第 16章 电磁场主要内容法拉第电磁感应定律动生电动势感生电动势自感和互感磁场的能量位移电流麦克斯韦方程组电磁波电磁振荡本章导引电场和磁场本章主要阐述变化的电场和变化的磁场间的相互联系,概括出电磁学的理论结构体系,
电磁感应从电磁感应现象入手,通过剖析产生感应电动势的原因及其非静电力,将感应电动势分为两类,
产生动生电动势的是第 类电磁感应现象 其动生电动势一 类电磁感应现象,其静电力是洛仑兹力,在本质上没有涉及新的概念,
产生感生电动势的是第二类电磁感应现象 其非静感生电动势
,
电力是变化的磁场,称为“感应电场”或“涡旋电场,,
自感和互感自感和互感是第二类电磁感应现象在线圈场中的应用,通过自感磁能阐明磁场能量的来源,
通过分析安培环路定律应用于非稳恒电流磁环路定律场的矛盾,从对称自然观出发,得出变化的电场产生磁场的结论,变化的电场相当于一种电流 位移电流,由此得到更普遍的环路定理将电磁场的基本规律概括为四个相关的方程 麦克斯韦方程组 建立电磁场理论 预言电磁流 —,”,,
麦氏方程组程 —,,
波的存在,介绍电磁波的性质,能量,产生和传播,
注意,
(1)掌握法拉第电磁感应定律,能熟练地运用其计算感应电动势,
(2)掌握动生电动势和感生电动势的概念及其计算,
(3)理解,涡旋电流,概念,能借助涡旋电场的,环流,
计算具有简单对称性的“涡旋电流”场强,了解其有关应用,
(4)掌握自 感 与 互感 概 念及 其计算方 法,掌握 磁 能 及 其计算方 法,() 与 概 其计算方 掌握能其计算方
(5)理解位移电流的概念及其计算,
(6)理解麦克斯韦电磁场方程组中各方程的物理意义,从而理解其作为电磁场理论的高度概括,
16.1 法拉第电磁感应定律
111什么叫电磁感应?1.1.1
1820年奥斯特发现了电流的磁效应,1822年英国物理学家法拉第开始了其逆过程,磁生电,
的研究,经过 10年努力,终于在 1831年获得成功,
当穿过闭合导体回路的磁通量随时间发生变化时 闭合回路中,
有电流产生,这种现象称为电磁感应,产生的电流称为感应电流,
感应电流方向的由楞次定律决定,
1833年俄国物理学家楞次总结出判断感应电流方向的楞次定律,
闭合回路中感应电流的方向总是使感应电流的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化,
1.1.2为什么说楞次定律是电磁感应过程中能量守恒的反映?
使条形磁铁的 N极靠近一个闭合导体回路 回路中磁通量就会增加条形磁铁的磁力线
,.
根据楞次定律,回路中感应电流的磁场将阻碍磁通量增加 其方向与外磁
v
N S
,
场方向相反,电流在正面就是向下的,
感应电流的磁力线如果感应电流方向违反楞次定律,与图示方向相反,电流产生的磁场将使磁铁向左做加速运动 ;
一旦磁铁开始运动,其动能就会越来越大,电流也将增大,而这些能量是无中生有的,违背了能量守恒定律,
根据楞次定律,感应电流的磁场阻碍磁铁运动,要使磁铁继续靠近回路,外界必须克服斥力做功以提供能量,维持感应回路中的电流,
1.1.3 什么是法拉第电磁感应定律?
在电磁感应过程中,回路中出实验发现,回路中的感应电动现了感应电流,说明回路中存在电动势,称为感应电动势,ε.
势与穿过回路的磁通量的时间变化率成正比,即,
在国际单位制中,式中比例系数为 1;而负号反映了感应电动势 (电流 )的方向,
d
dt
Φ
ε =?
设 回路面积的正法线方向向右 根据右手螺旋法
(16.1)
设 一 回路面积的正法线方向向右,
则,红实线箭头所表示的方向为回路绕行的正方向,
(1)当磁铁 N极向右运动时,Φ>0,回路
dΦ =?
∫
B S
中磁场增强,即 dΦ/dt>0,所以 ε<0,感应电动势的方向与回路绕行方向相反,
v
NS n
+
Φ ↗Φ ↘
(2)当磁铁 N极向左运动时,回路中磁场减弱,即 dΦ/dt<0,所以 ε>0,感应电
ε
v
+ Φ ↗Φ ↘
动势的方向与回路绕行方向相同,
NS n
(3)当磁铁 S极向右运动时,Φ<0,
dΦ/dt<0 所以 >0 感应电动势的方
ε
,ε,
向与回路绕行方向相同,
(4)同理可分析 S极向左运动的情况,
1.1.4 通过线圈感应电量是多少?
设 t
0
和 t
1
时刻通过回路所围面积的磁通量分别为 Φ
0
和 Φ
1
,设 和 和那么在这段时间之内通过回路导体横截面的感应电量为,
1
d
t
It
∫
设回路的电阻为 R,根据
1d
I
ε Φ
0
t
q =
欧姆定律得感应电流为
dRRt
= =?
11
1d 1
tt
Φ
∫∫
1
因此
00
dd
d
tt
qt
Rt R
Φ=? =?
01
()q
R
Φ Φ=?
即 (16.2)
通过导体回路横截面的感应电量 q与通过回路所围面积的磁通量的改变量成正比,与回路的电阻成反比,与磁通量的变化快慢无关,
据此可以设计磁通计,测量磁路中的磁通量和磁感应强度,
1.1.5 多匝线圈的感应电动势公式是怎样的?
有多匝线圈绕在 一 起时 整个线圈中的感应起时,
电动势是各匝线圈产生的感应电动势之和,
当穿过各匝线圈的磁通量分别为 Φ
1
Φ
2
Φ 时,总电动势为,
12
ddd d
(..)
dd d d
n
i
tt t t
ΦΦ Φ
ε Φ=? + + + =?
∑
,,…,
n
时
d
dt
Φ
ε =?
其中 Φ=ΣΦ
i
是穿过各匝线圈的磁通量的总和 称为穿过线圈的全磁通或磁链或,(16.3)
,.
注意,闭合导体回路只是为感应电流的形成提供条件,即使回路不闭合,甚至不是导体,当回路中磁通量随时间发生变化时,回路中仍然有感应电动势,
例 16.1 如图所示的矩形导体回路 ABCD,AB长为 l,以匀速 v向右滑动,匀强磁场与回路平面垂直,磁感应强度 B随时间变化,
B=B
0
cosωt,当 AB离 O的距离为 x时,求回路感应电动势为多少?
解,选顺时针环绕方向为正方向
l
B
ε v
C
B
解,
设 t=0时,x=0;在 t时刻 AB离 O点距离为 x 通过回路 ABCD的磁通量为
A
D
O
Φ =Blx=B
0
lxcosωt
,
x
感应电动势为,
00
dd
cos sin
x
Bl t Blx t
Φ
ε ωωω=? = +
00
cos sinB lv t B lx tω ωω=? +
tt
其中,第一项是以后所说的动生电动势,第二项是感生电动势,
感应电动势的方向由 ε的符号决定,当 ε>0时,其方向与环绕方向一致 ;当 ε<0时,其方向与环绕方向相反,
16.2 动生电动势
211怎样计算在 U形框上运动的导体棒的动生电动势?2.1.1
动生电动势是导体在磁场中运动引起磁通量的改变而产生的,
一段导体在恒定磁场中运动 与 U形框构成一个闭合回路根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为
A
,与,
导体棒 AB长为 l,以速度 v在垂直于磁场 B的平面内向右运动,
l ε v
dd
()Blx Blv
Φ
ε =?=? =?
由于磁场不变 回路中磁通量的变化是由导体运
B
回路中电动势的方向为逆时针方向,
A
ddtt
,
动引起的,因此可认为电动势只存在于导体棒 AB中,
当 导体棒 AB向右运动时 棒内自由电子被带着以相
v
-
+
A
当,
同速度 v运动,自由电子因受洛仑兹力由 A向 B运动,
使 B端聚集负电荷,电势低 ;A端剩余正电荷,电势高,
B
ε
B
-
f
B
使因此导体棒相当于一个电源,
2.1.2 动生电动势的一般公式是什么?
导体棒作为一个电源,其非静电力是洛仑兹力,
一个电子受的洛仑兹力为 f=-ev× B,
非静电力场强为 E
k
=f/(-e)=v× B,
A
+
dl
在线元 dl上产生的动生电动势为
B
dε
v
-
f
dε=E
k
·dl=(v× B)·dl,
在棒上产生的动生电动势为
k
dd.
BB
AA
ε =?= ×?
∫∫
E lvBl
(16.4)
B
-
这个普遍公式对于非均匀磁场中作任意运动的任意形状的导线都成立,
dε
dl
v× B
如果整个导体回路 L都在磁场中运动,则回路中产生的动生电场势为
B
v
L
对于在 U形线框上运动的导体棒 如果磁感应强
()d
L
ε = ×?
∫
vB l
v
(16.5)
,
度与线框平面垂直,可求得动生电动势为 ε=Blv.
例 16.2 一长为 L的金属棒 OM,放在方向垂直于屏幕的向内的均匀磁场 B中,该棒绕过其 一 端 O的轴线 (轴线垂直于屏幕 )在竖中 端直平面内逆时针匀速转动,如图所示,转动角速度为 ω,试求金属棒转到与水平方向成 θ 角时,棒内感应电动势的大小和方向,
解,在离盘心 l=r处取一段直杆 dl,其运动速率为 v=ω r,其方向垂直于 B,因此 v× B沿着 MO的方向,
ω
v
dl
产生的感应电动势为
L
O
取矢量 dl沿 OM的方向,其大小为 dl=dr,
l
θ
d ( ) d dl d
M
L
∫∫
整个杆产生的感应电动势为
1
永久磁铁
B
ε = v× B · l=vBcosπ =-ω rB r,
0
dd
L
Brrε εω==?
负号表示电动势的方向由 M指向 O
2
2
BLω=?
电流计
.
铜盘如果将金属棒改为铜盘,铜盘可当作无数并联的金属棒,公式就是盘心到边缘的电势差,
将 O和 M与电路联接,就形成法拉第电机,
2.1.3 发电机的能量从哪里来?
发电机是将机械能转化为电能的装置,
是动生电动势在技术上的一个重要应用,
导体棒 AB的运动会产生动生
A
电动势,在回路中引起感应电流,
感应电动势要做功,其能量
L
ε
v
I
F
实际上是外力做功的结果,
设回路中的感应电流为 I,则感应电
B
F
m
动势做功的功率为 P=Iε=IBLv.
导体 AB所受的磁力为 F
m
=ILB,方向向 左,
为了使导体棒 AB匀速运动,必须施加与之反向的而大小相等的外力 F=F
m
,外力所做功的功率为 P'=Fv=IBLv.
这正好等于感应电动势做功的功率,
可见,电路中感应电动势的电能是这就是发电机内由外力所做机械功转换而来的,能量的转换过程,
2.1.4 直流发电机的工作原理是什么?
设电机只有 一 对磁极 电枢绕组只 一 个线圈 线圈两端对磁极,个线圈,
分别联在两个换向片上,电刷 A和 B分别压在换向片上,
电枢由原动机 例如蒸汽机和柴,
油机等,驱动而在磁场中旋转,在电 枢线圈的两根有效 边,即切割 磁力线的边中便产生动生电动势,
每 一 有效边中的电动势是交变有效边中的电动势是交变的,即 N极在下时是一个方向,
转到 S极时又是另一个方向,
但是由于电刷 A和 B总是与换向片接触 因此在电刷上就出当两个电刷间接有负载时 在负载上就会流过 一注意,实际直流发电机的结构要复杂些 磁极不止 一 对 电枢有
,
现一个极性不变的端电压,
时,
个方向不变的电流,
,对,
多组线圈,换向器也有多个换向片,能输出比较稳定的直流电压,
2.2 在产生动生电动势的过程中,洛仑兹力起什么作用?
动生电动势是洛仑兹力对导体中的载流子作功引起的,可是洛仑兹力恒垂直于运动电荷的速度方向而不作功,如何解释这一矛盾?
导体在磁场中运动时,导体中的载流子 (在金属中是自由电子 )不但具有导体本身的速度 v B,
还具有相对于导体的定向运动速度 v',即形成感应电流的速度,电子的总速度为 V=v+v'
I
v
f '
-
v
F v'
V
f
所受的洛仑兹力为 F=-eV× B=-e(v+v')× B
F垂直于 V而不做功,其中 f=-ev× B,f '=-ev'× B
f产生非静电力,导致了动生电动势 ;而 f '总是与导线垂直,它是形成安培力的微观根源,
f做功的功率为 P f V × B ( ') × B ' B× ' '× B= · =-ev× · v+v =-ev× ·v =e × v·v =ev × ·v
f '做功的功率为 P'=f '·V=-ev'× B·(v+v')=-ev'× B·v=-P
'× B的方向向右 与 的点积是一个正数 可知,产生动生电动势的v ×,与 v,
分力做正功,形成安培力的 f'做等量的负功,总的洛仑兹力 F不做功,
形成安培力的分力做负功时,吸收外界的能量,通过产生动生电动势的分力做正功而转化为感应电流的能量,
可见,洛仑兹力并不提供能量,而只是传递能量,
16.3 感生电动势
3.1.1 什么是感生电动势和感生电场?
在无限长载流螺线管内有一随时间变化的均匀磁场 B(t),在管中垂直于磁场的平面内置
B
r
一半径为 r的环形导体回路,其面积为 S=πr
2
,
取垂直于屏幕向外的方向为回路包围的面积的方向,通过回路的磁通量为 Φ=-BS=-πr
2
B
感应电动势为 ε=-dΦ/dt=πr
2
dB/dt 方向沿逆时针方向,
磁场的变化将产 生一 种非静电力场,这 种非静电力场磁场的变化所产生的电动势是感生电动势,
种非静电力场使导体中的电荷受力作定向移动而形成感应电流,
非静电力场对电荷的力的作用称为感生电场,这就是电荷所受的非静电力的来源,
3.1.2 涡旋电场与静电场有什么异同?
麦克斯韦首先提出 即使不存在导 用 表示感生电场强:
体回路,变化的磁场也会在空间激发一 种涡旋电场 (感生电场 ) 它与静电用 E
k
度,也就是作用于单位正电荷的力 根据
dd
dd
Φ
∫∫
El BS
v
,
场的共同点是对电荷都有力的作用,
,
电动势的定义得
k
dd
LS
tt
ε? ==? =
(16 7)
=
∫∫
B
El S
v
由于回路其中,S是回路 L
.7)
k
LS
t?
感生电场的环流不等于零,这种电场称为涡旋电场,
不动,所以 包围的面积,
感生电场与静电场不同的是,
(2)它的电力线是闭合的,是 一
(1)它不是由电荷激发的是种非保守力场,其环流不为零,
,
而是由变化的磁场激发的 ;
(16 7)式是关于感生电场和磁场关系的 一 个基本定律.7) 个基本定律,
例 16.3 在半径为 R的无限长螺线管内,磁场
B(t)垂直通过所围的平面,且磁场随时间线性变化 (dB/dt>0)时,试求管内外的感生电场的分布,
[解 ]由于磁场分布的轴对称性,感生电场 的电力线是与螺线管同轴的同心圆任取逆时针闭合回路 其方向与 B和场 E
k
.
路,和
dB/dt的方向相反,
kkk
dd2π
LL
El El rE?= =
∫∫
G G
v v
d
B
S
t
=
∫
G
G
G
E
k
S
k
1
d
2π
S
B
ES
rt
=
∫
G
(1)当 BB
G
B
可得
E
k
ddBB
当
r<R时
E 的方向与回
dd
SS
SS
tt
=?
∫∫
G
drB
R r
r
E
k
E
E
k
E
k
E
k
2
d π
S
Sr
tt
=? =?
∫
k
路的方向相同,
k
2d
E
t
=
(2)当
2
d
d
BB
SR
∫
G
G
可得
k
E
k
E
k
当
r>R时
π
d
S
tt
=?
2
k
d
2d
R B
E =
可得
E
k
的方向与回路的方向相同
O
螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线,
rt
.
rR
3.2.1电子感应加速器的径向分布磁场必须满足什么要求?
电子感应加速器是电子末级加速的高能物理实验设备,
在电磁铁的两极间有 个环形真空室 电磁铁由强大的交一 个环形真空室,
变电流来励磁,电子在前级加速器加速后射入环形真空室,在交变电流的作用下绕行 将电子加速到几百万兆电子伏特电子做圆周运动的向心力由洛仑力提供,设真空室半径为 R,
轨道处的磁感应强度为 B
R
,
,.
则 evB
R
=mv
2
/R,即 mv=eRB
R
使电子沿环形轨道切向
dd
=
∫∫
B
El S
v
加速的涡旋电场为 E
k
,则,
k
t?
可得
B B
2
k
d
2π π
B
RE R=
k
d
2d
RB
E
t
=
为环形轨道内的平均磁感应强度 于是得,
同时积分,
使 B
R
和
B
R
R
dt
B
,
根据牛顿第二定律 eE
k
=d(mv)/dt,
dd BRB d 1dB B
同时由零开始增加,
B
R
-
可得,即
2d d
R
eeR
tt
=
d2d
R
tt
=
/2.
R
BB=可得
3.2.2 涡电流有什么利弊?
当块状导体在交变磁场中或在磁场中运动时,导体内产生感应电流 这种电流呈闭合的涡旋状 称为涡电流,,.
(1)在变压器中和电机等电器的铁芯中,涡电流会消耗电能 (另 一 种是磁滞损耗 ) 使设备的温度升高 甚至造成损害因此,电机和变压器等电器的铁芯常用相互绝缘的硅钢片迭合起来做成 并使硅钢能 种是磁滞损耗,,.
(2)利用大涡流的热效应 可制成高频感应炉
,
片的平面与磁感应线平行,以减小涡流,
,
来冶炼金属,具有升温快,温度高,加热效率高,
并能实现真 空 无接 触 加热等 独 特 的 优点,广 泛无接 加热等 特 优点 广用于冶炼特种合金钢,高熔点或化学性质活泼的金属,也应用于高纯度半导体的提炼,
因为在磁场中运动的导体中的涡流所(3)
受的安培力总是做负功,阻碍导体的运动,所以利用动生电动势所产生的涡流 可制成电,
磁阻尼和制动器,用于仪表,设备和车辆中,
16.4 自感和互感
4.1 什么是自感?
当导体回路中电流变化时,由回路自身激发的通过回路自身的磁通量也发生变化,从而在回路自身中产生的电动势的现象叫做自感现象 所产生的感生电动势叫做自感电动势,.
根据毕奥 -
萨伐尔定律
0
0
2
d
d
4
Iμ ×
=
lr
B
π r
可知电流产生磁场正比于电流强度 I,因此通过线圈的全磁通 Φ 也与 I成正比,Φ=LI (16 8)
I
Φ,8)
比例系数 L称为线圈的自感系数,其值决定于线圈回路的大小,形状,匝数以及周围介质的性质与分布,
dddd
ddd d
L
I I
L
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
由法拉第电磁感应定律得自感电动势为,
(16.9)
自感电动势总是阻碍原电流变化,因此自感系数 L是线圈“电磁惯性”大小的量度,
的国 单位是亨利L 际 单位是亨利 (H),1H=1Wb·A
-1
=1V·s·A
-1
=1?·s.
例 16.4 计算螺绕环的自感,设环的截面积为 S,轴线半径为 R,单位单位长度上的匝数为 n,环中充满相对磁导率为 μ
r
的磁介质,
解,设环内电流强度为 I,已知螺绕环内的磁感应强度为 B=μ
0
μ
r
nI,
环的匝数为 N=2πRn,
环内全磁通为 Φ =NBS=2πRnμ
0
μ nIS,Φ
r
自感系数为
22
0r 0r
2πLnRSnV
I
Φ
μμ μμ== =
环内充满介质时,自感系数增大为真空时的 μ
r
倍,
分析,由 两平行输 电 线 组 成 的电流 回路 可 视为例 16.5 试计算两相距为 d的,半径为 r
0
的平行导线的分布电感?
线 成 回路 视为一窄长的矩形线圈,穿此矩形线圈所围成面积的磁通量由两长直导线所产生的磁通量叠加而成,
I I
解,设两导线通过的电流强度为 I,在离左边导线右边为 r处取一长为 l,宽为 dr的矩形,
其面积为 dS=ldr
l
r
dr
0
2π
I
B
r
μ
=
左边电流在该处产生的磁感 应强度为,
d
通过的磁通量为
0
dd d
2π
Il
BS r
r
μ
Φ ==
左忽略导线内部的磁通量 左边导线
0
0
d
dr
Il rμ
Φ
=
∫
r
0
00
ln
Il d rμ?
=
,
在两导线之间通过的磁通量为,
0
2π
r
r
左因为 Φ =Φ 所以总磁通量为
00
ln
Ildrμ
ΦΦ Φ
=+=
左右
0
2π r
左 右
,
0
π r
+
自感为
00
0
ln
π
ldr
L
I r
μΦ?
==
单位长度上的自感为,
00
0
0
ln
π
drL
L
lr
μ?
==
4.2.1 什么是互感?
对两个邻近的载流回路,任一个回路电流所产生的磁场,都会影响邻近回路的磁通量 当 个回路中电流变化时 将在另,当 一 个回路中电流变化时,
一回路中激发感应电动势,称为互感现象,所激发的感生电动势称为互感电动势,
Φ
21
L
2
L
1
Φ
12
电流 I
1
产生的磁场在回路 L
2
中引起的全磁通正比于电流 I
1
,即 Φ
21
=M
21
I
1
(16.8)
I
I
2
即 ()
电流 I
2
产生的磁场在回路 L
1
中引起的全磁通正比于电流 I
2
,即 Φ
12
=M
12
I
2
(16.9)
M
21
叫做回路 L
1
对回路 L
2
的互感系数,M
12
叫做回路
L
2
对回路 L
1
的互感系数,其单位与自感系数的单位
1
()
相同,其值取决于回路线圈的大小,形状,匝数和两线圈的相对位置以及周围磁介质的磁导率与分布,
根据法拉第电磁感应定律,两线圈的互感电动势分别为
21 21 1 1
21 21
ddd d
,
ddd d
I I
M
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
12 12 2 2
12 12
ddd d
ddd d
I I
M
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
1
对于给定一对线圈回路,可以证明 M
21
=M
12
=M,(16.12)
2
4.2.2 互感系数与什么有关?
互感系数是两个线圈回路之间的,电磁耦合,
程度的量度,可以证明它和两线圈自感的关系为,
12
M KLL=
L
(16 13)
Φ
21
L
2
L
1
Φ
12
K=1
I
2
Φ
21
=0
2
Φ
12
=0
K=0
.
I
1
I
2
I
1
L
1
式中 0≤K≤1,K称为耦合系数,它取决于两线圈的相对位置,
例 16.6 绕于磁导率为 μ的环形铁芯上的两线圈,其匝数分别为 N
1
和 N
2
,铁芯截面积为 S,周长为 l,如图所示,求两线圈之间的互感系数以及互感系数与自感系数之间的关系,
解,设线圈 C
1
通过的电流强度为 I
1
,根据安培环路定理可得磁场强度为 H=N I /l
I
C
1
HN
1 1
通过每匝线圈的磁感应强度为 B=μH=μN
1
I
1
/l
通过每匝线圈的磁通量为 Φ =BS=μN I S/l
1
N
1
I
1
Φ
1 1
由于铁芯磁导率远大于空气磁导率,所以可以不计漏磁,磁通将全部通过 C
2
,全磁通量为
I
2
C
N
2
I
2
Φ
21
=N
2
Φ=μN
1
N
2
I
1
S/l
互感系数为 M=Φ
21
/I
1
=μN
1
N
2
S/l
2
通过线圈本身的全磁通为
2
11
11
NI
NS
l
ΦΦμ==
这里 耦合
C
1
的自感系数为
2
11
1
1
N
L S
Il
Φ
μ==
同理 C
2
的自感系数为
2
2
2
N
L S
l
μ=
,
系数 K=1,
这是因为由于
22
222
12
12
2
NN
L LSM
l
μ==
,所以,
12
M LL=
不计漏磁,
4.3 自感有什么应用和危害?
利用自感现象 可制成电子线路中的扼流圈 滤波器 振荡电路,,,.
如果截断含有较大自感和较大电流的电路时 电路中将产生很大的自感电动这是具有较大电流
,
势 (断电高压 ),可能损坏电路中的器件,
击穿绝缘或在开关处产生强烈的电弧的电路和电器设备的设计中需要注意的重要问题
.
4.4 互感有什么应用和危害?
.
互感现象较之自感现象有更为广泛的应用,
例如各 种 变压器,包括强电中的电力变压器,弱 电中的种 弱输入,输出变压器,中周变压器等的工作原理都是互感,
互感 现 象的害处是造成电路之间的电磁干扰,实 践中常用电现 实磁屏蔽或调整两线圈的相对位置的方法来消除或减轻其危害,
16.5 磁场的能量
511电磁感应是否伴随磁场能量的转化?5.1.1
当回路中电流的产生或消失时,相应的磁场也随着产生或消失 在这个变化过程中 总是伴随着电磁感应现象,,.
根据电磁感应定律,在电流增加和形成磁场的过程中,电流将克服感应电动势做功 将电源所提供的能量转化为回路的磁能,.
在电流和磁场消失的过程中,回路中的磁能会释放出来 给电源充电或转化为焦耳热,.
当电路开关闭合后,在电流增长的过程中,
5.1.2 自感磁能的公式是什么?
di
LiR
线圈中将出现自感电动势,根据欧姆定律得,
各项同乘以 i移项得 εi=i
2
R+Lidi/dt
dt
ε? =
这是能量转换关系式,εi是电源的供电功率,i
2
R为焦耳热功率,Lidi/dt是电
ε
i
K
R L
源克服自感电动势作功的功率,
d
d
t
i
WLit=
∫
当回路电流由零
(16.14)
d
I
Lii=
∫
2
1
LI=
这 个功就是 电 源的 一 部分能 量 转换成的自 感磁 能,
m
0
dt增至 I时,积分得,
0
2
源的 部分能 转换成的自 能
5.1.3 自感磁能密度的公式是什么?
螺绕环的自感系数为 L=μn
2
V,
由于磁感应强度为 B I 所以
22
1
()
B
V
其中,n=N/l为单位长度上的匝数,V=Sl为螺绕环的体积,
2
1
WLI
2
1
BV
=μn,
2
n
n
μ
μ
=
螺绕环的磁场都集中在管的内部,其体积 V就是磁场占有的体积,
m
2
=
2μ
=
2
1W B
由 B=μH,得磁场的实验证明,磁能并不是电流所携带的,而是贮存在磁场之中,
2
111
HBHBH
m
m
2
w
V μ
= =
这 是普遍公式,空 间某
1
∫
(16 15)
(16 16)
由能量密度为,222
μ= ==?
区域内的磁场能量为,
m
d
2
V
WV=?BH
.
.
利用公式
2
1
WLI
可得自
2W
这是计算自感系
m
2
=
感系数
m
2
L
I
=
数的第二种方法,
第一种计算自感系数的方法是 L=Φ /I.
例 16.7 求同轴电缆长为 l的一段的自感,设同轴电缆由半径为
R
1
的内实心圆柱导体和半径为 R
2
的外导体圆筒 (厚度不计 )组成,
中间充以绝缘介质,设导体中及绝缘介质的磁导率皆为 μ
0
.
解,设电流 I由内导体圆柱流入 沿外导体圆筒返回 由
0
1
2
,( )
2π
I
rr R
R
μ
<
,,由安培环路定理可求得同轴电缆的磁场径向分布为,
1
0
12
,( )
2π
I
B RrR
r
μ
= <<
I
I
l
2
0,( )Rr
<
在半径为 r处取一长为 l,厚为
dr的薄柱壳体积元 dV=2πrldr,
R
1
R
2
同轴电缆所贮存的能量如下,
2
m
d
2
B
WV=
∫
2 2
0
22
2π d
8
R
I
rl r
μ
+
∫
1 2
2
0
24
2π d
8
R
I
rrlr
R
μ
=
∫
12
3
0
4
d
4
R
Il
rr
R
μ
=
∫
22
0
d
4
R
Il rμ
+
∫
2
0 2
ln
4π
l R
I
R
μ
+
2
0
16
l
I
μ
=
0
V
μ
1
π
R
r
10
π
1
0
π
因此,长为 l的一段同轴电缆的自感系数为
2W l R l R
1
π
R
r 1
π
l
m
2
L
I
=
0 2
1
ln
2π R
μ
+
0 2
1
(1 4
8π
.ln )
R
μ
=+
0
8π
μ
=
两个相邻的线圈组成两个回路 通
5.2.1互感系数有什么关系?
,通过的电流 I
1
和 I
2
可按两个过程形成,
(1)打开 K 合上 K 使电流 i 由
i
2
L
2
i
1
L
1
2
,
1
,
1
由零增至 I
1
,由于自感 L
1
的存在,电源
ε
1
要反抗自 感电 动势作功,使回路
ε
2
K
2
ε
1
K
1
R
1
R
2
动势作功
1获得自感磁能,
2
m1 1 1
/2WLI=
再合上 K
2
,并调节 R
1
使电流 I
1
保持不变,而电流 i
2
由零增至 I
2
,由于自感 L
2
的存在,电源 ε
2
要作功,使回路 2获得自感磁能,
2
m2 2 2
/2WLI=
当 i
2
增大时,在回路 1中会产生互感电动势 ε
12
=-M
12
di
2
/dt
为了保持电流 I
1
不变,电源 ε
1
还必须反抗互感电动势作功
2
12 1 12 1
00
d
dd
d
tt
i
A It M It
t
ε=? =
∫∫
2
12 1 2 12 1 2
0
d
I
M IiMI==
∫
此功将电源 ε
1
的能量转换为互感磁能 W
m12
=M
12
I
1
I
2
(16.17)
系统具有的
22
(16 18)
总磁能为,
mm1m2m12
WW W W= ++
11 22 1212
/2 /2LI LI M II= ++
.
(2)将形成电流 I
1
和 I
2
的“顺序”
颠倒进行,同样可得总磁能为,
ε
2
i
2
K
L
2
ε
1
i
1
K
1
L
1
R R
22
m11 22 2112
/2 /2WLI LI MII
′
= ++
21 2
由于两者表示同一电流和磁场状态,能量应该相等,就有 W'
m
=W
m
,
因此可得 M
12
=M
21
=M.
当两线圈中的电流 I
1
和 I
2
所产生的磁场方向相反时,互感电动势
ε
12
或 ε
21
将作正功,提供能量给电源充电,互感磁能 W
12
为负值,或
m
5.2.2 互感磁能的公式是什么?
根据磁场叠加原理,空间任一点的磁场 B是各回路电流 I
1
和
I
2
单独存在时所产生的磁场和 B
1
和 B
2
的矢量和,B=B
1
+B
2
,
磁场能量为,
2
m
d
2
B
WV
μ
=
∫
22
1212
dd d
22
BB
VV V
μμ μ
=++
∫ ∫∫
BB
V
由于 B
1
正比于 I
1
且与 I
2
无关,而 B
2
正比于 I
2
且与 I
1
无关,将上式与
(16 18)比较
WW W W=++
22
/2 /2LI LI MII=++
VVV
.
mm1m2m12
11 2 2 12
可得
2
2
1
m1 1 1
1
d,
22
B
WLI V
μ
==
∫
2
2
2
m2 2 2
1
d,
22
B
WLI V
μ
==
∫
V V
12
m12 1 2
d
V
WMI V
μ
==
∫
BB
(16.19)
12
cos
d,
V
BB
V
θ
μ
=
∫
可知,自感磁能恒为正,是每个通电线圈的固有磁能 ;互感磁能是相互作用能量,在 B
1
与 B
2
之间的夹角 θ<π/2时为正,θ>π/2时为负,
16.6 位移电流
611为什么说安培环路定律对非稳恒电流不成立?6.1.1
在安培定律中,闭合回路所包围的电流是指穿过以闭合回路为边界的曲面的电流 这样的曲面有无限多
L
,.
I S
1
S
2
稳恒电流由于其连续性,如果它通过以闭合回路为边界的某 一 曲面,就 一 定通在电容器充放电时,导线和电容器的两板内有电流 极板 有 电流
L
曲面 就定通过以此闭合回路为边界的所有曲面,
有 传导 电流,而两 间则没 有 传导 电流,
d
L
I? =
∫
Hl
v
S
2
I S
1
以闭合回路 L为边界,在曲面 S
1
上有传导电流 I 根据安培环路定理有如果取以 L为边界的位于两极板的曲面 S
2
,
因无传导电流 根据安培环路定理有
d0
L
=
∫
Hl
v
K
,:
,:
上面两个公式是矛盾的,由此可见,安培环路定理对非稳恒电流不成立 这是因为电容器上传导电流不连续引起的.,
6.1.2 电容器极板上的传导电流和电流密度是多少?
电容器极板面积为 S 在充电过程中 某 一 时刻正极板 A上的电
+
,,时刻正极板荷面密度为 σ,A所带的电量为 q=σS,负极板 B带等量的负电荷,
dq
I
A板内的传导电流就是
d( )Sσ d
S
σ
+
+
-
q -q
S
σ
dt
=
A板内的传导电流密度为
dI σ
δ ==
D
导线中的传导电流,
dt
=
dt
=
I
+
-
-
IIdSt
充电时两板间的传导电流为零 但两
6.1.3 什么是位移电流?
I
D
=dΦ
D
/dt
δ
D
=dD/dt
+
-
B
A
,
板上电荷密度在增加,使两板间的电位移矢量 D和电位移通量 Φ =DS都增加
Φ
D
δ=I/S
D
.
dΦ
为了使电流在电路中保持连续性,麦克斯韦引入了位移电流的概念,
通过电场中任意截面的位移电流等于
d
D
D
I
t
=
(16.20)
电场中某点的位移电流密度等
dD
其方向为通过该截面的电位移通量的时间变化率,
于该点电位移的时间变化率,
d
D
t
=δ
(16.21)
dD/dt的方向,
6.1.4 位移电流密度和传导电流密度有什么关系?
ddD σ
在平板电容器两极板之间 根据高斯定理可得电
dd
D
tt
δ δ= ==
,
位移矢量的大小与极板面电荷的关系为 D=σ,可得,
可知,位移电流密度的大小与板上传导电流密度的大小相等在充电时,D的方向由 A板指向 B板,板上电荷面密度增大 两板间场强增强 dD/dt
.
+
+q -q
,,
的方向与 D的方向一致,因此位移电流密度的方向与 传 导电流密度的方向一致,
I
+
-
-
D
dD/dt
传在放电时,D的方向仍然由 A板指向 B板,板上电荷面密度减少,两板间场强减弱,dD/dt
+
-
A
B
σ
+q -q
的方向与 D的方向相反,因此位移电流密度的方向与传导电流密度的方向一致,
I
+
+
-
-
D
dD/dt
总之,电容器极板间的位移电流密度与板中传导电流密度大小相等,方向 一 致,δ
D
=δ.
+
-
A
B
σ
致
6.1.5 位移电流和传导电流有什么关系?
在平板电容器两
dΦ dD dσ
dq
极板中位移电流为,d
D
D
I
t
=
即,两板间的位移电流强度 I
D
与极板中传导电流强度 I相等
d
S
t
=
d
S
t
=
d
I
t
= =
即,
在电容器极板表面中断的传导电流 I由位移电流 I 接替下去 使电流保持连续
D
,.
位移电流和传导电流可能同时通过某 截面 全电流强度等
6.1.6 什么是全电流?
一 截面,
于通过该截面的位移电流强度与传导电流强度的代数和,即,
d dΦ
s
d
dd
D
D
S
III I I
tt
= +=+ =+?
∫
D S
(16.22)
这样 全电流总是连续的
S
C
I
D
R
,.
I
K
I
s
6.1.7 什么是全电流定律?
麦克斯韦把安培环路定理推广到电流非稳恒的情况,使位移电流和传导电流按照相同的规律激发磁场,(16.23)
d
d
d
D
L
I
t
Φ
=+
∫
Hl
v
这就是全电流定律,由于全电流是连续的,前面的矛盾就解决了,定律的正确性通过实验证明,
6.1.8 位移电流和传导电流有什么区别?
变化的电场激发涡旋磁场是麦克斯韦位移电流的中心思想,
传导电流是电荷的定向运动,真空中的位移电流是电场的变化 ;
传导电流通过导体时放出焦耳热 在真空中的位移电流不放热量 ;,
在电介质中的位移电流也会产生热效应,但是不服从焦耳定律,
例 16.9 半径为 R=0.1m,板距 d=0.01m的圆形平行板电容器,置于真 空 中,给电容器加 上 频率 ν=10
6
Hz,幅值 U
m
=10
4
V的高频交流高压,真中 频率求,(1)两极板间的位移电流幅值 ;(2)计算极板间距两板中心连线为
r处 (r<R,r>R)的磁感应强度 B;(3)r=R处 B
R
的幅值是多少?
解,(1)交变电压为 U=U
m
cos2π νt
交变电场为 E=U/d=E
m
cos2π νt
E
R
d
其中最大场强为 E
m
=U
m
/d
电 位 移大小为 D=ε
0
E
o
U
d d
D
D
IS
Φ
位电位移通量为 Φ
D
=SD
位移电流为
22
2π REνε=
sin2 tν
2
dE
R
dd
D
tt
==
位移 电流 幅值为 I
Dm
=2π
2
νR
2
ε
0
E
m
=1.75A.
0m
π
0
π
dt
ε=
幅值为例 16.9 半径为 R=0.1m,板距 d=0.01m的圆形平行板电容器,置于真空中,给电容器加上频率 ν=10
6
Hz,幅值 U
m
=10
4
V的高频交流高压,
求 两极板间的位移电流幅值 计算极板间距两板中心连线为求,(1) ;(2)
r处 (r<R,r>R)的磁感应强度 B;(3)r=R处 B
R
的幅值是多少?
解 由于板间电场具有轴解,(2)
对称性,磁场也具有轴对称性,
dΦB
E
o
R
r
U
d
根据全电
0
dd
d
D
LL
tμ
=?=
∫∫
lHl
v v
流定律当 r<R时,
0
2π
B
r
μ
00
d
2d
E
Br
t
ε μ
→=
B
2
dRE
2
0
d(π )
d
rE
t
ε
=
2
d( )
当 r>R时,
0
2π r
μ
00
2d
B
rt
ε μ
→=
dE
0
π
d
R E
t
ε
=
(3)当 r=R时,
00
2d
R
BR
t
ε μ
=
πBREνε μ
349× 10
6
=-B
Rm
sin2π νt
m00mR
=
=3.49×
-
T.
16.7 麦克斯韦方程组
7.1电场的高斯定理是什么?7.2电场的环路定理是什么?
电荷激发有源场,其电位移为 D
1
,可得,
1
d
S
q?=
∑
∫
DS
v
电荷激发的电场是无旋场 (保守场 ),
其电力线不闭合,场强 E
1
沿任一闭合变化的磁场激发的涡旋电场是无源场,电位移线是连曲线的线积分为零,
1
d0
L
=
∫
El
v
变化的磁场所激发的电场是有旋场,其续的闭合曲线,电位移 D
2
对于任何闭合曲面的电位移通量都为零,
电力线是闭合曲线,场强 E
2
的环流为,
d0
∫
DS
v
m
2
d
dd
Φ?
=? =
∫∫
B
E lS
v
2
S
=
空间的电场通常由电荷和变化的磁场共同激发 总的
d
LS
tt?
空间的电场通常由电荷和变化的磁场共同激发 空间总电场强度为
,
电位移为 D=D
1
+D
2
,所以,
d q?=
∑
∫
DS
v
,
E=E
1
+E
2
,所以,
dd
=?
∫∫
B
El S
v
(16 24)
(16 25)
S
即,在任何电场中,通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭
LS
t
.
.
即,在任何电场中,电场强度沿任意闭合曲线的线积分 等于回路合面内自由电荷的代数和,
,
内磁通量随时间变化率的负值,
7.3磁场的高斯定理是什么?
传导电流 (包括运流电流 )
7.4磁场的环路定理是什么?
传导电流和位移电流都激发涡和位移电流激发的都是涡旋磁场,属于无源场,其磁感应线
d
d
D
I
Φ
=+
∫
H l
v
旋磁场,总磁场强度 H的环流为,
是连续的闭合的曲线,所以,
d
L
t
d0
S
=
∫
BS
v
(16.26) d( )d
LS
t
=+?
∫∫
D
H lS
v
δ (16.27)即,
即,在任何磁场中,通过任意闭合曲面的磁通量等于 0.
这四个联立方程称为积分形式的麦克斯韦方程组,
注意,为了研究带电粒子在电磁场中的运动,还要补充带电粒子在电磁场中的受力公式 F=q(E+v× B).
在研究物质和电磁场的相互作用时 还要知道物质的有关性质,.
麦克斯韦方程组是对宏观电磁场规律的完整系统的总结,
它可解释所有的宏观电磁现象 得出电磁场的各种性质,.
已知电荷,电流分布和电磁场的初始条件和边界条件,由方程组可给出电磁场的唯 一 解以及以后变化的全过程,解以及以后变化的全过程麦克斯韦方程组与狭义相对论也是完全相容的,
16.8 电磁波
81电磁波是怎么传播的?8.1
麦克斯韦电磁理论最伟大的成就之一就是预言了电磁波的存在及其性质 (1865年 ),后来经过赫兹用实验证实 (1888年 ),从而导致马年 年可尼首先研制出无线电电报装置 (1895年 ),开辟了无线电新纪元,
根据麦氏理论,当空间某处存在变化率随时间变化的电场时 (或变化的磁场 (或电场 )在较远的区域引起新的变化的电变化的磁场 )在邻近的区域就会引起随时间变化的磁场 (或电场 ).
场 (或磁场 ),这种变化的电场和变化的磁场交替产生,
由近及远,以有限的速度在空间传播就形成电磁波,
E
B
u
E
B
E
B
E
B
E
(1)电磁波的传播速度等于光速,
22
8.2 平面电磁波具有什么性质?
22
,
yy
E E
xt
εμ
=
22
zz
HH
xt
εμ
=
22
由麦氏方程组可以推导出沿 x轴方向传播的平面电磁波的微分方程,
与平面波动微分方程的 标准形式 比较
222
1yy
xut
=
测得 ε
0
=8.85415× 10
-12
F·m
-1
,
μ
0
=4π× 10
-7
H·m
-1
,
(16.28)得电磁波的传播速度为 1/u εμ=
在真 空 中的光速为
00
1/c εμ=
(16.29)
算得真空中的光速为
c=2.99793× 10
8
m·s
-1
.中的光速为
μ
()
理论值与实验值十分吻合,为光的电磁波理论提供了一个主要依据,
(2)电磁波是横波 电磁波中变化的电场 E垂直于变化的磁.
场 H,两者都垂直于其传播速度方向 u.E,H,u呈右手螺旋关系,
E
Y
u
E
(3)E和 H的频率和位相相同,
u
Z
X
o
H
H
(4)E和 H在大小上成正比,
E
Y
u
E
E Hε μ=
u
(16.30)
H
Z
X
o
B和 E的关系为,
H
和
B HE
ε
μμ
μ
==
E
Eεμ= =
u
例 16.9 某一在真空中的平面电磁波,其电场强度的振幅值为 求其磁感应强度的振幅值9.0× 10
-1
V·m
-1
,.
解,根据公式
E Hε μ=
在真空中有
00
E Hεμ=
1
9
90 10E
×
因此磁感应强度的振幅为
8
9.01
3.0 10 T
3.0 10
.B
c
= ==×
×
电磁波同时具有电场和 22
1
()ww w E Hεμ=+= +
8.2.1 电磁波的能量密度公式是什么?
(16 31a)
磁场的能量,其能量密度为,
em
2
由于,所以E Hε μ=
2
e
1
2
wEε=
.
2
1
()
2
H
μ
ε
ε
=
2
1
2
Hμ=
即电场的能量密度等于磁场的能量密度,电磁波的能量密度为,w=εE
2
=μH
2
,(16.31b)
8.2.2 电磁波的能流密度公式是什么?
电磁波的能流密度又称为电磁波的强度,是单位时间内穿过垂直于传播方向单位面积的能量 设波在时间 d 内垂直穿过面积.
u
能量为 dW=wdV=wsudt
E
S
t s,
穿过的体积为 dV=sudt,
udt
22
11
()S
,
能流密度为 S=dW/sdt=wu,H
us
即
1
2
EHε μ
εμ
= +
用坡印廷矢量表示就是 S=E× H (16 32)
即,
()
2
EH EHε μεμ
εμ
= +
EH=
×,,
电磁波能流密度 S的方向与电磁波传播速度 u的方向相同,
电能和磁能分别贮存于电场和磁场之中,而不是为电荷
8.2.3 电磁波的能量是怎么传送的?
和电流所携带,电磁能量也是由电磁场来传送的,电流和运动电荷本身并不传送电磁能量,
直流电源与负载电阻组成回路 导
R
+++
+
--- -
S
S
SS
一,导线的电阻忽略不计时,导体内无电场,
即 E=0,由 S=E× H可知,导体内无能流,
+ +
+ + +
+
+
+
+
---
-
-
-
-
- S
S
S
SS
S
SS
E
+ + + +
即 由 ×
连接电源正极的导线表面带正电荷,
连接电源负极的导线表面带负电荷,导
+ + +
+
+
----
-
-----
-
-
ε
S
S
S
S
SS
B
B,
H
I
I
线外表面即有磁场,还有电场,形成能流,
在电源正极附近表面取一点,电场强度 E的方向是
SS
E
,
H
其他点都可向下的,磁感应强度 B和磁场强度 H的方向是垂直屏幕向里的,根据右手螺旋法则,能流密度 S的方向向右,
能量的传送是由电源向外辐射 主要经导体外表面以用这种方法确定能流
,
的空间传递,再由负载电阻外部空间进入负载电阻,
发电厂发出的强大电能是由高压输电线的外表面的空密度的方向,
间输送到远处的用户,而输电导线内部是不输送能量的,
例 16.10 同轴电缆的内导体圆柱半径为 a,外导体圆筒半径为 b,电流由圆柱流出,由外圆筒流回,设电缆导体的电阻可忽略 试证明单位时间内通过 和 之间的绝缘介
a
b
ε
,a和 b
质的环形横截面的电磁能量正好等于电源提供的功率,
证明,设电缆中的电流强度
I
H I
电缆外也没有电场为 I,电源的端电压为 U,忽略导体电阻时,导体内就没有电场,
E
S
和磁场,因此,能流只存在于绝缘体中,
R
设导体的电荷线密度为 λ,绝缘体的介电常数为 ε,电场为
E=λ/2πεr,方向沿着径向,柱和筒之间的电势差为,
1
bb
λ 1U
bλ
dd
2π
aa
UEr r
rε
==
∫ ∫
ln( / )
E
bar
=
磁场的磁力线是与电缆共轴的圆环 磁场强度大
rdr
ln,
2π aε
=
,
小为 H=I/2πr,
坡印廷矢量方向沿着轴向,大小为
1UI
SEH==
在介质截面 上 取 一 面积元 ds=2πrdr,
2
.
2πln( / )bar
取 面积元单位时间内通过截面的能量如下
d
d
W
=?
∫
Ss
1
2π d
b
UI
rr=
∫
1
d
b
UI
rUI==
∫
d
S
t
可见,绝缘介质是能量的通道,导体反而是能量传输的禁区,
2
2πln( / )
a
bar
ln( / )
a
ba r
8.2.4 电磁场的动量公式是什么?
1
根据相对论的质能关系,单位
1w
电磁波的能量密度为
()
2
wDEBH=+
体积内的电磁波的质量为
22
()
2
mDEBH
cc
= =+
对于平面电磁波 单位体积
1
()
w
DE BH
,
内的动量,即动量密度为
2
p mc
cc
= == +
电磁波动量的方向沿着波的传播方向,
正是由于电磁波具有动量,所以当它入射到一个物体表面上时会对表面有压力作用 这就是辐射压强或光压早在 1920年列别捷夫就用实验证实了电磁波对实物具有压力,
,.
16.9 电磁振荡 电磁波的辐射和传播
9.1.1 什么叫电磁振荡?
在含有 电 容和 电 感的 电 路中,电量 和 电 流,电 场和 磁 场容和 感的 路中 和流 场作周期性的变化,称为电磁振荡,其电路称为振荡电路,
(1)先将电容器充上最大电量 Q
m
.
9.1.2LC电路中的电量和电流和能量是怎么变化的?
然后通过电感放电,电量逐渐减少,由于自感电动势的作用,电流只能逐渐增大 ;
电流 自感电 势作功 电容 的电
()
+Q
m
L
C
反抗 自感电 动 势作功,器 的电场能逐渐转化为自感线圈的磁场能,
-Q
m
放电结束后 极板上电荷为零 回路中电流
+q i
(2)电流减小时 自感电动势变为与电流同
,,
达到最大值 I
m
,电感中的磁场能也最大,
-q
L
C
,
向,给电容器反向充电,使其电量逐渐增加 ;自感线圈中的磁场能转化为电容器中的电场能,
I
m
L
C
反向充电结束时,回路中电流为零,电容器极板上的电量达到最大 值 Q
m
,但符号与开 始 时相反,
+Q
-Q
m
L
C
电容器以后又反方向放电和充电,形成一个周期,这个过程不断重复,如果回路中无电 也无辐射 电路中的能量就 有损值 始
i
+
-q
m
阻,,没 有损耗,这种电磁振荡称为无阻尼自由振荡,
q
9.1.3 LC电路电磁振荡的方程是什么?
在不计电阻的纯 LC
C充电时,L中感应
C放电时,线圈 L中电路中,电容器 C的电压从正极板指向负极板,
电动势的方向与 i
的方向相同,与回中感应电动势的方向与电流 i的方向相反,
顺此方向取一个回路,
当 C的电量为 q时,其电压为,U
C
=q/C,
+q
C L
i
q
C L
i
路方向也相同,
与回路方向相同 ;
电路中的电流为,i=dq/dt,
L中的感应电动势大小为,U
L
=Ldi/dt,
-q +q
-
d
0
d
iq
L
C
+ =
根据全电路欧姆定律可得,U
L
+U
C
=0,
即,,或,亦,
2
2
d
0
qq
+ =
其中,
2
0
1/LCω =
2
2
0
2
d
0
d
q
qω+ =
i i
t
即 或 亦
dtLC
t
这是振动的微分方程,其解为 q=Q
m
cos(ω
0
t+φ)(16.33)
求导得电流,i=dq/dt=-ω
0
Q
m
sin(ω
0
t+φ)=I
m
cos(ω
0
t+φ +π/2)
式中 Q
m
为电荷振幅,I
m
=ω
0
Q
m
为电流振幅,φ为初相位,(16.34)
在无阻尼自由电磁振荡过程中,电量和电流随时间作周期性的变化,振幅不变,电流的位相超前电荷位相 π/2.
9.1.4 LC电路电磁振荡的周期和频率的公式是什么?
根据公式
2
0
1
LC
ω =
2
,可得电磁振荡的圆频率为
0
1
LC
ω =
振荡周期为 (16.35)
0
0
π
2πTLC
ω
==
11
0
0
2π
T
LC
ν ==振荡频率为 (16.36)
由此可见,振荡周期和频率由振荡电路中本身的性质决定,因此分别称为固有周期和固有频率,
L和 C越小,电磁振荡的周期越小,频率越大,
9.1.5 LC电路电磁振荡的能量的公式是什么?
电容器 C的极板上带电
22
2
m
cos ( )
Qq
Wtω?== +
量为 q时,C中电场能量为,
这时回路中电流强度为 i,
线圈 中的磁场能量为
e0
22CC
222
mm0
11
sin ()
22
WLiLI tω?= =+
L,
由于,所以
222 2
m0m m
1
I QQ
LC
ω==
2
2
m
m0
sin ( )
2
Q
Wt
C
ω?= +
在任意时刻系统的总能量为,
2
2
m
em m
1
22
Q
WWW LI
C
=+= =
在无阻尼自由振荡的电路中 电场能量和磁场能量都随时间,
变化并相互转化,但是在任意时刻,总的电磁能量保持不变,
如果回路中有电阻或电如果在电路中加 一 周期性变化的电磁辐射时,回路中的电磁能量将逐渐减少,电量和周期性变化的电动势,由于有能量补充,电荷和电流的振幅保持不变,这种在外加周期性电动势电流的振幅将随时间衰减,
这种电磁振荡称为阻尼电作用下的电磁振荡称为受迫电磁振荡,
受迫电磁振荡达到稳定之后,振荡频率磁振荡,其特征和运动规律与阻尼机械振动类似,
等于外加周期性电动势的频率,振幅和初位相由电路特征和外加电动势决定,
9.2.1 电磁波是怎么发射的?
在振荡电路中,线圈中的磁场和电容器中的电场做周期性的变化,
根据麦氏电磁场理论,变化的电场和磁场将交替地相互激发而形成电磁波,因此,振荡电路可用来发射电磁波,
但是前述的 LC振荡电路频率很低,电场和磁场基振荡频率越大,电磁波的辐射强度越强,为了有效 地 发射 电磁 波,就 必本集中在电容器和线圈中,不便于发射电磁波,
i
++
发射 波 就须提高振荡频率并形成开放电路,
+q
CL
+q
C
L
i
q
i
q
i
-q
-q
i
-q
i
-q-q +q
(1)减少电容就是增加两板的间隔,
(2)减少电感就是减少匝数,最后演化成一条直导线,
电流在直导线中往返振荡 导线两端交替出 负等量异号减小两板的面积,到不用平板,
,现正 负等量异号电荷,这种电路叫做振荡偶极子,这是有效发射电磁波的振源,
9.2.2 电磁波的辐射强度与什么有关?
在振荡电路中,电荷变化为,q=Q
m
cosωt,其中 Q
m
是电荷最大值,
设 l为导线长度,电偶极子为,p=ql=p
m
cosωt,p
m
=Q
m
l是电矩振幅,
振荡偶极子可视为周期性变化的电流元 il:
il=ldq/dt=-lωQ sinωt=-lI sinωt=-ωp sinωt
可以证明,振荡偶极子在很远的场点 P产生的电场和磁场分别为,
2
m
sin
cos ( ) cos ( )
prr
EE t t
ωθ
ωω==
(16 36 )
S
H
m m m
,
0
2
,
4πuur uε
=? =?
2
m
sin
cos ( ) cos ( )
p
HH t t
ωθ
.36a
(16 36b)
+q
r
θ
P
E
0
4πuur u
=?=?
其中 r为偶极子中心到场点 P的距离,θ为矢径 r与电偶极子轴线之间的夹角 为电磁波是介质中的波速1/ εμ
.
-q
i
,.u =
在距离振荡偶极子很远的线度不大的区域,
振荡偶极子辐射的电磁波可视为平面简谐波,
42 2
m
sin1 p
SEH
μωθ
==
(16.37)
能流密度大小为 S=EH,平均辐射强度为,
00
22
22(4π) ur
可知,平均辐射强度与电偶极矩 p
m
的平方成正比,与角频率 ω的四次方成正比,与距离 r的平方成反比,还与方向因子 sin
2
θ成正比,
在实际运用中,角频率要在几十万赫兹以上才会有显著的辐射,
例 16.12 设广播电台的平均辐射功率为 =15kW,辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,求,(1)
离 度
P
在 离 电台 r=10km处的辐射强 度,(2)在 r=10km处的电磁波可看作平面波,该处电场强度和磁场强度的振幅为多少?
解 (1)在 处的平均辐射强度为
P
解,在 r,
5-2-1
2
2.39 10 J m s
2π
S
r
= =×
(2)辐射强度的瞬时值为,
2
cos ( )
r
SEHEH tω
00
c
= =?
平均辐射强度为,
2
00 00
11
cos ( )d
T
r
SEH ttEHω=?=
∫
0
2Tc
由于电场和磁场的关系为,
00 0 0
E Hεμ=
00
1/c ε μ=
,光速为,
所以
22
00
000 000 0 0
11
2
222
c
SEH EE EE
ε ε
με
μμμ
===
-1
00
2 / 0.134V mEScε= =?
可得电场强度的振幅,
同理可得磁场强度的振幅,
41
00
2/ 3.5,610AmHScμ
==×?
矢量的混合积的几何意义是什么？
设有矢量 a,b,c,则 a和 b的叉积为 S=a× b,S仍为矢量,则 和
S与 c的点积为 V=S·c.V是一个标量,
三 个矢量的混合积为 V=a× b·c,用符号 [abc]表示,
设 a与 b的夹有为 α,则 S=|S|=|a× b|=absinα =ah,
可见 S表示边长分别 和 b的平行四边形
b
S
,a和的面积,S的方向用右手螺旋法则确定,
设 S与 的夹有为 β 则 S β S
c
α
β
h
H
设 与 c β,则 V= ccosβ =SH,
可见,混合积 V=[abc]表示边长分别 和 的平行六面体的体积
a
α
c
b
别 a,b和 c,
讨论,(1)如果 a,b和 c两两垂直,则立方体的体积为 V=abc.
a
(2)立方体的体积也可以表示为 V=b× c·a=c× a·b,
即 [abc]=[bca]=[cab]
(3)如果 a=b或 b=c或 c=a,即有两条边重合,则体积 V=0.
即 ][ ][,
如何用行列式计算矢量的混合积？
设有矢量 a,b,c,其中 a和 b的叉积为 S=a× b,S仍为矢量,S与 c的点积设 a=a
1
i+a
2
j+a
3
k,b=b
1
i+b
2
j+b
3
k,c=c
1
i+c
2
j+c
3
k,其中 i,j,k为单位矢量,
为 V=S·c.V是一个标量,V=a× b·c,用符号 V=[abc]表示,称为混合积,
利用 i× i=j× j=k× k=0和 i× j=k j× k=i k× i=j 可得
S=a× b=(a
2
b
3
-a
3
b
2
)i+(a
3
b
1
-a
1
b
3
)j+(a
1
b
2
-a
2
b
1
)k.
用行列
ijk
利用行列
× × × 和 ×,×,×,
aaa
式表示就是,
123
aaa
bbb
=S
式的性质可得,
123
123
bbb=S
ijk
123
利用 i·i=j·j=k·k=1
和 i j j k k i 0 可
123
[]
aaa
Vbbbb
讨论,(1)如果
a=ai,b=bj,c=ck,
和 · = · = · =,可得混合积为,
bbb
123
123
ccc
= =a c
则
a
Vb=
=abc.
利用行列式的性质还可得
123 123
123 123
ccc
Vccc aaa==
(2)如果 a=b或 b=c或
c
:
123 123
aaa bbb
即,V=[abc]=[bca]=[cab].
c=a,则有两行相等,行列式为零,即 V=0.
试证明导体的热功率密度公式,
2
1
wE
ρ
=
其中 E为导体中的电场强度,ρ 为导体的电阻 率,
设一长为 l横截面积为
S的柱形导体 其电阻为,
l
R
S
ρ= l
度 ρ 率
,
当通过的电流为 I时,根据焦耳定律,在 t时间内产生的热量为,
2
QIRt=
S
I
在
22 2
()llS
根据欧姆定律,导体两端电压为 U=IR,因此,
2
U
Qt
R
=
U
导体内的电场强度为 E,则 U=El,可得,
El E lS EV
Qttt
l
S
ρ ρ
ρ
===
则 UEl
导体产生热的功率为,
2
QEV
P
t ρ
==
单位体积内产生热的功率,即热功率密度为,
2
P E
w
V ρ
==
此式对于其他形状的导体也成立,
波动微分方程的标准形式是什么？
设一向 x方向传播的平面波为
cos ( )
x
yA t
u
ω=?
其中,A表示波的振幅,ω表示圆频率,u表示波速,x表示波
y对时间 t求 一 阶偏导数得
sin ( )
yx
Atωω
=
的位置,y表示波动的物理量,例如位移和电场强度等,
阶偏导数得
tu?
对时间 t求 二 阶偏导数得
2
2
2
cos ()A tω ω
=
(1)
阶偏导数得
y对位置 x求一阶偏导数得
1
sin ( )
yx
At
xu u
ωω
=
对位置 x求二阶偏导数得
2
22
2
1
()cos( )At
xu u
ωω
=
(2)
22
222
1yy
xut
=
(1)式除以 u
2
等于 (2)式,即这就是波动微分方程的标准形式,
例 16.1 在均匀磁场中有一半径为 R的半圆形导线,导线所在平面与磁场垂直,导线以速度 v沿导线的对称轴方向向上
p
AB
运动,求导线中的动生电动势 ε并判断导线两端电势的高低,
解,利用动生电动势公式
B
d
B
A
ε = ×?
∫
vB l
v
v
在半圆上取一线元 dl,其大小为 dl=Rdθ,
速度 v的方向与磁感应强度 B的方向相互垂直 × B大小为 B 方向水平向左
θ
R
v×
B
ε
AB
dl
,v× v,,
与 dl的夹角为 π/2+θ,所以
o
π
∫
A B
θ
x
0
cos(π
AB
vBε =
π
sin dvBR θ θ=?
∫
π
cos 2vBR vBRθ= =?
/2 ) dRθ θ+
v
o
dx
0
0
由于积分路径是从 A端经圆弧到 B端,所以负号表示电动势的方向从 B端经导线指向 A端
2R
x
端,
讨论,由于 dlsinθ =dx,可得可见,半圆形导线产生的电动势的大小等于长为 2R的
sin d d
RR
vB l vB xεθ=? =?
∫∫
导线以速度 v在垂直于 B的磁场中运动产生的电动势,
AB
xR R=
==
2
AB
vB Rε =?
即
16.2 动生电动势
1 怎样计算在 U形框上运动的导体棒的动生电动势?.
动生电动势是导体在磁场中运动而产生的,U形框放在垂直于磁场 B的平面内,导体棒长为 l,以速度 v向右运动,经过时间 dt,
l ε v
A
导体棒运动的距离为 dx=vdt
导体棒扫过的面积为 dS=ldx=lvdt
闭合面内磁通量的变化为
dx
B
dΦ =BdS=Blvdt
感应电动势的大小为 ε=dΦ/dt=Blv
速度 和磁感应强度 B与电动势 的方向正好垂直 可用右手定则由于磁场不变 回路中磁通量的变化是由导体运
v ε,
确定感生电动势的方向,回路中电动势的方向为逆时针方向,
A
,
动引起的,因此可认为电动势只存在于导体棒 AB中,
当 导体棒 AB向右运动时 棒内自由电子被带着以相
v
-
+
A
当,
同速度 v运动,自由电子因受洛仑兹力由 A向 B运动,
使 B端聚集负电荷,电势低 ;A端剩余正电荷,电势高,
B
ε
B
-
f
B
使因此导体棒相当于一个电源,
2.动生电动势的一般公式是什么?
导体棒作为一个电源,其非静电力是洛仑兹力,
A
+
一个电子受的洛仑兹力为 f=-ev× B,
非静电力场强为 E
k
=f/(-e)=v× B,
dε
v
dl
在棒上产生的动生电动势为
dd
BB
k
ε =?= ×?
∫∫
El vBl
(16.4)
在线元 dl上产生的动生电动势 dε=E
k
·dl=v× B·dl,
B
B
-
-
f
.
AA
这个普遍公式对于非均匀磁场中作任意运动的任意形状的导线都成立
A
+
dl
v× B
I
θ
.
讨论,设 v与 B的夹角为 α,则 |v× B|=vbsinα,若
v× B的方向与线元 dl的夹角为 θ,线元上的动
B
dε
v
×
θ
生电动势为 dε=(vBsinα)cosθ dl,
导体棒上的动生电动势为
cos d,
B
A
vB lε θ=
∫
B
-
当 v和 B垂直时,则得 d θ dl
:
当 v× B的方向与线元 dl的方向在 一 条直线上时 则得,
如果 v和 B还是常量,可得 ε=Blv.
d.
B
A
vB lε =
∫
得 ε=vBcosθ,
条直线上时,
这是导体棒在 U形线框上垂直于磁场中横向运动时的动生电动势,
量例 16.2 一无限长竖直导线上通有稳恒电流 I,电流方向向上,导线旁有一与导线共面,长为 L的金属棒 OM,绕其一端 O在该平面内逆时针匀速转动,转动角速度为 ω,O点到导线的垂直距离为 r
0
,(r
0
>L).试求金属棒转到与水平方向成 θ 角时,棒内感应电动势的大小和方向.
解,当导线转到与水平方向成 θ角时 在棒上解,
取一线元 dl,其大小为 dl=dr,速度大小 v=rω.
y
I
M
L
d
线元到 I的距离为 R=r
0
+rcosθ,此处的磁感应强
v
0
2π
I
B
R
μ
=
x
O
θ
R
r
r
0
2π
Iμ
=
0
1
cosrr θ+
Rr
度大小为
L
由于 v垂直于 B,所以 v× B的大小为 vB,方向与 dl的方向相反,因此
B
0
dcosπd
L
vB rε =×?=
∫ ∫
vB l
0
Iμω
r
0
d
L
r
∫
00 00
cos d( cos )
[d ]
L
I rr r rrμ ωθ θ++
∫
2π
=?
负号表示动生电动
00
cos
(l )
I rL
L
μ ωθ
θ
+
即
0
0
cos
r
rr θ+
0
00
()
2πcos cos cos cos
r
rr rrθ θθ θ
=
势的方向由 M指向 O.
0
2
0
( cos ln
2πcos
r
r
εθ
θ
=即例 16.3 有一金属环,半径为 r,由电阻分别为 R
1
和 R
2
的两个半圆组成 ;均匀磁场 B(t)垂直通过圆环所围的平面,且磁场正在增加,dB/dt>0.试分析三种不同情况,R
1
>R
2
,R
1
<R
2
和 R
1
=R
2
时两半圆接口处 A和 B的电势差,并作出物理解释,
解 由于磁场在增加 根据楞次定律 感应电流
A
ε
解,,,
的磁场将阻碍外磁场的增加,其方向与原磁场的方向相反,所以感生电动势为逆时针方向,
B
r
R
1
R
I
整个圆环中感生电动势均匀分布在圆周上,
与电阻分布无关,其大小为 ε=πr
2
dB/dt
B
2
根据全电路欧姆定律,圆环中产生的感生电流为 I=ε/(R
1
+R
2
)
取左边路径从 A到 B 根据 段含源电路的欧
RRε?
到,一 段含源电路的欧姆定律,A和 B之间电势差为 U
A
-U
B
=IR
1
-ε/2,即,
12
12
2
AB
UU
RR
=
+
当 R >R 时 A点电势高于 B点电势 ;当 R <R 时 A点当
1 2
时,当
1 2
时,点电势低于 B点电势 ;当 R
1
=R
2
时,A和 B点电势相等,
当环形回路中电阻不均匀时,在不当回路电阻均匀分布时,就均匀处将出现电荷积聚,这些电荷将产生静电场,使回路出现电势差 ;
不会出现电荷积累,不产生静电场,整个回路是等势体,
例 16.4 一半径为 R,长为 L,电阻率为 ρ 的金属圆柱体,处于由交变电流产生的轴向交变均匀磁场
B=B
0
cosω t中,求金属圆柱体中涡流的热功率,
解,由于轴对称性,在圆柱体内取一半径为 r的圆面,其法线方向与磁场 的方向平行 取周长为环路 其绕向与涡旋电场的方向相同B ;,.
dd
k
t
=
∫ ∫
B
E lS
v
,可得
2π
k
rE
R
I
r
2
d
π
d
B
r
t
=
根据公式涡旋电场为
0
d
sin
2d 2
k
rB r
E Bt
t
ω ω==?
22
1 B
L
r处的瞬时 热功率密度 为
222
0
sin
4
k
wE r t
ω
ω
ρρ
==
取 一 半径为 r 厚度为 dr的薄柱壳 体积为 dV=2πrLdr半径为,,
整块金属的瞬时热功率为,
22 4
0
π
)
8
m
BLR
W
ω
ρ
=
(最大值,
22
23
0
0
π
dsind
2
R
V
BL
WwV trr
ω
ω
ρ
==
∫ ∫
2
sin
m
Wtω=
22 4
TT
22 4
2
0
π
sin
8
BLR
t
ω
ω
ρ
=
平均热功率为
2
0
00
π11
dsi,nd
216
m
m
WBLR
WWtW t
TT
ω
ω
ρ
== ==
∫∫
电磁感应从电磁感应现象入手,通过剖析产生感应电动势的原因及其非静电力,将感应电动势分为两类,
产生动生电动势的是第 类电磁感应现象 其动生电动势一 类电磁感应现象,其静电力是洛仑兹力,在本质上没有涉及新的概念,
产生感生电动势的是第二类电磁感应现象 其非静感生电动势
,
电力是变化的磁场,称为“感应电场”或“涡旋电场,,
自感和互感自感和互感是第二类电磁感应现象在线圈场中的应用,通过自感磁能阐明磁场能量的来源,
通过分析安培环路定律应用于非稳恒电流磁环路定律场的矛盾,从对称自然观出发,得出变化的电场产生磁场的结论,变化的电场相当于一种电流 位移电流,由此得到更普遍的环路定理将电磁场的基本规律概括为四个相关的方程 麦克斯韦方程组 建立电磁场理论 预言电磁流 —,”,,
麦氏方程组程 —,,
波的存在,介绍电磁波的性质,能量,产生和传播,
注意,
(1)掌握法拉第电磁感应定律,能熟练地运用其计算感应电动势,
(2)掌握动生电动势和感生电动势的概念及其计算,
(3)理解,涡旋电流,概念,能借助涡旋电场的,环流,
计算具有简单对称性的“涡旋电流”场强,了解其有关应用,
(4)掌握自 感 与 互感 概 念及 其计算方 法,掌握 磁 能 及 其计算方 法,() 与 概 其计算方 掌握能其计算方
(5)理解位移电流的概念及其计算,
(6)理解麦克斯韦电磁场方程组中各方程的物理意义,从而理解其作为电磁场理论的高度概括,
16.1 法拉第电磁感应定律
111什么叫电磁感应?1.1.1
1820年奥斯特发现了电流的磁效应,1822年英国物理学家法拉第开始了其逆过程,磁生电,
的研究,经过 10年努力,终于在 1831年获得成功,
当穿过闭合导体回路的磁通量随时间发生变化时 闭合回路中,
有电流产生,这种现象称为电磁感应,产生的电流称为感应电流,
感应电流方向的由楞次定律决定,
1833年俄国物理学家楞次总结出判断感应电流方向的楞次定律,
闭合回路中感应电流的方向总是使感应电流的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化,
1.1.2为什么说楞次定律是电磁感应过程中能量守恒的反映?
使条形磁铁的 N极靠近一个闭合导体回路 回路中磁通量就会增加条形磁铁的磁力线
,.
根据楞次定律,回路中感应电流的磁场将阻碍磁通量增加 其方向与外磁
v
N S
,
场方向相反,电流在正面就是向下的,
感应电流的磁力线如果感应电流方向违反楞次定律,与图示方向相反,电流产生的磁场将使磁铁向左做加速运动 ;
一旦磁铁开始运动,其动能就会越来越大,电流也将增大,而这些能量是无中生有的,违背了能量守恒定律,
根据楞次定律,感应电流的磁场阻碍磁铁运动,要使磁铁继续靠近回路,外界必须克服斥力做功以提供能量,维持感应回路中的电流,
1.1.3 什么是法拉第电磁感应定律?
在电磁感应过程中,回路中出实验发现,回路中的感应电动现了感应电流,说明回路中存在电动势,称为感应电动势,ε.
势与穿过回路的磁通量的时间变化率成正比,即,
在国际单位制中,式中比例系数为 1;而负号反映了感应电动势 (电流 )的方向,
d
dt
Φ
ε =?
设 回路面积的正法线方向向右 根据右手螺旋法
(16.1)
设 一 回路面积的正法线方向向右,
则,红实线箭头所表示的方向为回路绕行的正方向,
(1)当磁铁 N极向右运动时,Φ>0,回路
dΦ =?
∫
B S
中磁场增强,即 dΦ/dt>0,所以 ε<0,感应电动势的方向与回路绕行方向相反,
v
NS n
+
Φ ↗Φ ↘
(2)当磁铁 N极向左运动时,回路中磁场减弱,即 dΦ/dt<0,所以 ε>0,感应电
ε
v
+ Φ ↗Φ ↘
动势的方向与回路绕行方向相同,
NS n
(3)当磁铁 S极向右运动时,Φ<0,
dΦ/dt<0 所以 >0 感应电动势的方
ε
,ε,
向与回路绕行方向相同,
(4)同理可分析 S极向左运动的情况,
1.1.4 通过线圈感应电量是多少?
设 t
0
和 t
1
时刻通过回路所围面积的磁通量分别为 Φ
0
和 Φ
1
,设 和 和那么在这段时间之内通过回路导体横截面的感应电量为,
1
d
t
It
∫
设回路的电阻为 R,根据
1d
I
ε Φ
0
t
q =
欧姆定律得感应电流为
dRRt
= =?
11
1d 1
tt
Φ
∫∫
1
因此
00
dd
d
tt
qt
Rt R
Φ=? =?
01
()q
R
Φ Φ=?
即 (16.2)
通过导体回路横截面的感应电量 q与通过回路所围面积的磁通量的改变量成正比,与回路的电阻成反比,与磁通量的变化快慢无关,
据此可以设计磁通计,测量磁路中的磁通量和磁感应强度,
1.1.5 多匝线圈的感应电动势公式是怎样的?
有多匝线圈绕在 一 起时 整个线圈中的感应起时,
电动势是各匝线圈产生的感应电动势之和,
当穿过各匝线圈的磁通量分别为 Φ
1
Φ
2
Φ 时,总电动势为,
12
ddd d
(..)
dd d d
n
i
tt t t
ΦΦ Φ
ε Φ=? + + + =?
∑
,,…,
n
时
d
dt
Φ
ε =?
其中 Φ=ΣΦ
i
是穿过各匝线圈的磁通量的总和 称为穿过线圈的全磁通或磁链或,(16.3)
,.
注意,闭合导体回路只是为感应电流的形成提供条件,即使回路不闭合,甚至不是导体,当回路中磁通量随时间发生变化时,回路中仍然有感应电动势,
例 16.1 如图所示的矩形导体回路 ABCD,AB长为 l,以匀速 v向右滑动,匀强磁场与回路平面垂直,磁感应强度 B随时间变化,
B=B
0
cosωt,当 AB离 O的距离为 x时,求回路感应电动势为多少?
解,选顺时针环绕方向为正方向
l
B
ε v
C
B
解,
设 t=0时,x=0;在 t时刻 AB离 O点距离为 x 通过回路 ABCD的磁通量为
A
D
O
Φ =Blx=B
0
lxcosωt
,
x
感应电动势为,
00
dd
cos sin
x
Bl t Blx t
Φ
ε ωωω=? = +
00
cos sinB lv t B lx tω ωω=? +
tt
其中,第一项是以后所说的动生电动势,第二项是感生电动势,
感应电动势的方向由 ε的符号决定,当 ε>0时,其方向与环绕方向一致 ;当 ε<0时,其方向与环绕方向相反,
16.2 动生电动势
211怎样计算在 U形框上运动的导体棒的动生电动势?2.1.1
动生电动势是导体在磁场中运动引起磁通量的改变而产生的,
一段导体在恒定磁场中运动 与 U形框构成一个闭合回路根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为
A
,与,
导体棒 AB长为 l,以速度 v在垂直于磁场 B的平面内向右运动,
l ε v
dd
()Blx Blv
Φ
ε =?=? =?
由于磁场不变 回路中磁通量的变化是由导体运
B
回路中电动势的方向为逆时针方向,
A
ddtt
,
动引起的,因此可认为电动势只存在于导体棒 AB中,
当 导体棒 AB向右运动时 棒内自由电子被带着以相
v
-
+
A
当,
同速度 v运动,自由电子因受洛仑兹力由 A向 B运动,
使 B端聚集负电荷,电势低 ;A端剩余正电荷,电势高,
B
ε
B
-
f
B
使因此导体棒相当于一个电源,
2.1.2 动生电动势的一般公式是什么?
导体棒作为一个电源,其非静电力是洛仑兹力,
一个电子受的洛仑兹力为 f=-ev× B,
非静电力场强为 E
k
=f/(-e)=v× B,
A
+
dl
在线元 dl上产生的动生电动势为
B
dε
v
-
f
dε=E
k
·dl=(v× B)·dl,
在棒上产生的动生电动势为
k
dd.
BB
AA
ε =?= ×?
∫∫
E lvBl
(16.4)
B
-
这个普遍公式对于非均匀磁场中作任意运动的任意形状的导线都成立,
dε
dl
v× B
如果整个导体回路 L都在磁场中运动,则回路中产生的动生电场势为
B
v
L
对于在 U形线框上运动的导体棒 如果磁感应强
()d
L
ε = ×?
∫
vB l
v
(16.5)
,
度与线框平面垂直,可求得动生电动势为 ε=Blv.
例 16.2 一长为 L的金属棒 OM,放在方向垂直于屏幕的向内的均匀磁场 B中,该棒绕过其 一 端 O的轴线 (轴线垂直于屏幕 )在竖中 端直平面内逆时针匀速转动,如图所示,转动角速度为 ω,试求金属棒转到与水平方向成 θ 角时,棒内感应电动势的大小和方向,
解,在离盘心 l=r处取一段直杆 dl,其运动速率为 v=ω r,其方向垂直于 B,因此 v× B沿着 MO的方向,
ω
v
dl
产生的感应电动势为
L
O
取矢量 dl沿 OM的方向,其大小为 dl=dr,
l
θ
d ( ) d dl d
M
L
∫∫
整个杆产生的感应电动势为
1
永久磁铁
B
ε = v× B · l=vBcosπ =-ω rB r,
0
dd
L
Brrε εω==?
负号表示电动势的方向由 M指向 O
2
2
BLω=?
电流计
.
铜盘如果将金属棒改为铜盘,铜盘可当作无数并联的金属棒,公式就是盘心到边缘的电势差,
将 O和 M与电路联接,就形成法拉第电机,
2.1.3 发电机的能量从哪里来?
发电机是将机械能转化为电能的装置,
是动生电动势在技术上的一个重要应用,
导体棒 AB的运动会产生动生
A
电动势,在回路中引起感应电流,
感应电动势要做功,其能量
L
ε
v
I
F
实际上是外力做功的结果,
设回路中的感应电流为 I,则感应电
B
F
m
动势做功的功率为 P=Iε=IBLv.
导体 AB所受的磁力为 F
m
=ILB,方向向 左,
为了使导体棒 AB匀速运动,必须施加与之反向的而大小相等的外力 F=F
m
,外力所做功的功率为 P'=Fv=IBLv.
这正好等于感应电动势做功的功率,
可见,电路中感应电动势的电能是这就是发电机内由外力所做机械功转换而来的,能量的转换过程,
2.1.4 直流发电机的工作原理是什么?
设电机只有 一 对磁极 电枢绕组只 一 个线圈 线圈两端对磁极,个线圈,
分别联在两个换向片上,电刷 A和 B分别压在换向片上,
电枢由原动机 例如蒸汽机和柴,
油机等,驱动而在磁场中旋转,在电 枢线圈的两根有效 边,即切割 磁力线的边中便产生动生电动势,
每 一 有效边中的电动势是交变有效边中的电动势是交变的,即 N极在下时是一个方向,
转到 S极时又是另一个方向,
但是由于电刷 A和 B总是与换向片接触 因此在电刷上就出当两个电刷间接有负载时 在负载上就会流过 一注意,实际直流发电机的结构要复杂些 磁极不止 一 对 电枢有
,
现一个极性不变的端电压,
时,
个方向不变的电流,
,对,
多组线圈,换向器也有多个换向片,能输出比较稳定的直流电压,
2.2 在产生动生电动势的过程中,洛仑兹力起什么作用?
动生电动势是洛仑兹力对导体中的载流子作功引起的,可是洛仑兹力恒垂直于运动电荷的速度方向而不作功,如何解释这一矛盾?
导体在磁场中运动时,导体中的载流子 (在金属中是自由电子 )不但具有导体本身的速度 v B,
还具有相对于导体的定向运动速度 v',即形成感应电流的速度,电子的总速度为 V=v+v'
I
v
f '
-
v
F v'
V
f
所受的洛仑兹力为 F=-eV× B=-e(v+v')× B
F垂直于 V而不做功,其中 f=-ev× B,f '=-ev'× B
f产生非静电力,导致了动生电动势 ;而 f '总是与导线垂直,它是形成安培力的微观根源,
f做功的功率为 P f V × B ( ') × B ' B× ' '× B= · =-ev× · v+v =-ev× ·v =e × v·v =ev × ·v
f '做功的功率为 P'=f '·V=-ev'× B·(v+v')=-ev'× B·v=-P
'× B的方向向右 与 的点积是一个正数 可知,产生动生电动势的v ×,与 v,
分力做正功,形成安培力的 f'做等量的负功,总的洛仑兹力 F不做功,
形成安培力的分力做负功时,吸收外界的能量,通过产生动生电动势的分力做正功而转化为感应电流的能量,
可见,洛仑兹力并不提供能量,而只是传递能量,
16.3 感生电动势
3.1.1 什么是感生电动势和感生电场?
在无限长载流螺线管内有一随时间变化的均匀磁场 B(t),在管中垂直于磁场的平面内置
B
r
一半径为 r的环形导体回路,其面积为 S=πr
2
,
取垂直于屏幕向外的方向为回路包围的面积的方向,通过回路的磁通量为 Φ=-BS=-πr
2
B
感应电动势为 ε=-dΦ/dt=πr
2
dB/dt 方向沿逆时针方向,
磁场的变化将产 生一 种非静电力场,这 种非静电力场磁场的变化所产生的电动势是感生电动势,
种非静电力场使导体中的电荷受力作定向移动而形成感应电流,
非静电力场对电荷的力的作用称为感生电场,这就是电荷所受的非静电力的来源,
3.1.2 涡旋电场与静电场有什么异同?
麦克斯韦首先提出 即使不存在导 用 表示感生电场强:
体回路,变化的磁场也会在空间激发一 种涡旋电场 (感生电场 ) 它与静电用 E
k
度,也就是作用于单位正电荷的力 根据
dd
dd
Φ
∫∫
El BS
v
,
场的共同点是对电荷都有力的作用,
,
电动势的定义得
k
dd
LS
tt
ε? ==? =
(16 7)
=
∫∫
B
El S
v
由于回路其中,S是回路 L
.7)
k
LS
t?
感生电场的环流不等于零,这种电场称为涡旋电场,
不动,所以 包围的面积,
感生电场与静电场不同的是,
(2)它的电力线是闭合的,是 一
(1)它不是由电荷激发的是种非保守力场,其环流不为零,
,
而是由变化的磁场激发的 ;
(16 7)式是关于感生电场和磁场关系的 一 个基本定律.7) 个基本定律,
例 16.3 在半径为 R的无限长螺线管内,磁场
B(t)垂直通过所围的平面,且磁场随时间线性变化 (dB/dt>0)时,试求管内外的感生电场的分布,
[解 ]由于磁场分布的轴对称性,感生电场 的电力线是与螺线管同轴的同心圆任取逆时针闭合回路 其方向与 B和场 E
k
.
路,和
dB/dt的方向相反,
kkk
dd2π
LL
El El rE?= =
∫∫
G G
v v
d
B
S
t
=
∫
G
G
G
E
k
S
k
1
d
2π
S
B
ES
rt
=
∫
G
(1)当 BB
G
B
可得
E
k
ddBB
当
r<R时
E 的方向与回
dd
SS
SS
tt
=?
∫∫
G
drB
R r
r
E
k
E
E
k
E
k
E
k
2
d π
S
Sr
tt
=? =?
∫
k
路的方向相同,
k
2d
E
t
=
(2)当
2
d
d
BB
SR
∫
G
G
可得
k
E
k
E
k
当
r>R时
π
d
S
tt
=?
2
k
d
2d
R B
E =
可得
E
k
的方向与回路的方向相同
O
螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线,
rt
.
rR
3.2.1电子感应加速器的径向分布磁场必须满足什么要求?
电子感应加速器是电子末级加速的高能物理实验设备,
在电磁铁的两极间有 个环形真空室 电磁铁由强大的交一 个环形真空室,
变电流来励磁,电子在前级加速器加速后射入环形真空室,在交变电流的作用下绕行 将电子加速到几百万兆电子伏特电子做圆周运动的向心力由洛仑力提供,设真空室半径为 R,
轨道处的磁感应强度为 B
R
,
,.
则 evB
R
=mv
2
/R,即 mv=eRB
R
使电子沿环形轨道切向
dd
=
∫∫
B
El S
v
加速的涡旋电场为 E
k
,则,
k
t?
可得
B B
2
k
d
2π π
B
RE R=
k
d
2d
RB
E
t
=
为环形轨道内的平均磁感应强度 于是得,
同时积分,
使 B
R
和
B
R
R
dt
B
,
根据牛顿第二定律 eE
k
=d(mv)/dt,
dd BRB d 1dB B
同时由零开始增加,
B
R
-
可得,即
2d d
R
eeR
tt
=
d2d
R
tt
=
/2.
R
BB=可得
3.2.2 涡电流有什么利弊?
当块状导体在交变磁场中或在磁场中运动时,导体内产生感应电流 这种电流呈闭合的涡旋状 称为涡电流,,.
(1)在变压器中和电机等电器的铁芯中,涡电流会消耗电能 (另 一 种是磁滞损耗 ) 使设备的温度升高 甚至造成损害因此,电机和变压器等电器的铁芯常用相互绝缘的硅钢片迭合起来做成 并使硅钢能 种是磁滞损耗,,.
(2)利用大涡流的热效应 可制成高频感应炉
,
片的平面与磁感应线平行,以减小涡流,
,
来冶炼金属,具有升温快,温度高,加热效率高,
并能实现真 空 无接 触 加热等 独 特 的 优点,广 泛无接 加热等 特 优点 广用于冶炼特种合金钢,高熔点或化学性质活泼的金属,也应用于高纯度半导体的提炼,
因为在磁场中运动的导体中的涡流所(3)
受的安培力总是做负功,阻碍导体的运动,所以利用动生电动势所产生的涡流 可制成电,
磁阻尼和制动器,用于仪表,设备和车辆中,
16.4 自感和互感
4.1 什么是自感?
当导体回路中电流变化时,由回路自身激发的通过回路自身的磁通量也发生变化,从而在回路自身中产生的电动势的现象叫做自感现象 所产生的感生电动势叫做自感电动势,.
根据毕奥 -
萨伐尔定律
0
0
2
d
d
4
Iμ ×
=
lr
B
π r
可知电流产生磁场正比于电流强度 I,因此通过线圈的全磁通 Φ 也与 I成正比,Φ=LI (16 8)
I
Φ,8)
比例系数 L称为线圈的自感系数,其值决定于线圈回路的大小,形状,匝数以及周围介质的性质与分布,
dddd
ddd d
L
I I
L
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
由法拉第电磁感应定律得自感电动势为,
(16.9)
自感电动势总是阻碍原电流变化,因此自感系数 L是线圈“电磁惯性”大小的量度,
的国 单位是亨利L 际 单位是亨利 (H),1H=1Wb·A
-1
=1V·s·A
-1
=1?·s.
例 16.4 计算螺绕环的自感,设环的截面积为 S,轴线半径为 R,单位单位长度上的匝数为 n,环中充满相对磁导率为 μ
r
的磁介质,
解,设环内电流强度为 I,已知螺绕环内的磁感应强度为 B=μ
0
μ
r
nI,
环的匝数为 N=2πRn,
环内全磁通为 Φ =NBS=2πRnμ
0
μ nIS,Φ
r
自感系数为
22
0r 0r
2πLnRSnV
I
Φ
μμ μμ== =
环内充满介质时,自感系数增大为真空时的 μ
r
倍,
分析,由 两平行输 电 线 组 成 的电流 回路 可 视为例 16.5 试计算两相距为 d的,半径为 r
0
的平行导线的分布电感?
线 成 回路 视为一窄长的矩形线圈,穿此矩形线圈所围成面积的磁通量由两长直导线所产生的磁通量叠加而成,
I I
解,设两导线通过的电流强度为 I,在离左边导线右边为 r处取一长为 l,宽为 dr的矩形,
其面积为 dS=ldr
l
r
dr
0
2π
I
B
r
μ
=
左边电流在该处产生的磁感 应强度为,
d
通过的磁通量为
0
dd d
2π
Il
BS r
r
μ
Φ ==
左忽略导线内部的磁通量 左边导线
0
0
d
dr
Il rμ
Φ
=
∫
r
0
00
ln
Il d rμ?
=
,
在两导线之间通过的磁通量为,
0
2π
r
r
左因为 Φ =Φ 所以总磁通量为
00
ln
Ildrμ
ΦΦ Φ
=+=
左右
0
2π r
左 右
,
0
π r
+
自感为
00
0
ln
π
ldr
L
I r
μΦ?
==
单位长度上的自感为,
00
0
0
ln
π
drL
L
lr
μ?
==
4.2.1 什么是互感?
对两个邻近的载流回路,任一个回路电流所产生的磁场,都会影响邻近回路的磁通量 当 个回路中电流变化时 将在另,当 一 个回路中电流变化时,
一回路中激发感应电动势,称为互感现象,所激发的感生电动势称为互感电动势,
Φ
21
L
2
L
1
Φ
12
电流 I
1
产生的磁场在回路 L
2
中引起的全磁通正比于电流 I
1
,即 Φ
21
=M
21
I
1
(16.8)
I
I
2
即 ()
电流 I
2
产生的磁场在回路 L
1
中引起的全磁通正比于电流 I
2
,即 Φ
12
=M
12
I
2
(16.9)
M
21
叫做回路 L
1
对回路 L
2
的互感系数,M
12
叫做回路
L
2
对回路 L
1
的互感系数,其单位与自感系数的单位
1
()
相同,其值取决于回路线圈的大小,形状,匝数和两线圈的相对位置以及周围磁介质的磁导率与分布,
根据法拉第电磁感应定律,两线圈的互感电动势分别为
21 21 1 1
21 21
ddd d
,
ddd d
I I
M
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
12 12 2 2
12 12
ddd d
ddd d
I I
M
tIt t
Φ Φ
ε =? =? =?
1
对于给定一对线圈回路,可以证明 M
21
=M
12
=M,(16.12)
2
4.2.2 互感系数与什么有关?
互感系数是两个线圈回路之间的,电磁耦合,
程度的量度,可以证明它和两线圈自感的关系为,
12
M KLL=
L
(16 13)
Φ
21
L
2
L
1
Φ
12
K=1
I
2
Φ
21
=0
2
Φ
12
=0
K=0
.
I
1
I
2
I
1
L
1
式中 0≤K≤1,K称为耦合系数,它取决于两线圈的相对位置,
例 16.6 绕于磁导率为 μ的环形铁芯上的两线圈,其匝数分别为 N
1
和 N
2
,铁芯截面积为 S,周长为 l,如图所示,求两线圈之间的互感系数以及互感系数与自感系数之间的关系,
解,设线圈 C
1
通过的电流强度为 I
1
,根据安培环路定理可得磁场强度为 H=N I /l
I
C
1
HN
1 1
通过每匝线圈的磁感应强度为 B=μH=μN
1
I
1
/l
通过每匝线圈的磁通量为 Φ =BS=μN I S/l
1
N
1
I
1
Φ
1 1
由于铁芯磁导率远大于空气磁导率,所以可以不计漏磁,磁通将全部通过 C
2
,全磁通量为
I
2
C
N
2
I
2
Φ
21
=N
2
Φ=μN
1
N
2
I
1
S/l
互感系数为 M=Φ
21
/I
1
=μN
1
N
2
S/l
2
通过线圈本身的全磁通为
2
11
11
NI
NS
l
ΦΦμ==
这里 耦合
C
1
的自感系数为
2
11
1
1
N
L S
Il
Φ
μ==
同理 C
2
的自感系数为
2
2
2
N
L S
l
μ=
,
系数 K=1,
这是因为由于
22
222
12
12
2
NN
L LSM
l
μ==
,所以,
12
M LL=
不计漏磁,
4.3 自感有什么应用和危害?
利用自感现象 可制成电子线路中的扼流圈 滤波器 振荡电路,,,.
如果截断含有较大自感和较大电流的电路时 电路中将产生很大的自感电动这是具有较大电流
,
势 (断电高压 ),可能损坏电路中的器件,
击穿绝缘或在开关处产生强烈的电弧的电路和电器设备的设计中需要注意的重要问题
.
4.4 互感有什么应用和危害?
.
互感现象较之自感现象有更为广泛的应用,
例如各 种 变压器,包括强电中的电力变压器,弱 电中的种 弱输入,输出变压器,中周变压器等的工作原理都是互感,
互感 现 象的害处是造成电路之间的电磁干扰,实 践中常用电现 实磁屏蔽或调整两线圈的相对位置的方法来消除或减轻其危害,
16.5 磁场的能量
511电磁感应是否伴随磁场能量的转化?5.1.1
当回路中电流的产生或消失时,相应的磁场也随着产生或消失 在这个变化过程中 总是伴随着电磁感应现象,,.
根据电磁感应定律,在电流增加和形成磁场的过程中,电流将克服感应电动势做功 将电源所提供的能量转化为回路的磁能,.
在电流和磁场消失的过程中,回路中的磁能会释放出来 给电源充电或转化为焦耳热,.
当电路开关闭合后,在电流增长的过程中,
5.1.2 自感磁能的公式是什么?
di
LiR
线圈中将出现自感电动势,根据欧姆定律得,
各项同乘以 i移项得 εi=i
2
R+Lidi/dt
dt
ε? =
这是能量转换关系式,εi是电源的供电功率,i
2
R为焦耳热功率,Lidi/dt是电
ε
i
K
R L
源克服自感电动势作功的功率,
d
d
t
i
WLit=
∫
当回路电流由零
(16.14)
d
I
Lii=
∫
2
1
LI=
这 个功就是 电 源的 一 部分能 量 转换成的自 感磁 能,
m
0
dt增至 I时,积分得,
0
2
源的 部分能 转换成的自 能
5.1.3 自感磁能密度的公式是什么?
螺绕环的自感系数为 L=μn
2
V,
由于磁感应强度为 B I 所以
22
1
()
B
V
其中,n=N/l为单位长度上的匝数,V=Sl为螺绕环的体积,
2
1
WLI
2
1
BV
=μn,
2
n
n
μ
μ
=
螺绕环的磁场都集中在管的内部,其体积 V就是磁场占有的体积,
m
2
=
2μ
=
2
1W B
由 B=μH,得磁场的实验证明,磁能并不是电流所携带的,而是贮存在磁场之中,
2
111
HBHBH
m
m
2
w
V μ
= =
这 是普遍公式,空 间某
1
∫
(16 15)
(16 16)
由能量密度为,222
μ= ==?
区域内的磁场能量为,
m
d
2
V
WV=?BH
.
.
利用公式
2
1
WLI
可得自
2W
这是计算自感系
m
2
=
感系数
m
2
L
I
=
数的第二种方法,
第一种计算自感系数的方法是 L=Φ /I.
例 16.7 求同轴电缆长为 l的一段的自感,设同轴电缆由半径为
R
1
的内实心圆柱导体和半径为 R
2
的外导体圆筒 (厚度不计 )组成,
中间充以绝缘介质,设导体中及绝缘介质的磁导率皆为 μ
0
.
解,设电流 I由内导体圆柱流入 沿外导体圆筒返回 由
0
1
2
,( )
2π
I
rr R
R
μ
<
,,由安培环路定理可求得同轴电缆的磁场径向分布为,
1
0
12
,( )
2π
I
B RrR
r
μ
= <<
I
I
l
2
0,( )Rr
<
在半径为 r处取一长为 l,厚为
dr的薄柱壳体积元 dV=2πrldr,
R
1
R
2
同轴电缆所贮存的能量如下,
2
m
d
2
B
WV=
∫
2 2
0
22
2π d
8
R
I
rl r
μ
+
∫
1 2
2
0
24
2π d
8
R
I
rrlr
R
μ
=
∫
12
3
0
4
d
4
R
Il
rr
R
μ
=
∫
22
0
d
4
R
Il rμ
+
∫
2
0 2
ln
4π
l R
I
R
μ
+
2
0
16
l
I
μ
=
0
V
μ
1
π
R
r
10
π
1
0
π
因此,长为 l的一段同轴电缆的自感系数为
2W l R l R
1
π
R
r 1
π
l
m
2
L
I
=
0 2
1
ln
2π R
μ
+
0 2
1
(1 4
8π
.ln )
R
μ
=+
0
8π
μ
=
两个相邻的线圈组成两个回路 通
5.2.1互感系数有什么关系?
,通过的电流 I
1
和 I
2
可按两个过程形成,
(1)打开 K 合上 K 使电流 i 由
i
2
L
2
i
1
L
1
2
,
1
,
1
由零增至 I
1
,由于自感 L
1
的存在,电源
ε
1
要反抗自 感电 动势作功,使回路
ε
2
K
2
ε
1
K
1
R
1
R
2
动势作功
1获得自感磁能,
2
m1 1 1
/2WLI=
再合上 K
2
,并调节 R
1
使电流 I
1
保持不变,而电流 i
2
由零增至 I
2
,由于自感 L
2
的存在,电源 ε
2
要作功,使回路 2获得自感磁能,
2
m2 2 2
/2WLI=
当 i
2
增大时,在回路 1中会产生互感电动势 ε
12
=-M
12
di
2
/dt
为了保持电流 I
1
不变,电源 ε
1
还必须反抗互感电动势作功
2
12 1 12 1
00
d
dd
d
tt
i
A It M It
t
ε=? =
∫∫
2
12 1 2 12 1 2
0
d
I
M IiMI==
∫
此功将电源 ε
1
的能量转换为互感磁能 W
m12
=M
12
I
1
I
2
(16.17)
系统具有的
22
(16 18)
总磁能为,
mm1m2m12
WW W W= ++
11 22 1212
/2 /2LI LI M II= ++
.
(2)将形成电流 I
1
和 I
2
的“顺序”
颠倒进行,同样可得总磁能为,
ε
2
i
2
K
L
2
ε
1
i
1
K
1
L
1
R R
22
m11 22 2112
/2 /2WLI LI MII
′
= ++
21 2
由于两者表示同一电流和磁场状态,能量应该相等,就有 W'
m
=W
m
,
因此可得 M
12
=M
21
=M.
当两线圈中的电流 I
1
和 I
2
所产生的磁场方向相反时,互感电动势
ε
12
或 ε
21
将作正功,提供能量给电源充电,互感磁能 W
12
为负值,或
m
5.2.2 互感磁能的公式是什么?
根据磁场叠加原理,空间任一点的磁场 B是各回路电流 I
1
和
I
2
单独存在时所产生的磁场和 B
1
和 B
2
的矢量和,B=B
1
+B
2
,
磁场能量为,
2
m
d
2
B
WV
μ
=
∫
22
1212
dd d
22
BB
VV V
μμ μ
=++
∫ ∫∫
BB
V
由于 B
1
正比于 I
1
且与 I
2
无关,而 B
2
正比于 I
2
且与 I
1
无关,将上式与
(16 18)比较
WW W W=++
22
/2 /2LI LI MII=++
VVV
.
mm1m2m12
11 2 2 12
可得
2
2
1
m1 1 1
1
d,
22
B
WLI V
μ
==
∫
2
2
2
m2 2 2
1
d,
22
B
WLI V
μ
==
∫
V V
12
m12 1 2
d
V
WMI V
μ
==
∫
BB
(16.19)
12
cos
d,
V
BB
V
θ
μ
=
∫
可知,自感磁能恒为正,是每个通电线圈的固有磁能 ;互感磁能是相互作用能量,在 B
1
与 B
2
之间的夹角 θ<π/2时为正,θ>π/2时为负,
16.6 位移电流
611为什么说安培环路定律对非稳恒电流不成立?6.1.1
在安培定律中,闭合回路所包围的电流是指穿过以闭合回路为边界的曲面的电流 这样的曲面有无限多
L
,.
I S
1
S
2
稳恒电流由于其连续性,如果它通过以闭合回路为边界的某 一 曲面,就 一 定通在电容器充放电时,导线和电容器的两板内有电流 极板 有 电流
L
曲面 就定通过以此闭合回路为边界的所有曲面,
有 传导 电流,而两 间则没 有 传导 电流,
d
L
I? =
∫
Hl
v
S
2
I S
1
以闭合回路 L为边界,在曲面 S
1
上有传导电流 I 根据安培环路定理有如果取以 L为边界的位于两极板的曲面 S
2
,
因无传导电流 根据安培环路定理有
d0
L
=
∫
Hl
v
K
,:
,:
上面两个公式是矛盾的,由此可见,安培环路定理对非稳恒电流不成立 这是因为电容器上传导电流不连续引起的.,
6.1.2 电容器极板上的传导电流和电流密度是多少?
电容器极板面积为 S 在充电过程中 某 一 时刻正极板 A上的电
+
,,时刻正极板荷面密度为 σ,A所带的电量为 q=σS,负极板 B带等量的负电荷,
dq
I
A板内的传导电流就是
d( )Sσ d
S
σ
+
+
-
q -q
S
σ
dt
=
A板内的传导电流密度为
dI σ
δ ==
D
导线中的传导电流,
dt
=
dt
=
I
+
-
-
IIdSt
充电时两板间的传导电流为零 但两
6.1.3 什么是位移电流?
I
D
=dΦ
D
/dt
δ
D
=dD/dt
+
-
B
A
,
板上电荷密度在增加,使两板间的电位移矢量 D和电位移通量 Φ =DS都增加
Φ
D
δ=I/S
D
.
dΦ
为了使电流在电路中保持连续性,麦克斯韦引入了位移电流的概念,
通过电场中任意截面的位移电流等于
d
D
D
I
t
=
(16.20)
电场中某点的位移电流密度等
dD
其方向为通过该截面的电位移通量的时间变化率,
于该点电位移的时间变化率,
d
D
t
=δ
(16.21)
dD/dt的方向,
6.1.4 位移电流密度和传导电流密度有什么关系?
ddD σ
在平板电容器两极板之间 根据高斯定理可得电
dd
D
tt
δ δ= ==
,
位移矢量的大小与极板面电荷的关系为 D=σ,可得,
可知,位移电流密度的大小与板上传导电流密度的大小相等在充电时,D的方向由 A板指向 B板,板上电荷面密度增大 两板间场强增强 dD/dt
.
+
+q -q
,,
的方向与 D的方向一致,因此位移电流密度的方向与 传 导电流密度的方向一致,
I
+
-
-
D
dD/dt
传在放电时,D的方向仍然由 A板指向 B板,板上电荷面密度减少,两板间场强减弱,dD/dt
+
-
A
B
σ
+q -q
的方向与 D的方向相反,因此位移电流密度的方向与传导电流密度的方向一致,
I
+
+
-
-
D
dD/dt
总之,电容器极板间的位移电流密度与板中传导电流密度大小相等,方向 一 致,δ
D
=δ.
+
-
A
B
σ
致
6.1.5 位移电流和传导电流有什么关系?
在平板电容器两
dΦ dD dσ
dq
极板中位移电流为,d
D
D
I
t
=
即,两板间的位移电流强度 I
D
与极板中传导电流强度 I相等
d
S
t
=
d
S
t
=
d
I
t
= =
即,
在电容器极板表面中断的传导电流 I由位移电流 I 接替下去 使电流保持连续
D
,.
位移电流和传导电流可能同时通过某 截面 全电流强度等
6.1.6 什么是全电流?
一 截面,
于通过该截面的位移电流强度与传导电流强度的代数和,即,
d dΦ
s
d
dd
D
D
S
III I I
tt
= +=+ =+?
∫
D S
(16.22)
这样 全电流总是连续的
S
C
I
D
R
,.
I
K
I
s
6.1.7 什么是全电流定律?
麦克斯韦把安培环路定理推广到电流非稳恒的情况,使位移电流和传导电流按照相同的规律激发磁场,(16.23)
d
d
d
D
L
I
t
Φ
=+
∫
Hl
v
这就是全电流定律,由于全电流是连续的,前面的矛盾就解决了,定律的正确性通过实验证明,
6.1.8 位移电流和传导电流有什么区别?
变化的电场激发涡旋磁场是麦克斯韦位移电流的中心思想,
传导电流是电荷的定向运动,真空中的位移电流是电场的变化 ;
传导电流通过导体时放出焦耳热 在真空中的位移电流不放热量 ;,
在电介质中的位移电流也会产生热效应,但是不服从焦耳定律,
例 16.9 半径为 R=0.1m,板距 d=0.01m的圆形平行板电容器,置于真 空 中,给电容器加 上 频率 ν=10
6
Hz,幅值 U
m
=10
4
V的高频交流高压,真中 频率求,(1)两极板间的位移电流幅值 ;(2)计算极板间距两板中心连线为
r处 (r<R,r>R)的磁感应强度 B;(3)r=R处 B
R
的幅值是多少?
解,(1)交变电压为 U=U
m
cos2π νt
交变电场为 E=U/d=E
m
cos2π νt
E
R
d
其中最大场强为 E
m
=U
m
/d
电 位 移大小为 D=ε
0
E
o
U
d d
D
D
IS
Φ
位电位移通量为 Φ
D
=SD
位移电流为
22
2π REνε=
sin2 tν
2
dE
R
dd
D
tt
==
位移 电流 幅值为 I
Dm
=2π
2
νR
2
ε
0
E
m
=1.75A.
0m
π
0
π
dt
ε=
幅值为例 16.9 半径为 R=0.1m,板距 d=0.01m的圆形平行板电容器,置于真空中,给电容器加上频率 ν=10
6
Hz,幅值 U
m
=10
4
V的高频交流高压,
求 两极板间的位移电流幅值 计算极板间距两板中心连线为求,(1) ;(2)
r处 (r<R,r>R)的磁感应强度 B;(3)r=R处 B
R
的幅值是多少?
解 由于板间电场具有轴解,(2)
对称性,磁场也具有轴对称性,
dΦB
E
o
R
r
U
d
根据全电
0
dd
d
D
LL
tμ
=?=
∫∫
lHl
v v
流定律当 r<R时,
0
2π
B
r
μ
00
d
2d
E
Br
t
ε μ
→=
B
2
dRE
2
0
d(π )
d
rE
t
ε
=
2
d( )
当 r>R时,
0
2π r
μ
00
2d
B
rt
ε μ
→=
dE
0
π
d
R E
t
ε
=
(3)当 r=R时,
00
2d
R
BR
t
ε μ
=
πBREνε μ
349× 10
6
=-B
Rm
sin2π νt
m00mR
=
=3.49×
-
T.
16.7 麦克斯韦方程组
7.1电场的高斯定理是什么?7.2电场的环路定理是什么?
电荷激发有源场,其电位移为 D
1
,可得,
1
d
S
q?=
∑
∫
DS
v
电荷激发的电场是无旋场 (保守场 ),
其电力线不闭合,场强 E
1
沿任一闭合变化的磁场激发的涡旋电场是无源场,电位移线是连曲线的线积分为零,
1
d0
L
=
∫
El
v
变化的磁场所激发的电场是有旋场,其续的闭合曲线,电位移 D
2
对于任何闭合曲面的电位移通量都为零,
电力线是闭合曲线,场强 E
2
的环流为,
d0
∫
DS
v
m
2
d
dd
Φ?
=? =
∫∫
B
E lS
v
2
S
=
空间的电场通常由电荷和变化的磁场共同激发 总的
d
LS
tt?
空间的电场通常由电荷和变化的磁场共同激发 空间总电场强度为
,
电位移为 D=D
1
+D
2
,所以,
d q?=
∑
∫
DS
v
,
E=E
1
+E
2
,所以,
dd
=?
∫∫
B
El S
v
(16 24)
(16 25)
S
即,在任何电场中,通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭
LS
t
.
.
即,在任何电场中,电场强度沿任意闭合曲线的线积分 等于回路合面内自由电荷的代数和,
,
内磁通量随时间变化率的负值,
7.3磁场的高斯定理是什么?
传导电流 (包括运流电流 )
7.4磁场的环路定理是什么?
传导电流和位移电流都激发涡和位移电流激发的都是涡旋磁场,属于无源场,其磁感应线
d
d
D
I
Φ
=+
∫
H l
v
旋磁场,总磁场强度 H的环流为,
是连续的闭合的曲线,所以,
d
L
t
d0
S
=
∫
BS
v
(16.26) d( )d
LS
t
=+?
∫∫
D
H lS
v
δ (16.27)即,
即,在任何磁场中,通过任意闭合曲面的磁通量等于 0.
这四个联立方程称为积分形式的麦克斯韦方程组,
注意,为了研究带电粒子在电磁场中的运动,还要补充带电粒子在电磁场中的受力公式 F=q(E+v× B).
在研究物质和电磁场的相互作用时 还要知道物质的有关性质,.
麦克斯韦方程组是对宏观电磁场规律的完整系统的总结,
它可解释所有的宏观电磁现象 得出电磁场的各种性质,.
已知电荷,电流分布和电磁场的初始条件和边界条件,由方程组可给出电磁场的唯 一 解以及以后变化的全过程,解以及以后变化的全过程麦克斯韦方程组与狭义相对论也是完全相容的,
16.8 电磁波
81电磁波是怎么传播的?8.1
麦克斯韦电磁理论最伟大的成就之一就是预言了电磁波的存在及其性质 (1865年 ),后来经过赫兹用实验证实 (1888年 ),从而导致马年 年可尼首先研制出无线电电报装置 (1895年 ),开辟了无线电新纪元,
根据麦氏理论,当空间某处存在变化率随时间变化的电场时 (或变化的磁场 (或电场 )在较远的区域引起新的变化的电变化的磁场 )在邻近的区域就会引起随时间变化的磁场 (或电场 ).
场 (或磁场 ),这种变化的电场和变化的磁场交替产生,
由近及远,以有限的速度在空间传播就形成电磁波,
E
B
u
E
B
E
B
E
B
E
(1)电磁波的传播速度等于光速,
22
8.2 平面电磁波具有什么性质?
22
,
yy
E E
xt
εμ
=
22
zz
HH
xt
εμ
=
22
由麦氏方程组可以推导出沿 x轴方向传播的平面电磁波的微分方程,
与平面波动微分方程的 标准形式 比较
222
1yy
xut
=
测得 ε
0
=8.85415× 10
-12
F·m
-1
,
μ
0
=4π× 10
-7
H·m
-1
,
(16.28)得电磁波的传播速度为 1/u εμ=
在真 空 中的光速为
00
1/c εμ=
(16.29)
算得真空中的光速为
c=2.99793× 10
8
m·s
-1
.中的光速为
μ
()
理论值与实验值十分吻合,为光的电磁波理论提供了一个主要依据,
(2)电磁波是横波 电磁波中变化的电场 E垂直于变化的磁.
场 H,两者都垂直于其传播速度方向 u.E,H,u呈右手螺旋关系,
E
Y
u
E
(3)E和 H的频率和位相相同,
u
Z
X
o
H
H
(4)E和 H在大小上成正比,
E
Y
u
E
E Hε μ=
u
(16.30)
H
Z
X
o
B和 E的关系为,
H
和
B HE
ε
μμ
μ
==
E
Eεμ= =
u
例 16.9 某一在真空中的平面电磁波,其电场强度的振幅值为 求其磁感应强度的振幅值9.0× 10
-1
V·m
-1
,.
解,根据公式
E Hε μ=
在真空中有
00
E Hεμ=
1
9
90 10E
×
因此磁感应强度的振幅为
8
9.01
3.0 10 T
3.0 10
.B
c
= ==×
×
电磁波同时具有电场和 22
1
()ww w E Hεμ=+= +
8.2.1 电磁波的能量密度公式是什么?
(16 31a)
磁场的能量,其能量密度为,
em
2
由于,所以E Hε μ=
2
e
1
2
wEε=
.
2
1
()
2
H
μ
ε
ε
=
2
1
2
Hμ=
即电场的能量密度等于磁场的能量密度,电磁波的能量密度为,w=εE
2
=μH
2
,(16.31b)
8.2.2 电磁波的能流密度公式是什么?
电磁波的能流密度又称为电磁波的强度,是单位时间内穿过垂直于传播方向单位面积的能量 设波在时间 d 内垂直穿过面积.
u
能量为 dW=wdV=wsudt
E
S
t s,
穿过的体积为 dV=sudt,
udt
22
11
()S
,
能流密度为 S=dW/sdt=wu,H
us
即
1
2
EHε μ
εμ
= +
用坡印廷矢量表示就是 S=E× H (16 32)
即,
()
2
EH EHε μεμ
εμ
= +
EH=
×,,
电磁波能流密度 S的方向与电磁波传播速度 u的方向相同,
电能和磁能分别贮存于电场和磁场之中,而不是为电荷
8.2.3 电磁波的能量是怎么传送的?
和电流所携带,电磁能量也是由电磁场来传送的,电流和运动电荷本身并不传送电磁能量,
直流电源与负载电阻组成回路 导
R
+++
+
--- -
S
S
SS
一,导线的电阻忽略不计时,导体内无电场,
即 E=0,由 S=E× H可知,导体内无能流,
+ +
+ + +
+
+
+
+
---
-
-
-
-
- S
S
S
SS
S
SS
E
+ + + +
即 由 ×
连接电源正极的导线表面带正电荷,
连接电源负极的导线表面带负电荷,导
+ + +
+
+
----
-
-----
-
-
ε
S
S
S
S
SS
B
B,
H
I
I
线外表面即有磁场,还有电场,形成能流,
在电源正极附近表面取一点,电场强度 E的方向是
SS
E
,
H
其他点都可向下的,磁感应强度 B和磁场强度 H的方向是垂直屏幕向里的,根据右手螺旋法则,能流密度 S的方向向右,
能量的传送是由电源向外辐射 主要经导体外表面以用这种方法确定能流
,
的空间传递,再由负载电阻外部空间进入负载电阻,
发电厂发出的强大电能是由高压输电线的外表面的空密度的方向,
间输送到远处的用户,而输电导线内部是不输送能量的,
例 16.10 同轴电缆的内导体圆柱半径为 a,外导体圆筒半径为 b,电流由圆柱流出,由外圆筒流回,设电缆导体的电阻可忽略 试证明单位时间内通过 和 之间的绝缘介
a
b
ε
,a和 b
质的环形横截面的电磁能量正好等于电源提供的功率,
证明,设电缆中的电流强度
I
H I
电缆外也没有电场为 I,电源的端电压为 U,忽略导体电阻时,导体内就没有电场,
E
S
和磁场,因此,能流只存在于绝缘体中,
R
设导体的电荷线密度为 λ,绝缘体的介电常数为 ε,电场为
E=λ/2πεr,方向沿着径向,柱和筒之间的电势差为,
1
bb
λ 1U
bλ
dd
2π
aa
UEr r
rε
==
∫ ∫
ln( / )
E
bar
=
磁场的磁力线是与电缆共轴的圆环 磁场强度大
rdr
ln,
2π aε
=
,
小为 H=I/2πr,
坡印廷矢量方向沿着轴向,大小为
1UI
SEH==
在介质截面 上 取 一 面积元 ds=2πrdr,
2
.
2πln( / )bar
取 面积元单位时间内通过截面的能量如下
d
d
W
=?
∫
Ss
1
2π d
b
UI
rr=
∫
1
d
b
UI
rUI==
∫
d
S
t
可见,绝缘介质是能量的通道,导体反而是能量传输的禁区,
2
2πln( / )
a
bar
ln( / )
a
ba r
8.2.4 电磁场的动量公式是什么?
1
根据相对论的质能关系,单位
1w
电磁波的能量密度为
()
2
wDEBH=+
体积内的电磁波的质量为
22
()
2
mDEBH
cc
= =+
对于平面电磁波 单位体积
1
()
w
DE BH
,
内的动量,即动量密度为
2
p mc
cc
= == +
电磁波动量的方向沿着波的传播方向,
正是由于电磁波具有动量,所以当它入射到一个物体表面上时会对表面有压力作用 这就是辐射压强或光压早在 1920年列别捷夫就用实验证实了电磁波对实物具有压力,
,.
16.9 电磁振荡 电磁波的辐射和传播
9.1.1 什么叫电磁振荡?
在含有 电 容和 电 感的 电 路中,电量 和 电 流,电 场和 磁 场容和 感的 路中 和流 场作周期性的变化,称为电磁振荡,其电路称为振荡电路,
(1)先将电容器充上最大电量 Q
m
.
9.1.2LC电路中的电量和电流和能量是怎么变化的?
然后通过电感放电,电量逐渐减少,由于自感电动势的作用,电流只能逐渐增大 ;
电流 自感电 势作功 电容 的电
()
+Q
m
L
C
反抗 自感电 动 势作功,器 的电场能逐渐转化为自感线圈的磁场能,
-Q
m
放电结束后 极板上电荷为零 回路中电流
+q i
(2)电流减小时 自感电动势变为与电流同
,,
达到最大值 I
m
,电感中的磁场能也最大,
-q
L
C
,
向,给电容器反向充电,使其电量逐渐增加 ;自感线圈中的磁场能转化为电容器中的电场能,
I
m
L
C
反向充电结束时,回路中电流为零,电容器极板上的电量达到最大 值 Q
m
,但符号与开 始 时相反,
+Q
-Q
m
L
C
电容器以后又反方向放电和充电,形成一个周期,这个过程不断重复,如果回路中无电 也无辐射 电路中的能量就 有损值 始
i
+
-q
m
阻,,没 有损耗,这种电磁振荡称为无阻尼自由振荡,
q
9.1.3 LC电路电磁振荡的方程是什么?
在不计电阻的纯 LC
C充电时,L中感应
C放电时,线圈 L中电路中,电容器 C的电压从正极板指向负极板,
电动势的方向与 i
的方向相同,与回中感应电动势的方向与电流 i的方向相反,
顺此方向取一个回路,
当 C的电量为 q时,其电压为,U
C
=q/C,
+q
C L
i
q
C L
i
路方向也相同,
与回路方向相同 ;
电路中的电流为,i=dq/dt,
L中的感应电动势大小为,U
L
=Ldi/dt,
-q +q
-
d
0
d
iq
L
C
+ =
根据全电路欧姆定律可得,U
L
+U
C
=0,
即,,或,亦,
2
2
d
0
+ =
其中,
2
0
1/LCω =
2
2
0
2
d
0
d
q
qω+ =
i i
t
即 或 亦
dtLC
t
这是振动的微分方程,其解为 q=Q
m
cos(ω
0
t+φ)(16.33)
求导得电流,i=dq/dt=-ω
0
Q
m
sin(ω
0
t+φ)=I
m
cos(ω
0
t+φ +π/2)
式中 Q
m
为电荷振幅,I
m
=ω
0
Q
m
为电流振幅,φ为初相位,(16.34)
在无阻尼自由电磁振荡过程中,电量和电流随时间作周期性的变化,振幅不变,电流的位相超前电荷位相 π/2.
9.1.4 LC电路电磁振荡的周期和频率的公式是什么?
根据公式
2
0
1
LC
ω =
2
,可得电磁振荡的圆频率为
0
1
LC
ω =
振荡周期为 (16.35)
0
0
π
2πTLC
ω
==
11
0
0
2π
T
LC
ν ==振荡频率为 (16.36)
由此可见,振荡周期和频率由振荡电路中本身的性质决定,因此分别称为固有周期和固有频率,
L和 C越小,电磁振荡的周期越小,频率越大,
9.1.5 LC电路电磁振荡的能量的公式是什么?
电容器 C的极板上带电
22
2
m
cos ( )
Wtω?== +
量为 q时,C中电场能量为,
这时回路中电流强度为 i,
线圈 中的磁场能量为
e0
22CC
222
mm0
11
sin ()
22
WLiLI tω?= =+
L,
由于,所以
222 2
m0m m
1
I QQ
LC
ω==
2
2
m
m0
sin ( )
2
Q
Wt
C
ω?= +
在任意时刻系统的总能量为,
2
2
m
em m
1
22
Q
WWW LI
C
=+= =
在无阻尼自由振荡的电路中 电场能量和磁场能量都随时间,
变化并相互转化,但是在任意时刻,总的电磁能量保持不变,
如果回路中有电阻或电如果在电路中加 一 周期性变化的电磁辐射时,回路中的电磁能量将逐渐减少,电量和周期性变化的电动势,由于有能量补充,电荷和电流的振幅保持不变,这种在外加周期性电动势电流的振幅将随时间衰减,
这种电磁振荡称为阻尼电作用下的电磁振荡称为受迫电磁振荡,
受迫电磁振荡达到稳定之后,振荡频率磁振荡,其特征和运动规律与阻尼机械振动类似,
等于外加周期性电动势的频率,振幅和初位相由电路特征和外加电动势决定,
9.2.1 电磁波是怎么发射的?
在振荡电路中,线圈中的磁场和电容器中的电场做周期性的变化,
根据麦氏电磁场理论,变化的电场和磁场将交替地相互激发而形成电磁波,因此,振荡电路可用来发射电磁波,
但是前述的 LC振荡电路频率很低,电场和磁场基振荡频率越大,电磁波的辐射强度越强,为了有效 地 发射 电磁 波,就 必本集中在电容器和线圈中,不便于发射电磁波,
i
++
发射 波 就须提高振荡频率并形成开放电路,
+q
CL
+q
C
L
i
q
i
q
i
-q
-q
i
-q
i
-q-q +q
(1)减少电容就是增加两板的间隔,
(2)减少电感就是减少匝数,最后演化成一条直导线,
电流在直导线中往返振荡 导线两端交替出 负等量异号减小两板的面积,到不用平板,
,现正 负等量异号电荷,这种电路叫做振荡偶极子,这是有效发射电磁波的振源,
9.2.2 电磁波的辐射强度与什么有关?
在振荡电路中,电荷变化为,q=Q
m
cosωt,其中 Q
m
是电荷最大值,
设 l为导线长度,电偶极子为,p=ql=p
m
cosωt,p
m
=Q
m
l是电矩振幅,
振荡偶极子可视为周期性变化的电流元 il:
il=ldq/dt=-lωQ sinωt=-lI sinωt=-ωp sinωt
可以证明,振荡偶极子在很远的场点 P产生的电场和磁场分别为,
2
m
sin
cos ( ) cos ( )
prr
EE t t
ωθ
ωω==
(16 36 )
S
H
m m m
,
0
2
,
4πuur uε
=? =?
2
m
sin
cos ( ) cos ( )
p
HH t t
ωθ
.36a
(16 36b)
+q
r
θ
P
E
0
4πuur u
=?=?
其中 r为偶极子中心到场点 P的距离,θ为矢径 r与电偶极子轴线之间的夹角 为电磁波是介质中的波速1/ εμ
.
-q
i
,.u =
在距离振荡偶极子很远的线度不大的区域,
振荡偶极子辐射的电磁波可视为平面简谐波,
42 2
m
sin1 p
SEH
μωθ
==
(16.37)
能流密度大小为 S=EH,平均辐射强度为,
00
22
22(4π) ur
可知,平均辐射强度与电偶极矩 p
m
的平方成正比,与角频率 ω的四次方成正比,与距离 r的平方成反比,还与方向因子 sin
2
θ成正比,
在实际运用中,角频率要在几十万赫兹以上才会有显著的辐射,
例 16.12 设广播电台的平均辐射功率为 =15kW,辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,求,(1)
离 度
P
在 离 电台 r=10km处的辐射强 度,(2)在 r=10km处的电磁波可看作平面波,该处电场强度和磁场强度的振幅为多少?
解 (1)在 处的平均辐射强度为
P
解,在 r,
5-2-1
2
2.39 10 J m s
2π
S
r
= =×
(2)辐射强度的瞬时值为,
2
cos ( )
r
SEHEH tω
00
c
= =?
平均辐射强度为,
2
00 00
11
cos ( )d
T
r
SEH ttEHω=?=
∫
0
2Tc
由于电场和磁场的关系为,
00 0 0
E Hεμ=
00
1/c ε μ=
,光速为,
所以
22
00
000 000 0 0
11
2
222
c
SEH EE EE
ε ε
με
μμμ
===
-1
00
2 / 0.134V mEScε= =?
可得电场强度的振幅,
同理可得磁场强度的振幅,
41
00
2/ 3.5,610AmHScμ
==×?
矢量的混合积的几何意义是什么？
设有矢量 a,b,c,则 a和 b的叉积为 S=a× b,S仍为矢量,则 和
S与 c的点积为 V=S·c.V是一个标量,
三 个矢量的混合积为 V=a× b·c,用符号 [abc]表示,
设 a与 b的夹有为 α,则 S=|S|=|a× b|=absinα =ah,
可见 S表示边长分别 和 b的平行四边形
b
S
,a和的面积,S的方向用右手螺旋法则确定,
设 S与 的夹有为 β 则 S β S
c
α
β
h
H
设 与 c β,则 V= ccosβ =SH,
可见,混合积 V=[abc]表示边长分别 和 的平行六面体的体积
a
α
c
b
别 a,b和 c,
讨论,(1)如果 a,b和 c两两垂直,则立方体的体积为 V=abc.
a
(2)立方体的体积也可以表示为 V=b× c·a=c× a·b,
即 [abc]=[bca]=[cab]
(3)如果 a=b或 b=c或 c=a,即有两条边重合,则体积 V=0.
即 ][ ][,
如何用行列式计算矢量的混合积？
设有矢量 a,b,c,其中 a和 b的叉积为 S=a× b,S仍为矢量,S与 c的点积设 a=a
1
i+a
2
j+a
3
k,b=b
1
i+b
2
j+b
3
k,c=c
1
i+c
2
j+c
3
k,其中 i,j,k为单位矢量,
为 V=S·c.V是一个标量,V=a× b·c,用符号 V=[abc]表示,称为混合积,
利用 i× i=j× j=k× k=0和 i× j=k j× k=i k× i=j 可得
S=a× b=(a
2
b
3
-a
3
b
2
)i+(a
3
b
1
-a
1
b
3
)j+(a
1
b
2
-a
2
b
1
)k.
用行列
ijk
利用行列
× × × 和 ×,×,×,
aaa
式表示就是,
123
aaa
bbb
=S
式的性质可得,
123
123
bbb=S
ijk
123
利用 i·i=j·j=k·k=1
和 i j j k k i 0 可
123
[]
aaa
Vbbbb
讨论,(1)如果
a=ai,b=bj,c=ck,
和 · = · = · =,可得混合积为,
bbb
123
123
ccc
= =a c
则
a
Vb=
=abc.
利用行列式的性质还可得
123 123
123 123
ccc
Vccc aaa==
(2)如果 a=b或 b=c或
c
:
123 123
aaa bbb
即,V=[abc]=[bca]=[cab].
c=a,则有两行相等,行列式为零,即 V=0.
试证明导体的热功率密度公式,
2
1
wE
ρ
=
其中 E为导体中的电场强度,ρ 为导体的电阻 率,
设一长为 l横截面积为
S的柱形导体 其电阻为,
l
R
S
ρ= l
度 ρ 率
,
当通过的电流为 I时,根据焦耳定律,在 t时间内产生的热量为,
2
QIRt=
S
I
在
22 2
()llS
根据欧姆定律,导体两端电压为 U=IR,因此,
2
U
Qt
R
=
U
导体内的电场强度为 E,则 U=El,可得,
El E lS EV
Qttt
l
S
ρ ρ
ρ
===
则 UEl
导体产生热的功率为,
2
QEV
P
t ρ
==
单位体积内产生热的功率,即热功率密度为,
2
P E
w
V ρ
==
此式对于其他形状的导体也成立,
波动微分方程的标准形式是什么？
设一向 x方向传播的平面波为
cos ( )
x
yA t
u
ω=?
其中,A表示波的振幅,ω表示圆频率,u表示波速,x表示波
y对时间 t求 一 阶偏导数得
sin ( )
yx
Atωω
=
的位置,y表示波动的物理量,例如位移和电场强度等,
阶偏导数得
tu?
对时间 t求 二 阶偏导数得
2
2
2
cos ()A tω ω
=
(1)
阶偏导数得
y对位置 x求一阶偏导数得
1
sin ( )
yx
At
xu u
ωω
=
对位置 x求二阶偏导数得
2
22
2
1
()cos( )At
xu u
ωω
=
(2)
22
222
1yy
xut
=
(1)式除以 u
2
等于 (2)式,即这就是波动微分方程的标准形式,
例 16.1 在均匀磁场中有一半径为 R的半圆形导线,导线所在平面与磁场垂直,导线以速度 v沿导线的对称轴方向向上
p
AB
运动,求导线中的动生电动势 ε并判断导线两端电势的高低,
解,利用动生电动势公式
B
d
B
A
ε = ×?
∫
vB l
v
v
在半圆上取一线元 dl,其大小为 dl=Rdθ,
速度 v的方向与磁感应强度 B的方向相互垂直 × B大小为 B 方向水平向左
θ
R
v×
B
ε
AB
dl
,v× v,,
与 dl的夹角为 π/2+θ,所以
o
π
∫
A B
θ
x
0
cos(π
AB
vBε =
π
sin dvBR θ θ=?
∫
π
cos 2vBR vBRθ= =?
/2 ) dRθ θ+
v
o
dx
0
0
由于积分路径是从 A端经圆弧到 B端,所以负号表示电动势的方向从 B端经导线指向 A端
2R
x
端,
讨论,由于 dlsinθ =dx,可得可见,半圆形导线产生的电动势的大小等于长为 2R的
sin d d
RR
vB l vB xεθ=? =?
∫∫
导线以速度 v在垂直于 B的磁场中运动产生的电动势,
AB
xR R=
==
2
AB
vB Rε =?
即
16.2 动生电动势
1 怎样计算在 U形框上运动的导体棒的动生电动势?.
动生电动势是导体在磁场中运动而产生的,U形框放在垂直于磁场 B的平面内,导体棒长为 l,以速度 v向右运动,经过时间 dt,
l ε v
A
导体棒运动的距离为 dx=vdt
导体棒扫过的面积为 dS=ldx=lvdt
闭合面内磁通量的变化为
dx
B
dΦ =BdS=Blvdt
感应电动势的大小为 ε=dΦ/dt=Blv
速度 和磁感应强度 B与电动势 的方向正好垂直 可用右手定则由于磁场不变 回路中磁通量的变化是由导体运
v ε,
确定感生电动势的方向,回路中电动势的方向为逆时针方向,
A
,
动引起的,因此可认为电动势只存在于导体棒 AB中,
当 导体棒 AB向右运动时 棒内自由电子被带着以相
v
-
+
A
当,
同速度 v运动,自由电子因受洛仑兹力由 A向 B运动,
使 B端聚集负电荷,电势低 ;A端剩余正电荷,电势高,
B
ε
B
-
f
B
使因此导体棒相当于一个电源,
2.动生电动势的一般公式是什么?
导体棒作为一个电源,其非静电力是洛仑兹力,
A
+
一个电子受的洛仑兹力为 f=-ev× B,
非静电力场强为 E
k
=f/(-e)=v× B,
dε
v
dl
在棒上产生的动生电动势为
dd
BB
k
ε =?= ×?
∫∫
El vBl
(16.4)
在线元 dl上产生的动生电动势 dε=E
k
·dl=v× B·dl,
B
B
-
-
f
.
AA
这个普遍公式对于非均匀磁场中作任意运动的任意形状的导线都成立
A
+
dl
v× B
I
θ
.
讨论,设 v与 B的夹角为 α,则 |v× B|=vbsinα,若
v× B的方向与线元 dl的夹角为 θ,线元上的动
B
dε
v
×
θ
生电动势为 dε=(vBsinα)cosθ dl,
导体棒上的动生电动势为
cos d,
B
A
vB lε θ=
∫
B
-
当 v和 B垂直时,则得 d θ dl
:
当 v× B的方向与线元 dl的方向在 一 条直线上时 则得,
如果 v和 B还是常量,可得 ε=Blv.
d.
B
A
vB lε =
∫
得 ε=vBcosθ,
条直线上时,
这是导体棒在 U形线框上垂直于磁场中横向运动时的动生电动势,
量例 16.2 一无限长竖直导线上通有稳恒电流 I,电流方向向上,导线旁有一与导线共面,长为 L的金属棒 OM,绕其一端 O在该平面内逆时针匀速转动,转动角速度为 ω,O点到导线的垂直距离为 r
0
,(r
0
>L).试求金属棒转到与水平方向成 θ 角时,棒内感应电动势的大小和方向.
解,当导线转到与水平方向成 θ角时 在棒上解,
取一线元 dl,其大小为 dl=dr,速度大小 v=rω.
y
I
M
L
d
线元到 I的距离为 R=r
0
+rcosθ,此处的磁感应强
v
0
2π
I
B
R
μ
=
x
O
θ
R
r
r
0
2π
Iμ
=
0
1
cosrr θ+
Rr
度大小为
L
由于 v垂直于 B,所以 v× B的大小为 vB,方向与 dl的方向相反,因此
B
0
dcosπd
L
vB rε =×?=
∫ ∫
vB l
0
Iμω
r
0
d
L
r
∫
00 00
cos d( cos )
[d ]
L
I rr r rrμ ωθ θ++
∫
2π
=?
负号表示动生电动
00
cos
(l )
I rL
L
μ ωθ
θ
+
即
0
0
cos
r
rr θ+
0
00
()
2πcos cos cos cos
r
rr rrθ θθ θ
=
势的方向由 M指向 O.
0
2
0
( cos ln
2πcos
r
r
εθ
θ
=即例 16.3 有一金属环,半径为 r,由电阻分别为 R
1
和 R
2
的两个半圆组成 ;均匀磁场 B(t)垂直通过圆环所围的平面,且磁场正在增加,dB/dt>0.试分析三种不同情况,R
1
>R
2
,R
1
<R
2
和 R
1
=R
2
时两半圆接口处 A和 B的电势差,并作出物理解释,
解 由于磁场在增加 根据楞次定律 感应电流
A
ε
解,,,
的磁场将阻碍外磁场的增加,其方向与原磁场的方向相反,所以感生电动势为逆时针方向,
B
r
R
1
R
I
整个圆环中感生电动势均匀分布在圆周上,
与电阻分布无关,其大小为 ε=πr
2
dB/dt
B
2
根据全电路欧姆定律,圆环中产生的感生电流为 I=ε/(R
1
+R
2
)
取左边路径从 A到 B 根据 段含源电路的欧
RRε?
到,一 段含源电路的欧姆定律,A和 B之间电势差为 U
A
-U
B
=IR
1
-ε/2,即,
12
12
2
AB
UU
RR
=
+
当 R >R 时 A点电势高于 B点电势 ;当 R <R 时 A点当
1 2
时,当
1 2
时,点电势低于 B点电势 ;当 R
1
=R
2
时,A和 B点电势相等,
当环形回路中电阻不均匀时,在不当回路电阻均匀分布时,就均匀处将出现电荷积聚,这些电荷将产生静电场,使回路出现电势差 ;
不会出现电荷积累,不产生静电场,整个回路是等势体,
例 16.4 一半径为 R,长为 L,电阻率为 ρ 的金属圆柱体,处于由交变电流产生的轴向交变均匀磁场
B=B
0
cosω t中,求金属圆柱体中涡流的热功率,
解,由于轴对称性,在圆柱体内取一半径为 r的圆面,其法线方向与磁场 的方向平行 取周长为环路 其绕向与涡旋电场的方向相同B ;,.
dd
k
t
=
∫ ∫
B
E lS
v
,可得
2π
k
rE
R
I
r
2
d
π
d
B
r
t
=
根据公式涡旋电场为
0
d
sin
2d 2
k
rB r
E Bt
t
ω ω==?
22
1 B
L
r处的瞬时 热功率密度 为
222
0
sin
4
k
wE r t
ω
ω
ρρ
==
取 一 半径为 r 厚度为 dr的薄柱壳 体积为 dV=2πrLdr半径为,,
整块金属的瞬时热功率为,
22 4
0
π
)
8
m
BLR
W
ω
ρ
=
(最大值,
22
23
0
0
π
dsind
2
R
V
BL
WwV trr
ω
ω
ρ
==
∫ ∫
2
sin
m
Wtω=
22 4
TT
22 4
2
0
π
sin
8
BLR
t
ω
ω
ρ
=
平均热功率为
2
0
00
π11
dsi,nd
216
m
m
WBLR
WWtW t
TT
ω
ω
ρ
== ==
∫∫
