?
本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场习题课 毕 — 沙定律应用求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为电流元
（或典型电流）
的集合电流元（或典型电流）
磁场公式和磁场叠加原理电流磁场分布
[例一 ] 直线电流的磁场解,建立如图坐标
21,,,aI
已知：
求,分布B?
2?B
P
A
l I
1?
ao
lI?d在直电流（ AB）上取电流元
2
0 4 s i ndd rlIB ; 方向各电流元在 P 点 同向B?d
B
A r
lIBB
2
0
4
s i ndd
s i n s i n
dd c t g
2
aralal统一变量,
)c os( c os
4
ds i n
4
21
0
0 2
1
方向
a
I
a
I
B
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r
B?dao
)c o s( c o s4 210 方向 aIB
式中场点到直电流距离
:1?
:a
终点到场点矢径与 I方向的夹角:2?
起点到场点矢径与 I方向的夹角讨论,1,无限长直电流：,0
1
a
IB
2
0?
I
内密外疏
I
B?
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r
B?
ao
讨论：
0 0d BB,0 或?
2,直导线及其延长线上点
)c o s( c o s4 210 aIB
I
P
R
练习,半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I,
求轴线上磁感应强度 B?
ddd IR
R
II
解,通电半圆柱面 —
电流管（无限长直电流）集合,Id?d
R
I
R
IB
2
00
2
d
2
dd
方向如图
Id
d
R
x?
P
y
B?d
0d yy BB由对称性：
Id
d
R
x?
P
y
B?d
I?d
'dB?
R
I
R
IBBB
x 200 20 2
ds i n s i nd
沿 方向x?
xP
R o
[例二 ] 圆电流轴线上的磁场（ ）RI,
lI?d解,在圆电流上取 电流 元
r? B?d
2
0
2
0
4
d
4
90s i ndd
r
lI
r
lIB
方向如 图
lI?d
I
各电流元在 点 大小相等，方向不同,由对称性,P B?d
0d BB
x
PRo
r? B?d
'dB?
y
z
P
B?d
lI?d
I
lId
2
3
)(2
d
4
4
d
c o sd
22
2
0
2
0
3
0
2
0
2
0
//
xR
IR
l
r
IR
r
R
r
lI
BBB
R
R
x?,方向 （右螺旋 法则）
ixR IRB
23)(2 22
2
0
轴线上
x
PR o
r? B?d
'dB?
lI?d
'lI?d
I
讨论：
nRIP m 2圆电流磁矩,
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
圆电流 轴线上磁场,
2,圆心处磁 场
R
INBN
R
IB
2,; 2
0000 匝,x 0?
1,定义电流的磁矩
nSIPm
规定正法线方向,与 绕向成右旋关系In?
电流所包围的面积:S
I
S
mP? n
讨论：
3,画 B－ x 曲线
xo
B
ixR IRB
23)(2 22
2
0
练习,求下图中
oB?
o
R
I
I
o
R
8 00 RIB? RIR IB 4 83 000
练习,亥姆霍兹圈,两个完全相同的 N 匝共轴密绕短线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平行等大电流 I。 求轴线上 之间任一点 P 的磁场,21,oo
xI
P
1o
匝N
R R
R 匝N
o 2oI
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I RB
P
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I R
720 00 RNI.B
680 00201 RNI.BB
实验室用近似均匀磁场
x
o1o
2B1B
2o
[例三 ]均匀带电球面 ( ),绕直径以 匀速旋转?,R?
求球心处
0B
R
o
x
旋转带电球面 许多环形电流等 效解：
ds i n2 dd 2RqI等效圆电流：
r取半径 的环带?
r
Id
d2dd rRSq
R
o
x
r
Id
ds i n
2
2
s i nds i n
)(2
d
d
3
0
3
222
0
22
2
0
2
3
R
R
RR
xr
Ir
B
RRBB 0
0
30
3
2ds i n
2d
RB 032?
写成矢量式：
B?d
方向如图练习,求,?
0?B
已知,,..R
思考：
d?B?d?I?d?q
R
rBB
0
0 d
4d?
R
04
1?
RB 00 4 1?
写成矢量式：
r
IB
2
dd 0方向：o
R
rrq dd
2
dd qI?
rd
r
[例四 ]带电圆环（ ）顺时针旋转（ ）求
mP
..R.R?21
1R2R
o
解 1,rrq d2d
rrqI d2 ddr
)(
2
1
dd
2
1
2
2
2
1
2
1
RR
rrII
R
R
R
R
)(21 2122 RRISP m )(
2122 RR 22
1
2
2 )(2 RR
)(2 2122 RRqP m
对否？
解 2,rrq d2d
rrqI d2 dd
rrIrP m ddd 32
)(4 2122 RRqP m
4
))((
)(
4
dd
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
4
2
3
2
1
RRRR
RRrrPP
R
R
mm
解 1.错误；解 2.正确！
1R2R
o
r
自学 p278 [例 4]
载流密绕直螺线管轴线上磁场,
思路,将螺线管视为由多匝紧密排列的圆电流组成。建立如图坐标系，由圆电流轴线上的磁场分布和磁场叠加原理计算。
L
R
n
P
x1 x2
x
o
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB?
方向由右手螺旋定则确定
I
n
L
特例,无限长（ ）载流直螺线管内的磁场：
(下讲用安培环路定理求解 )
LR
nIB 0
（ 3） 由 叠加原理,（分量积分）
一,用毕 — 沙定律求 分布B?
（ 1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（ 2）由毕 — 沙定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB d
小结：
二,电流的磁矩
nSIP m
三,部分典型电流磁场公式：
2,圆电流轴线上磁场：
1,无限长直电流：
圆电流圆心处磁场：
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
a
IB
2
0?
2 00 RIB
3,无限长载流直螺线管内的磁场,nIB 0
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
304 r
ruqB
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场
u?
304
dd r rlIB
电流元 的磁场lI?d点电荷电场
304 r
rqE
无限长均匀带电直线的电场带电直线） ( 2
0 r
E
r
IB
2 0?
无限长直电流的磁场
（环绕电流）
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
圆电流轴线上磁场均匀带电圆环轴线上电场
232204
1
)xR(
iqxE
圆电流圆心处磁场
200 RIB
带电圆环 圆心处电场 0?E?
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理描述空间矢量场一般方法用场线描述场的分布用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质一,磁场高斯定理切向：该点 方向疏密：正比于该点 的大小1.磁感应线 B?
B?
特点闭合,或两端伸向无穷远；
与载流回路互相套联；
互不相交,
2,磁通量通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
SBSBSBm ddc o sdd
B?
n?
Sd
微元分析法 （以平代曲，以恒代变）
SBSm d
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正方向。
0?m?
进入的磁感应线穿出的磁感应线
n?
n?
B?
B?
3,磁场的高斯定理穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：
0d SBS
磁场是 无源场磁感应线闭合成环，无头无尾；
不存在磁单极,
0d SBS
S
介绍：寻求磁单极问题
1.理论需要
（ 1）对称性需要产生电场电荷运动磁荷？
变化磁场产生磁场磁荷？
运动电荷变化电场麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（ 2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
)2( ghcne?
（ n为整数）
基本电荷 基本磁荷
（ 3）大统一理论要求：
带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
2
16
2 c
G e V10 ~
hcc
gm
基本磁荷 大统一能量尺度大爆炸初期形成,至今含量如何？
2,实验探求（ 1931 年 — 今）
1975 年,美国加州大学，休斯敦大学联合小组报告,用装有宇宙射线探测器气球在 40 km 高空记录到电离特强离子踪迹,认为是磁单极,
后来被证实为一次虚报,
1982 年,美国斯坦福大学报告，用 d=5 cm 的 超导线圈放入 D=20 cm 超导铅筒,由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化,
运行 151 天,记录到一次磁通突变,改变量与狄拉克理论相符 。 但未能重复，为一悬案,
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，
将改写电磁理论,根据对应原理，旧理论将成为新理论在极限条件下的特例。
方向：rIB2 0
SBm dd
rlS dd?
a
baIl
r
rIlSB ba
aS
m
lndd
22
00
练习,已知,I,a,b,l 求：
解：
m?
I
o r?
a
b
l
Sd
本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场习题课 毕 — 沙定律应用求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为电流元
（或典型电流）
的集合电流元（或典型电流）
磁场公式和磁场叠加原理电流磁场分布
[例一 ] 直线电流的磁场解,建立如图坐标
21,,,aI
已知：
求,分布B?
2?B
P
A
l I
1?
ao
lI?d在直电流（ AB）上取电流元
2
0 4 s i ndd rlIB ; 方向各电流元在 P 点 同向B?d
B
A r
lIBB
2
0
4
s i ndd
s i n s i n
dd c t g
2
aralal统一变量,
)c os( c os
4
ds i n
4
21
0
0 2
1
方向
a
I
a
I
B
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r
B?dao
)c o s( c o s4 210 方向 aIB
式中场点到直电流距离
:1?
:a
终点到场点矢径与 I方向的夹角:2?
起点到场点矢径与 I方向的夹角讨论,1,无限长直电流：,0
1
a
IB
2
0?
I
内密外疏
I
B?
2?B
P
A
l I
1?
lI?d
r
B?
ao
讨论：
0 0d BB,0 或?
2,直导线及其延长线上点
)c o s( c o s4 210 aIB
I
P
R
练习,半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I,
求轴线上磁感应强度 B?
ddd IR
R
II
解,通电半圆柱面 —
电流管（无限长直电流）集合,Id?d
R
I
R
IB
2
00
2
d
2
dd
方向如图
Id
d
R
x?
P
y
B?d
0d yy BB由对称性：
Id
d
R
x?
P
y
B?d
I?d
'dB?
R
I
R
IBBB
x 200 20 2
ds i n s i nd
沿 方向x?
xP
R o
[例二 ] 圆电流轴线上的磁场（ ）RI,
lI?d解,在圆电流上取 电流 元
r? B?d
2
0
2
0
4
d
4
90s i ndd
r
lI
r
lIB
方向如 图
lI?d
I
各电流元在 点 大小相等，方向不同,由对称性,P B?d
0d BB
x
PRo
r? B?d
'dB?
y
z
P
B?d
lI?d
I
lId
2
3
)(2
d
4
4
d
c o sd
22
2
0
2
0
3
0
2
0
2
0
//
xR
IR
l
r
IR
r
R
r
lI
BBB
R
R
x?,方向 （右螺旋 法则）
ixR IRB
23)(2 22
2
0
轴线上
x
PR o
r? B?d
'dB?
lI?d
'lI?d
I
讨论：
nRIP m 2圆电流磁矩,
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
圆电流 轴线上磁场,
2,圆心处磁 场
R
INBN
R
IB
2,; 2
0000 匝,x 0?
1,定义电流的磁矩
nSIPm
规定正法线方向,与 绕向成右旋关系In?
电流所包围的面积:S
I
S
mP? n
讨论：
3,画 B－ x 曲线
xo
B
ixR IRB
23)(2 22
2
0
练习,求下图中
oB?
o
R
I
I
o
R
8 00 RIB? RIR IB 4 83 000
练习,亥姆霍兹圈,两个完全相同的 N 匝共轴密绕短线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平行等大电流 I。 求轴线上 之间任一点 P 的磁场,21,oo
xI
P
1o
匝N
R R
R 匝N
o 2oI
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I RB
P
2
3])
2([(2
22
2
0
xRR
N I R
720 00 RNI.B
680 00201 RNI.BB
实验室用近似均匀磁场
x
o1o
2B1B
2o
[例三 ]均匀带电球面 ( ),绕直径以 匀速旋转?,R?
求球心处
0B
R
o
x
旋转带电球面 许多环形电流等 效解：
ds i n2 dd 2RqI等效圆电流：
r取半径 的环带?
r
Id
d2dd rRSq
R
o
x
r
Id
ds i n
2
2
s i nds i n
)(2
d
d
3
0
3
222
0
22
2
0
2
3
R
R
RR
xr
Ir
B
RRBB 0
0
30
3
2ds i n
2d
RB 032?
写成矢量式：
B?d
方向如图练习,求,?
0?B
已知,,..R
思考：
d?B?d?I?d?q
R
rBB
0
0 d
4d?
R
04
1?
RB 00 4 1?
写成矢量式：
r
IB
2
dd 0方向：o
R
rrq dd
2
dd qI?
rd
r
[例四 ]带电圆环（ ）顺时针旋转（ ）求
mP
..R.R?21
1R2R
o
解 1,rrq d2d
rrqI d2 ddr
)(
2
1
dd
2
1
2
2
2
1
2
1
RR
rrII
R
R
R
R
)(21 2122 RRISP m )(
2122 RR 22
1
2
2 )(2 RR
)(2 2122 RRqP m
对否？
解 2,rrq d2d
rrqI d2 dd
rrIrP m ddd 32
)(4 2122 RRqP m
4
))((
)(
4
dd
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
4
2
3
2
1
RRRR
RRrrPP
R
R
mm
解 1.错误；解 2.正确！
1R2R
o
r
自学 p278 [例 4]
载流密绕直螺线管轴线上磁场,
思路,将螺线管视为由多匝紧密排列的圆电流组成。建立如图坐标系，由圆电流轴线上的磁场分布和磁场叠加原理计算。
L
R
n
P
x1 x2
x
o
22
1
1
22
2
20
2 Rx
x
Rx
xnIB?
方向由右手螺旋定则确定
I
n
L
特例,无限长（ ）载流直螺线管内的磁场：
(下讲用安培环路定理求解 )
LR
nIB 0
（ 3） 由 叠加原理,（分量积分）
一,用毕 — 沙定律求 分布B?
（ 1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（ 2）由毕 — 沙定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB d
小结：
二,电流的磁矩
nSIP m
三,部分典型电流磁场公式：
2,圆电流轴线上磁场：
1,无限长直电流：
圆电流圆心处磁场：
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
a
IB
2
0?
2 00 RIB
3,无限长载流直螺线管内的磁场,nIB 0
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
304 r
ruqB
相对于观察者以 匀速直线运动的点电荷的磁场
u?
304
dd r rlIB
电流元 的磁场lI?d点电荷电场
304 r
rqE
无限长均匀带电直线的电场带电直线） ( 2
0 r
E
r
IB
2 0?
无限长直电流的磁场
（环绕电流）
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
2323 )(2)(2 22
0
22
2
0
xR
P
xR
iIRB m
圆电流轴线上磁场均匀带电圆环轴线上电场
232204
1
)xR(
iqxE
圆电流圆心处磁场
200 RIB
带电圆环 圆心处电场 0?E?
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理描述空间矢量场一般方法用场线描述场的分布用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质一,磁场高斯定理切向：该点 方向疏密：正比于该点 的大小1.磁感应线 B?
B?
特点闭合,或两端伸向无穷远；
与载流回路互相套联；
互不相交,
2,磁通量通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
SBSBSBm ddc o sdd
B?
n?
Sd
微元分析法 （以平代曲，以恒代变）
SBSm d
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正方向。
0?m?
进入的磁感应线穿出的磁感应线
n?
n?
B?
B?
3,磁场的高斯定理穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：
0d SBS
磁场是 无源场磁感应线闭合成环，无头无尾；
不存在磁单极,
0d SBS
S
介绍：寻求磁单极问题
1.理论需要
（ 1）对称性需要产生电场电荷运动磁荷？
变化磁场产生磁场磁荷？
运动电荷变化电场麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全
（ 2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）
)2( ghcne?
（ n为整数）
基本电荷 基本磁荷
（ 3）大统一理论要求：
带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量
2
16
2 c
G e V10 ~
hcc
gm
基本磁荷 大统一能量尺度大爆炸初期形成,至今含量如何？
2,实验探求（ 1931 年 — 今）
1975 年,美国加州大学，休斯敦大学联合小组报告,用装有宇宙射线探测器气球在 40 km 高空记录到电离特强离子踪迹,认为是磁单极,
后来被证实为一次虚报,
1982 年,美国斯坦福大学报告，用 d=5 cm 的 超导线圈放入 D=20 cm 超导铅筒,由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化,
运行 151 天,记录到一次磁通突变,改变量与狄拉克理论相符 。 但未能重复，为一悬案,
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，
将改写电磁理论,根据对应原理，旧理论将成为新理论在极限条件下的特例。
方向：rIB2 0
SBm dd
rlS dd?
a
baIl
r
rIlSB ba
aS
m
lndd
22
00
练习,已知,I,a,b,l 求：
解：
m?
I
o r?
a
b
l
Sd
