?
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )（续）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
00
00
0
0
时时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
,)t(a,v)t(r ;
第二类问题
[例 1]已知：质点沿直线运动，
000 vvxx:t;)t(aa
求：
)(,)( txtv
解：
*tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
*tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
v
t
t
tx
x
0
0
0
0
0
d
d
dd
dd
d
d
0
x
x
x
x
v
v
*xavv
xavv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
00
d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
xaa?若：
思考,若加速度 a =恒量，三个 *式成为什么形式？
*tavv t d00
*tvxx t 00 d
xx *xavv 0 d2202
)xx(avv
attvxx
atvv
0
2
0
2
2
00
0
2
2
1
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式和
= 恒量 时的形式思考,
t tvxx 00 d
xx xavv 0 d2202
tavv t d00
)xx(avv
attvxx
atvv
0
2
0
2
2
00
0
2
2
1
tt d00
t t00 d
0 d2202
)(
tt
t
0
2
0
2
2
00
0
2
2
1
[例 2]火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图所示。
求火箭在 t=50 s 时燃料用完瞬间的速度和高度。
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
解,写出 a (t) 表达式
a
)t()t(
)t(t
502020
6
1
10
200
2
1
-150
20
20
00 sm4 7 5d206
110d
2
1
t)t(ttvv
或从曲线下的面积求出 t tavv
00 d;0;0 00 hv初始条件：
高度分两段算：
前阶段的末状态即后阶段的初状态。
）（）（）（ m7.666sm100:s20 -1 hvt
0;0
2
1
:s200
00
1
hv
ta
初始条件：
）（
t t
t
ttttvhh
tttvv
0 0
32
101
0
2
01
12
1
d
4
1
d
4
1
d
2
1
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
）（ m7.8916
d)
3
200
3
20
12
(7.666d
50
20
50
20
2
22
t
tt
tvhh
）（
）（初始条件：
）（
m7.666
sm100
3
20
6
)20(
6
1
10
:s5020
-1
2
h
v
t
ta
3
200
3
20
12d3
20
6100d
2
20 20
22
tttttavv t t
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
[例 3]已知,x-t 曲线为如图所示抛物线求,a-t,v-t 图，运动方程
mx
st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
解,1）质点作何种运动？
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数 2
2
d
d
t
xa
质点作匀变速直线运动
a)?2
1
00tg:1;145tg:0
t
vv
a
vtvt
ab
ba
v)?3 tatvv a 1
-2sm?a
st
o
1?
-1sm?v
st
o
1
1
4) 运动方程;221 0
2
2
0 x
ttattvxx
a
mx
st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
625.0
05.2
0?
x
xt
得：
时由：
SI2185 2ttx
[例 4] 一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其加速度,式中 为常数，试证明关闭发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为：
0v
2kva k
kxevv 0
证明：
kx
v
v
x
evvkx
v
v
xk
v
v
xk
v
v
kv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
0
0
2
ln
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
0
证毕
§ 3.5 相对运动一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，
选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系中的描述另一坐标系中的描述变换二,低速 下的变换)cv(
分别从 系和 系描述质点 的运动
)x y zo(S? )zyxo(S
P
真空中的光速
P
O
O?
x
y y?
x?
v?
S S?
COBCABPAPO rrrrr
推广：OPr
POr?
OOOPPO rrr
位置矢量
COBCABPAPO vvvvv
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
:
:
速度矢量位移矢量
OOOPPO aaa
oo
,),( 间只有相对平动时当加速度矢量设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，；以 和 重合时为计时起点
SS? x u
o o?zzyyxx //,//,//
x
y
z
x?
y?
z?
u?
ut
S S?
o o?
伽利略坐标变换
tt
zz
yy
utxx
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
伽利略速度变换三,变换参考系的运动学意义,处理问题简便
[例 ]一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快艇速率 v <V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
Dx
o
x
x
D
v?
V
y
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
o
x
x
D
v?
V
y船
Dy
Vtx
1
1
艇
s i n
c o s
2
2
vty
vtxx
相遇：
21
21
yy
xx
s i n
c o s
vtD
vtxVt
即消去 t 得,
*v DvVxs i nc o s
令
0ddx
解出 代入 * 得?
minx
求极值：
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
v解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
Vvv
AB
AwB
wABwBA
vv
vv
vvv
A
Av
Bv
Av
BAv?
B
若 的延长线过,则,相撞。
BAv? A A B
o
x
D V
x
v?
V?
v
相遇条件：,
最小最大时当 x?
有最大值：?,Vv?
V
v?
ms i m?
o
x
D V
x
v?
V?
v
m?
艇出发时：
22D
Ds i n
x?
22
m i n
22
vV
v
D
x
V
v
xD
D
得：
由：
Vvv如图证毕
[例 ]皮球“超常”弹跳
h
m
M
甲：
实验室观察者乙：
上观察者M
,Mm
已知,皮球从离地面一定高度处自由落下，完全弹性碰撞，
求,跳起的高度之比。Mm,
地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒：解 1：
M
m
v
v?
M
m
2v?
1v?
甲甲 +
+
21 mvMvmvMv
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1 mvMvv)mM(
vvmM mMv 31
vvmM mMv 332
解得：
弹跳高度,为 ； 为 9m
hM h
碰撞前：
碰撞后：
解 2：
M
m
v
v
甲
M
m
v3
v
甲m
M
v2
乙
m
M v2
乙弹跳高度,为 ； 为 9m
hM h
[例 ]河水自西向东流动，速度为 。一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西,相对于河水的航速为 。此时风向为由东向西，风速为 。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）。
1hkm20
1hkm10
30
1hkm10
解析法：
建立如图所示坐标系，
由题意可知 风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北
)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
j
iv
iv
iv
船水风地水地根据相对速度公式
)(j.i
)ji(ii)(
vvv
vvvvv
1
hkm31710
30c o s2030s i n201010
船水水地风地水船地水风地风船烟船
.30
hkm20
1
飘去向南偏西的速率烟以即在船上观察，
北 y
x
东
风船v?
-10
-17.3
o
)h( k m31710 1 j.iv 烟船
30
3.17
10
a r c t g
)h( k m20)3.17()10 122
（烟船v
图解法：
根据相对速度公式，
)()( 船水水地风地水船地水风地风船烟船
vvv
vvv
vv
风地v? 水地v
船水v
风船v30
30
hkm20
1
)(v
烟船
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方程是
，
对飞机上的观察者其轨迹方程是 。2
2
2v
gxy?
2
0
2
)(2 vv
gxy
2
0
2
1
)(
gty
tvvx
对地面
2
2
1
gty
vtx
对飞机
x
y
o
本章共 3讲第二篇 实物的运动规律第三章 运动的描述
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )（续）
二,已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程 (积分法）。
)t(,)t(),t(,)t(
)t(r,)t(v)v,rt(,)t(a
00
00
0
0
时时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
,)t(a,v)t(r ;
第二类问题
[例 1]已知：质点沿直线运动，
000 vvxx:t;)t(aa
求：
)(,)( txtv
解：
*tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
*tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
v
t
t
tx
x
0
0
0
0
0
d
d
dd
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0
x
x
x
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v
v
*xavv
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x
vv
t
x
x
v
t
v
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0
00
d2
dd
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d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
xaa?若：
思考,若加速度 a =恒量，三个 *式成为什么形式？
*tavv t d00
*tvxx t 00 d
xx *xavv 0 d2202
)xx(avv
attvxx
atvv
0
2
0
2
2
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0
2
2
1
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式和
= 恒量 时的形式思考,
t tvxx 00 d
xx xavv 0 d2202
tavv t d00
)xx(avv
attvxx
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0
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1
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t t00 d
0 d2202
)(
tt
t
0
2
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2
2
00
0
2
2
1
[例 2]火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图所示。
求火箭在 t=50 s 时燃料用完瞬间的速度和高度。
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
解,写出 a (t) 表达式
a
)t()t(
)t(t
502020
6
1
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-150
20
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110d
2
1
t)t(ttvv
或从曲线下的面积求出 t tavv
00 d;0;0 00 hv初始条件：
高度分两段算：
前阶段的末状态即后阶段的初状态。
）（）（）（ m7.666sm100:s20 -1 hvt
0;0
2
1
:s200
00
1
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初始条件：
）（
t t
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3
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3
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20
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2
22
t
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）（
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3
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2
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v
t
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3
200
3
20
12d3
20
6100d
2
20 20
22
tttttavv t t
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
[例 3]已知,x-t 曲线为如图所示抛物线求,a-t,v-t 图，运动方程
mx
st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
解,1）质点作何种运动？
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数 2
2
d
d
t
xa
质点作匀变速直线运动
a)?2
1
00tg:1;145tg:0
t
vv
a
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ab
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v)?3 tatvv a 1
-2sm?a
st
o
1?
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st
o
1
1
4) 运动方程;221 0
2
2
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ttattvxx
a
mx
st
o
a
b?45
1
3
2 2.5
625.0
05.2
0?
x
xt
得：
时由：
SI2185 2ttx
[例 4] 一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其加速度,式中 为常数，试证明关闭发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为：
0v
2kva k
kxevv 0
证明：
kx
v
v
x
evvkx
v
v
xk
v
v
xk
v
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t
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2
ln
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
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0
证毕
§ 3.5 相对运动一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，
选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系中的描述另一坐标系中的描述变换二,低速 下的变换)cv(
分别从 系和 系描述质点 的运动
)x y zo(S? )zyxo(S
P
真空中的光速
P
O
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y y?
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v?
S S?
COBCABPAPO rrrrr
推广：OPr
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OOOPPO rrr
位置矢量
COBCABPAPO vvvvv
OOOPPO
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:
:
速度矢量位移矢量
OOOPPO aaa
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,),( 间只有相对平动时当加速度矢量设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，；以 和 重合时为计时起点
SS? x u
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x
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S S?
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伽利略坐标变换
tt
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yy
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vv
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uvv
伽利略速度变换三,变换参考系的运动学意义,处理问题简便
[例 ]一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快艇速率 v <V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
Dx
o
x
x
D
v?
V
y
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
o
x
x
D
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V
y船
Dy
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1
1
艇
s i n
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2
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相遇：
21
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yy
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即消去 t 得,
*v DvVxs i nc o s
令
0ddx
解出 代入 * 得?
minx
求极值：
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
v解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
Vvv
AB
AwB
wABwBA
vv
vv
vvv
A
Av
Bv
Av
BAv?
B
若 的延长线过,则,相撞。
BAv? A A B
o
x
D V
x
v?
V?
v
相遇条件：,
最小最大时当 x?
有最大值：?,Vv?
V
v?
ms i m?
o
x
D V
x
v?
V?
v
m?
艇出发时：
22D
Ds i n
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22
m i n
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D
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V
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D
得：
由：
Vvv如图证毕
[例 ]皮球“超常”弹跳
h
m
M
甲：
实验室观察者乙：
上观察者M
,Mm
已知,皮球从离地面一定高度处自由落下，完全弹性碰撞，
求,跳起的高度之比。Mm,
地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒：解 1：
M
m
v
v?
M
m
2v?
1v?
甲甲 +
+
21 mvMvmvMv
2
2
2
1
2
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2
1
2
1 mvMvv)mM(
vvmM mMv 31
vvmM mMv 332
解得：
弹跳高度,为 ； 为 9m
hM h
碰撞前：
碰撞后：
解 2：
M
m
v
v
甲
M
m
v3
v
甲m
M
v2
乙
m
M v2
乙弹跳高度,为 ； 为 9m
hM h
[例 ]河水自西向东流动，速度为 。一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西,相对于河水的航速为 。此时风向为由东向西，风速为 。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）。
1hkm20
1hkm10
30
1hkm10
解析法：
建立如图所示坐标系，
由题意可知 风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北
)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
j
iv
iv
iv
船水风地水地根据相对速度公式
)(j.i
)ji(ii)(
vvv
vvvvv
1
hkm31710
30c o s2030s i n201010
船水水地风地水船地水风地风船烟船
.30
hkm20
1
飘去向南偏西的速率烟以即在船上观察，
北 y
x
东
风船v?
-10
-17.3
o
)h( k m31710 1 j.iv 烟船
30
3.17
10
a r c t g
)h( k m20)3.17()10 122
（烟船v
图解法：
根据相对速度公式，
)()( 船水水地风地水船地水风地风船烟船
vvv
vvv
vv
风地v? 水地v
船水v
风船v30
30
hkm20
1
)(v
烟船
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
风地v?
船水v?
水地v?
30
y
x
o
东北练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方程是
，
对飞机上的观察者其轨迹方程是 。2
2
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0
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对地面
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2
1
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对飞机
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