2009-7-27
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
2009-7-27
§ 8.4 环路定理 电势一,静电力的功可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关,
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场,
)rr(qqr rqqAA
baL
r
r
b
a
11
44
dd
0
0
2
0
0
2
0
0
3
0
0
4
d
4
ddd
r
rqq
r
lrqqlFA
场源电荷：
检验电荷：
0q
q EqF 0?
r
a
b
a
r
r
b
Fq?0
L
q
l?d
rdr
2009-7-27
二,环路定理静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了 静电场是保守力场,
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场,
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
0dd 0 lEqlFA L L
静电场中任意闭合路径静电场环路定理：
路径上各点的总场强
L lE 0d
2009-7-27
三,电势能 W
由
b
a
baab
P
WW)WW(lEqA
WEA
d0静电力保令?
零势点
a
ab lEqWW
d0
0
在场中某点的电势能等于将 由该点沿任意路径移到零势点过程中电场力做的功,
0q0q得：
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有,0q
:0q/Wa 取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场自身的特性。
0q
2009-7-27
四,电势
零势点
a
a
a lEq
WU d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功,
电势差：
b
a
baab lEUUU
d
静电场中 a,b 两点的电势差等于将单位正电荷由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功,
2009-7-27
注意：
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关，
但 与零势点选取无关,
abU
3.U 遵从叠加原理 （零势点相同）,
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和,
iUU
2009-7-27
1.由保守力与其相关势能的关系：
UU)
q
W
(
q
F
E
WEqF
g r a d
00
0
五,电场强度与电势的关系静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率,
其指向是 U 降低最快的方向,
UE?
2009-7-27
给出又一种求 的方法：E?
)k
z
U
j
y
U
i
x
U
(E
z
U
E,
y
U
E,
x
U
E zyx
UE g r a d
2.电场线与等势面的关系等势面,电场中电势相等的点的集合，两两相邻的等势面之间的电势差相等。
+q
2009-7-27
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的等势面分布电偶极子的电场线和等势面
2009-7-27
六,电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
零势点 零势点计算
a a
aa UlElEU dc o sd?
注意：
为所选积分路径上各点的总场强，
若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。
E?
E?
2009-7-27
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd?
注意：
一般,场源电荷有限分布,选 0U
场源电荷无限分布,不选 0?
U
许多实际问题中选：
0?地球U
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2009-7-27
[例一 ] 点电荷 q 场中的电势分布解：
3
04 r
rqE
令 0U
EPro
q
沿径向积分
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
44
d
4
d
d
U
ro
r1?
2009-7-27
[例二 ] 均匀带电球面场中电势分布 （,）Rq
令,沿径向积分0U
rr
q
r
rrq
rEU
P r
1
4
4
d
d
0
3
0
外外由高斯定理
(
4
0
3
0
)Rr
r
rq
)Rr(
E?
R
q
o Pr?
E?
o
21r?
r
E
R
2009-7-27
恒量外内内
R
q
r
rrq
rErErEU
R
RP
R
P' '
0
3
0 44
d
d dd
R
q
o Pr?
E?
o
21r?
r
E
R
P?
均匀带电球面内电势与球面处电势相等，
球面外电势与电量集中于球心的点电荷情况相同,
r1?
rRo
Rq04
U试设想等势面形状
2R
2009-7-27
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布,
xaoa?
电场分布,
),( 0
)(
0
axax
axaiE
思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
两极板外侧,电势为恒量。
2009-7-27
电荷无限分布，在有限远处选零势点,令,沿 轴积分,0?oU
x
xaoa?
,区域axa
0
0
0
d x)x)((xEU
x
x
a
x a
xx
aaxExEU 0
00
)(0dd
区域：ax
2009-7-27
,区域ax?
00
0
0
dd
a
)a)((
xExEU
a
x a
xx
— 曲线如图xU
xaoa?
U
0?
a
0?
a?
xaoa?
2009-7-27
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理, UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
[例四 ] 求均匀带电圆环（ R,q） 轴线上的电势分布
r
qU
04
dd
在圆环上取点电荷,
令
qd
0U
解：
xPxo
r
qd
Rq
2009-7-27
2
1)(4 4
dd
22
0
0
0 xR
q
r
qUU q
可进一步由电势分布求轴线上的电场强度分布
2322
0
4
d
d
xR
iqx
i
x
U
E
xPxo
r
qd
Rq E?
2009-7-27
练习一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 和,
其侧面均匀带电，电荷面密度为,以无穷远处为电势零点，求顶点 的电势。
2
1R 2R
O
c o sdtg2
c o sd2dd
xx
xrSq
解,将圆台侧面视为由许多圆环组成，建立如图坐标系，在 x 处取高 dx 的圆环：
1R
2R
O
r
x
qd
xxr
qU d
2
tg
4
dd
02
122
0
2009-7-27
由叠加原理：
12
0
tg
tg0
2
d
2
tg
d
2
1
RR
xUU
R
R
1R
2R
O
r
x
qd
[例五 ] 求均匀带电球壳腔内任意点的电势,
已知,?,R,R
21
求：
PU 1R
2R
o? P
2009-7-27
解,将带电球壳视为许多均匀带电球面的集合，
取半径,厚 的球壳为电荷元：
rr d
rrq d4d 2
,0U令 在腔内产生的电势：qd
00
2
0
d
4
d4
4
dd
rr
r
rr
r
qU
rd
1R
r
2R
o?
P
)RR(rrUU
R
R
2
1
2
2
00 2
dd
2
1
即：腔内各点等势由叠加原理：
2009-7-27
AR
Aq
BR
Bq
o
1
2
3
已知,两个均匀带电同心球面 BABA q,q,R,R
求：
321 U,U,U
练习解,带电球面的电势分布：
球面内：
球面外：
RqU 04
rqU 04
由叠加原理可以计算各区域的电势分布
2009-7-27
由叠加原理得：
B
B
A
A
A R
q
R
qURr
00
1 44,
B
BA
BA R
q
r
qURrR
020
2 44,
30
3 4,r
qqURr BA
B
2009-7-27
[例六 ] 已知,U-x 曲线如图，求,E-x 曲线
x
o
U
x
o
E
x
UE
x?
2009-7-27
小 结一,静电场环路定理,
L lE 0d
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了静电场是保守力场，是有势场,
二,电势、电势能、电势差
零势点
a
a lEqW
d0
零势点
a
a lEU
d
电 势：
电势差, b
a
baab lEUUU
d
电势能：
2009-7-27
三,电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布E?
路径上各点的总场强，若路径上各段的表达式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
零势点 零势点计算
a a
aa UlElEU dc o sd?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2009-7-27
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,
UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
给出又一种求 的方法：E?
)( kzUjyUixUE
UE g r a d
四,电场强度与电势的关系
2009-7-27
五,典型带电体的电势分布
21)(4 22
0 xR
qU
3.均匀带电圆环轴线上的电势分布：
恒量内 RqU
04 rr
qU 1
4 0外
r
qU
04
1,点电荷 场中的电势分布：q
2,均匀带电球面场中电势分布：
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
2009-7-27
§ 8.4 环路定理 电势一,静电力的功可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关,
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场,
)rr(qqr rqqAA
baL
r
r
b
a
11
44
dd
0
0
2
0
0
2
0
0
3
0
0
4
d
4
ddd
r
rqq
r
lrqqlFA
场源电荷：
检验电荷：
0q
q EqF 0?
r
a
b
a
r
r
b
Fq?0
L
q
l?d
rdr
2009-7-27
二,环路定理静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了 静电场是保守力场,
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场,
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
0dd 0 lEqlFA L L
静电场中任意闭合路径静电场环路定理：
路径上各点的总场强
L lE 0d
2009-7-27
三,电势能 W
由
b
a
baab
P
WW)WW(lEqA
WEA
d0静电力保令?
零势点
a
ab lEqWW
d0
0
在场中某点的电势能等于将 由该点沿任意路径移到零势点过程中电场力做的功,
0q0q得：
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有,0q
:0q/Wa 取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场自身的特性。
0q
2009-7-27
四,电势
零势点
a
a
a lEq
WU d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功,
电势差：
b
a
baab lEUUU
d
静电场中 a,b 两点的电势差等于将单位正电荷由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功,
2009-7-27
注意：
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关，
但 与零势点选取无关,
abU
3.U 遵从叠加原理 （零势点相同）,
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和,
iUU
2009-7-27
1.由保守力与其相关势能的关系：
UU)
q
W
(
q
F
E
WEqF
g r a d
00
0
五,电场强度与电势的关系静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率,
其指向是 U 降低最快的方向,
UE?
2009-7-27
给出又一种求 的方法：E?
)k
z
U
j
y
U
i
x
U
(E
z
U
E,
y
U
E,
x
U
E zyx
UE g r a d
2.电场线与等势面的关系等势面,电场中电势相等的点的集合，两两相邻的等势面之间的电势差相等。
+q
2009-7-27
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的等势面分布电偶极子的电场线和等势面
2009-7-27
六,电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
零势点 零势点计算
a a
aa UlElEU dc o sd?
注意：
为所选积分路径上各点的总场强，
若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。
E?
E?
2009-7-27
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd?
注意：
一般,场源电荷有限分布,选 0U
场源电荷无限分布,不选 0?
U
许多实际问题中选：
0?地球U
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2009-7-27
[例一 ] 点电荷 q 场中的电势分布解：
3
04 r
rqE
令 0U
EPro
q
沿径向积分
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
44
d
4
d
d
U
ro
r1?
2009-7-27
[例二 ] 均匀带电球面场中电势分布 （,）Rq
令,沿径向积分0U
rr
q
r
rrq
rEU
P r
1
4
4
d
d
0
3
0
外外由高斯定理
(
4
0
3
0
)Rr
r
rq
)Rr(
E?
R
q
o Pr?
E?
o
21r?
r
E
R
2009-7-27
恒量外内内
R
q
r
rrq
rErErEU
R
RP
R
P' '
0
3
0 44
d
d dd
R
q
o Pr?
E?
o
21r?
r
E
R
P?
均匀带电球面内电势与球面处电势相等，
球面外电势与电量集中于球心的点电荷情况相同,
r1?
rRo
Rq04
U试设想等势面形状
2R
2009-7-27
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布,
xaoa?
电场分布,
),( 0
)(
0
axax
axaiE
思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
两极板外侧,电势为恒量。
2009-7-27
电荷无限分布，在有限远处选零势点,令,沿 轴积分,0?oU
x
xaoa?
,区域axa
0
0
0
d x)x)((xEU
x
x
a
x a
xx
aaxExEU 0
00
)(0dd
区域：ax
2009-7-27
,区域ax?
00
0
0
dd
a
)a)((
xExEU
a
x a
xx
— 曲线如图xU
xaoa?
U
0?
a
0?
a?
xaoa?
2009-7-27
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理, UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
[例四 ] 求均匀带电圆环（ R,q） 轴线上的电势分布
r
qU
04
dd
在圆环上取点电荷,
令
qd
0U
解：
xPxo
r
qd
Rq
2009-7-27
2
1)(4 4
dd
22
0
0
0 xR
q
r
qUU q
可进一步由电势分布求轴线上的电场强度分布
2322
0
4
d
d
xR
iqx
i
x
U
E
xPxo
r
qd
Rq E?
2009-7-27
练习一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 和,
其侧面均匀带电，电荷面密度为,以无穷远处为电势零点，求顶点 的电势。
2
1R 2R
O
c o sdtg2
c o sd2dd
xx
xrSq
解,将圆台侧面视为由许多圆环组成，建立如图坐标系，在 x 处取高 dx 的圆环：
1R
2R
O
r
x
qd
xxr
qU d
2
tg
4
dd
02
122
0
2009-7-27
由叠加原理：
12
0
tg
tg0
2
d
2
tg
d
2
1
RR
xUU
R
R
1R
2R
O
r
x
qd
[例五 ] 求均匀带电球壳腔内任意点的电势,
已知,?,R,R
21
求：
PU 1R
2R
o? P
2009-7-27
解,将带电球壳视为许多均匀带电球面的集合，
取半径,厚 的球壳为电荷元：
rr d
rrq d4d 2
,0U令 在腔内产生的电势：qd
00
2
0
d
4
d4
4
dd
rr
r
rr
r
qU
rd
1R
r
2R
o?
P
)RR(rrUU
R
R
2
1
2
2
00 2
dd
2
1
即：腔内各点等势由叠加原理：
2009-7-27
AR
Aq
BR
Bq
o
1
2
3
已知,两个均匀带电同心球面 BABA q,q,R,R
求：
321 U,U,U
练习解,带电球面的电势分布：
球面内：
球面外：
RqU 04
rqU 04
由叠加原理可以计算各区域的电势分布
2009-7-27
由叠加原理得：
B
B
A
A
A R
q
R
qURr
00
1 44,
B
BA
BA R
q
r
qURrR
020
2 44,
30
3 4,r
qqURr BA
B
2009-7-27
[例六 ] 已知,U-x 曲线如图，求,E-x 曲线
x
o
U
x
o
E
x
UE
x?
2009-7-27
小 结一,静电场环路定理,
L lE 0d
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了静电场是保守力场，是有势场,
二,电势、电势能、电势差
零势点
a
a lEqW
d0
零势点
a
a lEU
d
电 势：
电势差, b
a
baab lEUUU
d
电势能：
2009-7-27
三,电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布E?
路径上各点的总场强，若路径上各段的表达式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
零势点 零势点计算
a a
aa UlElEU dc o sd?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2009-7-27
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元 qd
〈 3〉由叠加原理,
UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Udqd
给出又一种求 的方法：E?
)( kzUjyUixUE
UE g r a d
四,电场强度与电势的关系
2009-7-27
五,典型带电体的电势分布
21)(4 22
0 xR
qU
3.均匀带电圆环轴线上的电势分布：
恒量内 RqU
04 rr
qU 1
4 0外
r
qU
04
1,点电荷 场中的电势分布：q
2,均匀带电球面场中电势分布：
