?
本章共 1讲第二篇 实物的运动规律第六章 能量 能量守恒定律第六章 能量 能量守恒定律提出自学要求，学生自学并完成作业和自学报告，
总结、习题课（ 2学时）
第六章自学作业总结讨论在牛顿以前很久，已经有一些有胆识的思想家认为，从简单的物理假说出发，
通过纯逻辑的演绎，应当有可能对感官所能知觉的现象作出令人信服的解释。但是，
是牛顿才第一个成功地找到一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发，他能用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，并且能同经验相符合。
－－－爱因斯坦（ 1879－ 1955）
动能动能定理功能原理机械能守恒定律能量守恒定律动 能变化率功势 能保守力结构框图重点,
概念,动能，功，保守力，势能，
规律,动能定理，功能原理，机械能守恒定律难点,转动动能，变力的功，一对力的功，势能曲线，
复杂问题的分阶段求解，三个守恒定律的综合应用一,功 力对空间累积
F?
s?
F?中学：恒力作功
SFSFAc o s
扩展,1.功的概念； 2.变力的功； 3.保守力的功
1.功的概念
1）功是标量
（代数量）
A总 =A1+A2+…….
A>0 力对物体做功
A<0 物体反抗阻力做功
A=0 力作用点无位移力与位移相互垂直
2） 功是过程量
3） 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零力作用点的位移不一定相同与作用点的 位移 相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。
例如图中地面系,AG≠0；电梯系,AG=0
h v
mg
*质点系内力做功的代数和不一定为零
*一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系的选择无关。 (证明见教材 118页 )
举例说明质点系内力做功的代数和不一定为零
0NN AA
N
c
N?
v
0ff AA
v m
c ff?
s
s?
M
0
什么条件下,一对内力做功为零?
作用点无相对位移
相互作用力与相对位移垂直
0?内对刚体,A注意：
注意 00 i ii i IF 内内
00
i
i
i
i AM 内内
2.变力的功微元分析法：
取微元过程以直代曲以恒代变再求和
a
b
o
F?
r?d
sd
r? r
P
P
a
b
o
F?
r?d
sd
r? r
P
P
元功：
sF
rF
rFA
dc o s
c o sd
dd
zFyFxFrFA zyx ddddd
直角坐标系,kFjFiFF
zyx
kzjyixr dddd
总功：
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
ddc o sd?
b
a
zyx zFyFxF ddd
如图 M=2kg,k =200N.m-1,S=0.2m,g≈ 10m.s-2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度，
缓慢下拉,则 AF=?
解,用 F 将绳端下拉 0,2 m,物体
M将上升多高?
m20
m1000
.S
.xMgkx
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m
得练习：
M
F
k S
缓慢下拉,每时刻物体处于平衡态
F=
k x (0<x≤0.1 m) 前 0.1 m为变力
k x0 =Mg (0.1<x≤0.2 m) 后 0.1 m为恒力
J3
||
dd
2.0
1.0
1.0
0
2
2
1
2.0
1.0
1.0
0
M g xkx
xMgxkxA
M
F
k S
3,计算重力、弹力、引力的功
h
h2
h1 m
mg
o
x
k m
o
o
o x
x1
x2
x
F?
F?
共同特点：
1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关。
2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差。
oM
mF?
r?
r
二、保守力 势能
1,保守力
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d
L
rF
否则为非保守力（耗散力）
做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b
a
b
a
rFrFA dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
2,势能凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
保守力重力弹力引力势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
221kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
r
E p
0
3,保守力与相关势能的关系：
1）凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,
保守力为该势能系统的内力。
2）保守力的功等于其相关势能增量的负值。
p2p1p1p2p EEEEEA保物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功。
3） 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd
l
EF
l d
d p
保守力在 l
方向投影
E p 在 l 方向空间变化率
m
lF l
θ
F?
l?d
ppg r a d EEF保
k
z
Ej
y
Ei
x
E ppp
指向势能降低最快的方向练习 2：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出：
（ 1）卫星的动能；
（ 2）卫星在地球引力场中的引力势能；
（ 3）卫星的总机械能。
O
r
2RR
M
m
F?
解：,cv 非相对论问题
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
①
②
R
mMGr
r
mMGE
R 3
d
3
2p
③
R
G M mEEE
6pk
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
2RR
M
m
F?
a
b
aR
bR
思考,卫星对接问题设飞船 a,b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上 b并与之对接，能否直接加速？
R
G M mEEE
pk 6
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
对接方法,
a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道加速 R
b轨道
a
b
aR
bR
c
cR
对接方法,
a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道加速 R
b轨道练习,均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面,
用两种方法求出此过程中外力所做的功,
1.用变力做功计算
2,用保守力做功与势能变化的关系计算
0.8 l
0.2 l0
m
x
F?
解一,用变力做功计算光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力大小相等。
设下垂部分长为 x,质量为,以向下为正：lxm?
glmxG?
50dd
0
20
m glxx
l
mgxFA
l.
G
50
m g lAA
GF
0.8 l
0.2 l0
m
x
F?
解二,
用保守力做功与势能变化的关系计算令桌面初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p?E
5010551p
m g llmghmgE
c
02p?E
501p2pp m g lEEEA
50
m g lAA
0.8 l
0.2 l
0 m
x
质心 c
0p?E
三、动能定理
2,动能定理
KEAA 内外质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系总动能的增量：
1,动能 （非相对论）
质点：
质点系：
定轴刚体：
221k mvE?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE?
2
2
12
2
1k?JvmE
i
ii
举出内力做功增加质点系总动能的实例。
3,功能原理
KEAAA 非保内保内外
pE
EEEAA pK非保内外质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系总机械能的增量四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时，
，系统机械能守恒,
0dd 非保内外 AA
恒量 EE,0d
2,当过程满足 时，
系统初、末态机械能相等,
0 非保内外 AA 21 EE?
注意,动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 cpF外
0 cLM外
0dd 非保内外 AA
E = c
练习：
max?
如图所示,已知,M,l,m,,v0 ;击中 l 处求,击中时 ; (只列方程 )?
43
分两个阶段求解,各遵循什么规律?
1）相撞,
质点 定轴刚体对 O 轴角动量守恒
2）摆动,
M + m + 地球系统 E 守恒
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
撞后
2
2
3
1;
4
3 MlLlmL
Mm
撞前
2s i n43 00 l m vvmrL m
c o s43 0l m v?
0?ML
1）相撞,质点 定轴刚体o
M
c
l
43
l41 m
0v?
20 31169c o s43 lMml m v
对 O 轴角动量守恒动能 Ek 势能增量 ΔEp
初态末态
m:
M:
22
3
1
16
9
2
1?lMm?
0
c o s143 lmg
c o s121 lMg
2）摆动,M + m + 地球系统 E 守恒
K2k1K
1p2pp
2p2k1p1K
EEE
EEE
EEEE
c o s1
4
3
2
3
1
16
9
2
1 22
glm
M
lMm
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
由此可解出所求值
c o s14323116921 22 glmMlMm
20 31169c o s43 lMml m v
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
练习,p134 [例 5] 如图所示：
已知,光滑桌面,m,M,k,l 0,l,求：,Bv?
0v
思考,分几个阶段处理？
各阶段分别遵循什么规律？
m M
A
B
M+m
O
M + m
+ 弹簧只有弹力作功 机械能守恒过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩都为零
0?外M?
角动量守恒
s i n0 lvMm lvMm BA
由此可解出,?BA vv
M + m
mg与 N平衡弹簧为原长 动量守恒
AvMmmv00?
外F?
练习：
质量为 2kg 的质点位于一维势场中（如图）
已知：
）（
）（
）（
m7
sm2
kg2
0
1
0
x
iv
m
求,1） m 运动范围
2）何处 F>0
3）何处 vmax=?
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
解,1） 初态
J4
2
1 2
0
0p0k0
mv
EEE
E 守恒,当 Ek=0时
）（ J40m a xp EE
作曲线 知运动范围
J)(4p?E 1?x
2） 要 0
d
d0
d
d pp
x
E
x
EF
势能曲线斜率为负,941 x,x
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p?E
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p?E
3） x = 4（ m） 处,势能最小动能最大,v 最大
EmvE 2m a xm i np 21
1m a x sm82222,v
m i np2m a x21 EEmvJ844
1.碰撞的两个特点,
1） 在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑外界的影响,
2） 碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定律研究运动状态的变化,
五、碰撞
2,对心碰撞（正碰撞）：
指两球碰撞的速度在两球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。
以两球系统为例，用 分别表示两球的质量，
碰前的速度为 ；碰后的速度是
21,mm
2010,vv 21,vv
由动量守恒定律：
2211202101 vmvmvmvm
令 x 轴与速度矢量平行，则：
2211202101 vmvmvmvm
恢复系数
2010
12
vv
vve
碰后两球的分离速度 与碰前两球的接近速度 成正比，比值由两球材料的性质决定。
)( 12 vv?
)( 2010 vv?
可得碰撞前后速度变换公式：
)()1( 2010
21
2
101 vvemm
mvv
)()1( 2010
21
1
202 vvemm
mvv
3,完全弹性碰撞指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，
也就是 的碰撞。1?e
从 e＝ 1,101202 vvvv
)()( 10112022 vvmvvm
相乘得,2
202
2
101
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm
动量守恒：
碰撞后的速度：
20
21
2
10
21
21
1 )
2()( v
mm
mv
mm
mmv
20
21
12
10
21
1
2 )()
2( v
mm
mmv
mm
mv
讨论：
21 mm?
●
102201,vvvv
即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是最初处于静止的情况，即 去碰撞静止的,
结果 会突然 停止,接过 的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。
2m
1m
2m
1m
1m
2m
这时可得：
● 0:,
2021 vmm 且
0)
2
(
)(
10
21
1
2
1010
21
21
1
v
mm
m
v
vv
mm
mm
v这时可得：
气体分子与器壁的碰撞属于此类。
讨论：
这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球
102101 2,vvvv
这样的例子很多，请举之！
● 0:,
2021 vmm 且这时可得：
4.完全非弹性碰撞指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动，
此过程中：
,,0 21 vve
21
202101
21 mm
vmvmvv
020?v当 的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是：
2
21
2
101 )(2
1
2
1 vmmvmE
2
101
21
2 )(
2
1 vm
mm
mE
令 2
1010 2
1 vmE?
0
2
1
0
21
2
1
1 E
m
mEmm
mE
若,则机械能完全损失；反之，若
，则机械能几乎不损失。
12 mm
12 mm
打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。
5,非弹性碰撞指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。
碰撞中机械能的损失是：
2
2010
2
21
21 ))(1(
2
1 vve
mm
mmE
[例 ]如图所示的装置称为冲击摆,
可用它来测定子弹的速度。质量为 M
的木块被悬挂在长度为 l的细绳下端,
一质量为 m的子弹沿水平方向以速度
v射中木块,并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动,当到达最高位置时,木块的水平位移为 s。试确定子弹的速度。
s
M
l
v?
m
s
M
l
v?
m
解以上三方程的联立方程组得
)(2 22 sllgm Mmv --
解,根据动量守恒定律得
uMmmv )(
根据机械能守恒定律得
ghMmuMm )()(21 2
22 sllh --?
由图知
本章共 1讲第二篇 实物的运动规律第六章 能量 能量守恒定律第六章 能量 能量守恒定律提出自学要求，学生自学并完成作业和自学报告，
总结、习题课（ 2学时）
第六章自学作业总结讨论在牛顿以前很久，已经有一些有胆识的思想家认为，从简单的物理假说出发，
通过纯逻辑的演绎，应当有可能对感官所能知觉的现象作出令人信服的解释。但是，
是牛顿才第一个成功地找到一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发，他能用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，并且能同经验相符合。
－－－爱因斯坦（ 1879－ 1955）
动能动能定理功能原理机械能守恒定律能量守恒定律动 能变化率功势 能保守力结构框图重点,
概念,动能，功，保守力，势能，
规律,动能定理，功能原理，机械能守恒定律难点,转动动能，变力的功，一对力的功，势能曲线，
复杂问题的分阶段求解，三个守恒定律的综合应用一,功 力对空间累积
F?
s?
F?中学：恒力作功
SFSFAc o s
扩展,1.功的概念； 2.变力的功； 3.保守力的功
1.功的概念
1）功是标量
（代数量）
A总 =A1+A2+…….
A>0 力对物体做功
A<0 物体反抗阻力做功
A=0 力作用点无位移力与位移相互垂直
2） 功是过程量
3） 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零力作用点的位移不一定相同与作用点的 位移 相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。
例如图中地面系,AG≠0；电梯系,AG=0
h v
mg
*质点系内力做功的代数和不一定为零
*一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系的选择无关。 (证明见教材 118页 )
举例说明质点系内力做功的代数和不一定为零
0NN AA
N
c
N?
v
0ff AA
v m
c ff?
s
s?
M
0
什么条件下,一对内力做功为零?
作用点无相对位移
相互作用力与相对位移垂直
0?内对刚体,A注意：
注意 00 i ii i IF 内内
00
i
i
i
i AM 内内
2.变力的功微元分析法：
取微元过程以直代曲以恒代变再求和
a
b
o
F?
r?d
sd
r? r
P
P
a
b
o
F?
r?d
sd
r? r
P
P
元功：
sF
rF
rFA
dc o s
c o sd
dd
zFyFxFrFA zyx ddddd
直角坐标系,kFjFiFF
zyx
kzjyixr dddd
总功：
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
ddc o sd?
b
a
zyx zFyFxF ddd
如图 M=2kg,k =200N.m-1,S=0.2m,g≈ 10m.s-2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度，
缓慢下拉,则 AF=?
解,用 F 将绳端下拉 0,2 m,物体
M将上升多高?
m20
m1000
.S
.xMgkx
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m
得练习：
M
F
k S
缓慢下拉,每时刻物体处于平衡态
F=
k x (0<x≤0.1 m) 前 0.1 m为变力
k x0 =Mg (0.1<x≤0.2 m) 后 0.1 m为恒力
J3
||
dd
2.0
1.0
1.0
0
2
2
1
2.0
1.0
1.0
0
M g xkx
xMgxkxA
M
F
k S
3,计算重力、弹力、引力的功
h
h2
h1 m
mg
o
x
k m
o
o
o x
x1
x2
x
F?
F?
共同特点：
1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关。
2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差。
oM
mF?
r?
r
二、保守力 势能
1,保守力
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d
L
rF
否则为非保守力（耗散力）
做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b
a
b
a
rFrFA dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
2,势能凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
保守力重力弹力引力势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
221kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
r
E p
0
3,保守力与相关势能的关系：
1）凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,
保守力为该势能系统的内力。
2）保守力的功等于其相关势能增量的负值。
p2p1p1p2p EEEEEA保物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功。
3） 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd
l
EF
l d
d p
保守力在 l
方向投影
E p 在 l 方向空间变化率
m
lF l
θ
F?
l?d
ppg r a d EEF保
k
z
Ej
y
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x
E ppp
指向势能降低最快的方向练习 2：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出：
（ 1）卫星的动能；
（ 2）卫星在地球引力场中的引力势能；
（ 3）卫星的总机械能。
O
r
2RR
M
m
F?
解：,cv 非相对论问题
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
①
②
R
mMGr
r
mMGE
R 3
d
3
2p
③
R
G M mEEE
6pk
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
2RR
M
m
F?
a
b
aR
bR
思考,卫星对接问题设飞船 a,b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上 b并与之对接，能否直接加速？
R
G M mEEE
pk 6
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
对接方法,
a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道加速 R
b轨道
a
b
aR
bR
c
cR
对接方法,
a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道加速 R
b轨道练习,均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面,
用两种方法求出此过程中外力所做的功,
1.用变力做功计算
2,用保守力做功与势能变化的关系计算
0.8 l
0.2 l0
m
x
F?
解一,用变力做功计算光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力大小相等。
设下垂部分长为 x,质量为,以向下为正：lxm?
glmxG?
50dd
0
20
m glxx
l
mgxFA
l.
G
50
m g lAA
GF
0.8 l
0.2 l0
m
x
F?
解二,
用保守力做功与势能变化的关系计算令桌面初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p?E
5010551p
m g llmghmgE
c
02p?E
501p2pp m g lEEEA
50
m g lAA
0.8 l
0.2 l
0 m
x
质心 c
0p?E
三、动能定理
2,动能定理
KEAA 内外质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系总动能的增量：
1,动能 （非相对论）
质点：
质点系：
定轴刚体：
221k mvE?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE?
2
2
12
2
1k?JvmE
i
ii
举出内力做功增加质点系总动能的实例。
3,功能原理
KEAAA 非保内保内外
pE
EEEAA pK非保内外质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系总机械能的增量四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时，
，系统机械能守恒,
0dd 非保内外 AA
恒量 EE,0d
2,当过程满足 时，
系统初、末态机械能相等,
0 非保内外 AA 21 EE?
注意,动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 cpF外
0 cLM外
0dd 非保内外 AA
E = c
练习：
max?
如图所示,已知,M,l,m,,v0 ;击中 l 处求,击中时 ; (只列方程 )?
43
分两个阶段求解,各遵循什么规律?
1）相撞,
质点 定轴刚体对 O 轴角动量守恒
2）摆动,
M + m + 地球系统 E 守恒
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
撞后
2
2
3
1;
4
3 MlLlmL
Mm
撞前
2s i n43 00 l m vvmrL m
c o s43 0l m v?
0?ML
1）相撞,质点 定轴刚体o
M
c
l
43
l41 m
0v?
20 31169c o s43 lMml m v
对 O 轴角动量守恒动能 Ek 势能增量 ΔEp
初态末态
m:
M:
22
3
1
16
9
2
1?lMm?
0
c o s143 lmg
c o s121 lMg
2）摆动,M + m + 地球系统 E 守恒
K2k1K
1p2pp
2p2k1p1K
EEE
EEE
EEEE
c o s1
4
3
2
3
1
16
9
2
1 22
glm
M
lMm
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
由此可解出所求值
c o s14323116921 22 glmMlMm
20 31169c o s43 lMml m v
o
M
c
l
43
l41 m
0v?
练习,p134 [例 5] 如图所示：
已知,光滑桌面,m,M,k,l 0,l,求：,Bv?
0v
思考,分几个阶段处理？
各阶段分别遵循什么规律？
m M
A
B
M+m
O
M + m
+ 弹簧只有弹力作功 机械能守恒过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩都为零
0?外M?
角动量守恒
s i n0 lvMm lvMm BA
由此可解出,?BA vv
M + m
mg与 N平衡弹簧为原长 动量守恒
AvMmmv00?
外F?
练习：
质量为 2kg 的质点位于一维势场中（如图）
已知：
）（
）（
）（
m7
sm2
kg2
0
1
0
x
iv
m
求,1） m 运动范围
2）何处 F>0
3）何处 vmax=?
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
解,1） 初态
J4
2
1 2
0
0p0k0
mv
EEE
E 守恒,当 Ek=0时
）（ J40m a xp EE
作曲线 知运动范围
J)(4p?E 1?x
2） 要 0
d
d0
d
d pp
x
E
x
EF
势能曲线斜率为负,941 x,x
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p?E
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p?E
3） x = 4（ m） 处,势能最小动能最大,v 最大
EmvE 2m a xm i np 21
1m a x sm82222,v
m i np2m a x21 EEmvJ844
1.碰撞的两个特点,
1） 在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑外界的影响,
2） 碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定律研究运动状态的变化,
五、碰撞
2,对心碰撞（正碰撞）：
指两球碰撞的速度在两球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。
以两球系统为例，用 分别表示两球的质量，
碰前的速度为 ；碰后的速度是
21,mm
2010,vv 21,vv
由动量守恒定律：
2211202101 vmvmvmvm
令 x 轴与速度矢量平行，则：
2211202101 vmvmvmvm
恢复系数
2010
12
vv
vve
碰后两球的分离速度 与碰前两球的接近速度 成正比，比值由两球材料的性质决定。
)( 12 vv?
)( 2010 vv?
可得碰撞前后速度变换公式：
)()1( 2010
21
2
101 vvemm
mvv
)()1( 2010
21
1
202 vvemm
mvv
3,完全弹性碰撞指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，
也就是 的碰撞。1?e
从 e＝ 1,101202 vvvv
)()( 10112022 vvmvvm
相乘得,2
202
2
101
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm
动量守恒：
碰撞后的速度：
20
21
2
10
21
21
1 )
2()( v
mm
mv
mm
mmv
20
21
12
10
21
1
2 )()
2( v
mm
mmv
mm
mv
讨论：
21 mm?
●
102201,vvvv
即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是最初处于静止的情况，即 去碰撞静止的,
结果 会突然 停止,接过 的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。
2m
1m
2m
1m
1m
2m
这时可得：
● 0:,
2021 vmm 且
0)
2
(
)(
10
21
1
2
1010
21
21
1
v
mm
m
v
vv
mm
mm
v这时可得：
气体分子与器壁的碰撞属于此类。
讨论：
这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球
102101 2,vvvv
这样的例子很多，请举之！
● 0:,
2021 vmm 且这时可得：
4.完全非弹性碰撞指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动，
此过程中：
,,0 21 vve
21
202101
21 mm
vmvmvv
020?v当 的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是：
2
21
2
101 )(2
1
2
1 vmmvmE
2
101
21
2 )(
2
1 vm
mm
mE
令 2
1010 2
1 vmE?
0
2
1
0
21
2
1
1 E
m
mEmm
mE
若,则机械能完全损失；反之，若
，则机械能几乎不损失。
12 mm
12 mm
打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。
5,非弹性碰撞指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。
碰撞中机械能的损失是：
2
2010
2
21
21 ))(1(
2
1 vve
mm
mmE
[例 ]如图所示的装置称为冲击摆,
可用它来测定子弹的速度。质量为 M
的木块被悬挂在长度为 l的细绳下端,
一质量为 m的子弹沿水平方向以速度
v射中木块,并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动,当到达最高位置时,木块的水平位移为 s。试确定子弹的速度。
s
M
l
v?
m
s
M
l
v?
m
解以上三方程的联立方程组得
)(2 22 sllgm Mmv --
解,根据动量守恒定律得
uMmmv )(
根据机械能守恒定律得
ghMmuMm )()(21 2
22 sllh --?
由图知
