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本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场习题课 (第十章 )
一,基本概念：
稳恒磁场，磁感应强度，磁通量，电流的磁矩，
磁场强度,……
二,基本规律：
高斯定理－无源场安培环路定理－涡旋场
)L(
0d
0d
穿过
i
L
S
IlB
SB
毕－萨定律安培定律三,基本计算：
2） 的计算：mP
mmm PP;nISP
ddd
3）磁力、磁力矩
BPM
FFBlIF
Bvqf
m
mmm
m
d;dd
1） 的计算B?
S
m SB
d?磁通量叠加法安培环路定理（对称性）
BBI d)(d 各种典型电流
BBl 毕－沙定律dId
2dd qI?带电体旋转：
4）典型电流分布的磁场（ P307－ 308）
z
xoj?
[例一 ] p 310 10-11
xy平面内无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j，
求,分布B? x方向单位长度上的电流解 1,用叠加原理思考：
如何选取积分元？
dI＝?
dB的大小、方向？
xjI dd?取电流管：
r
IB
2
dd 0? 方向如图
Idr
r
B?d
B?d
由对称性：
0d zz BB
z
'B?dr
Id
'Id
r?
B?d
B?d
'B?d
z
x
xo
j?
能否利用对称性化简？
r
z
r
xj
BBB x
2
d
c o sdd
0
220 d2 zx xzj zxzzj a r c t g12 0 20 j
xz,0
xz,0
无限大载流平面上下为均匀场
20j?
20j x
B
o
解 2.用安培环路定理思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlBL 0 2d 20 jB得：由：
如何在对称性分析的基础上选择安培环路？
选如图安培环路,
取顺时针方向为正方向。
z
xj?
L
l
（可以）
（不能）
[例二 ] P310 10-12
在半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面内均匀分布，方向平行于轴线，求：
door
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
OB
即在空心部分中补上与实体具有相同的电流密度的两个反向电流（ 和 ）
这等价于原来的空心部分,
解：用补偿法部分电流与原电流 构成实心圆柱电流,
方向向外,1
I
I?
R
r
d
I?
P
O O?
原电流分布等效于：
实心圆柱电流,方向,磁场空腔部分反向电流 方向,磁场
1I
2I
1B
2B
所求磁场为,21 BBB
电流密度：
22 rR
Ij
21 RjI
22 rjI
电流：
d
IB
O?
2
20
2?
由安培环路定理：
01?OB
)rR(d
IrBBB
ooo 22
2
0
21 2
方向如图，与 成右旋关系2I
R
r
d
I?
oB
P
o o?
B?2,空心部分中任一点 P的磁感应强度
1r?
1B
2r?
2B
x
2L
1I
o
o?
2I
1L
y
d?
P
对空腔内任一点 P,设,
1rOP? 2rPO
由安培环路定理,2
1011 2d1 rjrBlBL
2
10
1
jrB得：
2
20
2
jrB同理可得：
R
r
d
I?
oB
P
o o?
21 BBB
1
0
2 rk
j
2
20
2 rk
jr
)(2 210 rrkj dkj 20?
空腔内为垂直于 的均匀磁场：d?
)rR(
IdB
22
0
2
1r?
1B
2r?
2B
x
2L
1I
o
o?
2I
1L
y
d?
P
B?
1
110
1 2 r
rkjrB
2
220
2 2 r
rkjrB
写成矢量式：
小结,形成均匀磁场的方法长直载流螺线管无限大载流平面上、下亥姆霍兹圈
……
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
R
d
I?
B?
o o?
[例三 ] P311 10-15
已知,iEE kBB,
,q,m,d? ivv 00?
m
q
m在 P点恰不与板相碰求,P点轨道曲率半径 Pr
y
z xo
0v?
q,m
d
B?
A
P
+ -
解,定性分析 q在电磁场中的运动,y
z xo
0v?q,m
d
B?
A
P
+ -Pv?
Q
mF?
eF?
n?
由对称性原理：轨道为平面曲线,
q在任意位置 Q受力如图恰不与板相碰,板,//vP?
q在位置 P受力如图
P点法向方程,
P
P
P r
vmqEB q v 2 （ 1）
2
0
2
2
1
2
1 mvmvq E d
P
过程能量方程,（ 2）
)2(
)2(
2
0
2
0
EvEd
m
q
Bq
Ed
m
q
vm
r P
由 （ 1）,（ 2）得：
)2(
2
2
0
2
0
EvEdB
Edv
y
z xo
0v?q,m
d
B?
A
P
+ -Pv?
Q
mF?
eF?
n?
eF?
mF?
[例题 ] P312 10-19
解,图中 分布如何形成的？B?
j?
上B
下B?
+0B
已知：
求,载流平面上单位面积所受磁场力
21 B,B
1B
2B
x
z
j
由安培环路定理：
2
0 jBBB
下上
2 120
BBB
BBB 01
0
12
BBj
BBB 02
2 12
BBB
2
0 jB
由无限大载流平面上任一电流元受载流平面上其它电流磁场力的合力为零,只计算其所受均匀场的作用,
0B
j?
0B?z
x
SjyxjlI dddd电流元
SjBlIBF ddd 00
单位面积受力：
jBSF 0dd 2 12 BB?
0
12
BB
0
2
1
2
2
2?
BB z?方向本章共 3.5讲第三篇 相互作用和场第十一章 变化中的磁场和电场第十一章 变化中的磁场和电场
J,C,Maxwell
（ 1831－ 1879）
法拉第实验所提供的存在力线的美妙例子，促使我相信力线是某种实际存在的东西 ……,我主要是抱着给法拉第这些观念提供数学基础的愿望来承担这部著作的写作工作。
－－－麦克斯韦相对论建立以前，人们通过对变化中的场的研究认识到电场与磁场的联系，并建立了经典电磁学的基本方程,
结构框图：
法拉第电磁感应定律感应电动势的计算磁场能量麦克斯韦的两条假设涡旋电场位移电流经典电磁理论的基本方程重点：
法拉第电磁感应定律，动生电动势，涡旋电场，感生电动势，
自感，互感，磁场能，位移电流，麦克斯韦方程组难点：
感应电动势的计算，涡旋电场，位移电流，麦克斯韦方程组学时,7
§ 11.1 电磁感应一,法拉第电磁感应定律
1820年,奥斯特实验：电 — 磁
1821 — 1831年：法拉第实验：磁 — 电对称性
Faraday
1791-1867
法拉第是著名的自学成才的英国科学家。
生于贫苦铁匠家庭。仅上过小学,13岁便在书店里当学徒。后来受到化学家戴维的赏识，
踏上科学研究道路。主要从事电学、磁学、
磁光学、电化学方面的研究，并在这些领域取得了一系列重大发现。在 1831年发现了电磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电能相互转变的方法，成为现代发电机、电动机、变压器技术的基础。
内容,闭合回路中感应电动势的大小与通过回路的磁通量的变化率成正比：
tN
m
d
d
穿过每匝线圈的磁通量线圈匝数楞次定律要求
,通过线圈的磁通链数 （全磁通）mm N
tt
N
tN
mmm
d
d
d
)d(
d
d
中学原副线圈实验：
铁棒插入、取出时，
电流计指针偏转。 K
原线圈副线圈铁棒
G
nIB r 0?
nIH?
B与磁介质有关，引起闭合回路中产生感应电动势的是通过回路的 通量的变化，而不是 通量的变化B? H?
讨论：
（ 1） 通量还是 通量？还是二者皆可？H?Bm?,?
楞次定律的本质是能量守恒。
2）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相排斥，
磁铁减速运动，其动能转变为感应电流能量。
不违反能量守恒定律。
（ 2）式中负号含义,楞次定律的本质是什么？
v
s NN s
v
sN sN
1） 2）
1）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相吸引，
磁铁加速运动和感应电流能量从何而来？违反能量守恒定律，故不能成立。
t
t
N
m
m
d
d
d
d
s sm SBSB dc o sd
引起 变化的原因：
m? 变化S,,B?
（ 3）引起 变化的原因有哪些？与参考系选择有关吗？m?
不同惯性系中的变换很难概括为一个简单公式，
分两种情况处理。
v
s N sN
对线圈参考系,变化B?
对磁铁参考系：
相对位置关系变化。与 SB?
[例 ]
二,动生电动势
1,磁场分布不变，导体运动引起穿过回路的磁通量变化所产生的感应电动势叫动生电动势 。
2,产生机理,产生 的非静电力是什么力？动?
平衡时
,电源,反抗 做功，将 由负极 正极,
维持 的非静电力 — 洛仑兹力
cd
mf
q?ef
U?
mf
l
ef
d
c
v
B?
U?
em ff?
l
UqqEq v B
B lvU
动?
产生 的非静电力
BvqfF mK
BvqfE mK
非静电场强
（经内电路）
动 lE K
d
（经内电路）
lBv
d)(
由电动势定义：
lBvL d)(动?
或：
mf
l
ef
d
c
v
B?
U?
3,能量关系洛仑兹力不对运动电荷做功洛仑兹力充当非静电力 矛盾？
思考：
0?fmA
0mfA
0?FmA
y
mF
x
d
c?
B?
mf
mf?
V?
v?
'v?
如图所示：
充当非静电力的只是载流子所受总磁场力的一个分力 m
F?
mf
4,计算（两种方法）
（ 2）由法拉第定律求
t
m
d
d
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
大小和方向可分别确定,?
（ 1）由电动势定义求
lBvlE LL K d)(d动?
（经内电路）
动 lBv
d)(?
[例一 ]长 的铜棒,绕其固定端 在均匀磁场中，以 逆时针转动,铜棒与 垂直,
求
B?
OAL O B?
动?
l?A
o
B?
L
llB
lvBlBv
d
dd)(d
解 1,取线元 l?d
lv
)( Bv 与 同向l?dBv
l?d
v?
2
2
1dd LBllBL
o
oA
22 21dd21dd BLtBLt m
由楞次定律, oA,
解 2,
构成扇形闭合回路 AOCA
221 LBBS A O C Am
L
A
B?
o C
[例二 ] P342 11 -7
已知,求：x,v,a,b,I?
？动
M x
v?
b
a
o
I
N
Qx
P
l?d
B 解 1：
Bv xIv20
方向
方向?
x
IB
2
0?
Bv
lBv
lBv
N
M
L
d)(
d)(动?
lBv
P
N
d)(
lBv
Q
P
d)(
lBv
M
Q
d)(
0 2 2
lBv
L
d)(动?
02 d0
0
x lIv
b
0])(2 d[ 0
0
ax lIv
b
M x
v?
b
a
o
I
N
Qx
P
l?d
B Bv
)(2
)(
2
0
0
axx
I v a b
ax
b
x
bIv
顺时针指向
xbS dd?
SBm dd?
x
xIb
2
d0
x
IB
2
0?
解 2：
mm d ax
x x
xIb d
2
0
x
axIb ln
2
0
txxt mm dddddd 动 )(2 0 axx I v a b
v
顺时针指向
x
vb
a
B
o
I
x
sd
[例三 ] p342 11 - 6
已知,v,b,aI?,
求：
NM UU?,动?
连接 构成闭合回路，
穿过回路 不变,
解：
m?
MN
0dd NMM e Nmt
e
l
v
a
N
o
I
M
Bv
B
ba?
NM UU?,ba
baIv
ln
2
0
MNNMM e N lBvN
M
d)(
llIv
ba
ba
dc o s2 0
,ba baIv ln20
NM UU?
本章共 5.5讲第三篇 相互作用和场第十章 运动电荷间的相互作用和稳恒磁场习题课 (第十章 )
一,基本概念：
稳恒磁场，磁感应强度，磁通量，电流的磁矩，
磁场强度,……
二,基本规律：
高斯定理－无源场安培环路定理－涡旋场
)L(
0d
0d
穿过
i
L
S
IlB
SB
毕－萨定律安培定律三,基本计算：
2） 的计算：mP
mmm PP;nISP
ddd
3）磁力、磁力矩
BPM
FFBlIF
Bvqf
m
mmm
m
d;dd
1） 的计算B?
S
m SB
d?磁通量叠加法安培环路定理（对称性）
BBI d)(d 各种典型电流
BBl 毕－沙定律dId
2dd qI?带电体旋转：
4）典型电流分布的磁场（ P307－ 308）
z
xoj?
[例一 ] p 310 10-11
xy平面内无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j，
求,分布B? x方向单位长度上的电流解 1,用叠加原理思考：
如何选取积分元？
dI＝?
dB的大小、方向？
xjI dd?取电流管：
r
IB
2
dd 0? 方向如图
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B?d
B?d
由对称性：
0d zz BB
z
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能否利用对称性化简？
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2
d
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0
220 d2 zx xzj zxzzj a r c t g12 0 20 j
xz,0
xz,0
无限大载流平面上下为均匀场
20j?
20j x
B
o
解 2.用安培环路定理思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlBL 0 2d 20 jB得：由：
如何在对称性分析的基础上选择安培环路？
选如图安培环路,
取顺时针方向为正方向。
z
xj?
L
l
（可以）
（不能）
[例二 ] P310 10-12
在半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面内均匀分布，方向平行于轴线，求：
door
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
OB
即在空心部分中补上与实体具有相同的电流密度的两个反向电流（ 和 ）
这等价于原来的空心部分,
解：用补偿法部分电流与原电流 构成实心圆柱电流,
方向向外,1
I
I?
R
r
d
I?
P
O O?
原电流分布等效于：
实心圆柱电流,方向,磁场空腔部分反向电流 方向,磁场
1I
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2B
所求磁场为,21 BBB
电流密度：
22 rR
Ij
21 RjI
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电流：
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IB
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2
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由安培环路定理：
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方向如图，与 成右旋关系2I
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B?2,空心部分中任一点 P的磁感应强度
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由安培环路定理,2
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2
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21 BBB
1
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j
2
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空腔内为垂直于 的均匀磁场：d?
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x
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2I
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y
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P
B?
1
110
1 2 r
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2
220
2 2 r
rkjrB
写成矢量式：
小结,形成均匀磁场的方法长直载流螺线管无限大载流平面上、下亥姆霍兹圈
……
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
R
d
I?
B?
o o?
[例三 ] P311 10-15
已知,iEE kBB,
,q,m,d? ivv 00?
m
q
m在 P点恰不与板相碰求,P点轨道曲率半径 Pr
y
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由对称性原理：轨道为平面曲线,
q在任意位置 Q受力如图恰不与板相碰,板,//vP?
q在位置 P受力如图
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P
P
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过程能量方程,（ 2）
)2(
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2
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q
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由 （ 1）,（ 2）得：
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A
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mF?
[例题 ] P312 10-19
解,图中 分布如何形成的？B?
j?
上B
下B?
+0B
已知：
求,载流平面上单位面积所受磁场力
21 B,B
1B
2B
x
z
j
由安培环路定理：
2
0 jBBB
下上
2 120
BBB
BBB 01
0
12
BBj
BBB 02
2 12
BBB
2
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由无限大载流平面上任一电流元受载流平面上其它电流磁场力的合力为零,只计算其所受均匀场的作用,
0B
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x
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SjBlIBF ddd 00
单位面积受力：
jBSF 0dd 2 12 BB?
0
12
BB
0
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1
2
2
2?
BB z?方向本章共 3.5讲第三篇 相互作用和场第十一章 变化中的磁场和电场第十一章 变化中的磁场和电场
J,C,Maxwell
（ 1831－ 1879）
法拉第实验所提供的存在力线的美妙例子，促使我相信力线是某种实际存在的东西 ……,我主要是抱着给法拉第这些观念提供数学基础的愿望来承担这部著作的写作工作。
－－－麦克斯韦相对论建立以前，人们通过对变化中的场的研究认识到电场与磁场的联系，并建立了经典电磁学的基本方程,
结构框图：
法拉第电磁感应定律感应电动势的计算磁场能量麦克斯韦的两条假设涡旋电场位移电流经典电磁理论的基本方程重点：
法拉第电磁感应定律，动生电动势，涡旋电场，感生电动势，
自感，互感，磁场能，位移电流，麦克斯韦方程组难点：
感应电动势的计算，涡旋电场，位移电流，麦克斯韦方程组学时,7
§ 11.1 电磁感应一,法拉第电磁感应定律
1820年,奥斯特实验：电 — 磁
1821 — 1831年：法拉第实验：磁 — 电对称性
Faraday
1791-1867
法拉第是著名的自学成才的英国科学家。
生于贫苦铁匠家庭。仅上过小学,13岁便在书店里当学徒。后来受到化学家戴维的赏识，
踏上科学研究道路。主要从事电学、磁学、
磁光学、电化学方面的研究，并在这些领域取得了一系列重大发现。在 1831年发现了电磁感应定律。这一划时代的伟大发现，使人类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电能相互转变的方法，成为现代发电机、电动机、变压器技术的基础。
内容,闭合回路中感应电动势的大小与通过回路的磁通量的变化率成正比：
tN
m
d
d
穿过每匝线圈的磁通量线圈匝数楞次定律要求
,通过线圈的磁通链数 （全磁通）mm N
tt
N
tN
mmm
d
d
d
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d
d
中学原副线圈实验：
铁棒插入、取出时，
电流计指针偏转。 K
原线圈副线圈铁棒
G
nIB r 0?
nIH?
B与磁介质有关，引起闭合回路中产生感应电动势的是通过回路的 通量的变化，而不是 通量的变化B? H?
讨论：
（ 1） 通量还是 通量？还是二者皆可？H?Bm?,?
楞次定律的本质是能量守恒。
2）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相排斥，
磁铁减速运动，其动能转变为感应电流能量。
不违反能量守恒定律。
（ 2）式中负号含义,楞次定律的本质是什么？
v
s NN s
v
sN sN
1） 2）
1）：线圈中感应电流磁场与磁铁互相吸引，
磁铁加速运动和感应电流能量从何而来？违反能量守恒定律，故不能成立。
t
t
N
m
m
d
d
d
d
s sm SBSB dc o sd
引起 变化的原因：
m? 变化S,,B?
（ 3）引起 变化的原因有哪些？与参考系选择有关吗？m?
不同惯性系中的变换很难概括为一个简单公式，
分两种情况处理。
v
s N sN
对线圈参考系,变化B?
对磁铁参考系：
相对位置关系变化。与 SB?
[例 ]
二,动生电动势
1,磁场分布不变，导体运动引起穿过回路的磁通量变化所产生的感应电动势叫动生电动势 。
2,产生机理,产生 的非静电力是什么力？动?
平衡时
,电源,反抗 做功，将 由负极 正极,
维持 的非静电力 — 洛仑兹力
cd
mf
q?ef
U?
mf
l
ef
d
c
v
B?
U?
em ff?
l
UqqEq v B
B lvU
动?
产生 的非静电力
BvqfF mK
BvqfE mK
非静电场强
（经内电路）
动 lE K
d
（经内电路）
lBv
d)(
由电动势定义：
lBvL d)(动?
或：
mf
l
ef
d
c
v
B?
U?
3,能量关系洛仑兹力不对运动电荷做功洛仑兹力充当非静电力 矛盾？
思考：
0?fmA
0mfA
0?FmA
y
mF
x
d
c?
B?
mf
mf?
V?
v?
'v?
如图所示：
充当非静电力的只是载流子所受总磁场力的一个分力 m
F?
mf
4,计算（两种方法）
（ 2）由法拉第定律求
t
m
d
d
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
大小和方向可分别确定,?
（ 1）由电动势定义求
lBvlE LL K d)(d动?
（经内电路）
动 lBv
d)(?
[例一 ]长 的铜棒,绕其固定端 在均匀磁场中，以 逆时针转动,铜棒与 垂直,
求
B?
OAL O B?
动?
l?A
o
B?
L
llB
lvBlBv
d
dd)(d
解 1,取线元 l?d
lv
)( Bv 与 同向l?dBv
l?d
v?
2
2
1dd LBllBL
o
oA
22 21dd21dd BLtBLt m
由楞次定律, oA,
解 2,
构成扇形闭合回路 AOCA
221 LBBS A O C Am
L
A
B?
o C
[例二 ] P342 11 -7
已知,求：x,v,a,b,I?
？动
M x
v?
b
a
o
I
N
Qx
P
l?d
B 解 1：
Bv xIv20
方向
方向?
x
IB
2
0?
Bv
lBv
lBv
N
M
L
d)(
d)(动?
lBv
P
N
d)(
lBv
Q
P
d)(
lBv
M
Q
d)(
0 2 2
lBv
L
d)(动?
02 d0
0
x lIv
b
0])(2 d[ 0
0
ax lIv
b
M x
v?
b
a
o
I
N
Qx
P
l?d
B Bv
)(2
)(
2
0
0
axx
I v a b
ax
b
x
bIv
顺时针指向
xbS dd?
SBm dd?
x
xIb
2
d0
x
IB
2
0?
解 2：
mm d ax
x x
xIb d
2
0
x
axIb ln
2
0
txxt mm dddddd 动 )(2 0 axx I v a b
v
顺时针指向
x
vb
a
B
o
I
x
sd
[例三 ] p342 11 - 6
已知,v,b,aI?,
求：
NM UU?,动?
连接 构成闭合回路，
穿过回路 不变,
解：
m?
MN
0dd NMM e Nmt
e
l
v
a
N
o
I
M
Bv
B
ba?
NM UU?,ba
baIv
ln
2
0
MNNMM e N lBvN
M
d)(
llIv
ba
ba
dc o s2 0
,ba baIv ln20
NM UU?
