
可以是一种实质性的物质场,如涡旋电场,也可以是一种非实质性的等效场 如,化学力场,,洛仑兹力场,等,如,等,
k
d
L
ε =?
∫
E l
在通常情况下,非静电场强沿一段路径的线积分称为这 一 段路径的电动势
(14.10)
当路径闭合时,线积分就是绕回路的电动势,
k
d
L
ε =?
∫
E l
v
段路径的电动势即,绕回路一周非静电力对单位正电荷所做的功,
(14.10)
电动势是标量,其正负号取决于路径的方向,电源取从负极经过电源内部指向正极的方向为电动势的方向,电动势的单位是伏 (V).
注意,由于非静电力是一种非保例如 从电源的负极经电源内守力,所以电动势的数值和符号与所选取的路径有关 ;这是电动势与
,
部到正极,电动势为正 ;如果由负极经外电路到正极,电动电势差的最主要的区别 (电势差与路径无关,只与始末位置有关 ).
势可能为零,而电源正负极间的电势差则与路径无关,
14.2 磁场
211我国古代对磁学有什么贡献?2.1.1
人类发现磁现象与发现电现象是一样古老 我国四大发明之 就是指南针,一 就是指南针,
我国东汉的王充在《论衡》中最先描述了“司南勺” (磁石指南 );北宋的沈括在,梦溪笔谈,中最早记载地磁偏角
2.1.2 西方是如何建立磁学理论的?
在西方 早期的磁学与电学的研究是独立进行的
,,.
,.
1820年丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应 第一次揭示了电与磁的联系,.
不久,法国物理学家安培从实验中总结出两个电流元
(载流导体中所取的小段电流 )之间相互作用力的公式,
1822年,他提出“分子电流”假说来解释物质的磁性 建立了电流是 一 切磁性起源的理,切磁性起源的理论,
2.2.1 什么是磁场?
与电场类似 运动电荷之间的磁相互作用是通过磁场来传递的,.
从本质上讲,一个运动电荷在其周围激发磁场,通过磁场对另外的运动电荷产生作用力 即磁场力,.
运动电荷之间的相互作用可表示为运动电荷磁场 运动电荷和实物 一 样 磁场也具有磁场是存在于 运 动电样,
质量,能量和动量,和电场一样,磁场也具有叠加性,
动电荷或电流周围 (除电场以外 )的一种特殊物质,
2.2.2 磁感应强度矢量 B是怎么定义的?
实验发现,当运动电荷以速度 v通过磁场中的任意一点 P时,一般要受磁力 F的作用,
v:F≠ 0
v=v
⊥
θ
F:F⊥ v,B
但是当 v沿过 P点的 一
F=F
m
据此定义场点 P
P
v:F=0
条确定方向时,运动电荷所受磁力 F=0.
B
处 B的方向沿着 v
或相反的方向,
实验还发现,运动电荷所受的磁力 F既垂直于速度 又垂直于由此规定,运动正电荷的速度 v的方向,B的方向和磁力 F
的方向组成右手螺旋关系v,B.
实验表明,当速度 v与 B垂直时,电荷所受的磁力 F
最大 这个速度的大小用 表示 力的大小用 F 表示
.
,v
⊥
,
m
.
空间任一点的 F
m
/qv
⊥
是唯一的,与运动电荷无关,
P点磁感应强度矢量 B的大小定义为 B F / (14 12)
磁感应强度 B是描述磁场强弱和方向的物理量 其国际单位是特斯拉 (T)
,=
m
qv
⊥
.
,.
1特 =1牛 ·秒 ·库
-1
·米
-1
(N·s·C
-1
·m
-1
),1特 =10
4
高斯 (G).
2.2.3 什么是磁感应线?
磁感应线是形象表示磁场的 一 组曲线,与电力线类似,(1)磁组曲线 磁感应线上任何一点的切线方向与该点 B的方向一致 ;(2)通过垂直于 B方向上单位面积的磁感应线数等于该点 B的大小,
实验发现,磁感应线总是连续的,为环绕电流的闭合曲线 ;磁感应线的方向与电流方向间 呈 右手螺旋关系,
(c)螺线管电流磁场,
(a)长直流电的磁场 ;
(b)圆电流的磁场 ;
线 右手螺旋关系
I
B
B
I I
B
2.2.4 什么是磁通量?
n
通过任一曲面的磁感应线的数目称为通过此曲面的磁通量,符号是 Φ.
θ
B
dS
S
在曲面 S上取一面积元 dS,其方向与 B的方向之间的 夹角为 θ,则 通过 面积 元的磁通量 为
∫∫
则面积 为
dΦ=BcosθdS=B·dS
通过曲面 S的磁通量为 (14.13)dd
SS
Φ Φ= =?BS
在计算磁通量之前要确定曲面的正方向,
对于封闭曲面常取外法线方向为正方向,
磁通量的国际单位为韦伯 (Wb) 1Wb=1T·m
2
,.
2.2.5 什么是磁场中的高斯定理?
由于磁感应线总是连续的 在磁场中任取,
一闭合曲面,穿入此闭合曲面的磁感应线数一 定等于穿出此闭合曲面的磁感应线数,即
B
即
d0
S
=
∫
BS
v
这就是磁场的高斯定 也叫做磁通连续性原
(14.14)
理,理,
磁场的高斯定理是电磁学的基本的定理之一,但是它与静电场的高斯定理有本质区别,
磁场是无源场,自然界中没有与电荷相对应的“磁荷”或磁单极子,磁极总是成对存在的,
14.3 毕奥 -萨伐尔定律
311什么是电流元?3.1.1
在一个电流强度为 I的回路中取一矢量线元
dl Idl就是电流元 dl的方向与电流的流向相同
Idl
,,.
在静电学中,一个静止的电荷系统所产生的静电场是系统中各电荷元所产生的静电场的矢量叠加
I
.
与此类似,在稳恒磁场中,一个稳恒电流回路所产生的磁场就是回路中各电流元所产生的磁场的矢量叠加,
不过,由于稳恒电流必须闭合,不存在独立的电流元 所以不能直接用实验测量电流元所产生的磁场元,.
但是,借助于理论分析,可得出与实验相同的结果 由此证明电流元概念的正确性,.
电流元产生磁场的规律是由法国科学家毕奥和萨伐尔
3.1.2 什么是毕奥 -萨伐尔定律?
他们指出,电流元 Idl在空间 P处产生的磁感应强度为,
于 1820年在实验的基础上借助理论分析首先提出来的,
Idl
0
0
2
d
d
4π
I
r
μ ×
=
lr
B
I
r
θ
dB
P
0
3
d
4π
I
r
μ ×
=
lr
(14.15)
式中,r为电流元 Idl到场点 P的矢径,r
0
为单位矢量 ;μ
0
为真 空磁导 率,在 国 际单位制中为 μ
0
=4π× 10
-7
N·A
-2
.真率 际单位制中为电流元产生的磁场的规律比电荷元产生的电场的规律要复杂,
这是微分形式的毕奥 -萨伐尔定律,
dB的大小与电流元到场点 P的距离平方成反比,与电流元的大小成正比,还与电流元 Idl与矢 径 r的 夹角 有关 ;dB的方径向垂直于 Idl与 r所在的平面,它们之间遵守右手螺旋关系,
电流元 Idl在空间产生的磁感应强度大小为,
0
0
d
d|d|
I
B
μ
×
==
lr
B
0
dsinIlμ θ
=
P
3
P
在电流元所在平面内以电流元为圆心作 半径为 的圆
r
Idl
θ
P
1
2
4π r
2
4π r
P
2
r
1
r
2
r
3
一 半径为 r,
(1)在延长线上的 P
1
和 P
2
点,θ =0和
θ =π 电流元产生的场强为 dB=0
r
4
P
θ,.
(2)在中垂线上的 P
3
点,θ =π/2,场强大小为,
0
2
d
d
4π
Il
B
r
μ
=
P
3
是场强最大的点之最大值用 dB 表示
4
点一,
m
,
其方向垂直屏幕向外,(3)在中垂线上的 P
4
点,θ =π/2,场强大小仍为 dB,方向垂直屏幕向里,
m
(4)其他点 P的场强可用公式 dB=dB
m
sinθ 计算,如果 P
点在 电 流元 上 方,则 磁 场方向 垂直 屏幕向外,否则向 里,
一段载有稳恒电流的导线所产生的磁场等于所有 电流 元产 生 的 磁 场的 叠 加,
0
0
2
d
d
4π
L
L
I
r
μ ×
==
∫∫
lr
BB
流元 方 场方向 屏幕向外元产 的 场的 加
(14.17)
这是积分形式的毕奥 -萨伐尔定律,
例 14.1 直线电流磁场,设真空中有长度为 L的直线段,通以强度为 I
的电流,求其在空间某点 P产生的磁感应强度,P点到导线的距离为 a.
根据毕 -奥定律,电流元 Idl在 P点所生的磁感应强度大小为
θ
2
解,以 P点在直导线上的垂足为原点 O,作坐标系,
0
2
dsin
d
Il
B
μ θ
=
:
θ
r为电流元到 P点的距离,θ为 Idl与 r之间的夹角,
4π r
由 得
rl
dl
L
P
I
由 l=acot(π-θ)=-acotθ得 dl=adθ/sin
2
θ.
由 a=rsin(π-θ)得 r=a/sinθ.
aO
dB
可得
0
dsind
4π
B
a
μ
θ θ=
由于直导线上各电流元在 P点产生的磁感应
θ
1
I
2
0
did
I
BB
θ
μ
θθ
∫∫
方向都垂直屏幕向里,所以总磁感应强度为
(14 17)
0
()
Iμ
θθ
1
d sin
4π
L
a
θ
==
.
12
(cos cos )
4π a
=?
可见 直线电流的强度越大 在周围空间产生的场强越大:,.
例 14.1 直线电流磁场,设真空中有长度为 L的直线段,通以强度为 I
的电流,求其在空间某点 P产生的磁感应强度,P点到导线的距离为 a.
讨论,(14.17)
0
12
(cos cos )
4π
I
B
a
μ
θ θ=?
P
1
θ
2
可知,在直线电流的上和下两个
(1)当 θ
1
=θ
2
=0,或 θ
1
=θ
2
=π,可得 B=0.
延长线上的磁感应强度为零,
0
I
B
μ
(14 18)
(2)当导线趋于无限长
a
L
O
P
I
无限长直载流导线之
2π a
=
.
()
时,θ
1
=0,θ
2
=π,可得,
θ
1
I
B
磁场的磁感应线是垂直于导线且以导线为圆心的一系列同心圆,
P
2
例 14.2 圆电流的磁场,一半径为 R的圆环形载流导线,电流强度为 I.求圆环形导线轴线上的磁场分布,
解,把圆电流的轴线取为 x轴,原点取在圆心上,在圆线圈上取一电流元 Idl,在距离为 r的轴上 P点产生磁场 dB,dB垂直于 dl和 r.
0
dl
0
2
d
4π
I
B
r
μ
×
=
r
设 与 轴之间的夹角为 θ 将 dB
Idl
dB
⊥
dB
由于 dl与 r垂直,所以 dB的大小为,
0
2
d
4π
Il
r
μ
=
设 r与 x,将进行正交分解,dB与垂直 x轴的分量 dB 之间的夹角也是 θ
O
R
⊥
θ
θ
r
I
⊥
.
x
P
dB
x
dB'
Idl'
在圆环对称部分,电流元 Idl'总有与
dB 大小相反的分量 两者叠加后为零
0
3
ddsin d
4π
x
IR
B Bl
r
μ
θ==
合磁场的大小如下,
⊥
dB'
⊥
,.
平行 x轴的分量为,
(14.19)
0
3
dd
4π
x
L
IR
B Bl
r
μ
==
∫∫
v
0
3
d
4π
IR
l
r
μ
=
∫
v
0
3
4π
IR
r
μ
=
2πR
2
0
3
2
IR
r
μ
=
2
0
223/2
2()
IR
R x
μ
=
+
B的方向沿 x轴正向,与圆电流的环绕方向之间符合右手螺旋关系,
例 14.2 圆电流的磁场,一半径为 R的圆环形载流导线,电流强度为 I.求圆环形导线轴线上的磁场分布,
讨论,
x
R
r
I
2
0
3
2
IR
B
r
μ
=
2
0
223/2
2( )
IR
Rx
μ
=
+
(14.19)
(1)在圆电流中心处的磁感应强度最大,令 r=R或 x=0得
P
O
B
圆环中心的磁感应强度为,
0
I
B
μ
(14 20)
2R
=,
(2)当 x很大
2
00
IRIS
B
μμ
这种情况与电偶极子的
()
时,场强为,
33
22πxx
≈ =
可见,环电流和电流包围的面积越大 在远处的轴线场强的变化规律类似,
,
上产生的场强越大 ;在环电流和电流的面积一定的情况下,远处轴线 上 的场强与距离的 立 方成反比,的场强与距离的 方成反比
例 14.3 一均匀密绕螺线管,管的长度为 L,单位长度上绕有
n匝线圈,通有强度为 I的电流,求螺线管轴线上的磁场分布,
解 螺线管各匝线圈都螺线形的 在密绕的情况下可以当作多解,,
匝圆形线圈紧密排列而成,
L
P点在轴线上 在相距为 l的地方
R
rθ
1
θ
θ
,
取一段元 dl,段元中有 dN=ndl匝线圈,电流强度为 dI=IdN=Indl,
22
00
33
dd
d
22
RI nIRl
B
rr
μμ
==
l dl
P
2
共 N匝线圈在 P点产生的磁场为设 θ为轴线与 P点到 dl连线之间的夹角,则有 R=rsinθ,r=R/sinθ;
I
可得共
Rr
I
θ
0
dsind
2
n
B
μ
θ θ=?
l=Rcotθ,dl=-Rdθ/sin
2
θ.
可见 电流强度越
2
1
0
dsind
2
n
BB
θ
μ
θ θ==?
∫∫
积分得
(14 22)
0
nIμ
:
大,单位长度上的匝数越多,在轴线
.
21
(cos cos )
2
θ θ=?
上产生的场强越大,
例 14.3 一均匀密绕螺线管,管的长度为 L,单位长度上绕有
n匝线圈,通有强度为 I的电流,求螺线管轴线上的磁场分布,
讨论 (14.22)
0
21
(cos cos )
2
nI
B
μ
θ θ=?
L
(1)如果管长比半径大很多,可认为直螺线管为无限
R
θ
1
多长,令 θ
1
=π,θ
2
=0,可得
A
1
A
2
P
θ
2
B=μ
0
nI,(14.23)
(2)在半无限长管的一端的中心 A
1
(θ
1
=π/2 θ
2
=0)或共 N匝线圈
()
,或
A
2
(θ
1
=π,θ
2
=π/2),磁场为
B=μ nI/2 (14 24)
载流长螺线管外部的磁场很弱,而管内磁场基本上是均匀的,
0
.,
螺线管越长,这种特点越显著,
14.4 安培环路定理
4.1.1 对于无限长直导线,B的线积分 是多少?
d
L
∫
B l
v
(1)在长直电流垂直的平面上取一包围电流的闭合路径,路径的环绕方向与电流方向成右手螺旋关系,积分得
dcosd
LL
Blθ? =
∫∫
Bl
v v
为线元 与 之间的夹角θ dl与 B,
由图得 cosθdl=rdφ,其中 r是场点到直线电流的距离 dφ是线元 dl对 O点的张角
I
dl
0
2π
I
B
r
μ
=
直线电流的磁场为
,对,
可得
B
O
x
φ
r
θ
2π
0
0
dd
2π
L
I
r
r
μ
=
∫∫
Bl
v
2π
0
0
0
d
2π
I
I
μ
μ==
∫
B
dφ
(2)如果闭合路径的环绕方向与电流方向成左手螺旋关系 例如 直线电流的这个结果与回路的形状和大小无关,
φ
dl
r
θ
,,
方向相反而回路的环绕方向不变,则得
dcos(πB
∫∫
Bl
v v
)d cos dlBlIθθμ
∫
v
O
x
LL
=
0
L
=? =?
结果是电流由 I变成 -I.如果电流包括符号,两公式的形式完全相同,
I
dφ
(3)如果所取的闭合路径不包括直线电流,设回路对 O点的张角为 θ,过 O点
I
的切线将曲线分为两段 L
1
和 L
2
,则得
ddd? =?+?
∫∫∫
Bl Bl Bl
v
12
LLL
O
x
θL
1
L
2
0
[()]0
2
Iμ
θθ= +? =
0
0
(d d)
2
I
θ
μ
=+
∫∫
π
此时环路积分为零
0
π
θ
(4)如果包围电流的闭合路径不在与直线电流垂直的平面上,可将线元分解为平行和垂直平面的两个分量 dl=dl
‖
+dl
⊥
.
.
上
‖ ⊥
∫∫∫
d0
L
⊥
=
∫
Bl
v
由于 dl
⊥
⊥ B,所以此
I
dl
⊥
dl
0
dd d
LL L
Iμ
⊥
=? +?=Bl Bl Bl
&
v v v
因 此与前面推导的结果相同
O
dl
‖
.
补充例题 14.1 环电流在轴线上产生的场强为,
证明 轴从 到 磁感应强度不为零 方向沿着 轴正向 当试证明
2
0
223/2
,
2( )
IR
B
Rx
μ
=
+
0
d.
L
Iμ?=
∫
Bl
v
:x -∞到 +∞,,x ;当
x=± ∞时,B=0.
θ
x
P
O
R
x
B
+∞
-∞
+∞?∞
2
IR
+∞
I
磁感应强度的可在无穷远处从 +∞到 -∞作一曲线,此与 x轴形成一条闭合曲线,
设 x=Rtanθ 当 x=-∞时 θ=-π/2;当 x=+∞时 θ=π/2
dd0d
L
∞ +∞
=?+?
∫ ∫∫
Bl Bl l
v
0
223/2
d
2( )
x
Rx
μ
∞
=
+
∫
环路积分为,
可得 dx=Rdθ/cos
2
θ.
设,当 时,当 x+时,.
证
+π/2
2 2
d/IR R θθ
+π/2
I
+π/2
I
,因此
2
2
22
sin 1
1tan 1
cos cos
θ
θ
θ θ
+=+=
由于证毕,
通电螺线管在轴线
0
33
π/2
cos
d
2/co
L
R
μ
θ
=
∫∫
Bl
v
0
π/2
cos d
2
μ
θ θ
=
∫
0
0
-π/2
sin
2
I
μ
θ μ==
也可以nIμ
∫
上的磁感应强度为,
证明,
0
21
(cos cos )
2
B θ θ=? 0
.d
L
NIμ? =Bl
v
4.1.2 什么是安培环路定理?
可以 证 明,对于任意形状的稳恒电流回路,都有
0
d.
L
Iμ?=
∫
Bl
v明在一般情况下,当真空中有若干个稳恒电流回路存在时,根据磁场叠加原理,其合磁场的磁感应强度 B对任一闭合路径的线积分为
0
d
i
L
Iμ?=
∑
∫
Bl
v
其中 I为环路所包含的电流强度
(14.25)
这就是安培环路定理,在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B
沿任何闭合路径 L的线积分
i
,
当电流方向与路径绕行的方向成右手螺旋关系时为正,否则为负,
(环流 )等于路径所包围的电流强度的代数和的 μ
0
倍注意,(1)ΣI
i
是闭合环路 L所包围的电流的代数和,
倍,
(2)B为空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和,包括 L之外的电流产生的磁场,后者的磁场对于闭合路径的环流没有贡献,
(3)安培环路定 理 只 适 用 于稳 恒 电流 产 生的磁()安培环路定只用 恒 产场,如果电流随时间发生变化,则定理需要修正,
(4)如果 空 间存在其他 磁 性物质,定 理 的形式 也 要改变,() 间存在其他 性物质 的形式 要改变磁场是有旋场 ;静电场是无旋场,
例 14.4 同轴电缆的磁场,设同轴电缆的内导体圆柱半径为 R
1
,
外导体圆筒内外半径分别为 R
2
和 R
3
,电缆载有电流 I.求各区域之磁场分布 设电流在内导体圆柱和外导体圆筒截面上均匀分布小结,同轴电缆载流时,内导体圆柱中的磁感应强度与到轴线的距离成 比 内导
( ).
解,由于同轴电缆的电流分布具有轴对称性,所以电缆中各区域的磁感应线皆为以电缆轴线为对称轴正 比 ;
体与外导体之间的磁感应强度则与距离成反比 ;外导体圆筒的磁感应强度也随着的同心圆,在各区域都取以 r为半径的圆为安培环路,
(1)内柱的电流密度为 δ=I/πR
1
2
I
距离的增加而减少 ;电缆外部则没有磁场,
()
环路包围的电流为 ΣI
i
=πr
2
δ=Ir
2
/R
1
2
B与回路方向相同,由安培定 理 得
II
Iμ
得
0
ddd2π
i
LL L
B lB l rB Iμ?= = = =
∑
∫∫∫
Bl
v v v
(2)在柱和筒之间 由于 ΣI =I 所以
0
I
B
μ
=
R
1
0
2
1
2π
B r
R
→=
(3)外筒的电流密度为 δ'=I/π(R
3
2
–R
2
2
)
,
i
,
2π r R
2
R
3
r
电流为 ΣI
i
=I-π(r
2
-R
2
2
)δ'
所以 0
d2π
i
L
rB Iμ?= =
∑
∫
Bl
v
r
r
22
03
22
2
IR r
B
RR
μ?
→=
=I(R
3
2
-r
2
)/(R
3
2
-R
2
2
)
B
B
(4)在电缆外,由于 ΣI
i
=I-I=0,所以 B=0.
r
32
πr?
B
例 14.5 螺绕环的磁场,环形螺线管叫螺绕环,设环的内外半径分别 R
1
和 R
2
(R
2
-R
1
<<R
1
),环上均匀密绕 N匝线圈,线圈中通有电流 I.
解 取螺绕环的纵剖截面 电流在外圆流进 在内圆流出解,,,.
(1)在管内,根据对称性,与螺绕环共对称轴的圆周上各点的 B大小相等 方向沿着圆周切线方向 并与电流环绕方向成右旋关系,,.
0
dd2π
LL
B lrBNIμ?= = =
∫∫
Bl
v v
在管内取半径为 r的圆周为一闭合回路,根据安培环路定理得,
解得
0
2π
NI
B
r
μ
= R
2
R
1
可知螺线管内不是均匀磁场,
或 B=μ
0
nI,
当管的横截面线度 (R
2
-R
1
)远小于环半径 R
1
或 R 时 管内 B的大小可以认为是均匀的
n=N/2πr为螺绕环上单位长度上的匝数,
I
或
2
时,.
r
(2)在管外,作一圆环安培环路 由于 ΣI =0 可得,B=0
R
2
r
,
i
,.
R
1
O
讨论,保持 n=N/2πr不变,令内环半径
R
1
→∞,螺绕环就变成无限长螺线管,管内磁场是均匀的,与管的横截面的形状和大小无关,场强大小仍为 B=μ
0
nI.
例 14.6 无限大均匀载流平板的磁场,设无限大导体平板厚度为 d,板内电流密度为 δ.求板内外的磁场分布,
大均匀载流 板 有 板 向的解,由于无限 平 板 具 有 沿平行于平 板 方 向的 平移对称性,磁感应线的绕行方向与电流方向之间成右手螺旋关系,可知,
磁感应线为垂直于电流方向且平行于平板的一些平行直线,
(1)在板外,作 一 矩形安培环路 ABCD,设
d
同一磁感应线上 B相等 ;B的大小在板的两边对称分布,方向相反,
矩形安培环路 设
AB=CD=a,它们沿着磁感应线方向 ;BC和
DA垂直于磁感应线方向,回路的环流为
δ
ddddd
LABBCCDDA
=?+?+?+?
∫∫∫∫∫
Bl Bl Bl Bl Bl
v
B
C D
=Ba+0+Ba+0=2aB
回路包围的电流为 ΣI
i
=δad.根据安培环路定理,得 B=μ
0
δd/2.
d
y
0
d
i
L
Iμ?=
∑
∫
Bl
v
C' D'
B'
AB
a
(2)在板内类似作一矩形安培环路 A'B'C'D',环绕方向不变,宽度不变,高为 2y.环流仍为 2aB,但包围的电流为 ΣI δ 2 同理可得 B δ
A'B'
i
= a y,=μ
0
y.
小结,板外是均匀磁场 ;板内的磁场与板的中心面距成正比,
14.5 磁场对载流导线的作用力
51安培力公式是什么?5.1
1820年法国物理学家安培在实验的基础上得出稳恒电流回路电流元之间的相互作用力的规律,
B
dF Idl× B (14 26)
电流元 Idl在外磁场 B中受到的作用力为力的方向与电流元 Idl的方向和磁感应强度 B的方向垂直,
dF
dl
dF
Idl
= ×,
力的大小为
I
I
B
I
dF=|dF|=|Idl× B|=IdlBsinφ,
其中,φ是 Idl与 B之间的夹角,
段载流导线在磁
∫
|| ×
一场中所受的力为
d
L
I= ×F lB
(14.27) 这就是安培力公式,
在解决问题时常常用分量式,
例 14.7 载流 I
1
的无限长直导线与一载流 I
2
的半圆形线圈共面,线圈的直边平行于长直导线,线圈半圆边半径为圆心到长直导线的距离也为 求线圈所受安培力a,a,.
解,电流 I
1
在线圈处产生磁场方向是垂直屏幕直边电流元 I
2
dl与磁场 B
1
垂直,根据安培力公式 dF'=I dl× B 其大小为 dF'=I dlB
向里的,在直边处的磁场大小为 B
1
=μ
0
I
1
/2πa.
y
F'=(I
2
2a)B
1
=μ
0
I
1
I
2
/π.
2
×
1
,
2 1
,
直边受力方向向左,大小为
a
dF
I
2
dl
在半圆上,电流元 I
2
dl受力方向沿径向向外,大小为,
01
21 2
dd d
2π
I
F IlB Il
r
μ
== I
1
F'
r
其中 r=a(1+cosφ),dl=adφ.由于对称,y方向的合力为零,x分量为
x
O
φ
ddcos
x
FFφ=
I
2
F
cos d
,
1
φ φ
φ
012
2
IIμ
=
B
1
故
012
2π
x
II
F
μ
=
a
cos+
π/2
cos d
1cos
φ φ
φ+
∫
012
2π
IIμ
=
π/2
1
(1 )d
1cos
φ
φ
+
∫
π
π/2?
2)?
012
(π
2π
IIμ
=
π/2?
012
2π
IIμ
=
π/2
2
d( / 2)
[π ]
cos ( / 2)
φ
φ
∫
π/2
/2
(tan 2)
2
φ
=
小结,载流线圈在非均匀磁场中线圈受到的合力为
012
(4 π
2π
x
II
FFF
μ
′
=?=?
方向向左,
)
π/2?
-π
所受安培力的合力一般不为零,
5.2 电流单位“安培”是怎么定义的?
设有两平行的“无限”长
B D
I
1
在 I
2
处产生的磁场的直电流 AB和 CD,垂直距离为 a,
电流分别为 I
1
和 I
2
,方向相同,
dF
21
I
2
dl
2
d
大小为 B
21
=μ
0
I
1
/2πa,
方向垂直屏幕向里,
IIμ
B
21
F
12
在 CD上取一电流元 I
2
dl
2
,所受的安培力为 dF
21
=I
2
dl
2
× B
21
,方向向着 AB.
由于 dl 垂直 所以力的大小为
0 12
21 2
dd
2π
F l
a
=
021 1 2
d
d2
F II
l
μ
=
CD单位长度受到的作用力为
I
1
I
2
(14.28a)
I
2 2
B
21
,
同理,AB所受的力指向 CD,单位长度导线所受的安培力为,
2
π a
012 1 2
d
d2π
F II
la
μ
=
:
(14.28b)
A
C
a
()
1
当电流的方向相反时,导线的相互作用力为斥力,
在国际单位制中,电流强度的单位,安培,在通有 1安 (A)
就是按 (14.28)式定义的,在真空中两根无限长的平行直导线相距 1m,通以大小相同的稳恒电安电流的导线中,
每秒流过导线横流,如果导线每米长度受的作用力为 2× 10
-7
N,
则每根导线中的电流强度就规定为 1“安培
(A)”
截面上的电量定义为 1库 (C).
5.3.1 磁场对载流平面线圈有什么作用?
设在均匀磁场中有矩形线圈 ABCD,
其中 BC和 DA边垂直于外磁场 B,长度为 l
2
,AB和 CD边长为 l
1
,与外磁场 B的
l
1
F'
1
C
θ
为 和 的夹角为 θ,线圈中电流强度为 I.
B
D
B
φ
I
AB和 CD边受安培力大小都为 F =IBl sinθ
BC和 DA边受安培力大小同为 F IBl
l
2
F
1
A
n
和
1 1
,
方向相反且在同一直线上,是一对平衡力,
和
2
=
2
,
方向也相反,但不在同一直线上,所以线圈所受的合力为零 但力矩不为零
F'
2
,.
力矩大小为 M=F
2
l
1
cosθ=IBl
1
l
2
sinφ,
φ
θ
B
l
1
D(A)
C(B)
φ为线圈平面的正正法线方向与线圈
F
2
n
法线方向与磁场方向的夹角,
中电流的绕行方向满足右手螺旋关系,
力矩使线圈的法线向磁场 B的方向偏转,
5.3.2 什么是磁矩?
磁矩 p
m
大小是线圈中电流强度 I与平面线圈单位是 安培 米
2
(A
2
) 线圈面积面积 S的乘积,方向为线圈平面的正法线方向,
p
m
=ISn=IS (14.29)
l
1
F'
1
C
安培 ·米 ·m,
为 S=l
1
l
2
,所受的磁力矩大小为
B
D
B
φ
I
θ
M=IBl l sinφ=ISBsinφ =p Bsinφ
注意,(1)磁力矩公式对任何形状的平
l
2
F
A
n
1 2
m
用矢量表示就是 M=p
m
× B (14.30)
面载流线圈都成立,(2)对于非均匀磁场,
载流线圈所受的合力不一定为零,
1
F'
2
θ
l
1
磁矩与电偶极矩相似,
电偶极矩 ----磁矩
l IS
F
2
φ
n
B
p
e
=q ----p
m
=
M=p
e
× E----M=p
m
× B
在均匀 中 在均匀 中E中,F
合
=0---- B中,F
合
=0
在非均匀 E中,向 E强处移动 ----在非均匀 B中,向 B强处移动,
例 14.8 一半径为 R,电荷面密度为 σ 的圆盘,
绕 过盘心 O并与 盘垂 直的轴以角速度 ω 旋转,求绕 直的轴以角速度 求其在与盘面平行的匀强磁场中所受的力矩,
解,在圆盘上取一半径为 r,宽度为 dr的圆环,
圆环的面积为 dS=2πrdr,
所带的电量为 dq=σ dS=2πσ rdr,
ω
B
R
O
r
dr
环形电流元为 dI=dq/T=ω dq/2π=ωσrdr,
圆环以角速度 ω 运动一周的时间为 T=2π/ω,
电流元包含的面积为 S=πr
2
,
电流元的磁矩为 dp
m
=SdI=πωσr
3
dr,
圆盘的磁矩大小为
mm
d πppωσ==
∫
方向向 上,
34
π
d,
4
R
rr Rωσ=
∫
所受的磁力矩大小为
4
mm m
π
sin,
4
MpB p BBRφ ωσ=×= = =p B
0
pp
根据右手螺旋法则,方向垂直屏幕向里,
5.4.1 怎么计算磁力的功元?
设均匀磁场 B垂直于矩形线圈所在平面,
矩形线圈载有稳恒电流 I.其 AB边可滑动,
根据安培力公式,AB边受安培力方向向右,大小为 F=IlB,l为 AB边的长度,
当 AB边移动 dx距离时,安培力所作之功元为即 d dΦ ()
A
dA=Fdx=IBldx=IBdS=Id(BS)
这里,dS为 AB边扫过的面积,Φ为回路中磁通量 dΦ 为磁通量的增量即 A=I Φ (14.31)
lI
dx
FB
,Φ,
B
5.4.2 怎么计算磁力矩的功元?
设 载有稳恒电流 I的平面线圈在均匀磁场 B中转动当 p
m
与 B之间的夹角由 φ增至 φ+dφ时,磁力矩之功元为设 一 载有稳恒电流,
dA=-Mdφ=-p
m
Bsinφdφ=ISBdcosφ
即 dA=Id(BScosφ)=IdΦ
可以 证 明,一 个任意的闭合电流回路在
d
n
式中,dΦ 为通过线圈的磁通量的增量,
B
φ
明磁场中改变位置或方向或形状时,磁力或磁力矩所作的功元都可以按 dA=IdΦ 计算,
φ
2
1
dA I
Φ
Φ
Φ=
∫
(14.32)
当通过线圈回路的磁通量从 Φ
1
变到
Φ
2
时,磁力或磁力矩所做的总功为,
如果 I是常量,则得 A=I(Φ
2
-Φ
1
).
例 14.9 半径为 R的半圆形载流线圈,电流强度为 I,可绕其直径 OO'转动,置 于匀强磁场 B中,求,(1)线圈所受最大磁力中 求 ()
矩 ;(2)线圈从 p
m
与 B的夹角为 90o转到 45o时,磁力矩作功多少?
解,(1)半圆的面积为 S=πR
2
/2
根据磁力矩的公式 M=p
m
Bsinφ
线圈磁矩的大小为 p
m
=IS=IπR
2
/2
大磁力
O
I
R
(2)磁通量公式为 Φ=BScosφ
最 矩为 M
max
=p
m
B=πR
2
IB/2
B
O'
当 φ
1
=π/2时 Φ
1
=0
当 φ
2
=π/4时
2
2
1
π RBΦ =
2
2
π RB=
π
cos
磁力矩所做的功为当 时
2
4
4
2
2
21
2
d (
4
.) πA II RIB
Φ
Φ
Φ ΦΦ= =?=
∫
1
14.6 带电粒子在磁场中的运动
6.1.1 什么是洛仑兹力?
运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力,
式中 q是电量 (包括符号 ),v是电荷的运动速度,
洛仑兹力的公式为 f=qv× B (14.33)
洛仑兹力不仅垂直磁感应强度 B,也垂直粒子的速度 v,所以洛仑兹力不做功,不能改变粒子速度的大小,只能改变速度的方向,
6.1.2 洛仑兹力与安培力有什么关系?
安培力是载流导体中作定向运动的带电电流 的电荷体密度为 电荷粒子在磁场中受到的洛仑兹力的宏观体现,
δ v SI
q
dF
f
B
设一 元 Idl ρ,以速度 v运动时,产生的电流密度的大小是 δ=ρv.
Idl
再设一个带电粒子的电量为 q,单位体积内的粒子数为 n(即粒子的密度 ),则 ρ=qn.
电流元 Idl在磁场中所受的安培力为 dF=Idl× B=nqSvdl× B,
还设电流元导体截面为 S,则电流强度为 I=δS=nqvS.
由于 v与 dl的方向相同,所以 vdl=vdl,
可得 dF=nSdlqv× B.
电流元 Idl的体积为 dV=Sdl,
每个粒子所受的 磁 力就是洛 仑 兹力,
粒子数为 dN=ndV,
f=dF/dN=qv× B.力就是洛 兹力
613带电粒子运动的方程是什么?
如果空间同时存在电场和磁场,则运动电荷就同时受到电场力和磁场力,所受的电磁场力为,f=f +f =qE+qv× B,(14.34)
6.1.3
这也称为洛仑兹力公式,
e m
×
2
dd
根据牛顿第二定律 f=ma,可得
2
.mqq
tt
=+ ×
rr
E B
(14.35)
这就是带电粒子在电磁场中运动的基本微分方程,
6.2.1 带电粒子在匀强磁场中是怎么运动的?
(1)如果外磁场是均匀磁场,且带电粒子的速度 v平行于磁场
B,可得 f=qv× B=0,故,粒子沿着磁场方向作匀速直线运动,
(2)如果速度 v垂直于磁场 B,由于洛仑兹力同时垂直 v()
和 B,所以粒子将在垂直于 B的平面内做匀速圆周运动,
洛仑兹力大小为 f=qvB,
f
B
v
qm
根据牛顿第二定律得 qvB=mv
2
/R
向心力大小为 f=mv
2
/R
mv
圆周运动的半径为圆周运动的周期为
R
O
R
qB
=
2π R
T
2π m
(14.36)
(14 3 )
可见,圆周运动的半径与速度
v
=
qB
=
,7
成正比,而周期与速度无关,
(3)如果速度 v与磁场 B的方向成一定的角 θ,就将速度分解为垂直于磁场的分量 v
⊥
=vsinθ和平行于磁场的分量 v
‖
=vcosθ.
⊥ ‖
v
v
⊥
B
圆周运动的半径为,(14.38)
sinmv
R
qB
θ
=
2π m
θ
v
‖
粒子的两个分运动是匀速圆周运动和匀速直周期仍为
T
qB
=
h
(14 39)
线运动,合运动是一个以磁场方向为轴线的螺旋运动,螺距为
2π
cos cos
m
hv Tθθ=? =
.
qB
==
6.2.2 什么是磁聚焦原理?
在电子枪外罩一个螺线管,产生轴向均匀磁场,电子枪发射的电子束有一个小发散角,因此电子作半径不同的螺旋运动,
电子的轴向速度主要由阳极加速电压决定,所以螺旋运动的螺距是相等的,电子经过一个周期后都交于一点,
这就是磁聚焦原理 其聚焦质量远好于电聚焦 主要应用在聚,,
焦质量要求较高的装置中,如电子显微镜,电子扫描等装置中,
6.2.3 什么是磁镜?
在非均匀磁场中,速度方向和磁场方向不平行的带电粒子也做螺旋运动,但是半径和螺距都会发生变化,
当粒子向磁场较强的地方做螺旋运动时,所
v
f
f
轴受的磁场力就有一个与前进方向相反的分量,
使粒子的轴向速度减为零并向相反方向运动,
强度 渐加强的磁场能使粒子发什么是磁瓶?
逐 渐加强的磁场能使粒子发生“反射”,这种磁场分布叫做磁镜,
6.2.4
用两个电流方向相同的线圈产生个中间弱两端强的磁场 在两端形一,
成两个磁镜,这种磁场分布叫做 磁瓶,
在现代研究受控热核反应的实验中 需要把温度高达,
10
7
~10
8
K的等离子体约束在一定空间区域,这样的高温会使 的 所有固体材料气化,因此磁 瓶就是常用 的 方 法之一,所有固体材料气化 方
6.3.1 什么是霍尔效应?
把导电片放入均匀磁场中 使磁场方,
向与导电片表面垂直,当通以垂直磁场方向的电流时 在导电片上下两面之间
--- - -
B
f
b
,
就出现电势差,这种现象叫做称为霍尔效应,出现的电势 差 称为霍尔电势 差,
-
v
I
+++++
h
U
H
实验表明,霍尔电势差的符号与载流子电荷的正负有关,大小为出现的电势差称为霍尔电势差
HH
IB
UR
b
= (14.40)
b是导电片的厚度,R
H
为取决于材料的霍尔系数,
6.3.2 霍尔效应是怎么产生的?
磁场 B垂直屏幕向里 导电片中电流 I向右当载流子为正电荷时,就受到向上磁场力,从而使导电片上表面带正电 下表面带负电
,.
f
++ +++
,;
v
B
I
当载流子为负电荷时,运动方向与 I指示的方向相反 所受的洛仑兹力也向上 则导电
---- -
,,
片上表面带负电荷,下表面带正电荷,
上下两表面的电荷产生静电场,当载流子受的磁场力与电场力平衡时得 qvB=qE,由公式 I=nqSv,得 v=I/nqbh.
H
1 IB
UEhvBh
nq b
== =
霍尔电势差为,
R
H
与 n和 q成反比,
比较实验公式
H
1
R
nq
=
(14.41)HH
IB
UR
b
=
霍尔系数为,
6.3.3 霍尔效应有什么应用?
霍尔系数与载流子的密度成 利用霍尔效应可制成测量电反比,金属的载流子密度大,霍尔系数小 ;半导体的载流子密度远流和磁感应强度的仪表,可用于测定载流子荷电的正负、载小于金属,霍尔系数大,所以霍尔元件多用半导体材料制成,
流子的漂移速度 v(v=U
H
/Bh)和载流子的密度数 (n=IB/qbU
H
).
6.3.4 什么是磁流体发电?
霍尔效应是磁流体发电的基本原理,
I
使高 高速 的等离
B ++ +++
高温使 处于 高 温 (3000K) (1000m·s
-1
)
子态气体通过耐高温材料制成的导电管,
-- -- -
等离子气体如果在垂直于气流的方向加上磁场,
则气体中的正负离子由于受到磁场力的作用 将分别向与流速 和磁场
I
不过,还需要解决通道效率低下 耐高温和耐腐蚀
,v B
都相垂直的两个相反方向偏移,
结果在导电管两侧的电极上
,
材料以及电极材料等问题,
产生电势差,从而输出电流,
例 14.10 一块半导体样品中电流 I沿 X轴正向,均匀磁场
B沿 Z轴正向,测得 a=0.10cm,b=0.35cm,c=1.0cm,I=1.0mA,
B=0.3T,U
12
=6.55mV.(1)试问此半导体是 p型还是 n型?(2)
求载流子浓度 n为多少?
解,(1)方法一,假设载流子是正电荷 (p型 ),根据右手螺旋法则,1面应该是正电荷,即 U
1
>U
2
,与 题意相同 所以载流子是正电荷 半导体是 型
B
Z
,,p型,
Y
O
a
c
1
2
I
方法二,假设载流子是负电荷 (n型 ),其运动方向与电流方向相反 在公式 f=qv× B中
X
b
,× 中,
根据右手螺旋法则,v× B的方向沿 Y方向,
由于 q<0 所以 f的方向向左 1面应该是负电荷 即
1 IB
,,,即
U
1
<U
2
,与题意相反,所以半导体不是 n型,而是 p型,
(2)根据公式
H
U
nq a
=
3
10 0.3
×
IB
,得
3192
6.55 10 1.6 10 0.1 10
=
××× ××
H
n
Uqa
=
=2.9× 10
20
m
-3
.
例 14.7 电流 I=7.0A,流过一半径为 R=0.05m的圆环,环置于 B=1.0T
的匀强磁场中,环平面与 B垂直,求环中由均匀磁场所产生的张力,
分析 由安培力公式得知 圆环上各电流元在外磁场中:,
所受安培力都在圆环所在的平面上,方向沿圆环的径向,
由对称性可知,圆环所受安培力的合力为零取半个圆环作研究对象,半圆环所受安培力与圆环两端所受之张力平衡,所以只
y
R
df
Idl
T
I
.
需要求出半圆环所受安培力即可得出张力,
解,在圆环上取电流元 Idl,它到圆心的连线与轴正向的夹角为 θ 它所受到的安培力 df方向
x
O
θ
x,
沿半径方向指向圆外,大小为 df=IBdl=IBRdθ.
两个分量为 df =dfcosθ df =dfsinθ
B
T
π /2
π /2
dcosd
xx
ff IBRθ θ==
∫∫
x
,
y
安培力为
π /2
π /2
sinIBR θ
=
2IBR=
π /2
π /2
dsind
yy
ff IBRθ θ
==
∫∫
根据对称性也 得
π /2
π /2
cos 0IBR θ
=? =
半圆环所受的合外力为零,f
x
-2T=0,所以 T=f
x
/2=IBR=0.35(N).
可 得 f
y
=0.
