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本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场要求,电场与金属导体相互作用机理及相互影响后电场的计算,
一,金属导体与电场的相互作用特征：体内存在大量的自由电子
§ 9.6 静电场中的导体无外场时自由电子无规运动：
“电子气”
在外场 中
1,无规运动；
2,宏观定向运动
0E?
0E?
E
导体内电荷重新分布出现附加电场直至静电平衡
'E?
E
0E?
0
0
EEE内静电平衡,导体内部及表面均无电荷定向运动，
导体上电荷及空间电场分布达到稳定,
空间电场：
0
表面表面内
E
E
EEE
0
--
--
要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布,
静电平衡 条件：
0
0
0
表面表面内
'
'
EEE
EEE
或,
导体是等势体导体表面是等势面,
a
b
0d lEU baab
证明：
0c o s0或E
二,静电平衡时导体上的电荷分布
1.导体内无净电荷（ ），电荷只分布于导体表面,0
1）实心导体（即只有外表面的导体）
s?
高斯面 S（宏观小，微观大）
0d11d
00
VqSE
s
内内
0?内E?静电平衡条件
0
净电荷只分布于外表面,
0
净电荷只分布于外表面,
00
实验：一种极酷的发型！
2）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷
s
'S
同上，作高斯面 S ′,
可证明导体内 0
紧贴内表面作高斯面 S
0d11d
00
内表面内内内 SqSE
s
若,,q 0 0 内内?
s
则必然有 处，
电场线由 沿电场线方向电势降低,
导体内表面有电势差,与静电平衡条件：导体表面为等势面矛盾,
所以 净电荷只能分布于外表面,
.
0?内?
00,
净电荷只能分布于外表面,0;0 内
电场线不能进入腔内，即,静电屏蔽,
00?
EE
- -
--
-- + ++
++
高压带电作业
3）空腔导体，腔内有电荷空腔外表面电荷由电荷守恒决定,
空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号,
紧贴内表面作高斯面 S
01d
0
内内 qSE
s?
0 内q
Sq?
－ q
－
－ －
－
－
思考：
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q，腔内、外表面电量？
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q，腔内、外表面电量？
q
q
q?
-
-
- -
-
qq
qq
外内
qQq
qq
外内
q
q?
-
-
- -
-
qQ?
-
(3）空腔能屏蔽腔内电荷 q的电场吗？
有什么办法能实现这种屏蔽？
qq?
腔接地,内外电场互不影响,
腔不接地,腔内不受腔外电荷影响腔外要受腔内电荷影响
q
q
q?
-
-
- -
-
(4)腔内电荷 q的位置移动对分布有无影响？
外内外内,，,EE
qq?
q
q
q?
-
-
- -
-
腔内电荷 q的位置移动对 分布有影响；
对 分布无影响。
外外,E
内内,E
当静电平衡时，导体,净电荷只能分布于表面,
表?
0
2,静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强成正比,
EP?
SS '
0?E?
S过表面紧邻处 P 作平行于表面的面元,以 为底，
过 P的法向为轴，作如图高斯面 S 。
S? S?
SSESESESESE
s S S S'
0
1 dddd
侧
0?内E? 0cos
nE
E
0
0
思考：
〈 1〉 设带电导体表面某点电荷密度为,外侧附近场强,现将另一带电体移近，该点场强是否变化？公式 是否仍成立？
0E
0E
导体表面 变化，外侧附近场强 变化，
而 仍然成立。
0E
E
EP?
SS '
0?E?
S
〈 2〉 无限大带电平面：
带电导体表面附近,0E
02E 是否矛盾？
121 2式中如果计及带电面的厚度?
S
几何面
E? E?
2? 1?
s SSESE
0
2d
，不产生矛盾。式中平面产生的。
不单是一个带电这里的
1
E
导体内
0?E?
S
1?
2? E
s SSESE
0
d
3,孤立导体 与表面曲率有关,?
三,有导体存在时的 分布UE,?
尖端放电现象及其应用导体上的电荷分布计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件电荷守恒定律求解思路：
[例一 ] 相距很近的平行导体板,分别带电求电荷分布,
b,a ba Q,Q
4321
ba QQ
a b
S
解,设平板面积为 S
由电荷守恒：
b
a
QSS
QSS
43
21
（ 1）
（ 2）
由静电平衡条件：
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
内aE
（ 3）
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
内bE （ 4）
由 （ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4） 解得：
即,相背面 等大同号，
相对面 等大异号,
S
QQ
S
QQ
ba
ba
2
2
32
41
4321
ba QQ
a b
S
1R
2R
3R
qAB
q
q?
〈 1〉 外球壳的电荷分布及电势
[例二 ]带电量 q,半径 的导体球 A外有一内半径,
外半径 的同心导体球壳 B,求,3R
1R 2R
解：
qq
qq
B
B
外内; )1(
303000 444
)(
4 R
q
R
q
r
q
r
qUU
PB
P
r
〈 2〉 将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
0
外内
B
B
q
qq
0, 地接地 UUB B
1R
2R
3R
qAB
q?
〈 3〉 然后将 A接地,A,B 电荷分布及 B 电势如何变化？
A 球电荷入地,B球壳－ q 分布于表面，对吗？
04
30
RqUU BA
与接地条件矛盾，不对！
1R
2R
3R
AB
q?
设 A 带电 则q?
,qqqqq 'B'B 外内
1R
2R
3R
AB
q?
qq
q
04 44
302010
RqqRqRqU
'''
A
由：
qRRRRRR qRRq '
213132
21
即 A 所带部分电荷入地,
0
213132
321?
RRRRRR
qR)RR(qqq '
B 外
044
2131320
21
30
)RRRRRR( q)RR(RqU BB 外
BU
1R
2R
3R
AB
q?
qq
q
[例三 ] 内半径为 R的导体球壳原来不带电，在腔内离球心距离为 处，固定一电量 q的点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心处电势,)Rd(d?
解,〈 1〉 画出接地前的电荷分布图,
由静电平衡条件，腔内壁非均匀分布的负电荷对外效应等效于：
在与 同位置处置,q? q?
q?
do
qq
R
〈 2〉 外壳接地后电荷分布如何变化？
内壁电荷分布不变
0
0
外壁外壁内壁地壳
q
UUUUU q
q?
do
q?
R
〈 3〉 由叠加法求球心处电势,
)
Rd
(
q
R
q
d
q
UUU q
11
4
44
0
00
0
内壁
[例四 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 垂直于地面向下，大小约为 ；在离地面 高的地方,也是垂直于地面向下的，
大小约为 2 5 N/C,
〈 1〉 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度,
〈 2〉 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度,
km5.1
C/N100
E?
E?
解,地球 —— 球对称，
离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称可以用高斯定理 求解，
如何选择高斯面？
h
2E?
1E?
S?
S
〈 1〉 作底面平行于地面，高 h=1500 m 的直圆柱为高斯面,
由高斯定理：
s
SESESE 12d
Shq
00
1 1
内
)(.
)(
.
.
h
)EE(
313
3
12
120
mC10434
25100
1051
10858
h
2E?
1E?
S?
S
〈 2〉 作高斯面如图,
SSESE
s
0
2
1d
由高斯定理：
)(.
.E
210
12
20
mC10858
1 0 010858
0?E?导体内
地面
2E?
S
S?
小结：
导体上的电荷分布计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件电荷守恒定律练习,若 A 带电,B 带电,求,1q 2q
〈 1〉 图中 1,2,3,4 各区域的 和 分布，
并画出 和 曲线,
UE?
rE? rU?
〈 2〉 若将球与球壳用导线连接，情况如何？
〈 3〉 若将外球壳接地，情况如何？
BA
1R
2R
3R
12 qq
4
3
2
1
2
40
21
43
2
20
1
21
4
0
4
0
r
qq
EE
r
q
EE
4
21
0
4
3
21
2
1
2
1
0
2
3
21
0
3
3
21
2
1
1
1
0
1
4
1
4
1
4
1
4
1
r
qq
U;)
R
qq
R
q
r
q
(U
R
qq
U;)
R
qq
R
q
R
q
(U
2111 qqqqqqq BBA 外内
<1>
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 qq?
21 qq?
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
rUrE,曲线
<2>若将球与球壳用导线连接，情况如何？
2
40
21
4
321
4
0
r
qq
E
EEE
4
21
0
4
30
21
321
4
1
4
r
qq
U
R
qq
UUU
21;0 qqqqq BBA 外内
BA
1R
2R
3R
12 qq?
4
3
2
1
rUrE,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
<3>若将外球壳接地，情况如何？
040 432
20
1
21 EEr
qEE
0
0
)(
4
1
)(
4
1
4
3
2
1
2
1
0
2
2
1
1
1
0
1
U
U
R
q
r
q
U
R
q
R
q
U
011 外内 BBA qqqqq
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 - qq
rUrE,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
本章共 7讲第三篇 相互作用和场第九章 电相互作用和静电场要求,电场与金属导体相互作用机理及相互影响后电场的计算,
一,金属导体与电场的相互作用特征：体内存在大量的自由电子
§ 9.6 静电场中的导体无外场时自由电子无规运动：
“电子气”
在外场 中
1,无规运动；
2,宏观定向运动
0E?
0E?
E
导体内电荷重新分布出现附加电场直至静电平衡
'E?
E
0E?
0
0
EEE内静电平衡,导体内部及表面均无电荷定向运动，
导体上电荷及空间电场分布达到稳定,
空间电场：
0
表面表面内
E
E
EEE
0
--
--
要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布,
静电平衡 条件：
0
0
0
表面表面内
'
'
EEE
EEE
或,
导体是等势体导体表面是等势面,
a
b
0d lEU baab
证明：
0c o s0或E
二,静电平衡时导体上的电荷分布
1.导体内无净电荷（ ），电荷只分布于导体表面,0
1）实心导体（即只有外表面的导体）
s?
高斯面 S（宏观小，微观大）
0d11d
00
VqSE
s
内内
0?内E?静电平衡条件
0
净电荷只分布于外表面,
0
净电荷只分布于外表面,
00
实验：一种极酷的发型！
2）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷
s
'S
同上，作高斯面 S ′,
可证明导体内 0
紧贴内表面作高斯面 S
0d11d
00
内表面内内内 SqSE
s
若,,q 0 0 内内?
s
则必然有 处，
电场线由 沿电场线方向电势降低,
导体内表面有电势差,与静电平衡条件：导体表面为等势面矛盾,
所以 净电荷只能分布于外表面,
.
0?内?
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净电荷只能分布于外表面,0;0 内
电场线不能进入腔内，即,静电屏蔽,
00?
EE
- -
--
-- + ++
++
高压带电作业
3）空腔导体，腔内有电荷空腔外表面电荷由电荷守恒决定,
空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号,
紧贴内表面作高斯面 S
01d
0
内内 qSE
s?
0 内q
Sq?
－ q
－
－ －
－
－
思考：
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q，腔内、外表面电量？
(1)空腔原不带电，腔内电荷 q,腔内、外表面电量？
(2)空腔原带电 Q,腔内电荷 q，腔内、外表面电量？
q
q
q?
-
-
- -
-
外内
qQq
外内
q
q?
-
-
- -
-
qQ?
-
(3）空腔能屏蔽腔内电荷 q的电场吗？
有什么办法能实现这种屏蔽？
qq?
腔接地,内外电场互不影响,
腔不接地,腔内不受腔外电荷影响腔外要受腔内电荷影响
q
q
q?
-
-
- -
-
(4)腔内电荷 q的位置移动对分布有无影响？
外内外内,，,EE
qq?
q
q
q?
-
-
- -
-
腔内电荷 q的位置移动对 分布有影响；
对 分布无影响。
外外,E
内内,E
当静电平衡时，导体,净电荷只能分布于表面,
表?
0
2,静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强成正比,
EP?
SS '
0?E?
S过表面紧邻处 P 作平行于表面的面元,以 为底，
过 P的法向为轴，作如图高斯面 S 。
S? S?
SSESESESESE
s S S S'
0
1 dddd
侧
0?内E? 0cos
nE
E
0
0
思考：
〈 1〉 设带电导体表面某点电荷密度为,外侧附近场强,现将另一带电体移近，该点场强是否变化？公式 是否仍成立？
0E
0E
导体表面 变化，外侧附近场强 变化，
而 仍然成立。
0E
E
EP?
SS '
0?E?
S
〈 2〉 无限大带电平面：
带电导体表面附近,0E
02E 是否矛盾？
121 2式中如果计及带电面的厚度?
S
几何面
E? E?
2? 1?
s SSESE
0
2d
，不产生矛盾。式中平面产生的。
不单是一个带电这里的
1
E
导体内
0?E?
S
1?
2? E
s SSESE
0
d
3,孤立导体 与表面曲率有关,?
三,有导体存在时的 分布UE,?
尖端放电现象及其应用导体上的电荷分布计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件电荷守恒定律求解思路：
[例一 ] 相距很近的平行导体板,分别带电求电荷分布,
b,a ba Q,Q
4321
ba QQ
a b
S
解,设平板面积为 S
由电荷守恒：
b
a
QSS
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43
21
（ 1）
（ 2）
由静电平衡条件：
02222
0
4
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1
内aE
（ 3）
02222
0
4
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0
1
内bE （ 4）
由 （ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4） 解得：
即,相背面 等大同号，
相对面 等大异号,
S
S
ba
ba
2
2
32
41
4321
ba QQ
a b
S
1R
2R
3R
qAB
q
q?
〈 1〉 外球壳的电荷分布及电势
[例二 ]带电量 q,半径 的导体球 A外有一内半径,
外半径 的同心导体球壳 B,求,3R
1R 2R
解：
B
B
外内; )1(
303000 444
)(
4 R
q
R
q
r
q
r
qUU
PB
P
r
〈 2〉 将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
0
外内
B
B
q
0, 地接地 UUB B
1R
2R
3R
qAB
q?
〈 3〉 然后将 A接地,A,B 电荷分布及 B 电势如何变化？
A 球电荷入地,B球壳－ q 分布于表面，对吗？
04
30
RqUU BA
与接地条件矛盾，不对！
1R
2R
3R
AB
q?
设 A 带电 则q?
,qqqqq 'B'B 外内
1R
2R
3R
AB
q?
q
04 44
302010
RqqRqRqU
'''
A
由：
qRRRRRR qRRq '
213132
21
即 A 所带部分电荷入地,
0
213132
321?
RRRRRR
qR)RR(qqq '
B 外
044
2131320
21
30
)RRRRRR( q)RR(RqU BB 外
BU
1R
2R
3R
AB
q?
q
[例三 ] 内半径为 R的导体球壳原来不带电，在腔内离球心距离为 处，固定一电量 q的点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心处电势,)Rd(d?
解,〈 1〉 画出接地前的电荷分布图,
由静电平衡条件，腔内壁非均匀分布的负电荷对外效应等效于：
在与 同位置处置,q? q?
q?
do
R
〈 2〉 外壳接地后电荷分布如何变化？
内壁电荷分布不变
0
0
外壁外壁内壁地壳
q
UUUUU q
q?
do
q?
R
〈 3〉 由叠加法求球心处电势,
)
Rd
(
q
R
q
d
q
UUU q
11
4
44
0
00
0
内壁
[例四 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 垂直于地面向下，大小约为 ；在离地面 高的地方,也是垂直于地面向下的，
大小约为 2 5 N/C,
〈 1〉 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度,
〈 2〉 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度,
km5.1
C/N100
E?
E?
解,地球 —— 球对称，
离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称可以用高斯定理 求解，
如何选择高斯面？
h
2E?
1E?
S?
S
〈 1〉 作底面平行于地面，高 h=1500 m 的直圆柱为高斯面,
由高斯定理：
s
SESESE 12d
Shq
00
1 1
内
)(.
)(
.
.
h
)EE(
313
3
12
120
mC10434
25100
1051
10858
h
2E?
1E?
S?
S
〈 2〉 作高斯面如图,
SSESE
s
0
2
1d
由高斯定理：
)(.
.E
210
12
20
mC10858
1 0 010858
0?E?导体内
地面
2E?
S
S?
小结：
导体上的电荷分布计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?
静电平衡条件电荷守恒定律练习,若 A 带电,B 带电,求,1q 2q
〈 1〉 图中 1,2,3,4 各区域的 和 分布，
并画出 和 曲线,
UE?
rE? rU?
〈 2〉 若将球与球壳用导线连接，情况如何？
〈 3〉 若将外球壳接地，情况如何？
BA
1R
2R
3R
12 qq
4
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1
2
40
21
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1
11 qq?
21 qq?
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
rUrE,曲线
<2>若将球与球壳用导线连接，情况如何？
2
40
21
4
321
4
0
r
E
EEE
4
21
0
4
30
21
321
4
1
4
r
U
R
UUU
21;0 qqqqq BBA 外内
BA
1R
2R
3R
12 qq?
4
3
2
1
rUrE,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
<3>若将外球壳接地，情况如何？
040 432
20
1
21 EEr
qEE
0
0
)(
4
1
)(
4
1
4
3
2
1
2
1
0
2
2
1
1
1
0
1
U
U
R
q
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U
R
q
R
q
U
011 外内 BBA qqqqq
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 - qq
rUrE,曲线
U
E
r
r
o 1R 2R 3R
