第 5篇 量子物理学第 篇主要内容量子力学基础激光与固体电子学简介原子核和粒子物理简介
17 量子物理学基础主要内容热辐射和普朗克能量子假说光的粒子性氢原子光谱和玻尔理论粒子的波动性薛定谔方程氢原子的量子力学处理电子自旋和四个量子数原子核外电子的壳层结构本章导引本章从历史的发展和逻辑演绎的角度,介绍量子物理学的基本概念,基本思想和主要结论及应用,量子力学是关于微观粒子基本性质及其运动规律的理论 是现代物量子力学
,
理学的两大重要支柱之一,其发展大致分为三个阶段,量子概念的诞生 量子概念的发展和量子力学理论的建立,.
量子力学为了解释黑体辐射的实验规律 普朗克假设电磁爱因斯坦受到启发,进一步认为,电磁波是由许多不的诞生
,
辐射与黑体相互作用时所交换的能量不能连续变化,
连续的能量单元组成的,称之为光子,从而提出光量子引入了量子化的概念,理论,成功解释了光电效应,
人们据此认识到光兼有波动性 玻尔认为氢原子和粒子性,即波粒二象性,康普顿将光量子论应用于 X射线散射实验量子力学的发展光谱不连续分布是能量状态不连续的的结果分析,再次证明光量子理论的正确性,还揭示出微观世界中单个光子和单个电子之间的碰撞过缘故,提出定态假设和量子跃迁假设,很好地解释了氢原子程仍然满足动量和能量守恒定律,光谱的实验规律,
量子力学德布罗意通过类比分析和综合概括,将光的波粒二象性推广到微观粒子和实物粒子,进而推广到所有物质 提出物质波理论 给出了计算物质波波长和的建立
,,
频率的德布罗意公式,这个理论很快得到证实,
薛定谔引入描述德布罗意波的数学函数 —波函数,
用以描述微观粒子运动状态,并找到了波函数所满足的方程 —薛定谔方程,这是量子力学的基本方程,
玻恩等人提出波函数的统计性解释,揭示了物质波本质上是一种概率波,正是通过概率波的形式,将经典力学无法相容的粒子性和波动性统 起来 概一 起来,概率波必然导致不确定性,从而引出不确定关系,
一 维无限深势阱和氢原子是两个能用量子力学典型问题 理论严格求解的典型问题,所用的方法和步骤具有一般性,据此可讨论量子力学和经典力学的关系,
势垒贯穿和隧道效应是典型的量子效应,在许多实际问题中有着重要应用,
引入自旋的概念 结合薛定谔方程对原子问题进行量子效应
,
处理,可用四个量子数描述核外电子的“运动状态”,
量子数注意,
(1)理 解黑体辐射,光电效应和氢原子光谱的()
主要实验规律及经典物理学在这些问题上所碰到的困难,从而理解量子假说提出的必要性,
解能 假说 论氢原的玻尔论(2)理 量子 假说,光量子理 论 及 氢原 子 的玻尔 理 论,
(3)理解德布罗意波理论及波长和频率的计算公式,
(4)理解波函数的统计性解释 性质,
及所满足的条件,理解不确定性关系,
(5)理解薛定谔方程 一 维无限深势阱问题 势垒贯穿和,,
隧道效应,理解量子力学处理氢原子所得到的主要结论,
(6)理解电子自 旋,理解描述 核 外电子的“运() 旋 核动状态”的四个量子数,理解核外电子的排列规律,
量子理论的发展
19世纪后期 以牛顿力学 经典统计力学和麦克斯韦电磁理论为,,
主要支柱的经典物理学已经趋于完善,强有力地推动了当时科学技术的发展,经典物理学至今依然在科学技术中发挥着重要作用,
随着物理学的进一步发展,19世纪以来一系列新的实验事实与经典物理学理论发生了尖锐的矛盾,
例如,对热辐射,光电效应,X射线散射,原子光谱,原子结构,固体比热以及光速等问题,经典物理学都无法作出合乎逻辑的解释,
为了说明这些实验结果,人们突破了经典物理学的束缚,提出了一些新的假设和概念,并在实践中接受检验,不断修正和发展,
逐步建立起了以相对论和量子论为主要支柱的近代物 论 理理 论,
这些理论不仅大大促进了 20世纪的高科技的发展,而且必将对 世纪新的高科技的发展产生广泛 远的影响21 深 远的影响,
同时也是新世纪发展和建立科学新理论体系的重要基础,
17.1 黑体辐射和量子论的诞生
1.1.1 什么是热辐射?
任何物体在任何温度下都要向外辐射各种波长的电磁波,这种辐射称为热辐射,实验表明,物体的热辐射与温度有关,以铁为例在低温时其热辐射以不可见的红外线为主(1) ;
(2)约 500℃ 时有暗红色的可见光出现 ;
(3) 约 1500℃ 时开始发白光 约 ℃ ;
(4)温度进一步升高时由白变蓝,
由此可见 热辐射与温度密切相关 随:,随着温度升高,短波长辐射丰富起来,
同一物体在不同温度下的热辐射情况是不同的,
就是说,热辐射能量按波长的分布的规律是不同的,
1.1.2 什么是单色辐射本领和辐射本领?
物体表面单位面积在单位时间内,在波长 λ附近单位波长间隔内辐射的电磁波能量称为单色辐射本领或单色辐出度,用 M
λ
(T)表示,其单位是瓦 ·米
-3
(W·m
-3
).
对于确定的物体,M
λ
(T)是温度 T和波长 λ的函数,
单位时间内从物体表面单位对于给定的物体 只是其面积上所发射的各种波长的总辐射能称为辐射本领或辐出度,
,
温度的函数,用 M(T)表示,
其单位是瓦 ·米
-2
(W·m
-3
)米,
在一定温度时,物体的辐射本
() ()dMT M T λ
∞
=
∫
(17 1)
领和单色辐射本领的关系为
0
λ
.1)
实验表明,在相同的温度条件下各种不同的物体,特特别是表面的情况 (如粗糙程度等 )不同时,M
λ
(T)的量值是不同的,与此对应的 M(T)的量值也是不同的,
1.1.3为什么说辐射本领大的物体其吸收本领也大?
一 定温度下的物体不但向周围辐射电磁波 同时也吸收,
外来的电磁波,而且,辐射本领大的物体,其吸收本领也大,
设想一个抽成真空的系统,系统内有多个物体且彼此之间隔有一定的距离,
实验表明,不管初始情况如何,经
A
1
A
2
A由于系统处于真空中 各物体不可过一定的时间后,系统将达到热平衡,各物体的温度相同并维持不变,
n
,
能通过对流和热传导交换能量,热平衡是通过热辐射交换能量达到的当系统处于热平衡时,物体还要吸收和辐射能量,吸收多少能量就辐射多少能量,因此,物体的吸收本领大,其辐射本领就强,
.
一般物体对外来的电磁波只是部分吸收,其吸收本领除了和温度有关外,还和物体的结构及表面情况有关,并且表现出对波长的选择性,
1.1.4 什么是黑体?
一 般物体对外来电磁波只能部分吸收,其吸收本领除了与温度有关外,还与物体的结构和表面情况有关,表现对波长有选择性,
能够全部吸收各外来电磁波的物体称为绝对黑体,简称黑体,
用不透明材料做成 个空腔 在腔壁上开有 个很小的孔 射注意,黑体如同质点一样是一种理想模型,是对实际情况的一种近似,在自然界中并不存在,但是自然界中有许多物体的行为接近黑体,
一 个空腔,一 个很小的孔,射入小孔的电磁波被空腔内壁多次反射,每反射一次就有一部分能量被内壁表面吸收 最后由小孔射出去的辐射能量几乎为零,.
这种小孔空腔可近似当作黑体,
当空腔处于温度 T时,从小分光时孔发射的电磁辐射就相当于面积等于小孔面积,温度为 的绝 体表面的辐射分光热电偶探测器为 T 对黑 体表面的辐射,
黑体辐射在热辐射中占有特殊的地位,具有重要的理论与实际应用价值 因此 在研究热,,
辐射时特别注意对黑体的辐射情况进行研究,
1.2.1 黑体辐射的实验定律是什么?
在一定温度下,通过实验测得绝对黑体的
M
λ
(T)
单色辐射本领是一条关于波长的凸形曲线,
(1)每一条曲线的 M
λ
(T)都有一个极大值 (峰值 ) 也就是最大的单位色辐射,
本领,最大值的波长 λ
m
,称为峰值波长,
实验测得,随着温度升高 峰值波长向短,
波方向移动,关系为 Tλ
m
=b,(17.2)
其中 b=2897× 10
-3
m·K 称为维恩常数,2.897×,.
公式称为维恩位移定律,
(2)每 一 条曲线下的面积就是辐条曲线下的面积就是辐射本领,实验测得 M(T)=σT
4
,(17.3)
其中 σ=567× 10
-8
W/(m
2
·K
4
)5.67×,
称为斯忒藩常数,
公式称为 斯忒藩 玻尔兹曼 定律-,
1.2.2 黑体辐射的规律是什么?
为了找出与实验曲线对应的理论解释 物理学家们作出了不,
懈的努力,其中,所有在经典物理学范围内进行的种种尝试都失败了,其理论预言和实验结果相去甚远,唯有普朗克的工作突出,
1900年,德国物理学家普朗克在对实验曲线作了详细分析的基础上,用内插法找到与实验曲线对应的数学公式,
25
1
() 2π
exp( / ) 1
MT hc
hc kT
λ
λ
λ
=
(17.1)
其中,c是真空中的光速,k是玻尔兹曼常数,h=663× 10
-34
J·s,称为普朗克常数,数 6.63×
公式与黑体辐射实验吻合得很好 根据公式还可推出维恩位移这促使普朗克对该式背后蕴含的物理本质进行好,
定律和斯忒藩 -玻尔兹曼定律,
更深入的分析和思考,
1.2.3 普朗克能量子假设是什么?
普朗克发现,为了从理论上推导出黑体辐射,必须做两条假设,
(1)黑体辐射由一系列带电谐振子组成,每个谐振子的能量只能是某最小能量 ε的整数倍,E=nε,(n=1,2,3,…) (17.5)En 1,2,3,…) (17.5)
对于频率为 ν的谐振子,其最小能量为 ε=hν (17.3)
ε称为能量子,h称为普朗克常数,
(2)谐振子在一定状态下既不辐射能量,也不吸收能量,只有当其状态发生变化时才伴随有能量的辐射和吸收,并且向外辐射或从外界吸收的能量也只能是最小能量单元 ε=hν的整数倍,
注意,能量子假设和经典物理学是不相容的,
在经典物理学中 谐振子的能量是连续变化的 在新的观点面,,
前,许多熟悉和精通经典物理学的物理学家保持着旧观点,他们认为 能量子假设仅仅是处理黑体辐射问题的 一 个有用的技巧,个有用的技巧,
在理论上没有什么意义,连普朗克本人也一度发生了动摇,
这时,以爱因斯坦为代表的新 一 代物理学家,打破旧的观念,在代物理学家 在解释光电效应等问题中,将普朗克的假设向前推进了一大步,
17.2 光的粒子性
211什么是光电效应?2.1.1
金属中的自由电子在光的照射下逸出金属表面的现象称为光电效应,
光电效应的研究对光的本性的认识和量子论的发展逸出金属表面的电子称为光电子,
212光电效应的实验原理是什么?
起着非常重要的作用,
2.1.2
石英对紫外线的吸收很小,光通过石英窗口后照射到真空管内的金属
A K
阴极 K上,阴极 K就释放出光电子,
逸出的光电子在加速电压 U=U
A
-U
K
G
UU
的作用下飞向阳极 A,从而在电路中形成电流,这种电流称为光电流,电流计 G
V
测量光电流的强度,
可变电阻用于改变电压的大小,开关用于改变电压的方向,
2.1.3 光电效应的实验规律是什么?
(1)单位时间内从表面逸出的光电子数和入射光强成正比,()
当入射光的强度 I和频率 ν一定时,在实验中测得光电流 i和电压 U的数据,作出 i-U关系曲线,不同的光强,就有不同的曲线,
取一定的光强,光电流随加速电压的增加而增加 当加速电压增加
i
I'
i'
m
,
到一定值时,光电流就达到一定的饱和值 i,此时,从阴极表面逸出
U
I<I'
i
m
m
的光电子全部被阳极捕获,
o
-U
s
实验表明,饱和光电流值 i
m
和入射光强成正比,
这说明单位时间内从表面逸出的光电子数和入射光强成正比,
(2)光电效应存在红限频率,
当加速电压逐渐减小至零时 光电流并不跟着降为零 而要,,
加一个反向电压且其大小达到某一数值 U
s
时,光电流才等于零,
可见,逸出光电子具有初动能 纵使加速电压为
U 称为截
i
,
零,光电子借助初动能仍可达到阳极形成光电流,
截止电压的存在说明逸出光电子的
s
止电压,
I<I'
i
m
I'
i'
m
初动能有一个最大值,当反向电压的数值等于截止电压时,初动能最大的
U
I<I
U
光电子也不能克服反向电场的阻碍到达阳极,光电流自然为零,
o
-
s
2
kms
1
2
E mv eU==(17.7)
截止电压 U
s
和逸出光电子的最大初动能之间满足的关系为其中 m为电子质量,v
m
为电子逸出金属表面时的最大初速度,
:
不改变光的频率 只改变光的强度 就会改变饱和电流 但是截止电,,,
压不变,说明对于同一阴极材料,光电子的最大初动能与光强无关,
在实验中改变入射光的频率 ν,得截止电压 U
s
与入射光频率 ν的关系,实验曲线为 一 直线,说明截 止 电压跟 入 射直线 电压跟 射光的频率成线性关系,U
s
=K(ν-ν
0
) (17.5)
比例系数 K是斜率,由于不同直线的斜率是相同的,所以 K是 一
U (V)
是个与金属材料无关的普适常量 ;ν
0
是直线与横坐标的交点,
光电子的最大初动能为
2.0
Na
s
Ca
2
ms 0
1
()
2
mv eU eK ν ν==?
(17.6)
ν
1.0
O
60 80 10
ν
01
ν
02
产生光电效应时,一定有光电子从金属阴极表面逸出,其初
6.0 8.0
14
10 Hz×
可见,ν
0
是产生光电效应临界频率,
动能 mv
m
2
/2≥0,因此 ν≥ν
0
.
ν 称为截止频率或红当入射光频率小于 ν
0
时,不论光的强度如何都不能产生光电效应 ;只有当入射
0
限频率,相应的波长称为红限波长,不同金属光频率大于 ν
0
时才会产生光电效应,的红限频率不同,
(3)光电效应具有“瞬时性”,
实验发现,只要入射光的频率大于红限频率,
不论光的强度如何,光一照射到金属表面就立即有光电子逸出 其延迟时间至多为
9
2.1.4 经典理论为什么不能解释光电效应?
,10
-
s.
光电效应实际上是光与物质的相互作用,
根据 经 典 理论,光 入 射到 金 属 上 时,金 属中的 电典 光射到属时子在入射光的交变电场中作受迫振动而获得能量,
获得的能量应该跟光的强度和光照时间有关,
对于任何频率的入射光,只要光强足够大或者照射时间足够长,总能产生光电效应,可是实验结果却不是如此,
由此可见,经典物理学遇到了无法克服的困难,
2.1.5什么是爱因斯坦光量子理论,如何解释光电效应?
爱因斯坦在普朗克量子假设的基础上,于 1905年提出辐射射线就是由粒子构成的假设,黑体辐射中光吸收和发射所表现出来的量子性是光的本性的反映,一束光就是以光速 运动的粒子流 这些粒子称为光量子 简称光子c,,.
(1)频率为 ν的光照射到金属表面时,一 个光子的能量可被 一 个频率为 ν的光子的能量为 ε=hν,(17.10)
个电子吸收而使其动能增加 hν,获得能量的电子可能逸出金属表面,
设电子从金属表面逸出时克服阻力所需要的
2
1
mv h Aν
(17 11)
这是爱因逸出功为 A,则逸出光电子的最大初动能为,
m
2
=?
.11)
光电子的初动能跟入射光的强度无关,而与入射光的频斯坦光电效应方程,
率 ν成线性关系 ;只有光子的能量 hν≥ A时才能产生光电效应,因此存在一个红限频率 ν
0
:ν
0
=A/h.(17.12)
(2)光的能量一次性地被电子吸收,这一过程需要的时间极短 所以光电
(3)入射光的强度大,说明光束中单位时间内入射的光子的数量多,照射到金属表面时所打出的光电子数目
,
效应具有瞬时性,
也多,所以光电流大,饱和电流也大,
2.1.6 如何用光电效应测定普朗克常数?
由于 mv
m
2
/2=hν-A,而 ν
0
=A/h,所以得 mv
m
2
/2=h(ν-ν
0
).
比较公式 mv
m
2
/2=eK(ν-ν
0
),得 h=eK,(17.13)
其中 h是普朗克常数,K是 U
s
-ν直线的斜率,其大小可根据实验测量,
1916年,怀疑光量子论的美国物理学家密立根重新对光电效应进行了仔细,精确的实验研究,测得 K之后,测得普朗克常数发现 U
s
-ν的关系确实是一条直线 其斜率是 h/e 测得 h之值为 657× 10
-34
J s,,6.57× ·,
实验结果跟普朗克的辐射公式导出的 h值符合得很好,有力地证明了爱因斯坦光量子假设的正确性,
2.1.7 什么是光的波粒二象性?
光同时具有波动性和粒子性,这 种性波动性用波长和频质称为光的波粒二象性,就是光的本性,
根据光量子理论,光子能量为 ε =hν.
率来描述,而粒子性用能量和动量表示,
根据相对论的能量 —动量关系 由此可见,能量和动量公式通过普朗克常数 h
将光的粒子性和波动
(17.14)
E
2
=p
2
c
2
+m
0
2
c
4
,
Eh h
p
cc
ν
λ
= ==
性定量地联系起来了,
由于光子的静止质量为零,其动量为,
例 17.1 钨的光电效应红限波长是 λ
0
=2.74× 10
-5
cm.
求,(1)钨电子的逸出功 ;(2)在 λ=200× 10
-5
cm的紫外光求 在 2.00×
照射下,光电子的截止电压为多少?
解,(1)光电子的逸出功为
0
A hν=
0
c
h
λ
=
34 8
7
6.63 10 2 10
2.74 10
×××
=
×
19
7.26 10 J
=×
(2)根据爱因斯坦的光电效应方程
2
m
1
2
hmvAν =+
和截止电压的方程
2
1
eU mv=
2
1
/Umve=
m
2
s
截止电压为
1
()hAν=?
hc A
=?
m
2
s
34 8 19
6.63 10 3 10 7.26 10
168V
××× ×
=? =
e eeλ
719 9
1.68V
2.00 10 1.6 10 1.6 10
.
==
× ×× ×
例 17.2 已知某 X射线的波长为 λ=7.1nm,求与之对应的 X光子的能量和动量,
解,根据爱因斯坦光子假说,光子能量为
hc
34 8
663 10 3 10
hε ν
λ
==
光子的动量为
h
17
9
6.63 10
2.8 10 J
7.1 10
× ××
==×
×
34
24 1
6.63 10
93 10 k
×
p
λ
=
-
9
9.31 gms
7.1 10
.
= =×
×
2.2.1 什么是康普顿散射?其结果是什么?
光通过不均匀物质时
1922年到 1923年 美国物理学家康普向空间各个方向散射出去的现象称为光的散射,
年,
顿和我国物理学家吴有训研究了 X射线经金属和石墨等物质的散射现象从 X光管 R发射出的 X射线被一块石墨 A散射,散射后的 X射线经 窄 缝 B
1
和 B
2
进入由 晶体 C和游离 室 D构成的光谱仪,从而测 量
.
窄 和散射 X射线的波长,B
1
和 B
2
是平行的狭缝,选择 X射线的方向,
散射角 φ
晶体 C
结果发现,在散射的 X射线中除波长不石墨 A
散射角 φ
窄缝 B
1
,B
2
晶体游离室 D
波长的变的部分之外,还有波长变长的成份,
这种波长变长的散射称为康普顿散射,
2
0
2sin
2
λλλ Λ=? = +
其中 Λ称为康普顿波长 测得窄缝电流计 G
改变为,
(17.15)
,
λ
0
是入射的 X射线波长,λ是散射的从康普顿散射还发现,原子量小
X光管 R
Λ=2.41× 10
-12
m.
波长,φ为散射角,Δλ随 φ的改变而改变,而与散射物质无关,
的物质,康普顿散射较强,原子量大的物质,康普顿散射较弱,
2.2.2 如何用光量子理论推导康普顿散射公式?
设电子的静止质量为 m
0
,碰撞之前是静止的,静止能量为 m
0
c
2
,入射光的能量为 hν
0
,用 n
0
表示入射光在传播方向的单位矢量,其动量为 hν
0
n
0
/c.
光子散射之后 电子反
h
c
ν
n
,
冲的速度为 v,能量为,
22 2
0
/1mc m c β=?
其中 β=v/c.动量为
2
0
/1mm β=?vv
0
0
h
c
ν
n
φ
光子能量变为 hν,动量变为 hνn/c,n表示散射光在传播方向的单位矢量,
根据能量和动量守恒定律得
222
/1hmchmcνν β++
mv
(17 16)
:
00 0
,+ = +?
02
///1.hchcmν νβ=+?nnv两式移项整理后平方如下,
22 22 24 2 2 2 24 2
22 2 /(1)hhmch hmchmcmcνν ν ν ν β++? +? =?
.
(17.17)
0000 00
,
22 22 2 0 222 2
2/(1).hh h mcvν ννν β+=?nn
其中 n·n
0
=cosφ,φ为散射角,将上式减下式,可得
24 2 2 22 2 2 2
00 000
2(1cos)2() ( )/(1)mc h h mc mc c vν ν?νν β+?=
等式右边算得为 m
0
2
c
4
,等式可化简为
2
00 0
() (1cos)mc hν ννν=?
h
整理得,
00
(1 cos )
cc h
mc
νν
=?
由于
c
λ
ν
=
所以
2
0
0
2sin
2
.
mc
λλλΔ=? =
(17.18)
康普顿波长为
34
12
31 8
0
6.626 10
2.426 10 m
9.106 10 2.998 10
h
mc
Λ
×
== = ×
×× ×
理论与实验值符合得很好,有力地证明了光量子理论的正确性,
康散中
2.2.3 如何用光量子理论解释康普顿散射?
中(1)康 普顿 散 射 中光子波长变长的原因是,光子跟自由电
(2)如果光子跟原子 中 的内层电子碰撞,由于内层电子被原子束缚得很紧 光子
(3)对于原子量大的物质 内层电子子或者束缚较弱的电子发生碰撞时要
,
将与整个原子发生相互作用,由于原子质量较大,碰撞质,
较多,康普顿散射较弱,原损失一部分能量,光子的能量变小,频率降低 波长增大用后光子能量损失较少,波长不会有显著的改变,所以散射中有原 射波长的光原子量小的物质,康普顿散射较强,,入 射波长的光,,
2.2.4 康普顿散射有什么意义?
(1)爱因斯坦的光子理论不仅能解释光电效应,还能解释康普顿散射 进步证
(2) 康普顿散射涉及的是个别光子与个别电子之间的相互作用,因而证实了能量和动量守恒与转换定律在微观粒
,进 一 步证明了光量子理论的正确性,子相互作用过程中也同样严格成立,
例 17.3 波长 λ
0
=7.08× 10
-11
m的 X射线经石墨产生康普顿散射,
求在 φ =π/2方向上的 X射线波长及石墨中电子的反冲动能,φ
解,根据康普顿公式得 X射线散射后波长的变化量为
2
2i
h?
λΔ
πh
34
12
6.63 10
×
0
2 sin
2mc
=
散射后的波长为
0
(1 cos )
2mc
=?
31 8
2.4 10 m
9.1 10 3 10
= =×
×××
根据能量守恒和转换定律,石 墨 中电
λ=λ
0
+Δλ=7.08× 10
-11
+2.4× 10
-12
=7.32× 10
-11
m.
石 墨子得到的动能等于光子失去的能量
Eh hνν=
cc
hh
0
()hc λ λ? hc λΔ
k0
34 8 12
17
6.63 10 3 10 2.4 10
921 10 J
×××××
0
λ λ
=?
0
λλ
=
0
λλ
=
10 10
9.21 10
0.708 10 0.732 10
= =×
×× ×
电子的反
k
2E
17
29210
××
反冲速度冲速度为
e
v
m
=
7
31
.21
1.4227 10 m/ s
9.1 10
= =×
×
接近光速,
17.3 氢原子光谱和玻尔理论
3.1 氢原子光谱的实验规律是什么?
原子发光是原子的重要现象之一,反映了原子的内部结构及其状态变化,研究原子光谱是人类探索原子世界的重要手段,
人们经过长期研究 拍摄出氢原子光谱 并总结两条规律,,.
赖曼系巴尔末系 帕邢系
(1)氢原子光谱是一根根分离的谱线,谱线的波数,即波长的倒数不能连续变化 波数用 表示
1/λ
ν
紫外区 可见光区 近红外区
.,,
H
22
11
()R
mn
ν =?
其中 R
H
=1.096776× 10
7
m
-1
,是 一 个实验常数,
νλ=
(2)任意一根谱线的波数都可一个公式计算,
(17.19)
× 个实验常数称为里德伯恒量,m和 n都是正整数,且 n>m.
当 n取遍大
①当 m=1,n≥2时对应紫外部分的赖曼线系 ;
当于 m的一切正整数时,公式
③当 m=3,n≥4时对应近红外部分的帕邢线系 ;
②当 m=2,n≥3时对应可见光部分的巴尔末线系 ;
给出一族谱线,
称为谱线系,
④当 m=4,n≥5时对应红外部分的布喇开线系 ;
⑤当 m=5,n≥6时对应远红外部分的普芳德线系,
3.2.1 经典理论为什么不能解释氢原子光谱的实验规律?
为了从理论上解释氢原子光谱的实验规律 就需要了解原子结构,.
早在二十世纪一十年代,通过对 α 粒子散射的充分研究,卢瑟福提出了原子核式结构模型,原子中全部正电荷和几乎全部质量都集中按经典电磁学理论,电子由于做加速运动,要向外辐在原子中央一个很小的体积内,称为原子核,电子在核外绕核转动,
射电磁波,并且电磁波的频率等于电子绕核转动的频率,
由于向外辐射能量,其能量将连续减小,转动的频率也将逐渐变化,
(1)能量的变化应该是连续的,因此电子绕核转动的频率也应由此得出的两点推论与实验事实矛盾,
()
该以及向外辐射的电磁波的频率也应该是连续变化的,原子发出的光谱应该是连续光谱,而事实上原子光谱是分立的线光谱,
(2)电子在减少能量时,轨道半径也会减小,最终会落到原子核的表面,原子将崩溃,而实际上原子是很稳定的,
可见经典理论不再适用于原子的微观过程,
3.2.2 玻尔氢原子理论的基本假设是什么?
(1)定态假设,原子系统只能有 一 系为了克服经典物理学的系列能量不连续的状态,相应的能量值为 E
1
,E
2
,E
3
,…,在这些定态上原子不困难,丹麦物理学家玻尔以实验事实为基础,将普朗克的能量子概念用于氢原子向外辐射能量,这些状态称为定态,
(2)量子跃迁假设,只有当原子从 一系统,建立了氢原子的玻尔理论,成功地解释了氢原子
()
个定态 E
m
跃迁到另一个定态 E
n
时才发射和吸收辐射,其吸收或辐射光子的频率为
E
n
光谱的实验规律,
ν=(E
n
-E
m
)/h(17.17)
(3)轨道角动量量子化假设,电子的
E
m
v
r
n
m
e
ν
轨道角动量 L等于 h/2π的整数倍,
L=m
e
vr
n
=nh/2π,n=1,2,3,… (17.18).
h为普朗克常数 称为量子数 公式
E
1
E
2
……
,n,
称为量子化条件,
玻尔以三大基本假设为基础,计算了氢原子定态能量等,
3.2.3 氢原子轨道半径和能量是多少?
(1)氢原子的核外电子在核的
(2)电子的势能为
2
p
,
4
e
E =?
库仑力作用下作圆周运动,可得
22
e
2
,
4
ve
m =
()
0
π
n
rε
动能为
2
ke
1
2
Emv=
2
,
8
e
=
0
π
nn
rrε
2
2
e
e
(),
4π
nn
me
mvr r
ε
=
总 能 量 为
2
kp
,
n
e
EEE= +=?
搭配得
0
π
n
rε
0
能为
0
8π
n
rε
4
e
22 2
1
,
8
n
me
E
hnε
=?即
(17.20)
利用 m
e
vr
n
=nh/2π 得
2
e
4π
n
me
r
ε
2
(),
2π
nh
=
2
2
0
2
e
,
π
n
h
rn
me
ε
=
(17.19)
0
n=1,2,3,…
()
0
所以可见氢原子能量是量子化的,称为
n=1,2,3,…
可见氢原子轨道是量子化的,当
n=1时 r 是最靠近原子核的轨道原子能级,当 n=1时,E
1
是最低能级,
4
e
1
me
E =?
时,
1
半径,称为第一玻尔半径,
2
10
0
1
0.529 10 m.
h
r
ε
==×
22
0
8 hε
=-2.18× 10
-18
J=-13.6eV,
在正常情况下,原子处于最低能级,
此态称为基态,其他态称为激发态,
2
e
πme
计算值与实验结果十分吻合,
3.2.4 玻尔氢原子理论如何解释氢原子光谱?
氢原子中电子从 m态跃迁到 n
nm
EE?
4
e
11
()
me
态 时放出或吸收光子的频率为
h
ν =
用波数表示为
1 ν
ν = =
(17 21)
23 2 2
0
8 hm nε
=?
4
e
23 2 2
11
()
me
=?
cλ
.
里德伯常数为
4
7-1
e
H
23
1.097373 10 m
me
R = =×
0
8 hc m nε
0
8 hcε
可见,里德伯常数由一些常数组成,计算值与实验值的吻合有力地证明了玻尔理论的正确性,
氢原子光谱的规律是
H
22
11
()R
mn
ν =?
可见,玻尔理论成功地解当氢原子的核外电子从 n>2的能态向 m=2的能态跃迁时,所放出单色光属于巴耳末系,
意 个氢释了氢光谱的实验规律,
玻尔于 1913年预言了赖曼系,布喇开系和普芳德系,这些光谱于 1915年到 1924年被陆续发现 玻尔理论对类注 意,在某一瞬间,一 原子只能发出一条谱线,大量氢原子从各种激发态发出的一到,
氢原子的光谱也能给出很好的说明,
系列谱线组成的氢原子光谱,
H
22
11
()R
mn
ν =?
m=1,2,3,…
n=2,3,4,… (n>m)
n
m
3.2.5 玻尔氢原子理论的局限性和意义是什么?
玻尔理论虽然取得了很大的成功,但是该理论不能解释光谱线的强度,光的偏振及光谱的精细结构等问题,甚至对于稍为复杂一点的原子 (如氦原子 )光谱也不能解释,
玻尔 论 原 域内的 拓性 论 他提的 态假但是 理 论 是 原 子领 域内的 开 拓性 理 论,他 所 提 出 的 定设 (每个稳定态有一定的能量,能量是量子化的 )和 量子跃迁假设
(从一个定态跃迁到另一个定态时发出或吸收频率一定的光子 )
以及 能量和角动量量子化 等概念仍然是量子力学中的重要概念,
玻尔的工作是人类探索原子世界过程中的 一 个重要的里程碑,
玻尔理论的根本缺陷在于对微另一方面又人为地加上与经典物理不个重要的里程碑他一方面把微观粒子看作经典力学中观粒子的运动规律没有一个完整的理论体系相容的量子化条件来限定微观粒子的状态和能量的质点,用轨道和坐标描述其运动,用牛顿力学进行计算
,
玻尔理论是经典理论加上量子化条件的混合物,史称旧量子论,
旧量子的缺陷使人认识到微观粒子的运动不能用经典物理学来
.;
描述,需要打破传统观念,建立新的描述微观粒子运动的理论体系,
17.4 粒子波动性
411什么是德布罗意物质波假设?4.1.1
1924年法国物理学家德布罗意对经典物理学的发展历程和光的波粒二象性进行了深入细致的研究,
回顾人类对光本性的认识过程,他得到一个有趣的结论,我们 一 直认为只具有波动性的光,实际上还直认为只具有波动性的光具有粒子性,其粒子性直到 20世纪才被人们发现,
反过来,一直以粒子性呈现在我们面前的实物粒子,
如电子等,是否也有尚未被揭示出的波动性呢,
由此出发,按照自然界应当和谐和对称的思想,德布罗意大胆假设 实物粒子也应当具有波动性则一个以动量 p运动的能量为 E的实频率为 ν和波长为 λ 的
,.
物粒子,对应波长为 λ =h/p,(17.25)
频率为 ν=E/h,(17.26)
光波对应能量为 ε=hν,动量为 p=h/λ 的粒子,
这种和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波,两个公式称为德布罗意公式,
例 17.4 计算下列三种运动物质的德布罗意波长,
(1)质量为 0.01kg,速率 v=300m·s
-1
的子弹 ;
解 (1)根据德布罗意
hh
(2)以速率 v=2.0× 10
3
m·s
-1
运动的质子 ;
(3)动能为 1.6× 10
-17
J的电子,
34
6 625 10
×
解,
公式得子弹的波长为,p mv
λ= =
(2)质子的质量为
hh
34
.
2.21 10 m
0.01 300
==×
×
34
6 625 10
×
m
p
=1.67× 10
-27
kg,
德布罗意波长为,
p
p mv
λ= =
电 的质量为 根据动量 动能
10
27 3
.625 10
1.98 10 m
1.67 10 2.0 10
==×
×××
(3)电 子 的质量为 m
e
=9.1× 10
-31
kg,和 动能 公式 p=m
e
v和,得动量为
2 2
e
k
22
mv p
E
m
==
ek
2p mE=
e
电子的德布罗意 波 长 为,
ek
2
hh
p
mE
λ==
34
10
31 17
6.625 10
1.227 10 m
29.110 1.610
×
==×
× ×××
波为小结,日常所遇到的宏观物体的德布罗意波长太短,我们无法用实验的方法观察到波动特性 ;对于质量很小的微观粒子,因为它们的德布罗意波长跟原子大小及晶体中原子的距离相当,因此不能用经典理论把它们当宏观物体处理,
4.1.2 怎么验证德布罗意假设?
1927年戴维孙和革末将电子束投射到镍单晶上,观察到与 X射线衍射相似的电子衍射图样,首先证实了电子的波动性,
同年,汤姆逊用强电子束穿过多晶薄膜,也得到了与 X射线穿越多晶薄膜时极为相似的衍射图样,
再次证明了电子的波动性,
电的波性被实之 其他
X射线经晶体的衍射图继 电 子 的波 动 性被 证 实之 后,微观粒,如质子,中子,原子和分子等的波动性也相继得到证实 它们的实测波长,
与用德布罗意公式计算的结果一致,
由此可见 微观粒子在具有粒子性的:
同时,还具有波动性,波粒二象性是所有微观粒子的固有属性 而德布罗意,
公式是反映波粒二象性地基本公式,
电子束经晶体的衍射图
4.1.3 为什么说物质波是一种概率波?
在电子衍射图案中 衍射图样是以接收屏或照,
相底片上感光强度的规则性分布形式呈现出来,
而感光强度 正比 于打在对应位 置 的感光 电 子数,而感光 电 子数度大的地方 电 的概率大 度小的电 的概率小于打在对应位 的感光 子数 子数又对应位置出现的概率,所以衍射图样中感光强度的规则性分布实际上电子在空间各位置出现的概率呈现规则性分布的反映,
强,电 子出现 的概率大,强 子出现 的概率小,
就单个电子的一次行为来说,虽然它打在何处是不确定的,具有偶然性 但打在任意 处的概率是确定的 而打在不同位置处,一 处的概率是确定的,
的概率一般是不同的,电子在空间各位置出现的概率呈确定的分布,从而产生确定的衍射图样,所以说物质波是 一 种概率波,种概率波概率波概念将经典观念不能兼容的粒子性和波动性统一于一体,
粒子一旦在某处出现 总是整个粒子 因此 概率波相当完,,
并不是粒子的一部分,这就维护了粒子性,而粒子落点的概率分布又服从波动
,
善地表达了实物粒子的波粒 二 象性,是 一性规律,形成衍射图样,体现出波动性,
象性 是个全新的物理模型,
在经典力学中,粒子沿着空间一定的轨道运动,其坐标和速度 (动
4.2.1 电子单缝衍射的不确定关系是什么?
量 )能同时测定,微观粒子因具有波动性,不能用坐标和速度来描述,
微观粒子在空间各处都有一定的出现概率,就不能肯定粒子究竟出现在何处 即 粒子的空间位置具有不确定性
X
屏幕
,即,,
与此类似,粒子的动量也具有不确定性,
束电子以动量 沿 OY轴通过
a
Y
o
p
p
y
p
x
电子屏幕
O
一 p沿宽为 a的狭缝,在屏上形成衍射条纹 一 个电子通过狭缝时 由于波根据单缝衍射公
2θ
电子衍射图样纹,,
动性,不能确定它在 X方向的什么位置通过,不确定量为 Δx=a.
电子通过狭缝后在 X方向有不为零的动量 p
x
,如果电子落在中央明条纹中 的范围是 0≤ ≤ i θ 动量在 X方式 (k=1):sinθ=λ/a得
Δp /p=λ/Δx;
中,p
x
p
x
ps n,方向的不确定量为 Δp
x
=psinθ.
x
考虑次级条纹则得 Δ Δ ≥ h
根据德布罗意公式
λ=h/p得 Δx·Δp =h
这是针对单缝衍射的特例通过粗略讨论得出来的,
x· p
x
≥,
得
x
.
量子力学中可以证明不确定关系为,Δx Δp ≥?/2 (17 27)
4.2.2 什么是微观粒子的不确定关系?
·
x
.,
其中?=h/2π,称为约化普朗克常数,这种关系称为不确定关系,
此式说明,微观粒子的坐标和动量不可能同时确定,
粒子位 置 越确定,即不确定量 Δx越小,其动量越确定就越不确定,即不确定量 Δp
x
越大 ;反之亦然,
如果粒子 的 位 置 完 全 确定,其 不 确定 量 Δx为零,则其动 量 将完位 完 确定 其确定 将完全不确定,就是粒子以什么速度朝什么方向运动是无法预知的,
因此,微观粒子不存在轨道的概念,
4.2.3 普朗克常数起什么作用?
从不确定关系等公式中可以看到,普朗克常数
h在量子物理中扮演了一个十分重要的角色,
如果 h 0 则微观粒子的坐标和动量都可以同时=,
确定,微观粒子和宏观物体将没有什么区别,
尽管 h
34
是 个很小很小的数 但=6.63× 10
-
J·s是 一 个很小很小的数,但是由此引起的效应对于微观粒子来说是不能忽略的 这是因为微观世界的尺度本来就很小,.
宏观世界的尺度是如此之大,h是一个微不足道的量,可以当作零处理 不需要量子理论 用经典理论就够了,,.
17.5 薛定谔方程
5.1.1 什么是波函数?自由粒子的波函数是怎样的?
波函数 Ψ是描述微观粒子概率波的数学函数,它是空间坐标和时间的函数 即 Ψ Ψ( t)或 Ψ Ψ( t)
量子力学的核心问题之一就是求各种不同情况的微观粒子的波函数
,即 = x,y,z,或 = r,.
一个频率为 ν,波长为 λ,沿 X方向传播的单色平面波的波动方程为,
(,) cos2πyxt A=
(17.29)
()
x
tν
λ
.
写成复数形式就是,
(,) exp[ i2πyxt A=? (17.30)
上式是下式的实部,
()]
x
tν
λ
一个动量为 p,能量为 E,沿 X方向运动的自由粒子,对应一个波长为
λ=h/p,频率为 ν=E/h,沿 X方向传播的单色平面波,用波函数表示,
x 12π
0
(,) exp[ i2πxtΨ ψ=?
这就是描述沿 X方向以动量 p,能量 E运动的自由粒子的波函数,
()]tν
λ
0
exp[ i ( )]Etpxψ=
=
0
exp[ i ( )]Etpx
h
ψ=
(17.31)
在三维情况下,自由粒子沿矢径 r方向传播,波函数为,
0
2π
(,) exp[i ( )]tEt
h
Ψ ψ=rpr
(17 32)
或
i
( ) { [ ( )]}EΨ
.
或
0
,,,exp
xyz
xyzt tpxpypψ=++
=
注意,一般粒子的波函数没这么简单,也不能用这种类比的方法得到,
5.1.2 波函数的统计意义是什么?
由于波在某处的强度正比于该处波幅度的平方,而强度又正比于粒子在该处出现的概率,
所以波幅度的平方与粒子出现的概率成正比,
描述概率波的波函数通常是复数,其幅度的平方可记 |Ψ|
2
=Ψ·Ψ
*
.
波函数模的平方 |Ψ(x,y,z,t)|
2
与 t时刻粒子在空间 ( )处单位体积内出现的概率成正比据此出发,玻恩于 1926年给出了波函数的统计解释,
间 x,y,z,
取比例系数为 1,则 |Ψ(x,y,z,t)|
2
就是 t时刻粒子在空间
( )处单位体积内出现的概率 称为概率密度波函数的统计解释能够说明微观粒子的运动问题,所得的结 与实验事实完全符合 此玻 的解 为大家所
x,y,z,.
结 果 与实验事实完全符合,因 恩 的解 释已 为大家所 公认,
5.1.3 波函数的标准条件是什么?
根据波函数的统计解释 粒子在体积:
元 dτ=dxdydz出现的概率为 |Ψ|
2
dτ.
由于粒子总要在空间某处出现 即 某时
2
||d1
V
Ψτ=
∫
这就是波函数的归 一 化条件
(17.33)
,即,
刻粒子在全空间出现的概率为 1,因此有,
化条件,
由于在任一确定时刻粒子出现的概率是确定的,不可能为无穷大 (因为总概率为 1) 而且空间各处概率的,,
分布应该是连续的,不能突变,因此,波函数必须满足单值,有限和连续 三 个条件,这就波函数的标准条件,个条件注意,物质波的波函数 Ψ 与经典物理中关于波的函数有明显的不同,例如,电磁波的 E描述电磁场的电场强度,而物质波的 Ψ 本身没有直观的物理意义,只有 |Ψ|
2
才反映粒子在空间出现的概率,
5.1.4 什么是波函数的叠加原理?
微观粒子的状态用波函数 Ψ描述 如果 Ψ 和 Ψ 是,
1
和
2
是微观粒子量子系统的两个状态,那么它们的任意叠加 Ψ=c
1
Ψ
1
+ c
2
Ψ
2
也是系统的可能状态其中 |c
1
|
2
+|c
2
|
2
=1.
这就是波函数的叠加原理,
加,
很多量子现象都可以用叠加原理来解释,例如电子的双缝干涉现象,
波函数的叠加原理在量子力学中占有重要地位,被费曼称为量子力学的第 一 原理,原理
5.2.1 自由粒子的薛定谔方程是什么?
描 述经 典波 的 数学函数是某 一这 一 微分方程由奥地利
1
典波 数学函数是某微分方程的解,描述概率波的波函数也应该是某一微分方程的解,
微分方程由奥地利物理学家薛定谔于 1926
年发现,称为薛定谔方程,
一个沿 X方向运动的自由粒子的波函数为,
0
(,) exp[i ( )]xt Et pxΨ ψ=
=
(17.34)
i1pΨ?
对 x取一阶偏导数得
0
exp[ i ( )]Etpx
x
ψ=
= =
对 x取二阶偏导数得
2
2
i1
() [i( )]
p
Et
Ψ?
(17 35)
2
p
Ψ
对
0
2
exp[i px
x
ψ=
= =
.
对 t取 一 阶偏导数得
i1
exp[ i ( )]
E
Et px
Ψ
ψ
=
(17.36)
2
=?
=
i
EΨ
=
对 阶偏导数得
0
t? = =
如果自由粒子的速度远小于光速 粒子的能量为,
2
2
p
EΨ Ψ=
两边同乘以 Ψ得,
2
,
2
p
E=
=
,
m
由 (17.35)式得
22
2
,
22
p
mmx
Ψ
Ψ
=?
=
由 (17.36)式得
iE
t
Ψ
Ψ
=
=
m
两式联立得,
22
2
i
2mx t
Ψ Ψ
=
=
=
(17.37)
这就是一维空间自由粒子的薛定谔方程,
5.2.2 势场中的薛定谔方程是什么?
2
()
p
Vxt E+
对于 一 个在势场中运
(17 38)(,)
2m
=
个在势场中运动的粒子,能量关系为
22
pΨ
Ψ
i
E
Ψ
Ψ
对自由粒子的波函
.
22
,
x
=?
= t
=
=
数求导时已经得到,
可以将动量和能量
2
当作微分符号,可得,
22
2
,p
x
=?
=
iE
t
=
=
能量关系就变
22
()iV
=
=
作用在波函数上得 维势场 V( t)
22
ΨΨ =
(17.39)
成符号关系,
2
(,)i
2
xt
mx t
+=
一 维势场 x,
中运动的粒子的薛定谔方程如下,
2
(,) i
2
Vxt
mx t
Ψ?+=
=
在三维情
2
()tΨ? =
况下就是,
2
(,,,)
(,,,) (,,,) (,,,) i
2
xyz
xyzt Vxyzt xyzt
mt
ΨΨ + =
=
222
这就是薛定谔方其中,
2
222
xyz
=++
(17.40)
程的一般形式,
注意 (1)薛定谔方程是量子力学中的 个基本方程 其地,一 个基本方程,
位与牛顿定律在经典力学,麦氏方程组在电磁学中的地位相当,当
(2)薛定谔方程不能由其他原理导出,而是基本假设,其正确性已被大量的实验证实实,
(3)前述步骤不是薛氏方程的推导,而是方程建立过程的简介,
量子力学的核心问题之 一 就是由薛定谔方程求解波函数就是由薛定谔方程求解波函数,
5.2.3 什么是定态和定态波函数?
在一维场中,如果势能只是坐标的函数而与时间无关,那么波函数 Ψ可表示为坐标函数 ψ(x)和时间函数 f(t)的乘积 Ψ(x,t)=ψ(x)f(t).
代入有势场的薛定谔方程得
22
d() d()
() () () () i ()
xf
ft Vx xft x
ψ
ψψ? + =
=
=
:
2
2d dmx t
各项除以 ψ(x)f(t),
得,
22
2
d() d()
() i
2()d ()d
xft
Vx
mxx ftt
ψ
ψ
+=
=
=
(17.41)
得等式左边是坐标的函数,右边是时间的函数,坐标和时间是独立的变量,要使等式成立,两边就要等于同 一 个常数,
i
( ) exp( ).f tEt=?
=
个常数
d()
i,
()d
ft
E
ft t
= =
由 指数是 个无量纲的数 所以 具有能量的量纲 由 式设常数为 E,
则右边方程为,
方程的一个特解为,
(17.42)
由 于 指数是 一 个无量纲的数,E,由 (17.41)式可知,E就是粒子的总能量,能量不随时间变化的状态称为定态,
波函数
i
这种形式的波函数可化为,
(,) ( )exp( )xt x EtΨ ψ=?
=
称为定态波函数,
概率密度为,
2*
|()| ()()xt xt xtΨΨΨ=
* 2
() () | ()|
(17.44)
|(,)| (,)(,)
可见,在定态中,在空间发现粒子的概率密度也与时间无关,
xx xψ ψψ= =
5.2.4 什么是定态薛定谔方程?
(17.41)式的 左边
22
d () d ()
() i
x f t
Vx E
ψ
+
=
= (17 41)
()
也等于同一常数 E:
这就是一维运动粒子
(17 43)
22
d ()
() () ()
x
Vx x E x
ψ
ψψ+
=
即
2
()
2()d ()dmxx fttψ
+==.
如果粒子在三维空间中运动,则势场为 V=V(x y z),定态波函数的定态薛定谔方程,
.
2
2dmx
+=
即,
,,
为 ψ=ψ(x,y,z),上式可推广为,
2222
222
()
2
VE
mx y z
ψψψ
ψ ψ
+++=
=
引入拉普拉斯算符
222
2
222
xyz
= + +
公式可以改为简练的形式
2
2
2
VE
m
ψ ψψ+=
=
(17.45)
这就是在势场 V(r)中运动的粒子的定态薛定谔方程,
注意,无论是定态问题还是非定态问题,其薛定谔方程的求解通常是相当复杂的,只有少数几个问题可以严格求解,
0(0 )xa<<
设有 一 质量为 m的粒子在 一
5.3.1 粒子在一维无限深势阱中运动的特点是什么?
0,(0
()
.( 0 )
Vx
xxa
=
∞≤ ≥
或曲线如图所示 由于图形像井且深度无
∞∞
质量为维势阱中运动,势场函数为
,
限,因而形象地称为一维无限深势阱,
由于势能曲线与时间无关,所以属于定态问题,
由于势阱无限高,粒子不能运动到势阱之外,所以 ψ(x)=0,(x≥a,x≤0).
(17.46)
22
2
d
0,(0 )
2d
E xa
mx
ψ
ψ+ =<<
=
),
V(x)
粒子在阱内的薛定谔方程为,
2/kmE= =
方程简
2
2
d
0k
ψ
ψ+=其通解为 ψ(x)=Asinkx+Bcoskx (17 48)
x
o
a
设 (17.47)
化为
2
,
dx
.,
由于波函数是连续的,在 x=0处有 ψ(0)=0,所以 B=0.
波函数为 ψ(x)=Asinkx.
(1)能量,在 x=a处也有 ψ(a)=0,所以 Asinka=0.
由于 A不恒为零 所以 ka=nπ
22 22
,.
k只能取不连续的值,用 k
n
表示,则 k
n
=nπ/a,(n=1,2,3…).
2/
nn
kmE= =
由
2
2
π
,( 1,2,3,...)
22
n
n
k
Enn
mma
== =
= =
n称为量子数
n=4
E 16E
得
(17.49)
.
4
=
1
要使问题有解,粒子的能量只能取分立的值,或者说能量是量
n=1状态称为基态,也就是粒
22
E
π =
n=3
E
3
=9E
1
子化的,E
n
称为能量的本征值,
子能量最低的状态,最低能量为,
1
2
2ma
=
其他态称为激发态,能量为 E =n
2
E
1
.
n=2
E
2
=4E
1
n
x
o
a
n=1 E
1
=π
2
2
/2ma
2
E
2
,E
3
,…分别称为第一激发态,第二激发态,粒子能量的分布可用能级图表示,态
(2)波函数,与能量
E
n
对应的波函数为,
π
() sin sin,(0 )
nn
n
xAkxA x xa
a
ψ = =≤≤
根据归一化条件得,
222
0
π
1||d sin d
a
n
n
xA xx
a
ψ
∞
==
∫∫
Ψ
n
(x)
n=4
|Ψ
n
(x)|
2
∞
22
0
12
(1 cos )d
a
na
AxxA
a
π
=? =
∫
可得,2/A a=
(0 )
2 π
xa
n
≤ ≤
n=3
波函数为
() sin,
1,2,3,...
n
xx
naa
ψ =
=
(17.50)
概率密度为
22
2 π
|()| i
n
n=1
n=2
s n
n
xx
aa
ψ =
可见,粒子在 势阱 中出现的概率因地
o
a
x
0
a
x
这些结果与经典力学根而异,有些地方出现的概率大,有些地方出现的概率小,在阱壁处的概率本不同,按照经典力学的观点,粒子在势阱内各处为零 ;概率分布还随量子数改变,
出现的概率应该相等,
注意,(1)n不等于零,否则波函数恒为零,
概率也为零 就是说在势阱中找不到粒子,.
(2)如果 n小于零,波函数只改一个符号,概率不变,所以 n取自然数,
0
,( 0)Vx>
E
设 一 维势场形分布为
5.3.2 粒子在一维势垒中运动的特点是什么?
()
0.( 0)
Vx
x
=
<
如图所示,就称为一维势垒,
V
0
解,质量为 m能量为 E的粒子在维势场形分布为
2
1
d 2
0( 0);
mE
x
ψ
ψ+<
2
02
2 ()d
0( 0)
mE Vψ?
xo
解势垒中运动的薛定谔方程为
1
22
0,(0
dx
+ = <
=
2
22
0,(0
d
x
x
ψ+ =>
=
设
1
2/,kmE= =
20
2 ()/,kmEV=? =
设则得
2
2
1
11
2
d
0,( 0);
d
kx
x
ψ
ψ+=<
2
2
2
22
2
d
0,( 0)
d
kx
x
ψ
ψ+ =>
(17.51)
方程的通解为 (17.52)
ψ
1
(x)=Aexp(ik
1
x)+A'exp(-ik
1
x),(x<0);
ψ
2
(x)=Bexp(ik
2
x)+B'exp(-ik
2
x),(x>0).
将 ψ
1
(x)和 ψ
2
(x)分别乘以 exp(-iEt/?),可知,两式中的第一项表示向正 x方向传播的波,第二项表示向负 x方向传播的波,
其中,Aexp(ik
1
x)表示入射波,A'exp(-ik
1
x)
表示反射波,Bexp(ik
2
x)表示透射波,
由于在 x>0的区域没有反射波,所以 B'=0.
(1)当 E>V
0
时,就是粒子能量 E大于势垒高度 V
0
,从经典力学的观点看,粒子完全能够越过势垒到 x>0的区域 ;
E
透射波入射波但从量子力学的观点来看,粒子在
E>V
0
反射波
x<0处除了入射波 (兰色 )之外还存在反射波 (红色 )A'exp(-ik
1
x),总的波是入射波和反射波的叠加
V
0
入射波 +反射波由于 k
2
<k
1
,透射波 Bexp(ik
2
x)的
.
xo
的波长比入射波的波长要长,
总之,粒子在势垒内外都有一定的出现概率,
(2)当 E<V
0
时,就是粒子能量 E小于势垒高度 V
0
,从经典力学的观点看,粒子不能越过势垒到 x>0的区域,
00
2
2( ) 2( )
i,
mE V mV E
k
==
= =
E
V
0
这时可得波函数为
22
() exp(i )xB kxψ =
E<V
透射波入射波 +反射波
0
2( )
exp[ ]
mV E
B x
=?
=
xo
0
(17.53)
说明,在量子力学中即使能量 E小于势垒高度 V 粒子仍然能够透入到势垒中
0
,.
透射波有一定的透入深度,这完全是一种量子效应,
5.3.3 什么是隧道效应?
0,( 0,)
()
xxa< >
对于有限高和有
E
V
0
0
,)
.(0 )
Vx
Vxa
=
<<
限宽的一维势垒,
2
2
1
d
0( 0)k
ψ
+<
质 量 为 m,
E<V
0
透射波
11
2
0,(0;
d
x
x
ψ+ = <
2
2
2
22
2
d
0,(0 );kxa
ψ
ψ+ = <<
质为能量为 E
的粒子在个区域
x
o
a
入射波 +反射波
dx
+<<
当粒子能量 E<V
0
时,
在 x<0区域中的粒三的薛定谔方程为,
2
2
3
13
2
d
0,( ).
d
kxa
ψ
ψ+ =>
方程在子可以穿过势垒到达到势垒右边 x>a
x
ψ
1
(x)=Aexp(ik
1
x)+A'exp(-ik
1
x) (x<0);
其中
1
2/,kmE= =
20
2( )/,kmEV=? =
的通解为,
的区域,如同势垒中有一条隧道,这种现象称为隧道效应
A,
ψ
2
(x)=Bexp(ik
2
x)+B'exp(-ik
2
x),(0<x<a);
ψ
3
(x)=Cexp(ik
1
x) (x>a)
.
,.
隧道效应已经被大量实验所证实,例如冷电子发射 (电子在强电场作用下从金属表隧道效应也得到广泛的应用 例如半导体器件 超导面逸出 ),α 粒子从原子核中释放,等等,
用,,
和扫描隧穿显微镜,等等,
17.6 氢原子的量子力学处理
6.1.1 氢原子波函数的薛定谔方程是什么?
氢原子是由两个粒子,质子和电子组成的系统,
质子形成带正电的原子核,其质量是电子质量的电子和原子核之间的电势能为
1836倍,因此在电子绕核运动时可认为核是静止的,
2
0
()
4π
e
Vr
rε
=?
其中 e为电子电量,r为电子到核的距离,
电 子绕核 运 动
2
2
e
2
()0
m e
Eψψ?+ + =
z
(17 54)
由于 V(r)不随时间改变,所以是一个定态问题,
动的薛定谔方程为,
2
0
4π rε =
势能是 球 对称的,球 坐标变换如下
o
r
θ
.
球 球
x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.
电子在球坐标系中的薛定谔方程为
22
x
y
φ
2
e
22 222
0
211 1
() (sin) ( )0
sin sin 4π
m e
rE
rr r r r r
ψ ψψ
θψ
θθ θ θ? ε
++++=
=
其中 是球坐标系中的波 数ψ=ψ(r,θ,φ) 函 数,
6.1.2 氢原子波函数的常微分方程是什么?
设 ψ(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ )Φ(φ),
其中 R(r),Θ(θ )和 Φ(φ)分别是 r,θ 和 φ的函数,和 和经过一系列数学换算后可得三个函数所满足的三个常微分方程,
2
2
2
d
0
d
l
m
Φ
Φ
+ =
2
(17.55)
解这些微分方程并利用波函数标准条件 (单
2
1d d
(sin ) ( ) 0
sin d d sin
l
mΘ
θλΘ
θ θθ θ
+?=
单值,连续和有限 )
和归 一 化条件
(17.56)
化条件,
可得出一些重要的结论,
2
2
e
22 2
0
21d d
()[( )]0
dd 4π
mRe
rE R
rr r rr
λ
ε
++?=
=
(17.57)
其中 m
l
和 λ是引入的常数,
6.2.1 氢原子能量量子化公式是什么?
氢原子的能量是不连续的
4
1me
()
,
处在第 n个定态的总能量为,
22 2
0
,
8
n
E
hnε
=?
n=1,2,3,…
(17.58)
n称为主量子数,E 和 n
2
成反比,公式表明,氢原子的能量是量子化
n
和的,这种量子化的能量值称为原子能级,
当 n=1时,原子处于基态,能量最小,
4
1
22
0
13.6eV,
8
me
E
hε
=? ≈?
这就是氢原子的基态电离能,
即,将电子从氢原子的基态移
n>1的各个状态称为激发态,n=2为第一激发态,n=3
到无穷远处需要的能量,
当氢原子从一个能量为 E
n
的状态跃迁到另一个能量为 E 的状态时 将发出或吸收 个光子 其频率为为第二激发态,其余类推,
m
,一 个光子,
4
23 2 2
11
()
nm e
EE m
ν
==?
当 E
n
>E
m
时,氢原子发射光子 ;
当 E <E 时 氢原子吸收光子
0
8hhmnε
当
n m
时,.
注意,这里的氢原子能级公式和跃迁频率公式与玻尔氢原子理论所得结果完全相同 这些结果是根据氢原子的定态薛定谔,
方程解得的,不需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件,
6.2.2 氢原子角动量的量子化公式是什么?
(1)Lll=+ =
(17 59)(l=012 n-1)
氢原子中电子的角动量也
,
.=0,1,2,…,
其中 l为角量子数或副量子数,
只能取分立的值,其大小为,
对于同一个 n值,l可以取从 0到 n-1共 n个不同的值,
氢原子内电子的状态
l=0,1,2,3,4,5的状态通常用字母
nl 01 2 3 4 5
d f h
s,p,d,f,g,h表示,
s p g
11s
例如 n=3,l=0状态的
22s2p
33s3p3d
电子称为 3s态电子 ;
n=3,l=1状态的电
44s4p4d 4f
55s5p5d 5f 5g
子称为 3p态电子,
66s6p6d 6f 6g6h
6.2.3 氢原子角动量的空间量子化公式是什么?
绕核运动的电子具有角动量,而角动量是矢量,
L
z
6L =
B
按经典力学,矢量的空间取向可以连续变化,矢量在空间任意方向的投影也能够连续变化在量子力学中,氢原子核外电子的角动量在空间任意方向 如外磁场方向 的投影也是
2?
=
.
( )
不连续的,只能取一些特殊的不连续的值
( ± ± ± l)( )
o
-?
L
z
=m
l
,m
l
=0,± 1,± 2,…,± ) (17.60
-2?
即,角 动量 在 空间 任 一方向的投影也是对于确定的 l,m
l
只能取 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1个值,m
l
称为磁角在任量子化的,这种现象称为空间量子化,
量子数,例如,当 l=2时,,L
z
可取 -2?,-?,0,?,2?.(1) 6Lll=+= = =
6.3.1 氢原子中电子的概率是如何分布的?
量子力学已经没有轨道的概念,而是用空间概率分布的概念,
在氢原子中求解薛定谔方程可得到电子的波函数 ψ(r,θ,φ).
每 一 组量子数 (n l m ) 都有 一 组波函数描述 一 个确定的状态,
(18-65)
组量子数,,
l
,组波函数描述 个确定的状态
,,,,
(,,) () () ()
lll
nlm nl lm m
rRrψ θφ Θ θΦ φ=
电子出现在原子核周围的概率密度为在体积元 dV
2
i θ d dθ d 内电子出现的概率为
|ψ(r,θ,φ)|
2
=|R(r)Θ(θ)Φ(φ)|
2
,
=r s nθ r θ φ
|ψ|
2
dV=|R|
2
|Θ|
2
|Φ|
2
r
2
sinθ drdθ dφ,通过解经度方程可知,|Φ|
2
是常量 因此概率的角分布这是电子出现在距核为 r,纬度为 θ,
经度 φ为处的体积元 dV中的概率,
,
关于 z轴具有旋转对称性,
(1)|Φ|
2
dφ表示电子出现在 φ到 φ+dφ之间的概率 ;
(2)|Θ|
2
sinθ dθ 表示电子出现在 θ 到 θ +dθ 之间的概率 ;
(3)|R|
2
r
2
dr表示电子出现在 r到 r+dr之间的概率,
|Θ|
2
sinθ dθ 表示电子出现在 θ 到 θ +dθ 之间的概率θ θ θ 到 θ θ
l=0,m
l
=0,氢原子中 s态电子的角向概率密度 | |
2
i θ 呈球状Θ s nθ
l=1,m
l
=0,
氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈哑铃状
l=1,m
l
=± 1,氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈轮胎状
l=2,m
l
=0,
氢原子中 d态电子的角向概率密度之一呈带盘的哑铃状
l=2,m
l
=± 1,氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈双钵状
l=2,m
l
=± 2,氢原子中 d态电子的角向概率密度之一也呈轮胎状氢原子中电子对于 n和 l=n-1态来说,径向概率密度都有个极大值 0 0529 4 9
的径向概率密度有 n-l个峰一,r
1
=,nm,r
2
= r
1
,r
3
= r
1
,…,
说明电子在这些位置出现的概率最大,
对于 n和 l=n-1态来说,径向概率密和度都只有一个极大值,位置在,
r
1
=a
0
=0.0529nm,r
2
=4a
0
,r
3
=9a
0
,…,,,
说明电子在这些位置出现的概率最大,
与玻尔 论 致的这 理 论 是一 致的,
6.3.2什么是电子云?
玻尔理论认为电子具有确定的轨道,
量子力学得出电子出现在某处的概率不能断言电子在某处出现,
为了形象地表示电子的空间分布规律 通常将概率大的区,
域用浓影,将概率小的区域用淡影表示出来,称为电子云图,
电子云 图也可以用彩色表示注意,所谓电子云并不表示电子真的像一团云雾罩在原子核周围 而是电子概率分布的 种形象化的描述
.
,一 种形象化的描述,
电子的不同角动量对应于电子云绕核转动的不同情况,
l=0时,电子云转动的角动量为零,表示电子云不 转动,电 子 云的 分布具有球对称性,分布具有球对称性
17.7 电子自旋
7.1.1 斯特恩 -盖拉赫实验的原理和结果是什么?
为了观察角动量空间量子化的现象,斯特恩和盖拉赫于 1921年做了一个著名实验,
S
P
S
1
S
2
O为原子射线源,实验中使用银原子 ;S
1
和
S
2
为狭缝 ;S和 N是产生非均匀磁场的磁铁两极 ;P为照相底片 全部装置放在高真空中
N
O
S
P
极,,
电子绕核运转相当于一个圆电流,从而产生 一 个磁矩 p
m
,由于电子带负电,所以磁
N
个磁矩矩的方向和角动量方向相反,
理论计算结果为这也就是原子的磁矩
m
2
e?
=p L
无磁场 有磁场
:
在非均匀磁场中,磁矩 p
m
将受磁力而发生偏转,如果角动量 L的空间取向连续变化 则 p 的取向也应该连续变化 在原子束通过非均
.
μ
,则
m
,
匀磁场后在照相底片上形成一连续沉积带,否则就会形成线状沉积,
实验结果得到沉积线,证实了角动量的空间量子化,
根据角动量空间量子化理论,应该有奇数条线,可是实际只有对称的两条线,说明核外电子除了轨道运动之外,还有自身内部的运动,
7.1.2 什么是电子自旋假设?
乌仑贝克和古德斯密特考虑到电子的内部运动与轨道运动产他们在 1925年提出了电子自旋的假说 电子除了绕核运动外还有,自生相同的效应,即都有磁矩并导致电子在非均匀磁场中受力偏转,
其中 s为自旋量子数,它只有个值 因此得说,,自旋”,这种自旋是电子本身的固有属性 与自旋对应的角动量为,
有 一 个值 s=1/2.
(1)Sss=+ =
11 3
(1)
22 2
S =+= = =
性,
自旋角动量 S在空间任一方向上的投影为 S?
m
s
称为自旋磁量子数,它只有两个取值 m
s
=± 1/2,即自旋角动
z
=m
s
.
量的空间取向也是量子化的,
引入电子自旋假说之后,斯特恩 -盖拉赫 实 验就能得到很好的解释,实银原子中含有 47个电子,其中 46个电子在原子核周围形成第 47个电子处于 s态,角量子数 l=0,
轨道角动量也为零,所以原子中电球对称分布,角动量之和为零,子的总角动量为零,磁矩也为零,
整个银原子的角动量就是一个电子的自旋角动量,由于自旋角动量及其磁矩在外磁场中只有两个不同取向 因此银原子束通过非,
均匀磁场后只沿两个方向偏转并在照相底片上形成两条沉积线,
7.2.3 氢原子中电子的状态用什么确定?
微观粒子的运动状态用波函数描述,在求解氢原子核外电子的薛定谔方程时,波函数可写为,,
(,,) () (,)
l
nl lm
rRrYψ θ? θ?=
的具体表达式由一组 (n,l,m
l
)三个常量值决定,
为了保证波函数 θ φ 满足单值 有限和连续的标准条
,,
() (,)
l
nl lm
Rr Yθ?和不过 薛定谔方程并未考虑电子自身内部的运动 根据
ψ (r,θ,φ ),
件,(n,l,m
l
)只能是一组整数,这些整数确定核外电子的一种状态,
,,
斯特恩 -盖拉赫实验,还需要引进自旋磁量子数 m
s
,因此,
原子核外电子的状态用四个量子数 (n,l,m
l
,m
s
)描 述,描
(1)主量子数 n.n=1,2,3,…,主要确定核外电子的能量,氢原子核外电子的能量由 n唯一确定,其他原子的核外电子的能量还与角量子数有微弱的依赖关系,
(2)角量子数 l.对于一个 n,l=0,1,2,…,n-1,它决定电子绕核运动的轨道角动量 对多电子原子而.
言,n相同而 l不同的各电子,其能量值稍有不同,
(3)磁量子数 m
l
.对于一个确定的 l,m
l
=0,± 1,± 2,…,± l,m
l
(),,
决定轨道角动量的空间取向,
(4)自旋量子数 m
s
.m
s
=± 1/2,它决定电子自旋角动量的空间取向,
17.8 原子核外电子的壳层结构
8.1 什么是泡利不相容原理?
在对原子光谱和其他有关实验作了充分分析的基础上,奥地利物理学家泡即,同一原子中不可能有两个或两个以上的电子具有一利在 1925年提出,在同一个原子内不可能有两个电子处在完全相同的状态,
如果原子中有 些电子的 相同 则其余三个量子数必组完全相同的四个量子数,
这就是泡利不相容原理,
一 些电子的 n,
不全同,n相同的电子属于同一主壳层,对于 n=1,2,3,4,5,…
的电子壳层分别称为 KLMNO 壳层K,L,M,N,O,…,
在同一主壳层中,根据角量子数 l又分为若干个支壳层,对于
l=0,1,2,3,4,5,…的电子支壳层用状态记号 s,p,d,f,g,h,…表示,
当 n给定时,l可以取 0到 n-1共 n个值 ;对其中任意一个给定的 l,m
l
可取 0,± 1,± 2,…,± l共 (2l+1)
个值 当 l 都给定时 有 1/2和 1/2两个值;当 n,,m
l
,m
s
有 和 -,
1n?
可知,每一个支壳层最多可容纳 2(2l+1)个电子,
2
0
2(2 1,)2
n
l
Z ln
=
= +=
∑
一般说来,主壳层最多可容纳的 电子数 为,
例如,l=0的支壳有 2(2× 0+1)=2个电子 ;
因此 n=3的主壳层中有 2+6+10=18个电子,
每一个支壳层最多可容纳 2(2l+1)个电子,
1
2
0
2(2 1) 2
n
n
l
Z ln
=
=+=
∑
l=1的支壳有 2(2× 1+1)=6个电子 ;
l=2的支壳有 2(2× 2+1)=10个电子,
有主量角量子数 l
01 2 3 4 5 6
电子原子中各壳层和支壳层可容纳的电子数量子数
n
子数
Z
n
支壳层主壳层
sp d f g h i
1K
1s
2
2
2L
2s
2
2p
6
8
3M
3s
2
3p
6
3d
10
18
4 N
4s
2
4p
6
4d
10
4f
14
32
5O
5s
2
5p
6
5d
10
5f
14
5g
18
50
6 P
6s
2
6p
6
6d
10
6f
14
6g
18
6h
22
72
7Q
7s
2
7p
6
7d
10
7f
14
7g
18
7h
22
7i
26
98
8.2 什么是能量最小原理?
原子中的电子在正常状态下都趋于首先占据能量最低的能级,使整个原子处于稳定状态,这个假设称为能量最小原理,
根据泡利不相容原理和能量最小原理 原子中的电子由最低能级
8.3 原子中电子是怎样填充的?
,
开始填充,直到所有核外电子分别填入可能占据的最低能级为止,
电子从 n=1,也就是 K壳层开始填充,
一般按 n由小到大的次序填入各能级,
但是由于能级还和角量子数 l有关,所以在有些情况下,n
较小的壳层尚未填满时 较大的壳层上就有电子填入了我国科学家徐光宪总结出一个规律,对于原子的外层电子 能级高低以 (n+0 7l)确定 其值越大 能级越高
,n,
,.,,.
3
2
3p
6
3d
例如,4s态的 n=4,l=0,n+0.7l=4;3d
态的 n=3 l=2 n+0 7l=4 4 所以 4s态
1s
2
s
4s
钾的原子序数为 19,前 18个电子依
,,.,,态比 3d态先填入电子,
2s
2
2p
6
前次填到第三个壳层的 3p态,第 19个电子跳过 3d态而填入 4s态,
当原子序数 和 时 原子Z>37和 Z>55时,
中的电子填充也有类似情况,
8.4 原子的电子壳层的能级结构图是怎样的?
壳层 n,1
23 4 5 67
7i
26
8
6
18
6h
22
7f
14
7g
18
7h
22
5f
14
5g
18
6p
6
6d
10
6f
14
g
7s
2
7p
6
7d
10
4p
6
4d
10
4f
14
5s
2
5p
6
5d
10
6s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
10
4s
2
根据两个原 理,核外电子填充的顺序为,
2s
2
1s
2能级
1s<2s<2p<3s<3p<4s<3d<4p<5s<4d<5p<6s<4f<5d<6p<7s<5f<6d<…
由此排出的各元素原子中核外电子的分布跟元素周期表完全 致 从理论上阐明了元素周期表的本质量子力学的这一成果,使物理和化学统一到同一基础上来,
一 致,,
17 量子物理学基础主要内容热辐射和普朗克能量子假说光的粒子性氢原子光谱和玻尔理论粒子的波动性薛定谔方程氢原子的量子力学处理电子自旋和四个量子数原子核外电子的壳层结构本章导引本章从历史的发展和逻辑演绎的角度,介绍量子物理学的基本概念,基本思想和主要结论及应用,量子力学是关于微观粒子基本性质及其运动规律的理论 是现代物量子力学
,
理学的两大重要支柱之一,其发展大致分为三个阶段,量子概念的诞生 量子概念的发展和量子力学理论的建立,.
量子力学为了解释黑体辐射的实验规律 普朗克假设电磁爱因斯坦受到启发,进一步认为,电磁波是由许多不的诞生
,
辐射与黑体相互作用时所交换的能量不能连续变化,
连续的能量单元组成的,称之为光子,从而提出光量子引入了量子化的概念,理论,成功解释了光电效应,
人们据此认识到光兼有波动性 玻尔认为氢原子和粒子性,即波粒二象性,康普顿将光量子论应用于 X射线散射实验量子力学的发展光谱不连续分布是能量状态不连续的的结果分析,再次证明光量子理论的正确性,还揭示出微观世界中单个光子和单个电子之间的碰撞过缘故,提出定态假设和量子跃迁假设,很好地解释了氢原子程仍然满足动量和能量守恒定律,光谱的实验规律,
量子力学德布罗意通过类比分析和综合概括,将光的波粒二象性推广到微观粒子和实物粒子,进而推广到所有物质 提出物质波理论 给出了计算物质波波长和的建立
,,
频率的德布罗意公式,这个理论很快得到证实,
薛定谔引入描述德布罗意波的数学函数 —波函数,
用以描述微观粒子运动状态,并找到了波函数所满足的方程 —薛定谔方程,这是量子力学的基本方程,
玻恩等人提出波函数的统计性解释,揭示了物质波本质上是一种概率波,正是通过概率波的形式,将经典力学无法相容的粒子性和波动性统 起来 概一 起来,概率波必然导致不确定性,从而引出不确定关系,
一 维无限深势阱和氢原子是两个能用量子力学典型问题 理论严格求解的典型问题,所用的方法和步骤具有一般性,据此可讨论量子力学和经典力学的关系,
势垒贯穿和隧道效应是典型的量子效应,在许多实际问题中有着重要应用,
引入自旋的概念 结合薛定谔方程对原子问题进行量子效应
,
处理,可用四个量子数描述核外电子的“运动状态”,
量子数注意,
(1)理 解黑体辐射,光电效应和氢原子光谱的()
主要实验规律及经典物理学在这些问题上所碰到的困难,从而理解量子假说提出的必要性,
解能 假说 论氢原的玻尔论(2)理 量子 假说,光量子理 论 及 氢原 子 的玻尔 理 论,
(3)理解德布罗意波理论及波长和频率的计算公式,
(4)理解波函数的统计性解释 性质,
及所满足的条件,理解不确定性关系,
(5)理解薛定谔方程 一 维无限深势阱问题 势垒贯穿和,,
隧道效应,理解量子力学处理氢原子所得到的主要结论,
(6)理解电子自 旋,理解描述 核 外电子的“运() 旋 核动状态”的四个量子数,理解核外电子的排列规律,
量子理论的发展
19世纪后期 以牛顿力学 经典统计力学和麦克斯韦电磁理论为,,
主要支柱的经典物理学已经趋于完善,强有力地推动了当时科学技术的发展,经典物理学至今依然在科学技术中发挥着重要作用,
随着物理学的进一步发展,19世纪以来一系列新的实验事实与经典物理学理论发生了尖锐的矛盾,
例如,对热辐射,光电效应,X射线散射,原子光谱,原子结构,固体比热以及光速等问题,经典物理学都无法作出合乎逻辑的解释,
为了说明这些实验结果,人们突破了经典物理学的束缚,提出了一些新的假设和概念,并在实践中接受检验,不断修正和发展,
逐步建立起了以相对论和量子论为主要支柱的近代物 论 理理 论,
这些理论不仅大大促进了 20世纪的高科技的发展,而且必将对 世纪新的高科技的发展产生广泛 远的影响21 深 远的影响,
同时也是新世纪发展和建立科学新理论体系的重要基础,
17.1 黑体辐射和量子论的诞生
1.1.1 什么是热辐射?
任何物体在任何温度下都要向外辐射各种波长的电磁波,这种辐射称为热辐射,实验表明,物体的热辐射与温度有关,以铁为例在低温时其热辐射以不可见的红外线为主(1) ;
(2)约 500℃ 时有暗红色的可见光出现 ;
(3) 约 1500℃ 时开始发白光 约 ℃ ;
(4)温度进一步升高时由白变蓝,
由此可见 热辐射与温度密切相关 随:,随着温度升高,短波长辐射丰富起来,
同一物体在不同温度下的热辐射情况是不同的,
就是说,热辐射能量按波长的分布的规律是不同的,
1.1.2 什么是单色辐射本领和辐射本领?
物体表面单位面积在单位时间内,在波长 λ附近单位波长间隔内辐射的电磁波能量称为单色辐射本领或单色辐出度,用 M
λ
(T)表示,其单位是瓦 ·米
-3
(W·m
-3
).
对于确定的物体,M
λ
(T)是温度 T和波长 λ的函数,
单位时间内从物体表面单位对于给定的物体 只是其面积上所发射的各种波长的总辐射能称为辐射本领或辐出度,
,
温度的函数,用 M(T)表示,
其单位是瓦 ·米
-2
(W·m
-3
)米,
在一定温度时,物体的辐射本
() ()dMT M T λ
∞
=
∫
(17 1)
领和单色辐射本领的关系为
0
λ
.1)
实验表明,在相同的温度条件下各种不同的物体,特特别是表面的情况 (如粗糙程度等 )不同时,M
λ
(T)的量值是不同的,与此对应的 M(T)的量值也是不同的,
1.1.3为什么说辐射本领大的物体其吸收本领也大?
一 定温度下的物体不但向周围辐射电磁波 同时也吸收,
外来的电磁波,而且,辐射本领大的物体,其吸收本领也大,
设想一个抽成真空的系统,系统内有多个物体且彼此之间隔有一定的距离,
实验表明,不管初始情况如何,经
A
1
A
2
A由于系统处于真空中 各物体不可过一定的时间后,系统将达到热平衡,各物体的温度相同并维持不变,
n
,
能通过对流和热传导交换能量,热平衡是通过热辐射交换能量达到的当系统处于热平衡时,物体还要吸收和辐射能量,吸收多少能量就辐射多少能量,因此,物体的吸收本领大,其辐射本领就强,
.
一般物体对外来的电磁波只是部分吸收,其吸收本领除了和温度有关外,还和物体的结构及表面情况有关,并且表现出对波长的选择性,
1.1.4 什么是黑体?
一 般物体对外来电磁波只能部分吸收,其吸收本领除了与温度有关外,还与物体的结构和表面情况有关,表现对波长有选择性,
能够全部吸收各外来电磁波的物体称为绝对黑体,简称黑体,
用不透明材料做成 个空腔 在腔壁上开有 个很小的孔 射注意,黑体如同质点一样是一种理想模型,是对实际情况的一种近似,在自然界中并不存在,但是自然界中有许多物体的行为接近黑体,
一 个空腔,一 个很小的孔,射入小孔的电磁波被空腔内壁多次反射,每反射一次就有一部分能量被内壁表面吸收 最后由小孔射出去的辐射能量几乎为零,.
这种小孔空腔可近似当作黑体,
当空腔处于温度 T时,从小分光时孔发射的电磁辐射就相当于面积等于小孔面积,温度为 的绝 体表面的辐射分光热电偶探测器为 T 对黑 体表面的辐射,
黑体辐射在热辐射中占有特殊的地位,具有重要的理论与实际应用价值 因此 在研究热,,
辐射时特别注意对黑体的辐射情况进行研究,
1.2.1 黑体辐射的实验定律是什么?
在一定温度下,通过实验测得绝对黑体的
M
λ
(T)
单色辐射本领是一条关于波长的凸形曲线,
(1)每一条曲线的 M
λ
(T)都有一个极大值 (峰值 ) 也就是最大的单位色辐射,
本领,最大值的波长 λ
m
,称为峰值波长,
实验测得,随着温度升高 峰值波长向短,
波方向移动,关系为 Tλ
m
=b,(17.2)
其中 b=2897× 10
-3
m·K 称为维恩常数,2.897×,.
公式称为维恩位移定律,
(2)每 一 条曲线下的面积就是辐条曲线下的面积就是辐射本领,实验测得 M(T)=σT
4
,(17.3)
其中 σ=567× 10
-8
W/(m
2
·K
4
)5.67×,
称为斯忒藩常数,
公式称为 斯忒藩 玻尔兹曼 定律-,
1.2.2 黑体辐射的规律是什么?
为了找出与实验曲线对应的理论解释 物理学家们作出了不,
懈的努力,其中,所有在经典物理学范围内进行的种种尝试都失败了,其理论预言和实验结果相去甚远,唯有普朗克的工作突出,
1900年,德国物理学家普朗克在对实验曲线作了详细分析的基础上,用内插法找到与实验曲线对应的数学公式,
25
1
() 2π
exp( / ) 1
MT hc
hc kT
λ
λ
λ
=
(17.1)
其中,c是真空中的光速,k是玻尔兹曼常数,h=663× 10
-34
J·s,称为普朗克常数,数 6.63×
公式与黑体辐射实验吻合得很好 根据公式还可推出维恩位移这促使普朗克对该式背后蕴含的物理本质进行好,
定律和斯忒藩 -玻尔兹曼定律,
更深入的分析和思考,
1.2.3 普朗克能量子假设是什么?
普朗克发现,为了从理论上推导出黑体辐射,必须做两条假设,
(1)黑体辐射由一系列带电谐振子组成,每个谐振子的能量只能是某最小能量 ε的整数倍,E=nε,(n=1,2,3,…) (17.5)En 1,2,3,…) (17.5)
对于频率为 ν的谐振子,其最小能量为 ε=hν (17.3)
ε称为能量子,h称为普朗克常数,
(2)谐振子在一定状态下既不辐射能量,也不吸收能量,只有当其状态发生变化时才伴随有能量的辐射和吸收,并且向外辐射或从外界吸收的能量也只能是最小能量单元 ε=hν的整数倍,
注意,能量子假设和经典物理学是不相容的,
在经典物理学中 谐振子的能量是连续变化的 在新的观点面,,
前,许多熟悉和精通经典物理学的物理学家保持着旧观点,他们认为 能量子假设仅仅是处理黑体辐射问题的 一 个有用的技巧,个有用的技巧,
在理论上没有什么意义,连普朗克本人也一度发生了动摇,
这时,以爱因斯坦为代表的新 一 代物理学家,打破旧的观念,在代物理学家 在解释光电效应等问题中,将普朗克的假设向前推进了一大步,
17.2 光的粒子性
211什么是光电效应?2.1.1
金属中的自由电子在光的照射下逸出金属表面的现象称为光电效应,
光电效应的研究对光的本性的认识和量子论的发展逸出金属表面的电子称为光电子,
212光电效应的实验原理是什么?
起着非常重要的作用,
2.1.2
石英对紫外线的吸收很小,光通过石英窗口后照射到真空管内的金属
A K
阴极 K上,阴极 K就释放出光电子,
逸出的光电子在加速电压 U=U
A
-U
K
G
UU
的作用下飞向阳极 A,从而在电路中形成电流,这种电流称为光电流,电流计 G
V
测量光电流的强度,
可变电阻用于改变电压的大小,开关用于改变电压的方向,
2.1.3 光电效应的实验规律是什么?
(1)单位时间内从表面逸出的光电子数和入射光强成正比,()
当入射光的强度 I和频率 ν一定时,在实验中测得光电流 i和电压 U的数据,作出 i-U关系曲线,不同的光强,就有不同的曲线,
取一定的光强,光电流随加速电压的增加而增加 当加速电压增加
i
I'
i'
m
,
到一定值时,光电流就达到一定的饱和值 i,此时,从阴极表面逸出
U
I<I'
i
m
m
的光电子全部被阳极捕获,
o
-U
s
实验表明,饱和光电流值 i
m
和入射光强成正比,
这说明单位时间内从表面逸出的光电子数和入射光强成正比,
(2)光电效应存在红限频率,
当加速电压逐渐减小至零时 光电流并不跟着降为零 而要,,
加一个反向电压且其大小达到某一数值 U
s
时,光电流才等于零,
可见,逸出光电子具有初动能 纵使加速电压为
U 称为截
i
,
零,光电子借助初动能仍可达到阳极形成光电流,
截止电压的存在说明逸出光电子的
s
止电压,
I<I'
i
m
I'
i'
m
初动能有一个最大值,当反向电压的数值等于截止电压时,初动能最大的
U
I<I
U
光电子也不能克服反向电场的阻碍到达阳极,光电流自然为零,
o
-
s
2
kms
1
2
E mv eU==(17.7)
截止电压 U
s
和逸出光电子的最大初动能之间满足的关系为其中 m为电子质量,v
m
为电子逸出金属表面时的最大初速度,
:
不改变光的频率 只改变光的强度 就会改变饱和电流 但是截止电,,,
压不变,说明对于同一阴极材料,光电子的最大初动能与光强无关,
在实验中改变入射光的频率 ν,得截止电压 U
s
与入射光频率 ν的关系,实验曲线为 一 直线,说明截 止 电压跟 入 射直线 电压跟 射光的频率成线性关系,U
s
=K(ν-ν
0
) (17.5)
比例系数 K是斜率,由于不同直线的斜率是相同的,所以 K是 一
U (V)
是个与金属材料无关的普适常量 ;ν
0
是直线与横坐标的交点,
光电子的最大初动能为
2.0
Na
s
Ca
2
ms 0
1
()
2
mv eU eK ν ν==?
(17.6)
ν
1.0
O
60 80 10
ν
01
ν
02
产生光电效应时,一定有光电子从金属阴极表面逸出,其初
6.0 8.0
14
10 Hz×
可见,ν
0
是产生光电效应临界频率,
动能 mv
m
2
/2≥0,因此 ν≥ν
0
.
ν 称为截止频率或红当入射光频率小于 ν
0
时,不论光的强度如何都不能产生光电效应 ;只有当入射
0
限频率,相应的波长称为红限波长,不同金属光频率大于 ν
0
时才会产生光电效应,的红限频率不同,
(3)光电效应具有“瞬时性”,
实验发现,只要入射光的频率大于红限频率,
不论光的强度如何,光一照射到金属表面就立即有光电子逸出 其延迟时间至多为
9
2.1.4 经典理论为什么不能解释光电效应?
,10
-
s.
光电效应实际上是光与物质的相互作用,
根据 经 典 理论,光 入 射到 金 属 上 时,金 属中的 电典 光射到属时子在入射光的交变电场中作受迫振动而获得能量,
获得的能量应该跟光的强度和光照时间有关,
对于任何频率的入射光,只要光强足够大或者照射时间足够长,总能产生光电效应,可是实验结果却不是如此,
由此可见,经典物理学遇到了无法克服的困难,
2.1.5什么是爱因斯坦光量子理论,如何解释光电效应?
爱因斯坦在普朗克量子假设的基础上,于 1905年提出辐射射线就是由粒子构成的假设,黑体辐射中光吸收和发射所表现出来的量子性是光的本性的反映,一束光就是以光速 运动的粒子流 这些粒子称为光量子 简称光子c,,.
(1)频率为 ν的光照射到金属表面时,一 个光子的能量可被 一 个频率为 ν的光子的能量为 ε=hν,(17.10)
个电子吸收而使其动能增加 hν,获得能量的电子可能逸出金属表面,
设电子从金属表面逸出时克服阻力所需要的
2
1
mv h Aν
(17 11)
这是爱因逸出功为 A,则逸出光电子的最大初动能为,
m
2
=?
.11)
光电子的初动能跟入射光的强度无关,而与入射光的频斯坦光电效应方程,
率 ν成线性关系 ;只有光子的能量 hν≥ A时才能产生光电效应,因此存在一个红限频率 ν
0
:ν
0
=A/h.(17.12)
(2)光的能量一次性地被电子吸收,这一过程需要的时间极短 所以光电
(3)入射光的强度大,说明光束中单位时间内入射的光子的数量多,照射到金属表面时所打出的光电子数目
,
效应具有瞬时性,
也多,所以光电流大,饱和电流也大,
2.1.6 如何用光电效应测定普朗克常数?
由于 mv
m
2
/2=hν-A,而 ν
0
=A/h,所以得 mv
m
2
/2=h(ν-ν
0
).
比较公式 mv
m
2
/2=eK(ν-ν
0
),得 h=eK,(17.13)
其中 h是普朗克常数,K是 U
s
-ν直线的斜率,其大小可根据实验测量,
1916年,怀疑光量子论的美国物理学家密立根重新对光电效应进行了仔细,精确的实验研究,测得 K之后,测得普朗克常数发现 U
s
-ν的关系确实是一条直线 其斜率是 h/e 测得 h之值为 657× 10
-34
J s,,6.57× ·,
实验结果跟普朗克的辐射公式导出的 h值符合得很好,有力地证明了爱因斯坦光量子假设的正确性,
2.1.7 什么是光的波粒二象性?
光同时具有波动性和粒子性,这 种性波动性用波长和频质称为光的波粒二象性,就是光的本性,
根据光量子理论,光子能量为 ε =hν.
率来描述,而粒子性用能量和动量表示,
根据相对论的能量 —动量关系 由此可见,能量和动量公式通过普朗克常数 h
将光的粒子性和波动
(17.14)
E
2
=p
2
c
2
+m
0
2
c
4
,
Eh h
p
cc
ν
λ
= ==
性定量地联系起来了,
由于光子的静止质量为零,其动量为,
例 17.1 钨的光电效应红限波长是 λ
0
=2.74× 10
-5
cm.
求,(1)钨电子的逸出功 ;(2)在 λ=200× 10
-5
cm的紫外光求 在 2.00×
照射下,光电子的截止电压为多少?
解,(1)光电子的逸出功为
0
A hν=
0
c
h
λ
=
34 8
7
6.63 10 2 10
2.74 10
×××
=
×
19
7.26 10 J
=×
(2)根据爱因斯坦的光电效应方程
2
m
1
2
hmvAν =+
和截止电压的方程
2
1
eU mv=
2
1
/Umve=
m
2
s
截止电压为
1
()hAν=?
hc A
=?
m
2
s
34 8 19
6.63 10 3 10 7.26 10
168V
××× ×
=? =
e eeλ
719 9
1.68V
2.00 10 1.6 10 1.6 10
.
==
× ×× ×
例 17.2 已知某 X射线的波长为 λ=7.1nm,求与之对应的 X光子的能量和动量,
解,根据爱因斯坦光子假说,光子能量为
hc
34 8
663 10 3 10
hε ν
λ
==
光子的动量为
h
17
9
6.63 10
2.8 10 J
7.1 10
× ××
==×
×
34
24 1
6.63 10
93 10 k
×
p
λ
=
-
9
9.31 gms
7.1 10
.
= =×
×
2.2.1 什么是康普顿散射?其结果是什么?
光通过不均匀物质时
1922年到 1923年 美国物理学家康普向空间各个方向散射出去的现象称为光的散射,
年,
顿和我国物理学家吴有训研究了 X射线经金属和石墨等物质的散射现象从 X光管 R发射出的 X射线被一块石墨 A散射,散射后的 X射线经 窄 缝 B
1
和 B
2
进入由 晶体 C和游离 室 D构成的光谱仪,从而测 量
.
窄 和散射 X射线的波长,B
1
和 B
2
是平行的狭缝,选择 X射线的方向,
散射角 φ
晶体 C
结果发现,在散射的 X射线中除波长不石墨 A
散射角 φ
窄缝 B
1
,B
2
晶体游离室 D
波长的变的部分之外,还有波长变长的成份,
这种波长变长的散射称为康普顿散射,
2
0
2sin
2
λλλ Λ=? = +
其中 Λ称为康普顿波长 测得窄缝电流计 G
改变为,
(17.15)
,
λ
0
是入射的 X射线波长,λ是散射的从康普顿散射还发现,原子量小
X光管 R
Λ=2.41× 10
-12
m.
波长,φ为散射角,Δλ随 φ的改变而改变,而与散射物质无关,
的物质,康普顿散射较强,原子量大的物质,康普顿散射较弱,
2.2.2 如何用光量子理论推导康普顿散射公式?
设电子的静止质量为 m
0
,碰撞之前是静止的,静止能量为 m
0
c
2
,入射光的能量为 hν
0
,用 n
0
表示入射光在传播方向的单位矢量,其动量为 hν
0
n
0
/c.
光子散射之后 电子反
h
c
ν
n
,
冲的速度为 v,能量为,
22 2
0
/1mc m c β=?
其中 β=v/c.动量为
2
0
/1mm β=?vv
0
0
h
c
ν
n
φ
光子能量变为 hν,动量变为 hνn/c,n表示散射光在传播方向的单位矢量,
根据能量和动量守恒定律得
222
/1hmchmcνν β++
mv
(17 16)
:
00 0
,+ = +?
02
///1.hchcmν νβ=+?nnv两式移项整理后平方如下,
22 22 24 2 2 2 24 2
22 2 /(1)hhmch hmchmcmcνν ν ν ν β++? +? =?
.
(17.17)
0000 00
,
22 22 2 0 222 2
2/(1).hh h mcvν ννν β+=?nn
其中 n·n
0
=cosφ,φ为散射角,将上式减下式,可得
24 2 2 22 2 2 2
00 000
2(1cos)2() ( )/(1)mc h h mc mc c vν ν?νν β+?=
等式右边算得为 m
0
2
c
4
,等式可化简为
2
00 0
() (1cos)mc hν ννν=?
h
整理得,
00
(1 cos )
cc h
mc
νν
=?
由于
c
λ
ν
=
所以
2
0
0
2sin
2
.
mc
λλλΔ=? =
(17.18)
康普顿波长为
34
12
31 8
0
6.626 10
2.426 10 m
9.106 10 2.998 10
h
mc
Λ
×
== = ×
×× ×
理论与实验值符合得很好,有力地证明了光量子理论的正确性,
康散中
2.2.3 如何用光量子理论解释康普顿散射?
中(1)康 普顿 散 射 中光子波长变长的原因是,光子跟自由电
(2)如果光子跟原子 中 的内层电子碰撞,由于内层电子被原子束缚得很紧 光子
(3)对于原子量大的物质 内层电子子或者束缚较弱的电子发生碰撞时要
,
将与整个原子发生相互作用,由于原子质量较大,碰撞质,
较多,康普顿散射较弱,原损失一部分能量,光子的能量变小,频率降低 波长增大用后光子能量损失较少,波长不会有显著的改变,所以散射中有原 射波长的光原子量小的物质,康普顿散射较强,,入 射波长的光,,
2.2.4 康普顿散射有什么意义?
(1)爱因斯坦的光子理论不仅能解释光电效应,还能解释康普顿散射 进步证
(2) 康普顿散射涉及的是个别光子与个别电子之间的相互作用,因而证实了能量和动量守恒与转换定律在微观粒
,进 一 步证明了光量子理论的正确性,子相互作用过程中也同样严格成立,
例 17.3 波长 λ
0
=7.08× 10
-11
m的 X射线经石墨产生康普顿散射,
求在 φ =π/2方向上的 X射线波长及石墨中电子的反冲动能,φ
解,根据康普顿公式得 X射线散射后波长的变化量为
2
2i
h?
λΔ
πh
34
12
6.63 10
×
0
2 sin
2mc
=
散射后的波长为
0
(1 cos )
2mc
=?
31 8
2.4 10 m
9.1 10 3 10
= =×
×××
根据能量守恒和转换定律,石 墨 中电
λ=λ
0
+Δλ=7.08× 10
-11
+2.4× 10
-12
=7.32× 10
-11
m.
石 墨子得到的动能等于光子失去的能量
Eh hνν=
cc
hh
0
()hc λ λ? hc λΔ
k0
34 8 12
17
6.63 10 3 10 2.4 10
921 10 J
×××××
0
λ λ
=?
0
λλ
=
0
λλ
=
10 10
9.21 10
0.708 10 0.732 10
= =×
×× ×
电子的反
k
2E
17
29210
××
反冲速度冲速度为
e
v
m
=
7
31
.21
1.4227 10 m/ s
9.1 10
= =×
×
接近光速,
17.3 氢原子光谱和玻尔理论
3.1 氢原子光谱的实验规律是什么?
原子发光是原子的重要现象之一,反映了原子的内部结构及其状态变化,研究原子光谱是人类探索原子世界的重要手段,
人们经过长期研究 拍摄出氢原子光谱 并总结两条规律,,.
赖曼系巴尔末系 帕邢系
(1)氢原子光谱是一根根分离的谱线,谱线的波数,即波长的倒数不能连续变化 波数用 表示
1/λ
ν
紫外区 可见光区 近红外区
.,,
H
22
11
()R
mn
ν =?
其中 R
H
=1.096776× 10
7
m
-1
,是 一 个实验常数,
νλ=
(2)任意一根谱线的波数都可一个公式计算,
(17.19)
× 个实验常数称为里德伯恒量,m和 n都是正整数,且 n>m.
当 n取遍大
①当 m=1,n≥2时对应紫外部分的赖曼线系 ;
当于 m的一切正整数时,公式
③当 m=3,n≥4时对应近红外部分的帕邢线系 ;
②当 m=2,n≥3时对应可见光部分的巴尔末线系 ;
给出一族谱线,
称为谱线系,
④当 m=4,n≥5时对应红外部分的布喇开线系 ;
⑤当 m=5,n≥6时对应远红外部分的普芳德线系,
3.2.1 经典理论为什么不能解释氢原子光谱的实验规律?
为了从理论上解释氢原子光谱的实验规律 就需要了解原子结构,.
早在二十世纪一十年代,通过对 α 粒子散射的充分研究,卢瑟福提出了原子核式结构模型,原子中全部正电荷和几乎全部质量都集中按经典电磁学理论,电子由于做加速运动,要向外辐在原子中央一个很小的体积内,称为原子核,电子在核外绕核转动,
射电磁波,并且电磁波的频率等于电子绕核转动的频率,
由于向外辐射能量,其能量将连续减小,转动的频率也将逐渐变化,
(1)能量的变化应该是连续的,因此电子绕核转动的频率也应由此得出的两点推论与实验事实矛盾,
()
该以及向外辐射的电磁波的频率也应该是连续变化的,原子发出的光谱应该是连续光谱,而事实上原子光谱是分立的线光谱,
(2)电子在减少能量时,轨道半径也会减小,最终会落到原子核的表面,原子将崩溃,而实际上原子是很稳定的,
可见经典理论不再适用于原子的微观过程,
3.2.2 玻尔氢原子理论的基本假设是什么?
(1)定态假设,原子系统只能有 一 系为了克服经典物理学的系列能量不连续的状态,相应的能量值为 E
1
,E
2
,E
3
,…,在这些定态上原子不困难,丹麦物理学家玻尔以实验事实为基础,将普朗克的能量子概念用于氢原子向外辐射能量,这些状态称为定态,
(2)量子跃迁假设,只有当原子从 一系统,建立了氢原子的玻尔理论,成功地解释了氢原子
()
个定态 E
m
跃迁到另一个定态 E
n
时才发射和吸收辐射,其吸收或辐射光子的频率为
E
n
光谱的实验规律,
ν=(E
n
-E
m
)/h(17.17)
(3)轨道角动量量子化假设,电子的
E
m
v
r
n
m
e
ν
轨道角动量 L等于 h/2π的整数倍,
L=m
e
vr
n
=nh/2π,n=1,2,3,… (17.18).
h为普朗克常数 称为量子数 公式
E
1
E
2
……
,n,
称为量子化条件,
玻尔以三大基本假设为基础,计算了氢原子定态能量等,
3.2.3 氢原子轨道半径和能量是多少?
(1)氢原子的核外电子在核的
(2)电子的势能为
2
p
,
4
e
E =?
库仑力作用下作圆周运动,可得
22
e
2
,
4
ve
m =
()
0
π
n
rε
动能为
2
ke
1
2
Emv=
2
,
8
e
=
0
π
nn
rrε
2
2
e
e
(),
4π
nn
me
mvr r
ε
=
总 能 量 为
2
kp
,
n
e
EEE= +=?
搭配得
0
π
n
rε
0
能为
0
8π
n
rε
4
e
22 2
1
,
8
n
me
E
hnε
=?即
(17.20)
利用 m
e
vr
n
=nh/2π 得
2
e
4π
n
me
r
ε
2
(),
2π
nh
=
2
2
0
2
e
,
π
n
h
rn
me
ε
=
(17.19)
0
n=1,2,3,…
()
0
所以可见氢原子能量是量子化的,称为
n=1,2,3,…
可见氢原子轨道是量子化的,当
n=1时 r 是最靠近原子核的轨道原子能级,当 n=1时,E
1
是最低能级,
4
e
1
me
E =?
时,
1
半径,称为第一玻尔半径,
2
10
0
1
0.529 10 m.
h
r
ε
==×
22
0
8 hε
=-2.18× 10
-18
J=-13.6eV,
在正常情况下,原子处于最低能级,
此态称为基态,其他态称为激发态,
2
e
πme
计算值与实验结果十分吻合,
3.2.4 玻尔氢原子理论如何解释氢原子光谱?
氢原子中电子从 m态跃迁到 n
nm
EE?
4
e
11
()
me
态 时放出或吸收光子的频率为
h
ν =
用波数表示为
1 ν
ν = =
(17 21)
23 2 2
0
8 hm nε
=?
4
e
23 2 2
11
()
me
=?
cλ
.
里德伯常数为
4
7-1
e
H
23
1.097373 10 m
me
R = =×
0
8 hc m nε
0
8 hcε
可见,里德伯常数由一些常数组成,计算值与实验值的吻合有力地证明了玻尔理论的正确性,
氢原子光谱的规律是
H
22
11
()R
mn
ν =?
可见,玻尔理论成功地解当氢原子的核外电子从 n>2的能态向 m=2的能态跃迁时,所放出单色光属于巴耳末系,
意 个氢释了氢光谱的实验规律,
玻尔于 1913年预言了赖曼系,布喇开系和普芳德系,这些光谱于 1915年到 1924年被陆续发现 玻尔理论对类注 意,在某一瞬间,一 原子只能发出一条谱线,大量氢原子从各种激发态发出的一到,
氢原子的光谱也能给出很好的说明,
系列谱线组成的氢原子光谱,
H
22
11
()R
mn
ν =?
m=1,2,3,…
n=2,3,4,… (n>m)
n
m
3.2.5 玻尔氢原子理论的局限性和意义是什么?
玻尔理论虽然取得了很大的成功,但是该理论不能解释光谱线的强度,光的偏振及光谱的精细结构等问题,甚至对于稍为复杂一点的原子 (如氦原子 )光谱也不能解释,
玻尔 论 原 域内的 拓性 论 他提的 态假但是 理 论 是 原 子领 域内的 开 拓性 理 论,他 所 提 出 的 定设 (每个稳定态有一定的能量,能量是量子化的 )和 量子跃迁假设
(从一个定态跃迁到另一个定态时发出或吸收频率一定的光子 )
以及 能量和角动量量子化 等概念仍然是量子力学中的重要概念,
玻尔的工作是人类探索原子世界过程中的 一 个重要的里程碑,
玻尔理论的根本缺陷在于对微另一方面又人为地加上与经典物理不个重要的里程碑他一方面把微观粒子看作经典力学中观粒子的运动规律没有一个完整的理论体系相容的量子化条件来限定微观粒子的状态和能量的质点,用轨道和坐标描述其运动,用牛顿力学进行计算
,
玻尔理论是经典理论加上量子化条件的混合物,史称旧量子论,
旧量子的缺陷使人认识到微观粒子的运动不能用经典物理学来
.;
描述,需要打破传统观念,建立新的描述微观粒子运动的理论体系,
17.4 粒子波动性
411什么是德布罗意物质波假设?4.1.1
1924年法国物理学家德布罗意对经典物理学的发展历程和光的波粒二象性进行了深入细致的研究,
回顾人类对光本性的认识过程,他得到一个有趣的结论,我们 一 直认为只具有波动性的光,实际上还直认为只具有波动性的光具有粒子性,其粒子性直到 20世纪才被人们发现,
反过来,一直以粒子性呈现在我们面前的实物粒子,
如电子等,是否也有尚未被揭示出的波动性呢,
由此出发,按照自然界应当和谐和对称的思想,德布罗意大胆假设 实物粒子也应当具有波动性则一个以动量 p运动的能量为 E的实频率为 ν和波长为 λ 的
,.
物粒子,对应波长为 λ =h/p,(17.25)
频率为 ν=E/h,(17.26)
光波对应能量为 ε=hν,动量为 p=h/λ 的粒子,
这种和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波,两个公式称为德布罗意公式,
例 17.4 计算下列三种运动物质的德布罗意波长,
(1)质量为 0.01kg,速率 v=300m·s
-1
的子弹 ;
解 (1)根据德布罗意
hh
(2)以速率 v=2.0× 10
3
m·s
-1
运动的质子 ;
(3)动能为 1.6× 10
-17
J的电子,
34
6 625 10
×
解,
公式得子弹的波长为,p mv
λ= =
(2)质子的质量为
hh
34
.
2.21 10 m
0.01 300
==×
×
34
6 625 10
×
m
p
=1.67× 10
-27
kg,
德布罗意波长为,
p
p mv
λ= =
电 的质量为 根据动量 动能
10
27 3
.625 10
1.98 10 m
1.67 10 2.0 10
==×
×××
(3)电 子 的质量为 m
e
=9.1× 10
-31
kg,和 动能 公式 p=m
e
v和,得动量为
2 2
e
k
22
mv p
E
m
==
ek
2p mE=
e
电子的德布罗意 波 长 为,
ek
2
hh
p
mE
λ==
34
10
31 17
6.625 10
1.227 10 m
29.110 1.610
×
==×
× ×××
波为小结,日常所遇到的宏观物体的德布罗意波长太短,我们无法用实验的方法观察到波动特性 ;对于质量很小的微观粒子,因为它们的德布罗意波长跟原子大小及晶体中原子的距离相当,因此不能用经典理论把它们当宏观物体处理,
4.1.2 怎么验证德布罗意假设?
1927年戴维孙和革末将电子束投射到镍单晶上,观察到与 X射线衍射相似的电子衍射图样,首先证实了电子的波动性,
同年,汤姆逊用强电子束穿过多晶薄膜,也得到了与 X射线穿越多晶薄膜时极为相似的衍射图样,
再次证明了电子的波动性,
电的波性被实之 其他
X射线经晶体的衍射图继 电 子 的波 动 性被 证 实之 后,微观粒,如质子,中子,原子和分子等的波动性也相继得到证实 它们的实测波长,
与用德布罗意公式计算的结果一致,
由此可见 微观粒子在具有粒子性的:
同时,还具有波动性,波粒二象性是所有微观粒子的固有属性 而德布罗意,
公式是反映波粒二象性地基本公式,
电子束经晶体的衍射图
4.1.3 为什么说物质波是一种概率波?
在电子衍射图案中 衍射图样是以接收屏或照,
相底片上感光强度的规则性分布形式呈现出来,
而感光强度 正比 于打在对应位 置 的感光 电 子数,而感光 电 子数度大的地方 电 的概率大 度小的电 的概率小于打在对应位 的感光 子数 子数又对应位置出现的概率,所以衍射图样中感光强度的规则性分布实际上电子在空间各位置出现的概率呈现规则性分布的反映,
强,电 子出现 的概率大,强 子出现 的概率小,
就单个电子的一次行为来说,虽然它打在何处是不确定的,具有偶然性 但打在任意 处的概率是确定的 而打在不同位置处,一 处的概率是确定的,
的概率一般是不同的,电子在空间各位置出现的概率呈确定的分布,从而产生确定的衍射图样,所以说物质波是 一 种概率波,种概率波概率波概念将经典观念不能兼容的粒子性和波动性统一于一体,
粒子一旦在某处出现 总是整个粒子 因此 概率波相当完,,
并不是粒子的一部分,这就维护了粒子性,而粒子落点的概率分布又服从波动
,
善地表达了实物粒子的波粒 二 象性,是 一性规律,形成衍射图样,体现出波动性,
象性 是个全新的物理模型,
在经典力学中,粒子沿着空间一定的轨道运动,其坐标和速度 (动
4.2.1 电子单缝衍射的不确定关系是什么?
量 )能同时测定,微观粒子因具有波动性,不能用坐标和速度来描述,
微观粒子在空间各处都有一定的出现概率,就不能肯定粒子究竟出现在何处 即 粒子的空间位置具有不确定性
X
屏幕
,即,,
与此类似,粒子的动量也具有不确定性,
束电子以动量 沿 OY轴通过
a
Y
o
p
p
y
p
x
电子屏幕
O
一 p沿宽为 a的狭缝,在屏上形成衍射条纹 一 个电子通过狭缝时 由于波根据单缝衍射公
2θ
电子衍射图样纹,,
动性,不能确定它在 X方向的什么位置通过,不确定量为 Δx=a.
电子通过狭缝后在 X方向有不为零的动量 p
x
,如果电子落在中央明条纹中 的范围是 0≤ ≤ i θ 动量在 X方式 (k=1):sinθ=λ/a得
Δp /p=λ/Δx;
中,p
x
p
x
ps n,方向的不确定量为 Δp
x
=psinθ.
x
考虑次级条纹则得 Δ Δ ≥ h
根据德布罗意公式
λ=h/p得 Δx·Δp =h
这是针对单缝衍射的特例通过粗略讨论得出来的,
x· p
x
≥,
得
x
.
量子力学中可以证明不确定关系为,Δx Δp ≥?/2 (17 27)
4.2.2 什么是微观粒子的不确定关系?
·
x
.,
其中?=h/2π,称为约化普朗克常数,这种关系称为不确定关系,
此式说明,微观粒子的坐标和动量不可能同时确定,
粒子位 置 越确定,即不确定量 Δx越小,其动量越确定就越不确定,即不确定量 Δp
x
越大 ;反之亦然,
如果粒子 的 位 置 完 全 确定,其 不 确定 量 Δx为零,则其动 量 将完位 完 确定 其确定 将完全不确定,就是粒子以什么速度朝什么方向运动是无法预知的,
因此,微观粒子不存在轨道的概念,
4.2.3 普朗克常数起什么作用?
从不确定关系等公式中可以看到,普朗克常数
h在量子物理中扮演了一个十分重要的角色,
如果 h 0 则微观粒子的坐标和动量都可以同时=,
确定,微观粒子和宏观物体将没有什么区别,
尽管 h
34
是 个很小很小的数 但=6.63× 10
-
J·s是 一 个很小很小的数,但是由此引起的效应对于微观粒子来说是不能忽略的 这是因为微观世界的尺度本来就很小,.
宏观世界的尺度是如此之大,h是一个微不足道的量,可以当作零处理 不需要量子理论 用经典理论就够了,,.
17.5 薛定谔方程
5.1.1 什么是波函数?自由粒子的波函数是怎样的?
波函数 Ψ是描述微观粒子概率波的数学函数,它是空间坐标和时间的函数 即 Ψ Ψ( t)或 Ψ Ψ( t)
量子力学的核心问题之一就是求各种不同情况的微观粒子的波函数
,即 = x,y,z,或 = r,.
一个频率为 ν,波长为 λ,沿 X方向传播的单色平面波的波动方程为,
(,) cos2πyxt A=
(17.29)
()
x
tν
λ
.
写成复数形式就是,
(,) exp[ i2πyxt A=? (17.30)
上式是下式的实部,
()]
x
tν
λ
一个动量为 p,能量为 E,沿 X方向运动的自由粒子,对应一个波长为
λ=h/p,频率为 ν=E/h,沿 X方向传播的单色平面波,用波函数表示,
x 12π
0
(,) exp[ i2πxtΨ ψ=?
这就是描述沿 X方向以动量 p,能量 E运动的自由粒子的波函数,
()]tν
λ
0
exp[ i ( )]Etpxψ=
=
0
exp[ i ( )]Etpx
h
ψ=
(17.31)
在三维情况下,自由粒子沿矢径 r方向传播,波函数为,
0
2π
(,) exp[i ( )]tEt
h
Ψ ψ=rpr
(17 32)
或
i
( ) { [ ( )]}EΨ
.
或
0
,,,exp
xyz
xyzt tpxpypψ=++
=
注意,一般粒子的波函数没这么简单,也不能用这种类比的方法得到,
5.1.2 波函数的统计意义是什么?
由于波在某处的强度正比于该处波幅度的平方,而强度又正比于粒子在该处出现的概率,
所以波幅度的平方与粒子出现的概率成正比,
描述概率波的波函数通常是复数,其幅度的平方可记 |Ψ|
2
=Ψ·Ψ
*
.
波函数模的平方 |Ψ(x,y,z,t)|
2
与 t时刻粒子在空间 ( )处单位体积内出现的概率成正比据此出发,玻恩于 1926年给出了波函数的统计解释,
间 x,y,z,
取比例系数为 1,则 |Ψ(x,y,z,t)|
2
就是 t时刻粒子在空间
( )处单位体积内出现的概率 称为概率密度波函数的统计解释能够说明微观粒子的运动问题,所得的结 与实验事实完全符合 此玻 的解 为大家所
x,y,z,.
结 果 与实验事实完全符合,因 恩 的解 释已 为大家所 公认,
5.1.3 波函数的标准条件是什么?
根据波函数的统计解释 粒子在体积:
元 dτ=dxdydz出现的概率为 |Ψ|
2
dτ.
由于粒子总要在空间某处出现 即 某时
2
||d1
V
Ψτ=
∫
这就是波函数的归 一 化条件
(17.33)
,即,
刻粒子在全空间出现的概率为 1,因此有,
化条件,
由于在任一确定时刻粒子出现的概率是确定的,不可能为无穷大 (因为总概率为 1) 而且空间各处概率的,,
分布应该是连续的,不能突变,因此,波函数必须满足单值,有限和连续 三 个条件,这就波函数的标准条件,个条件注意,物质波的波函数 Ψ 与经典物理中关于波的函数有明显的不同,例如,电磁波的 E描述电磁场的电场强度,而物质波的 Ψ 本身没有直观的物理意义,只有 |Ψ|
2
才反映粒子在空间出现的概率,
5.1.4 什么是波函数的叠加原理?
微观粒子的状态用波函数 Ψ描述 如果 Ψ 和 Ψ 是,
1
和
2
是微观粒子量子系统的两个状态,那么它们的任意叠加 Ψ=c
1
Ψ
1
+ c
2
Ψ
2
也是系统的可能状态其中 |c
1
|
2
+|c
2
|
2
=1.
这就是波函数的叠加原理,
加,
很多量子现象都可以用叠加原理来解释,例如电子的双缝干涉现象,
波函数的叠加原理在量子力学中占有重要地位,被费曼称为量子力学的第 一 原理,原理
5.2.1 自由粒子的薛定谔方程是什么?
描 述经 典波 的 数学函数是某 一这 一 微分方程由奥地利
1
典波 数学函数是某微分方程的解,描述概率波的波函数也应该是某一微分方程的解,
微分方程由奥地利物理学家薛定谔于 1926
年发现,称为薛定谔方程,
一个沿 X方向运动的自由粒子的波函数为,
0
(,) exp[i ( )]xt Et pxΨ ψ=
=
(17.34)
i1pΨ?
对 x取一阶偏导数得
0
exp[ i ( )]Etpx
x
ψ=
= =
对 x取二阶偏导数得
2
2
i1
() [i( )]
p
Et
Ψ?
(17 35)
2
p
Ψ
对
0
2
exp[i px
x
ψ=
= =
.
对 t取 一 阶偏导数得
i1
exp[ i ( )]
E
Et px
Ψ
ψ
=
(17.36)
2
=?
=
i
EΨ
=
对 阶偏导数得
0
t? = =
如果自由粒子的速度远小于光速 粒子的能量为,
2
2
p
EΨ Ψ=
两边同乘以 Ψ得,
2
,
2
p
E=
=
,
m
由 (17.35)式得
22
2
,
22
p
mmx
Ψ
Ψ
=?
=
由 (17.36)式得
iE
t
Ψ
Ψ
=
=
m
两式联立得,
22
2
i
2mx t
Ψ Ψ
=
=
=
(17.37)
这就是一维空间自由粒子的薛定谔方程,
5.2.2 势场中的薛定谔方程是什么?
2
()
p
Vxt E+
对于 一 个在势场中运
(17 38)(,)
2m
=
个在势场中运动的粒子,能量关系为
22
pΨ
Ψ
i
E
Ψ
Ψ
对自由粒子的波函
.
22
,
x
=?
= t
=
=
数求导时已经得到,
可以将动量和能量
2
当作微分符号,可得,
22
2
,p
x
=?
=
iE
t
=
=
能量关系就变
22
()iV
=
=
作用在波函数上得 维势场 V( t)
22
ΨΨ =
(17.39)
成符号关系,
2
(,)i
2
xt
mx t
+=
一 维势场 x,
中运动的粒子的薛定谔方程如下,
2
(,) i
2
Vxt
mx t
Ψ?+=
=
在三维情
2
()tΨ? =
况下就是,
2
(,,,)
(,,,) (,,,) (,,,) i
2
xyz
xyzt Vxyzt xyzt
mt
ΨΨ + =
=
222
这就是薛定谔方其中,
2
222
xyz
=++
(17.40)
程的一般形式,
注意 (1)薛定谔方程是量子力学中的 个基本方程 其地,一 个基本方程,
位与牛顿定律在经典力学,麦氏方程组在电磁学中的地位相当,当
(2)薛定谔方程不能由其他原理导出,而是基本假设,其正确性已被大量的实验证实实,
(3)前述步骤不是薛氏方程的推导,而是方程建立过程的简介,
量子力学的核心问题之 一 就是由薛定谔方程求解波函数就是由薛定谔方程求解波函数,
5.2.3 什么是定态和定态波函数?
在一维场中,如果势能只是坐标的函数而与时间无关,那么波函数 Ψ可表示为坐标函数 ψ(x)和时间函数 f(t)的乘积 Ψ(x,t)=ψ(x)f(t).
代入有势场的薛定谔方程得
22
d() d()
() () () () i ()
xf
ft Vx xft x
ψ
ψψ? + =
=
=
:
2
2d dmx t
各项除以 ψ(x)f(t),
得,
22
2
d() d()
() i
2()d ()d
xft
Vx
mxx ftt
ψ
ψ
+=
=
=
(17.41)
得等式左边是坐标的函数,右边是时间的函数,坐标和时间是独立的变量,要使等式成立,两边就要等于同 一 个常数,
i
( ) exp( ).f tEt=?
=
个常数
d()
i,
()d
ft
E
ft t
= =
由 指数是 个无量纲的数 所以 具有能量的量纲 由 式设常数为 E,
则右边方程为,
方程的一个特解为,
(17.42)
由 于 指数是 一 个无量纲的数,E,由 (17.41)式可知,E就是粒子的总能量,能量不随时间变化的状态称为定态,
波函数
i
这种形式的波函数可化为,
(,) ( )exp( )xt x EtΨ ψ=?
=
称为定态波函数,
概率密度为,
2*
|()| ()()xt xt xtΨΨΨ=
* 2
() () | ()|
(17.44)
|(,)| (,)(,)
可见,在定态中,在空间发现粒子的概率密度也与时间无关,
xx xψ ψψ= =
5.2.4 什么是定态薛定谔方程?
(17.41)式的 左边
22
d () d ()
() i
x f t
Vx E
ψ
+
=
= (17 41)
()
也等于同一常数 E:
这就是一维运动粒子
(17 43)
22
d ()
() () ()
x
Vx x E x
ψ
ψψ+
=
即
2
()
2()d ()dmxx fttψ
+==.
如果粒子在三维空间中运动,则势场为 V=V(x y z),定态波函数的定态薛定谔方程,
.
2
2dmx
+=
即,
,,
为 ψ=ψ(x,y,z),上式可推广为,
2222
222
()
2
VE
mx y z
ψψψ
ψ ψ
+++=
=
引入拉普拉斯算符
222
2
222
xyz
= + +
公式可以改为简练的形式
2
2
2
VE
m
ψ ψψ+=
=
(17.45)
这就是在势场 V(r)中运动的粒子的定态薛定谔方程,
注意,无论是定态问题还是非定态问题,其薛定谔方程的求解通常是相当复杂的,只有少数几个问题可以严格求解,
0(0 )xa<<
设有 一 质量为 m的粒子在 一
5.3.1 粒子在一维无限深势阱中运动的特点是什么?
0,(0
()
.( 0 )
Vx
xxa
=
∞≤ ≥
或曲线如图所示 由于图形像井且深度无
∞∞
质量为维势阱中运动,势场函数为
,
限,因而形象地称为一维无限深势阱,
由于势能曲线与时间无关,所以属于定态问题,
由于势阱无限高,粒子不能运动到势阱之外,所以 ψ(x)=0,(x≥a,x≤0).
(17.46)
22
2
d
0,(0 )
2d
E xa
mx
ψ
ψ+ =<<
=
),
V(x)
粒子在阱内的薛定谔方程为,
2/kmE= =
方程简
2
2
d
0k
ψ
ψ+=其通解为 ψ(x)=Asinkx+Bcoskx (17 48)
x
o
a
设 (17.47)
化为
2
,
dx
.,
由于波函数是连续的,在 x=0处有 ψ(0)=0,所以 B=0.
波函数为 ψ(x)=Asinkx.
(1)能量,在 x=a处也有 ψ(a)=0,所以 Asinka=0.
由于 A不恒为零 所以 ka=nπ
22 22
,.
k只能取不连续的值,用 k
n
表示,则 k
n
=nπ/a,(n=1,2,3…).
2/
nn
kmE= =
由
2
2
π
,( 1,2,3,...)
22
n
n
k
Enn
mma
== =
= =
n称为量子数
n=4
E 16E
得
(17.49)
.
4
=
1
要使问题有解,粒子的能量只能取分立的值,或者说能量是量
n=1状态称为基态,也就是粒
22
E
π =
n=3
E
3
=9E
1
子化的,E
n
称为能量的本征值,
子能量最低的状态,最低能量为,
1
2
2ma
=
其他态称为激发态,能量为 E =n
2
E
1
.
n=2
E
2
=4E
1
n
x
o
a
n=1 E
1
=π
2
2
/2ma
2
E
2
,E
3
,…分别称为第一激发态,第二激发态,粒子能量的分布可用能级图表示,态
(2)波函数,与能量
E
n
对应的波函数为,
π
() sin sin,(0 )
nn
n
xAkxA x xa
a
ψ = =≤≤
根据归一化条件得,
222
0
π
1||d sin d
a
n
n
xA xx
a
ψ
∞
==
∫∫
Ψ
n
(x)
n=4
|Ψ
n
(x)|
2
∞
22
0
12
(1 cos )d
a
na
AxxA
a
π
=? =
∫
可得,2/A a=
(0 )
2 π
xa
n
≤ ≤
n=3
波函数为
() sin,
1,2,3,...
n
xx
naa
ψ =
=
(17.50)
概率密度为
22
2 π
|()| i
n
n=1
n=2
s n
n
xx
aa
ψ =
可见,粒子在 势阱 中出现的概率因地
o
a
x
0
a
x
这些结果与经典力学根而异,有些地方出现的概率大,有些地方出现的概率小,在阱壁处的概率本不同,按照经典力学的观点,粒子在势阱内各处为零 ;概率分布还随量子数改变,
出现的概率应该相等,
注意,(1)n不等于零,否则波函数恒为零,
概率也为零 就是说在势阱中找不到粒子,.
(2)如果 n小于零,波函数只改一个符号,概率不变,所以 n取自然数,
0
,( 0)Vx>
E
设 一 维势场形分布为
5.3.2 粒子在一维势垒中运动的特点是什么?
()
0.( 0)
Vx
x
=
<
如图所示,就称为一维势垒,
V
0
解,质量为 m能量为 E的粒子在维势场形分布为
2
1
d 2
0( 0);
mE
x
ψ
ψ+<
2
02
2 ()d
0( 0)
mE Vψ?
xo
解势垒中运动的薛定谔方程为
1
22
0,(0
dx
+ = <
=
2
22
0,(0
d
x
x
ψ+ =>
=
设
1
2/,kmE= =
20
2 ()/,kmEV=? =
设则得
2
2
1
11
2
d
0,( 0);
d
kx
x
ψ
ψ+=<
2
2
2
22
2
d
0,( 0)
d
kx
x
ψ
ψ+ =>
(17.51)
方程的通解为 (17.52)
ψ
1
(x)=Aexp(ik
1
x)+A'exp(-ik
1
x),(x<0);
ψ
2
(x)=Bexp(ik
2
x)+B'exp(-ik
2
x),(x>0).
将 ψ
1
(x)和 ψ
2
(x)分别乘以 exp(-iEt/?),可知,两式中的第一项表示向正 x方向传播的波,第二项表示向负 x方向传播的波,
其中,Aexp(ik
1
x)表示入射波,A'exp(-ik
1
x)
表示反射波,Bexp(ik
2
x)表示透射波,
由于在 x>0的区域没有反射波,所以 B'=0.
(1)当 E>V
0
时,就是粒子能量 E大于势垒高度 V
0
,从经典力学的观点看,粒子完全能够越过势垒到 x>0的区域 ;
E
透射波入射波但从量子力学的观点来看,粒子在
E>V
0
反射波
x<0处除了入射波 (兰色 )之外还存在反射波 (红色 )A'exp(-ik
1
x),总的波是入射波和反射波的叠加
V
0
入射波 +反射波由于 k
2
<k
1
,透射波 Bexp(ik
2
x)的
.
xo
的波长比入射波的波长要长,
总之,粒子在势垒内外都有一定的出现概率,
(2)当 E<V
0
时,就是粒子能量 E小于势垒高度 V
0
,从经典力学的观点看,粒子不能越过势垒到 x>0的区域,
00
2
2( ) 2( )
i,
mE V mV E
k
==
= =
E
V
0
这时可得波函数为
22
() exp(i )xB kxψ =
E<V
透射波入射波 +反射波
0
2( )
exp[ ]
mV E
B x
=?
=
xo
0
(17.53)
说明,在量子力学中即使能量 E小于势垒高度 V 粒子仍然能够透入到势垒中
0
,.
透射波有一定的透入深度,这完全是一种量子效应,
5.3.3 什么是隧道效应?
0,( 0,)
()
xxa< >
对于有限高和有
E
V
0
0
,)
.(0 )
Vx
Vxa
=
<<
限宽的一维势垒,
2
2
1
d
0( 0)k
ψ
+<
质 量 为 m,
E<V
0
透射波
11
2
0,(0;
d
x
x
ψ+ = <
2
2
2
22
2
d
0,(0 );kxa
ψ
ψ+ = <<
质为能量为 E
的粒子在个区域
x
o
a
入射波 +反射波
dx
+<<
当粒子能量 E<V
0
时,
在 x<0区域中的粒三的薛定谔方程为,
2
2
3
13
2
d
0,( ).
d
kxa
ψ
ψ+ =>
方程在子可以穿过势垒到达到势垒右边 x>a
x
ψ
1
(x)=Aexp(ik
1
x)+A'exp(-ik
1
x) (x<0);
其中
1
2/,kmE= =
20
2( )/,kmEV=? =
的通解为,
的区域,如同势垒中有一条隧道,这种现象称为隧道效应
A,
ψ
2
(x)=Bexp(ik
2
x)+B'exp(-ik
2
x),(0<x<a);
ψ
3
(x)=Cexp(ik
1
x) (x>a)
.
,.
隧道效应已经被大量实验所证实,例如冷电子发射 (电子在强电场作用下从金属表隧道效应也得到广泛的应用 例如半导体器件 超导面逸出 ),α 粒子从原子核中释放,等等,
用,,
和扫描隧穿显微镜,等等,
17.6 氢原子的量子力学处理
6.1.1 氢原子波函数的薛定谔方程是什么?
氢原子是由两个粒子,质子和电子组成的系统,
质子形成带正电的原子核,其质量是电子质量的电子和原子核之间的电势能为
1836倍,因此在电子绕核运动时可认为核是静止的,
2
0
()
4π
e
Vr
rε
=?
其中 e为电子电量,r为电子到核的距离,
电 子绕核 运 动
2
2
e
2
()0
m e
Eψψ?+ + =
z
(17 54)
由于 V(r)不随时间改变,所以是一个定态问题,
动的薛定谔方程为,
2
0
4π rε =
势能是 球 对称的,球 坐标变换如下
o
r
θ
.
球 球
x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.
电子在球坐标系中的薛定谔方程为
22
x
y
φ
2
e
22 222
0
211 1
() (sin) ( )0
sin sin 4π
m e
rE
rr r r r r
ψ ψψ
θψ
θθ θ θ? ε
++++=
=
其中 是球坐标系中的波 数ψ=ψ(r,θ,φ) 函 数,
6.1.2 氢原子波函数的常微分方程是什么?
设 ψ(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ )Φ(φ),
其中 R(r),Θ(θ )和 Φ(φ)分别是 r,θ 和 φ的函数,和 和经过一系列数学换算后可得三个函数所满足的三个常微分方程,
2
2
2
d
0
d
l
m
Φ
Φ
+ =
2
(17.55)
解这些微分方程并利用波函数标准条件 (单
2
1d d
(sin ) ( ) 0
sin d d sin
l
mΘ
θλΘ
θ θθ θ
+?=
单值,连续和有限 )
和归 一 化条件
(17.56)
化条件,
可得出一些重要的结论,
2
2
e
22 2
0
21d d
()[( )]0
dd 4π
mRe
rE R
rr r rr
λ
ε
++?=
=
(17.57)
其中 m
l
和 λ是引入的常数,
6.2.1 氢原子能量量子化公式是什么?
氢原子的能量是不连续的
4
1me
()
,
处在第 n个定态的总能量为,
22 2
0
,
8
n
E
hnε
=?
n=1,2,3,…
(17.58)
n称为主量子数,E 和 n
2
成反比,公式表明,氢原子的能量是量子化
n
和的,这种量子化的能量值称为原子能级,
当 n=1时,原子处于基态,能量最小,
4
1
22
0
13.6eV,
8
me
E
hε
=? ≈?
这就是氢原子的基态电离能,
即,将电子从氢原子的基态移
n>1的各个状态称为激发态,n=2为第一激发态,n=3
到无穷远处需要的能量,
当氢原子从一个能量为 E
n
的状态跃迁到另一个能量为 E 的状态时 将发出或吸收 个光子 其频率为为第二激发态,其余类推,
m
,一 个光子,
4
23 2 2
11
()
nm e
EE m
ν
==?
当 E
n
>E
m
时,氢原子发射光子 ;
当 E <E 时 氢原子吸收光子
0
8hhmnε
当
n m
时,.
注意,这里的氢原子能级公式和跃迁频率公式与玻尔氢原子理论所得结果完全相同 这些结果是根据氢原子的定态薛定谔,
方程解得的,不需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件,
6.2.2 氢原子角动量的量子化公式是什么?
(1)Lll=+ =
(17 59)(l=012 n-1)
氢原子中电子的角动量也
,
.=0,1,2,…,
其中 l为角量子数或副量子数,
只能取分立的值,其大小为,
对于同一个 n值,l可以取从 0到 n-1共 n个不同的值,
氢原子内电子的状态
l=0,1,2,3,4,5的状态通常用字母
nl 01 2 3 4 5
d f h
s,p,d,f,g,h表示,
s p g
11s
例如 n=3,l=0状态的
22s2p
33s3p3d
电子称为 3s态电子 ;
n=3,l=1状态的电
44s4p4d 4f
55s5p5d 5f 5g
子称为 3p态电子,
66s6p6d 6f 6g6h
6.2.3 氢原子角动量的空间量子化公式是什么?
绕核运动的电子具有角动量,而角动量是矢量,
L
z
6L =
B
按经典力学,矢量的空间取向可以连续变化,矢量在空间任意方向的投影也能够连续变化在量子力学中,氢原子核外电子的角动量在空间任意方向 如外磁场方向 的投影也是
2?
=
.
( )
不连续的,只能取一些特殊的不连续的值
( ± ± ± l)( )
o
-?
L
z
=m
l
,m
l
=0,± 1,± 2,…,± ) (17.60
-2?
即,角 动量 在 空间 任 一方向的投影也是对于确定的 l,m
l
只能取 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1个值,m
l
称为磁角在任量子化的,这种现象称为空间量子化,
量子数,例如,当 l=2时,,L
z
可取 -2?,-?,0,?,2?.(1) 6Lll=+= = =
6.3.1 氢原子中电子的概率是如何分布的?
量子力学已经没有轨道的概念,而是用空间概率分布的概念,
在氢原子中求解薛定谔方程可得到电子的波函数 ψ(r,θ,φ).
每 一 组量子数 (n l m ) 都有 一 组波函数描述 一 个确定的状态,
(18-65)
组量子数,,
l
,组波函数描述 个确定的状态
,,,,
(,,) () () ()
lll
nlm nl lm m
rRrψ θφ Θ θΦ φ=
电子出现在原子核周围的概率密度为在体积元 dV
2
i θ d dθ d 内电子出现的概率为
|ψ(r,θ,φ)|
2
=|R(r)Θ(θ)Φ(φ)|
2
,
=r s nθ r θ φ
|ψ|
2
dV=|R|
2
|Θ|
2
|Φ|
2
r
2
sinθ drdθ dφ,通过解经度方程可知,|Φ|
2
是常量 因此概率的角分布这是电子出现在距核为 r,纬度为 θ,
经度 φ为处的体积元 dV中的概率,
,
关于 z轴具有旋转对称性,
(1)|Φ|
2
dφ表示电子出现在 φ到 φ+dφ之间的概率 ;
(2)|Θ|
2
sinθ dθ 表示电子出现在 θ 到 θ +dθ 之间的概率 ;
(3)|R|
2
r
2
dr表示电子出现在 r到 r+dr之间的概率,
|Θ|
2
sinθ dθ 表示电子出现在 θ 到 θ +dθ 之间的概率θ θ θ 到 θ θ
l=0,m
l
=0,氢原子中 s态电子的角向概率密度 | |
2
i θ 呈球状Θ s nθ
l=1,m
l
=0,
氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈哑铃状
l=1,m
l
=± 1,氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈轮胎状
l=2,m
l
=0,
氢原子中 d态电子的角向概率密度之一呈带盘的哑铃状
l=2,m
l
=± 1,氢原子中 p态电子的角向概率密度之一呈双钵状
l=2,m
l
=± 2,氢原子中 d态电子的角向概率密度之一也呈轮胎状氢原子中电子对于 n和 l=n-1态来说,径向概率密度都有个极大值 0 0529 4 9
的径向概率密度有 n-l个峰一,r
1
=,nm,r
2
= r
1
,r
3
= r
1
,…,
说明电子在这些位置出现的概率最大,
对于 n和 l=n-1态来说,径向概率密和度都只有一个极大值,位置在,
r
1
=a
0
=0.0529nm,r
2
=4a
0
,r
3
=9a
0
,…,,,
说明电子在这些位置出现的概率最大,
与玻尔 论 致的这 理 论 是一 致的,
6.3.2什么是电子云?
玻尔理论认为电子具有确定的轨道,
量子力学得出电子出现在某处的概率不能断言电子在某处出现,
为了形象地表示电子的空间分布规律 通常将概率大的区,
域用浓影,将概率小的区域用淡影表示出来,称为电子云图,
电子云 图也可以用彩色表示注意,所谓电子云并不表示电子真的像一团云雾罩在原子核周围 而是电子概率分布的 种形象化的描述
.
,一 种形象化的描述,
电子的不同角动量对应于电子云绕核转动的不同情况,
l=0时,电子云转动的角动量为零,表示电子云不 转动,电 子 云的 分布具有球对称性,分布具有球对称性
17.7 电子自旋
7.1.1 斯特恩 -盖拉赫实验的原理和结果是什么?
为了观察角动量空间量子化的现象,斯特恩和盖拉赫于 1921年做了一个著名实验,
S
P
S
1
S
2
O为原子射线源,实验中使用银原子 ;S
1
和
S
2
为狭缝 ;S和 N是产生非均匀磁场的磁铁两极 ;P为照相底片 全部装置放在高真空中
N
O
S
P
极,,
电子绕核运转相当于一个圆电流,从而产生 一 个磁矩 p
m
,由于电子带负电,所以磁
N
个磁矩矩的方向和角动量方向相反,
理论计算结果为这也就是原子的磁矩
m
2
e?
=p L
无磁场 有磁场
:
在非均匀磁场中,磁矩 p
m
将受磁力而发生偏转,如果角动量 L的空间取向连续变化 则 p 的取向也应该连续变化 在原子束通过非均
.
μ
,则
m
,
匀磁场后在照相底片上形成一连续沉积带,否则就会形成线状沉积,
实验结果得到沉积线,证实了角动量的空间量子化,
根据角动量空间量子化理论,应该有奇数条线,可是实际只有对称的两条线,说明核外电子除了轨道运动之外,还有自身内部的运动,
7.1.2 什么是电子自旋假设?
乌仑贝克和古德斯密特考虑到电子的内部运动与轨道运动产他们在 1925年提出了电子自旋的假说 电子除了绕核运动外还有,自生相同的效应,即都有磁矩并导致电子在非均匀磁场中受力偏转,
其中 s为自旋量子数,它只有个值 因此得说,,自旋”,这种自旋是电子本身的固有属性 与自旋对应的角动量为,
有 一 个值 s=1/2.
(1)Sss=+ =
11 3
(1)
22 2
S =+= = =
性,
自旋角动量 S在空间任一方向上的投影为 S?
m
s
称为自旋磁量子数,它只有两个取值 m
s
=± 1/2,即自旋角动
z
=m
s
.
量的空间取向也是量子化的,
引入电子自旋假说之后,斯特恩 -盖拉赫 实 验就能得到很好的解释,实银原子中含有 47个电子,其中 46个电子在原子核周围形成第 47个电子处于 s态,角量子数 l=0,
轨道角动量也为零,所以原子中电球对称分布,角动量之和为零,子的总角动量为零,磁矩也为零,
整个银原子的角动量就是一个电子的自旋角动量,由于自旋角动量及其磁矩在外磁场中只有两个不同取向 因此银原子束通过非,
均匀磁场后只沿两个方向偏转并在照相底片上形成两条沉积线,
7.2.3 氢原子中电子的状态用什么确定?
微观粒子的运动状态用波函数描述,在求解氢原子核外电子的薛定谔方程时,波函数可写为,,
(,,) () (,)
l
nl lm
rRrYψ θ? θ?=
的具体表达式由一组 (n,l,m
l
)三个常量值决定,
为了保证波函数 θ φ 满足单值 有限和连续的标准条
,,
() (,)
l
nl lm
Rr Yθ?和不过 薛定谔方程并未考虑电子自身内部的运动 根据
ψ (r,θ,φ ),
件,(n,l,m
l
)只能是一组整数,这些整数确定核外电子的一种状态,
,,
斯特恩 -盖拉赫实验,还需要引进自旋磁量子数 m
s
,因此,
原子核外电子的状态用四个量子数 (n,l,m
l
,m
s
)描 述,描
(1)主量子数 n.n=1,2,3,…,主要确定核外电子的能量,氢原子核外电子的能量由 n唯一确定,其他原子的核外电子的能量还与角量子数有微弱的依赖关系,
(2)角量子数 l.对于一个 n,l=0,1,2,…,n-1,它决定电子绕核运动的轨道角动量 对多电子原子而.
言,n相同而 l不同的各电子,其能量值稍有不同,
(3)磁量子数 m
l
.对于一个确定的 l,m
l
=0,± 1,± 2,…,± l,m
l
(),,
决定轨道角动量的空间取向,
(4)自旋量子数 m
s
.m
s
=± 1/2,它决定电子自旋角动量的空间取向,
17.8 原子核外电子的壳层结构
8.1 什么是泡利不相容原理?
在对原子光谱和其他有关实验作了充分分析的基础上,奥地利物理学家泡即,同一原子中不可能有两个或两个以上的电子具有一利在 1925年提出,在同一个原子内不可能有两个电子处在完全相同的状态,
如果原子中有 些电子的 相同 则其余三个量子数必组完全相同的四个量子数,
这就是泡利不相容原理,
一 些电子的 n,
不全同,n相同的电子属于同一主壳层,对于 n=1,2,3,4,5,…
的电子壳层分别称为 KLMNO 壳层K,L,M,N,O,…,
在同一主壳层中,根据角量子数 l又分为若干个支壳层,对于
l=0,1,2,3,4,5,…的电子支壳层用状态记号 s,p,d,f,g,h,…表示,
当 n给定时,l可以取 0到 n-1共 n个值 ;对其中任意一个给定的 l,m
l
可取 0,± 1,± 2,…,± l共 (2l+1)
个值 当 l 都给定时 有 1/2和 1/2两个值;当 n,,m
l
,m
s
有 和 -,
1n?
可知,每一个支壳层最多可容纳 2(2l+1)个电子,
2
0
2(2 1,)2
n
l
Z ln
=
= +=
∑
一般说来,主壳层最多可容纳的 电子数 为,
例如,l=0的支壳有 2(2× 0+1)=2个电子 ;
因此 n=3的主壳层中有 2+6+10=18个电子,
每一个支壳层最多可容纳 2(2l+1)个电子,
1
2
0
2(2 1) 2
n
n
l
Z ln
=
=+=
∑
l=1的支壳有 2(2× 1+1)=6个电子 ;
l=2的支壳有 2(2× 2+1)=10个电子,
有主量角量子数 l
01 2 3 4 5 6
电子原子中各壳层和支壳层可容纳的电子数量子数
n
子数
Z
n
支壳层主壳层
sp d f g h i
1K
1s
2
2
2L
2s
2
2p
6
8
3M
3s
2
3p
6
3d
10
18
4 N
4s
2
4p
6
4d
10
4f
14
32
5O
5s
2
5p
6
5d
10
5f
14
5g
18
50
6 P
6s
2
6p
6
6d
10
6f
14
6g
18
6h
22
72
7Q
7s
2
7p
6
7d
10
7f
14
7g
18
7h
22
7i
26
98
8.2 什么是能量最小原理?
原子中的电子在正常状态下都趋于首先占据能量最低的能级,使整个原子处于稳定状态,这个假设称为能量最小原理,
根据泡利不相容原理和能量最小原理 原子中的电子由最低能级
8.3 原子中电子是怎样填充的?
,
开始填充,直到所有核外电子分别填入可能占据的最低能级为止,
电子从 n=1,也就是 K壳层开始填充,
一般按 n由小到大的次序填入各能级,
但是由于能级还和角量子数 l有关,所以在有些情况下,n
较小的壳层尚未填满时 较大的壳层上就有电子填入了我国科学家徐光宪总结出一个规律,对于原子的外层电子 能级高低以 (n+0 7l)确定 其值越大 能级越高
,n,
,.,,.
3
2
3p
6
3d
例如,4s态的 n=4,l=0,n+0.7l=4;3d
态的 n=3 l=2 n+0 7l=4 4 所以 4s态
1s
2
s
4s
钾的原子序数为 19,前 18个电子依
,,.,,态比 3d态先填入电子,
2s
2
2p
6
前次填到第三个壳层的 3p态,第 19个电子跳过 3d态而填入 4s态,
当原子序数 和 时 原子Z>37和 Z>55时,
中的电子填充也有类似情况,
8.4 原子的电子壳层的能级结构图是怎样的?
壳层 n,1
23 4 5 67
7i
26
8
6
18
6h
22
7f
14
7g
18
7h
22
5f
14
5g
18
6p
6
6d
10
6f
14
g
7s
2
7p
6
7d
10
4p
6
4d
10
4f
14
5s
2
5p
6
5d
10
6s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
10
4s
2
根据两个原 理,核外电子填充的顺序为,
2s
2
1s
2能级
1s<2s<2p<3s<3p<4s<3d<4p<5s<4d<5p<6s<4f<5d<6p<7s<5f<6d<…
由此排出的各元素原子中核外电子的分布跟元素周期表完全 致 从理论上阐明了元素周期表的本质量子力学的这一成果,使物理和化学统一到同一基础上来,
一 致,,
