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大学物理习题讨论课基础物理系：周群益电磁感应
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1.如图所示,在磁感应强度 B=7.6?10-4T的均匀磁场中,放置一个线圈,此线圈由两个半径均为 3.7cm且相互垂直的半圆构成,磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为 600和 300.若在 4.5?10-3s的时间内磁场突然减至零,试问在此线圈内的感应电动势为多少?
其中?1=600和?2=300,分别 为两半圆形平面法线与 B之间的夹角,S为半圆的面积,
[解 ]当磁感应强度没有变化之前,通过线圈的电通量为从上向下看,回路方向是顺时针的,
Φ=B·S1+B·S2=BScosθ1 +BScosθ2
θ1 θ2
根据法拉第电磁感应定律得电动势
StBt )c o s( c o sΔΔdd 21
由于磁场减小,所以
2
)107.3(π)30c o s60) ( c o s
104,5
107,6-0( 22
3-
-4
=4.96?10-4V ε>0说明感应电动势方向与回路正向一致,
3
2.如图所示,用一根硬导线弯成半径为 r的一个半圆,使这根半圆形导线在磁感强度为 B的匀强磁场中以频率 f旋转,整个电路的电阻为 R,求感应电流的表达式和最大值,
[解 ]由于磁场是均匀的,故任意时刻穿过回路的磁通量为其中 Φ0等于常量,S为半圆面积,
根据法拉第电磁感应定律,有
Φ(t)=Φ0+BScosθ
θ=φ0+ωt=φ0+2πωt
)π2c o s (π21)( 020 ftBrt
)π2s in (πdd 022 ftfBrt
因此回路中的感应电流为则感应电流的最大值为
)π2s in (π)( 0
22
ftR fBrRtI
.π
22
m R
fBrI?
4
3.有两根相距为 d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以 dI/dt的变化率增长,若有一边长为 d的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势,
[解 ]1:穿过面元 dS的磁通量为因此穿过线圈的磁通量为再由法拉第电磁感应定律可得
SBSBSB dddd 21
d
d
d
d
xxIdxdx Id
2
0
2
0 d
π2d)(π2d
.dd34lnπ2dd 0 tIdt
xdxIxddx I dπ2d)(π2 00
4
3ln
π2
0 Id
5
[解 ]2:当两长直导线有电流 I通过时,穿过线圈的磁通量为线圈与两长直导线间的互感为当电流以 dI/dt变化时,线圈中的互感电动势为
4
3ln
π2
0 Id
4
3ln
π2
0 d
IM
.dd34lnπ2dd 0 tIdtIM
6
4.如图所示,一长为 l,质量为 m的导体棒 CD,其电阻为 R,沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计,轨道与导体构成一闭合回路,轨道所在的平面与水平面成?角,整个装置放在均匀磁场中,磁感强度 B的方向为竖直向上,求,(1)导体在下滑时速度随时间的变化规律 ;(2)导体棒 CD的最大速度
Vm,[解 ]如图所示导体棒在下滑过程中除受重力 P和导轨支持力 FN
外,还受到一个与下滑速度有关的安培力 FA,阻碍导体棒下滑,
c o s)(
2
vRlBlBRI l BF A
根据安培定律,该力的大小为导体棒沿轨道方向的动力学方程为
t
vmmaFmg
d
dc o ss i n
A
将 FA代入并令 k=(lBcos?)2/mR,可得
t
vkvg
d
ds in
7
可得由此得导体在
t时刻的速度由上式可知,当 t增大时,也按指数规律随之增大,当 t→∞ 时
)]e x p (1[s in ktkv
分离变量并两边积分 tv tkvg v
00
ds ind? t
g
kvg
k?
s in
s inln1
)]c o se x p (1[c o ss in
222
222 tmR
lB
lB
m g Rv?
即
222m c o s
s in
lB
m g Rvv
此即为导体棒下滑的稳定速度,也是导体棒能够达到的最大速度,其 v－ t图线如图所示,
8
5.一个直径为 0.01m,长为 0.10m的长直密绕螺线管,共 1000匝线圈,总电阻为 7.76Ω.求,(1)如把线圈接到电动势?=2.0V的电池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半,需经过多少时间?
[解 ](1)密绕长直螺线管在忽略端部效应时,其自感
l
SNL 02
电流稳定后,线圈中电流 I=?/R,则线圈中所储存的磁能为
J1028.3221 52
2
0
2
2
m
lR
SNLIW
在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度为
3m
m mJ17.4
Sl
Ww对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等,
9
(2)自感为 L,电阻为 R的线圈接到电动势为?的电源上,其电流变化规律,
当电流稳定后,其最大值,
RI
m
按题意
2m2 212121 LILI
则
RI
2
2? 将其代入 I(t)的公式可得时间为
s1056.122ln
2
21ln 4
R
L
R
Lt
)]e x p (1[)( tLRRtI
10
6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行,
矩形线圈的边长分别为 a和 b,它到直导线的距离为 c(如图 ),当矩形线圈中通有电流 I=I0sinωt时,求直导线中的感应电动势,
I b
c
a
[解 ]如果在直导线中通以稳恒电流 I,在距离为 r处产生的磁感应强度大小为 B=μ0I/2πr.
00dd l n
2 π 2 π
ac
Sc
I b r I b acBS
rc
互感系数为
0 ln
2 π
b acM
Ic
当线圈中通以交变电流 I=I0sinωt时,
直导线中的感应电动势大小为
t
IM
d
d,c o s)( ln
π2 0
0 tI
c
cab
在矩形线圈中取一面积元
dS=bdr,通过线圈的磁通量为
大学物理习题讨论课基础物理系：周群益电磁感应
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1.如图所示,在磁感应强度 B=7.6?10-4T的均匀磁场中,放置一个线圈,此线圈由两个半径均为 3.7cm且相互垂直的半圆构成,磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为 600和 300.若在 4.5?10-3s的时间内磁场突然减至零,试问在此线圈内的感应电动势为多少?
其中?1=600和?2=300,分别 为两半圆形平面法线与 B之间的夹角,S为半圆的面积,
[解 ]当磁感应强度没有变化之前,通过线圈的电通量为从上向下看,回路方向是顺时针的,
Φ=B·S1+B·S2=BScosθ1 +BScosθ2
θ1 θ2
根据法拉第电磁感应定律得电动势
StBt )c o s( c o sΔΔdd 21
由于磁场减小,所以
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3-
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=4.96?10-4V ε>0说明感应电动势方向与回路正向一致,
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2.如图所示,用一根硬导线弯成半径为 r的一个半圆,使这根半圆形导线在磁感强度为 B的匀强磁场中以频率 f旋转,整个电路的电阻为 R,求感应电流的表达式和最大值,
[解 ]由于磁场是均匀的,故任意时刻穿过回路的磁通量为其中 Φ0等于常量,S为半圆面积,
根据法拉第电磁感应定律,有
Φ(t)=Φ0+BScosθ
θ=φ0+ωt=φ0+2πωt
)π2c o s (π21)( 020 ftBrt
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因此回路中的感应电流为则感应电流的最大值为
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3.有两根相距为 d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以 dI/dt的变化率增长,若有一边长为 d的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示,求线圈中的感应电动势,
[解 ]1:穿过面元 dS的磁通量为因此穿过线圈的磁通量为再由法拉第电磁感应定律可得
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[解 ]2:当两长直导线有电流 I通过时,穿过线圈的磁通量为线圈与两长直导线间的互感为当电流以 dI/dt变化时,线圈中的互感电动势为
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4.如图所示,一长为 l,质量为 m的导体棒 CD,其电阻为 R,沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下,轨道的电阻可忽略不计,轨道与导体构成一闭合回路,轨道所在的平面与水平面成?角,整个装置放在均匀磁场中,磁感强度 B的方向为竖直向上,求,(1)导体在下滑时速度随时间的变化规律 ;(2)导体棒 CD的最大速度
Vm,[解 ]如图所示导体棒在下滑过程中除受重力 P和导轨支持力 FN
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此即为导体棒下滑的稳定速度,也是导体棒能够达到的最大速度,其 v－ t图线如图所示,
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5.一个直径为 0.01m,长为 0.10m的长直密绕螺线管,共 1000匝线圈,总电阻为 7.76Ω.求,(1)如把线圈接到电动势?=2.0V的电池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少?磁能密度是多少?(2)从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半,需经过多少时间?
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电流稳定后,线圈中电流 I=?/R,则线圈中所储存的磁能为
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在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度为
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Ww对于均匀磁场来说,磁能密度处处相等,
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(2)自感为 L,电阻为 R的线圈接到电动势为?的电源上,其电流变化规律,
当电流稳定后,其最大值,
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2? 将其代入 I(t)的公式可得时间为
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6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行,
矩形线圈的边长分别为 a和 b,它到直导线的距离为 c(如图 ),当矩形线圈中通有电流 I=I0sinωt时,求直导线中的感应电动势,
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[解 ]如果在直导线中通以稳恒电流 I,在距离为 r处产生的磁感应强度大小为 B=μ0I/2πr.
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在矩形线圈中取一面积元
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