?
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场习题课,的计算UE,?
(1) 由定义求
(3) 由高斯定理求
(2) 由点电荷 (或典型电荷分布 ) 公式和叠加原理求E?
(4) 由 与 的关系求UE?
一,的计算E?
典型静电场：
点电荷：
均匀带电圆环轴线上：
无限长均匀带电直线：
均匀带电球面：
无限大均匀带电平面：
3
04 r
rqE
232204
1
)xR(
iqxE
带电直线） ( 2
0 r
E
3
04
,0 rrqEE
外内带电平面） ( 2
0?
E
EEq dd
思路：叠加法练习 1,求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
s in0?
y
xR o 解,1）
沿径向;
4
d
d
dd
2
0 R
q
E
Rq
d
E?d
qd
RREEE xx 00 0 24
ds i ns i ndd
R
iE
o
02
0d yy EE
用分量叠加，
如图，由对称性：?
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
解,2）
沿径向;
4
dd
dd
2
0 R
qE
Rq
对称性分析与 1）有何不同？
R
jE
o
02
RREEE
/
yy
0
2
0 0
2
0 24
dc o s2c o sd2d
0d xx EE
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
解,3） 有无对称性？
0d yy EE
R
i
RiEiE x 00 0
2
0
84
ds i nd
沿径向;
4
d
d
dd
s i n
2
0
0
R
q
E
Rq
)-s i n (s i n
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
存在如图所示的对称性练习 2,求均匀带电半球面 (已知 R,?)球心处电场,
x
R
o
y 思考,〈 1〉 用哪种方法求解?
叠加法, EEq ddd
〈 2〉 是否一定取点电荷？q?d
将半球面视为由许多圆环拼成,
x
R
o
y
E?d y?
dl
哪一个正确？
xySq d2dd
dc o s2d2d RRlyq
(3) 的大小，方向？E?d
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？Ed
x
R
o
y
E?d y?
dl
00 0
0 4d2
s i nc o sd 2
EE
沿 方向 。x?
因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。E?d
d
2
s i nc os
4
ds i n
4
d
d
0
3
0
22
0
2
3
R
qR
)xy(
qx
E
其方向取决于 的符号，若,则 沿－ x 。 0 E?d
思考：
〈 1〉 选用哪种方法求解更方便？
练习 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数,）带电球体内外的场强,k
rk
Rr?
未破坏电场分布的球对称性,用高斯定理求解方便,
rk
〈 2〉 选高斯面？
R
o
s rESE 24d
同心球面 S (半径 r )r Ro
S
r
S
？对否内
3
4 3r
r
kVq
)3( 内q
:Rr? 22
0 0
2d4d kRrrrkVq
R R
内
:Rr? 22
0 0
2d4d krrrrkVq
r r
内
rrrkVq d4dd 2
rr
d
Ro
S
r?
<4> 电场强度的大小，方向？
由高斯定理：
1d
0
内qSEs
14
0
2
内qrE
rr
d
Ro
S
r?
得：
0
2
0
2
24
2
k
r
krE
内
2
0
2
2
0
2
24
2
r
kR
r
kRE
外沿径向 o R r
E
02?
k
2
1
r?
练习 4,在半径 R1,体电荷密度?的均匀带电球体内挖去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心
o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
1o
1R
2oa?
2R
P挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强：
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
1r?
1E?2E?
2r?
所求场强 21 EEE P
而,均可由高斯定理求出,1E? 2E?
(2) 作高斯面 求21,SS 21,EE
0
1
1 3?
rE
3
1
0
2
11 3
414 rrE
3
2
0
2
22 3
414 rrE
0
2
2 3?
rE
0
21
0
21 33?
a)rr(EEE
P
腔内为平行于的均匀电场！
aoo21
1o
1R
2oa?
E?
2R
1o
1R
2oa? 2R
P
1s
2s
1r?
1E?2E
2r?
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
0?
E
……
1o
1R
2oa?
E?
2R
02?
EE?
分析,场源电荷分布具有面对称性，可视为由许多无限大带电平面组成，能够用高斯定理求解。
在 x<0,x>b 区域，为均匀电场,EP1＝ EP2＝ E外,二者方向沿 x轴,指向相反。
在 0<x<b 区域，电场强度与 x 相关。
练习 5,厚度为 b的无限大带电平板，电荷面密度分布如图所示。
求：
0
xE
E
E
内外
xo b
kx
PP1 P2
作高斯面 S1
d 内qSE
s 1 0
1
得：
0
2
4?
kbE?
外
bxikbE
xi
kb
E
P
P
0
2
2
0
2
1
4
0
4
1 2s SESE 外 d
xo b
kx
PP1 P2
s1
S?
外E?外E?
2
2
0
SkbxSkxVq b dd?
内
dx
作高斯面 S2
d 内qSE
s 2 0
1
2 )(s SEESE 内外 d
xo b
kx
PP1 P2S?
外E? 内E?
S2
2
2
0
SkxxSkxVq x dd?
内得：
bxibxkE
0
22
2
2
0
内
2
2,0 bxE 得：令：
内
零势点
a
a lEU
d1,场强积分法注意：
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径,
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同，
应分段积分,
E?E?
(3) 积分值与零势点选取有关,选取原则：
0?有限处U
电荷有限分布选电荷无限分布选
0U
二,U 的计算 (场强积分法,叠加法 )
2,叠加法思路, UUUq ddd
注意,应用典型带电体的电势公式选取相同的零势点,
典型带电体的电势：
点电荷：
均匀带电圆环轴线上：
均匀带电球面：
r
qU
04
2122
04 )xR(
qU
r
qU
04
外RqU
04
内练习 6,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。,)R(?
R
解,用场强积分法，
先由高斯定理求电场分布,
如何选高斯面？
高斯面
h
r
高斯面
h
r
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面为高斯面,
内qrhESEs
0
12d
hrqRr 2, 内
02?
rE?
内 径向
h
r
R
S
r
RE
0
2
2?
外 径向
hrqRr 2, 内令 r = 0 处 U= 0,沿径向积分
0 0
02
dd
r r
rrrEU
内内
0
0
2
0 4
d2
r
rrr
0
2
0
2
4ln2?
R
r
RR
R
r R
rErEU dd
0
内外外
0
00
2
2
d
2
d
R
R
r
rr
r
rR
rE ~ 曲线和 rU ~ 曲线 E
r1?r?
R ro
U
对数曲线
2r? R ro
练习 7,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求：
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P 点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?
q
P a
b
x
'P
y 解,叠加法将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d? 0U令
qd
r
8 dd
2122
0 )ax(L
xqUU L
LP?
a
LaL
L
q 22
0
ln4
(1)
r
qU
04
dd
8
d
2122
0 )ax(L
xq
)(8 dd
0
' xbL
xqUU L
LP?
Lb
Lb
L
q
ln
8 0
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
8
d
4
d
d
0
0
)xb(L
xq
)xb(
q
U
L? o L?
q
b
x
'P
y
qd
练习 8,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
静电场特性：
有源保守高斯定理环路定理
ba dc lElE 0dd
lEcdab d, 上
q
E?
作如图环路,abcd
a b
cd
,
,
大小不等而上路径相等又
E
bcda?
（电力线密度不同）
adcb lElE dd
L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
违反静电场环路定理,如图所示电场不是静电场。
自学：教材 P229 [例一 ]
q
E?
a b
cd
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场习题课,的计算UE,?
(1) 由定义求
(3) 由高斯定理求
(2) 由点电荷 (或典型电荷分布 ) 公式和叠加原理求E?
(4) 由 与 的关系求UE?
一,的计算E?
典型静电场：
点电荷：
均匀带电圆环轴线上：
无限长均匀带电直线：
均匀带电球面：
无限大均匀带电平面：
3
04 r
rqE
232204
1
)xR(
iqxE
带电直线） ( 2
0 r
E
3
04
,0 rrqEE
外内带电平面） ( 2
0?
E
EEq dd
思路：叠加法练习 1,求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
s in0?
y
xR o 解,1）
沿径向;
4
d
d
dd
2
0 R
q
E
Rq
d
E?d
qd
RREEE xx 00 0 24
ds i ns i ndd
R
iE
o
02
0d yy EE
用分量叠加，
如图，由对称性：?
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
解,2）
沿径向;
4
dd
dd
2
0 R
qE
Rq
对称性分析与 1）有何不同？
R
jE
o
02
RREEE
/
yy
0
2
0 0
2
0 24
dc o s2c o sd2d
0d xx EE
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
解,3） 有无对称性？
0d yy EE
R
i
RiEiE x 00 0
2
0
84
ds i nd
沿径向;
4
d
d
dd
s i n
2
0
0
R
q
E
Rq
)-s i n (s i n
y
xR o
d
E?d
qd
Ed
q?d
存在如图所示的对称性练习 2,求均匀带电半球面 (已知 R,?)球心处电场,
x
R
o
y 思考,〈 1〉 用哪种方法求解?
叠加法, EEq ddd
〈 2〉 是否一定取点电荷？q?d
将半球面视为由许多圆环拼成,
x
R
o
y
E?d y?
dl
哪一个正确？
xySq d2dd
dc o s2d2d RRlyq
(3) 的大小，方向？E?d
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？Ed
x
R
o
y
E?d y?
dl
00 0
0 4d2
s i nc o sd 2
EE
沿 方向 。x?
因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。E?d
d
2
s i nc os
4
ds i n
4
d
d
0
3
0
22
0
2
3
R
qR
)xy(
qx
E
其方向取决于 的符号，若,则 沿－ x 。 0 E?d
思考：
〈 1〉 选用哪种方法求解更方便？
练习 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数,）带电球体内外的场强,k
rk
Rr?
未破坏电场分布的球对称性,用高斯定理求解方便,
rk
〈 2〉 选高斯面？
R
o
s rESE 24d
同心球面 S (半径 r )r Ro
S
r
S
？对否内
3
4 3r
r
kVq
)3( 内q
:Rr? 22
0 0
2d4d kRrrrkVq
R R
内
:Rr? 22
0 0
2d4d krrrrkVq
r r
内
rrrkVq d4dd 2
rr
d
Ro
S
r?
<4> 电场强度的大小，方向？
由高斯定理：
1d
0
内qSEs
14
0
2
内qrE
rr
d
Ro
S
r?
得：
0
2
0
2
24
2
k
r
krE
内
2
0
2
2
0
2
24
2
r
kR
r
kRE
外沿径向 o R r
E
02?
k
2
1
r?
练习 4,在半径 R1,体电荷密度?的均匀带电球体内挖去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心
o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
1o
1R
2oa?
2R
P挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强：
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
1r?
1E?2E?
2r?
所求场强 21 EEE P
而,均可由高斯定理求出,1E? 2E?
(2) 作高斯面 求21,SS 21,EE
0
1
1 3?
rE
3
1
0
2
11 3
414 rrE
3
2
0
2
22 3
414 rrE
0
2
2 3?
rE
0
21
0
21 33?
a)rr(EEE
P
腔内为平行于的均匀电场！
aoo21
1o
1R
2oa?
E?
2R
1o
1R
2oa? 2R
P
1s
2s
1r?
1E?2E
2r?
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
0?
E
……
1o
1R
2oa?
E?
2R
02?
EE?
分析,场源电荷分布具有面对称性，可视为由许多无限大带电平面组成，能够用高斯定理求解。
在 x<0,x>b 区域，为均匀电场,EP1＝ EP2＝ E外,二者方向沿 x轴,指向相反。
在 0<x<b 区域，电场强度与 x 相关。
练习 5,厚度为 b的无限大带电平板，电荷面密度分布如图所示。
求：
0
xE
E
E
内外
xo b
kx
PP1 P2
作高斯面 S1
d 内qSE
s 1 0
1
得：
0
2
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kbE?
外
bxikbE
xi
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E
P
P
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2
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PP1 P2
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S?
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2
2
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作高斯面 S2
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s 2 0
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xo b
kx
PP1 P2S?
外E? 内E?
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2
2
0
SkxxSkxVq x dd?
内得：
bxibxkE
0
22
2
2
0
内
2
2,0 bxE 得：令：
内
零势点
a
a lEU
d1,场强积分法注意：
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径,
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同，
应分段积分,
E?E?
(3) 积分值与零势点选取有关,选取原则：
0?有限处U
电荷有限分布选电荷无限分布选
0U
二,U 的计算 (场强积分法,叠加法 )
2,叠加法思路, UUUq ddd
注意,应用典型带电体的电势公式选取相同的零势点,
典型带电体的电势：
点电荷：
均匀带电圆环轴线上：
均匀带电球面：
r
qU
04
2122
04 )xR(
qU
r
qU
04
外RqU
04
内练习 6,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。,)R(?
R
解,用场强积分法，
先由高斯定理求电场分布,
如何选高斯面？
高斯面
h
r
高斯面
h
r
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面为高斯面,
内qrhESEs
0
12d
hrqRr 2, 内
02?
rE?
内 径向
h
r
R
S
r
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0
2
2?
外 径向
hrqRr 2, 内令 r = 0 处 U= 0,沿径向积分
0 0
02
dd
r r
rrrEU
内内
0
0
2
0 4
d2
r
rrr
0
2
0
2
4ln2?
R
r
RR
R
r R
rErEU dd
0
内外外
0
00
2
2
d
2
d
R
R
r
rr
r
rR
rE ~ 曲线和 rU ~ 曲线 E
r1?r?
R ro
U
对数曲线
2r? R ro
练习 7,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求：
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P 点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?
q
P a
b
x
'P
y 解,叠加法将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d? 0U令
qd
r
8 dd
2122
0 )ax(L
xqUU L
LP?
a
LaL
L
q 22
0
ln4
(1)
r
qU
04
dd
8
d
2122
0 )ax(L
xq
)(8 dd
0
' xbL
xqUU L
LP?
Lb
Lb
L
q
ln
8 0
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
8
d
4
d
d
0
0
)xb(L
xq
)xb(
q
U
L? o L?
q
b
x
'P
y
qd
练习 8,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
静电场特性：
有源保守高斯定理环路定理
ba dc lElE 0dd
lEcdab d, 上
q
E?
作如图环路,abcd
a b
cd
,
,
大小不等而上路径相等又
E
bcda?
（电力线密度不同）
adcb lElE dd
L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
违反静电场环路定理,如图所示电场不是静电场。
自学：教材 P229 [例一 ]
q
E?
a b
cd
