1
第十三章静电场中的导体和电介质P70．13．1一带电量为q，半径为r
A的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr
2=q/ε0，可得P点的电场强度为．
204πqErε=当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r
C，所以A球的电势为．04πCqUrε=13．2同轴电缆是由半径为R
1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λl．设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，d
dSΦ=?∫DS?0 1 2ddd2πS S S rlD=?+?+?=∫ ∫ ∫DDDS可得电位移为D=λ/2πr，其方向垂直中心轴向外．电场强度为
E=D/ε0r=λ/2πε0r，方向也垂直中心轴向外．13．3金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心O的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，
距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为qObar图13.3
BOAPrArCrB图13.1
DS1S
2 S0
rR2 R1ε
rl
2
0 0 01 1 14π4π 4πO q q QqUr a bε ε ε? +=+ +13．4三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm 2，A、B相距d1=2m m，A、C相距d
2=4mm，B、C接地，板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q
1=σ1S和q2=σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S．①A、B间的场强为E
1=σ1/ε0，A、C间的场强为E2=σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E
1d=E2d，②即σ1dσ2d．③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)，所以q
1=σ1S=qd2/(d1+2)=2×10-8(C)；q2q-1=×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C)；q
C-q2-110-8()．(2)两板电势差为ΔU=E1d=σ1d/ε0=qd1d2/ε0S(d1+2)，由于k=9×109=1/4πε0，所以ε010-9/36π，因此ΔU=144π=452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以
UA=ΔU=452.4(V)．13．5一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1+q2=0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S，它们产生的场强大小分别为
qAB C图13.4
Pq1q2AB q图13.5
3
E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0，即σ
1-σ2–σ0，或者说q1-q2+q=0．②解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/2．13．6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，
忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1=0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ
2=-σ3．两板之间的场强为E=σ3/ε0，而E=U/d，所以面电荷密度分别为σ
3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m -2)，σ2-σ3-8.84×10-7(·m -2)．13．7一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式表示．
20214πRCRε=?（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为
3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为121 0 0
1 2 2114π 4π1/ / RCRRε ε= =外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为．
2 02 314π1/ 1/CRRε=?外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2=4πε0R2．并联电容为．
1212 0 02214π 4πRCC Rε ε=+= +? 20214πRRε=?方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q'．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
σ2σ1 σ4σ3图13.6
OR2R1R
3
4
，02 0104π4πqqRRε ε′+=因此感应电荷为．
12Rqq′=?根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，
12 20 024π 4πRqqEr rε ε′==?负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
1 12 2ddR RR RU Er=?=∫ ∫El 12 1202( )d4πRR Rqrrε=?∫
1 2120212 0( )11( )4π 4πRq RRqRRε ε?=?=球面间的电容为．
20214πRqCURε==?13．8球形电容器的内、外半径分别为R
1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？[解答]球形电容器的电容为．
120 01 2 2114π 4π1/ / RCRRε ε= =对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：
．0121 212πRCε=?当电容器中充满介质时，电容为：．
0r122 212πRCRε=?由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：．
0 r1212 212π(1)RCCRεε+=+=?
OR2R1 εr图13.8
5
13．9如图所示，设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C
1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2．总电容的倒数为，1 2 2112
121 2 12111ddddCCCSS Sεεεε ε+=+=+=总电容为．122112SCddεεε=+
13．10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，d
dSΦ=?∫DS?0 1 2ddd2πS S S rlD=?+?+?=∫ ∫ ∫DSDSDS高斯面包围的自由电荷为q=λl，根据介质中的高斯定理Φ
d=q，可得电位为D=λ/2πr，方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，
方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为．2
1dd d2πRL L RU Er rλε=?==∫ ∫ ∫El 21ln2πRλε=电容为．
212πln(/)q lCURε==在真空时的电容为
d2 ε1ε2d1图13.9
DS1S
2 S0
rR2 R1εl
6
，00 212πln(/)lqCURε==所以倍数为C/0=ε/0．13．1在半径为R
1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d4πdS SDSrDΦ=?==∫ ∫DS 高斯面包围的自由电荷为q=Q
0，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位移为D=Q
0/4πr2，方向沿着径向．用矢量表示为D=Q0r/4πr3．如果Q0>，D的方向沿着径向向外．电场强度为E=D/ε
0r=Q0r/4πε0r3，方向沿着径向向外．由于D=ε0E+P，所以
P=D-ε0E=．03r1(1)4πQrε?r方向也沿着径向向外．在介质之外是真空，真空可当作介电常量ε
r=1的介质处理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0．（2）方法一：用场强关系．在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0=Q0r/4πε0r3；极化电荷q
1'产生的场强为E'=q1'r/4πε0r3；总场强为E=Q0r/4πε0r3．由于E=
0+E'，解得极化电荷为
OR2Q0εrR1
7
，1 0r1(1)q Qε′=?介质层内表面的极化电荷面密度为．
011 2 21 r 11(1)4π 4πQqR Rσ ε′′==?在介质层外表面，极化电荷为，
2 1qq′ ′=?面密度为．02
2 22 r1(1)4π 4πQqR Rσ ε′′==?方法一：用极化强度关系．介质内表面的极化电荷的面密度为σ=P·n．其中，极化强度P的方向沿径向向外．介质在内表面的极化强度大小为
，01 2r 11(1)4πQP Rε=?而介质内表面的法向方向与极化强度的方向相反，所以极化电荷的面密度为．
01 1 2r 11(1)4πQP Rσ ε′=?=?介质在外表面的极化强度大小为，
02 2r1(1)4πQP Rε=?介质外表面的法向方向与极化强度的方向相同，所以极化电荷的面密度为．
022 2r1(1)4πQP Rσ ε′==?13．12两个电容器电容之比C
1:2=1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W=Q2/C，得静电能之比为W
1:2=C2:1=2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU2/，得静电能之比为W1:2=C1:2=1:2．13．13一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能
OR2εrR1
8
为多少？[解答]平行板电容器的电容为C=ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C
1=ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2=ε0rS/2d．两个电容器并联，总电容为C=
1+C2=(1+εr)0S/2d，静电能为W=CU2/=(1+εr)0SU2/4d．13．14一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为ε
r的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C=(1+ε
r)0S/2d．（2）电容器充电前的电容为C0=ε0S/d，充电后所带电量为Q=C
0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q2/C=02U2/C=ε0SU2/(1+εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C
1=ε0S/2d；介质中的一半的电容为C2=ε0rS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则
1+Q2=Q．①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2．②解联立方程得，
01112 211/CUCQQ C==++真空中一半电容器的自由电荷面密度为．
0 011 212 2/2(1/)(1)rCUUQS S dεσ ε== =+ +同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为．
0 0r2 12 r2 2(/ 1)(1)CU US dεσ ε= =+ +
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13．15平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr=5)．将电容器与300V的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C
0=ε0rS/d，静电能为W0=C0U2/．玻璃板抽出之后的电容为C=ε
0S/d．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W=CU2/，电能器能量变化为ΔW=-W
0=(C-0)U2/=(1-εr)0SU2/d=-3.18×10-5(J)．（2）充电后所带电量为Q=C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W=Q
2/C，电能器能量变化为=1.59×10-4(J)．20 0
0(1)2CCUWW?=?=? 20rr(1)2SUdεε=?13．16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．Rab=
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E=λ/2πε0r，能量密度为w=ε0E2/，体积元为dV=2πrldr，
能量元为dW=wdV．在半径a到R的圆柱体储存的能量为．
20d d2V VWwVEVε==∫ ∫ 2 20 0dln4π4πRal lRr aλλε ε= =∫当R=b时，能量为；
21 0ln4πlbWaλε=当时，能量为Rab=
10
，2 22 0 0ln ln4π 8πl blbWa aλ λε ε= =所以W2=1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．Rab=
13．17两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：（1）在半径为r(a<rb)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？
[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为λ=Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为D=λ/2πr=Q/2πrl，场强为E=D/ε=Q/2πεrl，
能量密度为w=D·E/2=DE/2=Q2/8π2εr2l．薄壳的体积为dV=2πrldr，能量为dW=wdV=Q
2dr/4πεlr．（2）电介质中总能量为．2 2d d ln4π 4πb
V aQQbWWrlr laε ε== =∫ ∫（3）由公式W=Q2/C得电容为．2 2π2ln(/)QlCWbaε==
13．18两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式，
2112 12111CCCCC+=+=得．
1212120PFCC==+加上U=1000V的电压后，带电量为
1
Q=CU，第一个电容器两端的电压为U1=Q/C1=CU/1=600(V)；第二个电容器两端的电压为U
2=Q/C2=CU/2=400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．
第十三章静电场中的导体和电介质P70．13．1一带电量为q，半径为r
A的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr
2=q/ε0，可得P点的电场强度为．
204πqErε=当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r
C，所以A球的电势为．04πCqUrε=13．2同轴电缆是由半径为R
1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λl．设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，d
dSΦ=?∫DS?0 1 2ddd2πS S S rlD=?+?+?=∫ ∫ ∫DDDS可得电位移为D=λ/2πr，其方向垂直中心轴向外．电场强度为
E=D/ε0r=λ/2πε0r，方向也垂直中心轴向外．13．3金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心O的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，
距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为qObar图13.3
BOAPrArCrB图13.1
DS1S
2 S0
rR2 R1ε
rl
2
0 0 01 1 14π4π 4πO q q QqUr a bε ε ε? +=+ +13．4三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm 2，A、B相距d1=2m m，A、C相距d
2=4mm，B、C接地，板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q
1=σ1S和q2=σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S．①A、B间的场强为E
1=σ1/ε0，A、C间的场强为E2=σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E
1d=E2d，②即σ1dσ2d．③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)，所以q
1=σ1S=qd2/(d1+2)=2×10-8(C)；q2q-1=×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C)；q
C-q2-110-8()．(2)两板电势差为ΔU=E1d=σ1d/ε0=qd1d2/ε0S(d1+2)，由于k=9×109=1/4πε0，所以ε010-9/36π，因此ΔU=144π=452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以
UA=ΔU=452.4(V)．13．5一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1+q2=0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S，它们产生的场强大小分别为
qAB C图13.4
Pq1q2AB q图13.5
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E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0，即σ
1-σ2–σ0，或者说q1-q2+q=0．②解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/2．13．6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，
忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1=0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ
2=-σ3．两板之间的场强为E=σ3/ε0，而E=U/d，所以面电荷密度分别为σ
3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m -2)，σ2-σ3-8.84×10-7(·m -2)．13．7一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式表示．
20214πRCRε=?（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为
3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为121 0 0
1 2 2114π 4π1/ / RCRRε ε= =外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为．
2 02 314π1/ 1/CRRε=?外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2=4πε0R2．并联电容为．
1212 0 02214π 4πRCC Rε ε=+= +? 20214πRRε=?方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q'．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
σ2σ1 σ4σ3图13.6
OR2R1R
3
4
，02 0104π4πqqRRε ε′+=因此感应电荷为．
12Rqq′=?根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，
12 20 024π 4πRqqEr rε ε′==?负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
1 12 2ddR RR RU Er=?=∫ ∫El 12 1202( )d4πRR Rqrrε=?∫
1 2120212 0( )11( )4π 4πRq RRqRRε ε?=?=球面间的电容为．
20214πRqCURε==?13．8球形电容器的内、外半径分别为R
1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？[解答]球形电容器的电容为．
120 01 2 2114π 4π1/ / RCRRε ε= =对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：
．0121 212πRCε=?当电容器中充满介质时，电容为：．
0r122 212πRCRε=?由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：．
0 r1212 212π(1)RCCRεε+=+=?
OR2R1 εr图13.8
5
13．9如图所示，设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C
1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2．总电容的倒数为，1 2 2112
121 2 12111ddddCCCSS Sεεεε ε+=+=+=总电容为．122112SCddεεε=+
13．10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，d
dSΦ=?∫DS?0 1 2ddd2πS S S rlD=?+?+?=∫ ∫ ∫DSDSDS高斯面包围的自由电荷为q=λl，根据介质中的高斯定理Φ
d=q，可得电位为D=λ/2πr，方向垂直中心轴向外．电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，
方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为．2
1dd d2πRL L RU Er rλε=?==∫ ∫ ∫El 21ln2πRλε=电容为．
212πln(/)q lCURε==在真空时的电容为
d2 ε1ε2d1图13.9
DS1S
2 S0
rR2 R1εl
6
，00 212πln(/)lqCURε==所以倍数为C/0=ε/0．13．1在半径为R
1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d4πdS SDSrDΦ=?==∫ ∫DS 高斯面包围的自由电荷为q=Q
0，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位移为D=Q
0/4πr2，方向沿着径向．用矢量表示为D=Q0r/4πr3．如果Q0>，D的方向沿着径向向外．电场强度为E=D/ε
0r=Q0r/4πε0r3，方向沿着径向向外．由于D=ε0E+P，所以
P=D-ε0E=．03r1(1)4πQrε?r方向也沿着径向向外．在介质之外是真空，真空可当作介电常量ε
r=1的介质处理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0．（2）方法一：用场强关系．在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0=Q0r/4πε0r3；极化电荷q
1'产生的场强为E'=q1'r/4πε0r3；总场强为E=Q0r/4πε0r3．由于E=
0+E'，解得极化电荷为
OR2Q0εrR1
7
，1 0r1(1)q Qε′=?介质层内表面的极化电荷面密度为．
011 2 21 r 11(1)4π 4πQqR Rσ ε′′==?在介质层外表面，极化电荷为，
2 1qq′ ′=?面密度为．02
2 22 r1(1)4π 4πQqR Rσ ε′′==?方法一：用极化强度关系．介质内表面的极化电荷的面密度为σ=P·n．其中，极化强度P的方向沿径向向外．介质在内表面的极化强度大小为
，01 2r 11(1)4πQP Rε=?而介质内表面的法向方向与极化强度的方向相反，所以极化电荷的面密度为．
01 1 2r 11(1)4πQP Rσ ε′=?=?介质在外表面的极化强度大小为，
02 2r1(1)4πQP Rε=?介质外表面的法向方向与极化强度的方向相同，所以极化电荷的面密度为．
022 2r1(1)4πQP Rσ ε′==?13．12两个电容器电容之比C
1:2=1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W=Q2/C，得静电能之比为W
1:2=C2:1=2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W=CU2/，得静电能之比为W1:2=C1:2=1:2．13．13一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能
OR2εrR1
8
为多少？[解答]平行板电容器的电容为C=ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C
1=ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2=ε0rS/2d．两个电容器并联，总电容为C=
1+C2=(1+εr)0S/2d，静电能为W=CU2/=(1+εr)0SU2/4d．13．14一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为ε
r的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C=(1+ε
r)0S/2d．（2）电容器充电前的电容为C0=ε0S/d，充电后所带电量为Q=C
0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q2/C=02U2/C=ε0SU2/(1+εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C
1=ε0S/2d；介质中的一半的电容为C2=ε0rS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则
1+Q2=Q．①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2．②解联立方程得，
01112 211/CUCQQ C==++真空中一半电容器的自由电荷面密度为．
0 011 212 2/2(1/)(1)rCUUQS S dεσ ε== =+ +同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为．
0 0r2 12 r2 2(/ 1)(1)CU US dεσ ε= =+ +
9
13．15平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr=5)．将电容器与300V的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C
0=ε0rS/d，静电能为W0=C0U2/．玻璃板抽出之后的电容为C=ε
0S/d．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W=CU2/，电能器能量变化为ΔW=-W
0=(C-0)U2/=(1-εr)0SU2/d=-3.18×10-5(J)．（2）充电后所带电量为Q=C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W=Q
2/C，电能器能量变化为=1.59×10-4(J)．20 0
0(1)2CCUWW?=?=? 20rr(1)2SUdεε=?13．16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．Rab=
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E=λ/2πε0r，能量密度为w=ε0E2/，体积元为dV=2πrldr，
能量元为dW=wdV．在半径a到R的圆柱体储存的能量为．
20d d2V VWwVEVε==∫ ∫ 2 20 0dln4π4πRal lRr aλλε ε= =∫当R=b时，能量为；
21 0ln4πlbWaλε=当时，能量为Rab=
10
，2 22 0 0ln ln4π 8πl blbWa aλ λε ε= =所以W2=1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．Rab=
13．17两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：（1）在半径为r(a<rb)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？
[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为λ=Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为D=λ/2πr=Q/2πrl，场强为E=D/ε=Q/2πεrl，
能量密度为w=D·E/2=DE/2=Q2/8π2εr2l．薄壳的体积为dV=2πrldr，能量为dW=wdV=Q
2dr/4πεlr．（2）电介质中总能量为．2 2d d ln4π 4πb
V aQQbWWrlr laε ε== =∫ ∫（3）由公式W=Q2/C得电容为．2 2π2ln(/)QlCWbaε==
13．18两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式，
2112 12111CCCCC+=+=得．
1212120PFCC==+加上U=1000V的电压后，带电量为
1
Q=CU，第一个电容器两端的电压为U1=Q/C1=CU/1=600(V)；第二个电容器两端的电压为U
2=Q/C2=CU/2=400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．
