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本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述伽利略（意）
1564－ 1642
首先要研究物体怎样运动，然后才能研究物体为什么运动。
—— 伽利略相对运动质点和刚体参考系坐标系运动的描述运动学两类基本问题结构框图重点：
1.模型,质点、质点系、刚体、
2.概念,位矢、位移、速度、加速度；
角位置、角位移、角速度、角加速度；
惯性系、非惯性系；
3.计算,运动学的两类基本问题难点,相对运动课时,6
1、质点,当物体的线度和形状在所研究的问题中的作用可以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质量，占有位置，但无形状大小的“点”。
思考,
质点和几何学上的点有什么不同？
它是否一定是宏观尺度很小的物体？
§ 3.1 质点和刚体
2、质点系：质点的集合。
m1 m2
mi mn
n
i
imm
1
一、基本概念质量连续分布物体,
mm d
dm
Vd?
md Sd?
ld?
宏观小，微观大刚 体,不计物体在外力作用下产生的形变。
即：任意两质点间距离保持不变的质点系。
质点 质点系 刚体集合 特例二、相互关系：
§ 3.2 参考系和坐标系一,运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
描述运动的相对性：
只有事先选定一个作为参考的物体，才能具体描述物体如何运动
选定的参考物体不同，对同一物体运动的描述可能有不同的结果。
运动的绝对性：
所有物体都处于运动、变化之中，绝对静止是不存在的。
2,坐标系为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。
坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
1,参考系为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为参考的物体（～观察者），叫参考系。
任何实物物体均可被选作参考系 ;场不能作为参考系。
二、参考系和坐标系常见的坐标系,直角坐标系，
极坐标系，
柱坐标系，
球坐标系，
自然坐标系，
……
x
y
z
O
P
直角坐标 系 极坐标系
O
极 轴径 向角 向
r
P
自然坐标系
O
n
P
r?
三,惯性系和非惯性系
1、惯性系,惯性定律在其中成立的参考系，即其中 不受外力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2、非惯性系,惯性定律在其中不成立的参考系,
[例 ]
甲：惯性系；乙：非惯性系在动力学中在进一步讨论二者的区别。
甲 乙
0a
N
mg
A
§ 3.3 运动的描述一,描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动,
1.描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
* 定义,从参考点 O 指向空间 P 点的有向线段 叫做 P 点的 位置矢量,简称位矢或矢径。
Pr?
OPPr
O
P
Pr?
(教材中，矢量用黑体表示 )
*直角坐标描述
x yzo?
单位矢量：
k,j,i
直角坐标中位矢的表达式
kzjyixr
222 zyxrr
大小：
1c o sc o sc o s
c o sc o sc o s
222
r
z
,
r
y
,
r
x方向：
o
y
x
z
r?
z,y,xP
x
z
y
j?
k?
i?
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
k)t(zj)t(yi)t(xr
)t(rr
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。r? )t(r?
质点的运动方程由?式写出对应的参数方程,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
消去参数 t 质点运动的轨迹方程质点运动的轨迹方程
[例 1] 图中,OA = BA = AC,OA 以角速度? 绕 O
旋转,B,C 分别 沿 y,x 轴运动,BC上有一点 P,
已知 BP = a,PC = b,求 P 点的轨迹方程。
y
O x
B
A
C
r
P(x,y)
a
b
思路：
（ 1）确定 P 的位置
jyixr
（ 2）写出参数方程
（ 3）消去 t,得到轨迹方程解,以 OA 与 x 轴重合时为计时起点，则,?=?t
y
O x
B
A
C
r
P(x,y)
a
b
jtbitar s i nco s
P点运动方程：
消去 t 得轨迹方程：
12
2
2 b
y
a
x 2
tby
tax
s i n
c o s
参数方程：
此即椭圆规原理
y
O x
B
A
C
P
a
b
椭圆规原理
[例 2]已知：质点的运动方程
j)t(itr 222
求,(1)质点的运动轨迹；
(2)t = 0s及 t = 2s时，质点的位置矢量。
(SI)
国际单位制解,(1) 先写参数方程
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程：
42
2x
y
质点的运动轨迹为抛物线
(2) 位置矢量：
t=0时,x=0 y = 2
t=2时,x=4 y = -2 jir
jr
24
2
42
2x
y
jir
jr
24
2
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
作图位置矢量的大小：
47.4
)2(4
,2
22
rr
rr
位置矢量的方向：
2326
4
2
a r c t g:
90
0
2
a r c t g:
轴之间的夹角与轴夹角与
xr
xr
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
2.描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量末位矢初位矢位矢增量位移矢量定义,质点沿曲线运动
ArAt?,时刻：
BrBtt?,:时刻
A
B
O
Ar? Br?
时间内位置变化
rrrAB AB
r
t?
直角坐标表示（以二维情况为例）：
A
B
O
Ar? Br?
y
x
Ax
Ay
Bx
By
x?
r
y?
jyix
j)yy(i)xx(r ABAB
jyixr AAA
jyixr BBB
x
y
a r c t g? 22 )y()x(r
rr;rr讨论：
AB rrr
位移（位矢增量）的大小：
ABAB rrrrr
位矢大小的增量：
rr
Br
O
r
r?
如图，一般情况下
Ar
讨论,比较位移和路程
ABr A
B
s?
r
位移,是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。
路程,是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点运动轨迹有关
sr 何时取等号？
直线（直进）运动曲线运动 0t
ABs
[例 3]求例 2中 P,Q 两点间的位移和路程。
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
0? r
解,(1)位移：
ji
jji
rrr
44
224
jir
jr
24
2
m65544 22,)(r
44
4a r c t g
大小：
方向：
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
0? r
(2)路程,
22 ddd )y()x(s
dx
dy ds
QP ss d
xx
yxs
xxy
x
y
ty
tx
d4
2
1
)d()(dd
d
2
1
d
4
2
2
2
2
22
2
2
于是
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
0? r
注意,数学方法在物理问题中的应用。
m
ln
91.5
x4x4x4x
4
1 4
0
22
xx421ss 4
0
2Q
P
dd
3.描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
r
粗略描述,
ArAt?,时刻：
BrBtt?,:时刻
t内位移：
A
B
O
Ar? Br?
r
t
rv
平均速度：
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀速直线运动类比精确描述速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质点所在处的切线，指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
t
r
t
rv
t d
dl i m
0
瞬时速度,当△ t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度，
简称 速度 。表示为：
A
BB?
B?
v?
r
在直角坐标系中：
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
zyx
d
d
d
d
d
d
d
d
kzjyixr
速度的大小：
222
zyx vvvv
平均速率
t
sv
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
讨论,（ 1）速度与速率的关系区别,速度是矢量，速率是标量。
平均速度：
t
r
t
rv
t d
dl i m
0
瞬时速度
t
rv
讨论：
vv
（ 2） 平均速度的大小是否等于平均速率？
vv
sr
一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率。
t
s
t
r
vv
（ 3） 速度的大小是否等于速率？
v
t
s
t
r
v
sr
tt
d
d
d
d
lim lim
00
速度的大小等于速率。
dddd,tstr?
即
l i ml i m
00 t
s
t
r
tt?
即：
讨论：
讨论：
trtr dddd?
（ 4）
t
r
t
s
t
rv
d
d
d
d
d
d
位矢大小的时间变化率位矢时间变化率
（速度）的大小
l i ml i m
00 t
r
t
r
tt?
即：
rr
rr
dd
Br?O
r
r?A
r?
[例 4]已知,
)(j)t(itr SI22 2
求,2秒末速度的大小
-1
2
4
3
4
2
22
2
sm583
5
58
2
4
2
d
d
422
22
.vt
t
t
t
r
v
tttr
tytx
解一：
-1
2
222
2
sm474522
12
22
22
d
d
22
.vt
tvvv
tvv
jti
t
r
v
jtitr
yx
yx
解二：
请判断正误并说明理由解一错误，解二正确！
4.描述质点速度大小、方向变化的快慢 —— 加速度矢量平均加速度,
质点在 A,B 两点的速度分别是 在△ t 时间内 从 A
运动到 B,其速度改变 为：
,v,v BA
AB vvv
A
B Bv?
Av
Av
v
用 可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢,称为平均加速度 。
表示为：
t
va
tv
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动类比瞬时加速度,当△ t 趋于 0 时,求得 平均加速度的极限，表示质点 通过 A点的瞬时加速度，简称 加速度 。表示为
2
2
0 d
d
d
d
d
d
d
dl i m
t
r)
t
r(
tt
v
t
va
t
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数。
直角坐标系表示：
222
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
zyx
aaaa
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
kvjvivktzjtyitxtrv zyx
dddddddd
[例 5]已知,
)(j)t(itr SI22 2
求,2秒末加速度的大小
j
t
v
a
jti
t
r
v
jtitr
2
d
d
22
d
d
22
2
解：
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
a =2m.s-2,沿 -y 方向，与时间无关。
vtv dtddd?
讨论：
tvtv
t?
00t
l i ml i m
即：
Bv?
v
v?
dt
d
d
d v
t
v
vv
Av?
总结,描述质点运动的基本物理量描述对象 物理量 定义位置 位矢位置变化 位移位置变化率 速度速度变化率 加速度
12 rrr
t
rv
d
d
)t(r,r 中心
2
2
t
r
t
va
d
d
d
d
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
3.3.1； 3.3.2
ab
b
a
rrabr)( d1
a
b
O
abs
ar
br
r
1dr?
2dr?
3.3.1
ab
b
a
Sbar)(
d2
b
a
ab rrbar)(
d3
参考解答：
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
t
v
t
v
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
t
r
t
r
－ 静止静止
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述伽利略（意）
1564－ 1642
首先要研究物体怎样运动，然后才能研究物体为什么运动。
—— 伽利略相对运动质点和刚体参考系坐标系运动的描述运动学两类基本问题结构框图重点：
1.模型,质点、质点系、刚体、
2.概念,位矢、位移、速度、加速度；
角位置、角位移、角速度、角加速度；
惯性系、非惯性系；
3.计算,运动学的两类基本问题难点,相对运动课时,6
1、质点,当物体的线度和形状在所研究的问题中的作用可以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质量，占有位置，但无形状大小的“点”。
思考,
质点和几何学上的点有什么不同？
它是否一定是宏观尺度很小的物体？
§ 3.1 质点和刚体
2、质点系：质点的集合。
m1 m2
mi mn
n
i
imm
1
一、基本概念质量连续分布物体,
mm d
dm
Vd?
md Sd?
ld?
宏观小，微观大刚 体,不计物体在外力作用下产生的形变。
即：任意两质点间距离保持不变的质点系。
质点 质点系 刚体集合 特例二、相互关系：
§ 3.2 参考系和坐标系一,运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
描述运动的相对性：
只有事先选定一个作为参考的物体，才能具体描述物体如何运动
选定的参考物体不同，对同一物体运动的描述可能有不同的结果。
运动的绝对性：
所有物体都处于运动、变化之中，绝对静止是不存在的。
2,坐标系为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。
坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
1,参考系为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为参考的物体（～观察者），叫参考系。
任何实物物体均可被选作参考系 ;场不能作为参考系。
二、参考系和坐标系常见的坐标系,直角坐标系，
极坐标系，
柱坐标系，
球坐标系，
自然坐标系，
……
x
y
z
O
P
直角坐标 系 极坐标系
O
极 轴径 向角 向
r
P
自然坐标系
O
n
P
r?
三,惯性系和非惯性系
1、惯性系,惯性定律在其中成立的参考系，即其中 不受外力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2、非惯性系,惯性定律在其中不成立的参考系,
[例 ]
甲：惯性系；乙：非惯性系在动力学中在进一步讨论二者的区别。
甲 乙
0a
N
mg
A
§ 3.3 运动的描述一,描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动,
1.描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
* 定义,从参考点 O 指向空间 P 点的有向线段 叫做 P 点的 位置矢量,简称位矢或矢径。
Pr?
OPPr
O
P
Pr?
(教材中，矢量用黑体表示 )
*直角坐标描述
x yzo?
单位矢量：
k,j,i
直角坐标中位矢的表达式
kzjyixr
222 zyxrr
大小：
1c o sc o sc o s
c o sc o sc o s
222
r
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,
r
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x方向：
o
y
x
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z,y,xP
x
z
y
j?
k?
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在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
k)t(zj)t(yi)t(xr
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随时间变化的函数 称为质点的运动方程。r? )t(r?
质点的运动方程由?式写出对应的参数方程,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
消去参数 t 质点运动的轨迹方程质点运动的轨迹方程
[例 1] 图中,OA = BA = AC,OA 以角速度? 绕 O
旋转,B,C 分别 沿 y,x 轴运动,BC上有一点 P,
已知 BP = a,PC = b,求 P 点的轨迹方程。
y
O x
B
A
C
r
P(x,y)
a
b
思路：
（ 1）确定 P 的位置
jyixr
（ 2）写出参数方程
（ 3）消去 t,得到轨迹方程解,以 OA 与 x 轴重合时为计时起点，则,?=?t
y
O x
B
A
C
r
P(x,y)
a
b
jtbitar s i nco s
P点运动方程：
消去 t 得轨迹方程：
12
2
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y
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c o s
参数方程：
此即椭圆规原理
y
O x
B
A
C
P
a
b
椭圆规原理
[例 2]已知：质点的运动方程
j)t(itr 222
求,(1)质点的运动轨迹；
(2)t = 0s及 t = 2s时，质点的位置矢量。
(SI)
国际单位制解,(1) 先写参数方程
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程：
42
2x
y
质点的运动轨迹为抛物线
(2) 位置矢量：
t=0时,x=0 y = 2
t=2时,x=4 y = -2 jir
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24
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y
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24
2
o
Q
r?
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-2
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作图位置矢量的大小：
47.4
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rr
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位置矢量的方向：
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轴之间的夹角与轴夹角与
xr
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o
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4
x
y
2.描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量末位矢初位矢位矢增量位移矢量定义,质点沿曲线运动
ArAt?,时刻：
BrBtt?,:时刻
A
B
O
Ar? Br?
时间内位置变化
rrrAB AB
r
t?
直角坐标表示（以二维情况为例）：
A
B
O
Ar? Br?
y
x
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x?
r
y?
jyix
j)yy(i)xx(r ABAB
jyixr AAA
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x
y
a r c t g? 22 )y()x(r
rr;rr讨论：
AB rrr
位移（位矢增量）的大小：
ABAB rrrrr
位矢大小的增量：
rr
Br
O
r
r?
如图，一般情况下
Ar
讨论,比较位移和路程
ABr A
B
s?
r
位移,是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。
路程,是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点运动轨迹有关
sr 何时取等号？
直线（直进）运动曲线运动 0t
ABs
[例 3]求例 2中 P,Q 两点间的位移和路程。
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
0? r
解,(1)位移：
ji
jji
rrr
44
224
jir
jr
24
2
m65544 22,)(r
44
4a r c t g
大小：
方向：
o
Q
r?
r
P2
-2
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x
y
0? r
(2)路程,
22 ddd )y()x(s
dx
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xx
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xxy
x
y
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2
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2
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于是
o
Q
r?
r
P2
-2
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x
y
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注意,数学方法在物理问题中的应用。
m
ln
91.5
x4x4x4x
4
1 4
0
22
xx421ss 4
0
2Q
P
dd
3.描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
r
粗略描述,
ArAt?,时刻：
BrBtt?,:时刻
t内位移：
A
B
O
Ar? Br?
r
t
rv
平均速度：
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀速直线运动类比精确描述速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质点所在处的切线，指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
t
r
t
rv
t d
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0
瞬时速度,当△ t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度，
简称 速度 。表示为：
A
BB?
B?
v?
r
在直角坐标系中：
kvjviv
k
t
z
j
t
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速度的大小：
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平均速率
t
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瞬时速率
t
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讨论,（ 1）速度与速率的关系区别,速度是矢量，速率是标量。
平均速度：
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0
瞬时速度
t
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讨论：
vv
（ 2） 平均速度的大小是否等于平均速率？
vv
sr
一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率。
t
s
t
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（ 3） 速度的大小是否等于速率？
v
t
s
t
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v
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d
d
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00
速度的大小等于速率。
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即
l i ml i m
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s
t
r
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即：
讨论：
讨论：
trtr dddd?
（ 4）
t
r
t
s
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rv
d
d
d
d
d
d
位矢大小的时间变化率位矢时间变化率
（速度）的大小
l i ml i m
00 t
r
t
r
tt?
即：
rr
rr
dd
Br?O
r
r?A
r?
[例 4]已知,
)(j)t(itr SI22 2
求,2秒末速度的大小
-1
2
4
3
4
2
22
2
sm583
5
58
2
4
2
d
d
422
22
.vt
t
t
t
r
v
tttr
tytx
解一：
-1
2
222
2
sm474522
12
22
22
d
d
22
.vt
tvvv
tvv
jti
t
r
v
jtitr
yx
yx
解二：
请判断正误并说明理由解一错误，解二正确！
4.描述质点速度大小、方向变化的快慢 —— 加速度矢量平均加速度,
质点在 A,B 两点的速度分别是 在△ t 时间内 从 A
运动到 B,其速度改变 为：
,v,v BA
AB vvv
A
B Bv?
Av
Av
v
用 可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢,称为平均加速度 。
表示为：
t
va
tv
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动类比瞬时加速度,当△ t 趋于 0 时,求得 平均加速度的极限，表示质点 通过 A点的瞬时加速度，简称 加速度 。表示为
2
2
0 d
d
d
d
d
d
d
dl i m
t
r)
t
r(
tt
v
t
va
t
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数。
直角坐标系表示：
222
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
zyx
aaaa
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
kvjvivktzjtyitxtrv zyx
dddddddd
[例 5]已知,
)(j)t(itr SI22 2
求,2秒末加速度的大小
j
t
v
a
jti
t
r
v
jtitr
2
d
d
22
d
d
22
2
解：
o
Q
r?
r
P2
-2
4
x
y
a =2m.s-2,沿 -y 方向，与时间无关。
vtv dtddd?
讨论：
tvtv
t?
00t
l i ml i m
即：
Bv?
v
v?
dt
d
d
d v
t
v
vv
Av?
总结,描述质点运动的基本物理量描述对象 物理量 定义位置 位矢位置变化 位移位置变化率 速度速度变化率 加速度
12 rrr
t
rv
d
d
)t(r,r 中心
2
2
t
r
t
va
d
d
d
d
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
3.3.1； 3.3.2
ab
b
a
rrabr)( d1
a
b
O
abs
ar
br
r
1dr?
2dr?
3.3.1
ab
b
a
Sbar)(
d2
b
a
ab rrbar)(
d3
参考解答：
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
t
v
t
v
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
t
r
t
r
－ 静止静止
