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大 学 物 理 学 （ 下 册 ） 习 题 解 答湖南大学物理与微电子科学学院 周群益
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第十二章 静电场P35．12,1
12,212,3如图 所示,在 直角 三角形 ABCD的 A点处,有 点电荷 q1=1.8×10-9C,B点处 有点电荷 q2=-4.8×10-9C,AC=3cm,=4cm，试求 C点的 场强,[解答 ]根据 点电 荷的 场强 大小 的公 式
，2 2014πq qEkr r其中 1/(4πε0)=k9.0×109N·m2·C-2．点电荷 q1在 C点产 生的 场强 大小 为,
11 2014πqEAC 99 4 -121.810910 1.810(NC)(310)方向 向下,点电荷 q
2在 C点产 生的 场强 大小 为,22 0| |14πqEBC 99 4 -124.810910 2.710(NC)(410)方向 向右,C处的 总场 强大 小为
，221EEE 4 4 -10.913103.24510(NC)总场 强与 分场强 E
E
2的夹 角为,12arctan3.69E12,4半径为 R的一 段圆 弧,圆心 角为 60°，一 半均 匀带 正电,另 一半 均匀 带负 电,其电荷 线密 度分 别为 +λ和 -λ，求 圆心 处的 场强,[解答 ]在带 正电 的圆 弧上 取一 弧元 ds=Rdθ，电荷 元为 dq=λds，在 O点产 生的 场强 大小 为,
2 20 0 01d1dd d4π4π 4πq sERRR场强 的分 量为 dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ．对于 带负 电的 圆弧,同 样 可得在 O点的 场强 的两 个分 量,由 于弧 形是 对称 的,x方向 的合场 强为 零,总场 强沿着 y轴正 方向,大 小为
E
E
2E
E
E
E
1 q2
ACq1 Bθ图 12.3
ExEθRdsEyO
3
22dsiny LEEE,π/6 π/60 0 00sind (cos)2π 2πR R
03(1)22πR12,5均匀 带电 细棒,棒长 a=20cm，电 荷线 密度 为 λ=3×10-8C·m-1，求,（ 1）棒 的延 长线 上与 棒的 近端 d
1=8c处的 场强 ；（ 2）棒 的垂 直平 分线 上与 棒的 中点 相距 d2=8cm处的 场强,[解答 ]（ 1）建 立坐 标系,其中 L=a/2=0.1(),x=L+d1=0.18(m)．在细 棒上 取一 线元 dl，所 带的 电量为 dqλdl，根据 点 电 荷 的 场 强 公 式,电 荷 元 在 P
1点产 生 的 场 强 的大小 为 1 2 2
0d dd 4π()q lEkr xl场强 的方 向沿 x轴正 向,因此 P1点的 总场 强大 小通 过积 分得
1 20 d4π()LLlE xl 014π LLxl,①
011( )4πxLxL 22014πLx将数 值代 入公 式得 P1点的 场强 为 =2.41×103(N·C-1)，89
1 2 220.13109100.180.1E方向 沿着 x轴正 向．（ 2）建立坐标系,y=d2．在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq=λdl，
在棒 的垂 直平 分线 上的 P2点产 生的 场强 的大 小为，2 2 20d dd 4πq lEkr r由于 棒是 对称 的,x方向 的合 场强 为零,y分量 为dE
y=dE2sinθ．由图 可知,r=d2/sinθ,l=d2cotθ，所 以dl=-d2θ/sin2θ，因此,
02d sind4πyEd总场 强大 小为
dsEx xθREyOy
Olx xdlr-L LyP2dEydE2dExd2θθ
Olx xdly P1r-L Ld1
4
02 sind4πLy lLEd 02cos4π LlLd,②22024π LlLlddl 220214π LddL将数 值代 入公 式得 P
2点的 场强 为 =5.27×103(N·C-1)．89 2 21/220.13109100.8(0.80.)yE方向 沿着 y轴正 向．[讨论 ]（ 1）由于 L=a/2,x=L+d
1，代 入 ① 式,化简 得,1 011 01114π 4π/1aEdada保持 d
1不变,当 a→∞ 时,可得,③1 014πEd这就 是半 无限 长带 电直 线在 相距为 d
1的延 长线 上产 生的 场强 大小,（ 2）由 ② 式 得,2 2
024π (/)y aEdda 2 202 214π(/)(1/)dda当 a→∞ 时,得,④
022πyEd这就 是无 限长 带电 直线 在线 外产 生的 场强 公式,如果 d1=d2，则 有大 小关系 Ey=2E1．12,6一均匀 带电 的细 棒被 弯成 如图 所示 的对 称形 状,试问 θ为何值 时,圆心 O点处 的场 强为 零．[解 答 ]设 电 荷 线 密 度 为 λ,先 计 算 圆 弧 的 电 荷 在 圆 心 产 生 的 场强,在圆 弧上 取一 弧元 ds=Rdφ，所带 的电 量为
dq=λds，在圆 心处 产生 的场 强的 大小 为,2 2
0 0d dd d4π 4πq sEkr RR由于 弧是 对称 的,场强 只剩 x分量,取 x轴方 向为 正,场强 为
θRO图 12.6
θROxdφdEφ
5
dEx=-dEcosφ．总场 强为,2π/2
0 /2cosd4πxER 2π/20 /2sin4πR 0sin2π 2R方向 沿着 x轴正 向．再计 算两 根半 无限 长带 电直 线在 圆心 产生 的场 强,根据 上一 题的 公式 ③ 可 得 半无 限长 带电 直线 在延 长上 O点 产生的 场强 大小 为
，04πER由于 两根 半无 限长 带电 直线 对称 放置,它 们在 O点产 生的 合场 强为,
02cos cos22π2xEE R方向 沿着 x轴负 向．当 O点合 场强 为零 时,必有,可 得`x xEE?tanθ/2=1，
因此 θ/2=π/4，所以 θ=π/2．12,7一宽为 b的无 限长 均匀 带电 平面 薄板,其 电荷 密度 为 σ，如 图所 示,试求,
（ 1）平 板所 在平 面内,距 薄板 边缘为 a处的 场强,（ 2）通 过薄 板几 何中 心的 垂直 线上 与薄 板距 离为 d处的 场强,[解 答 ]（ 1） 建 立 坐 标 系,在 平 面 薄 板 上 取 一 宽 度 为 dl的 带 电 直线,电荷 的线 密度 为 dλ=σdl，根据 直线 带电 线的 场强 公式
，02πEr得带 电直 线在 P点产 生的 场强 为,
0 0d dd2π2π(/2)lEr bal其方 向沿 x轴正 向．由于 每条 无限 长直 线在 P点的 产生 的场 强方 向相 同,所以 总场强为
/20/2 1d2π /2bbE lal /20 /2ln(/2)2π bbbal
θOE'E' xR
Pb aQd
图 12.7
Pb aO xdly
6
,①0ln(1)2π ba场强 方向沿 x轴正 向．（ 2）为了 便于 观察,将 薄板 旋转 建立 坐标 系,仍然 在平 面薄 板上 取一 宽度 为 dl的带电直 线,电荷 的线 密度 仍然 为
dλ=σdl，带电 直线在 Q点产 生的 场强 为,221/2
0 0d dd2π2π( )lEr dl沿 z轴方 向的 分量 为,
221/20cosdddcos2π( )z lEE dl设 l=dtanθ，则 dl=dθ/cos2θ，因 此,
0ddcos d2πzEE积分 得,②arctan(/2)
0arctan(/2) dπbdz bdE 0arctan()π 2bd场强 方向沿 z轴正 向．[讨论 ]（ 1）薄 板单 位长 度上 电荷 为 λ=σb，① 式的 场强 可化 为
，0ln(1/)2π /baEaba当 b→ 0时,薄板 就变 成一 根直 线,应用 罗必 塔法 则或 泰勒 展开 式,场强 公式 变为,③
02πEa这正 是带 电直 线的 场强 公式,（ 2） ② 也可 以化 为,
0arctan(/2)2π /2z bdEdbd当 b→ 0时,薄板 就变 成一 根直 线,应用 罗必 塔法 则或 泰勒 展开 式,场强 公式 变为,
02πzE d这也 是带 电直 线的 场强 公式,
QbdO zdxxy rdEθ
7
当 b→∞ 时,可得,④02zE这是 无限 大带 电平 面所 产生 的场 强公 式．
12,8（ 1）点 电荷 q位于 一个 边长为 a的立 方体 中心,试 求在 该点 电荷 电场 中穿 过立方体 一面 的电 通量 是多 少？ （ 2）如 果将 该场 源点 电荷 移到 立方 体的 的一 个角 上,这时 通过 立方 体各 面的 电通 量是多少？ [解答 ]点电 荷产 生的 电通 量 为 Φ
e=q/ε0．（ 1）当 点电 荷放 在中 心时,电 通量 要穿过 6个面,通 过每 一面 的电 通量 为Φ1=Φe/6=q/6ε0．（ 2）当 点电 荷放 在一 个顶 角时,电 通量 要穿过 8个卦 限,立方 体的 3个面 在一 个卦 限中,通过 每个 面的 电通 量为 Φ
1=Φe/24=q/24ε0；立方 体的 另外 3个面 的法 向与 电力 线垂 直,通过 每个 面的 电通 量为 零．12,9面电 荷密 度为 σ的均 匀无 限大 带电 平板,以 平板 上的 一点 O为中 心,R为半 径 作一半 球面,如 图所 示,求通 过此 半球 面的 电通 量,[解答 ]设想 在 平 板 下 面 补 一 个 半 球 面,与 上 面 的 半 球 面 合 成 一 个 球 面,球 面 内 包 含的电荷 为q=πR2σ，通过 球面 的电 通量 为 Φe=q/ε0，通过 半球 面的 电通 量为 Φ'
e=Φe/2=πR2σ/ε0．12,10两无 限长 同轴 圆柱 面,半径 分别为 R1和 R2(1>R2)，带 有等 量异 号电 荷,单 位长度 的电 量为 λ和 -λ，求 （ 1） r<R1；（ 2） R1<r2；（ 3） r>R2处各 点的 场强,[解答 ]由于 电荷 分布 具有 轴对 称性,所 以电 场分 布也 具有 轴对 称性,（ 1）在 内圆 柱面 内做 一同 轴圆 柱形 高斯 面,由于 高斯 内没 有电 荷,所以
E=0，（ r<R1）．（ 2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半径为 r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内 包含 的电 荷为 q=λl，穿 过高 斯面 的电 通量 为,dd2π
e S SESErlES
ES
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，所 以,(R1<rR2)．
02πEr（ 3）在 外圆 柱面 之外 做一 同轴 圆柱 形高 斯面,由 于高 斯内 电荷 的代 数和 为零,所 以 E=0，（ r>R2）．
RO图 12.9
8
12,1一厚 度为 d的均 匀带 电无 限大 平板,电 荷体 密度 为 ρ,求板 内外 各点 的场 强．[解答 ]方法 一,高斯 定理 法．（ 1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面,E=E',在 板 内 取 一 底 面 积 为 S,高 为 2r的 圆 柱 面 作 为 高 斯面,场 强 与 上 下 两 表 面 的 法 线 方 向 平 行 而 与 侧 面 垂 直,通过高 斯面 的电 通量 为 deSES
ES
2 0d d dS S SESESES
ESESES
1，02ESESES高斯 面内 的体 积为 V=2rS，包含 的电 量为 q=ρV=2ρrS，
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρr/ε0,(0≤rd/2),①（ 2）穿 过平 板作 一底 面积为 S，高为 2r的圆 柱形 高斯 面,通过 高斯 面的 电通 量仍 为Φ
e=2ES，高斯 面在 板内 的体 积为 V=Sd，包含 的电 量为 q=ρV=ρSd，根据 高斯 定理
Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρd/2ε0,(r≥d/2),②方法 二,场强 叠加 法,（ 1）由 于平 板的 可视 很多 薄板 叠而 成的,以 r为界,下 面平 板产 生的 场强 方向 向上,上面 平板 产生 的场 强方 向向 下,在下 面板 中取 一薄层 dy，面 电荷 密度 为
dσ=ρdy，产生 的场 强为 dE1=dσ/2ε0，积分 得,③
1 0 0/2d ( )22rd y dE r同理,上 面板 产生 的场 强为,④/2
2 0 0d ( )222dr y dE rr处的 总场 强为
S2
S1
E'S1S2E
Ed2rS0E' S0
E2 dyryOE1d
9
E=E1-E2=ρr/ε0．（ 2）在 公式 ③ 和 ④ 中，令 r=d/2，得E20,E=E1=ρd/2ε0，E就是 平板 表面 的场 强,平板外 的场 强是 无数 个无 限薄 的带 电平 板产 生的 电场 叠加 的结 果,是均 强电 场,方向与平 板垂 直,大小 等于 平板 表面 的场 强,也能 得出 ② 式．
12,1212,13一半 径为 R的均 匀带 电球 体内 的电 荷体 密度 为 ρ，若在球内挖去一块半径为 '<R的小球体，如图所示，试求两球心O与 O'处的 电场 强度,并 证明 小球 空腔 内的 电场 为均 强电 场．[解答 ]挖去 一 块 小 球 体,相 当 于 在 该 处 填 充 一 块 电 荷 体 密度为 -ρ的小球 体,因此,空 间任 何一 点的 场强 是两 个球 体产 生的场强的 叠加,对于 一个 半径为 R，电 荷体 密度 为 ρ的球 体来 说,当场点 P在球内时，过 P点作一半径为 r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得 方程
，2 30144π π3Er rP点场 强大 小为,
03Er当场点 P在球 外时,过 P点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,根 据高 斯定 理可 得方 程，2 3
0144π π3Er RP点场 强大 小为,3
203RErO点在 大球 体中 心,小球 体之 外,大球 体在 O点产 生的 场强 为零,小 球在 O点产 生的场强 大小 为,
3203OREa方向由 O指向 O'．'点在小球体中心、大球体之内．小球体在 O'点产生的场强为零，大球在 O'点产生的场强 大小 为
，` 03OEa
ORaR'O'图 12.13
ORrP
ORrP
10
方向 也由 O指向 O'．[证明 ]方法 一,用余 弦定 理,在小 球内 任一点 P，大 球和 小球 产生 的场 强大 小分 别为，,
03rEr 03rEr方向 如图 所示,设两 场强 之间 的夹 角为 θ，合 场强 的平 方为
222 cosr r rrEEEE 2220()( cos)3rrr，根据 余弦 定理 得,
222 cos(π)arrr所以,
03Ea可见,空 腔内 任意 点的 电场 是一 个常 量,还可 以证 明,场强 的方 向沿着 O到 O'的方 向,因此空 腔内 的电 场为 匀强 电场,方法 二,用矢 量运 算,在小 球内 任一点 P，大 球和 小球 产生 的场 强分 别为
，,03rEr
Er
03rEr
Er
总场 强为,0 0( )3 3r rEEErr a
EEErr a
a
a
为从 O指向 O'的常 矢量,所 以空 腔内 的电 场为 匀强 电场,12,14如图 所 示,在 A,B两点 处 放 有 电 量 分 别 为 +q和 -q的点 电 荷,AB间距 离 为2R，现 将另 一正 试验 电荷 q0从 O点经 过半 圆弧 路径 移到 C点,求移 动过 程中 电场 力所 做 的功,[解答 ]正负 电荷在 O点的 电势 的和 为零,
UO=0；在 C点产 生的 电势 为,
0 0 04π34π6πC q q qURRR电场 力将 正电荷 q0从 O移到 C所做 的功 为W=q0UOD=q0(UO-D)=q0/6πε0R．12,15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A和 B,A平面的电荷面密度为
2σ,B平面的电荷面密度为 σ，两面间的距离为 d．当点电荷 q从 面移到 B面时，电场力
-q+qOBDCA图 12.14
Oar'O' ErEr'θEP
1
做的 功为 多少？ [解答 ]两平 面产 生的 电场 强度 大小 分别 为 EA=2σ/ε0=σ/ε0,EB=σ/2ε0，两平 面在 它们 之间 产生 的场 强方 向相 反,因此,总 场强 大小 为 E=E
A-EB=σ/2ε0，方向由 A平面 指向 B平面,两平 面间 的电 势差 为 U=Ed=σd/2ε0，当点 电荷 q从 A面移到 B面时,电 场力 做的 功为 W=qU=qσd/2ε
0．12,16一半 径为 R的均 匀带 电球 面,带电 量为 Q．若 规定 该球 面上 电势 值为 零,则 无限远 处的 电势 为多 少？ [解答 ]带电 球面 在外 部产 生的 场强 为
，204πQEr由于,dd
R R RUU ErEl
El
20 0d4π 4πRRQQrr r 04πQR当 UR=0时,．
04πQUR12,17电荷 Q均匀 地分 布在 半径为 R的球 体内,试 证明 离球心 r（ r<R）处 的电 势为．
2230(3)8πQRrU[证明 ]球的 体积 为,
34π3VR?电荷 的体 密度 为,
334πQQVR利用 12,10题的 方法 可求 球内 外的 电场 强度 大小 为,（ r≤R）；
30 034πQEr rR，（ r≥R）．2
04πQEr取无 穷远 处的 电势 为零,则 r处的 电势 为
12
dddRr r RU ErErEl
El
3 20 0d d4π 4πRr RQ Qr rR r,23
0 08π 4πRr RQ QrR r 2230 0( )8π 4πQ QRrR R 2230(3)8πQRr证毕 !12,18在 y=-b和 y=b两个,无限 大,平面 间均 匀充 满电 荷,电 荷 体密 度为 ρ,其 他地方 无电 荷．
（ 1）求 此带 电系 统的 电场 分布,画 E-y图；（ 2）以 y=0作为 零电 势面,求 电势 分布,画 E-y图．[解答 ]平板 电荷 产生 的 场强 的方 向与 平板 垂直 且对 称于 中心 面,E=E'，但 方向 相反,（ 1）在 板内 取一 底面 积为 S，高为 2y的圆 柱面 作为 高 斯面,场 强 与 上 下 两 表 面 的 法 线 方 向 平 等 而 与 侧 面 垂 直,通过高斯 面的 电通 量为
．e dSES
ES
0d d d2S S S ESESESES
ESESES
1 2高斯 面内 的体 积为 V=2yS，包含 的电 量为 q=ρV=2ρSy，
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρy/ε0,(-b≤yb)．穿过 平板 作一 底面 积为 S，高为 2y的圆 柱形 高斯 面,通过 高斯 面的 电通 量仍 为地 Φ
e=2ES，高斯 面在 板内 的体 积为 V=S2b，包含 的电 量为 q=ρV=ρS2b，根据 高斯 定理
Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρb/ε0,(b≤y)；-ρb/ε0,(y-b)．E-y图如 左图 所示,（ 2）对 于平 面之 间的 点,电势 为
，0d dyU yEl
El
202yC在 y=0处 U=0，所以 C=0，因 此电 势为
O-bE'S2 S2E' yb EbbES1S0S0 S
1
OyE-bb OyU-bb
13
,(-b≤yb)．202yU这是 一条 开口 向下 的抛 物线,当 y≥b时,电势 为,
0 0d dnqb nqbU y yCEl
El
在 y=b处 U=-ρb2/ε0,所以 C=ρb2/ε0，因 此电 势为,(b≤y)．20 02bbUy当 y≤-b时,电势 为
，0 0d dbbU yyCEl
El
在 y=-b处 U=-ρb2/ε0,所以 C=ρd2/ε0，因 此电 势为,20 02bbUy两个 公式 综合 得
,(|y|≥d)．20 0|| 2b bUy这是 两条 直线,U-y图如 右图 所示,U-y图的 斜率 就形成 E-y图，在 y=±b点,电场 强度 是连 续的,因此，在 -y图中 两条 直线 与抛 物线在 y=±b点相 切．
[注意 ]根据 电 场 求 电 势 时,如 果 无 法 确 定 零 势 点,可 不 加 积 分 的 上 下 限,但 是 要 在积分之后 加一 个积 分常 量,根据 其他 关系 确定 常量,就 能求 出电 势,不过,线 积分 前面 要加一个 负号,即 dUEl
El
这是 因为 积分 的起 点位 置是 积分 下限,12,19两块,无限 大,平行 带电 板如 图所 示,A板带 正电,B板带 负电并接 地（ 地的 电势 为零 ），设 A和 B两板 相隔 5.0cm，板 上各 带电 荷 σ=3.3×10-
6C·m-2，求,（ 1）在 两板 之间离 A板 1.0cm处 P点的 电势 ；（ 2） A板的 电势,[解答 ]两板 之间 的电 场强 度为 E=σ/ε
0，方向从 A指向 B．以 B板为 原点 建立 坐标 系，则 rB=0,rP=-0.04m,rA=-0.05m．（ 1） P点和 B板间 的电 势差 为
ABP图 12.16
ABPrO
14
，ddB BP Pr rPBr rUU ErEl
El
0( )BPrr由于 UB=0，所以 P点的 电势 为 =1.493×104(V)．6
123.100.48.40PU（ 2）同 理可得 A板的 电势 为 =1.866×10
4(V)．0( )A BAUrr12,20电量 q均匀 分布 在长为 2L的细 直线 上,试求,（ 1）带 电直 线延 长线 上离 中点为 r处的 电势 ；
（ 2）带 电直 线中 垂线 上离 中点为 r处的 电势 ；（ 3）由 电势 梯度 算出 上述 两点 的场 强．[解答 ]电荷 的线 密度 为 λ=q/2L．（ 1）建 立坐 标系,在 细线 上取 一线元 dl，所 带的 电量 为dq=λdl，根据 点电 荷的 电势 公式,它在 P
1点产 生的 电势 为1 01dd4πlUrl总电 势为
．1 0d4πLLlUrl 0ln()4π LlLrl 0ln8πqrLLr（ 2） 建 立坐 标系,在 细线 上取 一线元 dl,所 带 的电 量为 dq=λdl，在 线的 垂直 平分 线 上的 P2点产 生的 电势 为,
2 221/20 dd4π( )lUrl积分 得
2 221/20 1d4π( )LLU lrl 220ln( )4π LlLrll,2222
0ln8πqrLLLrLL 220ln4πqrLLL r（ 3） P1点的 场强 大小 为,①11 UEr
0 11( )8πqLrLrL 22014πqrL方向 沿着 x轴正 向．
O xdly Lr-L P1l
Olxx xdl-L LyrθP2
15
P2点的 场强 为 22 UEr 222201[ ]4π ( )q rLrrLrLL,②
220 14πqrrL方向 沿着 y轴正 向．[讨论 ]习题 12,3的解 答已 经计 算了 带电 线的 延长 线上 的场 强为,
1 22014πLEx由于 2Lλ=q，取 x=r，就 得公 式 ①,（ 2）习题 12,3的解 答还 计算 了中 垂线 上的 场强 为
220214πy LEddL取 d2=r，可 得公 式 ②,由此 可见,电 场强 度可 用场 强叠 加原 理计 算,也可 以用 电势 的关 系计 算,12,21如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R
1和 R2的均匀带电球壳，所带电荷 体密 度为 ρ，试 计算,（ 1） A,B两点 的电 势；（ 2）利 用电 势梯 度求 A,B两点 的场 强．[解答 ]（ 1）方 法 一,电 荷 填 充 法,在 空 腔 中 同 时 填 充 两 个 半径为 R
1，电 荷体 密度 为 ρ和 -ρ的球 体,这样 A,B两点 的电 势就 是 半径分 别为 R2和 R1，电 荷体 密度 分别 为 ρ和 -ρ的实 体球 产生 的．12,17题已 经证 明,离球心 r（ r<R）处 的电 势为．22
30(3)8πQRrU由于,34=π3QVR所以
,（ r<R）,220(3)6RrU对于 球外 的点,电 势为,
04πQUr即,（ r>R）,303RUr
AOR1BR2rArB图 12.21
16
A点在 两个 球体 之内,正 电荷 球产 生的 电势 为,222 0(3)6AA RrU负电 荷球 产生 的电 势为
，2211 0(3)6AA RrUA点的 电势 为,
2211 2 0( )2AAA RRUUUB点在 正电 荷球 体之 内,负电 荷球 体之 外,正电 荷球 产生 的电 势为,
222 0(3)6BB RrU负电 荷球 产生 的电 势为,
311 03B BRUrB点的 电势 为,
1 2BBBUUU 322 10 2(3 )6 BBRRrr方法二：电势叠加法,A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A点的电势就 等于 球心 O点的 电势,在半 径为 r的球 壳处 取一 厚度为 dr的薄 壳,其体 积为dV=4πr
2dr，包含 的电 量为 dq=ρdV=4πρr2dr，在球 心处 产生 的电 势为
，0 0dd d4πOqU rr球心 处的 总电 势为,
21 2210 0d ( )2RORUr RR这就是 A点的 电势 UA．过 B点作 一球 面,B点的 电势 是球 面外 的电 荷和 球面 内的 电荷 共同 产生 的．球面 外的 电荷在 点产 生的 电势 就等 于这 些电 荷在 球心 处产生的 电势,根 据上 面的 推导 可得,222 0( )2 BURr
OR1R2rdr
OR2B R1rB
17
球面内的电荷在 B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B点产生的电势．球壳在球 面内 的体 积为,3314π( )3BVrR包含 的电 量为 Q=ρV，
这些 电荷 集中 在球 心时在 B点产 生的 电势 为,331 10 0( )4π3BB BQU rRr rB点的 电势 为
UB=U1+U2,322 10(3 )6 B BRRrr（ 2） A点的 场强 为,0
AA AUErB点的 场强 为,
3120( )3BB BB BU RE rr r[讨论 ]过空 腔中 A点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,由 于面 内没 有电 荷,根据 高斯 定理,可得 空腔中 点场 强为 E=0,(r≤R
1)．过球 壳中 B点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,面 内球 壳的 体积 为,3314π( )3VrR包含 的电 量为 q=ρV，
根据 高斯 定理 得方 程 4πr2E=q/ε0，可得 B点的 场强 为,(R
1≤rR2)．3120( )3RErr这两 个结 果与 上面 计算 的结 果相 同,在球 壳外 面作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,面 内球 壳的 体积 为,
33214π( )3VRR包含 的电 量为 q=ρV，根据 高斯 定理 得可 得球 壳外 的场 强为
18
,(R2≤r)．33212 20 0( )4π 3RRqEr rA点的 电势 为 dd
A AAr rU ErEl
El
1 21 31200d ( )d3AR Rr R Rr r rr 2 332120( )d3RRRrr．
2210( )2RRB点的 电势 为 dd
B BBr rU ErEl
El
2 3120( )d3BRr Rr rr 2 332120( )d3RRRrr．3
22 10(3 )6 B BRRrrA和 B点的 电势 与前 面计 算的 结果 相同,12,22（ 1）设地球表面附近的场强约为 200V·m
-1，方向指向地球中心，试求地球所带有 的总 电量,（ 2） 在 离 地 面 1400m高 处,场 强 降 为 20V·m-1,方 向 仍 指 向 地 球 中 心,试 计 算 在1400m下大 气层 里的 平均 电荷 密度,[解答 ]地球 的平 均半 径为
R=6.371×106m．（ 1）将 地球 当作 导体,电 荷分 布在 地球 表面,由 于场 强方 向指 向地 面,所以 地球 带负量,根据 公式 E=-σ/ε
0，电荷 面密 度为 σ=-ε0E；地球 表面 积为 S=4πR
2，地球 所带 有的 总电 量为 Q=σS=-4πε0R2E=-R2E/k，k是静 电力 常量,因 此电 量为
=-9.02×105(C)．629(6.3710)0910Q（ 2）在 离地 面高为 h=1400m的球 面内 的电 量为 =-0.9×10
5(C)，2( )RhEQk大气 层中 的电 荷为
19
q=Q–'=8.12×105(C)．由于 大气 层的 厚度 远小 于地 球的 半径,其 体积 约为 V=4πR2h=0.714×1018(m3)，平均 电荷 密度 为 ρ=q/V=1.137×10
-12(C·m-3)．
大 学 物 理 学 （ 下 册 ） 习 题 解 答湖南大学物理与微电子科学学院 周群益
2
第十二章 静电场P35．12,1
12,212,3如图 所示,在 直角 三角形 ABCD的 A点处,有 点电荷 q1=1.8×10-9C,B点处 有点电荷 q2=-4.8×10-9C,AC=3cm,=4cm，试求 C点的 场强,[解答 ]根据 点电 荷的 场强 大小 的公 式
，2 2014πq qEkr r其中 1/(4πε0)=k9.0×109N·m2·C-2．点电荷 q1在 C点产 生的 场强 大小 为,
11 2014πqEAC 99 4 -121.810910 1.810(NC)(310)方向 向下,点电荷 q
2在 C点产 生的 场强 大小 为,22 0| |14πqEBC 99 4 -124.810910 2.710(NC)(410)方向 向右,C处的 总场 强大 小为
，221EEE 4 4 -10.913103.24510(NC)总场 强与 分场强 E
E
2的夹 角为,12arctan3.69E12,4半径为 R的一 段圆 弧,圆心 角为 60°，一 半均 匀带 正电,另 一半 均匀 带负 电,其电荷 线密 度分 别为 +λ和 -λ，求 圆心 处的 场强,[解答 ]在带 正电 的圆 弧上 取一 弧元 ds=Rdθ，电荷 元为 dq=λds，在 O点产 生的 场强 大小 为,
2 20 0 01d1dd d4π4π 4πq sERRR场强 的分 量为 dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ．对于 带负 电的 圆弧,同 样 可得在 O点的 场强 的两 个分 量,由 于弧 形是 对称 的,x方向 的合场 强为 零,总场 强沿着 y轴正 方向,大 小为
E
E
2E
E
E
E
1 q2
ACq1 Bθ图 12.3
ExEθRdsEyO
3
22dsiny LEEE,π/6 π/60 0 00sind (cos)2π 2πR R
03(1)22πR12,5均匀 带电 细棒,棒长 a=20cm，电 荷线 密度 为 λ=3×10-8C·m-1，求,（ 1）棒 的延 长线 上与 棒的 近端 d
1=8c处的 场强 ；（ 2）棒 的垂 直平 分线 上与 棒的 中点 相距 d2=8cm处的 场强,[解答 ]（ 1）建 立坐 标系,其中 L=a/2=0.1(),x=L+d1=0.18(m)．在细 棒上 取一 线元 dl，所 带的 电量为 dqλdl，根据 点 电 荷 的 场 强 公 式,电 荷 元 在 P
1点产 生 的 场 强 的大小 为 1 2 2
0d dd 4π()q lEkr xl场强 的方 向沿 x轴正 向,因此 P1点的 总场 强大 小通 过积 分得
1 20 d4π()LLlE xl 014π LLxl,①
011( )4πxLxL 22014πLx将数 值代 入公 式得 P1点的 场强 为 =2.41×103(N·C-1)，89
1 2 220.13109100.180.1E方向 沿着 x轴正 向．（ 2）建立坐标系,y=d2．在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq=λdl，
在棒 的垂 直平 分线 上的 P2点产 生的 场强 的大 小为，2 2 20d dd 4πq lEkr r由于 棒是 对称 的,x方向 的合 场强 为零,y分量 为dE
y=dE2sinθ．由图 可知,r=d2/sinθ,l=d2cotθ，所 以dl=-d2θ/sin2θ，因此,
02d sind4πyEd总场 强大 小为
dsEx xθREyOy
Olx xdlr-L LyP2dEydE2dExd2θθ
Olx xdly P1r-L Ld1
4
02 sind4πLy lLEd 02cos4π LlLd,②22024π LlLlddl 220214π LddL将数 值代 入公 式得 P
2点的 场强 为 =5.27×103(N·C-1)．89 2 21/220.13109100.8(0.80.)yE方向 沿着 y轴正 向．[讨论 ]（ 1）由于 L=a/2,x=L+d
1，代 入 ① 式,化简 得,1 011 01114π 4π/1aEdada保持 d
1不变,当 a→∞ 时,可得,③1 014πEd这就 是半 无限 长带 电直 线在 相距为 d
1的延 长线 上产 生的 场强 大小,（ 2）由 ② 式 得,2 2
024π (/)y aEdda 2 202 214π(/)(1/)dda当 a→∞ 时,得,④
022πyEd这就 是无 限长 带电 直线 在线 外产 生的 场强 公式,如果 d1=d2，则 有大 小关系 Ey=2E1．12,6一均匀 带电 的细 棒被 弯成 如图 所示 的对 称形 状,试问 θ为何值 时,圆心 O点处 的场 强为 零．[解 答 ]设 电 荷 线 密 度 为 λ,先 计 算 圆 弧 的 电 荷 在 圆 心 产 生 的 场强,在圆 弧上 取一 弧元 ds=Rdφ，所带 的电 量为
dq=λds，在圆 心处 产生 的场 强的 大小 为,2 2
0 0d dd d4π 4πq sEkr RR由于 弧是 对称 的,场强 只剩 x分量,取 x轴方 向为 正,场强 为
θRO图 12.6
θROxdφdEφ
5
dEx=-dEcosφ．总场 强为,2π/2
0 /2cosd4πxER 2π/20 /2sin4πR 0sin2π 2R方向 沿着 x轴正 向．再计 算两 根半 无限 长带 电直 线在 圆心 产生 的场 强,根据 上一 题的 公式 ③ 可 得 半无 限长 带电 直线 在延 长上 O点 产生的 场强 大小 为
，04πER由于 两根 半无 限长 带电 直线 对称 放置,它 们在 O点产 生的 合场 强为,
02cos cos22π2xEE R方向 沿着 x轴负 向．当 O点合 场强 为零 时,必有,可 得`x xEE?tanθ/2=1，
因此 θ/2=π/4，所以 θ=π/2．12,7一宽为 b的无 限长 均匀 带电 平面 薄板,其 电荷 密度 为 σ，如 图所 示,试求,
（ 1）平 板所 在平 面内,距 薄板 边缘为 a处的 场强,（ 2）通 过薄 板几 何中 心的 垂直 线上 与薄 板距 离为 d处的 场强,[解 答 ]（ 1） 建 立 坐 标 系,在 平 面 薄 板 上 取 一 宽 度 为 dl的 带 电 直线,电荷 的线 密度 为 dλ=σdl，根据 直线 带电 线的 场强 公式
，02πEr得带 电直 线在 P点产 生的 场强 为,
0 0d dd2π2π(/2)lEr bal其方 向沿 x轴正 向．由于 每条 无限 长直 线在 P点的 产生 的场 强方 向相 同,所以 总场强为
/20/2 1d2π /2bbE lal /20 /2ln(/2)2π bbbal
θOE'E' xR
Pb aQd
图 12.7
Pb aO xdly
6
,①0ln(1)2π ba场强 方向沿 x轴正 向．（ 2）为了 便于 观察,将 薄板 旋转 建立 坐标 系,仍然 在平 面薄 板上 取一 宽度 为 dl的带电直 线,电荷 的线 密度 仍然 为
dλ=σdl，带电 直线在 Q点产 生的 场强 为,221/2
0 0d dd2π2π( )lEr dl沿 z轴方 向的 分量 为,
221/20cosdddcos2π( )z lEE dl设 l=dtanθ，则 dl=dθ/cos2θ，因 此,
0ddcos d2πzEE积分 得,②arctan(/2)
0arctan(/2) dπbdz bdE 0arctan()π 2bd场强 方向沿 z轴正 向．[讨论 ]（ 1）薄 板单 位长 度上 电荷 为 λ=σb，① 式的 场强 可化 为
，0ln(1/)2π /baEaba当 b→ 0时,薄板 就变 成一 根直 线,应用 罗必 塔法 则或 泰勒 展开 式,场强 公式 变为,③
02πEa这正 是带 电直 线的 场强 公式,（ 2） ② 也可 以化 为,
0arctan(/2)2π /2z bdEdbd当 b→ 0时,薄板 就变 成一 根直 线,应用 罗必 塔法 则或 泰勒 展开 式,场强 公式 变为,
02πzE d这也 是带 电直 线的 场强 公式,
QbdO zdxxy rdEθ
7
当 b→∞ 时,可得,④02zE这是 无限 大带 电平 面所 产生 的场 强公 式．
12,8（ 1）点 电荷 q位于 一个 边长为 a的立 方体 中心,试 求在 该点 电荷 电场 中穿 过立方体 一面 的电 通量 是多 少？ （ 2）如 果将 该场 源点 电荷 移到 立方 体的 的一 个角 上,这时 通过 立方 体各 面的 电通 量是多少？ [解答 ]点电 荷产 生的 电通 量 为 Φ
e=q/ε0．（ 1）当 点电 荷放 在中 心时,电 通量 要穿过 6个面,通 过每 一面 的电 通量 为Φ1=Φe/6=q/6ε0．（ 2）当 点电 荷放 在一 个顶 角时,电 通量 要穿过 8个卦 限,立方 体的 3个面 在一 个卦 限中,通过 每个 面的 电通 量为 Φ
1=Φe/24=q/24ε0；立方 体的 另外 3个面 的法 向与 电力 线垂 直,通过 每个 面的 电通 量为 零．12,9面电 荷密 度为 σ的均 匀无 限大 带电 平板,以 平板 上的 一点 O为中 心,R为半 径 作一半 球面,如 图所 示,求通 过此 半球 面的 电通 量,[解答 ]设想 在 平 板 下 面 补 一 个 半 球 面,与 上 面 的 半 球 面 合 成 一 个 球 面,球 面 内 包 含的电荷 为q=πR2σ，通过 球面 的电 通量 为 Φe=q/ε0，通过 半球 面的 电通 量为 Φ'
e=Φe/2=πR2σ/ε0．12,10两无 限长 同轴 圆柱 面,半径 分别为 R1和 R2(1>R2)，带 有等 量异 号电 荷,单 位长度 的电 量为 λ和 -λ，求 （ 1） r<R1；（ 2） R1<r2；（ 3） r>R2处各 点的 场强,[解答 ]由于 电荷 分布 具有 轴对 称性,所 以电 场分 布也 具有 轴对 称性,（ 1）在 内圆 柱面 内做 一同 轴圆 柱形 高斯 面,由于 高斯 内没 有电 荷,所以
E=0，（ r<R1）．（ 2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半径为 r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内 包含 的电 荷为 q=λl，穿 过高 斯面 的电 通量 为,dd2π
e S SESErlES
ES
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，所 以,(R1<rR2)．
02πEr（ 3）在 外圆 柱面 之外 做一 同轴 圆柱 形高 斯面,由 于高 斯内 电荷 的代 数和 为零,所 以 E=0，（ r>R2）．
RO图 12.9
8
12,1一厚 度为 d的均 匀带 电无 限大 平板,电 荷体 密度 为 ρ,求板 内外 各点 的场 强．[解答 ]方法 一,高斯 定理 法．（ 1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面,E=E',在 板 内 取 一 底 面 积 为 S,高 为 2r的 圆 柱 面 作 为 高 斯面,场 强 与 上 下 两 表 面 的 法 线 方 向 平 行 而 与 侧 面 垂 直,通过高 斯面 的电 通量 为 deSES
ES
2 0d d dS S SESESES
ESESES
1，02ESESES高斯 面内 的体 积为 V=2rS，包含 的电 量为 q=ρV=2ρrS，
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρr/ε0,(0≤rd/2),①（ 2）穿 过平 板作 一底 面积为 S，高为 2r的圆 柱形 高斯 面,通过 高斯 面的 电通 量仍 为Φ
e=2ES，高斯 面在 板内 的体 积为 V=Sd，包含 的电 量为 q=ρV=ρSd，根据 高斯 定理
Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρd/2ε0,(r≥d/2),②方法 二,场强 叠加 法,（ 1）由 于平 板的 可视 很多 薄板 叠而 成的,以 r为界,下 面平 板产 生的 场强 方向 向上,上面 平板 产生 的场 强方 向向 下,在下 面板 中取 一薄层 dy，面 电荷 密度 为
dσ=ρdy，产生 的场 强为 dE1=dσ/2ε0，积分 得,③
1 0 0/2d ( )22rd y dE r同理,上 面板 产生 的场 强为,④/2
2 0 0d ( )222dr y dE rr处的 总场 强为
S2
S1
E'S1S2E
Ed2rS0E' S0
E2 dyryOE1d
9
E=E1-E2=ρr/ε0．（ 2）在 公式 ③ 和 ④ 中，令 r=d/2，得E20,E=E1=ρd/2ε0，E就是 平板 表面 的场 强,平板外 的场 强是 无数 个无 限薄 的带 电平 板产 生的 电场 叠加 的结 果,是均 强电 场,方向与平 板垂 直,大小 等于 平板 表面 的场 强,也能 得出 ② 式．
12,1212,13一半 径为 R的均 匀带 电球 体内 的电 荷体 密度 为 ρ，若在球内挖去一块半径为 '<R的小球体，如图所示，试求两球心O与 O'处的 电场 强度,并 证明 小球 空腔 内的 电场 为均 强电 场．[解答 ]挖去 一 块 小 球 体,相 当 于 在 该 处 填 充 一 块 电 荷 体 密度为 -ρ的小球 体,因此,空 间任 何一 点的 场强 是两 个球 体产 生的场强的 叠加,对于 一个 半径为 R，电 荷体 密度 为 ρ的球 体来 说,当场点 P在球内时，过 P点作一半径为 r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得 方程
，2 30144π π3Er rP点场 强大 小为,
03Er当场点 P在球 外时,过 P点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,根 据高 斯定 理可 得方 程，2 3
0144π π3Er RP点场 强大 小为,3
203RErO点在 大球 体中 心,小球 体之 外,大球 体在 O点产 生的 场强 为零,小 球在 O点产 生的场强 大小 为,
3203OREa方向由 O指向 O'．'点在小球体中心、大球体之内．小球体在 O'点产生的场强为零，大球在 O'点产生的场强 大小 为
，` 03OEa
ORaR'O'图 12.13
ORrP
ORrP
10
方向 也由 O指向 O'．[证明 ]方法 一,用余 弦定 理,在小 球内 任一点 P，大 球和 小球 产生 的场 强大 小分 别为，,
03rEr 03rEr方向 如图 所示,设两 场强 之间 的夹 角为 θ，合 场强 的平 方为
222 cosr r rrEEEE 2220()( cos)3rrr，根据 余弦 定理 得,
222 cos(π)arrr所以,
03Ea可见,空 腔内 任意 点的 电场 是一 个常 量,还可 以证 明,场强 的方 向沿着 O到 O'的方 向,因此空 腔内 的电 场为 匀强 电场,方法 二,用矢 量运 算,在小 球内 任一点 P，大 球和 小球 产生 的场 强分 别为
，,03rEr
Er
03rEr
Er
总场 强为,0 0( )3 3r rEEErr a
EEErr a
a
a
为从 O指向 O'的常 矢量,所 以空 腔内 的电 场为 匀强 电场,12,14如图 所 示,在 A,B两点 处 放 有 电 量 分 别 为 +q和 -q的点 电 荷,AB间距 离 为2R，现 将另 一正 试验 电荷 q0从 O点经 过半 圆弧 路径 移到 C点,求移 动过 程中 电场 力所 做 的功,[解答 ]正负 电荷在 O点的 电势 的和 为零,
UO=0；在 C点产 生的 电势 为,
0 0 04π34π6πC q q qURRR电场 力将 正电荷 q0从 O移到 C所做 的功 为W=q0UOD=q0(UO-D)=q0/6πε0R．12,15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A和 B,A平面的电荷面密度为
2σ,B平面的电荷面密度为 σ，两面间的距离为 d．当点电荷 q从 面移到 B面时，电场力
-q+qOBDCA图 12.14
Oar'O' ErEr'θEP
1
做的 功为 多少？ [解答 ]两平 面产 生的 电场 强度 大小 分别 为 EA=2σ/ε0=σ/ε0,EB=σ/2ε0，两平 面在 它们 之间 产生 的场 强方 向相 反,因此,总 场强 大小 为 E=E
A-EB=σ/2ε0，方向由 A平面 指向 B平面,两平 面间 的电 势差 为 U=Ed=σd/2ε0，当点 电荷 q从 A面移到 B面时,电 场力 做的 功为 W=qU=qσd/2ε
0．12,16一半 径为 R的均 匀带 电球 面,带电 量为 Q．若 规定 该球 面上 电势 值为 零,则 无限远 处的 电势 为多 少？ [解答 ]带电 球面 在外 部产 生的 场强 为
，204πQEr由于,dd
R R RUU ErEl
El
20 0d4π 4πRRQQrr r 04πQR当 UR=0时,．
04πQUR12,17电荷 Q均匀 地分 布在 半径为 R的球 体内,试 证明 离球心 r（ r<R）处 的电 势为．
2230(3)8πQRrU[证明 ]球的 体积 为,
34π3VR?电荷 的体 密度 为,
334πQQVR利用 12,10题的 方法 可求 球内 外的 电场 强度 大小 为,（ r≤R）；
30 034πQEr rR，（ r≥R）．2
04πQEr取无 穷远 处的 电势 为零,则 r处的 电势 为
12
dddRr r RU ErErEl
El
3 20 0d d4π 4πRr RQ Qr rR r,23
0 08π 4πRr RQ QrR r 2230 0( )8π 4πQ QRrR R 2230(3)8πQRr证毕 !12,18在 y=-b和 y=b两个,无限 大,平面 间均 匀充 满电 荷,电 荷 体密 度为 ρ,其 他地方 无电 荷．
（ 1）求 此带 电系 统的 电场 分布,画 E-y图；（ 2）以 y=0作为 零电 势面,求 电势 分布,画 E-y图．[解答 ]平板 电荷 产生 的 场强 的方 向与 平板 垂直 且对 称于 中心 面,E=E'，但 方向 相反,（ 1）在 板内 取一 底面 积为 S，高为 2y的圆 柱面 作为 高 斯面,场 强 与 上 下 两 表 面 的 法 线 方 向 平 等 而 与 侧 面 垂 直,通过高斯 面的 电通 量为
．e dSES
ES
0d d d2S S S ESESESES
ESESES
1 2高斯 面内 的体 积为 V=2yS，包含 的电 量为 q=ρV=2ρSy，
根据 高斯 定理 Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρy/ε0,(-b≤yb)．穿过 平板 作一 底面 积为 S，高为 2y的圆 柱形 高斯 面,通过 高斯 面的 电通 量仍 为地 Φ
e=2ES，高斯 面在 板内 的体 积为 V=S2b，包含 的电 量为 q=ρV=ρS2b，根据 高斯 定理
Φe=q/ε0，可得 场强 为 E=ρb/ε0,(b≤y)；-ρb/ε0,(y-b)．E-y图如 左图 所示,（ 2）对 于平 面之 间的 点,电势 为
，0d dyU yEl
El
202yC在 y=0处 U=0，所以 C=0，因 此电 势为
O-bE'S2 S2E' yb EbbES1S0S0 S
1
OyE-bb OyU-bb
13
,(-b≤yb)．202yU这是 一条 开口 向下 的抛 物线,当 y≥b时,电势 为,
0 0d dnqb nqbU y yCEl
El
在 y=b处 U=-ρb2/ε0,所以 C=ρb2/ε0，因 此电 势为,(b≤y)．20 02bbUy当 y≤-b时,电势 为
，0 0d dbbU yyCEl
El
在 y=-b处 U=-ρb2/ε0,所以 C=ρd2/ε0，因 此电 势为,20 02bbUy两个 公式 综合 得
,(|y|≥d)．20 0|| 2b bUy这是 两条 直线,U-y图如 右图 所示,U-y图的 斜率 就形成 E-y图，在 y=±b点,电场 强度 是连 续的,因此，在 -y图中 两条 直线 与抛 物线在 y=±b点相 切．
[注意 ]根据 电 场 求 电 势 时,如 果 无 法 确 定 零 势 点,可 不 加 积 分 的 上 下 限,但 是 要 在积分之后 加一 个积 分常 量,根据 其他 关系 确定 常量,就 能求 出电 势,不过,线 积分 前面 要加一个 负号,即 dUEl
El
这是 因为 积分 的起 点位 置是 积分 下限,12,19两块,无限 大,平行 带电 板如 图所 示,A板带 正电,B板带 负电并接 地（ 地的 电势 为零 ），设 A和 B两板 相隔 5.0cm，板 上各 带电 荷 σ=3.3×10-
6C·m-2，求,（ 1）在 两板 之间离 A板 1.0cm处 P点的 电势 ；（ 2） A板的 电势,[解答 ]两板 之间 的电 场强 度为 E=σ/ε
0，方向从 A指向 B．以 B板为 原点 建立 坐标 系，则 rB=0,rP=-0.04m,rA=-0.05m．（ 1） P点和 B板间 的电 势差 为
ABP图 12.16
ABPrO
14
，ddB BP Pr rPBr rUU ErEl
El
0( )BPrr由于 UB=0，所以 P点的 电势 为 =1.493×104(V)．6
123.100.48.40PU（ 2）同 理可得 A板的 电势 为 =1.866×10
4(V)．0( )A BAUrr12,20电量 q均匀 分布 在长为 2L的细 直线 上,试求,（ 1）带 电直 线延 长线 上离 中点为 r处的 电势 ；
（ 2）带 电直 线中 垂线 上离 中点为 r处的 电势 ；（ 3）由 电势 梯度 算出 上述 两点 的场 强．[解答 ]电荷 的线 密度 为 λ=q/2L．（ 1）建 立坐 标系,在 细线 上取 一线元 dl，所 带的 电量 为dq=λdl，根据 点电 荷的 电势 公式,它在 P
1点产 生的 电势 为1 01dd4πlUrl总电 势为
．1 0d4πLLlUrl 0ln()4π LlLrl 0ln8πqrLLr（ 2） 建 立坐 标系,在 细线 上取 一线元 dl,所 带 的电 量为 dq=λdl，在 线的 垂直 平分 线 上的 P2点产 生的 电势 为,
2 221/20 dd4π( )lUrl积分 得
2 221/20 1d4π( )LLU lrl 220ln( )4π LlLrll,2222
0ln8πqrLLLrLL 220ln4πqrLLL r（ 3） P1点的 场强 大小 为,①11 UEr
0 11( )8πqLrLrL 22014πqrL方向 沿着 x轴正 向．
O xdly Lr-L P1l
Olxx xdl-L LyrθP2
15
P2点的 场强 为 22 UEr 222201[ ]4π ( )q rLrrLrLL,②
220 14πqrrL方向 沿着 y轴正 向．[讨论 ]习题 12,3的解 答已 经计 算了 带电 线的 延长 线上 的场 强为,
1 22014πLEx由于 2Lλ=q，取 x=r，就 得公 式 ①,（ 2）习题 12,3的解 答还 计算 了中 垂线 上的 场强 为
220214πy LEddL取 d2=r，可 得公 式 ②,由此 可见,电 场强 度可 用场 强叠 加原 理计 算,也可 以用 电势 的关 系计 算,12,21如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R
1和 R2的均匀带电球壳，所带电荷 体密 度为 ρ，试 计算,（ 1） A,B两点 的电 势；（ 2）利 用电 势梯 度求 A,B两点 的场 强．[解答 ]（ 1）方 法 一,电 荷 填 充 法,在 空 腔 中 同 时 填 充 两 个 半径为 R
1，电 荷体 密度 为 ρ和 -ρ的球 体,这样 A,B两点 的电 势就 是 半径分 别为 R2和 R1，电 荷体 密度 分别 为 ρ和 -ρ的实 体球 产生 的．12,17题已 经证 明,离球心 r（ r<R）处 的电 势为．22
30(3)8πQRrU由于,34=π3QVR所以
,（ r<R）,220(3)6RrU对于 球外 的点,电 势为,
04πQUr即,（ r>R）,303RUr
AOR1BR2rArB图 12.21
16
A点在 两个 球体 之内,正 电荷 球产 生的 电势 为,222 0(3)6AA RrU负电 荷球 产生 的电 势为
，2211 0(3)6AA RrUA点的 电势 为,
2211 2 0( )2AAA RRUUUB点在 正电 荷球 体之 内,负电 荷球 体之 外,正电 荷球 产生 的电 势为,
222 0(3)6BB RrU负电 荷球 产生 的电 势为,
311 03B BRUrB点的 电势 为,
1 2BBBUUU 322 10 2(3 )6 BBRRrr方法二：电势叠加法,A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A点的电势就 等于 球心 O点的 电势,在半 径为 r的球 壳处 取一 厚度为 dr的薄 壳,其体 积为dV=4πr
2dr，包含 的电 量为 dq=ρdV=4πρr2dr，在球 心处 产生 的电 势为
，0 0dd d4πOqU rr球心 处的 总电 势为,
21 2210 0d ( )2RORUr RR这就是 A点的 电势 UA．过 B点作 一球 面,B点的 电势 是球 面外 的电 荷和 球面 内的 电荷 共同 产生 的．球面 外的 电荷在 点产 生的 电势 就等 于这 些电 荷在 球心 处产生的 电势,根 据上 面的 推导 可得,222 0( )2 BURr
OR1R2rdr
OR2B R1rB
17
球面内的电荷在 B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B点产生的电势．球壳在球 面内 的体 积为,3314π( )3BVrR包含 的电 量为 Q=ρV，
这些 电荷 集中 在球 心时在 B点产 生的 电势 为,331 10 0( )4π3BB BQU rRr rB点的 电势 为
UB=U1+U2,322 10(3 )6 B BRRrr（ 2） A点的 场强 为,0
AA AUErB点的 场强 为,
3120( )3BB BB BU RE rr r[讨论 ]过空 腔中 A点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,由 于面 内没 有电 荷,根据 高斯 定理,可得 空腔中 点场 强为 E=0,(r≤R
1)．过球 壳中 B点作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,面 内球 壳的 体积 为,3314π( )3VrR包含 的电 量为 q=ρV，
根据 高斯 定理 得方 程 4πr2E=q/ε0，可得 B点的 场强 为,(R
1≤rR2)．3120( )3RErr这两 个结 果与 上面 计算 的结 果相 同,在球 壳外 面作 一半 径为 r的同 心球 形高 斯面,面 内球 壳的 体积 为,
33214π( )3VRR包含 的电 量为 q=ρV，根据 高斯 定理 得可 得球 壳外 的场 强为
18
,(R2≤r)．33212 20 0( )4π 3RRqEr rA点的 电势 为 dd
A AAr rU ErEl
El
1 21 31200d ( )d3AR Rr R Rr r rr 2 332120( )d3RRRrr．
2210( )2RRB点的 电势 为 dd
B BBr rU ErEl
El
2 3120( )d3BRr Rr rr 2 332120( )d3RRRrr．3
22 10(3 )6 B BRRrrA和 B点的 电势 与前 面计 算的 结果 相同,12,22（ 1）设地球表面附近的场强约为 200V·m
-1，方向指向地球中心，试求地球所带有 的总 电量,（ 2） 在 离 地 面 1400m高 处,场 强 降 为 20V·m-1,方 向 仍 指 向 地 球 中 心,试 计 算 在1400m下大 气层 里的 平均 电荷 密度,[解答 ]地球 的平 均半 径为
R=6.371×106m．（ 1）将 地球 当作 导体,电 荷分 布在 地球 表面,由 于场 强方 向指 向地 面,所以 地球 带负量,根据 公式 E=-σ/ε
0，电荷 面密 度为 σ=-ε0E；地球 表面 积为 S=4πR
2，地球 所带 有的 总电 量为 Q=σS=-4πε0R2E=-R2E/k，k是静 电力 常量,因 此电 量为
=-9.02×105(C)．629(6.3710)0910Q（ 2）在 离地 面高为 h=1400m的球 面内 的电 量为 =-0.9×10
5(C)，2( )RhEQk大气 层中 的电 荷为
19
q=Q–'=8.12×105(C)．由于 大气 层的 厚度 远小 于地 球的 半径,其 体积 约为 V=4πR2h=0.714×1018(m3)，平均 电荷 密度 为 ρ=q/V=1.137×10
-12(C·m-3)．
