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本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
§ 9.9 静电场的能量一,电容器的能量储能 = 过程中反抗电场力的功,
电容器（储能元件）储能多少？
模型,将 由负极移向正极板的过程极板电量板间电压 UQ00
Q
0
0
Q?
U?
Q
qd?
q?
q?
u?
0
0
Q?
U?
Q
qd?
q?
q?
u?
UQ)U(CCQW 21212 2
2
电容器的能量,
C
Qq
C
qAA Q
2dd
2
0
qCqquA ddd
计算：
二,电场能量
1.电场能量密度
EDEVWw re 2121 20
以平行板电容器为例 EdU
d
SC r 0?
2
1
2
1 2 )U(CW VEdE
d
S
r
r 2
0
220
2
1
2,电场能量
VEVEDVwW rVVV e d21d21d 20
2R
r?
1R
o
[例 ]用能量法推导球形电容器（ ）电容公式
r.R.R?21
q
q?
q?解,设极板带电量
)RrRrq
r
212
0
( 4
)( 0 1Rr?
E
)( 0 2Rr?
取半径 r，厚度 dr的同心球壳为积分元
Vd
r
rd
rrV d4d 2
rr)rq(VEW
r
r
R
RrV d442
1d
2
1 22
2
0
0
2
0
2
1
21
12
0
2
8 RR
RRq
r
2R
r?
1R
oq
q?
Vd
r
rd
得：
12
21
04 RR
RRC
r
21
12
0
22
82 RR
RRq
C
q
r
由：
C
qW
2
2
又：
21
12
0
2
8 RR
RRqW
r
[例 ] 圆柱形电容器（ ）
r,L,ba?,
1,保持与端电压 V 的电源连接,将介质层从电容器内拉出，求外力的功,
2,断开电源，将介质层拉出,求外力的功,
L
r?
b ao
不同点：
保持与电源连接
V 不变,Q 可变,电源要做功；
断开电源
Q不变,电源不做功,
共同点,电容器电容变化 (变小 )。
分析解,原电容：
拉出介质层后：
a
b
LC r
ln
2 0
C
a
b
LC
ln
2 0'
1）不断开电源两板电势差 = 电源端电压 = V 保持 不变，
什么量变化？
怎么变？CF V
L
r?
b ao
0)(22121 '
2
22' CCVCVVCW
电容器储能变化：
极板电量变化,
0)( VCCCVVCQ ''
有电荷回流电源,电源做功：
0)(2 CCVQVA '?
由功能原理,WAA
外
0)1(
ln
2
1
2
1
(
2
202
22
2
V
a
b
L
V)CC(
V)CC()CC(V)CC
V
AWA
r
'
'''
外
C
F
Q?
能量转换过程,外力做功电场能减少 对电源充电
2）,断开电源极板电量 Q不变，电源不做功,
电容器储能变化
0)11(222
2222
CCVCCQCQW ''
由功能原理
'
'
C
CCCVWA
2
)(2
外 0)1(
ln
20 V
a
b
L
r
r
F?
能量转换过程：
外力做功 电场能增加
L
r?
b ao
思考题,1,p254 9.9.3
W,D,q,CE,U?
W,E,U?D,q C
2,比较 p253 [例二 ]和 p266 9-41
对电子采用不同模型计算，结果数量级相同,
插入电介质不断开电源断开电源不变量 增大量 减小量
§ 9.10 稳恒电场稳恒电场,存在电荷宏观定向运动,（电流）
通过截面 S的电流强度 I不变通过截面内各点电流密度 不变j? 稳恒电流空间电荷分布不变（流入 = 流出），电场分布不变静电场,相对于观察者静止的电荷周围的电场静电感应,电荷瞬间宏观定向运动 只讨论实现介质极化,电荷瞬间微观定向运动 平衡后电场
L lE 0d
性质：
)
0d
内S(s
qSD
有势（保守）
有源一,电流密度矢量
1,电流的形成电流传导电流运流电流位移电流电 场载流子,自由电子、正负离子、
电子 — 空穴对、库柏对、
孤子 …
金属导电的经典解释：
电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动,
频繁碰撞使加速运动间断进行，
其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动,
比较漂移速率 u：
18 sm 103
134 sm 1010
132 sm 1010热运动平均速率：
电场传播速率：
S通过垂直于 I 指向的截面 的电流强度：
由金属导电的经典解释（载流子 q的漂移运动）表示
Sq n ut
tuSqn
t
QI
tu?
S
I
n
q
q n uSI?
d
d
2,电流密度矢量大小,通过与该点 垂直的单位截面的电流方向,与 的漂移运动方向（ 方向）相同q? E?
E?
uqnnSIj
0d
d
分布,电流线其切向即 方向其疏密 大小j
j?
j?
I
I
j?与 的关系：I
稳恒电流一定是闭合的，或两端通向无穷远,
（在无穷远处闭合）
稳恒电流的电场分布不随时间变化,
3,稳恒电流条件：穿过封闭曲面 S的 通量为零j?
0d
s
Sj
通过某截面的电流强度即电流密度矢量 通过该面的通量,j?
S SjI d
SjSjSjI dc o sddd
n?
Sd
Sd
E?
j?
分布不随时间变化
E,Q?
高斯定理环路定理适用
) 0
d
内S(s
qSD
有源
L lE 0d
保守
0?E?
.I 0?
导体内一经建立，不需能量维持,
I 恒量
0?E?
导体内
E? 分布不变其存在一定伴随能量转换静电场稳恒电场相 同 不 同比较二,电源电动势 —— 稳恒电场的能量来源电源作用：
提供非静电力,将＋ q 由负极移向正极，保持极板间电势差,以形成持续的电流,kF
+ -
eF?
eF?
R
不能形成持续电流
eF
eF
RK
k
F? eF?
能够形成持续电流作用机理：
反抗 做功，将其他形式能转变为电能
eF
kF
kF
eF
U?
断路：
ek FF
时平衡通路外电路：
内电路：
eF
作用，将 由正极 负极q
ek FF
将 由负极 正极q?
ek F,F
共同作用形成持续电流,
eF
eF
RK
k
F? eF?
能量转换
:kF? 做功如何？
非静电场强,qFE
kk
0d lEA L k
非静电力搬运单位正电荷绕闭合回路一周做功：
非静电力为非保守力外电路：
内电路：
0d lF e
eF
0d lF e
0d lF
L
e
静电力为保守力
eF
eF
RK
kF
eF?
：可量度电源将其他形式能转变为电能的能力大小lEL k d
定义,电源电动势
lEL k d
若 只在内电路存在：
kE
（经内电路）
lE k
d?
规定指向：
练习：
（经内电路）
lE k
d
（经外电路）
lEU e
d
电源路端电压 电源电动势比较试比较电源路端电压和电源电动势这两个概念练习：
单位正电荷从电源正极出发，沿闭合回路一周，又回到电源正极时，下列哪种说法正确？
1）静电力所做总功为零；
2）非静电力所做总功为零；
3）静电力和非静电力做功代数和为零；
4）在电源内只有非静电力做功，
在外电路只有静电力做功。
三,欧姆定律与焦耳定律的微分形式欧姆定律 焦耳定律积分形式微分形式
RIPtRIQ 22 ;RUI
电流密度
Ej
热功率密度
2Ew
1?电导率：
电阻定律：
S
LR电阻率：
电流密度,Ej
热功率密度,2Ew
电流的形成及其热效应都是场作用的结果与 点点对应,E?
w,j?
自学,p255— p 256
VCD：静电的应用
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场
§ 9.9 静电场的能量一,电容器的能量储能 = 过程中反抗电场力的功,
电容器（储能元件）储能多少？
模型,将 由负极移向正极板的过程极板电量板间电压 UQ00
Q
0
0
Q?
U?
Q
qd?
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2
电容器的能量,
C
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qAA Q
2dd
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0
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计算：
二,电场能量
1.电场能量密度
EDEVWw re 2121 20
以平行板电容器为例 EdU
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2
1
2
1 2 )U(CW VEdE
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S
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0
220
2
1
2,电场能量
VEVEDVwW rVVV e d21d21d 20
2R
r?
1R
o
[例 ]用能量法推导球形电容器（ ）电容公式
r.R.R?21
q
q?
q?解,设极板带电量
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212
0
( 4
)( 0 1Rr?
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取半径 r，厚度 dr的同心球壳为积分元
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得：
12
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由：
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又：
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12
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[例 ] 圆柱形电容器（ ）
r,L,ba?,
1,保持与端电压 V 的电源连接,将介质层从电容器内拉出，求外力的功,
2,断开电源，将介质层拉出,求外力的功,
L
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b ao
不同点：
保持与电源连接
V 不变,Q 可变,电源要做功；
断开电源
Q不变,电源不做功,
共同点,电容器电容变化 (变小 )。
分析解,原电容：
拉出介质层后：
a
b
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ln
2 0
C
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2 0'
1）不断开电源两板电势差 = 电源端电压 = V 保持 不变，
什么量变化？
怎么变？CF V
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2
22' CCVCVVCW
电容器储能变化：
极板电量变化,
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有电荷回流电源,电源做功：
0)(2 CCVQVA '?
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外
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能量转换过程,外力做功电场能减少 对电源充电
2）,断开电源极板电量 Q不变，电源不做功,
电容器储能变化
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2222
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能量转换过程：
外力做功 电场能增加
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W,D,q,CE,U?
W,E,U?D,q C
2,比较 p253 [例二 ]和 p266 9-41
对电子采用不同模型计算，结果数量级相同,
插入电介质不断开电源断开电源不变量 增大量 减小量
§ 9.10 稳恒电场稳恒电场,存在电荷宏观定向运动,（电流）
通过截面 S的电流强度 I不变通过截面内各点电流密度 不变j? 稳恒电流空间电荷分布不变（流入 = 流出），电场分布不变静电场,相对于观察者静止的电荷周围的电场静电感应,电荷瞬间宏观定向运动 只讨论实现介质极化,电荷瞬间微观定向运动 平衡后电场
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性质：
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1,电流的形成电流传导电流运流电流位移电流电 场载流子,自由电子、正负离子、
电子 — 空穴对、库柏对、
孤子 …
金属导电的经典解释：
电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动,
频繁碰撞使加速运动间断进行，
其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动,
比较漂移速率 u：
18 sm 103
134 sm 1010
132 sm 1010热运动平均速率：
电场传播速率：
S通过垂直于 I 指向的截面 的电流强度：
由金属导电的经典解释（载流子 q的漂移运动）表示
Sq n ut
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t
QI
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S
I
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q
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2,电流密度矢量大小,通过与该点 垂直的单位截面的电流方向,与 的漂移运动方向（ 方向）相同q? E?
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分布,电流线其切向即 方向其疏密 大小j
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j?
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稳恒电流一定是闭合的，或两端通向无穷远,
（在无穷远处闭合）
稳恒电流的电场分布不随时间变化,
3,稳恒电流条件：穿过封闭曲面 S的 通量为零j?
0d
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Sj
通过某截面的电流强度即电流密度矢量 通过该面的通量,j?
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导体内一经建立，不需能量维持,
I 恒量
0?E?
导体内
E? 分布不变其存在一定伴随能量转换静电场稳恒电场相 同 不 同比较二,电源电动势 —— 稳恒电场的能量来源电源作用：
提供非静电力,将＋ q 由负极移向正极，保持极板间电势差,以形成持续的电流,kF
+ -
eF?
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R
不能形成持续电流
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能够形成持续电流作用机理：
反抗 做功，将其他形式能转变为电能
eF
kF
kF
eF
U?
断路：
ek FF
时平衡通路外电路：
内电路：
eF
作用，将 由正极 负极q
ek FF
将 由负极 正极q?
ek F,F
共同作用形成持续电流,
eF
eF
RK
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能量转换
:kF? 做功如何？
非静电场强,qFE
kk
0d lEA L k
非静电力搬运单位正电荷绕闭合回路一周做功：
非静电力为非保守力外电路：
内电路：
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eF
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静电力为保守力
eF
eF
RK
kF
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：可量度电源将其他形式能转变为电能的能力大小lEL k d
定义,电源电动势
lEL k d
若 只在内电路存在：
kE
（经内电路）
lE k
d?
规定指向：
练习：
（经内电路）
lE k
d
（经外电路）
lEU e
d
电源路端电压 电源电动势比较试比较电源路端电压和电源电动势这两个概念练习：
单位正电荷从电源正极出发，沿闭合回路一周，又回到电源正极时，下列哪种说法正确？
1）静电力所做总功为零；
2）非静电力所做总功为零；
3）静电力和非静电力做功代数和为零；
4）在电源内只有非静电力做功，
在外电路只有静电力做功。
三,欧姆定律与焦耳定律的微分形式欧姆定律 焦耳定律积分形式微分形式
RIPtRIQ 22 ;RUI
电流密度
Ej
热功率密度
2Ew
1?电导率：
电阻定律：
S
LR电阻率：
电流密度,Ej
热功率密度,2Ew
电流的形成及其热效应都是场作用的结果与 点点对应,E?
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自学,p255— p 256
VCD：静电的应用
