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本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第五章 角动量 角动量守恒定律
§ 5.2 角动量的时间变化率 (续 )
一,质点角动量的时间变化率二,力矩三,质点系角动量的时间变化率四,刚体定轴转动定律
t
LM
d
d
外 t
LM z
z d
d?
对定轴由?JL
z?
JtJJttLM zz dd)(dddd
得刚体定轴转动定律比较：
JM
amF
z
－矢量式
－标量式
JM
amF
z
地位相同刚体定轴转动问题平动问题
J 是物体转动惯性的量度。
是物体平动惯性的量度。
改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因
m
F?
zM
[例 ] 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，
求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
1m 2m
r
已知,0
021,r,m,m,m
求,t
思路：
质点平动与 刚体定轴转动关联问题，
隔离法，分别列方程，
先求角加速度再
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。
m,m,m 21
1T
1a?
gm1
2a?
2T
gm2
TT?aa 2121思考：
2m
1m
r
m
× 因为滑轮加速转动
)1(amTgmm 11111向下为正:
)2(amgmTm 22222向上为正:
r
+
1T
2T
N
mg
O
四个未知数：
三个方程？
,T,T,aaa 2121
以顺时针方向为正方向绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：
)(ra 4
解得：
rmmm
gmm
2
1
21
21
rmmm
gtmmt
2
1
21
21
0
：滑轮 m
)3(mr21JrTrT 221
如图示，两物体质量分别为 和,滑轮质量为,半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系数为,求 下落的加速度和两段绳中的张力。
1m
m
2m
r 2m
1m
练习：
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取,和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
1m 2m
2m
2T
a
gm2
gm2?
N
1m
1T
agm
1
o
1T
2T
xN
yN
向里 +
列方程如下：
ra
mrr)TT(
amgmT
amTgm
2
21
222
111
2
1
可求解
[例 ] 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。
解,在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设绳两端坐标分别为 x1,x2，
滑轮半径为 r 有：
rxx
BBABAAl
21
,xlmm,xlmm BBAA 21
rlmm AB 21
xxs
o
x1
x2
s
MA B
A?
B?
r
x
m
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）
o
x1
x2
s
MA B
A?
B?
r
x
m
CA CB T1
J T2
r,C
A
T1
mAg
.CB
T2
mBg
M
BA o
amTgm A1A
amgmT BB2
J βrTrT 21
2AB2ABM rmMr21JJJ
o
x1
x2
s
MA B
A?
B?
r
x
m
CA CB
解得：
l)Mm(
m g s
a
2
1?
ra?又：
21 xxs
§ 5.3 角动量定理一、角动量定理的微分形式
1.质点
MFrtL
dd由,tML dd得：
2.质点系外＝由,Mt
L
d
d tML dd
外得：
tJJM d
d
轴由：
tMJ dd 轴得,
3.定轴刚体二、角动量定理的积分形式积分形式
（有限时间过程 ）
微分形式质点质点系定轴刚体瞬时效应
t
LM
d
d
t
LM
d
d
外
JM?轴 tMJ dd 轴
tML dd
tML dd 外
J
JtM
t
t
2
1
2
1
dd轴
LLtM L
L
t
t
2
1
2
1
dd
LLtM LLtt
2
1
2
1
dd外注意,
1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义：
2
1
d
t
t
tM?
效果,改变角动量
p?
一定时间过程的变化量与 对应?2
1
d
t
t
tF?
时间变化率与 对应F?
2,比较：
L?
一定时间过程的变化量与 对应
2
1
d
t
t
tM?
时间变化率与 对应M?
3,同一式中,等角量要对同一参考点或同一轴计算。
,J,L,M
三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时：
在重力矩 作用下，
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，
即倒地。
0?L?
gmrc
（ 2）当陀螺自转，即 时：0?L?
由于重力矩,将不改变 的大小，
只改变 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转 — 旋进
L?Lgmrc
L?
LL dLgmrM c tLM dd
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 —— 旋进
)(L MtL LtΩ s i nds i nddd
旋进角速度：
L?
cr?
gm?
L?
L?d
d
tΩ d
d
L
2.车轮的旋进 （演示）
o
L?
L M
L?d
Ω
o
讨论：
改变 的方向，旋进方向是否改变？
改变配重,对旋进有什么影响？
用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？
G
3.回转仪实验：
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O 旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应 。
4、炮弹的旋进（录像）
c
r?
v?
f?
gm?
5、旋进现象在自然界广泛存在：
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；
…...
录象：
1-2-9 ② 角动量定理 6分钟
1-2-9 ③ 角动量守恒 10分钟
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第五章 角动量 角动量守恒定律
§ 5.2 角动量的时间变化率 (续 )
一,质点角动量的时间变化率二,力矩三,质点系角动量的时间变化率四,刚体定轴转动定律
t
LM
d
d
外 t
LM z
z d
d?
对定轴由?JL
z?
JtJJttLM zz dd)(dddd
得刚体定轴转动定律比较：
JM
amF
z
－矢量式
－标量式
JM
amF
z
地位相同刚体定轴转动问题平动问题
J 是物体转动惯性的量度。
是物体平动惯性的量度。
改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因
m
F?
zM
[例 ] 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，
求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
1m 2m
r
已知,0
021,r,m,m,m
求,t
思路：
质点平动与 刚体定轴转动关联问题，
隔离法，分别列方程，
先求角加速度再
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。
m,m,m 21
1T
1a?
gm1
2a?
2T
gm2
TT?aa 2121思考：
2m
1m
r
m
× 因为滑轮加速转动
)1(amTgmm 11111向下为正:
)2(amgmTm 22222向上为正:
r
+
1T
2T
N
mg
O
四个未知数：
三个方程？
,T,T,aaa 2121
以顺时针方向为正方向绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：
)(ra 4
解得：
rmmm
gmm
2
1
21
21
rmmm
gtmmt
2
1
21
21
0
：滑轮 m
)3(mr21JrTrT 221
如图示，两物体质量分别为 和,滑轮质量为,半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系数为,求 下落的加速度和两段绳中的张力。
1m
m
2m
r 2m
1m
练习：
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取,和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
1m 2m
2m
2T
a
gm2
gm2?
N
1m
1T
agm
1
o
1T
2T
xN
yN
向里 +
列方程如下：
ra
mrr)TT(
amgmT
amTgm
2
21
222
111
2
1
可求解
[例 ] 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。
解,在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设绳两端坐标分别为 x1,x2，
滑轮半径为 r 有：
rxx
BBABAAl
21
,xlmm,xlmm BBAA 21
rlmm AB 21
xxs
o
x1
x2
s
MA B
A?
B?
r
x
m
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）
o
x1
x2
s
MA B
A?
B?
r
x
m
CA CB T1
J T2
r,C
A
T1
mAg
.CB
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M
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J βrTrT 21
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A?
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m
CA CB
解得：
l)Mm(
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2
1?
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21 xxs
§ 5.3 角动量定理一、角动量定理的微分形式
1.质点
MFrtL
dd由,tML dd得：
2.质点系外＝由,Mt
L
d
d tML dd
外得：
tJJM d
d
轴由：
tMJ dd 轴得,
3.定轴刚体二、角动量定理的积分形式积分形式
（有限时间过程 ）
微分形式质点质点系定轴刚体瞬时效应
t
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2
1
dd外注意,
1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义：
2
1
d
t
t
tM?
效果,改变角动量
p?
一定时间过程的变化量与 对应?2
1
d
t
t
tF?
时间变化率与 对应F?
2,比较：
L?
一定时间过程的变化量与 对应
2
1
d
t
t
tM?
时间变化率与 对应M?
3,同一式中,等角量要对同一参考点或同一轴计算。
,J,L,M
三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时：
在重力矩 作用下，
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，
即倒地。
0?L?
gmrc
（ 2）当陀螺自转，即 时：0?L?
由于重力矩,将不改变 的大小，
只改变 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转 — 旋进
L?Lgmrc
L?
LL dLgmrM c tLM dd
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 —— 旋进
)(L MtL LtΩ s i nds i nddd
旋进角速度：
L?
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gm?
L?
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d
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L
2.车轮的旋进 （演示）
o
L?
L M
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Ω
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讨论：
改变 的方向，旋进方向是否改变？
改变配重,对旋进有什么影响？
用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？
G
3.回转仪实验：
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O 旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应 。
4、炮弹的旋进（录像）
c
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v?
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gm?
5、旋进现象在自然界广泛存在：
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；
…...
录象：
1-2-9 ② 角动量定理 6分钟
1-2-9 ③ 角动量守恒 10分钟
