2009-7-27
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
2009-7-27
§ 9.3 高斯定理高斯 （德 ）
（ 1777-1855）
德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究,著述丰富，成就甚多。他一生中共发表 323篇（种）著作，提出 404项科学创见。
在 CGS电磁系单位制中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
2009-7-27
其上每点切向,该点 方向E?电场线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小，
即其疏密与场强的大小成正比,
E?
一,电场线
,空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法
E?
rE
2009-7-27
有限长均匀带电直线的电场线
q?
实例：
电偶极子的电场线
+
-
2009-7-27
从方法论上认识电场线的意义牛 顿,空间是盛放质点的容器,
法拉第,在空间寻找力的载体，提出场的概念，
并设想空间贯穿着力线，来描述场。
麦克斯韦,总结出法拉第力线描述的数学形式,
建立严密的电磁场方程,
,在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质，最简单而又极富启发性的表示出来。,
－－ W.Thomson
2009-7-27
二,电通量
1）通过面元的电通量：
SESESEe d)c o s(ddd
微元分析法,以平代曲；
以恒代变。
面积元矢量,nSS dd?
面积元范围内 视为均匀E?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量,
n?
Sd
E?
S
引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空间矢量场的一般方法,
2009-7-27
n?
Sd
E?
S
ss ee SE dd
2）通过曲面 的电通量S
2
2
2
2009-7-27
3）通过封闭曲面的电通量
se SE d?
S
E?
E?
n?
n?
2/0
2/
规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出的电场线 00ee
练习 1,空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
2009-7-27
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到,
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、不增加。
1）曲面为以电荷为中心的球面
0:0 eq?
0:0 eq?0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
0
2
0
3
0
d44 dd qSrqr SrqSEe
结果与 r 无关
2009-7-27
2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
0?
qesse
00 e:q?
00 e:q?
2009-7-27
3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论,
se SE
d
外在内在
Sq
Sqq
0
0?
思考,1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
0se?
S?
q
E?
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在 q在 S外、在 S内，或一部分在
S外，一部分在 S内的情况，而没有 q恰好在 S上的情况。
2009-7-27
2）上述结论与库仑定律 有何关系？21 rF?
正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。
练习 2,空间有点电荷系,求穿过空间任意封闭曲面 S 的电通量
nq...q,q 21
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度：
nEEEE
21
包括 S 内,S 外，所有电荷的贡献。
2009-7-27
穿过 S 的电通量：
内q
SESESESE
enee
nse
0
21
21
1
dddd
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。
1q
2q
nq
S
练习 3,请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量与空间电荷分布的关系。
2009-7-27
三,高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍：
01?
内qSE
s 0
1d
高斯面，封闭曲面:S
真空电容率:
0?
S 内的净电荷,内?q
通过 S的电通量,只有 S内电荷有贡献,es?
S上各点的总场,S 内外所有电荷均有贡献,:E?
1.式中各项的含义
2009-7-27
2,揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
2009-7-27
4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件,静电场求解条件,电场分布具有某些对称性：
才能找到恰当的高斯面，使 中的 的大小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求出分布。
s SE d E?
E?
常见类型,场源电荷分布球对称性轴对称性面对称性
2009-7-27
[例一 ] 求均匀带电球体（ q,R） 的电场分布
R
oq
r
E
E
d
d
'
'EE dd?
q
q
d
d P
S
对称性分析,
以 O 为中心,r为半径的球面 S 上各点彼此等价大小相等方向沿径向E?
E?
以 O 为中心的球面 S 上各点
2009-7-27
以半径 r 的同心球面 S为高斯面确定高斯面,
R
oq
E
E
d
d
'
'EE dd?
q
q
d
d P
S
r
由高斯定理：
内qrESEs
0
2 14d
)r()q(E 204 内
s s rESESE 24d0c o sd
通过 S 的电通量：
2009-7-27
2
04
rqEqq:Rr 外内
3
0
3
3 4
3
4
3
4 R
qrEr
R
qq:Rr
内内
)r()q(E 204 内
2
04 R
q
o
r? 21r?
r
E
R
球体外区域 ~ 电量集中于球心的点电荷球体内区域 rE?
2009-7-27
讨论：
1,求均匀带电球面（ ）的电场分布，并画出曲线,
q,R
r~E
2,如何理解带电球面 处 值突变？ERr?
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E?
0
rRo
E
21 r?
高斯面,半径 r 的同心球面
2009-7-27
带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目,
E
)(
43
)(
)( )(
3
)( 0
22
0
2
0
3
1
3
2
212
3
1
0
1
Rr
r
q
r
RR
RrR
r
R
r
Rr
E
计算带电球层（ ）
的电场分布
,R,R 21
1R
2R
o
2009-7-27
带电球层的电场分布
21 RRO
EEE
厚度较大厚度较小厚度为零球面
21 RRO 21 RRo? r
a
c
b1R
2R
2009-7-27
[例二 ] 无限长均匀带电直线（ ）的电场?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面,
对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线,P E?
P与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线
2009-7-27
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
侧上 下
SESESESE
S
dddd
rLE
SESESE
2
d0c o sd
2
c o sd
2
c o s
侧上 下
L
S
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
2009-7-27
00
12d
LqrLESE
内
由高斯定理：
r
E
02
rE
1?
L
S?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
ro
E
2009-7-27
讨论,1.无限长均匀带电柱面 ( )的电场分布?,R
E
r
o R
R?
对称性分析,柱对称选高斯面,同轴圆柱面由高斯定理计算
r
E
:Rr
E
:Rr
0
2
0
2009-7-27
2.求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
讨论：
高斯面
l
r
高斯面
l
r
不能，
不是。
2009-7-27
[例三 ]无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）?
如何构成封闭的高斯面？
对称性分析,视为无限长均匀带电直线的集合方向 垂直于带电平面，
离带电平面距离相等的场点彼此等价
E?
o
x
E?dEd
PP?
2009-7-27
高斯面,两底面与带电平面平行、离带电平面距离相等，轴线与带电平面垂直的柱面。
SE
SESESE
2
d
2
c o sd0c o sd0c o s
侧右左
右 侧左
SESESE dddSE
S
d
xo
n?
n?
S?
S?
00
1
2
S
q
SESE
内
d
由高斯定理：
2009-7-27
02?
02?
x
o
E
02?
E
其指向由 的符号决定?
讨论,1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的任意形状的柱面均可（不一定为圆柱面）。
可以为任意形状
2009-7-27
2.带电平面上电场强度突变的原因？
采用面模型，未计带电平面的厚度。
自学教材 226页例 6,计算厚 h 的均匀带电无限大平行气体层的电场分布。
y
o
E
2
h
2
h?
02?
02?
x
o
E
h=0
2009-7-27
[例四 ] 半导体 P N 结内外的电场,
解,对称性分析虽然电荷非均匀分布，但随 x 变化规律未破坏面对称性。
在 处,P 区与 N 区电荷的电场相互抵消：
Lx?
0?E?
xLoL?
PN
已知,P N 结内电荷体密度分布求,电场分布,
)(
),( 0)(
LxLax
LxLxx
2009-7-27
xLxoL?
SE
PN,Lx? 选如图高斯面
左 右 侧 SESESESESE dddd
0c o s0E? 穿入
)(
2
1
dd
22 xLSa
xSaxVq
L
x
内
x)xL(aE 2 22
0?
方向沿
内qSE
s 0
1d
由高斯定理：
2009-7-27
总结,由高斯定理求电场分布的步骤
1,由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性,
2,在对称性分析的基础上选取高斯面,目的是使能够积分，成为 E 与面积的乘积形式。?
s SE
d
3.由高斯定理 求出 电场 的大小，
并 说明其方向,
内qSE
s 0
1d
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
2009-7-27
§ 9.3 高斯定理高斯 （德 ）
（ 1777-1855）
德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究,著述丰富，成就甚多。他一生中共发表 323篇（种）著作，提出 404项科学创见。
在 CGS电磁系单位制中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
2009-7-27
其上每点切向,该点 方向E?电场线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小，
即其疏密与场强的大小成正比,
E?
一,电场线
,空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法
E?
rE
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有限长均匀带电直线的电场线
q?
实例：
电偶极子的电场线
+
-
2009-7-27
从方法论上认识电场线的意义牛 顿,空间是盛放质点的容器,
法拉第,在空间寻找力的载体，提出场的概念，
并设想空间贯穿着力线，来描述场。
麦克斯韦,总结出法拉第力线描述的数学形式,
建立严密的电磁场方程,
,在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质，最简单而又极富启发性的表示出来。,
－－ W.Thomson
2009-7-27
二,电通量
1）通过面元的电通量：
SESESEe d)c o s(ddd
微元分析法,以平代曲；
以恒代变。
面积元矢量,nSS dd?
面积元范围内 视为均匀E?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量,
n?
Sd
E?
S
引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空间矢量场的一般方法,
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n?
Sd
E?
S
ss ee SE dd
2）通过曲面 的电通量S
2
2
2
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3）通过封闭曲面的电通量
se SE d?
S
E?
E?
n?
n?
2/0
2/
规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出的电场线 00ee
练习 1,空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
2009-7-27
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到,
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、不增加。
1）曲面为以电荷为中心的球面
0:0 eq?
0:0 eq?0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
0
2
0
3
0
d44 dd qSrqr SrqSEe
结果与 r 无关
2009-7-27
2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
0?
qesse
00 e:q?
00 e:q?
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3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论,
se SE
d
外在内在
Sq
Sqq
0
0?
思考,1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
0se?
S?
q
E?
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在 q在 S外、在 S内，或一部分在
S外，一部分在 S内的情况，而没有 q恰好在 S上的情况。
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2）上述结论与库仑定律 有何关系？21 rF?
正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。
练习 2,空间有点电荷系,求穿过空间任意封闭曲面 S 的电通量
nq...q,q 21
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度：
nEEEE
21
包括 S 内,S 外，所有电荷的贡献。
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穿过 S 的电通量：
内q
SESESESE
enee
nse
0
21
21
1
dddd
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。
1q
2q
nq
S
练习 3,请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量与空间电荷分布的关系。
2009-7-27
三,高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍：
01?
内qSE
s 0
1d
高斯面，封闭曲面:S
真空电容率:
0?
S 内的净电荷,内?q
通过 S的电通量,只有 S内电荷有贡献,es?
S上各点的总场,S 内外所有电荷均有贡献,:E?
1.式中各项的含义
2009-7-27
2,揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
2009-7-27
4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件,静电场求解条件,电场分布具有某些对称性：
才能找到恰当的高斯面，使 中的 的大小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求出分布。
s SE d E?
E?
常见类型,场源电荷分布球对称性轴对称性面对称性
2009-7-27
[例一 ] 求均匀带电球体（ q,R） 的电场分布
R
oq
r
E
E
d
d
'
'EE dd?
q
q
d
d P
S
对称性分析,
以 O 为中心,r为半径的球面 S 上各点彼此等价大小相等方向沿径向E?
E?
以 O 为中心的球面 S 上各点
2009-7-27
以半径 r 的同心球面 S为高斯面确定高斯面,
R
oq
E
E
d
d
'
'EE dd?
q
q
d
d P
S
r
由高斯定理：
内qrESEs
0
2 14d
)r()q(E 204 内
s s rESESE 24d0c o sd
通过 S 的电通量：
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2
04
rqEqq:Rr 外内
3
0
3
3 4
3
4
3
4 R
qrEr
R
qq:Rr
内内
)r()q(E 204 内
2
04 R
q
o
r? 21r?
r
E
R
球体外区域 ~ 电量集中于球心的点电荷球体内区域 rE?
2009-7-27
讨论：
1,求均匀带电球面（ ）的电场分布，并画出曲线,
q,R
r~E
2,如何理解带电球面 处 值突变？ERr?
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E?
0
rRo
E
21 r?
高斯面,半径 r 的同心球面
2009-7-27
带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目,
E
)(
43
)(
)( )(
3
)( 0
22
0
2
0
3
1
3
2
212
3
1
0
1
Rr
r
q
r
RR
RrR
r
R
r
Rr
E
计算带电球层（ ）
的电场分布
,R,R 21
1R
2R
o
2009-7-27
带电球层的电场分布
21 RRO
EEE
厚度较大厚度较小厚度为零球面
21 RRO 21 RRo? r
a
c
b1R
2R
2009-7-27
[例二 ] 无限长均匀带电直线（ ）的电场?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面,
对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线,P E?
P与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面对称性分析,点处合场强 垂直于带电直线
2009-7-27
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
侧上 下
SESESESE
S
dddd
rLE
SESESE
2
d0c o sd
2
c o sd
2
c o s
侧上 下
L
S
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
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00
12d
LqrLESE
内
由高斯定理：
r
E
02
rE
1?
L
S?
'q
o
q
d
d
r
P
E
EE
E
'
'
d
dd
d
ro
E
2009-7-27
讨论,1.无限长均匀带电柱面 ( )的电场分布?,R
E
r
o R
R?
对称性分析,柱对称选高斯面,同轴圆柱面由高斯定理计算
r
E
:Rr
E
:Rr
0
2
0
2009-7-27
2.求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
讨论：
高斯面
l
r
高斯面
l
r
不能，
不是。
2009-7-27
[例三 ]无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）?
如何构成封闭的高斯面？
对称性分析,视为无限长均匀带电直线的集合方向 垂直于带电平面，
离带电平面距离相等的场点彼此等价
E?
o
x
E?dEd
PP?
2009-7-27
高斯面,两底面与带电平面平行、离带电平面距离相等，轴线与带电平面垂直的柱面。
SE
SESESE
2
d
2
c o sd0c o sd0c o s
侧右左
右 侧左
SESESE dddSE
S
d
xo
n?
n?
S?
S?
00
1
2
S
q
SESE
内
d
由高斯定理：
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02?
02?
x
o
E
02?
E
其指向由 的符号决定?
讨论,1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的任意形状的柱面均可（不一定为圆柱面）。
可以为任意形状
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2.带电平面上电场强度突变的原因？
采用面模型，未计带电平面的厚度。
自学教材 226页例 6,计算厚 h 的均匀带电无限大平行气体层的电场分布。
y
o
E
2
h
2
h?
02?
02?
x
o
E
h=0
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[例四 ] 半导体 P N 结内外的电场,
解,对称性分析虽然电荷非均匀分布，但随 x 变化规律未破坏面对称性。
在 处,P 区与 N 区电荷的电场相互抵消：
Lx?
0?E?
xLoL?
PN
已知,P N 结内电荷体密度分布求,电场分布,
)(
),( 0)(
LxLax
LxLxx
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xLxoL?
SE
PN,Lx? 选如图高斯面
左 右 侧 SESESESESE dddd
0c o s0E? 穿入
)(
2
1
dd
22 xLSa
xSaxVq
L
x
内
x)xL(aE 2 22
0?
方向沿
内qSE
s 0
1d
由高斯定理：
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总结,由高斯定理求电场分布的步骤
1,由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性,
2,在对称性分析的基础上选取高斯面,目的是使能够积分，成为 E 与面积的乘积形式。?
s SE
d
3.由高斯定理 求出 电场 的大小，
并 说明其方向,
内qSE
s 0
1d
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
