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第 17章 量子物理学热辐射与普朗克的能量子假说光电效应 康普顿效应玻尔氢原子光谱理论电子衍射与德布罗意波函数薛定谔方程势阱 势垒隧道效应量子概念的诞生量子概念的发展量子力学的发展氢原子的量子力学解与 4个量子数多电子原子体的壳层结构
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§ 17-1 热辐射 普朗克的量子假设
1,热辐射 任何物体在任何温度下都要对外辐射各种波长的电磁波，这种辐射称为 热辐射 。
火炉
600度1000度400度因辐射与温度有关，故称 热辐射 。
观察,物体逐渐增加温度，物体看来从暗淡 —红变黄 ——黄变白 ——青白色。
3
与传统的体温针测量体温需５分钟相比，应用红外线测量体温（ 红外测量眼睛或皮肤 热辐射 的方法 ）仅需２秒钟，
即可准确测出体温。
红外温度计能测量人体的红外热发射从而推得病人的身体温度，这在几年前的,抗非典,战斗中曾发挥了较大作用
，那时我们可以看到机场、车站等公共场所匹配了各式各样的红外测温装臵。
4
从经典物理学看来热辐射过程的实质是物质以电磁波的形式向外辐射电磁波的过程。其辐射的能量称之为 辐射能 。
注意：
实验表明：物体辐射能多少决定于物体的 温度 （ T）,
辐射的 波长,时间的 长短,发射的 面积 。
引入物理量,单色辐出度,在一定 温度 下，从物体一定表 面积 上发射的，在任何一段 波长 范围内,单位时间 内的 辐射能 （辐射功率）。
既然辐射能量随温度的升高而增加，于是问题的焦点就是求出 能量、温度与波长之间的关系式 。
5
d()
d
MMT?
M?（ T） 与物体的温度 T 和波长?有关，它反映了不同温度下辐射能按波长的分布情况。
从物体单位面积上辐射出的 所有波长 的总辐射功率，叫做该物体的 辐射出射度 （或称 总辐出度 ），用
M（ T） 表示。
00( ) d ( )dM T M M T
设从物体 单位表面积 上发射的，波长在?到?+d?范围内的辐射功率为 dM?,dM?和 d?的比值叫做该物体对于波长?
的单色辐出度 M?（ T） 。
6
一个物体对入射的电磁波能量全部吸收，我们就称它为黑体。例如宇宙中的 黑洞 。黑体只是一种理想模型 。
2.黑体当热辐射能入射到不透明物体表面时，一般是，
一部分辐射能被物体吸收，另一部分能量被物体表面反射。
在同样的温度下，颜色深的物体吸收辐射的本领比较强，比如煤炭对电磁波的吸收率可达到 80％
左右。所谓,黑体,是指能够全部吸收外来的辐射而毫无任何反射和透射，吸收率是 100％的理想物体
。
7
根据能量守恒定律,物体吸收的能量越多，加热时它辐射的本领愈大。黑体的吸收本领是一切物体中最大的，加热时它辐射本领也最大。
2),许多地物是较好的黑体 近似 ( 在某些波段上 )。
研究热辐射的规律时，特别注意 黑体的辐射本领 的研究。
3,黑体 辐射
1).辐射出去的电磁波在各个波段是不同的，也就是具有一定的谱分布。这种谱分布与 物体本身的特性 及其 温度 有关。
为了研究不依赖于物质具体物性的热辐射规律,定义了一种理想物体 —— 黑体 (black body)，以此作为热辐射研究的标准物体。
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用不透明材料做成有小孔的空腔，可看作黑体。 如图所示：
从小孔射入黑体空腔中的电磁波，经多次反射吸收，强度逐渐减弱，最后从小孔中反射出去的辐射能近似地为零。
用分光技术测出由它发出的电磁波的 能量 按 波长的分布，就可以研究黑体辐射的规律。
演示：黑体
9
黑体辐射的 单色辐出度 与波长的关系的实验曲线如图所示：
1700k
1500k
1300k
)(0 TM?
通过对曲线的分析总结出黑体辐射的两条 实验规律 。
（ 1） 维恩位移定律实验发现：当绝对黑体的温度升高时,单色辐出度 最大值对应的?m向短波方向移动
。
bT m Km10897.2 3b
m
10
(2) 斯忒藩 (Stefan)? -玻耳兹曼定律
）（ 428 KmW/1067.5
黑体辐出度（ 总辐出度） （ 单色辐出度与波长关系曲线下的总面积 ）与绝对温度有如下关系：
0 00 00 )()( dTMdMTM
斯特藩 —玻耳兹曼定律和维恩位移定律是测量高温
(如辐射高温计 )、遥感和红外追踪等的物理基础。
)(0 TM?
1700k
1500k
1300k
m0
从 理论上导出符合实验曲线的关系式,一直是物理学研究的重要课题。
但是由经典电磁理论和热力学理论出发导出的理论公式都与实验结果不符合。
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4.经典物理遇到的困难：
1896年，维恩（ W.Wien）根据经典热力学得出公式这个公式能说明 短波段 。
T
CeCTM
2510 )( 1
,C2 为常数
1900年，瑞利和琼斯用能量均分定理电磁理论得出：
这个公式只能适合于 长波段 。
TCTM 430 )(
C3 为常数
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按 经典理论,热的辐射和吸收是一个完全连续的过程，就像管子里流出来的一股水，光和辐射是一种电磁波。这条 连续性原理 是经典物理学的一块基石。可是那些,无事生非,的物理学家们终于给自己找来了麻烦，
他们用这种理论来解释黑体辐射，无论如何也不能使辐射能量和辐射谱统一起来。
所以，当时代步入 20世纪第一个年头时，物理学界的老前辈开尔文在新年祝辞中一面庆贺物理学的新胜利
，一面又忧心地提到,天空又出现了两朵乌云,这便是其中之一。
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普郎克 面对单色辐出度与波长的关系的实验曲线，没有从经典理论出发,而是发挥自己的数学才能,用数学表达式来拟合这条曲线，从而获得理论公式 （即寻求一个数学表达式，在此公式代入相应的值后，所绘制出的曲线与实验曲线相符） 。
既然由经典电磁理论和热力学理论出发导出的理论公式都与实验结果不符合。
普朗克根据 维恩、瑞利和琼斯 两公式，用数学内插法得出了与实验结果符合的 普朗克公式
1
π2)(
/
3
20 kThv ec
hTM
14
通过计算，这个公式的理论值与实验曲线很好的吻合。
实验瑞利 -琼斯维恩普郎克
),(0 TM?
15
1900年 10月 19日普朗克在德国物理学会议上报告了他的黑体辐射公式 (这公式是他,为了凑合实验数据而猜出来的,)。当天，两科学家发现此公式和实验符合很好，并在第二天把这一喜讯告诉了普朗克。
（ 1900年 12月 14日被认为是量子论的诞生之日）
这使普朗克决心,不惜一切代价找到一个理论的解释,。经过两个月的日夜奋斗，他于
12月 14日在德国物理学会上提出了他的假设。
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真实的历史普朗克在一次会议上宣读自己的观点，但全场除一人发言外，其余的人毫无反应，而这一人还是表示反对。
无一知音，普朗克对十几岁的儿子说：,我现在发现的那个东西，要么荒诞无稽，要么也许是牛顿以来物理学上最伟大的发现之一。,
1900年 10月 19日，柏林物理学会又在举行讨论会。热物理学家库尔鲍姆在会上报告了他最近的实验，仍与维恩公式不符，又是那道不可逾越的难题。谁知这时普朗克恰巧在座
，这真是天赐良机，普朗克立即上前在黑板上写出一个自己推出的公式。 这个式子无论对长波、短波、高温、低温都惊人地适用，瑞利－金斯公式和维恩公式被和谐地统一到一起
。 于是满座大惊，虽然还没有一个人能完全弄清楚这个新公式，但是在事实面前却再无人能提出反对意见。
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物理学会再也不能轻视普朗克的挑战了，两个月后,1900年 12月 14日他们召开会议，特请普朗克介绍这项新发现。
5.普朗克能量子假说辐射黑体中的分子 原子可看作 线性谐振子振动时向外辐射能量（也可吸收能量）
振子的能量不连续
E = n? n = 1,2,3...
= h?
物体发射或吸收电磁辐射时 交换能量的最小单位是,能量子,? = h?
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普朗克公式由此,普朗克导出了与实验结果极为符合的普朗克公式：
1
π2)(
/
3
20 kThv ec
hTM
在电磁波的发射和吸收过程中，物体的能量变化是 不连续 的，或者说，物体通过分立的跳跃非连续地改变它们的能量，能量值只能取某个 最小能量元的整数倍 。
普朗克常数 h = 6.626068 × 10-34 m2 kg / s
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普朗克所提出的能量量子化假设 打破 了一切自然过程都是连续的经典定论，第一次向人们揭示了自然的非连续本性。
从日常经验出发，建立在一切自然过程（包括物体性质的变化）都是连续的这一定论之上的经典理论 ——牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论又已经被大量的 实验所证实 。
“量子论” 违背了实验事实？
连续性原理是经典物理学的一块基石
20
普朗克的发现使神秘的量子从此出现在人们的面前，它让物理学家们即兴奋，又烦恼。
这些能量子在运动中并不分裂，而且只能作为整体被吸收或发射。
能量子是什么？
量子论 ——翻开第二页
,光电效应,
21
赫兹试验示意图光照射金属表面使之逸出电子的现象，称为光电效应。
逸出的电子称为光电子。
这一现象首先是赫兹在 1886-1887
年间在实验中偶然发现的。
§ 17-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论赫兹在电磁波实验中还顺便发现了光电效应。 1887年
，他发现当检测器振子的两极受到发射振子的火花光线照射时，检测器的火花会有所加强。进一步的研究表明这是由于紫外线的照射,紫外线会从负电极上打出带负电的粒子 。他将此事写成论文发表，但没有进一步研究。
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U
G
KA当光（特别是波长较短的紫外光）照射到密封的真空管内的的金属 K（负极）上时，就有光电子从表面逸出，
逸出的光电子在加速电势差 U=UA-UK的作用下，
从 K到 A，从而在电路中形成电流，称为光电流，
光电流强度可由电流计
G 读出。
莱纳德 光电效应实验
1905年换向开关真空管注意观察！
演示,光电效应
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通过实验，我们可以画出以下实验特征曲线。
1.光电效应伏 -安曲线图 饱和光电流强度 i与入射光强度 I成正比。
或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比。
当降低 U,i 随着降低，当
U=0时,i 一般不等于 0。
只有当 U=UA-Uk变为负值
（由 换向开关实现 ）,I 减少以至为零。
i
0 U
im
饱和电流
US
I1
I2
21 II?
入射光频率恒定
24
1.光电效应伏 -安曲线图反向电势差 ——截止电势差 Us
光电子最大初动能
SeUm?
2
2
1 v
截止电压的存在说明此时从阴极逸出的 最快 的光电子，由于受到电场的阻碍，也不能达到阳极。根据 能量分析 应有：
I
0 U
Im
饱和电流
US
I1
I2
21 II?
入射光频率恒定当降低 U,i 随着降低，当
U=0时,i 一般不等于 0。
只有当 U=UA-Uk变为负值
（由 换向开关实现 ）,i 减少以至为零。
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Cs CaNa
4.0 6.0 8.0 10.0
US /V
1014Hz
4.0
2.0
0
k与金属材料无关
2,US—? 实验曲线图
为入射光频率截止电压与入射光频率有线性关系（即 光电子最大初动能和光频率?成线性关系）
)( 0vvkU S
不同金属的 US— v 曲线是斜率相同的平行直线使金属产生光电效应的最低频率 v0 称为红限频率。红限频率红限频率与金属材料有关
0vv?
时，才能产生光电效应。
0vv?
时，无论光强多么强都不能产生光电效应。
26
经典物理与实验规律的矛盾
电子在电磁波作用下作受迫振动，直到获得足够能量 (与光强 I有关 ) 逸出，不应存在红限?0 。
当光强很小时，电子要逸出，必须经较长时间的能量积累。
只有光的频率0时，电子才会逸出 。
逸出光电子的多少取决于光强 I 。
光电子即时发射，滞后时间不超过 10–9 秒 。
总结
光电子最大初动能和光频率?成线性关系 。
光电子最大初动能取决于光强，和光的频率?无关。
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普朗克提出的量子假设在以后的几年里，并没有引起人们的注意。当时大多数物理学家只是把普朗克公式看作是一个局限于辐射问题的“经验公式”。
首先认识到量子概念的重要性并对它的发展起了巨大推动作用的是专利局三级技术员、年轻的科学爱好者 爱因斯坦 （ 26岁）
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爱因斯坦光子（光量子）假设 (1905年 )
（ 1）爱因斯坦在能量子假说的基础上提出光子理论：
一个频率为? 的光子具有能量 h?
h为普朗克恒量,h=6.626?10-34J·s
（ 2）光电效应的解释：
金属中自由电子从照射光中吸收一个光子的能量 h?
逸出功 A,金属电子的逸出功（从材料表面逸出时所需的最低能量），单位 eV，与材料有关的常数。
Amh 221 v?
光电子的初动能 2
2
1mv
29
Amh 221 v?
或写成：
Ahm221 v
021 2?vm
h
Av? 解释红限频率的存在实验结果：
0
2
2
1 ekekmv
)( 0 kU S
SeUm?
2
2
1 v
对比理论公式
ekh?
所以 k与金属种类无关
0?hA?
所以 A与金属种类有关
30
1916年，密立根利用截止电压与入射光频率线性关系 h=ek
计算得,h=6.56?10-34J?s，与当时其他方法测得的值符合得很好！对光子论的正确性是一个很好的证明。密立根 由此获诺贝尔奖 （另一原因是他用油滴法精确地测定了电子电量） 。
当时普朗克常数 h = 6.55 × 10-34 J? s
爱因斯坦的光量子理论（ 1905年）虽然成功地解释了光电效应，但它并没有被广大物理学家所承认。因为在他们看来，这一理论与光的波动理论是完全违背的。 普朗克也认为这一理论“太过份了”，甚至到 1913年他仍持否定态度 。
密立根也不相信光的量子理论，他从 1905年开始作“光电效应”的实验来否定它，可是于
1915年他却宣布：,结果与我所有的预期相反 。
”
31
光电效应的研究历经三十年，有三人荣获诺贝尔物理奖莱纳德 完美 实验 1905年爱因斯坦 理论 解释 1921年密立根 实验 证实 1923年研究基本电荷和 光电效应,
特别是通过著名的油滴实验,证明电荷有最小单位 。
密立根 (1868— 1953)
(Robert A.Millikan)
美国人
32
光电成像器件能将可见或不可见的辐射图像转换或增强成为可观察记录、传输、储存的图像。
光电效应的应用红外变像管 红外辐射图像 → 可见光图像像 增 强 器 微弱光学图像 → 高亮度可见光学图像测量波长在 200~1200 nm 极微弱光的功率光电倍增管
33
1909年 9月 21日，爱因斯坦应邀参加德国自然科学家协会第 81次大会。这是爱因斯坦第一次正式参加学术界的活动，也是他第一次会见普朗克等著名物理学家。爱因斯坦在这次大会上首次提出 光具有波粒二象性 。
光的波粒二象性。
光在传播过程中表现为 波动性,如光的 干涉和衍射 。
光在与物质相互作用时表现为 粒子性,如 光电效应 。
光既具有波动性，又具有粒子性，
称为光的波粒二象性。
34
光的波动性和粒子性是通过普朗克常数联系在一起的。
光子动量：
h
c
hvmcp
光的波动性用?和?来描述 ;
光的粒子性用 E和 p来描述。
35
例：铝的逸出功为 4.2eV,今用波长为 2000埃的紫外线照射铝表面，求,
（ 1）光电子的最大初动能。 （ 2）截止电压 。
（ 3）铝的红限波长。 (*1eV = 1.60217646 × 10-19 J )
Ahchv
0
0?
nm2 9 6 0 00
解,光子能量, /hch
eV0.22.42000 1043.1221
3
2 AhcAhvm
v
电子最大初动能：
SeUm?
2
2
1 v由,得,US = 2.0V
由：
36
§ 17-3 康普顿散射实验 （ 1922年）
SD
C
R
康普顿实验原理如下图：
R,X射线源。 D：光栏。 S：摄谱仪。
C：石墨晶体，是 X射线的散射体。
实验目的：入射与散射的波长比较。
入射散射散射角
37
I
I
I
I
0?
0?
0?
0?
O45
O0
O90
O135
实验发现：
波长不变的散射称为正常散射。
但在散射谱线中，除了波长不变的射线外，还有波长变长的射线。
波长变长的散射称为 康普顿散射 。
0
演示,康普顿效应
38
实验总结：
1,在散射谱线中，除有入射波长 的射线外，还有比 更长的射线。
0?
0?
2,波长改变量随着散射角的增大而增大。 与散射物质的性质无关。
2
0 2 s in 2c
c?
是与 散射物质 无关的常数，称为康普顿常数。
nm0 0 2 4 3.0?c?
X射线通过物质散射后波长变长的现象 ——康普顿效应
39
按照经典电磁波理论,X射线是波长很短的电磁波，照射到散射体上所发生的可以这样解释：
当电磁波通过物体时，将引起物体内带电粒子从入射波吸收能量而出现 受迫振动 。而每个振动着的带电粒子可被看作电偶极子，它们向四周辐射能量，这就成为散射光。
经典理论的困难：
从波动观点来看，带电粒子受迫振动频率应等于入射光的频率；所以，散射光的频率应与入射光的频率相同。可见，用光的波动理论只能解释波长不变的散射，而不能解释康普顿效应。
40
1923年,康普顿用爱因斯坦的光量子理论圆满地 解释了他的实验结果,从而又一次证实了光量子理论的正确性 。
康普顿由于这一工作而获得了 1927年诺贝尔物理奖 。
41
光的波粒二象性理论对康普顿散射的解释：
0hv
me
0
0 n
c
h
系统能量守恒：
20 eh m c
系统动量守恒：
0
0
h n
c
电子的相对论质量：
22 /1 c
mm e
v?
nch
v?m
光子能量 h?，动量
c
h?
2h m c
h n m v
c
42
(1)
(2)
202 )( cmhmc e
c o s2)()()( 02202 chchchchmv
2 2 20()E c p E
能量守恒：
动量守恒：
由相对论关系式：
(3)
(4)
将式 (2)代入式 (3),可得：
c o s2)()()()(
0
2
22
0
22 hhhcmmc
e
222 )()()( cmmcm ev
43
2s i n2)c o s1(
2
0
cm
h
cm
h
ee
nm00243.0 cm h
e
c?
(1)2 - (4)
)c o s1()11(
00
hcm e
康普顿波长?c的理论值与实验值吻合得很好。
202 )( cmhmc e
(1)
c o s2)()()()(
0
2
22
0
22 hhhcmmc
e
(4)
44
康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒二象性。同时证明相对论理论 以及在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。
思考,康普顿效应的理论计算与实验的一致性说明了什么？
45
讨论光电效应和康普顿效应的相同之处和不同之处？
参与光电效应的电子是金属中的自由电子，它不是完全自由的，而是被束缚在金属表面以内。在光电效应中，通常是一个电子吸收一个光子的过程，电子与光子的相互作用是 非弹性碰撞 。在碰撞过程中能量守恒，动量不守恒，金属材料必取走部分动量。
而参与康普顿效应的散射物中的电子在光子能量较大时可看做是完全自由的。散射物中电子与光子的相互作用可近似看成 弹性碰撞 过程，满足动量和能量守恒定律。光子把一部分能量传给电子后，光子散射出去电子则反冲，所以 散射光波长 比 入射光波长 长 。
46
杨氏双缝实验早在 1801年就已经令人信服地证明了光可以产生干涉现象，从而是一种波。然而，波的理论无法解释光电效应（ 1905年）康普顿效应（ 1922年）
等新的实验现象，为此又必须利用光量子假设。但是，
如果光是由粒子组成的，它又怎么能产生干涉现象呢？
这绝对是一个 两难 的局面！
光的波动和粒子两重性被发现后，许多著名的物理学家感到困扰。
量子论 ——翻开,对称,一页德布罗意,物质波”
然而量子论仍在继续发展,1923年一位博士生 划时代 的工作
47
对于动量为 p，能量为 E的实物粒子：
§ 17-5 德布罗意波 波 —粒二象性德布罗意根据 对称性思想 提出了物质波假设，认为波粒二象性不是光独有的特性，一切实物粒子都有波粒二象性。
Ev
h?
h
p
德布罗意“物质波”波长一、德布罗意波
48
（ 1）质量为 10克的小球以 100 m·s-1的速度运动；
（ 2）质子以 1.0× 104 m·s-1的速度运动；
（ 3）自由电子的动能为 54 eV。
例题：求下列情况下的物质波波长：
根据德布罗意公式：
vm
h
p
h
。 m1063.61001010 1063.6)1( 343
34
观测不到
。 m1097.310100.167.1 1063.6)2( 11427
34
oA65.12.12
22)3( Um e U
h
mE
h
m
h
Kv
49
对于宏观粒子来说，波长非常小以至很难观测到
，宏观物体的运动几乎不显示波动性，可以过渡到经典物理。例如第一种情况。在第二种和第三种情况中
,波长与 X射线的波长相当,所以微观粒子的波动性不可忽略,观察其衍射需要利用晶体 。
结论：
。 m1063.61001010 1063.6)1( 343
34
。 m1097.310100.167.1 1063.6)2( 11427
34
oA65.12.12
22)3( Um e U
h
mE
h
m
h
Kv
50
1927年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶,电子束被散射 。 其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释,从而验证了物质波的存在 。
汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象 X 射线一样产生衍射现象。
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。
德布罗意在 1924 年论文答辩时,当时著名的科学家
J.B.Perrin问他,这些波怎样用实验来证实呢？,
德布罗意回答：,用晶体对电子的衍射实验可以做到 。,
二、德布罗意假设的实验验证
51
戴维逊 ——革末实验电子束在晶体表面上散射的实验，观察到和 X射线散射类似的现象，首先证实了电子的波动性。
G
(单晶）
抽真空
U
I
UC C C
I
戴维逊 ---革末 实验
52
汤姆逊电子衍射实验
Cs
U
K G
屏 P
多晶薄膜高压栅极阴极以后，大量实验事实证明，电子，原子甚至分子等实物粒子都具有波粒二象性。
演示,电子双缝、单缝衍射
53
例,m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
m341021.2
30001.0
341063.6
m
h
P
h
h 太小了 使得 宏观物体的波长 小 得 难以测量宏观物体 只 表现出 粒子性波粒二象性是普遍的结论宏观粒子 也具有波动性
m 大
0
或说 h 量子物理过渡到经典物理
54
怎样理解微观粒子既是粒子又是波?
认为 波是基本的,把电子看做 波包。
1.两种模糊认识但波包要 扩散,与 电子是 稳定 的矛盾。
认为粒子是基本的但 单 电子双缝实验说明单个电子也有干涉现象三、德布罗意波的统计解释波是 大量 电子 相互作用 形成的
55
2.单电子双缝实验
7个电子在观察屏上的图像
100个电子在屏上的图像屏上出现的电子说明了电子的粒子性。
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
56
随着电子数目的增多在屏上逐渐形成了衍射图样
3000 20000
70000
说明,一个电子,就具有的波动性
57
波动性
“可叠加性,
不是经典的波 不代表实在物理量的波动粒子性
整体性
不是经典的粒子 没有,轨道,概念
3.正确理解微观粒子的波粒二象性有“干涉”“衍射”“偏振”现象
58
微观粒子在某些条件下表现出 粒子性，
在另一些条件下表现出 波动性。
两种 性质 虽寓于 同一体中，
却 不能同时 表现出来。
结论：
波粒二象性只是比喻 电子就是电子本身！
59
根据光的衍射规律，单缝衍射强度最小的条件是：
s i n ( 1,2,)a k k
由于电子的波动性，我们只知电子穿过了狭缝，但无法准确测定它通过狭缝的 哪一点 和到达屏上的 哪 一位臵 。
§ 17-6 不确定关系
1、坐标和动量的不确定关系单缝衍射实验：
缝电子束屏
2
a
o
A
D
x
60
如果用坐标 x 和动量 px 来描述单个电子在 x方向的运动状态
，那么狭缝的宽度 a 就是电子坐标的 不确定量,即
ax
pp
x
同样，电子的动量 px在零与 psin?之间，而无法确定其量值
，即电子动量 px的不确定量：
s inxpp
61
s in hak p s i na p k h
xx p k h h
xx p h
以 代入上述单缝衍射公式得：h
p
称为 不确定关系式,它对所有微观粒子都适用。
量子力学公式：
2xxp2
h
该式说明,对微观粒子的坐标和动量不可能同时进行准确的测量 。如果坐标测量得越准确，则动量测定的偏差就越大，反之亦然。
62
2,能量和时间的不确定关系原子光谱线都有一定的频率宽度,说明原子能量有一个不确定量?E。 原子处于某激发态存在一个平均寿命 （ 平均发光时间 ）,说明原子处于激发态的时间也有一个不确定量
t。
能量和时间的不确定关系是：
2
tE
微观粒子的能量和时间不可能同时进行准确的测量。
63
由于
xxp m v
解,枪口直径可以当作子弹射出枪口时位臵的不确定量?x。
和子弹飞行速度每秒几百米相比，这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。
例：设子弹的质量为 0.01㎏,枪口的直径为 0.5㎝ 。
试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量 。
根据不确定性关系得
2xv mx
sm1005.1m105.0kg01.02 sJ1005.1 302
34
64
1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后,物理学家德拜
（ P.Debey） 评论说：认真地讨论波动,必须有波动方程 。
几个星期后,薛定谔又作了一次报告 。 开头就兴奋地说：你们要的波动方程,我找到了 ！ 这个方程,就是著名的薛定谔方程 。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的 。
同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性也只能靠实验来检验 。
§ 17-7 波函数 薛定谔方程
65
1、波函数通常以?表示，一般是时间和空间的函数。
例如一个波长为?、频率为?，沿 x 方向匀速运动的自由粒子的平面简谐波的波动方程为：
(,) c o s 2 ( )xy x t A t
复数形式为,2 ( / )(,) i t xy x t A e
-----描绘粒子运动状态自由粒子的波函数：
()
0(,)
i E t p x
x t e
推广到三维空间：
()
0(,)
i E t p r
r t e
如果粒子的能量为 E，动量为 p hp
h
E
66
2,波函数的特征物质波是概率波，其波函数兼有波和概率的双重特性。
(2) 满足标准条件,单值、连续、有限 。
(1) 概率密度, 22
0
所以函数连续可微，且一阶导数也连续可微。
(3) 满足归一化条件。
12
d x d y d z?
67
3、薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，
状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，从波函数入手建立了微观粒子的波动微分方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学中的又一基本方程。
68
（ 1）,薛定谔方程的一般形式。
()
0(,)
i E t p x
x t e
对 t 求一阶偏导：
Eit?
(2)
2
2
2
2
p
x
(1)对 x 求二阶偏导：
,2)1(
2
m
,)2(?i? 2,
2
pE
m?由
—— 一维自由粒子含时间的薛定谔方程。
tixm?
2
22
2
69
两边同乘以?：
EtxVmp ),(2
2
将
22
22
p
x
i E
t
——一维势场 V(x,t)中运动粒子的薛定谔方程。
titxVxm?
),(
2 2
22 (3)
得：
考虑一维 势场 V(x,t)中运动的粒子：
),(2
2
txVmpE
代入上式
70
若势能 只是坐标的函数 与时间无关,即微观粒子作定态运动，可对波函数分离变量
( ) / / /00(,) i E t p x i p x i E tx t e e e
即将波函数写成坐标函数和时间函数乘积
(x,t) =? (x) f (t)
t
tf
tf
ixV
x
x
xm?
)(
)()(
)(
)(
1
2 2
22
titxVxm?
),(
2 2
22
（ 2） 定态 薛定谔方程自由粒子在 稳定 势场 （与时间 t无关） 中运动是定态 问题。 )(xV
再由一维定态薛定谔方程：
71
等式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，令为一常数）EEt tftf i ()()(
积分得 Etietf)(
由于指数只能是无量纲的纯数，可见 E必定具有能量量纲。
)()()(2 2
22
xExVx xm所以，
或 0)(2
22
2
VEmx?
——一维运动粒子的 定态 薛定谔方程。
72
上式为势场 中运动粒子的定态薛定谔方程。)(rV?
如果粒子在三维空间运动，则
0)(2 22 VEm?
.,,2
2
2
2
2
2
2 称作普拉斯算符其中
zyx?
求解薛定谔方程分四步：
（ 1）列出各势域的一维 S—方程
（ 2）解方程
（ 3）使用波函数标准条件定解
（ 4）定归一化系数
73
设质量为 m的粒子，只能在一维势场中运动，
)(xV
0 0 < x < a
x? 0或 x? a
xa
V(x)
0
§ 17-8 薛定谔方程的简单应用
1.一维无限深势阱
74
Edxdm 2
22
2
(0 < x < a)
x? 0,x? a时,?(x) = 0。即，
(0) = 0? (a) = 0
令
2/2?mEk?
则方程可写为：
022
2
kdxd
势能不随时间而变化，定态薛定谔方程
75
该方程的通解,? (x) = Asinkx + Bcoskx
(0) = 0,? B = 0
又 (a) = Asinka = 0,
但 A? 0,ka = n? (n =1,2,3,·· )
,/2 2?mEk?代入得，
2
22
2
2 ma
nE n
(n =1,2,3,·· )
x0 a
E
n=1,E1
n=2,E2=4E1
n=3,E3=9E1
n=4,E4=16E1
量子化的能级
76
与一定的 En 相对应，可得
xanAxn s i n)(?
(0 < x < a)
根据归一化条件，
1s i n
0
22
a dxx
a
nA?
得
aA
2?
所以，薛定谔方程的解,2( ) s i n
n
nxx
aa
(0 < x < a)
粒子在阱内空间各处出现的概率密度为：
2 22( ) s in
n
nxx
aa
77
x0 a? 1
2
3
4()n x?
x0 an=1
n=2
n=3
n=4
2()n x?
78
)(xV
u0 (x > 0)
0 (x < 0)
0
0U
EP(x)
x
2.一维势垒贯穿、隧道效应定态薛定谔方程,
22
2 2
mE
dx
d (x < 0)
2 02
2 )(2
uEm
dx
d
(x > 0)
79
2
02
2
)(2
uEmk
得
212
2
kdxd
(x < 0)
2
2
22
d k
dx
(x > 0)
通解：
xikxik eAAex 11)(1
(x < 0)
(x > 0) xikxik eBBex
22)(2
,2 221?mEk?令
80
讨论
①?1(x)：表明有入射波和反射波。
②,:)(
22 表示透射波xikBex?
1) E > u0
x
入射波 +反射波 透射波能量
u0
E
0
“部分”粒子跨过去，“部分”粒子被反射回来
。
经典物理学：粒子完全跨越势垒到达 x>0区域,
81
x
能量
u0
E
a0
0
22
2 ( )
2
m u E x
i k xB e B e?
表明,粒子仍能透入势垒,
透射波有一透入深度。
这种现象称为 隧道效应 。
2) E < u0
演示,隧道效应
82
扫描隧道显微镜 （ STM）
（ Scanning Tunneling Microscopy）
STM是一项技术上的重大发明，
原理,利用量子隧道效应
1986,Nob,毕宁 （ G.Binning）
罗尔 （ Rohrer） 发明 STM
表面的微观结构 （不接触、不破坏样品）。
用于观察
83
U0U0 U0
dAUei
A — 常量
— 样品表面平均势垒高度（ ~ eV）
d ~ 1nm（ 10A ）。
d 变? i 变，反映表面情况。
A Bd
E
隧道电流 iA
B
U
d
探针样品电子云重叠
84
隧道电流 i,对针尖和样品表面之间的距离 d非常敏感 。 用金属探针在样品表面扫描,
通过隧道电流的变化就能记录下样品表面的微观形貌和电子分布等信息 。
扫描隧道显微镜在表面物理,材料科学,
化学和生物等很多领域的科学研究中都有重要的应用 。
85
86
用 STM得到的神经细胞象硅表面 STM扫描图象
87硅纳米线的 SEM图片
88
1991年恩格勒等用 STM在镍单晶表面逐个移动氙原子,拼成了字母 IBM,每个字母长 5纳米 。
移动分子实验的成功,表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步,其内在意义目前尚无法估量 。
89
1993年,克罗米等人用 扫描隧道显微镜技术 把蒸发到铜表面上的 48个 Fe原子围成一个平均半径为 7.13 nm的圆圈 ——“量子围栏,,通过实验观察到了在围栏内铜表面电子形成的同心圆状的驻波 。 它 直观的证实了电子的波动性 。
90
§ 17-9 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论一,氢原子光谱的 实验规律记录氢原子光谱原理示意图氢放电管
2~3 kV
光阑全息干板三棱镜
（或光栅）
光源
91
氢原子光谱的规律性红 蓝 紫
6562.8? 4340.5?4861.3?
氢原子的可见光光谱：
92
巴耳末 氢原子可见光谱系 的 经验公式：
RH=1.096776× 107 m-1 称为 里德伯常数 。
H 22
1 1 1( ),
2R n
...5,4,3?n
紫外区和红外区的氢光谱系，可用经验公式表示为：
H 22
1 1 1( ),R
mn
,.,,,21 mmn
m=1 称为赖曼系（紫外区光谱系） ；
m=2 称为巴耳末系（可见光谱系） ；
m=3 称为帕邢系 ；
m=4 称为布喇开系 ；
m=5 称为普芳德系；这三系都是红外光谱系 。
93
玻尔 提出三条基本假设解释氢原子光谱。
卢瑟福的原子结构核式模型
1)电子向外辐射电磁波的频率是连续变化；
2)电子最终坠落到原子核表面。
94
二,玻尔的氢原子理论
h
EE nk ||
2,跃迁假设 v
kE
nE
v
kE
nE
1,定态假设
1r
2r
3r
v?
3,角动量量子化假设
π2
hnrmL v,..3,2,1?n
95
三,氢原子轨道半径和能量的计算
r v?
,3,2,1)π( 122202 nrnme hnr n?
轨道量子化
n
n r
emE 2
0
2
π4
1
2
1
v
能量量子化
...3,2,181 22
0
4
2 nh
me
n ?
96
比较两个 R值可见玻尔理论和实验符合得相当好 !
四,玻尔氢原子理论值和实验值的比较玻尔的频率假设结果
)11(8 2232
0
4
nmh
mev
里德伯常数的实验值,RH实验 =1.096776× 107 m-1
巴耳末公式
H 22
1 1 1()R
mn
4
71
23
0
1,0 9 7 3 7 3 1 0 m8 meR hcH 理 论
97
五,解释氢原子光谱氢原子的能级分布表达方式为：
eV6.13 2nE n
n=1,2,3,…
辐射光子的能量为：
mn EEh
氢原子的发光机制为能级间的跃迁。
98
5
1
2
3
4
巴耳末系帕邢系布喇开系氢原子中电子的能级
-13.6(基态 )
-3.39
-1.51
-0.85
E（ eV）
赖曼系
0(电离态 )
-0.54
m
99
例：计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？
解,巴耳末系是 n >2的各能级向 n = 2的能级跃迁所产生。
1E
2E
3E
4E
5E
其最长波长对应于 n = 3? n = 2的跃迁，即
mn EEh
cv
( n m )6 5 8
23
m a x EE
ch?
eV6.13 2nE n
最短波长应是 n = n = 2
跃迁的光子，即
( n m )366
2
m i n
EE
ch?
100
§ 17-10 量子力学中的氢原子问题
0)4(2
0
2
2
2
r
eEm
042)(
0
2
22
2
2
2
2
2
r
eEm
zyx?
1.氢原子的薛定谔方程
101
球坐标下,
0
4
2
s i n
1
s i n
s i n
11
0
2
2
2
2
222
2
2
r
e
E
m
rrr
r
rr
102
求解上述方程，可得如下结论：
22
0
4 1
)(32 n
meE
n?
n=1,2,3,… 称为 能量量子数 (主量子数 )。
玻尔理论,22
0
4
2 8
1
h
me
nE n
（ 1）能量量子化
103
（ 2）角动量量子化
)1( llL
l = 0,1,2,3,…,n-1 称为 角量子数 (副量子数 )。
104
lZ mL?
（ 3）轨道角动量空间量子化
2?l
6?L
2
o
2?
L
L
L
L
Z
lm l,2,1,0 称为 (磁量子数 )
此式说明角动量在空间的取向及其在外磁场方向的投影，只能取分立的值，这称为空间量子化。
对同一个 l,角动量 Z方向分量可能有 2l+1个不同的值
105
2,氢原子中的电子的概率分布电子在 （ n,l,ml） 态下在空间 ( r,?,? ) 处出现的概率密度是 2||
lnlm?
电子在核外空间所处的位臵及其运动速度不能同时准确地确定，也就是不能描绘出它的运动轨迹 。
(1)电子云 (定性 )
演示：电子云
106
§ 17-11 电子的自旋 原子的电子壳层结构
1.史特恩 ---盖拉赫实验
L?
e
磁矩角动量
e θ
B?
mP
实验依据斯特恩－盖拉赫实验装臵（ 1921）
N
S
准直屏原子炉磁 铁
107
演示：施特恩和盖拉赫实验实验结果,
108
2.电子自旋
S?
s?
ZSsm?
电子自旋角动量 S,
)1( ssS
s 称自旋量子数，取值,1 / 2”
mS称为 自旋磁量子数,只取两个值：
2
1
Sm
109
(1) 主量子数,?,3,2,1?n
它大体上决定了电子的能量。
,1,2,1,0 nl?
决定电子轨道角动量的大小。
(2) 角量子数：
决定轨道角动量在外磁场中的空间取向。
,,2,1,0 lm l(3) 磁量子数：
它决定自旋角动量在外磁场的空间取向。
(4) 自旋磁量子数：
取向只有两个方向：与外磁场同向或反向。
5,四个量子数
110
原子的电子壳层结构模型
1916年，柯塞尔在玻尔的基础上提出了原子的壳层结构模型：
主量子数 n不同的电子分布在不同的主壳层上，对 n =1,
2,3,4,… 的电子，主壳层分别用 K,L,M,N,… 等符号表示。
主量子数相同而角量子数不同的电子分布在不同的支壳层上，与 l = 0,1,2,… n-1 相对应的支壳层分别用 s,p,d,f… 等符号表示。
电子在原子中的分布遵从下列两个原理,泡利不相容原理,能量最小原理。
111
1925年，泡利在深入研究原子结构和光谱规律的基础上，提出了 不相容原理,在任何原子中，不可能有两个电子具有相同的四个量子数，即每一个量子态只能容纳一个电子。
但是，泡利不相容原理反映的这种电子状态的严格的排斥性的物理本质是什么？
根据泡利不相容原理，可算出各个壳层最多能容纳的电子数。
给定 n
给定 l
给定 n,l,ml
l 可取 0,1,2,··· n-1共 n个值；
ml可取 0,? 1,? 2,···? l,共 ( 2l + 1 )个值 ;
ms可取? 1/2 两个值,
至今尚不清楚。
如此计算，每个支壳层最多能容纳 2(2l +1）个电子，每个主壳层最多能容纳的电子数为：
21
0
22 )12(22)12(2 nnlZ nn
112
各壳层可容纳的电子数
0 1 2 3 4 5 6
s p d f g h i
1
2
3
4
5
6
7
K
L
M
N
O
P
Q
2
2 6
2 6 10
2 6 10 14
2 6 10 14 18
2 6 10 14 18 22
2 6 10 14 18 22 26
Nn
2
8
18
32
50
72
98
l
n
Nl
113
电子填充壳层的规律，除要遵守泡利不相容原理外，
还要遵守能量最小原理：原子处于正常状态时，每个电子都趋向于占有最低的能级。电子填充壳层按照由低到高的顺序排列。
能量最小原理电子处于某一状态的能量主要由主量子数 n决定，也要受到角量子数 l 的影响，主量子数相同而角量子数 l 不同的支壳层也具有不同的能量。
一般来说，壳层的主量子数 n 越小，能级越低；同一主壳层中，角量子数 l 越小，能级越低。 l 的影响会使不同的壳层产生位臵上的交错。
114
经验公式,(n + 0.7 l )的值越大，能级越高。
由此可得原子壳层由低到高的能级顺序：
其中数字 1,2,3,… 表示主壳层顺序。这个顺序与元素周期表完全一致。
...76546545
543433221
spdfspds
spdspspss
例：判别 4s与 3d 能级的高低。
407.04)7.0( ln
44.427.03)7.0( ln
电子先填充 4s 能级，
再填 3d 能级
第 17章 量子物理学热辐射与普朗克的能量子假说光电效应 康普顿效应玻尔氢原子光谱理论电子衍射与德布罗意波函数薛定谔方程势阱 势垒隧道效应量子概念的诞生量子概念的发展量子力学的发展氢原子的量子力学解与 4个量子数多电子原子体的壳层结构
2
§ 17-1 热辐射 普朗克的量子假设
1,热辐射 任何物体在任何温度下都要对外辐射各种波长的电磁波，这种辐射称为 热辐射 。
火炉
600度1000度400度因辐射与温度有关，故称 热辐射 。
观察,物体逐渐增加温度，物体看来从暗淡 —红变黄 ——黄变白 ——青白色。
3
与传统的体温针测量体温需５分钟相比，应用红外线测量体温（ 红外测量眼睛或皮肤 热辐射 的方法 ）仅需２秒钟，
即可准确测出体温。
红外温度计能测量人体的红外热发射从而推得病人的身体温度，这在几年前的,抗非典,战斗中曾发挥了较大作用
，那时我们可以看到机场、车站等公共场所匹配了各式各样的红外测温装臵。
4
从经典物理学看来热辐射过程的实质是物质以电磁波的形式向外辐射电磁波的过程。其辐射的能量称之为 辐射能 。
注意：
实验表明：物体辐射能多少决定于物体的 温度 （ T）,
辐射的 波长,时间的 长短,发射的 面积 。
引入物理量,单色辐出度,在一定 温度 下，从物体一定表 面积 上发射的，在任何一段 波长 范围内,单位时间 内的 辐射能 （辐射功率）。
既然辐射能量随温度的升高而增加，于是问题的焦点就是求出 能量、温度与波长之间的关系式 。
5
d()
d
MMT?
M?（ T） 与物体的温度 T 和波长?有关，它反映了不同温度下辐射能按波长的分布情况。
从物体单位面积上辐射出的 所有波长 的总辐射功率，叫做该物体的 辐射出射度 （或称 总辐出度 ），用
M（ T） 表示。
00( ) d ( )dM T M M T
设从物体 单位表面积 上发射的，波长在?到?+d?范围内的辐射功率为 dM?,dM?和 d?的比值叫做该物体对于波长?
的单色辐出度 M?（ T） 。
6
一个物体对入射的电磁波能量全部吸收，我们就称它为黑体。例如宇宙中的 黑洞 。黑体只是一种理想模型 。
2.黑体当热辐射能入射到不透明物体表面时，一般是，
一部分辐射能被物体吸收，另一部分能量被物体表面反射。
在同样的温度下，颜色深的物体吸收辐射的本领比较强，比如煤炭对电磁波的吸收率可达到 80％
左右。所谓,黑体,是指能够全部吸收外来的辐射而毫无任何反射和透射，吸收率是 100％的理想物体
。
7
根据能量守恒定律,物体吸收的能量越多，加热时它辐射的本领愈大。黑体的吸收本领是一切物体中最大的，加热时它辐射本领也最大。
2),许多地物是较好的黑体 近似 ( 在某些波段上 )。
研究热辐射的规律时，特别注意 黑体的辐射本领 的研究。
3,黑体 辐射
1).辐射出去的电磁波在各个波段是不同的，也就是具有一定的谱分布。这种谱分布与 物体本身的特性 及其 温度 有关。
为了研究不依赖于物质具体物性的热辐射规律,定义了一种理想物体 —— 黑体 (black body)，以此作为热辐射研究的标准物体。
8
用不透明材料做成有小孔的空腔，可看作黑体。 如图所示：
从小孔射入黑体空腔中的电磁波，经多次反射吸收，强度逐渐减弱，最后从小孔中反射出去的辐射能近似地为零。
用分光技术测出由它发出的电磁波的 能量 按 波长的分布，就可以研究黑体辐射的规律。
演示：黑体
9
黑体辐射的 单色辐出度 与波长的关系的实验曲线如图所示：
1700k
1500k
1300k
)(0 TM?
通过对曲线的分析总结出黑体辐射的两条 实验规律 。
（ 1） 维恩位移定律实验发现：当绝对黑体的温度升高时,单色辐出度 最大值对应的?m向短波方向移动
。
bT m Km10897.2 3b
m
10
(2) 斯忒藩 (Stefan)? -玻耳兹曼定律
）（ 428 KmW/1067.5
黑体辐出度（ 总辐出度） （ 单色辐出度与波长关系曲线下的总面积 ）与绝对温度有如下关系：
0 00 00 )()( dTMdMTM
斯特藩 —玻耳兹曼定律和维恩位移定律是测量高温
(如辐射高温计 )、遥感和红外追踪等的物理基础。
)(0 TM?
1700k
1500k
1300k
m0
从 理论上导出符合实验曲线的关系式,一直是物理学研究的重要课题。
但是由经典电磁理论和热力学理论出发导出的理论公式都与实验结果不符合。
11
4.经典物理遇到的困难：
1896年，维恩（ W.Wien）根据经典热力学得出公式这个公式能说明 短波段 。
T
CeCTM
2510 )( 1
,C2 为常数
1900年，瑞利和琼斯用能量均分定理电磁理论得出：
这个公式只能适合于 长波段 。
TCTM 430 )(
C3 为常数
12
按 经典理论,热的辐射和吸收是一个完全连续的过程，就像管子里流出来的一股水，光和辐射是一种电磁波。这条 连续性原理 是经典物理学的一块基石。可是那些,无事生非,的物理学家们终于给自己找来了麻烦，
他们用这种理论来解释黑体辐射，无论如何也不能使辐射能量和辐射谱统一起来。
所以，当时代步入 20世纪第一个年头时，物理学界的老前辈开尔文在新年祝辞中一面庆贺物理学的新胜利
，一面又忧心地提到,天空又出现了两朵乌云,这便是其中之一。
13
普郎克 面对单色辐出度与波长的关系的实验曲线，没有从经典理论出发,而是发挥自己的数学才能,用数学表达式来拟合这条曲线，从而获得理论公式 （即寻求一个数学表达式，在此公式代入相应的值后，所绘制出的曲线与实验曲线相符） 。
既然由经典电磁理论和热力学理论出发导出的理论公式都与实验结果不符合。
普朗克根据 维恩、瑞利和琼斯 两公式，用数学内插法得出了与实验结果符合的 普朗克公式
1
π2)(
/
3
20 kThv ec
hTM
14
通过计算，这个公式的理论值与实验曲线很好的吻合。
实验瑞利 -琼斯维恩普郎克
),(0 TM?
15
1900年 10月 19日普朗克在德国物理学会议上报告了他的黑体辐射公式 (这公式是他,为了凑合实验数据而猜出来的,)。当天，两科学家发现此公式和实验符合很好，并在第二天把这一喜讯告诉了普朗克。
（ 1900年 12月 14日被认为是量子论的诞生之日）
这使普朗克决心,不惜一切代价找到一个理论的解释,。经过两个月的日夜奋斗，他于
12月 14日在德国物理学会上提出了他的假设。
16
真实的历史普朗克在一次会议上宣读自己的观点，但全场除一人发言外，其余的人毫无反应，而这一人还是表示反对。
无一知音，普朗克对十几岁的儿子说：,我现在发现的那个东西，要么荒诞无稽，要么也许是牛顿以来物理学上最伟大的发现之一。,
1900年 10月 19日，柏林物理学会又在举行讨论会。热物理学家库尔鲍姆在会上报告了他最近的实验，仍与维恩公式不符，又是那道不可逾越的难题。谁知这时普朗克恰巧在座
，这真是天赐良机，普朗克立即上前在黑板上写出一个自己推出的公式。 这个式子无论对长波、短波、高温、低温都惊人地适用，瑞利－金斯公式和维恩公式被和谐地统一到一起
。 于是满座大惊，虽然还没有一个人能完全弄清楚这个新公式，但是在事实面前却再无人能提出反对意见。
17
物理学会再也不能轻视普朗克的挑战了，两个月后,1900年 12月 14日他们召开会议，特请普朗克介绍这项新发现。
5.普朗克能量子假说辐射黑体中的分子 原子可看作 线性谐振子振动时向外辐射能量（也可吸收能量）
振子的能量不连续
E = n? n = 1,2,3...
= h?
物体发射或吸收电磁辐射时 交换能量的最小单位是,能量子,? = h?
18
普朗克公式由此,普朗克导出了与实验结果极为符合的普朗克公式：
1
π2)(
/
3
20 kThv ec
hTM
在电磁波的发射和吸收过程中，物体的能量变化是 不连续 的，或者说，物体通过分立的跳跃非连续地改变它们的能量，能量值只能取某个 最小能量元的整数倍 。
普朗克常数 h = 6.626068 × 10-34 m2 kg / s
19
普朗克所提出的能量量子化假设 打破 了一切自然过程都是连续的经典定论，第一次向人们揭示了自然的非连续本性。
从日常经验出发，建立在一切自然过程（包括物体性质的变化）都是连续的这一定论之上的经典理论 ——牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论又已经被大量的 实验所证实 。
“量子论” 违背了实验事实？
连续性原理是经典物理学的一块基石
20
普朗克的发现使神秘的量子从此出现在人们的面前，它让物理学家们即兴奋，又烦恼。
这些能量子在运动中并不分裂，而且只能作为整体被吸收或发射。
能量子是什么？
量子论 ——翻开第二页
,光电效应,
21
赫兹试验示意图光照射金属表面使之逸出电子的现象，称为光电效应。
逸出的电子称为光电子。
这一现象首先是赫兹在 1886-1887
年间在实验中偶然发现的。
§ 17-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论赫兹在电磁波实验中还顺便发现了光电效应。 1887年
，他发现当检测器振子的两极受到发射振子的火花光线照射时，检测器的火花会有所加强。进一步的研究表明这是由于紫外线的照射,紫外线会从负电极上打出带负电的粒子 。他将此事写成论文发表，但没有进一步研究。
22
U
G
KA当光（特别是波长较短的紫外光）照射到密封的真空管内的的金属 K（负极）上时，就有光电子从表面逸出，
逸出的光电子在加速电势差 U=UA-UK的作用下，
从 K到 A，从而在电路中形成电流，称为光电流，
光电流强度可由电流计
G 读出。
莱纳德 光电效应实验
1905年换向开关真空管注意观察！
演示,光电效应
23
通过实验，我们可以画出以下实验特征曲线。
1.光电效应伏 -安曲线图 饱和光电流强度 i与入射光强度 I成正比。
或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比。
当降低 U,i 随着降低，当
U=0时,i 一般不等于 0。
只有当 U=UA-Uk变为负值
（由 换向开关实现 ）,I 减少以至为零。
i
0 U
im
饱和电流
US
I1
I2
21 II?
入射光频率恒定
24
1.光电效应伏 -安曲线图反向电势差 ——截止电势差 Us
光电子最大初动能
SeUm?
2
2
1 v
截止电压的存在说明此时从阴极逸出的 最快 的光电子，由于受到电场的阻碍，也不能达到阳极。根据 能量分析 应有：
I
0 U
Im
饱和电流
US
I1
I2
21 II?
入射光频率恒定当降低 U,i 随着降低，当
U=0时,i 一般不等于 0。
只有当 U=UA-Uk变为负值
（由 换向开关实现 ）,i 减少以至为零。
25
Cs CaNa
4.0 6.0 8.0 10.0
US /V
1014Hz
4.0
2.0
0
k与金属材料无关
2,US—? 实验曲线图
为入射光频率截止电压与入射光频率有线性关系（即 光电子最大初动能和光频率?成线性关系）
)( 0vvkU S
不同金属的 US— v 曲线是斜率相同的平行直线使金属产生光电效应的最低频率 v0 称为红限频率。红限频率红限频率与金属材料有关
0vv?
时，才能产生光电效应。
0vv?
时，无论光强多么强都不能产生光电效应。
26
经典物理与实验规律的矛盾
电子在电磁波作用下作受迫振动，直到获得足够能量 (与光强 I有关 ) 逸出，不应存在红限?0 。
当光强很小时，电子要逸出，必须经较长时间的能量积累。
只有光的频率0时，电子才会逸出 。
逸出光电子的多少取决于光强 I 。
光电子即时发射，滞后时间不超过 10–9 秒 。
总结
光电子最大初动能和光频率?成线性关系 。
光电子最大初动能取决于光强，和光的频率?无关。
27
普朗克提出的量子假设在以后的几年里，并没有引起人们的注意。当时大多数物理学家只是把普朗克公式看作是一个局限于辐射问题的“经验公式”。
首先认识到量子概念的重要性并对它的发展起了巨大推动作用的是专利局三级技术员、年轻的科学爱好者 爱因斯坦 （ 26岁）
28
爱因斯坦光子（光量子）假设 (1905年 )
（ 1）爱因斯坦在能量子假说的基础上提出光子理论：
一个频率为? 的光子具有能量 h?
h为普朗克恒量,h=6.626?10-34J·s
（ 2）光电效应的解释：
金属中自由电子从照射光中吸收一个光子的能量 h?
逸出功 A,金属电子的逸出功（从材料表面逸出时所需的最低能量），单位 eV，与材料有关的常数。
Amh 221 v?
光电子的初动能 2
2
1mv
29
Amh 221 v?
或写成：
Ahm221 v
021 2?vm
h
Av? 解释红限频率的存在实验结果：
0
2
2
1 ekekmv
)( 0 kU S
SeUm?
2
2
1 v
对比理论公式
ekh?
所以 k与金属种类无关
0?hA?
所以 A与金属种类有关
30
1916年，密立根利用截止电压与入射光频率线性关系 h=ek
计算得,h=6.56?10-34J?s，与当时其他方法测得的值符合得很好！对光子论的正确性是一个很好的证明。密立根 由此获诺贝尔奖 （另一原因是他用油滴法精确地测定了电子电量） 。
当时普朗克常数 h = 6.55 × 10-34 J? s
爱因斯坦的光量子理论（ 1905年）虽然成功地解释了光电效应，但它并没有被广大物理学家所承认。因为在他们看来，这一理论与光的波动理论是完全违背的。 普朗克也认为这一理论“太过份了”，甚至到 1913年他仍持否定态度 。
密立根也不相信光的量子理论，他从 1905年开始作“光电效应”的实验来否定它，可是于
1915年他却宣布：,结果与我所有的预期相反 。
”
31
光电效应的研究历经三十年，有三人荣获诺贝尔物理奖莱纳德 完美 实验 1905年爱因斯坦 理论 解释 1921年密立根 实验 证实 1923年研究基本电荷和 光电效应,
特别是通过著名的油滴实验,证明电荷有最小单位 。
密立根 (1868— 1953)
(Robert A.Millikan)
美国人
32
光电成像器件能将可见或不可见的辐射图像转换或增强成为可观察记录、传输、储存的图像。
光电效应的应用红外变像管 红外辐射图像 → 可见光图像像 增 强 器 微弱光学图像 → 高亮度可见光学图像测量波长在 200~1200 nm 极微弱光的功率光电倍增管
33
1909年 9月 21日，爱因斯坦应邀参加德国自然科学家协会第 81次大会。这是爱因斯坦第一次正式参加学术界的活动，也是他第一次会见普朗克等著名物理学家。爱因斯坦在这次大会上首次提出 光具有波粒二象性 。
光的波粒二象性。
光在传播过程中表现为 波动性,如光的 干涉和衍射 。
光在与物质相互作用时表现为 粒子性,如 光电效应 。
光既具有波动性，又具有粒子性，
称为光的波粒二象性。
34
光的波动性和粒子性是通过普朗克常数联系在一起的。
光子动量：
h
c
hvmcp
光的波动性用?和?来描述 ;
光的粒子性用 E和 p来描述。
35
例：铝的逸出功为 4.2eV,今用波长为 2000埃的紫外线照射铝表面，求,
（ 1）光电子的最大初动能。 （ 2）截止电压 。
（ 3）铝的红限波长。 (*1eV = 1.60217646 × 10-19 J )
Ahchv
0
0?
nm2 9 6 0 00
解,光子能量, /hch
eV0.22.42000 1043.1221
3
2 AhcAhvm
v
电子最大初动能：
SeUm?
2
2
1 v由,得,US = 2.0V
由：
36
§ 17-3 康普顿散射实验 （ 1922年）
SD
C
R
康普顿实验原理如下图：
R,X射线源。 D：光栏。 S：摄谱仪。
C：石墨晶体，是 X射线的散射体。
实验目的：入射与散射的波长比较。
入射散射散射角
37
I
I
I
I
0?
0?
0?
0?
O45
O0
O90
O135
实验发现：
波长不变的散射称为正常散射。
但在散射谱线中，除了波长不变的射线外，还有波长变长的射线。
波长变长的散射称为 康普顿散射 。
0
演示,康普顿效应
38
实验总结：
1,在散射谱线中，除有入射波长 的射线外，还有比 更长的射线。
0?
0?
2,波长改变量随着散射角的增大而增大。 与散射物质的性质无关。
2
0 2 s in 2c
c?
是与 散射物质 无关的常数，称为康普顿常数。
nm0 0 2 4 3.0?c?
X射线通过物质散射后波长变长的现象 ——康普顿效应
39
按照经典电磁波理论,X射线是波长很短的电磁波，照射到散射体上所发生的可以这样解释：
当电磁波通过物体时，将引起物体内带电粒子从入射波吸收能量而出现 受迫振动 。而每个振动着的带电粒子可被看作电偶极子，它们向四周辐射能量，这就成为散射光。
经典理论的困难：
从波动观点来看，带电粒子受迫振动频率应等于入射光的频率；所以，散射光的频率应与入射光的频率相同。可见，用光的波动理论只能解释波长不变的散射，而不能解释康普顿效应。
40
1923年,康普顿用爱因斯坦的光量子理论圆满地 解释了他的实验结果,从而又一次证实了光量子理论的正确性 。
康普顿由于这一工作而获得了 1927年诺贝尔物理奖 。
41
光的波粒二象性理论对康普顿散射的解释：
0hv
me
0
0 n
c
h
系统能量守恒：
20 eh m c
系统动量守恒：
0
0
h n
c
电子的相对论质量：
22 /1 c
mm e
v?
nch
v?m
光子能量 h?，动量
c
h?
2h m c
h n m v
c
42
(1)
(2)
202 )( cmhmc e
c o s2)()()( 02202 chchchchmv
2 2 20()E c p E
能量守恒：
动量守恒：
由相对论关系式：
(3)
(4)
将式 (2)代入式 (3),可得：
c o s2)()()()(
0
2
22
0
22 hhhcmmc
e
222 )()()( cmmcm ev
43
2s i n2)c o s1(
2
0
cm
h
cm
h
ee
nm00243.0 cm h
e
c?
(1)2 - (4)
)c o s1()11(
00
hcm e
康普顿波长?c的理论值与实验值吻合得很好。
202 )( cmhmc e
(1)
c o s2)()()()(
0
2
22
0
22 hhhcmmc
e
(4)
44
康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒二象性。同时证明相对论理论 以及在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。
思考,康普顿效应的理论计算与实验的一致性说明了什么？
45
讨论光电效应和康普顿效应的相同之处和不同之处？
参与光电效应的电子是金属中的自由电子，它不是完全自由的，而是被束缚在金属表面以内。在光电效应中，通常是一个电子吸收一个光子的过程，电子与光子的相互作用是 非弹性碰撞 。在碰撞过程中能量守恒，动量不守恒，金属材料必取走部分动量。
而参与康普顿效应的散射物中的电子在光子能量较大时可看做是完全自由的。散射物中电子与光子的相互作用可近似看成 弹性碰撞 过程，满足动量和能量守恒定律。光子把一部分能量传给电子后，光子散射出去电子则反冲，所以 散射光波长 比 入射光波长 长 。
46
杨氏双缝实验早在 1801年就已经令人信服地证明了光可以产生干涉现象，从而是一种波。然而，波的理论无法解释光电效应（ 1905年）康普顿效应（ 1922年）
等新的实验现象，为此又必须利用光量子假设。但是，
如果光是由粒子组成的，它又怎么能产生干涉现象呢？
这绝对是一个 两难 的局面！
光的波动和粒子两重性被发现后，许多著名的物理学家感到困扰。
量子论 ——翻开,对称,一页德布罗意,物质波”
然而量子论仍在继续发展,1923年一位博士生 划时代 的工作
47
对于动量为 p，能量为 E的实物粒子：
§ 17-5 德布罗意波 波 —粒二象性德布罗意根据 对称性思想 提出了物质波假设，认为波粒二象性不是光独有的特性，一切实物粒子都有波粒二象性。
Ev
h?
h
p
德布罗意“物质波”波长一、德布罗意波
48
（ 1）质量为 10克的小球以 100 m·s-1的速度运动；
（ 2）质子以 1.0× 104 m·s-1的速度运动；
（ 3）自由电子的动能为 54 eV。
例题：求下列情况下的物质波波长：
根据德布罗意公式：
vm
h
p
h
。 m1063.61001010 1063.6)1( 343
34
观测不到
。 m1097.310100.167.1 1063.6)2( 11427
34
oA65.12.12
22)3( Um e U
h
mE
h
m
h
Kv
49
对于宏观粒子来说，波长非常小以至很难观测到
，宏观物体的运动几乎不显示波动性，可以过渡到经典物理。例如第一种情况。在第二种和第三种情况中
,波长与 X射线的波长相当,所以微观粒子的波动性不可忽略,观察其衍射需要利用晶体 。
结论：
。 m1063.61001010 1063.6)1( 343
34
。 m1097.310100.167.1 1063.6)2( 11427
34
oA65.12.12
22)3( Um e U
h
mE
h
m
h
Kv
50
1927年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶,电子束被散射 。 其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释,从而验证了物质波的存在 。
汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象 X 射线一样产生衍射现象。
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。
德布罗意在 1924 年论文答辩时,当时著名的科学家
J.B.Perrin问他,这些波怎样用实验来证实呢？,
德布罗意回答：,用晶体对电子的衍射实验可以做到 。,
二、德布罗意假设的实验验证
51
戴维逊 ——革末实验电子束在晶体表面上散射的实验，观察到和 X射线散射类似的现象，首先证实了电子的波动性。
G
(单晶）
抽真空
U
I
UC C C
I
戴维逊 ---革末 实验
52
汤姆逊电子衍射实验
Cs
U
K G
屏 P
多晶薄膜高压栅极阴极以后，大量实验事实证明，电子，原子甚至分子等实物粒子都具有波粒二象性。
演示,电子双缝、单缝衍射
53
例,m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
m341021.2
30001.0
341063.6
m
h
P
h
h 太小了 使得 宏观物体的波长 小 得 难以测量宏观物体 只 表现出 粒子性波粒二象性是普遍的结论宏观粒子 也具有波动性
m 大
0
或说 h 量子物理过渡到经典物理
54
怎样理解微观粒子既是粒子又是波?
认为 波是基本的,把电子看做 波包。
1.两种模糊认识但波包要 扩散,与 电子是 稳定 的矛盾。
认为粒子是基本的但 单 电子双缝实验说明单个电子也有干涉现象三、德布罗意波的统计解释波是 大量 电子 相互作用 形成的
55
2.单电子双缝实验
7个电子在观察屏上的图像
100个电子在屏上的图像屏上出现的电子说明了电子的粒子性。
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
56
随着电子数目的增多在屏上逐渐形成了衍射图样
3000 20000
70000
说明,一个电子,就具有的波动性
57
波动性
“可叠加性,
不是经典的波 不代表实在物理量的波动粒子性
整体性
不是经典的粒子 没有,轨道,概念
3.正确理解微观粒子的波粒二象性有“干涉”“衍射”“偏振”现象
58
微观粒子在某些条件下表现出 粒子性，
在另一些条件下表现出 波动性。
两种 性质 虽寓于 同一体中，
却 不能同时 表现出来。
结论：
波粒二象性只是比喻 电子就是电子本身！
59
根据光的衍射规律，单缝衍射强度最小的条件是：
s i n ( 1,2,)a k k
由于电子的波动性，我们只知电子穿过了狭缝，但无法准确测定它通过狭缝的 哪一点 和到达屏上的 哪 一位臵 。
§ 17-6 不确定关系
1、坐标和动量的不确定关系单缝衍射实验：
缝电子束屏
2
a
o
A
D
x
60
如果用坐标 x 和动量 px 来描述单个电子在 x方向的运动状态
，那么狭缝的宽度 a 就是电子坐标的 不确定量,即
ax
pp
x
同样，电子的动量 px在零与 psin?之间，而无法确定其量值
，即电子动量 px的不确定量：
s inxpp
61
s in hak p s i na p k h
xx p k h h
xx p h
以 代入上述单缝衍射公式得：h
p
称为 不确定关系式,它对所有微观粒子都适用。
量子力学公式：
2xxp2
h
该式说明,对微观粒子的坐标和动量不可能同时进行准确的测量 。如果坐标测量得越准确，则动量测定的偏差就越大，反之亦然。
62
2,能量和时间的不确定关系原子光谱线都有一定的频率宽度,说明原子能量有一个不确定量?E。 原子处于某激发态存在一个平均寿命 （ 平均发光时间 ）,说明原子处于激发态的时间也有一个不确定量
t。
能量和时间的不确定关系是：
2
tE
微观粒子的能量和时间不可能同时进行准确的测量。
63
由于
xxp m v
解,枪口直径可以当作子弹射出枪口时位臵的不确定量?x。
和子弹飞行速度每秒几百米相比，这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。
例：设子弹的质量为 0.01㎏,枪口的直径为 0.5㎝ 。
试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量 。
根据不确定性关系得
2xv mx
sm1005.1m105.0kg01.02 sJ1005.1 302
34
64
1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后,物理学家德拜
（ P.Debey） 评论说：认真地讨论波动,必须有波动方程 。
几个星期后,薛定谔又作了一次报告 。 开头就兴奋地说：你们要的波动方程,我找到了 ！ 这个方程,就是著名的薛定谔方程 。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的 。
同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性也只能靠实验来检验 。
§ 17-7 波函数 薛定谔方程
65
1、波函数通常以?表示，一般是时间和空间的函数。
例如一个波长为?、频率为?，沿 x 方向匀速运动的自由粒子的平面简谐波的波动方程为：
(,) c o s 2 ( )xy x t A t
复数形式为,2 ( / )(,) i t xy x t A e
-----描绘粒子运动状态自由粒子的波函数：
()
0(,)
i E t p x
x t e
推广到三维空间：
()
0(,)
i E t p r
r t e
如果粒子的能量为 E，动量为 p hp
h
E
66
2,波函数的特征物质波是概率波，其波函数兼有波和概率的双重特性。
(2) 满足标准条件,单值、连续、有限 。
(1) 概率密度, 22
0
所以函数连续可微，且一阶导数也连续可微。
(3) 满足归一化条件。
12
d x d y d z?
67
3、薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，
状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，从波函数入手建立了微观粒子的波动微分方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学中的又一基本方程。
68
（ 1）,薛定谔方程的一般形式。
()
0(,)
i E t p x
x t e
对 t 求一阶偏导：
Eit?
(2)
2
2
2
2
p
x
(1)对 x 求二阶偏导：
,2)1(
2
m
,)2(?i? 2,
2
pE
m?由
—— 一维自由粒子含时间的薛定谔方程。
tixm?
2
22
2
69
两边同乘以?：
EtxVmp ),(2
2
将
22
22
p
x
i E
t
——一维势场 V(x,t)中运动粒子的薛定谔方程。
titxVxm?
),(
2 2
22 (3)
得：
考虑一维 势场 V(x,t)中运动的粒子：
),(2
2
txVmpE
代入上式
70
若势能 只是坐标的函数 与时间无关,即微观粒子作定态运动，可对波函数分离变量
( ) / / /00(,) i E t p x i p x i E tx t e e e
即将波函数写成坐标函数和时间函数乘积
(x,t) =? (x) f (t)
t
tf
tf
ixV
x
x
xm?
)(
)()(
)(
)(
1
2 2
22
titxVxm?
),(
2 2
22
（ 2） 定态 薛定谔方程自由粒子在 稳定 势场 （与时间 t无关） 中运动是定态 问题。 )(xV
再由一维定态薛定谔方程：
71
等式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，令为一常数）EEt tftf i ()()(
积分得 Etietf)(
由于指数只能是无量纲的纯数，可见 E必定具有能量量纲。
)()()(2 2
22
xExVx xm所以，
或 0)(2
22
2
VEmx?
——一维运动粒子的 定态 薛定谔方程。
72
上式为势场 中运动粒子的定态薛定谔方程。)(rV?
如果粒子在三维空间运动，则
0)(2 22 VEm?
.,,2
2
2
2
2
2
2 称作普拉斯算符其中
zyx?
求解薛定谔方程分四步：
（ 1）列出各势域的一维 S—方程
（ 2）解方程
（ 3）使用波函数标准条件定解
（ 4）定归一化系数
73
设质量为 m的粒子，只能在一维势场中运动，
)(xV
0 0 < x < a
x? 0或 x? a
xa
V(x)
0
§ 17-8 薛定谔方程的简单应用
1.一维无限深势阱
74
Edxdm 2
22
2
(0 < x < a)
x? 0,x? a时,?(x) = 0。即，
(0) = 0? (a) = 0
令
2/2?mEk?
则方程可写为：
022
2
kdxd
势能不随时间而变化，定态薛定谔方程
75
该方程的通解,? (x) = Asinkx + Bcoskx
(0) = 0,? B = 0
又 (a) = Asinka = 0,
但 A? 0,ka = n? (n =1,2,3,·· )
,/2 2?mEk?代入得，
2
22
2
2 ma
nE n
(n =1,2,3,·· )
x0 a
E
n=1,E1
n=2,E2=4E1
n=3,E3=9E1
n=4,E4=16E1
量子化的能级
76
与一定的 En 相对应，可得
xanAxn s i n)(?
(0 < x < a)
根据归一化条件，
1s i n
0
22
a dxx
a
nA?
得
aA
2?
所以，薛定谔方程的解,2( ) s i n
n
nxx
aa
(0 < x < a)
粒子在阱内空间各处出现的概率密度为：
2 22( ) s in
n
nxx
aa
77
x0 a? 1
2
3
4()n x?
x0 an=1
n=2
n=3
n=4
2()n x?
78
)(xV
u0 (x > 0)
0 (x < 0)
0
0U
EP(x)
x
2.一维势垒贯穿、隧道效应定态薛定谔方程,
22
2 2
mE
dx
d (x < 0)
2 02
2 )(2
uEm
dx
d
(x > 0)
79
2
02
2
)(2
uEmk
得
212
2
kdxd
(x < 0)
2
2
22
d k
dx
(x > 0)
通解：
xikxik eAAex 11)(1
(x < 0)
(x > 0) xikxik eBBex
22)(2
,2 221?mEk?令
80
讨论
①?1(x)：表明有入射波和反射波。
②,:)(
22 表示透射波xikBex?
1) E > u0
x
入射波 +反射波 透射波能量
u0
E
0
“部分”粒子跨过去，“部分”粒子被反射回来
。
经典物理学：粒子完全跨越势垒到达 x>0区域,
81
x
能量
u0
E
a0
0
22
2 ( )
2
m u E x
i k xB e B e?
表明,粒子仍能透入势垒,
透射波有一透入深度。
这种现象称为 隧道效应 。
2) E < u0
演示,隧道效应
82
扫描隧道显微镜 （ STM）
（ Scanning Tunneling Microscopy）
STM是一项技术上的重大发明，
原理,利用量子隧道效应
1986,Nob,毕宁 （ G.Binning）
罗尔 （ Rohrer） 发明 STM
表面的微观结构 （不接触、不破坏样品）。
用于观察
83
U0U0 U0
dAUei
A — 常量
— 样品表面平均势垒高度（ ~ eV）
d ~ 1nm（ 10A ）。
d 变? i 变，反映表面情况。
A Bd
E
隧道电流 iA
B
U
d
探针样品电子云重叠
84
隧道电流 i,对针尖和样品表面之间的距离 d非常敏感 。 用金属探针在样品表面扫描,
通过隧道电流的变化就能记录下样品表面的微观形貌和电子分布等信息 。
扫描隧道显微镜在表面物理,材料科学,
化学和生物等很多领域的科学研究中都有重要的应用 。
85
86
用 STM得到的神经细胞象硅表面 STM扫描图象
87硅纳米线的 SEM图片
88
1991年恩格勒等用 STM在镍单晶表面逐个移动氙原子,拼成了字母 IBM,每个字母长 5纳米 。
移动分子实验的成功,表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步,其内在意义目前尚无法估量 。
89
1993年,克罗米等人用 扫描隧道显微镜技术 把蒸发到铜表面上的 48个 Fe原子围成一个平均半径为 7.13 nm的圆圈 ——“量子围栏,,通过实验观察到了在围栏内铜表面电子形成的同心圆状的驻波 。 它 直观的证实了电子的波动性 。
90
§ 17-9 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论一,氢原子光谱的 实验规律记录氢原子光谱原理示意图氢放电管
2~3 kV
光阑全息干板三棱镜
（或光栅）
光源
91
氢原子光谱的规律性红 蓝 紫
6562.8? 4340.5?4861.3?
氢原子的可见光光谱：
92
巴耳末 氢原子可见光谱系 的 经验公式：
RH=1.096776× 107 m-1 称为 里德伯常数 。
H 22
1 1 1( ),
2R n
...5,4,3?n
紫外区和红外区的氢光谱系，可用经验公式表示为：
H 22
1 1 1( ),R
mn
,.,,,21 mmn
m=1 称为赖曼系（紫外区光谱系） ；
m=2 称为巴耳末系（可见光谱系） ；
m=3 称为帕邢系 ；
m=4 称为布喇开系 ；
m=5 称为普芳德系；这三系都是红外光谱系 。
93
玻尔 提出三条基本假设解释氢原子光谱。
卢瑟福的原子结构核式模型
1)电子向外辐射电磁波的频率是连续变化；
2)电子最终坠落到原子核表面。
94
二,玻尔的氢原子理论
h
EE nk ||
2,跃迁假设 v
kE
nE
v
kE
nE
1,定态假设
1r
2r
3r
v?
3,角动量量子化假设
π2
hnrmL v,..3,2,1?n
95
三,氢原子轨道半径和能量的计算
r v?
,3,2,1)π( 122202 nrnme hnr n?
轨道量子化
n
n r
emE 2
0
2
π4
1
2
1
v
能量量子化
...3,2,181 22
0
4
2 nh
me
n ?
96
比较两个 R值可见玻尔理论和实验符合得相当好 !
四,玻尔氢原子理论值和实验值的比较玻尔的频率假设结果
)11(8 2232
0
4
nmh
mev
里德伯常数的实验值,RH实验 =1.096776× 107 m-1
巴耳末公式
H 22
1 1 1()R
mn
4
71
23
0
1,0 9 7 3 7 3 1 0 m8 meR hcH 理 论
97
五,解释氢原子光谱氢原子的能级分布表达方式为：
eV6.13 2nE n
n=1,2,3,…
辐射光子的能量为：
mn EEh
氢原子的发光机制为能级间的跃迁。
98
5
1
2
3
4
巴耳末系帕邢系布喇开系氢原子中电子的能级
-13.6(基态 )
-3.39
-1.51
-0.85
E（ eV）
赖曼系
0(电离态 )
-0.54
m
99
例：计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？
解,巴耳末系是 n >2的各能级向 n = 2的能级跃迁所产生。
1E
2E
3E
4E
5E
其最长波长对应于 n = 3? n = 2的跃迁，即
mn EEh
cv
( n m )6 5 8
23
m a x EE
ch?
eV6.13 2nE n
最短波长应是 n = n = 2
跃迁的光子，即
( n m )366
2
m i n
EE
ch?
100
§ 17-10 量子力学中的氢原子问题
0)4(2
0
2
2
2
r
eEm
042)(
0
2
22
2
2
2
2
2
r
eEm
zyx?
1.氢原子的薛定谔方程
101
球坐标下,
0
4
2
s i n
1
s i n
s i n
11
0
2
2
2
2
222
2
2
r
e
E
m
rrr
r
rr
102
求解上述方程，可得如下结论：
22
0
4 1
)(32 n
meE
n?
n=1,2,3,… 称为 能量量子数 (主量子数 )。
玻尔理论,22
0
4
2 8
1
h
me
nE n
（ 1）能量量子化
103
（ 2）角动量量子化
)1( llL
l = 0,1,2,3,…,n-1 称为 角量子数 (副量子数 )。
104
lZ mL?
（ 3）轨道角动量空间量子化
2?l
6?L
2
o
2?
L
L
L
L
Z
lm l,2,1,0 称为 (磁量子数 )
此式说明角动量在空间的取向及其在外磁场方向的投影，只能取分立的值，这称为空间量子化。
对同一个 l,角动量 Z方向分量可能有 2l+1个不同的值
105
2,氢原子中的电子的概率分布电子在 （ n,l,ml） 态下在空间 ( r,?,? ) 处出现的概率密度是 2||
lnlm?
电子在核外空间所处的位臵及其运动速度不能同时准确地确定，也就是不能描绘出它的运动轨迹 。
(1)电子云 (定性 )
演示：电子云
106
§ 17-11 电子的自旋 原子的电子壳层结构
1.史特恩 ---盖拉赫实验
L?
e
磁矩角动量
e θ
B?
mP
实验依据斯特恩－盖拉赫实验装臵（ 1921）
N
S
准直屏原子炉磁 铁
107
演示：施特恩和盖拉赫实验实验结果,
108
2.电子自旋
S?
s?
ZSsm?
电子自旋角动量 S,
)1( ssS
s 称自旋量子数，取值,1 / 2”
mS称为 自旋磁量子数,只取两个值：
2
1
Sm
109
(1) 主量子数,?,3,2,1?n
它大体上决定了电子的能量。
,1,2,1,0 nl?
决定电子轨道角动量的大小。
(2) 角量子数：
决定轨道角动量在外磁场中的空间取向。
,,2,1,0 lm l(3) 磁量子数：
它决定自旋角动量在外磁场的空间取向。
(4) 自旋磁量子数：
取向只有两个方向：与外磁场同向或反向。
5,四个量子数
110
原子的电子壳层结构模型
1916年，柯塞尔在玻尔的基础上提出了原子的壳层结构模型：
主量子数 n不同的电子分布在不同的主壳层上，对 n =1,
2,3,4,… 的电子，主壳层分别用 K,L,M,N,… 等符号表示。
主量子数相同而角量子数不同的电子分布在不同的支壳层上，与 l = 0,1,2,… n-1 相对应的支壳层分别用 s,p,d,f… 等符号表示。
电子在原子中的分布遵从下列两个原理,泡利不相容原理,能量最小原理。
111
1925年，泡利在深入研究原子结构和光谱规律的基础上，提出了 不相容原理,在任何原子中，不可能有两个电子具有相同的四个量子数，即每一个量子态只能容纳一个电子。
但是，泡利不相容原理反映的这种电子状态的严格的排斥性的物理本质是什么？
根据泡利不相容原理，可算出各个壳层最多能容纳的电子数。
给定 n
给定 l
给定 n,l,ml
l 可取 0,1,2,··· n-1共 n个值；
ml可取 0,? 1,? 2,···? l,共 ( 2l + 1 )个值 ;
ms可取? 1/2 两个值,
至今尚不清楚。
如此计算，每个支壳层最多能容纳 2(2l +1）个电子，每个主壳层最多能容纳的电子数为：
21
0
22 )12(22)12(2 nnlZ nn
112
各壳层可容纳的电子数
0 1 2 3 4 5 6
s p d f g h i
1
2
3
4
5
6
7
K
L
M
N
O
P
Q
2
2 6
2 6 10
2 6 10 14
2 6 10 14 18
2 6 10 14 18 22
2 6 10 14 18 22 26
Nn
2
8
18
32
50
72
98
l
n
Nl
113
电子填充壳层的规律，除要遵守泡利不相容原理外，
还要遵守能量最小原理：原子处于正常状态时，每个电子都趋向于占有最低的能级。电子填充壳层按照由低到高的顺序排列。
能量最小原理电子处于某一状态的能量主要由主量子数 n决定，也要受到角量子数 l 的影响，主量子数相同而角量子数 l 不同的支壳层也具有不同的能量。
一般来说，壳层的主量子数 n 越小，能级越低；同一主壳层中，角量子数 l 越小，能级越低。 l 的影响会使不同的壳层产生位臵上的交错。
114
经验公式,(n + 0.7 l )的值越大，能级越高。
由此可得原子壳层由低到高的能级顺序：
其中数字 1,2,3,… 表示主壳层顺序。这个顺序与元素周期表完全一致。
...76546545
543433221
spdfspds
spdspspss
例：判别 4s与 3d 能级的高低。
407.04)7.0( ln
44.427.03)7.0( ln
电子先填充 4s 能级，
再填 3d 能级
