1
第十四章 稳恒电流的磁场P117．14,1通有 电流 I的导 线形 状如 图所 示,图中 ACDO是边 长为 b的正 方形,求 圆心 O处的 磁感 应强度 B=？
[解答 ]电流在 O点的 产生 的磁 场的 方向 都是 垂直 纸面 向里 的,根据毕 -萨定 律：,002dd4πIrμ×=lrB圆弧 上的 电流 元与到 O点的 矢径 垂直,在 O点产 生的 磁感 应强 度大小 为
，01 2dd4πIlBaμ=由 于 dl=adφ，积分 得
．1 1dLBB=∫ 3π/200 d4πIaμ?=∫ 038Iaμ=OA和 OD方向 的直 线在 O点产 生的 磁感 应强 度为 零．在 AC段,电流 元在 点 产生 的磁 感应 强度 为,
02 2dsind4πIlB rμθ=由于 l=bcot(π-θ)=-bcotθ，所以 dl=bdθ/sin
2θ；又由 于 r=b/sin(π-θ)=b/sinθ，可得,
02 sindd4πIB bμθ=积分 得 3π/4
02 π/2d sind4πL IBBbμ θ==∫ ∫ 3π/40 0π/2 2(cos)4π 8πI Ib bμ μθ=? =同理 可得 CD段在 O点产 生的 磁感 应强度 B3=B2,O点总 磁感 应强 度为,
0 01233284πI IBBBabμμ=++=+[讨论 ]（ 1）假 设圆 弧张 角为 φ，电 流在 半径为 a的圆 心处 产生 的磁 感应 强度 为，
04πIBaμ?=
I COba DA
图 14.1
lrθ
Idl
Idl COba DA
2
当 时,可得32π4?=×,0138IBaμ=（ 2）有 限长 直导 线产 生的 磁感 应大 小为,
0 1 2(coscos)4πIBbμθθ=?对于 AC段,θ1=π/2,θ2=3π/4； 对于 CD段,θ1=π/4,θ2=π/2，都 可得．
02 3 28πIBBbμ==如果 不用 毕 -萨定 律,可直 接引 用由 毕 -萨定 律所 得出 的结 果．14,2如图所 示的 载流 导线,图 中半 圆的 的半 径为 R，直线 部分 伸向 无限 远处,求圆心 O处的 磁感 应强度 B=？[解答 ]在直 线电 流的 磁感 应强 度公 式中,,0 1 2(coscos)4πIBRμθθ=?令 θ
1=0,θ2=π/2,或 者 θ1=π/2,θ2=π,就 得 半无 限长 导 线在端 点半 径为 R的圆 心上 产生 的磁 感应 强度．04πIBRμ=两无 限长 半直 线在 O点产 生的 磁场 方向 都向 着 -Z方向,大 小为 B
z=μ0I/2πR．半圆在 O处产 生的 磁场 方向 沿着 -X方向,大 小为 Bx=μ0I/4R．O点的 磁感 应强 度为,
0 042πx z I IBBRRμμ==Bi k i k场强 大小 为,22 204π4π
x z IBBBRμ=+=+与 X轴的 夹角 为,2arctanarctanπz
xBθ= =14,3如 图 所 示 的 正 方 形 线 圈 ABCD,每 边 长 为 a,通 有 电 流I．求 正方 形中心 O处的 磁感 应强度 =？[解答 ]正方形每一边到 O点的距离都是 a/2，在 O点产生的磁场大小相 等,方向 相同,以 AD边为 例,利用 直线 电流 的磁 感应 强度 公式,，0 1 2(coscos)4πIBRμθθ=?令 θ1=/4,θ2=3π/4,R=a/2,AD在 O产生 的场 强为
BIθ1bθ2
X YRI ZO图 14.2
IODB CA图 14.3
3
，022πAD IBaμ=O点的 磁感 应强 度为,
024 πAD IBBaμ==方向 垂直 纸面 向里,14,7两个 共 轴 圆 线 圈,每 个 线 圈 中 的 电 流 强 度 都 是 I，半 径 为 R，两 个 圆 心 间 距 离
O12=R，试 证,O1,O2中点 O处附 近为 均匀 磁场,[证明 ]方法一,用二阶导数．一个半径为 R的环电流在离圆心为 x的轴 线上 产生 的磁 感应 强度 大小 为,．
20223/22( )IRBxμ=+设两 线圈 相距为 2a，以 O点为 原点 建立 坐标,两 线圈在 x点 产生的 场强 分别 为
，201 2 23/22[ ()]IRBRaxμ=++．20
2 2 23/22[()]IRBRaxμ=+?方向 相同,总 场强为 B=B1+B2．一个线 圈产 生的 磁感 应强 度的 曲线 是凸 状,两边 各有 一个拐点,两个 线圈 的磁 场叠 加之 后,如果 它们 相距 太近,其 曲线 就是更 高的 凸状 ；如 果它 们相 距太 远,其曲 线的 中间 部分 就会下凹,与两 边的 峰之 间各 有一 个拐 点,当它 们由 远而 近到 最适 当的位 置时,两 个拐 点就 会在 中间 重合,这 时的 磁场 最均 匀,而拐 点处 的二 阶导 数为 零,设 k=μ0IR2/，则
2 23/2 2 23/21 1{ }[()][()]BkRax Rax= +++ +?B对 x求一 阶导 数得,2 25/2d3{d [ ()]axkx Rax+=?+ 2 25/2}[ ()]axRax+求二 阶导 数得
，2 2 22 2 27/2d 4()3{d [ ()]BRaxkx ax?+=?+ 2 22 27/24()}[ ()]Raxax++在 x=0处 d2B/dx2=0，得 R2=4a2，所 以 2a=R．x=0处的 场强 为
xO2CIOxRBO1C2aIRB图 14.7
4
．2 23/22[ (/)]BkRR=+ 0381655IkRRμ= =方法 二,用二 项式 展开,将 B1展开 得,
201 22 23/22[ ]IRBRaaxxμ=+++ 20223/2 2223/22( )[1(2)/( )]IRRa axxRaμ=++++设,则2
0223/22( )IRkRaμ=+,23/21 22(1 )axxBkRa?+=+同理 可得
．23/22 22(1 )axxBkRa+=+当 x很小 时,二项 式展 开公 式为,2(1)(1)1,12n nxnx x?+=++ +?
将 B1和 B2按二 项式 展开,保 留二 次项,总 场强 为 212 223[12axxBBBk Ra?+=+=+? + 2222135( ).]1222axxRa+ +?2
223[12axxk Ra+++? + 2222135( ).]1222axxRa+ +?22232[12xk Ra?=+? ++ 2222354,]24( )axRa ++
2 2222342[1,]2( )Rak xa=+? ++令 R2-4a2=0，即 a=R/2，得,
20 0223/2852( ) 25IR IBkRa Rμ μ== =+可知,O点附 近为 均强 磁场,14,5将半 径为 R的无 限长 导体 圆柱 面,沿轴 向割 去一 宽为 h(<R)
的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为 i，求轴线上的磁感应强度 B=？[解答 ]方法 一,补 缺 法,导 体 圆 柱 面 可 看 作 由 很 多 无 限 长 直 导 线 组成,如 果 补 上 长 缝,由 于 对 称 的 缘 故,电 流 在 轴 线 上 产 生 的 磁 感 应 强 度为零,割 去 长 缝,等 效 于 同 时 加 上 两 个 大 小 相 等,方 向 相 反 的 电 流,其中，与 i相同 的电 流补 上了 长缝,与 i相反 的电 流大 小为 I=ih．
在轴 线上 产生 的磁 感应 强度 为 O'
ORi
h图 14.5
5
．0 02π2πI ihBRRμμ==方法 二,积分 法,在导 体的 截面 上建 立坐 标,x坐标 轴平 分角 α,α=h/R．电流 垂直 纸面 向外,在 圆弧 上取 一线 元 ds=Rdθ，无限 长直 线电 流为
dI=ids=iRdθ，在轴 线产 生的 磁感 应强 度大 小为,0 0dd d2π2πI iBRμμθ==两个 分量 分别 为
，0ddsin sind2πx iBBμθ θ= =,0ddcos cosd2πy iBBμθ θ=?=?积分 得；2π/2 2π/20 0 /2/2sind cos2π 2πx i iBα αααμ μθ θ= =?∫ 0[cos(2π/2)cos(/2)]02πiμ αα= =2π/2 2π/20 0
/2/2cosd sin2π 2πy i iBα αααμ μθ θ=? =?∫ 0[sin(2π/2)sin(/2)]2πiμ αα=．0 0 02sin2π22π2πi i ihRμ μμαα= ≈=B
y的方 向沿着 y方向,By的大 小和 方向 正是 无限 长直 线电流 ih产生 的磁 感应 强度,14,6在半径为 R=1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有 电 流 I=5.0A,如 图 所 示,求 圆 柱 轴 线 上 任 一 点 的 磁 感 应 强 度 B=？ [解答 ]取导 体面 的横 截面,电 流方 向垂 直纸 面向 外．
半圆 的周 长为 C=πR，面电 流线 密度 为 i=I/C=IπR．在半 圆上 取一 线元 dlRdφ代表 无限 长直 导线 的截 面,电流 元为 dI=idl=Idφ/π，
在轴 线上 产生 的磁 感应 强度 为,0 02ddd2ππI IBRRμμ?==方向 与径 向垂 直,dB的两 个分 量为d
x=dBcosφ,dBy=dBsinφ．积分 得 xdBydBxd
yRO1φ
xyORθdsαdBdBydBx
IR图 14.6
6
，π π0 02 2 00 cosd sinπ πx I IBR Rμ μ= = =∫,π02
0 sindπy IBRμ?=∫ π0 02 20(cos)π πI IR Rμ μ?=? =由对 称性 也可知 Bx=0，所 以磁 感应 强度 B=By=6.4×10-5(T)，方向 沿着 y正向,
14,7如图所 示,宽度 为 a的薄长 金属 板中 通有 电流 I，电流沿薄 板宽 度方 向均 匀分 布,求在 薄板 所在 平面 内距 板的 边缘为 x的P点处 的磁 感应 强度,[解答 ]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流 的线 密度 为 δ=I/a，
以板 的下 边缘 为原 点,在薄 板上 取一 宽度为 dl的通 电导 线,电流 强度 为dI=δdl，在 P点产 生磁 感应 强度 为,
0 0d dd2π2π( )I lBr xalμμδ==+?磁场 方向 垂直 纸面 向外,由 于每 根电 流产 生的 磁场 方向 相同,总 磁 场为,
00 d2π( )a lBxalμδ=+?∫ 0 0ln( )2π alxalμδ ==? +? 0ln(1)2πI aaxμ+[讨论 ]当 a趋于 零时,薄 板就 变成 直线,因 此,
0 0ln(1/)2π/ 2πI IaxBxax xμ μ+= →这就 是直 线电 流产 生的 磁感 应强 度的 公式,14,8在半径为 R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行,盖 住半 个球 面,如图 所示,设 导线 中电 流为 I，总 匝数为 N，求 球心
O处的 磁感 应强度 B=？[解答 ]四分 之一 圆的 弧长 为 C=πR/2，单位 弧长 上线 圈匝 数为 n=N/C=2N/πR．在四 分之 一圆 上取 一弧 元
dl=Rdθ，线圈 匝数 为 dN=ndl=nRdθ，环电 流大 小为 dI=IdN=nIRdθ,dBy xRO1θ
Pxa I图 14.7
Pxa IOdll dI
IRO图 14.8
7
环电 流的 半径 为 y=Rsinθ，离 O点的 距离 为 x=Rcosθ，在 O点产 生的 磁感 应强 度为
，2 20 03dd sind2 2yI nIBRμμθ= = 20sindπNIRμθ=方向 沿着 x的反 方向,积 分得 O点的 磁感 应强 度为,π/2
200sindπNIBRμ θ=∫ π/20 00(1cos2)d2π 4NI NIR Rμ μθθ=? =∫14,9两个 共面 的平 面带 电圆 环,其内 外半 径分 别为 R
1,R2和 R3,R4(1<R2<R3<R4)，外面圆环以每秒钟 n2转的转速顺时针转 动,里面 圆环 以每称 n1转逆 时针 转动,若 两圆 环电 荷面 密度均为 σ，求 n1和 n2的比 值多 大时,圆 心处 的磁 感应 强度 为零,[解答 ]半径为 r的圆 电流 在圆 心处 产生 的磁 感应 强度 为 B=μ
0I/2r．在半 径 为 R1和 R2的环 上 取 一 半 径 为 r、宽 度 为 dr的薄 环，其面 积为 dS=2πrd，所带 的电 量为 dq=σdS=2πσrd，
圆环 转动 的周 期为 T1=1/n1，形成 的电 流元 为 dI=dq/T1=2πn1σrd．薄环 电流 可以 当作 圆电 流,在圆 心产 生的 磁感 应强 度为 dB
1=μ0dI/2r=πμ0n1σdr，圆环 在圆 心产 生磁 感应 强度 为 B1=πμ0n1σ(R2-1)．同理,半 径为 R3和 R4的圆 环在 圆心 处产 生的 磁感 应强 度为 B
2=πμ0n2σ(R4-3)．由于两 环的 转动 方向 相反,在 圆心 产生 的磁 感应 强度 也相 反,当它 们大 小相 同时,圆心处 的磁 感应 强度 为零,即,πμ0n1σ(R2-1)=πμ0n2σ(R4-3)，解得 比值 为
．4312 21 = RRnn?14,10半径为 R的无限长直圆柱导体，通以电流 I，电流在截面上分布不均匀，电流密 度 δ=kr,求,导体 内磁 感应 强度？
[解答 ]在圆 柱体 内取 一半 径为 r、宽 度为 dr的薄 圆环,其 面积 为
R2R4 R1R3图 14.9
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dS=2πrd，电流 元为 dI=δdS=2πkr2dr，从 0到 r积分 得薄 环包 围的 电流 强度 为 I
r=2πkr3/；从 0到 R积分 得全 部电 流强 度 I=2πkR3/，因此 Ir/=r3/R3．根据 安培 环路 定理 可得 导体 内的 磁感 应强 度
．20 032π2πrI IB rr Rμμ==14,1有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量 Q，半径为 a，可绕盘心且与盘面垂直的轴 转动,设 角速 度 为 ω,求圆 盘中心 O的磁 感应 强度 B=？[解答 ]圆盘 面积 为
S=πa2，面电 荷密 度为 σ=Q/S=Q/πa2．在圆 盘上 取一 半径为 r、宽 度为 dr的薄 环,其面 积为dS=2πrd，所带 的电 量为
dq=σdS=2πσrd．薄圆 环转 动的 周期 为 T=2π/ω，形成 的电 流元 为 dI=dq/T=ωσrd．薄环 电流 可以 当作 圆电 流,在圆 心产 生的 磁感 应强 度为
dB=μ0dI/2r=μ0ωσdr/2，从 0到 a积分 得圆 盘在 圆心 产生 磁感 应强 度为 B=μ0ωσa/2=μ0ωQ/2πa．如果 圆盘 带正 电,则磁 场方 向向 上,14,12二 条 长 直 载 流 导 线 与 一 长 方 形 线 圈 共 面,如 图 所示,已知 a=bc=10cm,l=10m,I1=I2=100A，求 通过 线圈 的磁通 量,[解答 ]电流 I1和 I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的,在坐 标系 中的 x点,它们 共同 产生 的磁 感应 强度 大小 为,
01 022π( /2)2π(/ )I IBabx cbxμ μ= +++ +?在矩 形中 取一 面积 元 dS=ldx，通过 面积 元的 磁通 量为 dΦ=BdS=Bldx，
通过 线圈 的磁 通量 为
RI
图 14.10
aωO图 14.11
b
dx
cxaI1 O1
I2l
图 14.12
ωOar
9
/20 1 2/2( )d2π /2 /bbl I I xabxcbxμΦ?= ++?∫=2×10-7×10100×2ln2=2.77×10-4(Wb)．0
1 1(ln ln)2πl ab cI Ia cbμ +=?+14,13一电 子在 垂直 于均 匀磁 场的 方向 做半 径为 R=1.2cm 的圆 周运 动,电子 速度 v=104m ·s-1．求 圆轨 道内 所包 围的 磁通 量是 多少？[解答 ]电子 所带 的电 量为 e=1.6×10
-19库仑,质 量为 m=9.1×10-31千克,电子 在磁 场所 受的 洛伦 兹力 成为 电子 做圆 周运 动的 向心 力,即,f=evB=mv2/R，所以 B=mv/eR．
电子 轨道 所包 围的 面积 为 S=πR2，磁通 量为 Φ=BS=πmvR/e=2.14×10-9(Wb)．14,14同轴 电缆 由导 体圆 柱和 一同 轴导 体薄 圆筒 构成,电流 I从一 导体 流入,从 另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为 R1，圆筒半径为 R2，如图所 示,求,（ 1）磁 感应 强度 B的分 布；（ 2）在 圆柱 和圆 筒之 间单 位长 度截 面的 磁通 量为 多少？[解答 ]（ 1）导 体圆 柱的 面积 为 S=πR
12，面电 流密 度为 δ=I/S=I/πR12．在圆 柱以 半径 r作一 圆形 环路,其 面积 为 S
r=πr2，包围 的电 流是 Ir=δSr=Ir2/R12．根据 安培 环路 定理,
0 0d rL I Iμμ?==∑∫Bl?由于 B与环 路方 向相 同,积分 得 2πrB=μ0Ir，所以 磁感 应强 度为 B=μ
0Ir/2πR12,(0<rR1)．在两 导体 之间 作一 半径为 r的圆 形环 中,所包 围的 电流为 I，根 据安 培环 中定 理可 得B=μ0I/2πr,(R1<rR2)．在圆 筒之 外作 一半 径为 r的圆 形环 中,由 于 圆柱 和圆 筒通 过的 电流 相反,所 包 围的 电 流为零,根 据安 培环 中定 理可 得 B=0,(r>R
2)．（ 2）在 圆柱 和圆 筒之 间离 轴线 r处作 一径 向的 长为 l=1、宽为 dr的矩 形,其面 积为
BORv
图 14.13
lR2 R1IIdr图 14.14
10
dS=ldr=dr，方向 与磁 力线 的方 向一 致,通过 矩形 的磁 通量 为 dΦ=BdS=Bdr，总磁 通量 为,
210 0 211dln2π 2πRRI IRrrμ μΦ= =∫14,15如图 所 示,一 长 直 载 流 导 体,具 有 半 径 为 R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为 a的圆柱形长孔，其轴与导 体轴 平行,相距 b=R–a，导 体截 有均 匀分 布的 电流 I．（ 1） 证 明 空 孔 内 的 磁 场 为 均 匀 场 并 求 出 磁 感 应 强 度 B的值； （ 2）若要获得与载流为 I，单位长度匝数 n的长螺线管内部磁场 相等 的均 匀磁 场,a应满 足什 么条 件？（ 1） [证明 ]导体 中的 电流 垂直 纸面 向外,电 流密 度为
．22π( )IRaδ=?长孔 中没 有电 流,可以 当作 通有 相反 电流 的导 体,两个 电流 密度 的大 小都 为 δ，这 样，长孔 中磁 场是 两个 均匀 分布 的圆 形电 流产 生的,如果 在圆 形截 面中 过任 意点 P取一 个半 径为 r的同 心圆,其 面积 为S=πr
2，包围 的电 流为 ΣI=δS=πr2δ，根据 安培 环路 定理 可得 方程 2πrB
r=μ0ΣI，磁感 应强 度为,0 02π2r IB rrμμδ∑==方向 与矢径 r垂直,同理,密 度为 -δ的电 流在 P点产 生的 磁感 应强 度为
，02rBrμδ′ ′=方向 与矢径 r'垂直,设两 个磁 感应 强度 之间 的夹 角为 θ，则 合场 强的 平方 为222 cos
r r rrBBBBθ′ ′=++,2 2220()( ` cos)2B rrrμδ θ′= ++根据 余弦 定理,如 图可 知：,
222 cosbrrr?′ ′=+?由于 φ=π-θ，所 以
baRO1O'1图 14.15
baRO1O'1rr'BrBBr'θφP
1
，02Bbμδ=由于 b和 δ都是 常量,可 见,长孔 中是 均匀 磁场,将 δ和 b代入 公式 得磁 感应 强度 大小 为,
02π( )IBRaμ=+可以 证明 磁场 的方 向向 上,（ 2） [解答 ]长螺 线管 内部 的场 为 B=μ
0nI，与上 式联 立得,12πa Rn=?这就是 a所满 足的 条件,[注意 ]此题 中的 长孔 中的 磁场 与习题 12,13．中 空腔 中的 电场 情况 非常 类似,
14,16载有电流 I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为 a，载有电流 I2，一边与 直导 线平 等且 与直 导线 相距为 b，直 导线 与线 圈共 面,如图 所示,求 I1作用 在这 三角 形线圈 上的 力,[解答 ]电流 I1在右 边产 生磁 场方 向垂 直纸 面向 里，在 AB边处 产生的 磁感 应强 度大 小为 B=μ
0I1/2πb，作用 力大 小为 FAB=I2aB=μ0I12a/πb，方向 向左,三角 形的 三个 内角 α=60°，
在 AC边上 的电 流元 I2dl所受 磁场 力为 dF=I2dlB，两个 分量 分别 为 dFx=dFcosαd
ydsinα，与 BC边相 比,两个 x分量 大小 相等,方 向相 同； 两个 y分量 大小 相等,方 向相 反．由于 dl=dr/sinα，所以 dF
x=I2drBcotα，积分 得,sin012cot 1dπbax
bIF rrαμα+= ∫ 012cot sinlnπI babμα α+= 0123 3/2ln6πI babμ +=作用 在三 角形 线圈 上的 力的 大小 为 F=F
AB–2Fx,012 23 3/2( ln )2π 3Ia bab bμ +=?
CI2ybAxaO1 αBI1图 14.16
12
方向 向左,14,17载有 电流 I1的无 限长 直导 线,在它 上面 放置 一个 半径为 R电流为 I2的圆 形电 流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求 I2在电流 I1的磁场中所受到的力,[解答 ]电流 I
1在右 边产 生磁 场方 向垂 直纸 面向 里,右上 1/4弧受力 向右 上方,右下 1/4弧受 力向 右下 方； 电流 I1在左 边产 生磁 场方向 垂直 纸面 向外,左上 1/4弧受 力向 右下 方,左下 1/4弧受 力向右上 方,因此,合 力方 向向 右,大小 是右上 1/4弧所 受的 向右 的 力的四 倍,电流 元所 受的 力的 大小 为
dF=I2dlB，其中 dl=Rdθ,B=μ0I1/2πr，而 r=Rcosθ，所以 向右 的分 别为
dFx=dFcosθ=μ0I12dθ/2π，积分 得,π/2012 012
0dd2π 4x I IFμ μθ= =∫电流 I2所受 的合 力大 小为 F=4Fx=μ0I12，方向 向右,
14,18如 图 所 示,斜 面 上 放 有 一 木 制 圆 柱,质 量 m=0.5kg,半 径 为 R,长 为 l=0.10m，圆 柱上 绕有 10匝导 线,圆柱 体的 轴线 位导 线回 路平 面内,斜 面倾角为 θ，处于 均匀 磁场 B=0.5T中,B的方向 竖直 向上,如 果线 圈平面与 斜面 平行,求 通过 回路 的电流 I至少 要多 大时,圆 柱才 不致 沿斜 面向下 滚动？ [解答 ]圆柱 体的 重力 大小 为
G=mg，力臂 为 L=Rsinθ，重力 矩为 M
g=GL=mgRsinθ，方向 垂直 纸面 向里,线圈 面积 为 S=2Rl，磁矩 大小 为 p
m =NIS，方向与 B成 θ角,所以 磁力 矩大 小为 Mm =|pm ×B|=pm Bsinθ=NI2RlBsinθ，
θrI1OR2图 14.17
θBθO
G图 14.18
13
方向 应该 垂直 纸面 向外,圆柱 不滚 动时,两 力矩 平衡,即 NI2RlBsinθ=mgRsinθ，解得 电流 强度 为 I=mg/2NlB=5(A)．
14,19均匀带电细直线 AB，电荷线密度为 λ，可绕垂直于直线的轴 O以 ω角速度均速转动,设 直线 长为 b，其 A端距 转轴 O距离为 a，求,（ 1） O点的 磁感 应强度 B；（ 2）磁矩 pm ；（ 3）若 a>b，求 B
0与 pm,[解答 ]（ 1）直 线转 动的 周期为 T=2π/ω．在直 线上距 O为 r处取 一径 向线元 dr，所 带的 电量 为dq=λdr，形成 的圆 电流 元为 dI=dq/T=ωλdr/2π，
在圆心 O点产 生的 磁感 应强 度为 dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr，整个 直线在 O点产 生磁 感应 强度 为,
0 01d ln4π 4πaba abB rr aμωλ μωλ+ += =∫如果 λ>0,B的 方向 垂直 纸面 向外,（ 2）圆 电流 元包 含的 面积 为 S=πr
2，形成 的磁 矩为 dpm =SdI=ωλr2dr/2，积分 得,
2 33m d[() ]2 6abap rr abaωλ ωλ+= =+?∫如果 λ>0,pm 的 方向 垂直 纸面 向外,（ 3）当 a>b时,因为,
0 0ln(1) (.)4π 4πb bB a aμωλ μωλ= += +所以,04πbBaμωλ≈
．3 3m [(1)1]6abp aωλ= +? 3 22 3[ 3()()]6 2abbb abaaaωλ ωλ= ++≈14,20一圆 线圈 直径为 8cm,共 12匝，通 有 电流 5A,将 此线 圈置 于磁 感应 强度为 0.6T的均 强磁 场中,求,
BAbωOa图 14.19
14
（ 1）作 用在 线圈 上的 电大 磁力 矩为 多少？（ 2）线 圈平 面在 什么 位置 时磁 力矩 为最 大磁 力矩 的一 半．[解答 ]（ 1）线 圈半 径为 R=0.04m，面 积为 S=πR2，磁矩 为 p
m =NIS=πR2NI，磁力 矩为 M=pm Bsinθ．当 θ=π/2时,磁力 矩最 大 M
m =pm B=πR2NIB=0.18(N·m )．（ 2）由于 M=m sinθ，当 Mm /2时,可得sinθ=0.5,θ=30°或 150°．14,21一个 电子在 B=20×10
-4T的磁 场中,沿 半径 R=2cm 的螺 旋线 运动,螺距 h=5cm,如图 所示,求,（ 1）电 子的 速度 为多 少？（ 2） B的方 向如 何？[解答 ]电子带负电，设速度 v的方向与磁力线的负方向成 θ角，则沿着磁力线方向的速度为 v1=vcosθ，垂直 速度 为 v2=vsinθ．由 R=mv
2/eB，得 v2=eBR/m．由 h=v
1T，得 v1=h/T=heB/2πm，因此 速度 为
22 2 21 ()2πeBhvvv Rm=+=+=7.75×106(m ·s-1)；由
=2.51，212tanvRvhπθ==得 θ=68.3°=68°18′．
14,22一银质 条带,z1=2cm,y1=1mm,银条 置于 Y方向的均 匀磁 场中 B=1.5T,如 图 所示,设 电 流强度 I=200A,自 由 电 Y Xy
1O
BIZ z
1图 14.22
Rh
图 14.21
15
子数 n=7.4×1028个 ·m -3，试 求：（ 1）电 子的 漂移 速度 ；（ 2）霍 尔电 压为 多少？[解答 ]（ 1）电 流密 度为 δ=ρv，其中 电荷 的体 密度 为
ρ=ne.电流 通过 的横 截面 为 S=y1z，电流 强度 为 I=δSneSv，得电 子的 漂移 速度 为
=8.45×10-4(m ·s-1)．28 197.4101.600.10.2IvneS?==×××××（ 2）霍 尔系 数为 =8.44×10-1(m 3·C-1)，
H 28 191 17.4101.610Rne?==×××霍尔 电压 为 =2.53×10-5(V)．1
HH1 201.58.4100.1IBURy? ×==×
第十四章 稳恒电流的磁场P117．14,1通有 电流 I的导 线形 状如 图所 示,图中 ACDO是边 长为 b的正 方形,求 圆心 O处的 磁感 应强度 B=？
[解答 ]电流在 O点的 产生 的磁 场的 方向 都是 垂直 纸面 向里 的,根据毕 -萨定 律：,002dd4πIrμ×=lrB圆弧 上的 电流 元与到 O点的 矢径 垂直,在 O点产 生的 磁感 应强 度大小 为
，01 2dd4πIlBaμ=由 于 dl=adφ，积分 得
．1 1dLBB=∫ 3π/200 d4πIaμ?=∫ 038Iaμ=OA和 OD方向 的直 线在 O点产 生的 磁感 应强 度为 零．在 AC段,电流 元在 点 产生 的磁 感应 强度 为,
02 2dsind4πIlB rμθ=由于 l=bcot(π-θ)=-bcotθ，所以 dl=bdθ/sin
2θ；又由 于 r=b/sin(π-θ)=b/sinθ，可得,
02 sindd4πIB bμθ=积分 得 3π/4
02 π/2d sind4πL IBBbμ θ==∫ ∫ 3π/40 0π/2 2(cos)4π 8πI Ib bμ μθ=? =同理 可得 CD段在 O点产 生的 磁感 应强度 B3=B2,O点总 磁感 应强 度为,
0 01233284πI IBBBabμμ=++=+[讨论 ]（ 1）假 设圆 弧张 角为 φ，电 流在 半径为 a的圆 心处 产生 的磁 感应 强度 为，
04πIBaμ?=
I COba DA
图 14.1
lrθ
Idl
Idl COba DA
2
当 时,可得32π4?=×,0138IBaμ=（ 2）有 限长 直导 线产 生的 磁感 应大 小为,
0 1 2(coscos)4πIBbμθθ=?对于 AC段,θ1=π/2,θ2=3π/4； 对于 CD段,θ1=π/4,θ2=π/2，都 可得．
02 3 28πIBBbμ==如果 不用 毕 -萨定 律,可直 接引 用由 毕 -萨定 律所 得出 的结 果．14,2如图所 示的 载流 导线,图 中半 圆的 的半 径为 R，直线 部分 伸向 无限 远处,求圆心 O处的 磁感 应强度 B=？[解答 ]在直 线电 流的 磁感 应强 度公 式中,,0 1 2(coscos)4πIBRμθθ=?令 θ
1=0,θ2=π/2,或 者 θ1=π/2,θ2=π,就 得 半无 限长 导 线在端 点半 径为 R的圆 心上 产生 的磁 感应 强度．04πIBRμ=两无 限长 半直 线在 O点产 生的 磁场 方向 都向 着 -Z方向,大 小为 B
z=μ0I/2πR．半圆在 O处产 生的 磁场 方向 沿着 -X方向,大 小为 Bx=μ0I/4R．O点的 磁感 应强 度为,
0 042πx z I IBBRRμμ==Bi k i k场强 大小 为,22 204π4π
x z IBBBRμ=+=+与 X轴的 夹角 为,2arctanarctanπz
xBθ= =14,3如 图 所 示 的 正 方 形 线 圈 ABCD,每 边 长 为 a,通 有 电 流I．求 正方 形中心 O处的 磁感 应强度 =？[解答 ]正方形每一边到 O点的距离都是 a/2，在 O点产生的磁场大小相 等,方向 相同,以 AD边为 例,利用 直线 电流 的磁 感应 强度 公式,，0 1 2(coscos)4πIBRμθθ=?令 θ1=/4,θ2=3π/4,R=a/2,AD在 O产生 的场 强为
BIθ1bθ2
X YRI ZO图 14.2
IODB CA图 14.3
3
，022πAD IBaμ=O点的 磁感 应强 度为,
024 πAD IBBaμ==方向 垂直 纸面 向里,14,7两个 共 轴 圆 线 圈,每 个 线 圈 中 的 电 流 强 度 都 是 I，半 径 为 R，两 个 圆 心 间 距 离
O12=R，试 证,O1,O2中点 O处附 近为 均匀 磁场,[证明 ]方法一,用二阶导数．一个半径为 R的环电流在离圆心为 x的轴 线上 产生 的磁 感应 强度 大小 为,．
20223/22( )IRBxμ=+设两 线圈 相距为 2a，以 O点为 原点 建立 坐标,两 线圈在 x点 产生的 场强 分别 为
，201 2 23/22[ ()]IRBRaxμ=++．20
2 2 23/22[()]IRBRaxμ=+?方向 相同,总 场强为 B=B1+B2．一个线 圈产 生的 磁感 应强 度的 曲线 是凸 状,两边 各有 一个拐点,两个 线圈 的磁 场叠 加之 后,如果 它们 相距 太近,其 曲线 就是更 高的 凸状 ；如 果它 们相 距太 远,其曲 线的 中间 部分 就会下凹,与两 边的 峰之 间各 有一 个拐 点,当它 们由 远而 近到 最适 当的位 置时,两 个拐 点就 会在 中间 重合,这 时的 磁场 最均 匀,而拐 点处 的二 阶导 数为 零,设 k=μ0IR2/，则
2 23/2 2 23/21 1{ }[()][()]BkRax Rax= +++ +?B对 x求一 阶导 数得,2 25/2d3{d [ ()]axkx Rax+=?+ 2 25/2}[ ()]axRax+求二 阶导 数得
，2 2 22 2 27/2d 4()3{d [ ()]BRaxkx ax?+=?+ 2 22 27/24()}[ ()]Raxax++在 x=0处 d2B/dx2=0，得 R2=4a2，所 以 2a=R．x=0处的 场强 为
xO2CIOxRBO1C2aIRB图 14.7
4
．2 23/22[ (/)]BkRR=+ 0381655IkRRμ= =方法 二,用二 项式 展开,将 B1展开 得,
201 22 23/22[ ]IRBRaaxxμ=+++ 20223/2 2223/22( )[1(2)/( )]IRRa axxRaμ=++++设,则2
0223/22( )IRkRaμ=+,23/21 22(1 )axxBkRa?+=+同理 可得
．23/22 22(1 )axxBkRa+=+当 x很小 时,二项 式展 开公 式为,2(1)(1)1,12n nxnx x?+=++ +?
将 B1和 B2按二 项式 展开,保 留二 次项,总 场强 为 212 223[12axxBBBk Ra?+=+=+? + 2222135( ).]1222axxRa+ +?2
223[12axxk Ra+++? + 2222135( ).]1222axxRa+ +?22232[12xk Ra?=+? ++ 2222354,]24( )axRa ++
2 2222342[1,]2( )Rak xa=+? ++令 R2-4a2=0，即 a=R/2，得,
20 0223/2852( ) 25IR IBkRa Rμ μ== =+可知,O点附 近为 均强 磁场,14,5将半 径为 R的无 限长 导体 圆柱 面,沿轴 向割 去一 宽为 h(<R)
的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为 i，求轴线上的磁感应强度 B=？[解答 ]方法 一,补 缺 法,导 体 圆 柱 面 可 看 作 由 很 多 无 限 长 直 导 线 组成,如 果 补 上 长 缝,由 于 对 称 的 缘 故,电 流 在 轴 线 上 产 生 的 磁 感 应 强 度为零,割 去 长 缝,等 效 于 同 时 加 上 两 个 大 小 相 等,方 向 相 反 的 电 流,其中，与 i相同 的电 流补 上了 长缝,与 i相反 的电 流大 小为 I=ih．
在轴 线上 产生 的磁 感应 强度 为 O'
ORi
h图 14.5
5
．0 02π2πI ihBRRμμ==方法 二,积分 法,在导 体的 截面 上建 立坐 标,x坐标 轴平 分角 α,α=h/R．电流 垂直 纸面 向外,在 圆弧 上取 一线 元 ds=Rdθ，无限 长直 线电 流为
dI=ids=iRdθ，在轴 线产 生的 磁感 应强 度大 小为,0 0dd d2π2πI iBRμμθ==两个 分量 分别 为
，0ddsin sind2πx iBBμθ θ= =,0ddcos cosd2πy iBBμθ θ=?=?积分 得；2π/2 2π/20 0 /2/2sind cos2π 2πx i iBα αααμ μθ θ= =?∫ 0[cos(2π/2)cos(/2)]02πiμ αα= =2π/2 2π/20 0
/2/2cosd sin2π 2πy i iBα αααμ μθ θ=? =?∫ 0[sin(2π/2)sin(/2)]2πiμ αα=．0 0 02sin2π22π2πi i ihRμ μμαα= ≈=B
y的方 向沿着 y方向,By的大 小和 方向 正是 无限 长直 线电流 ih产生 的磁 感应 强度,14,6在半径为 R=1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有 电 流 I=5.0A,如 图 所 示,求 圆 柱 轴 线 上 任 一 点 的 磁 感 应 强 度 B=？ [解答 ]取导 体面 的横 截面,电 流方 向垂 直纸 面向 外．
半圆 的周 长为 C=πR，面电 流线 密度 为 i=I/C=IπR．在半 圆上 取一 线元 dlRdφ代表 无限 长直 导线 的截 面,电流 元为 dI=idl=Idφ/π，
在轴 线上 产生 的磁 感应 强度 为,0 02ddd2ππI IBRRμμ?==方向 与径 向垂 直,dB的两 个分 量为d
x=dBcosφ,dBy=dBsinφ．积分 得 xdBydBxd
yRO1φ
xyORθdsαdBdBydBx
IR图 14.6
6
，π π0 02 2 00 cosd sinπ πx I IBR Rμ μ= = =∫,π02
0 sindπy IBRμ?=∫ π0 02 20(cos)π πI IR Rμ μ?=? =由对 称性 也可知 Bx=0，所 以磁 感应 强度 B=By=6.4×10-5(T)，方向 沿着 y正向,
14,7如图所 示,宽度 为 a的薄长 金属 板中 通有 电流 I，电流沿薄 板宽 度方 向均 匀分 布,求在 薄板 所在 平面 内距 板的 边缘为 x的P点处 的磁 感应 强度,[解答 ]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流 的线 密度 为 δ=I/a，
以板 的下 边缘 为原 点,在薄 板上 取一 宽度为 dl的通 电导 线,电流 强度 为dI=δdl，在 P点产 生磁 感应 强度 为,
0 0d dd2π2π( )I lBr xalμμδ==+?磁场 方向 垂直 纸面 向外,由 于每 根电 流产 生的 磁场 方向 相同,总 磁 场为,
00 d2π( )a lBxalμδ=+?∫ 0 0ln( )2π alxalμδ ==? +? 0ln(1)2πI aaxμ+[讨论 ]当 a趋于 零时,薄 板就 变成 直线,因 此,
0 0ln(1/)2π/ 2πI IaxBxax xμ μ+= →这就 是直 线电 流产 生的 磁感 应强 度的 公式,14,8在半径为 R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行,盖 住半 个球 面,如图 所示,设 导线 中电 流为 I，总 匝数为 N，求 球心
O处的 磁感 应强度 B=？[解答 ]四分 之一 圆的 弧长 为 C=πR/2，单位 弧长 上线 圈匝 数为 n=N/C=2N/πR．在四 分之 一圆 上取 一弧 元
dl=Rdθ，线圈 匝数 为 dN=ndl=nRdθ，环电 流大 小为 dI=IdN=nIRdθ,dBy xRO1θ
Pxa I图 14.7
Pxa IOdll dI
IRO图 14.8
7
环电 流的 半径 为 y=Rsinθ，离 O点的 距离 为 x=Rcosθ，在 O点产 生的 磁感 应强 度为
，2 20 03dd sind2 2yI nIBRμμθ= = 20sindπNIRμθ=方向 沿着 x的反 方向,积 分得 O点的 磁感 应强 度为,π/2
200sindπNIBRμ θ=∫ π/20 00(1cos2)d2π 4NI NIR Rμ μθθ=? =∫14,9两个 共面 的平 面带 电圆 环,其内 外半 径分 别为 R
1,R2和 R3,R4(1<R2<R3<R4)，外面圆环以每秒钟 n2转的转速顺时针转 动,里面 圆环 以每称 n1转逆 时针 转动,若 两圆 环电 荷面 密度均为 σ，求 n1和 n2的比 值多 大时,圆 心处 的磁 感应 强度 为零,[解答 ]半径为 r的圆 电流 在圆 心处 产生 的磁 感应 强度 为 B=μ
0I/2r．在半 径 为 R1和 R2的环 上 取 一 半 径 为 r、宽 度 为 dr的薄 环，其面 积为 dS=2πrd，所带 的电 量为 dq=σdS=2πσrd，
圆环 转动 的周 期为 T1=1/n1，形成 的电 流元 为 dI=dq/T1=2πn1σrd．薄环 电流 可以 当作 圆电 流,在圆 心产 生的 磁感 应强 度为 dB
1=μ0dI/2r=πμ0n1σdr，圆环 在圆 心产 生磁 感应 强度 为 B1=πμ0n1σ(R2-1)．同理,半 径为 R3和 R4的圆 环在 圆心 处产 生的 磁感 应强 度为 B
2=πμ0n2σ(R4-3)．由于两 环的 转动 方向 相反,在 圆心 产生 的磁 感应 强度 也相 反,当它 们大 小相 同时,圆心处 的磁 感应 强度 为零,即,πμ0n1σ(R2-1)=πμ0n2σ(R4-3)，解得 比值 为
．4312 21 = RRnn?14,10半径为 R的无限长直圆柱导体，通以电流 I，电流在截面上分布不均匀，电流密 度 δ=kr,求,导体 内磁 感应 强度？
[解答 ]在圆 柱体 内取 一半 径为 r、宽 度为 dr的薄 圆环,其 面积 为
R2R4 R1R3图 14.9
8
dS=2πrd，电流 元为 dI=δdS=2πkr2dr，从 0到 r积分 得薄 环包 围的 电流 强度 为 I
r=2πkr3/；从 0到 R积分 得全 部电 流强 度 I=2πkR3/，因此 Ir/=r3/R3．根据 安培 环路 定理 可得 导体 内的 磁感 应强 度
．20 032π2πrI IB rr Rμμ==14,1有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量 Q，半径为 a，可绕盘心且与盘面垂直的轴 转动,设 角速 度 为 ω,求圆 盘中心 O的磁 感应 强度 B=？[解答 ]圆盘 面积 为
S=πa2，面电 荷密 度为 σ=Q/S=Q/πa2．在圆 盘上 取一 半径为 r、宽 度为 dr的薄 环,其面 积为dS=2πrd，所带 的电 量为
dq=σdS=2πσrd．薄圆 环转 动的 周期 为 T=2π/ω，形成 的电 流元 为 dI=dq/T=ωσrd．薄环 电流 可以 当作 圆电 流,在圆 心产 生的 磁感 应强 度为
dB=μ0dI/2r=μ0ωσdr/2，从 0到 a积分 得圆 盘在 圆心 产生 磁感 应强 度为 B=μ0ωσa/2=μ0ωQ/2πa．如果 圆盘 带正 电,则磁 场方 向向 上,14,12二 条 长 直 载 流 导 线 与 一 长 方 形 线 圈 共 面,如 图 所示,已知 a=bc=10cm,l=10m,I1=I2=100A，求 通过 线圈 的磁通 量,[解答 ]电流 I1和 I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的,在坐 标系 中的 x点,它们 共同 产生 的磁 感应 强度 大小 为,
01 022π( /2)2π(/ )I IBabx cbxμ μ= +++ +?在矩 形中 取一 面积 元 dS=ldx，通过 面积 元的 磁通 量为 dΦ=BdS=Bldx，
通过 线圈 的磁 通量 为
RI
图 14.10
aωO图 14.11
b
dx
cxaI1 O1
I2l
图 14.12
ωOar
9
/20 1 2/2( )d2π /2 /bbl I I xabxcbxμΦ?= ++?∫=2×10-7×10100×2ln2=2.77×10-4(Wb)．0
1 1(ln ln)2πl ab cI Ia cbμ +=?+14,13一电 子在 垂直 于均 匀磁 场的 方向 做半 径为 R=1.2cm 的圆 周运 动,电子 速度 v=104m ·s-1．求 圆轨 道内 所包 围的 磁通 量是 多少？[解答 ]电子 所带 的电 量为 e=1.6×10
-19库仑,质 量为 m=9.1×10-31千克,电子 在磁 场所 受的 洛伦 兹力 成为 电子 做圆 周运 动的 向心 力,即,f=evB=mv2/R，所以 B=mv/eR．
电子 轨道 所包 围的 面积 为 S=πR2，磁通 量为 Φ=BS=πmvR/e=2.14×10-9(Wb)．14,14同轴 电缆 由导 体圆 柱和 一同 轴导 体薄 圆筒 构成,电流 I从一 导体 流入,从 另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为 R1，圆筒半径为 R2，如图所 示,求,（ 1）磁 感应 强度 B的分 布；（ 2）在 圆柱 和圆 筒之 间单 位长 度截 面的 磁通 量为 多少？[解答 ]（ 1）导 体圆 柱的 面积 为 S=πR
12，面电 流密 度为 δ=I/S=I/πR12．在圆 柱以 半径 r作一 圆形 环路,其 面积 为 S
r=πr2，包围 的电 流是 Ir=δSr=Ir2/R12．根据 安培 环路 定理,
0 0d rL I Iμμ?==∑∫Bl?由于 B与环 路方 向相 同,积分 得 2πrB=μ0Ir，所以 磁感 应强 度为 B=μ
0Ir/2πR12,(0<rR1)．在两 导体 之间 作一 半径为 r的圆 形环 中,所包 围的 电流为 I，根 据安 培环 中定 理可 得B=μ0I/2πr,(R1<rR2)．在圆 筒之 外作 一半 径为 r的圆 形环 中,由 于 圆柱 和圆 筒通 过的 电流 相反,所 包 围的 电 流为零,根 据安 培环 中定 理可 得 B=0,(r>R
2)．（ 2）在 圆柱 和圆 筒之 间离 轴线 r处作 一径 向的 长为 l=1、宽为 dr的矩 形,其面 积为
BORv
图 14.13
lR2 R1IIdr图 14.14
10
dS=ldr=dr，方向 与磁 力线 的方 向一 致,通过 矩形 的磁 通量 为 dΦ=BdS=Bdr，总磁 通量 为,
210 0 211dln2π 2πRRI IRrrμ μΦ= =∫14,15如图 所 示,一 长 直 载 流 导 体,具 有 半 径 为 R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为 a的圆柱形长孔，其轴与导 体轴 平行,相距 b=R–a，导 体截 有均 匀分 布的 电流 I．（ 1） 证 明 空 孔 内 的 磁 场 为 均 匀 场 并 求 出 磁 感 应 强 度 B的值； （ 2）若要获得与载流为 I，单位长度匝数 n的长螺线管内部磁场 相等 的均 匀磁 场,a应满 足什 么条 件？（ 1） [证明 ]导体 中的 电流 垂直 纸面 向外,电 流密 度为
．22π( )IRaδ=?长孔 中没 有电 流,可以 当作 通有 相反 电流 的导 体,两个 电流 密度 的大 小都 为 δ，这 样，长孔 中磁 场是 两个 均匀 分布 的圆 形电 流产 生的,如果 在圆 形截 面中 过任 意点 P取一 个半 径为 r的同 心圆,其 面积 为S=πr
2，包围 的电 流为 ΣI=δS=πr2δ，根据 安培 环路 定理 可得 方程 2πrB
r=μ0ΣI，磁感 应强 度为,0 02π2r IB rrμμδ∑==方向 与矢径 r垂直,同理,密 度为 -δ的电 流在 P点产 生的 磁感 应强 度为
，02rBrμδ′ ′=方向 与矢径 r'垂直,设两 个磁 感应 强度 之间 的夹 角为 θ，则 合场 强的 平方 为222 cos
r r rrBBBBθ′ ′=++,2 2220()( ` cos)2B rrrμδ θ′= ++根据 余弦 定理,如 图可 知：,
222 cosbrrr?′ ′=+?由于 φ=π-θ，所 以
baRO1O'1图 14.15
baRO1O'1rr'BrBBr'θφP
1
，02Bbμδ=由于 b和 δ都是 常量,可 见,长孔 中是 均匀 磁场,将 δ和 b代入 公式 得磁 感应 强度 大小 为,
02π( )IBRaμ=+可以 证明 磁场 的方 向向 上,（ 2） [解答 ]长螺 线管 内部 的场 为 B=μ
0nI，与上 式联 立得,12πa Rn=?这就是 a所满 足的 条件,[注意 ]此题 中的 长孔 中的 磁场 与习题 12,13．中 空腔 中的 电场 情况 非常 类似,
14,16载有电流 I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为 a，载有电流 I2，一边与 直导 线平 等且 与直 导线 相距为 b，直 导线 与线 圈共 面,如图 所示,求 I1作用 在这 三角 形线圈 上的 力,[解答 ]电流 I1在右 边产 生磁 场方 向垂 直纸 面向 里，在 AB边处 产生的 磁感 应强 度大 小为 B=μ
0I1/2πb，作用 力大 小为 FAB=I2aB=μ0I12a/πb，方向 向左,三角 形的 三个 内角 α=60°，
在 AC边上 的电 流元 I2dl所受 磁场 力为 dF=I2dlB，两个 分量 分别 为 dFx=dFcosαd
ydsinα，与 BC边相 比,两个 x分量 大小 相等,方 向相 同； 两个 y分量 大小 相等,方 向相 反．由于 dl=dr/sinα，所以 dF
x=I2drBcotα，积分 得,sin012cot 1dπbax
bIF rrαμα+= ∫ 012cot sinlnπI babμα α+= 0123 3/2ln6πI babμ +=作用 在三 角形 线圈 上的 力的 大小 为 F=F
AB–2Fx,012 23 3/2( ln )2π 3Ia bab bμ +=?
CI2ybAxaO1 αBI1图 14.16
12
方向 向左,14,17载有 电流 I1的无 限长 直导 线,在它 上面 放置 一个 半径为 R电流为 I2的圆 形电 流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求 I2在电流 I1的磁场中所受到的力,[解答 ]电流 I
1在右 边产 生磁 场方 向垂 直纸 面向 里,右上 1/4弧受力 向右 上方,右下 1/4弧受 力向 右下 方； 电流 I1在左 边产 生磁 场方向 垂直 纸面 向外,左上 1/4弧受 力向 右下 方,左下 1/4弧受 力向右上 方,因此,合 力方 向向 右,大小 是右上 1/4弧所 受的 向右 的 力的四 倍,电流 元所 受的 力的 大小 为
dF=I2dlB，其中 dl=Rdθ,B=μ0I1/2πr，而 r=Rcosθ，所以 向右 的分 别为
dFx=dFcosθ=μ0I12dθ/2π，积分 得,π/2012 012
0dd2π 4x I IFμ μθ= =∫电流 I2所受 的合 力大 小为 F=4Fx=μ0I12，方向 向右,
14,18如 图 所 示,斜 面 上 放 有 一 木 制 圆 柱,质 量 m=0.5kg,半 径 为 R,长 为 l=0.10m，圆 柱上 绕有 10匝导 线,圆柱 体的 轴线 位导 线回 路平 面内,斜 面倾角为 θ，处于 均匀 磁场 B=0.5T中,B的方向 竖直 向上,如 果线 圈平面与 斜面 平行,求 通过 回路 的电流 I至少 要多 大时,圆 柱才 不致 沿斜 面向下 滚动？ [解答 ]圆柱 体的 重力 大小 为
G=mg，力臂 为 L=Rsinθ，重力 矩为 M
g=GL=mgRsinθ，方向 垂直 纸面 向里,线圈 面积 为 S=2Rl，磁矩 大小 为 p
m =NIS，方向与 B成 θ角,所以 磁力 矩大 小为 Mm =|pm ×B|=pm Bsinθ=NI2RlBsinθ，
θrI1OR2图 14.17
θBθO
G图 14.18
13
方向 应该 垂直 纸面 向外,圆柱 不滚 动时,两 力矩 平衡,即 NI2RlBsinθ=mgRsinθ，解得 电流 强度 为 I=mg/2NlB=5(A)．
14,19均匀带电细直线 AB，电荷线密度为 λ，可绕垂直于直线的轴 O以 ω角速度均速转动,设 直线 长为 b，其 A端距 转轴 O距离为 a，求,（ 1） O点的 磁感 应强度 B；（ 2）磁矩 pm ；（ 3）若 a>b，求 B
0与 pm,[解答 ]（ 1）直 线转 动的 周期为 T=2π/ω．在直 线上距 O为 r处取 一径 向线元 dr，所 带的 电量 为dq=λdr，形成 的圆 电流 元为 dI=dq/T=ωλdr/2π，
在圆心 O点产 生的 磁感 应强 度为 dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr，整个 直线在 O点产 生磁 感应 强度 为,
0 01d ln4π 4πaba abB rr aμωλ μωλ+ += =∫如果 λ>0,B的 方向 垂直 纸面 向外,（ 2）圆 电流 元包 含的 面积 为 S=πr
2，形成 的磁 矩为 dpm =SdI=ωλr2dr/2，积分 得,
2 33m d[() ]2 6abap rr abaωλ ωλ+= =+?∫如果 λ>0,pm 的 方向 垂直 纸面 向外,（ 3）当 a>b时,因为,
0 0ln(1) (.)4π 4πb bB a aμωλ μωλ= += +所以,04πbBaμωλ≈
．3 3m [(1)1]6abp aωλ= +? 3 22 3[ 3()()]6 2abbb abaaaωλ ωλ= ++≈14,20一圆 线圈 直径为 8cm,共 12匝，通 有 电流 5A,将 此线 圈置 于磁 感应 强度为 0.6T的均 强磁 场中,求,
BAbωOa图 14.19
14
（ 1）作 用在 线圈 上的 电大 磁力 矩为 多少？（ 2）线 圈平 面在 什么 位置 时磁 力矩 为最 大磁 力矩 的一 半．[解答 ]（ 1）线 圈半 径为 R=0.04m，面 积为 S=πR2，磁矩 为 p
m =NIS=πR2NI，磁力 矩为 M=pm Bsinθ．当 θ=π/2时,磁力 矩最 大 M
m =pm B=πR2NIB=0.18(N·m )．（ 2）由于 M=m sinθ，当 Mm /2时,可得sinθ=0.5,θ=30°或 150°．14,21一个 电子在 B=20×10
-4T的磁 场中,沿 半径 R=2cm 的螺 旋线 运动,螺距 h=5cm,如图 所示,求,（ 1）电 子的 速度 为多 少？（ 2） B的方 向如 何？[解答 ]电子带负电，设速度 v的方向与磁力线的负方向成 θ角，则沿着磁力线方向的速度为 v1=vcosθ，垂直 速度 为 v2=vsinθ．由 R=mv
2/eB，得 v2=eBR/m．由 h=v
1T，得 v1=h/T=heB/2πm，因此 速度 为
22 2 21 ()2πeBhvvv Rm=+=+=7.75×106(m ·s-1)；由
=2.51，212tanvRvhπθ==得 θ=68.3°=68°18′．
14,22一银质 条带,z1=2cm,y1=1mm,银条 置于 Y方向的均 匀磁 场中 B=1.5T,如 图 所示,设 电 流强度 I=200A,自 由 电 Y Xy
1O
BIZ z
1图 14.22
Rh
图 14.21
15
子数 n=7.4×1028个 ·m -3，试 求：（ 1）电 子的 漂移 速度 ；（ 2）霍 尔电 压为 多少？[解答 ]（ 1）电 流密 度为 δ=ρv，其中 电荷 的体 密度 为
ρ=ne.电流 通过 的横 截面 为 S=y1z，电流 强度 为 I=δSneSv，得电 子的 漂移 速度 为
=8.45×10-4(m ·s-1)．28 197.4101.600.10.2IvneS?==×××××（ 2）霍 尔系 数为 =8.44×10-1(m 3·C-1)，
H 28 191 17.4101.610Rne?==×××霍尔 电压 为 =2.53×10-5(V)．1
HH1 201.58.4100.1IBURy? ×==×
