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本章共 5讲第二篇 实物的运动规律第八章 相对论
§ 8.4 狭义相对论动力学基础一,改造经典力学的两条原则改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式,
1.狭义相对性原理（对称性思想）的要求
2.对应原理的要求新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确的旧理论，并在极限条件下过渡到旧理论。
即：
相对论力学定律 经典力学定律cu
相对论力学量 经典力学量cu
思路,重新定义质量、动量、能量，使相应的守恒定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关。
静系中,动系中：0m )u(m
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
x
x
s
u
s
xv
A
A
B
B
固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
s?
xv?
A
A B
B
x?
x?
x
x
s
u
s
xv
A
A
B
B
固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
s?
xv?
A
A B
B
x?
x?
在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。
)v(M)u(mm x0
xx v)v(Mu)u(m?
)u(mm
u)u(mv
x
0
解得：
)v(M)u(mm x0
xx v)v(Mu)u(m
)u(mm
u)u(mv
x
0
0
2
2
0
1
m
c
u
m
)u(m
得质速关系：
0m)u(m?
cu满足对应原理要求
)u(mm
u)u(mv
x
0;)u(mm u)u(mv x
0
代入洛仑兹速度变换：
21 c
uv
uvv
x
x
x
将
cu
m
0m
o 1.0 c
u
e
mF
A
1s
2s
eF
x
B? 0s
0B
u?
R
实验验证（质谱仪）：
测高速电子的荷质比由经典理论：
常数
BR
u
m
e
R
mu
e u B
2
m
e
u
m
e
c
u
m
e
m
e
时：当
0
2
2
0
1
由相对论理论：
考夫曼实验结果：电子质量随速度变化现代实验中，电子可以被加速到与光速之差只有
300亿分之一，相应,质速关系仍与实验相符。 0
4104 mm e
练习,?,sm10skm100
0151 mmv
如果物体以小于一百多 km/s速率运动，其质量在 10－ 6
的精度内不变。
0 0 0 0 0 0 0 5 6.1109101111 161022
0
cvmm?
虽然在低速下是一个非常小的效应，但要求我们的观念发生深刻的变化。
物体质量并不恒定，它随速率增大而增大。
三,质能关系
)cucu(mm)cu(m)u(m 4
4
2
2
002
1
2
2
0 8
3
2
111?
将质速关系按幂级数展开，得两边同乘以 得
)cu(umcmmc 2
2
2
0
2
0
2
4
31
2
1
2c
2
0
2
0
cmmc
EEE k
相对论动能
cu
2021 umE k?
定义,2mcE?
200 cmE?
总能量静能量质能关系
2k 21 mvE?
2mcE?
202 cmmcE k
20cm
相对论质能关系曲线与经典关系的比较实验验证：
核嬗变,由参加反应各原子质量，反应前后能量损失计算出的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 cmcE
正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波长与实验值相符。
21 ee
质能关系的意义：
1）质量概念进一步深化相对论总能 包含了物体的全部能量（机械能、电磁能、原子能等），解决了经典物理未能解决的物体总能问题；
质量是约束能量的形式，是能量的载体。质量、能量不可分割，没有脱离质量的能量，也没有无能量的质量。无论物质如何运动，二者只由常数 相联系。
E
2c
2）质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立，在相对论中二者关联，平行进行。在孤立系统内，
静质量 动质量静能 动能总质量、总能量不变
3）质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE 2
裂变：重核分裂为中等质量的核聚变：轻核聚合为中等质量的核质量亏损，释放结合能应用：原子弹、氢弹、
核电站 ……
安全、清洁、经济的能源。
法 国,76％； 立陶宛,73％； 比利时,58％；
保加利亚,47％； 韩 国,43％； 日 本,36％；
德 国,30％ 美 国,20％； 中 国：～ 10％
煤电成本 /核电成本：
法国,1.75； 德国,1.64； 意大利,1.57；
日本,1.51； 韩国,1.7…
100万千瓦容量机组使附近居民受到的辐射量比较：
煤电,0.05毫希 /年；核电,0.02毫希 /年,
2003年止,全世界运行核电机组,438台；
总装机容量,3.5亿千瓦；
占发电量,16％
小资料秦山第二核电站鸟瞰我国核电站：大亚湾，秦山一期、二期、三期，
岭澳 … 正建设先进的高温气冷堆示范电站对人本身及其命运的关心，必须永远成为一切技术努力的主要兴趣所在 …… 以使我们心灵的创造成为人类的幸事而不是灾祸。绝对不要迷失在你的图形和方程式中。
－－－爱因斯坦广岛,1945年 8月四、能量与动量的关系
1.相对论动量 vmv)v(mp
0
满足对应原理。vmpcv 01
2.能量与动量的关系由
2mcE?
vmp 消去 得m
2
2
4
2
2
pEcvpEcv
于是
2
2
2
2
0
2
2
0
11 p
E
c
cm
)
c
v(
cmE
420222 cmcpE
E
20cm
pc
420222 cmcpE
当 时cv讨论：
2
0k
0k
0k
00
2
0
222
2
1
cmE
EE
)EE(E
)EE)(EE(
EEpc
0
2
k 2 m
pE?
满足对应原理五,相对论动力学基本方程从相对论角度审视经典力学的基本定律：
1.惯性定律保持不变，在相对论中成立。
2.牛顿第二定律
)vm(ttpF?
0d
d
d
d 相对论动力学基本方程得：
vmvmp 0由但动量与速度 v 的关系，不再是线性关系。
当 v << c 时，相对论动量与经典动量一致。
讨论：
t
mv
t
vm
t
vm
t
pF
d
d
d
d
d
)(d
d
d
（ 1）力既可以改变物体的速度，也可改变物体的质量；
（ 2）力与加速度 的方向一般不会相同；
t
v
d
d?
amtvmFcv?
00 d
d1)3(
满足对应原理，回到牛顿第二定律。
x
x
x
v
c
u
vF
c
u
F
F
2
2
1
)vcu(
FF
x
y
y
21?
)vcu(
FF
x
z
z
21?
第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式：
3.确立“场”的实在地位，牛顿第三定律失去意义。
牛顿第三定律建立在超距作用和绝对时空观基础之上，而相对论认为场是传递相互作用的媒介，是物质存在的形式：牛顿第三定律被动量守恒定律取代。
粒子 粒子场小结：相对论动力学的三个主要关系
0220 1 mcum)u(m
质速关系：
能量与动量的关系,420222 cmcpE
质能关系：
2020 cmmcEEE k动能
mcE 2
200 cmE?
总能静能
2mcE?
练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1.光子的能量 2mchE
2.光子的质量
2
2
0 1 c
umm由 可知才能为有限值，只有时当 mmcu 0,0
一切以光速运动的微观粒子，其静止质量必为零。
即：光子在任何参考系中均以光速运动，找不到与光子相对静止的参考系。
c
h
c
h
c
Em
22光子光子的质量：
又由 0;
0420222 mcmcpE
可知
h
c
h
c
Ep
光子
3.光子的动量太阳辐射能流,-23 mW1036.1
产生光压：
-26 mN105.4
例如问题,合成粒子的静止质量是 吗？04m
一个静质量为 的粒子，以 的速率运动，
并与静质量为 的静止粒子发生对心碰撞以后粘在一起，求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
v=0.8c
3m0m（ v） M（ u） u＝？
思路,动量守恒能量守恒
M（ u）＝？
u＝？
M0＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？ －－总能守恒由于 60
801
1
0
2
0
2
2,
m
.
m
c
v
m
m o?
代入（ 2）式得
0
0
0 3
14
603 m.
mmM
解,设合成粒子的运动质量为 M,速率为 u,
由动量守恒和能量守恒：
)(Mcmccm
)(Mumv
23
1
222
0
再代入（ 1）式得 c
m
c.
.
m
M
mv
u
7
2
3
14
80
60
0
0
又由
2
2
1
c
u
M
M o
得
0
2
02
2
0 4747
21
3
141 m.m
c
uMM
解,（ 1）由题意
2
1
1
20
0
0
)
c
v(vm
vm
p
p
可得,c.cv 86 60
2
3
在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论动量的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其非相对论动能的两倍？
练习 3
（ 2）由题意
2
2
1
2
1
0
0
2
0
2
0
m
m
vm
mv
E
E
k
k
可得,c.cv 86 60
2
3
对不对？
不对！
2
0
2
0
2
2
1 vmcmmcE
k
（ 2）由题意
2
2
1
1
2
1 2
0
2
0
2
0
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0
2
0
vm
cm)(
vm
cmmc
E
E
k
k?
于是 2
2
2
1
1
1
c
v
)
c
v
(
得 c.cv 7860
2
15
解：
由题意
M e V0020202,cmmcE
可得
1405 1 10 205 1 102
0
2
0
2
0
2
0
...cm Ecmcmmcmm
已知,一个电子的静能为,经同步加速器加速后，能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M eV5110,
M eV0020,
练习 4
观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒，棒沿运动方向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。
练习 5
解,棒相对于甲静止，甲测定的密度为：
LS
m
棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m'，
长度为 L'，截面积为 S'，有：
SSLcvL
cv
mm
,1,
1
22
22
乙测定的密度为,
2
1
LS
m
SL
m
78.29258.01 1 22
本章共 5讲第二篇 实物的运动规律第八章 相对论
§ 8.4 狭义相对论动力学基础一,改造经典力学的两条原则改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式,
1.狭义相对性原理（对称性思想）的要求
2.对应原理的要求新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确的旧理论，并在极限条件下过渡到旧理论。
即：
相对论力学定律 经典力学定律cu
相对论力学量 经典力学量cu
思路,重新定义质量、动量、能量，使相应的守恒定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关。
静系中,动系中：0m )u(m
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
x
x
s
u
s
xv
A
A
B
B
固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
s?
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A
A B
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x?
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x
x
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A
A
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固结于粒子 B的 S 系 固结于粒子 A的 S ' 系
s?
u?
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xv?
A
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x?
x?
在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。
)v(M)u(mm x0
xx v)v(Mu)u(m?
)u(mm
u)u(mv
x
0
解得：
)v(M)u(mm x0
xx v)v(Mu)u(m
)u(mm
u)u(mv
x
0
0
2
2
0
1
m
c
u
m
)u(m
得质速关系：
0m)u(m?
cu满足对应原理要求
)u(mm
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x
0;)u(mm u)u(mv x
0
代入洛仑兹速度变换：
21 c
uv
uvv
x
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x
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cu
m
0m
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mF
A
1s
2s
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0B
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R
实验验证（质谱仪）：
测高速电子的荷质比由经典理论：
常数
BR
u
m
e
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mu
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2
m
e
u
m
e
c
u
m
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时：当
0
2
2
0
1
由相对论理论：
考夫曼实验结果：电子质量随速度变化现代实验中，电子可以被加速到与光速之差只有
300亿分之一，相应,质速关系仍与实验相符。 0
4104 mm e
练习,?,sm10skm100
0151 mmv
如果物体以小于一百多 km/s速率运动，其质量在 10－ 6
的精度内不变。
0 0 0 0 0 0 0 5 6.1109101111 161022
0
cvmm?
虽然在低速下是一个非常小的效应，但要求我们的观念发生深刻的变化。
物体质量并不恒定，它随速率增大而增大。
三,质能关系
)cucu(mm)cu(m)u(m 4
4
2
2
002
1
2
2
0 8
3
2
111?
将质速关系按幂级数展开，得两边同乘以 得
)cu(umcmmc 2
2
2
0
2
0
2
4
31
2
1
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cmmc
EEE k
相对论动能
cu
2021 umE k?
定义,2mcE?
200 cmE?
总能量静能量质能关系
2k 21 mvE?
2mcE?
202 cmmcE k
20cm
相对论质能关系曲线与经典关系的比较实验验证：
核嬗变,由参加反应各原子质量，反应前后能量损失计算出的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 cmcE
正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波长与实验值相符。
21 ee
质能关系的意义：
1）质量概念进一步深化相对论总能 包含了物体的全部能量（机械能、电磁能、原子能等），解决了经典物理未能解决的物体总能问题；
质量是约束能量的形式，是能量的载体。质量、能量不可分割，没有脱离质量的能量，也没有无能量的质量。无论物质如何运动，二者只由常数 相联系。
E
2c
2）质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立，在相对论中二者关联，平行进行。在孤立系统内，
静质量 动质量静能 动能总质量、总能量不变
3）质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE 2
裂变：重核分裂为中等质量的核聚变：轻核聚合为中等质量的核质量亏损，释放结合能应用：原子弹、氢弹、
核电站 ……
安全、清洁、经济的能源。
法 国,76％； 立陶宛,73％； 比利时,58％；
保加利亚,47％； 韩 国,43％； 日 本,36％；
德 国,30％ 美 国,20％； 中 国：～ 10％
煤电成本 /核电成本：
法国,1.75； 德国,1.64； 意大利,1.57；
日本,1.51； 韩国,1.7…
100万千瓦容量机组使附近居民受到的辐射量比较：
煤电,0.05毫希 /年；核电,0.02毫希 /年,
2003年止,全世界运行核电机组,438台；
总装机容量,3.5亿千瓦；
占发电量,16％
小资料秦山第二核电站鸟瞰我国核电站：大亚湾，秦山一期、二期、三期，
岭澳 … 正建设先进的高温气冷堆示范电站对人本身及其命运的关心，必须永远成为一切技术努力的主要兴趣所在 …… 以使我们心灵的创造成为人类的幸事而不是灾祸。绝对不要迷失在你的图形和方程式中。
－－－爱因斯坦广岛,1945年 8月四、能量与动量的关系
1.相对论动量 vmv)v(mp
0
满足对应原理。vmpcv 01
2.能量与动量的关系由
2mcE?
vmp 消去 得m
2
2
4
2
2
pEcvpEcv
于是
2
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420222 cmcpE
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20cm
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当 时cv讨论：
2
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1
cmE
EE
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0
2
k 2 m
pE?
满足对应原理五,相对论动力学基本方程从相对论角度审视经典力学的基本定律：
1.惯性定律保持不变，在相对论中成立。
2.牛顿第二定律
)vm(ttpF?
0d
d
d
d 相对论动力学基本方程得：
vmvmp 0由但动量与速度 v 的关系，不再是线性关系。
当 v << c 时，相对论动量与经典动量一致。
讨论：
t
mv
t
vm
t
vm
t
pF
d
d
d
d
d
)(d
d
d
（ 1）力既可以改变物体的速度，也可改变物体的质量；
（ 2）力与加速度 的方向一般不会相同；
t
v
d
d?
amtvmFcv?
00 d
d1)3(
满足对应原理，回到牛顿第二定律。
x
x
x
v
c
u
vF
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F
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2
2
1
)vcu(
FF
x
y
y
21?
)vcu(
FF
x
z
z
21?
第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式：
3.确立“场”的实在地位，牛顿第三定律失去意义。
牛顿第三定律建立在超距作用和绝对时空观基础之上，而相对论认为场是传递相互作用的媒介，是物质存在的形式：牛顿第三定律被动量守恒定律取代。
粒子 粒子场小结：相对论动力学的三个主要关系
0220 1 mcum)u(m
质速关系：
能量与动量的关系,420222 cmcpE
质能关系：
2020 cmmcEEE k动能
mcE 2
200 cmE?
总能静能
2mcE?
练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1.光子的能量 2mchE
2.光子的质量
2
2
0 1 c
umm由 可知才能为有限值，只有时当 mmcu 0,0
一切以光速运动的微观粒子，其静止质量必为零。
即：光子在任何参考系中均以光速运动，找不到与光子相对静止的参考系。
c
h
c
h
c
Em
22光子光子的质量：
又由 0;
0420222 mcmcpE
可知
h
c
h
c
Ep
光子
3.光子的动量太阳辐射能流,-23 mW1036.1
产生光压：
-26 mN105.4
例如问题,合成粒子的静止质量是 吗？04m
一个静质量为 的粒子，以 的速率运动，
并与静质量为 的静止粒子发生对心碰撞以后粘在一起，求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
v=0.8c
3m0m（ v） M（ u） u＝？
思路,动量守恒能量守恒
M（ u）＝？
u＝？
M0＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？ －－总能守恒由于 60
801
1
0
2
0
2
2,
m
.
m
c
v
m
m o?
代入（ 2）式得
0
0
0 3
14
603 m.
mmM
解,设合成粒子的运动质量为 M,速率为 u,
由动量守恒和能量守恒：
)(Mcmccm
)(Mumv
23
1
222
0
再代入（ 1）式得 c
m
c.
.
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7
2
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又由
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0
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解,（ 1）由题意
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可得,c.cv 86 60
2
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在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论动量的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其非相对论动能的两倍？
练习 3
（ 2）由题意
2
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1
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1
0
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0
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（ 2）由题意
2
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k
k?
于是 2
2
2
1
1
1
c
v
)
c
v
(
得 c.cv 7860
2
15
解：
由题意
M e V0020202,cmmcE
可得
1405 1 10 205 1 102
0
2
0
2
0
2
0
...cm Ecmcmmcmm
已知,一个电子的静能为,经同步加速器加速后，能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M eV5110,
M eV0020,
练习 4
观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒，棒沿运动方向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。
练习 5
解,棒相对于甲静止，甲测定的密度为：
LS
m
棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m'，
长度为 L'，截面积为 S'，有：
SSLcvL
cv
mm
,1,
1
22
22
乙测定的密度为,
2
1
LS
m
SL
m
78.29258.01 1 22
