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本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场第十章 运动电荷间的相互作用 稳恒磁场学时,10
我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电动力不过是一种电场力罢了，正是这种确信或多或少地促使我去研究狭义相对论。
—— 爱因斯坦结构框图运动电荷间的相互作用磁场稳恒磁场磁感应强度毕 -萨定律磁场的高斯定理安培环路定理磁场的基本性质洛仑兹力安培定律带电粒子在磁场中的运动 霍耳效应磁力和磁力矩 磁力的功顺磁质、抗磁质和铁磁质的磁化磁场强度介质中的安培环路定理难点运动电荷之间的相互作用，磁场是电场的相对论效应，
磁介质，
重点基本概念,磁感应强度，磁通量，电流磁矩，
基本规律,磁场叠加原理，
毕－萨定律及其应用，
稳恒磁场高斯定理和环路定理，
磁场的基本性质（无源场、涡旋场）
基本计算,稳恒磁场 分布，
洛仑兹力，安培力，磁力矩，
B?
§ 10.1 运动电荷间相互作用要求,了解处理问题的思路，理解结论的物理意义磁场是从哪里来的？？？
？
具体含义出发点,讨论运动电荷间相互作用本节讨论的,运动” 电荷相互作用不是指场源电荷与检验电荷间相对运动,
而是指对观察者而言，场源电荷、检验电荷是运动的,
上一章讨论的电相互作用：
场源电荷相对于观察者静止（静电场）
无论检验电荷相对于观察者（场源电荷）运动或静止：
EqF
场中检验电荷受力求解 分布E?
场源电荷相对于观察者运动
（非静电场）
场中检验电荷受力如何？
其电场如何分布？
一,运动电荷周围的电场前提：
（ 2） 高斯定理对运动电荷电场仍成立,
（高斯定理比库仑定律普遍）
（ 3） 洛仑兹变换适用,
（ 1） 在不同参考系中，电荷的电量 不变,
（ 为相对论不变量）
q
q
系S,固接于观察者,固接于电容器系'S
以一个特例来研究运动电荷的电场，所选研究对象：
极板为正方形的平行板电容器电场 )(
r 1
（ a）讨论 电场u
o
z
系S
y y?
系S?
o?
z?
x
x?
u +
-E
（ b）讨论 电场u//?
o
z
系S
y 'y
系S?
o?
z?
x
x?
u
E
+ -
边长（原长）,'L
带电量,'Q
电荷密度：
2L
Q
电场分布：
0?
0
'E
板外板间系'S 中,电容器静止（ 情况相同）b,a?E
u?)(a
'L
'E?
E
)(b
'L
中,电容器以速率 沿 轴运动,系S u x
电荷密度,
'
'
'
L)
c
u(
Q
221
带电量,'QQ?
边长,
''
x L)c
u(LL 21 1
'z LL?
)(a
u?
xo
y L
S 系中非静电场分布,仍有面对称性,
L1?
E?
u?
u
u
S′系中静 电场分布,面对称性
E
L?
电场分布,仍有面对称性 ;高斯定理仍成立,
E
0 板外
'
'
E
00
板间
'EE即在 方向上u
0
0
d
E
S
SESE
L1?
EE
u? S?)(a
带电量,'QQ?
边长,'
z'y LLLL
板间距离缩短电荷密度：
'
'
'
L
Q
2
即在 方向上u//? '
//// EE?
u
L
//E
xo
y
（ b）
电场分布
0?外E
'
'
EE
00?
内推广,运动电荷电场分布的一般规律,
在电荷相对其静止的参考系中：
'z'y'x EEE,,（静电场）
在电荷相对其运动的参考系中：
zyx EEE,,
（运动电荷电场）
平行于相对速度 方向的场强分量不变,
垂直于相对速度 方向的场强分量扩大 倍,u?
u?
211 cu
'xx EE?
21 )
c
u
(
E
EE
'
y'
yy
21 )
c
u(
E
EE
'
z'
zz
y
'
y E)c
u(E 21
z
'
z E)c
u(E 21
x'x EE?
当场源电荷相对于观察者沿 方向以 匀速运动时：u?x
电场强度在不同惯性系中的变换公式：
[例一 ] 在 S系中以 沿 x 轴匀速运动点电荷 q 的电场,u?
（电场对 x轴旋转对称分布，可只讨论 xy平面内的情况。）
r
Ey?
x?o?
yE
xE
P
q
3
04 r
rqE
yx E,E
建立固接于 的 系：q S?
0r?
E?y
xo
P
q u?
ut
r?
EEEEE yxyx
,,
再求S 系中的电场：
23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE
0r?
E?y
xo
P
q u?
ut
r?
23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE
式中 至场点位矢与 夹角,
qr?
r u?
1 cu?
讨论：
与 系中（静电场）比较可知 E（）分布：'S?
3
04
'
'
'
r
rqE
ErqE:, 22
0
140
ErqE:/ 2122
0
142
3
04
'
'
'
r
rqE
q
比较：
在 系中（静电场 球对称分布）'S 'E?
在 S 系中（运动电荷的电场,无球对称性）E?
u?对 方向旋转对称分布
q
u 23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE
静止电荷的电场二者比较运动电荷的电场
二,运动电荷间的相互作用思路：
因为只知在场源电荷相对观察者静止时有成立,，所以先在固结于场源电荷的 系中求,'S
'' EqF
'F?
至 系中S再用相对论变换 EE
FF
vv
问题,S系（观察者）中场源电荷以 运动检验电荷以 运动v?
u? kEjEiEE
zyx
kvjvivv zyx
求场源电荷与检验电荷的相互作用
y?
o?
z?
x?
'v
q
yy E)c
u(E 21
zz E)c
u(E 21
xx EE
由 p270 10.1-4 式有：
设 系中：S?
kEjEiEE zyx
由,EqF
yyy E)c
u(qEqF 21
xxx qEEqF
zzz E)c
u(qEqF 21
得：
相对论力的变换式：
x
x
x
v
c
u
vF
c
u
F
F
2
2
1
)1( 2 x
y
y
v
c
u
F
F
)1( 2 x
z
z
vcu
FF
（教材 P185 8.4-13式 ）
将 变换回 S 系：'F?
将 变换回 S 系时要用到速度变换'F?
2
'
1
c
uv
uvv
x
x
x
)1( 2
'
x
y
y
v
c
u
v
v
)1( 2
'
x
z
z
v
c
u
vv
由洛伦兹速度变换
（ P164 8.2-14 式）
kvjvivv zyx'
检验电荷 以 运动：q 'v?设 系中'S
y
o
z
x
v
q
u
系S
2
2
2
)(
1
c
u
vEvEqqE
v
c
u
vF
c
u
F
F
zzyyx
'
x
'''
x
x
y
x
y
x
'
y
y Ec
uvqqE
v
c
u
F
F 2
'
2
)1(
z
x
z
x
'
z
z Ec
uvqqE
v
c
u
FF
2
'
2
)1(
代入相对论力的变换公式（ P185 8.4-13式）得：
得在 系中看来，以 运动的场源电荷和以 运动的检验电荷间相互作用：
u?S v?
EcuB?
2
令 为磁感应强度电场力 磁场力
BvqEqF得：
只与场源电荷有关
)(
])[(
2
2
E
c
u
vqEq
kEvjEvivEvE
c
u
q
kEjEiEqF
zxyxzzyy
zyx
（教材 p274*）
BvqEqF运动电荷间的相互作用：
检验电荷相对于观察者的速度
EcuB?
2
磁感应强度：
场源电荷相对于观察者的速度磁场力,BvqF
m
与场源电荷、检验电荷相对于观察者的速度均有关。
电场力,EqF
e
与场源电荷相对于观察者的速度有关；
与检验电荷相对于观察者的速度无关。
所以磁场力只是运动电荷相互作用力的一部分，不是空间又出现了一个新的场,而是为了处理问题方便，人为地定义了一个新的场 —— 磁场,
磁场是电场的相对论效应。
电磁场是统一的整体，在不同条件下表现形式不同，
其物理图象是：
我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电动力不过是一种电场力罢了，正是这种确信或多或少地促使我去研究狭义相对论。
—— 爱因斯坦注意,在电磁学中，无论速度多么小（ v<<c），
伽利略变换都不适用，电磁场的变换必须应用相对论变换。
检验电荷静止 —— 只受电场力运动
（相对观察者 ）v?
EqF
EqF1电场力磁场力 BvqF
2
场源电荷静止电荷 — 激发静电场 E
运动电荷
（相对于观察者 ）u?
激发电场 E EE?
//// EE
激发磁场
EcuB?
2
要求：
对磁场的来源，电磁场的统一性，在不同条件下的表现形式形成清晰的物理图象；
从物理学认识客观世界规律，探求事物的本质及其相互关系的方法中得到启发。
电现象磁现象电流的磁效应电磁感应麦克斯韦方程磁场是电场的相对论效应
§ 10.2 磁感应强度 毕 — 沙定律及其应用一,磁感应强度
1,定义,
磁场是电场的相对论效应
EucB 21
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场,[例 ] u?
将
23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE解：
代入
EucB 21q u?
r?
P
2-27
28
9
0
20 CNs 104)10(3
10941
c
定义真空磁导率：
0 cu?
在 条件下cu
得：
3
0
4 r
ruqB
大小：
方向：右手螺旋法则，垂直于
,决定的平面
2
0
4
s i n
r
quB
u? r?
q u?
r?
P
B?
二者比较磁感应线在 y,z平面附近更密集，
电荷携带着这样的磁场分布向前运动。
运动电荷的电场运动电荷的磁场
u?
u?
2,磁场叠加原理
iBB
如果空间不止一个运动电荷，则空间某点总磁感应强度等于各场源电荷单独在该点激发的磁感应强度的矢量和：
练习,p 309 10-5
已知：
0?B?
m 10,sm 1,C 10,m 10 -110,avq.L
求：
a
o
x
y
q
aL?
v
qd解,yLqq dd?在 L上取的大小，方向？B?d
以 沿 运动x?v?qd
4
d
4
90s i nd
d
2
0
2
0
0
0
方向
Ly
yqv
y
qv
B
各 在 点处 同向：B?doqd
( T )105)11(44 dd 6-020
LaaL
qv
Ly
yqvBB aL
a?
方向垂直于纸面向里,
a
o
x
y
q
aL?
v
qd
二,毕 — 沙 — 拉定律
1820 年 4月,丹麦物理学家奥斯特（ 1777～ 1851）
发现电流的磁效应。
,猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。”
—— 法拉第历史之旅
1820 年 8月,
法国物理学家阿拉果在瑞士得到消息，并于 9月向法国科学院介绍了奥斯特实验，引起极大反响。
1820年 10月：
法国物理学家毕奥和沙伐尔发表,运动的电传递给金属的磁化力,,提出直线电流对磁针作用的实验规律。
法国数学、物理学家拉普拉斯由实验规律推出载流线段元（电流元）磁场公式。毕奥和沙伐尔用实验验证了该公式。
历史之旅求解电流磁场分布基本思路：
将电流视为电流元的集合电流元磁场公式磁场叠加原理 电流磁场分布毕－ 沙－拉定律,电流元产生磁场的规律
3
0
4
dd
r
rlIB
与点电荷电场公式的作用、地位等价
.?
r?
P
B?d I
lI?d
推证：
出发点运动点电荷磁场磁场叠加原理
3
0
4 r
ruqB
iBB
.?
r?
P
B?d I
lI?d
载流子电量,密度,漂移速度 u?nq
lnSN d?则：电流元中载流子数电流元,截面积 SlI?d设：
P每个载流子在场点 处磁场
3
0
1 4 r
ruqB
3
0
1 4
dd
r
ruln SqBNB
电流元在场点 处磁场P
.?
r?
P
B?d I
lI?d
3
0
1 4
dd
r
ruln SqBNB
3
0
4
dd
r
rlIB
n q S uI
电流元在场点 处磁场P
2
0
4
s i ndd
r
lIB
大小：
方向,右手法则小结：
EucB 21
磁感应强度：
3
0
4 r
ruqB
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场：u?
3
0
4
dd
r
rlIB
电流元 的磁场（毕 — 沙定律）：lI?d
BB d ;? 磁场叠加原理, iBB
本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场第十章 运动电荷间的相互作用 稳恒磁场学时,10
我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电动力不过是一种电场力罢了，正是这种确信或多或少地促使我去研究狭义相对论。
—— 爱因斯坦结构框图运动电荷间的相互作用磁场稳恒磁场磁感应强度毕 -萨定律磁场的高斯定理安培环路定理磁场的基本性质洛仑兹力安培定律带电粒子在磁场中的运动 霍耳效应磁力和磁力矩 磁力的功顺磁质、抗磁质和铁磁质的磁化磁场强度介质中的安培环路定理难点运动电荷之间的相互作用，磁场是电场的相对论效应，
磁介质，
重点基本概念,磁感应强度，磁通量，电流磁矩，
基本规律,磁场叠加原理，
毕－萨定律及其应用，
稳恒磁场高斯定理和环路定理，
磁场的基本性质（无源场、涡旋场）
基本计算,稳恒磁场 分布，
洛仑兹力，安培力，磁力矩，
B?
§ 10.1 运动电荷间相互作用要求,了解处理问题的思路，理解结论的物理意义磁场是从哪里来的？？？
？
具体含义出发点,讨论运动电荷间相互作用本节讨论的,运动” 电荷相互作用不是指场源电荷与检验电荷间相对运动,
而是指对观察者而言，场源电荷、检验电荷是运动的,
上一章讨论的电相互作用：
场源电荷相对于观察者静止（静电场）
无论检验电荷相对于观察者（场源电荷）运动或静止：
EqF
场中检验电荷受力求解 分布E?
场源电荷相对于观察者运动
（非静电场）
场中检验电荷受力如何？
其电场如何分布？
一,运动电荷周围的电场前提：
（ 2） 高斯定理对运动电荷电场仍成立,
（高斯定理比库仑定律普遍）
（ 3） 洛仑兹变换适用,
（ 1） 在不同参考系中，电荷的电量 不变,
（ 为相对论不变量）
q
q
系S,固接于观察者,固接于电容器系'S
以一个特例来研究运动电荷的电场，所选研究对象：
极板为正方形的平行板电容器电场 )(
r 1
（ a）讨论 电场u
o
z
系S
y y?
系S?
o?
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x
x?
u +
-E
（ b）讨论 电场u//?
o
z
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y 'y
系S?
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x
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u
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+ -
边长（原长）,'L
带电量,'Q
电荷密度：
2L
Q
电场分布：
0?
0
'E
板外板间系'S 中,电容器静止（ 情况相同）b,a?E
u?)(a
'L
'E?
E
)(b
'L
中,电容器以速率 沿 轴运动,系S u x
电荷密度,
'
'
'
L)
c
u(
Q
221
带电量,'QQ?
边长,
''
x L)c
u(LL 21 1
'z LL?
)(a
u?
xo
y L
S 系中非静电场分布,仍有面对称性,
L1?
E?
u?
u
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S′系中静 电场分布,面对称性
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电场分布,仍有面对称性 ;高斯定理仍成立,
E
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'
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带电量,'QQ?
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板间距离缩短电荷密度：
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2
即在 方向上u//? '
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（ b）
电场分布
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内推广,运动电荷电场分布的一般规律,
在电荷相对其静止的参考系中：
'z'y'x EEE,,（静电场）
在电荷相对其运动的参考系中：
zyx EEE,,
（运动电荷电场）
平行于相对速度 方向的场强分量不变,
垂直于相对速度 方向的场强分量扩大 倍,u?
u?
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'
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u(E 21
x'x EE?
当场源电荷相对于观察者沿 方向以 匀速运动时：u?x
电场强度在不同惯性系中的变换公式：
[例一 ] 在 S系中以 沿 x 轴匀速运动点电荷 q 的电场,u?
（电场对 x轴旋转对称分布，可只讨论 xy平面内的情况。）
r
Ey?
x?o?
yE
xE
P
q
3
04 r
rqE
yx E,E
建立固接于 的 系：q S?
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xo
P
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ut
r?
EEEEE yxyx
,,
再求S 系中的电场：
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1
4 22
2
3
0
r
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xo
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1
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式中 至场点位矢与 夹角,
qr?
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1 cu?
讨论：
与 系中（静电场）比较可知 E（）分布：'S?
3
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'
'
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0
140
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0
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'
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q
比较：
在 系中（静电场 球对称分布）'S 'E?
在 S 系中（运动电荷的电场,无球对称性）E?
u?对 方向旋转对称分布
q
u 23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE
静止电荷的电场二者比较运动电荷的电场
二,运动电荷间的相互作用思路：
因为只知在场源电荷相对观察者静止时有成立,，所以先在固结于场源电荷的 系中求,'S
'' EqF
'F?
至 系中S再用相对论变换 EE
FF
vv
问题,S系（观察者）中场源电荷以 运动检验电荷以 运动v?
u? kEjEiEE
zyx
kvjvivv zyx
求场源电荷与检验电荷的相互作用
y?
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u(E 21
xx EE
由 p270 10.1-4 式有：
设 系中：S?
kEjEiEE zyx
由,EqF
yyy E)c
u(qEqF 21
xxx qEEqF
zzz E)c
u(qEqF 21
得：
相对论力的变换式：
x
x
x
v
c
u
vF
c
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2
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1
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y
y
v
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F
F
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z
z
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FF
（教材 P185 8.4-13式 ）
将 变换回 S 系：'F?
将 变换回 S 系时要用到速度变换'F?
2
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1
c
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x
x
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v
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vv
由洛伦兹速度变换
（ P164 8.2-14 式）
kvjvivv zyx'
检验电荷 以 运动：q 'v?设 系中'S
y
o
z
x
v
q
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系S
2
2
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v
c
u
FF
2
'
2
)1(
代入相对论力的变换公式（ P185 8.4-13式）得：
得在 系中看来，以 运动的场源电荷和以 运动的检验电荷间相互作用：
u?S v?
EcuB?
2
令 为磁感应强度电场力 磁场力
BvqEqF得：
只与场源电荷有关
)(
])[(
2
2
E
c
u
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kEvjEvivEvE
c
u
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kEjEiEqF
zxyxzzyy
zyx
（教材 p274*）
BvqEqF运动电荷间的相互作用：
检验电荷相对于观察者的速度
EcuB?
2
磁感应强度：
场源电荷相对于观察者的速度磁场力,BvqF
m
与场源电荷、检验电荷相对于观察者的速度均有关。
电场力,EqF
e
与场源电荷相对于观察者的速度有关；
与检验电荷相对于观察者的速度无关。
所以磁场力只是运动电荷相互作用力的一部分，不是空间又出现了一个新的场,而是为了处理问题方便，人为地定义了一个新的场 —— 磁场,
磁场是电场的相对论效应。
电磁场是统一的整体，在不同条件下表现形式不同，
其物理图象是：
我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电动力不过是一种电场力罢了，正是这种确信或多或少地促使我去研究狭义相对论。
—— 爱因斯坦注意,在电磁学中，无论速度多么小（ v<<c），
伽利略变换都不适用，电磁场的变换必须应用相对论变换。
检验电荷静止 —— 只受电场力运动
（相对观察者 ）v?
EqF
EqF1电场力磁场力 BvqF
2
场源电荷静止电荷 — 激发静电场 E
运动电荷
（相对于观察者 ）u?
激发电场 E EE?
//// EE
激发磁场
EcuB?
2
要求：
对磁场的来源，电磁场的统一性，在不同条件下的表现形式形成清晰的物理图象；
从物理学认识客观世界规律，探求事物的本质及其相互关系的方法中得到启发。
电现象磁现象电流的磁效应电磁感应麦克斯韦方程磁场是电场的相对论效应
§ 10.2 磁感应强度 毕 — 沙定律及其应用一,磁感应强度
1,定义,
磁场是电场的相对论效应
EucB 21
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场,[例 ] u?
将
23)s i n1(
1
4 22
2
3
0
r
rqE解：
代入
EucB 21q u?
r?
P
2-27
28
9
0
20 CNs 104)10(3
10941
c
定义真空磁导率：
0 cu?
在 条件下cu
得：
3
0
4 r
ruqB
大小：
方向：右手螺旋法则，垂直于
,决定的平面
2
0
4
s i n
r
quB
u? r?
q u?
r?
P
B?
二者比较磁感应线在 y,z平面附近更密集，
电荷携带着这样的磁场分布向前运动。
运动电荷的电场运动电荷的磁场
u?
u?
2,磁场叠加原理
iBB
如果空间不止一个运动电荷，则空间某点总磁感应强度等于各场源电荷单独在该点激发的磁感应强度的矢量和：
练习,p 309 10-5
已知：
0?B?
m 10,sm 1,C 10,m 10 -110,avq.L
求：
a
o
x
y
q
aL?
v
qd解,yLqq dd?在 L上取的大小，方向？B?d
以 沿 运动x?v?qd
4
d
4
90s i nd
d
2
0
2
0
0
0
方向
Ly
yqv
y
qv
B
各 在 点处 同向：B?doqd
( T )105)11(44 dd 6-020
LaaL
qv
Ly
yqvBB aL
a?
方向垂直于纸面向里,
a
o
x
y
q
aL?
v
qd
二,毕 — 沙 — 拉定律
1820 年 4月,丹麦物理学家奥斯特（ 1777～ 1851）
发现电流的磁效应。
,猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。”
—— 法拉第历史之旅
1820 年 8月,
法国物理学家阿拉果在瑞士得到消息，并于 9月向法国科学院介绍了奥斯特实验，引起极大反响。
1820年 10月：
法国物理学家毕奥和沙伐尔发表,运动的电传递给金属的磁化力,,提出直线电流对磁针作用的实验规律。
法国数学、物理学家拉普拉斯由实验规律推出载流线段元（电流元）磁场公式。毕奥和沙伐尔用实验验证了该公式。
历史之旅求解电流磁场分布基本思路：
将电流视为电流元的集合电流元磁场公式磁场叠加原理 电流磁场分布毕－ 沙－拉定律,电流元产生磁场的规律
3
0
4
dd
r
rlIB
与点电荷电场公式的作用、地位等价
.?
r?
P
B?d I
lI?d
推证：
出发点运动点电荷磁场磁场叠加原理
3
0
4 r
ruqB
iBB
.?
r?
P
B?d I
lI?d
载流子电量,密度,漂移速度 u?nq
lnSN d?则：电流元中载流子数电流元,截面积 SlI?d设：
P每个载流子在场点 处磁场
3
0
1 4 r
ruqB
3
0
1 4
dd
r
ruln SqBNB
电流元在场点 处磁场P
.?
r?
P
B?d I
lI?d
3
0
1 4
dd
r
ruln SqBNB
3
0
4
dd
r
rlIB
n q S uI
电流元在场点 处磁场P
2
0
4
s i ndd
r
lIB
大小：
方向,右手法则小结：
EucB 21
磁感应强度：
3
0
4 r
ruqB
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场：u?
3
0
4
dd
r
rlIB
电流元 的磁场（毕 — 沙定律）：lI?d
BB d ;? 磁场叠加原理, iBB
