1
大学物理习题讨论课真空中的静电场大学物理教研室：郑采星导体与电介质
2
1,一半径为 R的半圆细环上均匀分布电荷 Q，求环心处的电场强度。
解：在弧线上取线元 dl，其电荷
lRQq dd
此电荷元可视为点电荷，它在点 O的电场强度因圆环上电荷对 y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，
L E 0d x
点 O的合电场强度统一积分变量可求得 E。
2
04
dd
R
qE
c o sdd,s indd EEEE yx
L y jEE d
3
由上述分析，点 O的电场强度由几何关系,
统一积分变量后,有
dd Rl?
方向沿 y轴负方向。
lRQRE L ds in4 1 2
0
0?
2
0
2
0
2
0
20 2ds in4 R
Q
R
QE
4
2.两条无限长平行直导线相距为 r0，均匀带有等量异号电荷，
电荷线密度为?。（ 1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为 x）；（ 2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
分析,（ 1） 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加 。
（ 2） 由 F = qE,单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来乘以单位长度导线所带电的量,即,F =
E应该注意：式中的电场强度 E
是除去自身电荷外其它电荷的合电场强度 。
o x
0r
x
p
5
解,（ 1） 设点 P在导线构成的平面上,,分别表示正,负带电导线在 P点的电场强度,则有?
E
E
（ 2） 设,分别表示正,负带电导线单位长度所受的电场力,
则有
F?F
相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
i
xrx
r
i
xrx
EEE
)(2
11
2
0
0
0
00
irEF
00
2
2
irEF
00
2
2
o x
0r
x
p
E?
E?
6
解,参见图 。 由题意 E与
Oxy面平行,所以对任何与 Oxy面平行的立方体表面 。 电场强度的通量为零,
0D E F GO A B C ΦΦ
3.边长为 a的立方体如图所示，其表面分别平行于 xy,yz和 zx
平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
A BG F?Φ请分析：
jEikxEE 21 )(
A B G FA B G F
][d)])[(d 21A B G F
SS
jSjEikxESEΦ
22d2
A B G Fd aESE SS|
7
考虑到面 CDEO与面 ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
22A B G FC D E O aEΦΦ
同理因此，整个立方体表面的电场强度通量
3kaΦΦ
2
121AOE F
A O E FA O E F
]d[][d aEiSjEiESEΦ
SS
jEikxEE 21 )(
2
121B C DG )(][d])[(d
BC D GBC D G
akaEiSjEikaESEΦ
SS
8
4.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为 r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为 x的一点 P的电场强度。
分析,用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场 。
本题的电场分布虽然不具有这样的对称性,但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加,求出电场的分布 。
若把小圆孔看作由等量的正,负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷 （ 电荷面密度 ） 的圆盘 。 这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和 。
9
解,在带电平面附近它们的合电场强度为在圆孔中心处 x = 0，则 E = 0
在距离圆孔较远时 x>>r，则上述结果表明，在 x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。
nE?2
0
1?
为沿平面外法线的单位矢量；n?
n
rx
xE?1
2 2202?
n
rx
xEEE?
2 22021
nn
xr
E?2?
1
1
2 0220?
圆盘激发的电场,
10
5.如图所示，一厚度为 b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为?= kx（ 0? x? b），式中 k为一常数，求：
（ 1）平板外两侧 任 一点 P1 和 P2处的电场强度；
（ 2）平板内 任 一点 P处的电场强度；
（ 3）场强为零的点在何处？
x0
b
P P2P1
x
分析：平板外两侧电场分布在带电平板中取一 平面，
电荷面密度?(x)
02
)(
xE?
两侧均匀场,方向与平面垂直可知：平板外两侧电场仍为均匀电场，方向与板面垂直！
11
x0
b
P P2P1
x
解,（ 1） 平板外两侧 任 一点 P1
和 P2处的电场强度 E
s
0
2
00 00
2
dd
1
2
k S b
xx
Sk
xSSE
bb
0
2
4?
kbE?
（ 2）平板内 任 一点 P处的电场强度 E'
0
2
00 2
d)(
k S xxxkSSEE x )
2
(
2
2
2
0
bxkE
（ 3）场强为零的点在何处？
02
2
2 bx )0(,2 bxbx
12
分析：（ 1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，
电荷 QA均匀分布在球 A表面，球壳
B内表面带电荷 -QA,
外表面带电荷 QA+ QB，电荷在导体表面均匀分布 （ 图 (a)）,由带电球面电势的叠加可求得球 A和球壳 B的电势。
6.在一半径为 R1 =6.0 cm的金属球 A外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B的内、外半径分别为 R2 =8.0 cm,R3 =10.0
cm。设球 A带有总电荷 QA= 3.0?10-8C,球壳 B带有总电荷 QB=
2.0?10-8C。（ l）求球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势；（ 2） 将球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地,求球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B
的电势。
AQ?
BA QQ?
1R
3R 2R
)(a
A
AQ
B
13
（ 2）将 球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地,求球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势。
导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳 B接地后，外表面的电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电
-QA （图 （ b）） 。
再将球 A接地,球壳内表面带电 -QA？
AQ?
1R
3R 2R
)(b
A
AQ
B
14
断开球壳 B的接地后，再将球 A接地，此时球 A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡,不失一般性可设此时球 A带电 qA,根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳 B内表面感应?qA，外表面带电
qA?QA（图 （ c）） 。此时球 A的电势可表示为
302010 444 R
Qq
R
q
R
qV AAAA
A
AA Qq?
Aq?
1R
3R 2R
)(c
A
Aq
B
由 VA= 0 可解出球 A所带的电荷 qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A和球壳 B的电势。
15
解,（ 1） 由分析可知,球 A的外表面带电 3.0?10-8C,球壳
B内表面带电 -3.0?10-8C,外表面带电 5.0?10-8C。 由电势的叠加,球 A和球壳 B的电势分别为
（ 2）将球壳 B接地后断开，再把球 A接地，设球 A带电 qA，
球 A和球壳 B的电势为解得
VRQQRQRQV BAAAA 3
302010
106.5444
VRQQV BAB 3
30
105.44
0444
302010
RQqRqRqV AAAAA
304 R
QqV AA
B
CRRRRRR QRRq AA 8
313221
21 1012.2
16
即球 A外表面带电 2.12?10-8C，由分析可推得球壳 B内表面带电 -2.12?10-8C，外表面带电 -0.9?10-8C 。另外球 A和球壳 B的电势分别为
0A?V
V1092.7 2BV
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，
以建立新的静电平衡。
17
7.由两块相距 0.50 mm的薄金属板 A,B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒 K内，金属盒上、下两壁与 A,B分别相距
0.25 mm，金属板面积为 30mm?40mm。求：（ 1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（ 2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽 盒 相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
分析：薄金属板 A,B与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图 （ b）所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，
通过分析等效电路图可求得 A,B
间的电容。
18
解,（ 1）由等效电路图（ b）可知
1
32
32
123 CCC
CCCCC?
由于电容器可视作平板电容器，
且 d1=2d2=2d3
132 2 CCC
因此 A,B间的总电容
12CC?
（ 2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于 C2（或者 C3） 极板短接，其电容为零，则总电容
13CC
19
8.一平板电容充电后极板上电荷面密度为?0=4.5?10-5C?m-2。
现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为?r=2.0的电介质插人两极板之间。此时电介质中的 D,E和 P各为多少？
解,介质中的电位移矢量的大小介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
D,P,E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。
16
0
mV105.2
r
DE
250 mC103.2 EDP?
S?
由有电介质的高斯定理
SSD 0?
250 mC105.4D
20
9.为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为?r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中 A,B为平板电容器的导体极板,d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容 C与间接测量厚度 d 之间的函数关系。 如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？
解,由分析可知,该装置的电容为
)( 0
0
ddd
SC
r
r
21
设极板带电
Sq 0
两板电势差
dddU
r
0
0
0
0
0 )(
)( 0
0
ddd
s
U
qC
r
r
r?
dd0
dEddEU 有 电 介 质无 电 介 质 )( 0
22
则介质的厚度为如果待测材料是金属导体，其等效电容为导体材料的厚度实时地测量 A,B间的电容量 C，
根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度,通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度 。
)( 0
0
ddd
sC
r
r
C
Sd
C
SCdd
r
r
r
r
r
rr
)1(1)1(
0
0
00
dd
SC
0
0?
C
Sdd 0
0
23
10.某介质的相对电容率?r=2.8，击穿电场强度为 18× 106
V·m-1,如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为 0.047?F，而耐压为 4.0 kV的电容器，它的极板面积至少要多大。
解,介质内电场强度
16b mV1018 EE
电容耐压 Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
m1022.2 4bm EUd
要制作电容为 0.047?F 的平板电容器，其极板面积显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
2
0
m42.0
r
CdS
24
11.有一个空气平板电容器，极板面积为 S，间距为 d。现将该电容器接在端电压为 U的电源上充电，当（ 1）充足电后；
（ 2）然后平行插入一面积相同、厚度为?(?< d ),相对电容率为?r的电介质板；（ 3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C，极板上的电荷 Q和极板间的电场强度 E 。
分析,电源对电容器充电,电容器极板间的电势差等于电源端电压 U。 插入电介质后,由于介质界面出现极化电荷,极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反,
介质内的 电场减弱 。 由于极板间的距离 d不变,因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,
以 维持电势差 不变,并有 SQdSQU r00 )(
25
相类似的原因,在平板电容器极板之间,若平行地插入一块导体板,由于极板上的自由电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消,与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,使间隙中的电场 E增强,以维持两极板间的电势差不变,并有
)(
0
dSQU
综上所述,接上电源 的平板电容器,插人介质或导体后,
极板上的自由电荷均会增加,而电势差保持不变 。
解,（ l） 空气平板电容器的电容
d
SC 0
0
充电后,极板上的电荷和极板间的电场强度为
d
UEU
d
SQ
0
0
0,
26
（ 2） 插入电介质后,电容器的电容 C1为
)(
0
1
d
SC
r
r
)(
0
11
d
SUUCQ
r
r
故有介质内电场强度
)(0
1
1 d
U
S
QE
rr
空气中的电场强度
)(0
1
1
d
U
S
QE
r
r
27
（ 3） 插人导体达到静电平衡后,导体为等势体,
其电容和极板上的电荷分别为
U
d
S
Q
d
S
C
0
2
0
2
导体中的电场强度空气中的电场强度
02E
d
UE
2
28
12.一平行板空气电容器，极板面积为 S，极板间距为 d，充电至带电 Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到 2d。求：（ 1）电容器能量的改变；（ 2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。
解,（ 1）极板间的电场为均匀场,且电场强度保持不变,
因此，电场的能量密度为在外力作用下极板间距从 d被拉开到 2d。电场占有空间的体积，也由 V增加到 2V，此时电场能量增加。
2
0
2
2
0 22
1
S
QEw
e
S
dQVwW
ee
0
2
2?
0
0
E
29
（ 2） 两导体极板带等量异号电荷,外力 F 将其缓缓拉开时,应有 F= -Fe
则外力所作的功为外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。
S
dQdQErFA
e
0
2
2?
0
0
2?
E
别人的注释代替不了自己的理解，如果我们多投入一点，学习是一件很开心的事情！
结 语
大学物理习题讨论课真空中的静电场大学物理教研室：郑采星导体与电介质
2
1,一半径为 R的半圆细环上均匀分布电荷 Q，求环心处的电场强度。
解：在弧线上取线元 dl，其电荷
lRQq dd
此电荷元可视为点电荷，它在点 O的电场强度因圆环上电荷对 y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，
L E 0d x
点 O的合电场强度统一积分变量可求得 E。
2
04
dd
R
qE
c o sdd,s indd EEEE yx
L y jEE d
3
由上述分析，点 O的电场强度由几何关系,
统一积分变量后,有
dd Rl?
方向沿 y轴负方向。
lRQRE L ds in4 1 2
0
0?
2
0
2
0
2
0
20 2ds in4 R
Q
R
QE
4
2.两条无限长平行直导线相距为 r0，均匀带有等量异号电荷，
电荷线密度为?。（ 1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为 x）；（ 2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
分析,（ 1） 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加 。
（ 2） 由 F = qE,单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来乘以单位长度导线所带电的量,即,F =
E应该注意：式中的电场强度 E
是除去自身电荷外其它电荷的合电场强度 。
o x
0r
x
p
5
解,（ 1） 设点 P在导线构成的平面上,,分别表示正,负带电导线在 P点的电场强度,则有?
E
E
（ 2） 设,分别表示正,负带电导线单位长度所受的电场力,
则有
F?F
相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
i
xrx
r
i
xrx
EEE
)(2
11
2
0
0
0
00
irEF
00
2
2
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00
2
2
o x
0r
x
p
E?
E?
6
解,参见图 。 由题意 E与
Oxy面平行,所以对任何与 Oxy面平行的立方体表面 。 电场强度的通量为零,
0D E F GO A B C ΦΦ
3.边长为 a的立方体如图所示，其表面分别平行于 xy,yz和 zx
平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
A BG F?Φ请分析：
jEikxEE 21 )(
A B G FA B G F
][d)])[(d 21A B G F
SS
jSjEikxESEΦ
22d2
A B G Fd aESE SS|
7
考虑到面 CDEO与面 ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
22A B G FC D E O aEΦΦ
同理因此，整个立方体表面的电场强度通量
3kaΦΦ
2
121AOE F
A O E FA O E F
]d[][d aEiSjEiESEΦ
SS
jEikxEE 21 )(
2
121B C DG )(][d])[(d
BC D GBC D G
akaEiSjEikaESEΦ
SS
8
4.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为 r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为 x的一点 P的电场强度。
分析,用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场 。
本题的电场分布虽然不具有这样的对称性,但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加,求出电场的分布 。
若把小圆孔看作由等量的正,负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷 （ 电荷面密度 ） 的圆盘 。 这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和 。
9
解,在带电平面附近它们的合电场强度为在圆孔中心处 x = 0，则 E = 0
在距离圆孔较远时 x>>r，则上述结果表明，在 x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。
nE?2
0
1?
为沿平面外法线的单位矢量；n?
n
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xE?1
2 2202?
n
rx
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2 22021
nn
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E?2?
1
1
2 0220?
圆盘激发的电场,
10
5.如图所示，一厚度为 b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为?= kx（ 0? x? b），式中 k为一常数，求：
（ 1）平板外两侧 任 一点 P1 和 P2处的电场强度；
（ 2）平板内 任 一点 P处的电场强度；
（ 3）场强为零的点在何处？
x0
b
P P2P1
x
分析：平板外两侧电场分布在带电平板中取一 平面，
电荷面密度?(x)
02
)(
xE?
两侧均匀场,方向与平面垂直可知：平板外两侧电场仍为均匀电场，方向与板面垂直！
11
x0
b
P P2P1
x
解,（ 1） 平板外两侧 任 一点 P1
和 P2处的电场强度 E
s
0
2
00 00
2
dd
1
2
k S b
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Sk
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bb
0
2
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kbE?
（ 2）平板内 任 一点 P处的电场强度 E'
0
2
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d)(
k S xxxkSSEE x )
2
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2
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2
0
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（ 3）场强为零的点在何处？
02
2
2 bx )0(,2 bxbx
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分析：（ 1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，
电荷 QA均匀分布在球 A表面，球壳
B内表面带电荷 -QA,
外表面带电荷 QA+ QB，电荷在导体表面均匀分布 （ 图 (a)）,由带电球面电势的叠加可求得球 A和球壳 B的电势。
6.在一半径为 R1 =6.0 cm的金属球 A外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B的内、外半径分别为 R2 =8.0 cm,R3 =10.0
cm。设球 A带有总电荷 QA= 3.0?10-8C,球壳 B带有总电荷 QB=
2.0?10-8C。（ l）求球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势；（ 2） 将球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地,求球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B
的电势。
AQ?
BA QQ?
1R
3R 2R
)(a
A
AQ
B
13
（ 2）将 球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地,求球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势。
导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳 B接地后，外表面的电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电
-QA （图 （ b）） 。
再将球 A接地,球壳内表面带电 -QA？
AQ?
1R
3R 2R
)(b
A
AQ
B
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断开球壳 B的接地后，再将球 A接地，此时球 A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡,不失一般性可设此时球 A带电 qA,根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳 B内表面感应?qA，外表面带电
qA?QA（图 （ c）） 。此时球 A的电势可表示为
302010 444 R
R
q
R
qV AAAA
A
AA Qq?
Aq?
1R
3R 2R
)(c
A
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B
由 VA= 0 可解出球 A所带的电荷 qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A和球壳 B的电势。
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解,（ 1） 由分析可知,球 A的外表面带电 3.0?10-8C,球壳
B内表面带电 -3.0?10-8C,外表面带电 5.0?10-8C。 由电势的叠加,球 A和球壳 B的电势分别为
（ 2）将球壳 B接地后断开，再把球 A接地，设球 A带电 qA，
球 A和球壳 B的电势为解得
VRQQRQRQV BAAAA 3
302010
106.5444
VRQQV BAB 3
30
105.44
0444
302010
RQqRqRqV AAAAA
304 R
QqV AA
B
CRRRRRR QRRq AA 8
313221
21 1012.2
16
即球 A外表面带电 2.12?10-8C，由分析可推得球壳 B内表面带电 -2.12?10-8C，外表面带电 -0.9?10-8C 。另外球 A和球壳 B的电势分别为
0A?V
V1092.7 2BV
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，
以建立新的静电平衡。
17
7.由两块相距 0.50 mm的薄金属板 A,B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒 K内，金属盒上、下两壁与 A,B分别相距
0.25 mm，金属板面积为 30mm?40mm。求：（ 1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（ 2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽 盒 相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
分析：薄金属板 A,B与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图 （ b）所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，
通过分析等效电路图可求得 A,B
间的电容。
18
解,（ 1）由等效电路图（ b）可知
1
32
32
123 CCC
CCCCC?
由于电容器可视作平板电容器，
且 d1=2d2=2d3
132 2 CCC
因此 A,B间的总电容
12CC?
（ 2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于 C2（或者 C3） 极板短接，其电容为零，则总电容
13CC
19
8.一平板电容充电后极板上电荷面密度为?0=4.5?10-5C?m-2。
现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为?r=2.0的电介质插人两极板之间。此时电介质中的 D,E和 P各为多少？
解,介质中的电位移矢量的大小介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
D,P,E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。
16
0
mV105.2
r
DE
250 mC103.2 EDP?
S?
由有电介质的高斯定理
SSD 0?
250 mC105.4D
20
9.为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为?r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中 A,B为平板电容器的导体极板,d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容 C与间接测量厚度 d 之间的函数关系。 如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？
解,由分析可知,该装置的电容为
)( 0
0
ddd
SC
r
r
21
设极板带电
Sq 0
两板电势差
dddU
r
0
0
0
0
0 )(
)( 0
0
ddd
s
U
qC
r
r
r?
dd0
dEddEU 有 电 介 质无 电 介 质 )( 0
22
则介质的厚度为如果待测材料是金属导体，其等效电容为导体材料的厚度实时地测量 A,B间的电容量 C，
根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度,通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度 。
)( 0
0
ddd
sC
r
r
C
Sd
C
SCdd
r
r
r
r
r
rr
)1(1)1(
0
0
00
dd
SC
0
0?
C
Sdd 0
0
23
10.某介质的相对电容率?r=2.8，击穿电场强度为 18× 106
V·m-1,如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为 0.047?F，而耐压为 4.0 kV的电容器，它的极板面积至少要多大。
解,介质内电场强度
16b mV1018 EE
电容耐压 Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
m1022.2 4bm EUd
要制作电容为 0.047?F 的平板电容器，其极板面积显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
2
0
m42.0
r
CdS
24
11.有一个空气平板电容器，极板面积为 S，间距为 d。现将该电容器接在端电压为 U的电源上充电，当（ 1）充足电后；
（ 2）然后平行插入一面积相同、厚度为?(?< d ),相对电容率为?r的电介质板；（ 3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C，极板上的电荷 Q和极板间的电场强度 E 。
分析,电源对电容器充电,电容器极板间的电势差等于电源端电压 U。 插入电介质后,由于介质界面出现极化电荷,极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反,
介质内的 电场减弱 。 由于极板间的距离 d不变,因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,
以 维持电势差 不变,并有 SQdSQU r00 )(
25
相类似的原因,在平板电容器极板之间,若平行地插入一块导体板,由于极板上的自由电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消,与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,使间隙中的电场 E增强,以维持两极板间的电势差不变,并有
)(
0
dSQU
综上所述,接上电源 的平板电容器,插人介质或导体后,
极板上的自由电荷均会增加,而电势差保持不变 。
解,（ l） 空气平板电容器的电容
d
SC 0
0
充电后,极板上的电荷和极板间的电场强度为
d
UEU
d
SQ
0
0
0,
26
（ 2） 插入电介质后,电容器的电容 C1为
)(
0
1
d
SC
r
r
)(
0
11
d
SUUCQ
r
r
故有介质内电场强度
)(0
1
1 d
U
S
QE
rr
空气中的电场强度
)(0
1
1
d
U
S
QE
r
r
27
（ 3） 插人导体达到静电平衡后,导体为等势体,
其电容和极板上的电荷分别为
U
d
S
Q
d
S
C
0
2
0
2
导体中的电场强度空气中的电场强度
02E
d
UE
2
28
12.一平行板空气电容器，极板面积为 S，极板间距为 d，充电至带电 Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到 2d。求：（ 1）电容器能量的改变；（ 2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。
解,（ 1）极板间的电场为均匀场,且电场强度保持不变,
因此，电场的能量密度为在外力作用下极板间距从 d被拉开到 2d。电场占有空间的体积，也由 V增加到 2V，此时电场能量增加。
2
0
2
2
0 22
1
S
QEw
e
S
dQVwW
ee
0
2
2?
0
0
E
29
（ 2） 两导体极板带等量异号电荷,外力 F 将其缓缓拉开时,应有 F= -Fe
则外力所作的功为外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。
S
dQdQErFA
e
0
2
2?
0
0
2?
E
别人的注释代替不了自己的理解，如果我们多投入一点，学习是一件很开心的事情！
结 语
