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本章共 2讲第二篇 实物的运动规律第四章 动量 动量守恒定律第四章,动量 动量守恒定律第五章,角动量 角动量守恒定律第六章,能量 能量守恒定律运动学 （第三章 运动的描述）
动力学
（ 运动的度量 ）
特点,以守恒量和守恒定律为中心。
第四章 动量 动量守恒定律
（英） I,Newton
1642-1727
,自然哲学的数学原理,
1687年出版
,自然哲学的数学原理,使人类第一次对,世界系统,（即太阳系）有了定量的了解 …… 更重要的是这个了解基于一种纯理论的思考体系，用准确的数学语言，既简单又净洁，既精确又包罗万象。
可以说，在公元 1687年诞生了的是一种革命性的新世界观：宇宙具有极精确的基本规律，而人类可以了解这些规律。 ---杨振宁 --
恒力，质点，惯性系 变力，质点系，非惯性系以 动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。
质量速度动量变化率动量定理动量守恒定律牛顿运动定律动量结构框图学时,4
难点,变力作用的动力学问题；
惯性力，非惯性系中的力学定律重点概念,质点、质点系的动量；
力的冲量；
规律,牛顿运动定律；
动量定理的微分形式和积分形式；
动量守恒定律
§ 4.1 动量 动量的时间变化率一,质点问题
1.质点的动量
vmp
量度质点机械运动的强度
2.质点动量的时间变化率
)cv(Fam
t
vm
t
vm
t
p
d
d
d
d
d
d
质点动量的时间变化率是质点所受的合力牛顿第二定律的一般形式
amF
特 例常量 mcv,t
pF
d
d
二,质点系问题
1.质点系的动量
Ni mmmm,,,21
Ni pppp
,,,
21
质量分别为,
位矢分别为,
动量分别为,
质点系总质量：
质点系总动量：
N imM
1
Ni rrrr
,,,
21
x y
z
1r?
2r?
Nr?
1m
2m
Nm
O
im
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t
r
mvm
ppppp
i
i
ii
i
i
i
i
N
d
d
21
寻找特殊点 C — 质心其位矢为 =?
cr
x y
z
1r?
2r?
Nr?
1m
2m
Nm
O
cr?
C
采用 类比法 简化质点质点系
t
r
MvMp
t
r
mvmp
c
c d
d
d
d
质心位矢：
i
ii
c M
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质点系总动量：
2.质心
i
ii
i
i
i
i
i M
rm
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d
d
d
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d
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N
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M
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2
2
1
1
权重即：质心位矢是各质点位矢的 加权 平均。
直角坐标系中，质心的位置：
M
zm
z
M
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y
M
xm
x
N
i
ii
c
N
i
ii
c
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ii
c
111 ;;
质量连续分布的质点系
ox
z
y
M
z,y,xmd
r?
Vm dd
Sm dd
lm dd
体分布面分布线分布
dm,宏观小，微观大
M
mz
z
M
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y
M
mx
x
c
c
c
d
d
d
M
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c
d
质心的速度与加速度：
质心速度是各质点速度的 加权 平均
M
mv
M
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t
r
M
m
M
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tt
rv i iiii
i
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c
d
d
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d
d
d
d
或质心加速度是各质点加速度的 加权 平均
M
ma
M
am
t
r
t
v
a i
ii
cc
c
d
d
d
d
d
2
2
或同理：
也可以写成分量式。cc av,
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理内力 ——质点系内质点间的相互作用力外力 ——质点系外的物体对系内任一质点的作用力
1m
2m
3m
12F?
21F?
13F?
31F?
32F?
23F?
外1F?
外3F
外2F?
i
iFF 外外
质点系内质点间的内力总是成对出现,因此必有
i i
FF 0内内
注意,同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。
N个质量分别为 动量分别为的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为
Nm,,m,m?21 Np,,p,p
21
1m
2m
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d
d
d
d
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d
2
222
1
111
内外内外内外将以上各式相加，并考虑到
0
1
N
i
iFF 内内
得：
)ppp(tFFF NN 2121 dd外外外
t
pFF N
i
i d
d
1
外外即结论,质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的时间变化率 。
质心的运动等效于 － 质点位于质量受力
cr
M
外F
其运动与系统内质点之间的相互作用无关。
将
cvMp
代入上式得
c
cc aM
t
vM
t
vMF
d
d
d
d
外质心运动定理基本方法,用质心作为物体（质点系）的代表，描述质点系整体的平动。 刚体或柔体质点：
质点系：
外
F
t
p
vMpp
F
t
p
vmp
c
i
i
d
d
d
d小结：
cv
常量?m caMF
amF
外
§ 4.2 习题课 ——运动定律的应用一,惯性系和非惯性系惯性系,惯性定律在其中成立的参考系，即其中 不受外力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运动的状态。
“惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证：如果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来没有加速度；
而只有由于它没有加速度这一事实，我们才知道它离开别的物体是足够远。” —— 爱因斯坦如何判断一个参考系是否惯性系？
理论上：
分别考察受力和运动，检验其是否遵守惯性定律实际上,力、运动、参考系三者不是互相独立的。
惯性系是参考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的基础和前提。
实际处理,选择对所研究问题适宜的近似惯性系太阳绕银河系中心公转：
太阳参考系（恒星基准）：较好的惯性系
-210 sm1081.a n
地球绕太阳公转：
地球参考系：非惯性系
-23 sm106na
重要性质,相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系是惯性系；相对已知惯性系加速运动的参考系是非惯性系。
对于日常运动的研究和实验，地面可作为近似程度相当好的惯性系；而 相对地面加速运动的参考系是非惯性系。
地面绕过地心的轴自转：
地面参考系：非惯性系
-22 sm1043.a n
地心参考系：近似的惯性系实际生活中存在大量非惯性系，分为两类：
加速平动参考系转动参考系其中牛顿运动定律不成立分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律十六字诀 选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向隔离物体 ——明确研究对象具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况建立方程 ——分量式二,惯性系中的力学定律
z
z
z
y
y
y
x
x
x
ma
t
p
F
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t
p
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t
p
F
d
d
d
d
d
d
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R
v
mF
ma
t
v
mF
2
d
d
[例 1]一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由静止开始下沉。设浮力为 F,水的阻力 f = kAv，
式中 A 为潜水艇水平投影面积,k 为常数。求潜水艇下沉速度与时间的关系。
解,以潜艇为研究对象，受力如图
（哪些是恒力？哪些是变力？）
f
o
mg
F
c
+
由牛顿第二定律：
tv
t
k A vFmg
vm
t
v
mk A vFmg
00
d
d
d
d
在地面系中建立如图坐标
t
m
kA
t
m
kA
e
kA
Fmg
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k A vFmg
t
Fmg
m g - F - k A v
kA
m
1
ln
讨论潜艇运动情况：
恒量?
kA
Fmg
vvt
t
v
vtvt
m a x
,
d
d
,00
极限速率（收尾速率）
v
mv
o
t
类似处理,跳伞运动员下落，有阻力的抛体运动，
小球在粘滞流体中下落 …,..
练习,一物体作有阻力的抛体运动已知：
k m vf,,v,m0
求,轨道方程解,先建立 x,y 方向的运动微分方程，
受力情况如图：
o
y
x
0v?
f? m
gm?
t
v
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t
v
mk m v
y
y
x
x
d
d
d
d
o
y
x
0v?
f? m
gm?
用积分法求解：
y
x
v
v
y
x
消去 t,得轨道方程
c o s-1lns i nc o s 0200 v
kx
k
gkgv
v
xy
M
m
对 的加速度求,对 的正压力
[例 2]
0,,M,m已知：
Mm N
a?Mm
解：
s i nc o s gamgN
对不对？
x
y
m
mg
N
a
此结果是以 M为参考系得出的
c o s0c o s
s i ns i n
mgNmgNF
gaammgF
y
x
能否在 M系中用牛顿定律列方程？ M是否惯性系？
以地面为参考系,列 M 的运动 方程：
不是惯性系。Ma M,0?
( 2 )0c o s
( 1 )s i n
NMgQF
MaNF
y
Mx
M
Q
Ma?
NN
x
Mg
y受力情况如图：
以地面为参考系,列 m 的运动 方程：
y
x
m
Ma?
a mg
ma
N
地地 MmMm aaa
Mm aaa
s i n
c o s
Mmy
Mmx
aa
aaa
)(mamamgNF
)(aammamgF
Mmyy
Mmxx
4s i nc o s
3c o ss i n
2
2
2
s i n
s i n
s i n
s i nc o s
s i n
c o s
mM
gmM
a
mM
mg
a
mM
M m g
N
M
由（ 1）、（ 3）、（ 4）解得：
)(mamamgNF
)(aammamgF
Mmyy
Mmxx
4s i nc o s
3c o ss i n
)(MaNF Mx 1s i n
y
x
m
Ma?
a mg
ma
N
可用极限法检验：
222 s i n
s i n
s i n
s i nc o s
s i n
c o s
mM
gmMa;
mM
mga;
mM
M m gN
M?
M20
N
a
a
M
m
M
m
Mm M
mg
0
0
0
0
g
c o s
s i n
0
mg
g
注意,? 只能对惯性系建立牛顿运动方程
会解决类似的关联体问题
1m
B
3m
2m
A
o
o?
P69[例 4]
B不是惯性系
1m
2m
o
A
p83 4,3
绳不是惯性系
[例 3]
已知,质量均匀的绳在水平面内转动；?,L,M
求,张力rT
o
L r
M绳内部相邻两部分相互作用力思考,1.绳上张力是否处处相等？
md1T
2T amTT d12
条件12 TT?
绳静止或匀速直线运动不计绳质量
0
0d
a
m
本题均不满足思考,2,如何求系统内力？
设法将 内力 ……………… 外力暴露解,在绳上取微元 md
rLMm dd
o
L r
M
md
rd
mdrTrrT d?
rd受力分析：
namrTrrT dd
水平面内法向运动方程：
o
L
r
M
mdrTrrT d?
r rd
na
rL rMrT 2dd
namrTrrT dd
rTT?
0
0
m i n
m a x
TTLr
TTr
如何确定积分限？ －利用边界条件。
L
rrT L
rrMrT dd 20
L
rLMrT
2
222?
小结：
例题 1,变力问题例题 2,关联体问题，系统内物体有相对运动例题 3,求内力问题牛顿运动定律只对惯性系成立。
注意：
第六章 能量 能量守恒定律 自学要求一,基本内容：
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解
。
大作业二,自学要求
1.阅读教材 p114－ p141；
2.完成作业,No.4
三,考核方法第 7周第一次课交作业 No4；
第 8周第一次课交自学报告 （成绩占总成绩 10%）
内容：
（ 1）将 p114,结构框图”具体化，形成较详尽的“
全章总结”（格式不限）；
（ 2）学习效果的自我评价、收获体会；
（ 3）对本章教学方式的反馈意见。
本章共 2讲第二篇 实物的运动规律第四章 动量 动量守恒定律第四章,动量 动量守恒定律第五章,角动量 角动量守恒定律第六章,能量 能量守恒定律运动学 （第三章 运动的描述）
动力学
（ 运动的度量 ）
特点,以守恒量和守恒定律为中心。
第四章 动量 动量守恒定律
（英） I,Newton
1642-1727
,自然哲学的数学原理,
1687年出版
,自然哲学的数学原理,使人类第一次对,世界系统,（即太阳系）有了定量的了解 …… 更重要的是这个了解基于一种纯理论的思考体系，用准确的数学语言，既简单又净洁，既精确又包罗万象。
可以说，在公元 1687年诞生了的是一种革命性的新世界观：宇宙具有极精确的基本规律，而人类可以了解这些规律。 ---杨振宁 --
恒力，质点，惯性系 变力，质点系，非惯性系以 动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。
质量速度动量变化率动量定理动量守恒定律牛顿运动定律动量结构框图学时,4
难点,变力作用的动力学问题；
惯性力，非惯性系中的力学定律重点概念,质点、质点系的动量；
力的冲量；
规律,牛顿运动定律；
动量定理的微分形式和积分形式；
动量守恒定律
§ 4.1 动量 动量的时间变化率一,质点问题
1.质点的动量
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量度质点机械运动的强度
2.质点动量的时间变化率
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质点动量的时间变化率是质点所受的合力牛顿第二定律的一般形式
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二,质点系问题
1.质点系的动量
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质量连续分布的质点系
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也可以写成分量式。cc av,
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理内力 ——质点系内质点间的相互作用力外力 ——质点系外的物体对系内任一质点的作用力
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注意,同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。
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内外内外内外将以上各式相加，并考虑到
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外外即结论,质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的时间变化率 。
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其运动与系统内质点之间的相互作用无关。
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外质心运动定理基本方法,用质心作为物体（质点系）的代表，描述质点系整体的平动。 刚体或柔体质点：
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§ 4.2 习题课 ——运动定律的应用一,惯性系和非惯性系惯性系,惯性定律在其中成立的参考系，即其中 不受外力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运动的状态。
“惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证：如果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来没有加速度；
而只有由于它没有加速度这一事实，我们才知道它离开别的物体是足够远。” —— 爱因斯坦如何判断一个参考系是否惯性系？
理论上：
分别考察受力和运动，检验其是否遵守惯性定律实际上,力、运动、参考系三者不是互相独立的。
惯性系是参考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的基础和前提。
实际处理,选择对所研究问题适宜的近似惯性系太阳绕银河系中心公转：
太阳参考系（恒星基准）：较好的惯性系
-210 sm1081.a n
地球绕太阳公转：
地球参考系：非惯性系
-23 sm106na
重要性质,相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系是惯性系；相对已知惯性系加速运动的参考系是非惯性系。
对于日常运动的研究和实验，地面可作为近似程度相当好的惯性系；而 相对地面加速运动的参考系是非惯性系。
地面绕过地心的轴自转：
地面参考系：非惯性系
-22 sm1043.a n
地心参考系：近似的惯性系实际生活中存在大量非惯性系，分为两类：
加速平动参考系转动参考系其中牛顿运动定律不成立分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律十六字诀 选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向隔离物体 ——明确研究对象具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况建立方程 ——分量式二,惯性系中的力学定律
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[例 1]一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由静止开始下沉。设浮力为 F,水的阻力 f = kAv，
式中 A 为潜水艇水平投影面积,k 为常数。求潜水艇下沉速度与时间的关系。
解,以潜艇为研究对象，受力如图
（哪些是恒力？哪些是变力？）
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由牛顿第二定律：
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在地面系中建立如图坐标
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讨论潜艇运动情况：
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极限速率（收尾速率）
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类似处理,跳伞运动员下落，有阻力的抛体运动，
小球在粘滞流体中下落 …,..
练习,一物体作有阻力的抛体运动已知：
k m vf,,v,m0
求,轨道方程解,先建立 x,y 方向的运动微分方程，
受力情况如图：
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y
x
0v?
f? m
gm?
t
v
mmgk m v
t
v
mk m v
y
y
x
x
d
d
d
d
o
y
x
0v?
f? m
gm?
用积分法求解：
y
x
v
v
y
x
消去 t,得轨道方程
c o s-1lns i nc o s 0200 v
kx
k
gkgv
v
xy
M
m
对 的加速度求,对 的正压力
[例 2]
0,,M,m已知：
Mm N
a?Mm
解：
s i nc o s gamgN
对不对？
x
y
m
mg
N
a
此结果是以 M为参考系得出的
c o s0c o s
s i ns i n
mgNmgNF
gaammgF
y
x
能否在 M系中用牛顿定律列方程？ M是否惯性系？
以地面为参考系,列 M 的运动 方程：
不是惯性系。Ma M,0?
( 2 )0c o s
( 1 )s i n
NMgQF
MaNF
y
Mx
M
Q
Ma?
NN
x
Mg
y受力情况如图：
以地面为参考系,列 m 的运动 方程：
y
x
m
Ma?
a mg
ma
N
地地 MmMm aaa
Mm aaa
s i n
c o s
Mmy
Mmx
aa
aaa
)(mamamgNF
)(aammamgF
Mmyy
Mmxx
4s i nc o s
3c o ss i n
2
2
2
s i n
s i n
s i n
s i nc o s
s i n
c o s
mM
gmM
a
mM
mg
a
mM
M m g
N
M
由（ 1）、（ 3）、（ 4）解得：
)(mamamgNF
)(aammamgF
Mmyy
Mmxx
4s i nc o s
3c o ss i n
)(MaNF Mx 1s i n
y
x
m
Ma?
a mg
ma
N
可用极限法检验：
222 s i n
s i n
s i n
s i nc o s
s i n
c o s
mM
gmMa;
mM
mga;
mM
M m gN
M?
M20
N
a
a
M
m
M
m
Mm M
mg
0
0
0
0
g
c o s
s i n
0
mg
g
注意,? 只能对惯性系建立牛顿运动方程
会解决类似的关联体问题
1m
B
3m
2m
A
o
o?
P69[例 4]
B不是惯性系
1m
2m
o
A
p83 4,3
绳不是惯性系
[例 3]
已知,质量均匀的绳在水平面内转动；?,L,M
求,张力rT
o
L r
M绳内部相邻两部分相互作用力思考,1.绳上张力是否处处相等？
md1T
2T amTT d12
条件12 TT?
绳静止或匀速直线运动不计绳质量
0
0d
a
m
本题均不满足思考,2,如何求系统内力？
设法将 内力 ……………… 外力暴露解,在绳上取微元 md
rLMm dd
o
L r
M
md
rd
mdrTrrT d?
rd受力分析：
namrTrrT dd
水平面内法向运动方程：
o
L
r
M
mdrTrrT d?
r rd
na
rL rMrT 2dd
namrTrrT dd
rTT?
0
0
m i n
m a x
TTLr
TTr
如何确定积分限？ －利用边界条件。
L
rrT L
rrMrT dd 20
L
rLMrT
2
222?
小结：
例题 1,变力问题例题 2,关联体问题，系统内物体有相对运动例题 3,求内力问题牛顿运动定律只对惯性系成立。
注意：
第六章 能量 能量守恒定律 自学要求一,基本内容：
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解
。
大作业二,自学要求
1.阅读教材 p114－ p141；
2.完成作业,No.4
三,考核方法第 7周第一次课交作业 No4；
第 8周第一次课交自学报告 （成绩占总成绩 10%）
内容：
（ 1）将 p114,结构框图”具体化，形成较详尽的“
全章总结”（格式不限）；
（ 2）学习效果的自我评价、收获体会；
（ 3）对本章教学方式的反馈意见。
