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本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
0dS SB 无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE 保守场
dL lB？
环路定理比较静电场稳恒磁场一般方法：
用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。
一,磁场高斯定理
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。
B?
I
ro
L
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
二,稳恒磁场的安培环路定理
1.导出,可由毕 — 沙定律出发严格推证采用,以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场 （从特殊到一般）
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定 与 L 绕向成右旋关系与 L 绕向成左旋关系 0?I
0?I
统一为：
IlBL 0d
若电流反向：
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
0
d
2
c o sd
2
d
B?
I
ro
L
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
IIrrIlBlB LLL 02000 d2d2dc o sd
B?
d
l?d
r?
L
I
I0若电流反向，则为
Bd
l?dr?
L
I Ⅹ
如果规定 与 L绕向成右旋关系,反之0?I 0?I
统一为：
IlBL 0d
3）闭合路径不包围电流
0)(
2
)dd(
2
ddd
0
0
21
21
I
I
lBlBlB
LL
LLL
1L
2L
I
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献。
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B? lB
L
d
B?LL
lBL d
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
0d
dd
)dd(d
//
//
//
L
LL
LL
lB
lBlB
llBlB
0cos
)(0
)(0
LI
LII
不穿过穿过?
I
L
o
o? L?
l?d
l?d
//l?d
//l?d
)L(
i
L
n
LL
n
LL
I
lBlBlB
l)BBB(lB
穿过
0
21
21
ddd
dd
5）空间存在多个长直电流时由磁场叠加原理
nBBBB
21
1I
L
3I
2I
4I
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理
)(
0d
L
iL IlB
穿过
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真空磁导率的乘积,
B? L
成立条件：稳恒电流的磁场场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）:L
环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过,
不穿过 的所有电流的贡献）L
:B? L
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和,
,
)(
L i
I
穿过
)(
0d
L
iL IlB
穿过
L
21
)(
2 III
L
i
穿过例如：
规定,0?iI
0?iI
与 L 绕向成右旋关系与 L 绕向成左旋关系
)(
0d
L
iL IlB
穿过
注意：
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
的环流：只与穿过环路的电流代数和有关B?
与空间所有电流有关:B?
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B?
lBL d
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
L B?
lBL d
L
比较
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理 环路定理静电场稳恒磁场
0dL lE
保守场、有势场
）（穿过 L
iL IlB 0d?
非保守场、无势场
（涡旋场）
三,安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
)(
0d
L
iL IlB
穿过
适用条件,稳恒电流的磁场求解条件,电流分布（磁场分布）具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路,使积分能够积出，成为 B与路径长度的乘积形式，从而方便地求解
L lB
L
d
B?
[例一 ] 无限长均匀载流圆柱体 内外磁场,RI,
（电流分布均匀。）
o
r
P
I
R
o PL L I
'B?d
B?d
'Id
Id
r
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路,逆时针绕向为正,
对称性分析：
LI?
B?
ro
+L
L
内IrBlBL 0 2d
rr
IB 1
2
0
外
:Rr? II
内 o PL L? I
外B?
r
内B? P?
R
:Rr?
2
2
2
2 R
Irr
R
II
内
rRIrB 202内方向与 指向满足右旋关系IB?
B
o R r
r
1?
r?
思考,无限长均匀载流直圆筒 曲线？r~B
0?内B
r
IB
2
0?
外方向与 指向满足右旋关系外B
I
等价于全部电流集中于轴线的无限长直电流
B
o R r
r
1?
练习,无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过截面 （ ）的磁通量,hR,2S
IR,
I
h
RR
S
B.
Sd Sd
微元分析法,取 rhS dd? 方向相同B与S且d
2 20RIrB内 2 0 rIB外解,磁场分布方向如图所示
SBSBs
S
m dd 内内
SBS d外外
rhRIrR d20 20 )2ln21(4d2 0
2 0
Ihrh
r
IR
R
模型,螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
In,
l
Ro
n
[例二 ] 无限长载流直螺线管的磁场（ 线密绕）.,nI
单位长度上的匝数lR,对邻近场点回顾,P 278 [例 4]载流直螺线管轴线上磁场,
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB
P
载流 圆截面 直螺线管内 轴线上 的磁场：
无限长：
,; 21 xx
nIB 0
解,对称性分析：
无限长,M,1,2 面均可视为中垂面，其上离轴线距离相等的点彼此等价，其磁感应强度大小、方向相同。
M1 2
In,
21 M
p1 p2
本题作更一般的讨论。
又,1,2 面到 M 距离相等，关于 M 镜像对称，
是轴矢量，可如下证明管内各点磁感应强度方向只能与轴线平行。
B?
:B? 轴矢量（赝矢量）
B? B?
I I B
B?I
I
In,
21 M
p1 p2 只能平行于轴线，
不能有垂直于轴线的分量。
B?
要 21 PP BB
B?
∴ 无限长载流直螺线管磁场：
平行于轴任一直线上各点大小相等，方向沿轴，
B?
下面证明螺线管内外磁场均匀：
0dd
,
a
d
c
b
lBlB
adBbcB
0ddddd
a
d
d
c
c
b
b
a
lBlBlBlBlB
在螺线管内作如图矩形回路 abcd,其包围的电流为零，
由安培环路定理：
0d
)(
0
L
iL IlB
穿过
In,
a b
cd B
In,
a b
cd B
c
d
d
c
b
a
d
c
b
a
lBlBlB
lBlB
ddd
0dd得：
cdabcdab
dcab
BBBB
dcBabB
由此可得：，即：
螺线管内磁场是均匀的。
在螺线管外作如图矩形回路,
同理可证螺线管外的磁场也是均匀的。
dcba
a? b?
c?d?
0＝＝ 外外 BB又：螺线管外的磁场是均匀的。
实际问题,有限长载流螺线管在无限远处磁场为零。
理想模型,对 R << L,邻近处场点 无限长载流螺线管，
其内部磁场均匀,在轴线方向无限远处磁场不为零，
姑且认为 在非轴线方向无限远处磁场为零。
B?螺距为零，
磁感应线不泄漏。
下面说明螺线管内外磁场大小：
addccbL ba lBlBlBlBlB ddddd
abBabB 000 co s?
abnII 内下面求螺线管内磁场：
作矩形安培环路如图，
规定,+
d
B?
c
ab
I n
abnIabB 0
nIB 0
由 安培环路定律：
比较：
上节例题,无限长圆截面螺线管轴线上 nIB 0
本例,螺线管截面可以是任意异形截面，
无限长载流螺线管内为均匀磁场。 nIB 0内思考：
如果螺距不为零 （ 螺旋电流 ） 对以上结果有无影响？
B
I
n
//I
I
rr
I
r
IB 1
22
0//0
外
,nIB 0内 螺线管内磁场不变
4
1
102
0,2 m,m,02.0,m4000;
2
1
－
内外内外
＝得：
取：＝
B
B
rRn
nrB
B
前面认为在螺线管外磁场为零 －－可行！
B?
R
练习,半径 R的无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速 旋 转
,R.已知：
求,内部
nIB 0等效于长直螺线管：
单位长度上电流：
nI
解：
22 RnI
R0?nIB 0
RB 0?
o 1R
2R
N,I
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ）I.N.R.R
21
对称性分析：
环上各点 方向：切向B?
同心圆 环大小相等的点的 集合：B?
以中心 o,半径 r 的圆环为安培环路 +
o 1R
2R
N,I
L
r
内IrBlBL 0 2d
0?外B
:,21 RrRr
0 内I
:21 RrR
r
NIB
2
0?
内
NII 内
r
1?
r1Ro
B
2R
o 1R
2R
N,I
L
r
练习：
若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量,
rRRrhS )d(dd 12
rRR
r
NI
SBm
)d(
2
dd
12
0
内
21 d)(2 d 120 RRmm r rRRNI
1
2
12
0 ) l n(
2 R
RRRNI
Sd
12 RRh
1R2R
I,N
小结：
1.熟悉典型问题结果运动点电荷，
无限长直电流，
圆电流轴线上，
长直载流螺线管，
螺绕环,..
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
— 由 求 分布,?
内IlBL 0 d B
对称性分析 — 选环路 L并规定绕向,
本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
0dS SB 无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE 保守场
dL lB？
环路定理比较静电场稳恒磁场一般方法：
用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。
一,磁场高斯定理
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。
B?
I
ro
L
Il
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I
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LL
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2
0
0
0
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2
c o s 0d
2
d
二,稳恒磁场的安培环路定理
1.导出,可由毕 — 沙定律出发严格推证采用,以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场 （从特殊到一般）
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定 与 L 绕向成右旋关系与 L 绕向成左旋关系 0?I
0?I
统一为：
IlBL 0d
若电流反向：
Il
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2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
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B?
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L
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I0若电流反向，则为
Bd
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L
I Ⅹ
如果规定 与 L绕向成右旋关系,反之0?I 0?I
统一为：
IlBL 0d
3）闭合路径不包围电流
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21
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LL
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I
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献。
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B? lB
L
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B?LL
lBL d
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
0d
dd
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穿过
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5）空间存在多个长直电流时由磁场叠加原理
nBBBB
21
1I
L
3I
2I
4I
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理
)(
0d
L
iL IlB
穿过
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真空磁导率的乘积,
B? L
成立条件：稳恒电流的磁场场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）:L
环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过,
不穿过 的所有电流的贡献）L
:B? L
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和,
,
)(
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2 III
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穿过例如：
规定,0?iI
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与 L 绕向成右旋关系与 L 绕向成左旋关系
)(
0d
L
iL IlB
穿过
注意：
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
的环流：只与穿过环路的电流代数和有关B?
与空间所有电流有关:B?
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B?
lBL d
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
L B?
lBL d
L
比较
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理 环路定理静电场稳恒磁场
0dL lE
保守场、有势场
）（穿过 L
iL IlB 0d?
非保守场、无势场
（涡旋场）
三,安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
)(
0d
L
iL IlB
穿过
适用条件,稳恒电流的磁场求解条件,电流分布（磁场分布）具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路,使积分能够积出，成为 B与路径长度的乘积形式，从而方便地求解
L lB
L
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B?
[例一 ] 无限长均匀载流圆柱体 内外磁场,RI,
（电流分布均匀。）
o
r
P
I
R
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'Id
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在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路,逆时针绕向为正,
对称性分析：
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思考,无限长均匀载流直圆筒 曲线？r~B
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外方向与 指向满足右旋关系外B
I
等价于全部电流集中于轴线的无限长直电流
B
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1?
练习,无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过截面 （ ）的磁通量,hR,2S
IR,
I
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RR
S
B.
Sd Sd
微元分析法,取 rhS dd? 方向相同B与S且d
2 20RIrB内 2 0 rIB外解,磁场分布方向如图所示
SBSBs
S
m dd 内内
SBS d外外
rhRIrR d20 20 )2ln21(4d2 0
2 0
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r
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模型,螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
In,
l
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n
[例二 ] 无限长载流直螺线管的磁场（ 线密绕）.,nI
单位长度上的匝数lR,对邻近场点回顾,P 278 [例 4]载流直螺线管轴线上磁场,
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB
P
载流 圆截面 直螺线管内 轴线上 的磁场：
无限长：
,; 21 xx
nIB 0
解,对称性分析：
无限长,M,1,2 面均可视为中垂面，其上离轴线距离相等的点彼此等价，其磁感应强度大小、方向相同。
M1 2
In,
21 M
p1 p2
本题作更一般的讨论。
又,1,2 面到 M 距离相等，关于 M 镜像对称，
是轴矢量，可如下证明管内各点磁感应强度方向只能与轴线平行。
B?
:B? 轴矢量（赝矢量）
B? B?
I I B
B?I
I
In,
21 M
p1 p2 只能平行于轴线，
不能有垂直于轴线的分量。
B?
要 21 PP BB
B?
∴ 无限长载流直螺线管磁场：
平行于轴任一直线上各点大小相等，方向沿轴，
B?
下面证明螺线管内外磁场均匀：
0dd
,
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c
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0ddddd
a
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b
b
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在螺线管内作如图矩形回路 abcd,其包围的电流为零，
由安培环路定理：
0d
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0
L
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穿过
In,
a b
cd B
In,
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0dd得：
cdabcdab
dcab
BBBB
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由此可得：，即：
螺线管内磁场是均匀的。
在螺线管外作如图矩形回路,
同理可证螺线管外的磁场也是均匀的。
dcba
a? b?
c?d?
0＝＝ 外外 BB又：螺线管外的磁场是均匀的。
实际问题,有限长载流螺线管在无限远处磁场为零。
理想模型,对 R << L,邻近处场点 无限长载流螺线管，
其内部磁场均匀,在轴线方向无限远处磁场不为零，
姑且认为 在非轴线方向无限远处磁场为零。
B?螺距为零，
磁感应线不泄漏。
下面说明螺线管内外磁场大小：
addccbL ba lBlBlBlBlB ddddd
abBabB 000 co s?
abnII 内下面求螺线管内磁场：
作矩形安培环路如图，
规定,+
d
B?
c
ab
I n
abnIabB 0
nIB 0
由 安培环路定律：
比较：
上节例题,无限长圆截面螺线管轴线上 nIB 0
本例,螺线管截面可以是任意异形截面，
无限长载流螺线管内为均匀磁场。 nIB 0内思考：
如果螺距不为零 （ 螺旋电流 ） 对以上结果有无影响？
B
I
n
//I
I
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I
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IB 1
22
0//0
外
,nIB 0内 螺线管内磁场不变
4
1
102
0,2 m,m,02.0,m4000;
2
1
－
内外内外
＝得：
取：＝
B
B
rRn
nrB
B
前面认为在螺线管外磁场为零 －－可行！
B?
R
练习,半径 R的无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速 旋 转
,R.已知：
求,内部
nIB 0等效于长直螺线管：
单位长度上电流：
nI
解：
22 RnI
R0?nIB 0
RB 0?
o 1R
2R
N,I
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ）I.N.R.R
21
对称性分析：
环上各点 方向：切向B?
同心圆 环大小相等的点的 集合：B?
以中心 o,半径 r 的圆环为安培环路 +
o 1R
2R
N,I
L
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内IrBlBL 0 2d
0?外B
:,21 RrRr
0 内I
:21 RrR
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内
NII 内
r
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B
2R
o 1R
2R
N,I
L
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练习：
若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量,
rRRrhS )d(dd 12
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1
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12 RRh
1R2R
I,N
小结：
1.熟悉典型问题结果运动点电荷，
无限长直电流，
圆电流轴线上，
长直载流螺线管，
螺绕环,..
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
— 由 求 分布,?
内IlBL 0 d B
对称性分析 — 选环路 L并规定绕向,
