?
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
§ 9.7 静电场中的电介质一,电介质的极化及其描述
1.电介质的分类物质结构中存在着正负电荷。
HH
HH
C
正、负电荷中心重合－无极分子电介质。例如：
正、负电荷中心不重合－ 有极分子 电介质。例如：
无外场时
4CH 分子
OH2 分子
H H
o
104
2.极化现象无极分子 电介质
H
H
C
H
H
无外场 0?ip? 0
i i
p?
0E?
ip?
E
外场中 (位移极化 ) 0?ip? 0
i i
p?
不一定与表面垂直总 00 EEE
出现束缚电荷和附加电场被约束在分子内有极分子 电介质
H H
o
104
无外场 0?ip? 0
i i
p?
E
+
+
+
0E?
+-
F?
F?
ip?
外场中 (转向极化 ) 0?
ip? 0
i i
p?
出现束缚电荷和附加电场位移极化和转向极化微观机制不同，宏观效果相同。
统一描述 0i ip?
出现束缚电荷 (面电荷、体电荷 )
实例,均匀介质球在均匀外场中的极化极化电荷的附加电场,非均匀场，在介质球内与外场反向。
总电场,在介质球外可能与外场同向或反向。
在介质球内削弱外场。
3,金属导体和电介质比较有大量的自由电子基本无自由电子，正负电荷只能在分子范围内相对运动金属导体特征电介质（绝缘体）
模型与电场的相互作用宏观效果
,电子气” 电偶极子静电感应有极分子电介质,
无极分子电介质,
转向极化位移极化静电平衡导体内导体表面感应电荷
00,E?
E0
表面?E?
内部：分子偶极矩矢量和不为零出现束缚电荷（极化电荷）
0
i i
p?
4.极化现象的描述
（ 1） 从分子偶极矩角度
V
pP i
单位体积内分子偶极矩矢量和 —— 极化强度,
LnqP 1?
设 分子数密度,n
极化后每个分子的偶极矩,Lq?
1
实验规律,EP
0
介质极化率 总场 EEE 0
空间矢量函数
:? 由介质的性质决定，与 E无关。在各向同性均匀介质中为常数。
2）从束缚电荷角度电介质表面出现厚度 l的束缚电荷层作如图斜圆柱：底面平行于介质表面；母线平行于外电场，长度为分子正、负电荷中心距离。
lSd
n?
E?+
1q- +1q- q?d
求移过面元 dS的电量，即如图斜圆柱内的束缚电荷电量 dq'
c o sdd SlV?
SPSlnqVnqq dco sco sd dd 11
nPPS
q c o s
d
d
极化面电荷密度等于极化强度的外法线分量
lSd
n?
E?+
1q- +1q- q?d
Vd
S
介质非均匀极化时，出现极化体电荷
S?d
SP
SPq
d
d c o sd
移过面元 dS的电量
内qqSPs 'dd移出封闭曲面 S的电量
s s qSP 内 d
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化电荷代数和的 负 值二,电介质中的电场
'0 EEE1.总场 =外场 +极化电荷附加电场
'
'''
EEE
),(qPE
0
0
2.介质中的高斯定理定义,电位移矢量 PED
0?
静电场高斯定理
内内内
s s
'
ss
)SPq()qq(qSE d111d 0
0
0
00
自由电荷极化电荷
s s qS)PE( 内 00 d
s s qSD 内 0d
电介质中的高斯定理：
电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量等于曲面内自由电荷的代数和
,Pq ' 0,0 EPED 00
)S(s
qSE
内
0
0
1d
回到：
特例,真空 —— 特别介质
3,如何求解介质中电场？
本课程只要求特殊情况各向同性电介质分布具有某些对称性'q,q0
注意：
s SD,d D 穿过闭合曲面的 通量仅与 有关。
:0 PED 与 均有关'qq,0? 电位移矢量
内s q0
令
r1
介质的相对电容率
r
DDE
0
EED r 0得 真空电容率介质电容率:
:
r
0
0
式中，
E)(EEPED 10000
EP 0 为常数?
（ 1）各向同性电介质：
才能选取到恰当高斯面使 积分能求出,
s SD
d
（ 2） 分别具有某些对称性'q,q
0
步骤,对称性分析，选高斯面,
DqSD
S(s
)
0d
内
EDE
r
0
0q注意,的对称性 —— 球对称、轴对称、面对称,
电介质分布的对称性均匀无限大介质充满全场（ p246[例一 ]）
介质分界面为等势面（ p246[例二 ]）
介质分界面与等势面垂直（ p266 9.35）
[例 ](p266 9-35)
已知,平行板电容器 V300,00 U?
充一半电介质,5?
r?
求：
U,,E,D
,,E,D '
2022
11011
解,介质分界面 等势面，
未破坏各部分的面对称性，
选底面与带电平板平行的圆柱面为高斯面,
2010
10 20
'1
'1
U
r?
S
2010
10 20
'1
'1
Ur?
S
S? S?
Sq
S(
10) 0
内
侧上 下 SDSDSDSDSDs 11111 dddd
导体内 0?E? 0cos
由高斯定理
)
01 d
内S(s
qSD SSD 101?
r
DED
0
1
1101 ;
0
2
2202 ;
DED同理：
SSS 02010 22
电量不变：
UdEdE 21又：
0110 3
5 D
0220 3
1 D
0
0
21 3
1?
EE
解得：
2010
10 20
'1
'1
dr?
S
S? S? S?
V300
0
0
00 ddEU?
已知充介质前：
V1 0 033 0
0
0
1
UddEU
充介质后：
0
0
0
0
10111
'
1
3
4
3
)1(
c o s
r
n EPPP
2010
10 20
'1
'1
dr?
S
n?
P?
比较：
000 V 3 0 0
DE
0
0
充介质前充介质后 00 31 35
03
4
01 3
5D
02 3
1D
0
021 3 EE
V100
§ 9.8 电容 电容器一,电容提高单位水位所注入的水量与周围导体，
电介质，
带电体分布有关提高单位电势所增加的带电量
U
QC?
极板间距 线度由于静电屏蔽，
值稳定,C
两极板间电势差为一个单位时，
极板的带电量,
U
QC
容器储水能力 导体储存电荷能力 电容器储电能力类比：
二,电容的计算孤立导体电容取决于本身形状大小,与其是否带电无关。
令孤立导体,周围无其他导体，电介质，带电体,
由电容定义：
RUQC 04
则金属球电势：
R
QU
04
0U设其带电量为 Q
[例 1] 半径 R 的孤立金属球的电容练习,估算地球的电容,F107 4
地球C
[例 2] 推求圆柱型电容器的电容公式,并总结求电容器电容的一般方法,
求,C已知,.,R,R,L r 21?
Lr
QDE
rr 00 2
LrQD?2?得：
解,设极板带电量 Q
1R
2R
L
r?
Q
作半径,
高 h的同轴圆柱面为高斯面,
)RrR(r 21
hLQrhDSD
s
2d
r
hS
2
1
2
1
d
2 d 0
R
Rr
R
R r
r
L
QrEU
1
2
0
ln2 RRLQ
r
1
2
0
ln
2
R
R
L
U
Q
C r
由电容定义：
电容器两极板间电势差：
1R
2R
L
r?
Q r
hS
自学,p248 [例二 ],[例三 ]
o
2R
1R
r?
12
2104
RR
RRC r
球形电容器
r?
S
d
平行板电容器
d
SC r 0?
总结,求电容器电容的一般方法
2）选高斯面，求 ED
1）设极板带电 Q
lEU d3）求电容器两极板间电势差
U
QC
4）由电容定义练习,求两平行长直导线单位长度间的电容
（ 导线半径 a,轴线间距离 d）
解,设单位长度带电
E
)(22 00 xdx
0 （导体内）
（导体间）
a
adx)
xdx(lEU
ad
a
d
o
lnd112d
00
a
d
a
adUC lnln
00
E?
x
a a
x
o d
i iCC
11
串
i iCC 并三,电容器的串并联练习,前 [例 ]9-35(2）
U5?r?
S
21 CC
d
S
d
S
C rr 22 001
d
S
d
S
C 22 002
00021 32
1 1
2 CC)(d
SCCC r
r?
V)1003 0 (UU
不变Q
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
§ 9.7 静电场中的电介质一,电介质的极化及其描述
1.电介质的分类物质结构中存在着正负电荷。
HH
HH
C
正、负电荷中心重合－无极分子电介质。例如：
正、负电荷中心不重合－ 有极分子 电介质。例如：
无外场时
4CH 分子
OH2 分子
H H
o
104
2.极化现象无极分子 电介质
H
H
C
H
H
无外场 0?ip? 0
i i
p?
0E?
ip?
E
外场中 (位移极化 ) 0?ip? 0
i i
p?
不一定与表面垂直总 00 EEE
出现束缚电荷和附加电场被约束在分子内有极分子 电介质
H H
o
104
无外场 0?ip? 0
i i
p?
E
+
+
+
0E?
+-
F?
F?
ip?
外场中 (转向极化 ) 0?
ip? 0
i i
p?
出现束缚电荷和附加电场位移极化和转向极化微观机制不同，宏观效果相同。
统一描述 0i ip?
出现束缚电荷 (面电荷、体电荷 )
实例,均匀介质球在均匀外场中的极化极化电荷的附加电场,非均匀场，在介质球内与外场反向。
总电场,在介质球外可能与外场同向或反向。
在介质球内削弱外场。
3,金属导体和电介质比较有大量的自由电子基本无自由电子，正负电荷只能在分子范围内相对运动金属导体特征电介质（绝缘体）
模型与电场的相互作用宏观效果
,电子气” 电偶极子静电感应有极分子电介质,
无极分子电介质,
转向极化位移极化静电平衡导体内导体表面感应电荷
00,E?
E0
表面?E?
内部：分子偶极矩矢量和不为零出现束缚电荷（极化电荷）
0
i i
p?
4.极化现象的描述
（ 1） 从分子偶极矩角度
V
pP i
单位体积内分子偶极矩矢量和 —— 极化强度,
LnqP 1?
设 分子数密度,n
极化后每个分子的偶极矩,Lq?
1
实验规律,EP
0
介质极化率 总场 EEE 0
空间矢量函数
:? 由介质的性质决定，与 E无关。在各向同性均匀介质中为常数。
2）从束缚电荷角度电介质表面出现厚度 l的束缚电荷层作如图斜圆柱：底面平行于介质表面；母线平行于外电场，长度为分子正、负电荷中心距离。
lSd
n?
E?+
1q- +1q- q?d
求移过面元 dS的电量，即如图斜圆柱内的束缚电荷电量 dq'
c o sdd SlV?
SPSlnqVnqq dco sco sd dd 11
nPPS
q c o s
d
d
极化面电荷密度等于极化强度的外法线分量
lSd
n?
E?+
1q- +1q- q?d
Vd
S
介质非均匀极化时，出现极化体电荷
S?d
SP
SPq
d
d c o sd
移过面元 dS的电量
内qqSPs 'dd移出封闭曲面 S的电量
s s qSP 内 d
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化电荷代数和的 负 值二,电介质中的电场
'0 EEE1.总场 =外场 +极化电荷附加电场
'
'''
EEE
),(qPE
0
0
2.介质中的高斯定理定义,电位移矢量 PED
0?
静电场高斯定理
内内内
s s
'
ss
)SPq()qq(qSE d111d 0
0
0
00
自由电荷极化电荷
s s qS)PE( 内 00 d
s s qSD 内 0d
电介质中的高斯定理：
电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量等于曲面内自由电荷的代数和
,Pq ' 0,0 EPED 00
)S(s
qSE
内
0
0
1d
回到：
特例,真空 —— 特别介质
3,如何求解介质中电场？
本课程只要求特殊情况各向同性电介质分布具有某些对称性'q,q0
注意：
s SD,d D 穿过闭合曲面的 通量仅与 有关。
:0 PED 与 均有关'qq,0? 电位移矢量
内s q0
令
r1
介质的相对电容率
r
DDE
0
EED r 0得 真空电容率介质电容率:
:
r
0
0
式中，
E)(EEPED 10000
EP 0 为常数?
（ 1）各向同性电介质：
才能选取到恰当高斯面使 积分能求出,
s SD
d
（ 2） 分别具有某些对称性'q,q
0
步骤,对称性分析，选高斯面,
DqSD
S(s
)
0d
内
EDE
r
0
0q注意,的对称性 —— 球对称、轴对称、面对称,
电介质分布的对称性均匀无限大介质充满全场（ p246[例一 ]）
介质分界面为等势面（ p246[例二 ]）
介质分界面与等势面垂直（ p266 9.35）
[例 ](p266 9-35)
已知,平行板电容器 V300,00 U?
充一半电介质,5?
r?
求：
U,,E,D
,,E,D '
2022
11011
解,介质分界面 等势面，
未破坏各部分的面对称性，
选底面与带电平板平行的圆柱面为高斯面,
2010
10 20
'1
'1
U
r?
S
2010
10 20
'1
'1
Ur?
S
S? S?
Sq
S(
10) 0
内
侧上 下 SDSDSDSDSDs 11111 dddd
导体内 0?E? 0cos
由高斯定理
)
01 d
内S(s
qSD SSD 101?
r
DED
0
1
1101 ;
0
2
2202 ;
DED同理：
SSS 02010 22
电量不变：
UdEdE 21又：
0110 3
5 D
0220 3
1 D
0
0
21 3
1?
EE
解得：
2010
10 20
'1
'1
dr?
S
S? S? S?
V300
0
0
00 ddEU?
已知充介质前：
V1 0 033 0
0
0
1
UddEU
充介质后：
0
0
0
0
10111
'
1
3
4
3
)1(
c o s
r
n EPPP
2010
10 20
'1
'1
dr?
S
n?
P?
比较：
000 V 3 0 0
DE
0
0
充介质前充介质后 00 31 35
03
4
01 3
5D
02 3
1D
0
021 3 EE
V100
§ 9.8 电容 电容器一,电容提高单位水位所注入的水量与周围导体，
电介质，
带电体分布有关提高单位电势所增加的带电量
U
QC?
极板间距 线度由于静电屏蔽，
值稳定,C
两极板间电势差为一个单位时，
极板的带电量,
U
QC
容器储水能力 导体储存电荷能力 电容器储电能力类比：
二,电容的计算孤立导体电容取决于本身形状大小,与其是否带电无关。
令孤立导体,周围无其他导体，电介质，带电体,
由电容定义：
RUQC 04
则金属球电势：
R
QU
04
0U设其带电量为 Q
[例 1] 半径 R 的孤立金属球的电容练习,估算地球的电容,F107 4
地球C
[例 2] 推求圆柱型电容器的电容公式,并总结求电容器电容的一般方法,
求,C已知,.,R,R,L r 21?
Lr
QDE
rr 00 2
LrQD?2?得：
解,设极板带电量 Q
1R
2R
L
r?
Q
作半径,
高 h的同轴圆柱面为高斯面,
)RrR(r 21
hLQrhDSD
s
2d
r
hS
2
1
2
1
d
2 d 0
R
Rr
R
R r
r
L
QrEU
1
2
0
ln2 RRLQ
r
1
2
0
ln
2
R
R
L
U
Q
C r
由电容定义：
电容器两极板间电势差：
1R
2R
L
r?
Q r
hS
自学,p248 [例二 ],[例三 ]
o
2R
1R
r?
12
2104
RR
RRC r
球形电容器
r?
S
d
平行板电容器
d
SC r 0?
总结,求电容器电容的一般方法
2）选高斯面，求 ED
1）设极板带电 Q
lEU d3）求电容器两极板间电势差
U
QC
4）由电容定义练习,求两平行长直导线单位长度间的电容
（ 导线半径 a,轴线间距离 d）
解,设单位长度带电
E
)(22 00 xdx
0 （导体内）
（导体间）
a
adx)
xdx(lEU
ad
a
d
o
lnd112d
00
a
d
a
adUC lnln
00
E?
x
a a
x
o d
i iCC
11
串
i iCC 并三,电容器的串并联练习,前 [例 ]9-35(2）
U5?r?
S
21 CC
d
S
d
S
C rr 22 001
d
S
d
S
C 22 002
00021 32
1 1
2 CC)(d
SCCC r
r?
V)1003 0 (UU
不变Q
