?
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述（续）
一,描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述二,质点运动的自然坐标描述自然坐标系,
原点固接于质点,沿质点运动轨道的切向和法向 为 坐标轴 。切向以质点前进方向为正，记做,
法向以曲线凹侧方向为正，记做 。
n?
A
B
n?
n?
（ 1） 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有正负之分。
o
p
n?s
1,在自然坐标中描述质点的运动
（ 2） 位置变化,s?
p?
s?（ 3） 速度,沿切线方向。
t
s
t
rv
d
d
d
d
dd tsvv
v?
A
B
Av
s?
Bv
速度的改变为：
nvvv
limlimlim n
000 t
v
t
v
t
v
a
ttt?
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
（ 4） 加速度：
A
B
Av
s?
Bv
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
第一项, tvtvtv
tt d
dl i m l i m
00
limlimlim n
000 t
v
t
v
t
va
ttt?
A
B
Av
s?
Bv
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
第二项：
n
v
n
st
s
v
n
t
v
n
t
v
t
v
tt
2
d
d
d
d
d
d
l i m l i m
0
n
0
曲率半径曲率
s?
y
x
o
A
naan
v
t
va
2
d
d
tva dd?
切向加速度：
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
2
法向加速度：
描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
n?
a?
a?
na?
nvtvnaaa n
2
d
d
大小：
22
naaa
方向：
aa na r c t g?的夹角与?aa
总是指向曲线凹侧a?
讨论
dtddd vtv?
aa
n?
a?
a?
na?
Bv?
v
v?
Av?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
a
a
×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动小结：
恒恒
C
A
B
0v?
g?g?g?
sing?s i ng? 0
cosg?cosgg
cos
2
0
g
v
cos
2
0
g
v
g
v?220 co s
n?
n? n?
g?
g?g?
CA B
a?
a
na
练习 2,一物体做抛体运动,已知 讨论：?,v
0
1.角位置,?
O O'θ
s
参考方向
)t(P
R
三,圆周运动的角量描述线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲线为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，基本参量以旋转角度为基准，称为角量。
2.角位移
)tt(P
s?
单位：弧度（ rad）
逆时针为正
3.角速度平均角速度,
t?
角速度,
ttt d
dlim
0
O
R P v?
o?
rv
大小,Rrv s i n
方向,右手定则
r?
旋转方向角速度矢量
方向：右手螺旋法则垂直于运动平面,沿轴
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABAc o s
标积（点积）：
s i n BABA大小：
A?
B?
x
y
z
OkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
矢积（叉积）：
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
i? j?
k?
方向：右手定则，
垂直于（ ）平面BA,
BA
4,角加速度平均角加速度,
t?
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
5.角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
RsRs
n
O O'
R
θ
参考方向
)t(P
)tt(P
s
s?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
（ 1） t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
（ 2）若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,
该点的速度和加速度
)(tt SI343
练习 3
）（ -12 sr a d16423:s2t
）（ 2ra d1226 s?
解,（ 1） 由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d
43
d
d 2
)(tt SI343
2.043
2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
tra
ttra
ttDrv
n
（ 2）由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、
切向加速度和法向加速度
)(..a
)(.a
)(.)(.vt
n
22
2
1
sm892043
sm21
sm414320s1
时，
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与此时总加速度的大小为
4 5 6r a d8
:1
34
1
3
t
tt
v?
a?
a?
na
o
P
质点 P位置如图所示四,刚体的运动
1,基本形式平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，
叫做刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
平面运动
圆周运动圆心：转轴与转动平面的交点定轴转动刚体上各质点的运动：
其运动平面
－ 转动平面
转动平面垂直于转轴各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
离转轴距离不同的点圆周运动的角量相同，线量不同。
转动平面
O
v?
r?
R
v
* 简化为研究 转动平面 内的 运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量
如何简化？
注意：
对于刚体定轴转动，
角速度的方向只有两个,只需在轴上选定正方向，用角速度的 正、负 就可表示其方向，不必用矢量表示。
0
0
+
_
练习 4
一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速转动，
设某时刻刚体上某点 P 的位矢为：
该时刻 P点的速度为：
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P
该时刻 P点的速度为：
543
200
kji
rv
)scm(8.181.25 -1 jiv 正确答案,2
定量计算：
1sr a d2 k
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
cmk5j4i3r P
§ 3.4 运动学的两类基本问题（习题课）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
00
00
0
0
时时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
,)t(a,v)t(r ;
第一类问题
[例 1]已知粒子运动方程 ( S I )593 23 tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
d
d
t
xa,
t
xv,x,xa,v,r,r
x
o P v?
2.该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
ta
ttv
tttx
-1
-6
21 3
-12
o
st
-1sm?v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-2sm?a
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
0
t
:v
31
0
t
:v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-1sm?v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-2sm?a 何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
t < -1,粒子向 + x 减速运动
-1 < t <3,粒子向 - x 运动；
-1 < t <1,加速,1 < t <3,减速
t > 3,粒子向 + x 加速运动
66963593 223 ta,ttv,tttx
转折性时刻
120223
01261
6950
333
111
000
avx:t
avx:t
avx:t
o
0?t
5
0v
0a
-6
1?t
mv
01?a
3?t
-220?v
a
)(x m
返回加速运动3?t
重要性,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动均可以归结为直线运动处理。
[例 2] 已知,( S I )5155 2 j)tt(itr
1.质点做什么运动？
2.找一个实例平面曲线运动
jaj)t(iv 1010155
jiv,r:t 15500 00
质点从原点出发，初速度为
0v?
合运动：斜抛运动为竖直上抛运动gatvy yy 101015:
匀速直线运动0,5, xx avx
3.求抛射角、轨道方程、射程、射高
27a r c t g 3a r c t g
0
0
x
y
v
v?
抛射角：
jiv 1550
53
2x
xy
2515
5
tty
tx
轨道方程：
o X
y
x
Y
2/X
0v?
）（ m150 Xy
射程：
）（）（ m25.11m5.7 Yx
射高：
4.求a?a:t
n时s1
ja
j)t(iv?
10
10155
jirt
jttitr
105:1
)515(5 2
o
1a?
1na?
1?a?
15
my
mx
10
5
1v?
2222 10155 tvvv yx
10124
3210
d
d
2
tt
)t(
t
va
）（）（ -11-21 sm25sm1725:1 v,.at?
o
1a?
1na?
1?a?
15
my
mx
10
5
1v?
）（
）（）（
2-
1
-1
1
-2
1
sm10
sm25sm1.725:1
a
vat?
）（
）（
m1.725
sm1.725
1
2
1
1
-22
1
2
11
n
n
a
v
aaa
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
[例 3]距海岸（视为直线） h=500米处有一艘静止的船 A，
船上的探照灯以每分钟 1转的转速旋转，当光束与岸边成 时，光点沿岸边移动速度多大？60
解,首先建立 P 的运动方程 x(t)
22 c o sd
d
c o sd
d
tg
h
t
h
t
x
v
hx
）（
-1
2
sm869
30c o s
60
2
5 0 0
3060
.v
P
pv?
h
A
x o
讨论
hvvhv p c o sc o s
下面解法错在哪里？
p? o
x
pv
h
A
v?
21
2
0
1
00
limlimlim vvtrtrtrv
tttp
v?
o
A
x
r?
r
r
1r 2r
p?
h
p
A
r?
x o
pv?
1v?
2v?
h
p
）（
-1
2
sm869
30c o s
60
2
5 0 0
3060
.v
又解：
2
c o sc o s
c o s
hv
v
h
v
p
p? o
x
pv?
h
A
v?
[例 4]一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时间的关系为求：（ 1）任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
（ 2）什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质点已转了几圈？
SI21 20 bttvs
解,由质点的速率
btvtsv 0dd
SI21 20 bttvs
22
4
0
2
2
4
022
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
加速度的大小为速度，法向加速度和切向加任意时刻
na
a?a?
Rb
btv
a
a
a
n
2
0a r c t ga r c t g
与切向轴的夹角为
b
v
t
bRbbtv
R
a
0
222
0
1
)2(
解得时间
，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
00
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
0
20
2
1
程为用角量表示质点运动方
P
s
R
o
P
s
R
o
Rb
v
n
42
2
0
转过的圈数为代入运动方程，将 bvt 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000
可得：
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述（续）
一,描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述二,质点运动的自然坐标描述自然坐标系,
原点固接于质点,沿质点运动轨道的切向和法向 为 坐标轴 。切向以质点前进方向为正，记做,
法向以曲线凹侧方向为正，记做 。
n?
A
B
n?
n?
（ 1） 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有正负之分。
o
p
n?s
1,在自然坐标中描述质点的运动
（ 2） 位置变化,s?
p?
s?（ 3） 速度,沿切线方向。
t
s
t
rv
d
d
d
d
dd tsvv
v?
A
B
Av
s?
Bv
速度的改变为：
nvvv
limlimlim n
000 t
v
t
v
t
v
a
ttt?
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
（ 4） 加速度：
A
B
Av
s?
Bv
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
第一项, tvtvtv
tt d
dl i m l i m
00
limlimlim n
000 t
v
t
v
t
va
ttt?
A
B
Av
s?
Bv
E
B
D
CAv?
Bv?
v
v
nv
v?
Av
v
第二项：
n
v
n
st
s
v
n
t
v
n
t
v
t
v
tt
2
d
d
d
d
d
d
l i m l i m
0
n
0
曲率半径曲率
s?
y
x
o
A
naan
v
t
va
2
d
d
tva dd?
切向加速度：
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
2
法向加速度：
描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
n?
a?
a?
na?
nvtvnaaa n
2
d
d
大小：
22
naaa
方向：
aa na r c t g?的夹角与?aa
总是指向曲线凹侧a?
讨论
dtddd vtv?
aa
n?
a?
a?
na?
Bv?
v
v?
Av?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
a
a
×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动小结：
恒恒
C
A
B
0v?
g?g?g?
sing?s i ng? 0
cosg?cosgg
cos
2
0
g
v
cos
2
0
g
v
g
v?220 co s
n?
n? n?
g?
g?g?
CA B
a?
a
na
练习 2,一物体做抛体运动,已知 讨论：?,v
0
1.角位置,?
O O'θ
s
参考方向
)t(P
R
三,圆周运动的角量描述线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲线为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，基本参量以旋转角度为基准，称为角量。
2.角位移
)tt(P
s?
单位：弧度（ rad）
逆时针为正
3.角速度平均角速度,
t?
角速度,
ttt d
dlim
0
O
R P v?
o?
rv
大小,Rrv s i n
方向,右手定则
r?
旋转方向角速度矢量
方向：右手螺旋法则垂直于运动平面,沿轴
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABAc o s
标积（点积）：
s i n BABA大小：
A?
B?
x
y
z
OkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
矢积（叉积）：
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
i? j?
k?
方向：右手定则，
垂直于（ ）平面BA,
BA
4,角加速度平均角加速度,
t?
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
5.角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
RsRs
n
O O'
R
θ
参考方向
)t(P
)tt(P
s
s?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
（ 1） t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
（ 2）若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,
该点的速度和加速度
)(tt SI343
练习 3
）（ -12 sr a d16423:s2t
）（ 2ra d1226 s?
解,（ 1） 由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d
43
d
d 2
)(tt SI343
2.043
2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
tra
ttra
ttDrv
n
（ 2）由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、
切向加速度和法向加速度
)(..a
)(.a
)(.)(.vt
n
22
2
1
sm892043
sm21
sm414320s1
时，
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与此时总加速度的大小为
4 5 6r a d8
:1
34
1
3
t
tt
v?
a?
a?
na
o
P
质点 P位置如图所示四,刚体的运动
1,基本形式平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，
叫做刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
平面运动
圆周运动圆心：转轴与转动平面的交点定轴转动刚体上各质点的运动：
其运动平面
－ 转动平面
转动平面垂直于转轴各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
离转轴距离不同的点圆周运动的角量相同，线量不同。
转动平面
O
v?
r?
R
v
* 简化为研究 转动平面 内的 运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量
如何简化？
注意：
对于刚体定轴转动，
角速度的方向只有两个,只需在轴上选定正方向，用角速度的 正、负 就可表示其方向，不必用矢量表示。
0
0
+
_
练习 4
一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速转动，
设某时刻刚体上某点 P 的位矢为：
该时刻 P点的速度为：
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P
该时刻 P点的速度为：
543
200
kji
rv
)scm(8.181.25 -1 jiv 正确答案,2
定量计算：
1sr a d2 k
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv?
Pr?
cmk5j4i3r P
§ 3.4 运动学的两类基本问题（习题课）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
00
00
0
0
时时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
,)t(a,v)t(r ;
第一类问题
[例 1]已知粒子运动方程 ( S I )593 23 tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
d
d
t
xa,
t
xv,x,xa,v,r,r
x
o P v?
2.该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
ta
ttv
tttx
-1
-6
21 3
-12
o
st
-1sm?v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-2sm?a
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
0
t
:v
31
0
t
:v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-1sm?v
-1
-6
21 3
-12
o
st
-2sm?a 何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
t < -1,粒子向 + x 减速运动
-1 < t <3,粒子向 - x 运动；
-1 < t <1,加速,1 < t <3,减速
t > 3,粒子向 + x 加速运动
66963593 223 ta,ttv,tttx
转折性时刻
120223
01261
6950
333
111
000
avx:t
avx:t
avx:t
o
0?t
5
0v
0a
-6
1?t
mv
01?a
3?t
-220?v
a
)(x m
返回加速运动3?t
重要性,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动均可以归结为直线运动处理。
[例 2] 已知,( S I )5155 2 j)tt(itr
1.质点做什么运动？
2.找一个实例平面曲线运动
jaj)t(iv 1010155
jiv,r:t 15500 00
质点从原点出发，初速度为
0v?
合运动：斜抛运动为竖直上抛运动gatvy yy 101015:
匀速直线运动0,5, xx avx
3.求抛射角、轨道方程、射程、射高
27a r c t g 3a r c t g
0
0
x
y
v
v?
抛射角：
jiv 1550
53
2x
xy
2515
5
tty
tx
轨道方程：
o X
y
x
Y
2/X
0v?
）（ m150 Xy
射程：
）（）（ m25.11m5.7 Yx
射高：
4.求a?a:t
n时s1
ja
j)t(iv?
10
10155
jirt
jttitr
105:1
)515(5 2
o
1a?
1na?
1?a?
15
my
mx
10
5
1v?
2222 10155 tvvv yx
10124
3210
d
d
2
tt
)t(
t
va
）（）（ -11-21 sm25sm1725:1 v,.at?
o
1a?
1na?
1?a?
15
my
mx
10
5
1v?
）（
）（）（
2-
1
-1
1
-2
1
sm10
sm25sm1.725:1
a
vat?
）（
）（
m1.725
sm1.725
1
2
1
1
-22
1
2
11
n
n
a
v
aaa
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
[例 3]距海岸（视为直线） h=500米处有一艘静止的船 A，
船上的探照灯以每分钟 1转的转速旋转，当光束与岸边成 时，光点沿岸边移动速度多大？60
解,首先建立 P 的运动方程 x(t)
22 c o sd
d
c o sd
d
tg
h
t
h
t
x
v
hx
）（
-1
2
sm869
30c o s
60
2
5 0 0
3060
.v
P
pv?
h
A
x o
讨论
hvvhv p c o sc o s
下面解法错在哪里？
p? o
x
pv
h
A
v?
21
2
0
1
00
limlimlim vvtrtrtrv
tttp
v?
o
A
x
r?
r
r
1r 2r
p?
h
p
A
r?
x o
pv?
1v?
2v?
h
p
）（
-1
2
sm869
30c o s
60
2
5 0 0
3060
.v
又解：
2
c o sc o s
c o s
hv
v
h
v
p
p? o
x
pv?
h
A
v?
[例 4]一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时间的关系为求：（ 1）任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
（ 2）什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质点已转了几圈？
SI21 20 bttvs
解,由质点的速率
btvtsv 0dd
SI21 20 bttvs
22
4
0
2
2
4
022
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
加速度的大小为速度，法向加速度和切向加任意时刻
na
a?a?
Rb
btv
a
a
a
n
2
0a r c t ga r c t g
与切向轴的夹角为
b
v
t
bRbbtv
R
a
0
222
0
1
)2(
解得时间
，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
00
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
0
20
2
1
程为用角量表示质点运动方
P
s
R
o
P
s
R
o
Rb
v
n
42
2
0
转过的圈数为代入运动方程，将 bvt 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000
可得：
