第二章 光的衍射
§1 衍射现象、惠更斯─菲涅耳原理一.光的衍射
1.现象
一般地说来，上面装置中波长λ～10-3a或更大时，就能用肉眼观察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。
2.定义：光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
3.分类：
(1)菲涅耳衍射
──光源和观察屏（或二者之一）离衍射屏的距离有限时的衍射。它也称近场衍射，其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变，情况较复杂。
(2)夫琅禾费衍射──光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍射。它也称远场衍射，这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形。
此后我们仅讨论夫琅禾费衍射。
二.惠更斯─菲涅耳原理
菲涅耳（1788-1827）对波动光学的贡献…
惠更斯─菲涅耳原理：波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。
该原理的数学表达式如下：
1882年以后，基尔霍夫解电磁波的波动方程，也得到了E(p) 的表示式，这使得惠更斯─菲涅耳原理有了波动理论的根据。E(p) 的计算相当复杂，下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法─波带法，它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象又清晰。
§2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法一.装置
S：单色光源,光线正入射
：衍射角,缝宽
二.半波带法
A→P和B→P 的光程差,
▲ ─中央明纹(中心)
；
▲当时，可将缝分为两个“半波带”：
光线1与1＇在P点的相位差为，
光线2与2＇在P点的相位差亦为,…
所以两个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹；
▲当时，可将缝分成三个“半波带”，其中两个相邻的半波带发的光在P处干涉相消，剩一个“半波带”发的光在P处不被抵消，P处基本上是明纹中心；
▲当 时，可将缝分成四个“半波带”，它们发的光在P处两两相消，形成暗纹。
一般情况：
─暗纹
─明纹(中心)
─中央明纹(中心)
越大，缝被分的半波带数越多，半波带面积越小，明纹的光强也越小。
半波带法虽然简便，但只能给出衍射光强分布的定性结果。
三．光强
从中央往外各次极大的光强依次为,0.0472I0,0.0165I0,0.0083I0 ∴ I次极大 << I主极大
四.条纹宽度
1.中央明纹
角宽度:一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。
时，，
中央明纹角宽度,
中央明纹线宽度：
── 衍射反比定律
2.其他明纹(次极大)
在时，其余明纹线宽度：
其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半，这是单缝衍射明纹宽度的特征。
3.波长对条纹宽度的影响
由于，所以波长越长，条纹宽度越宽。当白光入射时，除中央明纹中心外，其余各级明纹将形成彩带，且不同级亮纹间有重叠。
4.缝宽变化对条纹的影响
由 知：缝宽越小，条纹宽度越宽。
当 时，光强曲线变为水平直线，屏幕是一片亮。
当 时，，各级明纹向中央靠拢，密集得无法分辨，只显出单一的明条纹，这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从直线传播规律。∴几何光学是波动光学在( /a (0时的极限情形。
五.干涉和衍射的联系与区别
从本质上讲，干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有限多个分立光束的相干叠加，衍射指的是无限多个子波的相干叠加，而二者又常常同时出现在同一现象中。
六.应用举例
已知：一雷达位于路边d =15m处，射束与公路成角，天线宽度a = 0.20m，射束波长=30mm。
求：在该雷达监视范围内公路长L =?
解：将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹，由
有 得
如图：
§3 光栅衍射一.光栅
1.光栅—大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学元件。从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。
2.种类：可分透射、反射两大类
我们只讨论透射光栅。
3.光栅常数若透光（或反光）部分的宽度用表示，不透光（或不反光）部分的宽度用表示，则光栅常数，它是光栅的重要参数。
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm，
用电子束刻制可达数万条/mm(d()。
光栅是现代科技中常用的重要光学元件。
二.光栅衍射
1.多光束干涉所谓多光束干涉，是指多个等光强的光束的干涉，即先不考虑衍射对每个光束的影响，来看多束光的相干叠加。
实验装置：
光栅常数,d,单色光正入射 。
明纹（主极大）条件： k = 0,1,2,3 …
上式称作正入射时的“光栅方程”。
设有N个缝、每个缝发的光在对应衍射角方向的P点的光振动的振幅为。则P点为主极大时，各相邻光相位差。
暗纹条件：
由主极大条件和暗纹条件可知：
所以相邻主极大间有N-1个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有一个次极大，故相邻主极大间有N-2个次极大。
如N = 4，在零级和一级亮纹之间,k( 可取 1、2、3,有三个极小，分别在
对应的相位差为,,
由光栅方程知，在和一定时，主极大的角位置就确定了，与N的大小无关。但N大时强度向主极大集中，使条纹亮而窄，便于观测。这正是多光束干涉较双缝干涉之优越处。
2.光栅衍射
条纹有以下特点：
(1)各主极大受到单缝衍射的调制，衍射光强大的方向主极大的光强也大；
(2) d/a为整数比时，会出现缺级；
下图为N = 4，= 4的单缝衍射和光栅衍射的光强分布曲线，这里主极大缺±4,±8(级。
(3)d、a对条纹的影响
▲a不变(单缝衍射的轮廓线不变；
d减小(主极大间距变稀，单缝中央亮纹范围内的主极大个数减少，缺级的级次变低。
▲d不变(各主极大位置不变；
a减小(单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。极端情形,当 ( 0时单缝衍射的轮廓线变为水平直线，第一暗纹在((处，各主极大光强相同，此时：
多缝衍射图样 ( 多光束干涉图样
下面是以为例的各种光强分布曲线对应图：
三.斜入射的光栅方程
1.光线斜入射时的光栅方程
相邻两缝的入射光束在斜入射时已有光程差，衍射后又有光程差，总光程差为：
斜入射的光栅方程
和的符号规定：
由光前进的方向顺
时针转到光栅法线
方向(向前)为正。
光线斜入射可以获得更高级次的条纹（高级次条纹分辨率高）。
由斜入射的光栅方程知：确定时，调节，则相应改变。
例如,令,则 ，
相邻入射光的相位差
上式表明：改变相邻入射光的相位差Δ(，即可改变0级衍射光的方向，此结论正是“相控阵雷达”扫描的基本原理。
四.光栅光谱
光栅是分光元件，光栅光谱有多级，且是正比光谱 （i和 不大时,）。
白光(400(760nm)的光栅光谱(连续)：
§4 光学仪器的分辨本领一.透镜的分辨本领
透镜有一定孔径，光通过它要发生衍射。
1.圆孔的夫琅禾费衍射
中央亮斑─爱里斑（Airy disk）集中了约84%的衍射光能。
D(
((
2.透镜的分辩本领
光的衍射限制了透镜的分辨能力。
几何光学,( 经透镜 )
物点 ( 象点
物(物点集合)(象(象点集合)
波动光学,( 经透镜 )
物点 ( 象斑
物(物点集合)(象(象斑集合)
距离近的象斑有可能重叠，从而分辨不清。
瑞利判据:对于两个等光强的非相干物点，如果其一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘（第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚可以分辨。
时，刚刚能分辨S1和S2 。
最小分辨角：
分辨本领,
▲望远镜：不可选择，可
▲显微镜：D不会很大，可
电子：0.1Ao (1 Ao,∴ 电子显微镜分
辨本领很高，可观察物质结构。
人眼对Ao 的光,，在约9m远处可分辨相距约2mm的两个点。
▲夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，逐渐移近才看出是两个灯。
§5 X射线的衍射
X射线oA
K─ 阴极，A─ 阳极(钼、钨、铜等金属)，
A─ K间加几万伏高压，以加速阴极发射的热电子。
一．X射线在晶体上的衍射劳厄（Laue）实验（1912）：晶体相当于三维光栅，衍射图样（劳厄斑）证实了X射线的波动性。
：掠射角，d：晶面间距（晶格常数），
对NaCl,d = 2.8o A 。
1.衍射中心,X射线照射晶体时，每个原子（表层、内层）都是散射子波的子波源（相当于一维光栅的“缝”）。
2.点间散射光的干涉：同一层晶面上各原子散射的光相干涉，反射光的方向即散射光干涉后零级主极大的方向（相邻两束光的光程差为零）。
3.面间散射光的干涉：不同晶面沿反射方向的散射光还要干涉，相邻晶面散射光1和2的光程差：
散射光干涉加强条件：
k = 1，2,3 … ─布喇格公式
二.应用
(1)已知(、(可测d —X射线晶体结构分析。
(2)已知(、d可测( —X射线光谱分析。
基本要求
１．了解用惠更斯－－菲涅尔原理解释光的衍射现象的基本思想。
２．掌握夫琅和费单缝衍射的特点,运用半波带法分析单缝衍射规律,以确定衍射图样中明暗条纹的位置。
３．理解光栅衍射图样的特点及其形成原因。掌握光栅方程明条纹的规律和光栅光谱的应用。
４．理解瑞利判据,了解光的衍射对光学仪器分辨率的影响。
５．理解X射线衍射原理及布喇格公式的意义。
二、知识系统图
例题：
１．什么叫光的衍射? 夫琅和费衍射的特点是什么?实验装置如何? 双缝干涉暗条纹与单缝衍射明纹条件的形式相同，但一暗一明,为什么?
分析：光的衍射是同一光束中无数子波在障碍物后叠加而相互干涉的结果。而光的干涉是两束光或几束光叠加而相互干涉。
夫琅和费衍射是远场衍射，衍射障碍物与光源及屏幕的距离均为无穷远 (或利用透镜把无穷远移到有限远处)。衍射图样很小或完全不与衍射物相像，在中央亮纹旁边有强度较弱的次级条纹。
观察夫琅和费衍射的实验装置如图所示。点光源或缝光源放在准直透镜L1的焦点上，L1的主光轴与单缝平面垂直,则有一组平行光垂直入射到单缝G上，入射光的波阵面与G平面平行。单缝上每个子波波源有相同的位相，每个子波波源向各个方向发出射线。具有相同方向的衍射光线通过透镜L2后都会聚在屏H上的同一点P。P点光强仅由这一组平行光线相互干涉的结果来决定，而与其它方向的衍射光无关。这样，一组组具有不同衍射角 的平行衍射光线分别会聚于屏上的不同点，构成衍射图样。
单缝衍射的明暗条件和双缝干涉的明暗条件从形式看来恰好相反，但由于公式的导出与物理含义均不相同，因此并不矛盾。干涉条纹明暗条件是用两束光的光程差来表示：
暗纹, 0,l,2…
明纹, 0,l,2…
衍射是考虑波带上各子波的干涉，其明、暗条纹条件是由单缝边缘光线的光程差决定
明纹, 0,l,2…
中央明纹,
暗纹, 0,l,2…
2．为什么用单色光做单缝衍射实验时,当缝的宽度a 比光的波长 ( 大很多(a≥( )或比波长 ( 小( a <( ) 时都观察不到衍射条纹?
分析：由 可知，当a ( 时，各级衍射条纹的衍射角 都很小，所有条纹几乎都与零级条纹集中在一起无法分辨。当 a 是 ( 的几万倍以上，光就显出直线传播，屏上现出单缝透过透镜形成的实象，这属几何光学范畴，故几何光学是波动光学在λ/a→0时的极限情形。
当a＜( 时，即使对于一级暗纹来说，就有，这是不可能的，所以连第一条暗纹也不出现，中央亮纹将延展到整个幕上。
3．右下图为夫琅和费双缝衍射实验示意图,S为缝光源,S1、S2为衍射缝,S、S1、S2的缝长均垂直纸面。已知缝间距为d,缝宽为a，L1、L2为薄透镜．试分析在下列几种情况下,屏上衍射花样的变化情况：
d增大a不变；
a增大d不变；
双缝在其所在平面内沿与缝长垂直方向移动。
分析：(1)d增大则主极大条纹间距变密，a不变则衍射包迹不变。
(2)d不变则主极大条纹间距不变，a增大则衍射包迹变窄，而条纹亮度增大。
(3)只要双缝未移出透镜线度范围，则衍射花样不变。
4．在单缝夫琅和费衍射的观测中
a)令单缝在纸面内垂直透镜光轴上、下移动,屏上衍射图样是否改变?
b)令光源垂直透光轴上、下移动，屏上衍射图样如何改变?
分析：(1)不会改变，因为光线是平行于光轴垂直入射到单缝上，对来说平行于光轴的平行光都将汇聚在它的主焦点上(O点)，故衍射图样的中央极大位置以及整个衍射图样都不变。
(2)这时衍射图样将向下或向上平移；例如光源S移至光轴上方，如图所示，则通过后是一组斜向下的平行光，这是斜入射到单缝G的情形，平行光通过，其中央极大条纹中心在焦平面的O'处，O’在主焦点O的下方，衍射图样向下平移。
５．光栅形成的光谱与玻璃棱镜的色散光谱有何不同?
分析：玻璃棱镜对白光的色散是由于不同的光在棱镜中传播速度不同，以致折射率不同而形成色散，折射率,越大折射率越小，偏折越小。所以在棱镜色散中红光偏折小，紫光偏折大，且只能得一级光谱。
光栅光谱是衍射形成的，当级次一定， 越小衍射角 就越小，所以紫光的衍射角比红光的衍射角小，且能得多级光谱。零级条纹无色散，级次越高，光谱展得越开。
6．为什么天文望远镜的直径很大?
分析：天文望远镜对天体的视角很小，使得两个点物体经望远镜物镜所产生的衍射图样的中心距很小，若要能分辨清楚就要求物镜的最小分辨角小。由可知，物镜直径d大，就使小，从而可提高望远镜的分辨本领。另外，物镜直径大，有助于收集更多的光能，使成象更为明亮。
7．假如人眼能感知的电磁波段不是5000?附近,而是移到毫米波段,人眼的瞳孔仍保持4mm左右的孔径,那么人们所看到的外部世界将是一幅什么景象?
分析：对可见光(~ 5000?左右，人眼瞳孔孔径a(,这是几何光学范畴，因此人眼看到物体的真实图象。
若可见光的波长是毫米波段，则人眼瞳孔孔径a ~ (，与波长是同量级，那么通过瞳孔在视网膜上显现的是物体的衍射图样，而看不到物体的真实图象。
8．如图所示，单缝夫琅和费衍射，若缝宽，透镜焦距，问：
（1）对应的衍射方向，缝面可分为多少个半波带？对应明暗情况如何？
（2）求屏幕上中央明纹的宽度。
解：（1）对应衍射角 方向的一组平行光，贴狭缝下缘的光线与上缘的光线的光程差为。因此，可分的半波带数
因为相邻两个半波带的对应点的作用正好完全抵消，所以当衍射方向满足狭缝可分偶数个半波带（），该方向对应第级暗条纹。本题中角对应第2级暗条纹。
（2）中央明纹是两个1级暗条纹所夹区域，根据衍射暗条纹公式
1级暗纹中心到中央明纹中心的距离为
cm
中央明纹宽
cm
9．(1) 在单缝夫琅和费衍射实验中,入射光有两种波长的光,(1 = 4000?,(2 = 7600?,已知单缝宽度a = 1.0×10-2cm,透镜焦距f = 50cm。求这两种光的第一级衍射明纹中心之间的距离。
(2) 若用光栅常数d = 1.0×10-3cm的光栅替换单缝,其他条件和上一问相同,求这两种光第一级主极大之间的距离。
解：(1)由单缝衍射明纹公式可知,
取
取
由于、很小，则有
,
所以,
设两个第一级明条纹的间距为
（2）由光栅衍射主极大的公式
，(取k =1)
，(取k =1)
、很小，则有
同理求得两个第一主极大之间的距离
10．一束平行光垂直入射到某个光栅上,该光束有两种波长的光,(1 = 4400?、(2 = 6600?,实验发现,两种波长的谱线（不含中央明纹）第二次重合于衍射角 = 600 的方向上,求此光栅的光栅常数d。
解：由光栅行射方程得：
dsin=
dsin=
当两谱线重合时即＝
解得
．．．．．．
当第二次重合时是,
， 即＝6， ＝4
由光栅方程可知
d sin60= 6
11．波长 = 6000?的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级主极大的衍射角为300,且第三级是缺级。
a)光栅常数d等于多少?
b)透光缝可能的最小宽度a等于多少?
c)在选定了上述d和a之后,求屏幕上可能呈现的主极大的极次。
解：（1）由光栅衍射主极大公式得
（2）由光栅公式知第三级主极大的衍射角满足关系式：
①
由于第三级缺级，对应于最小可能的a,方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向，即
②
比较①、②两式得
（3）由
因为第3级缺级，第4级在的方向，在屏上也不可能显示，所以实际呈现 级主极大
12．波长范围在450～650nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度35.1c m．求透镜的焦距f。
解：光栅常数
设 ＝ 450nm，＝ 650nm，则据光栅方程， 和 的第2条谱线有
据上式得,26.74
40.54
第2级光谱的宽度
∴ 透镜的焦距 cm
13．以波长范围400nm∽760 nm的白光垂直照射光栅，其衍射光谱中第2级与第3级发生重叠，求第2级光谱中被重叠的波长范围。
解：由题意可知，不管光栅的参数如何，白光入射时第2级谱线都会被第3级重叠一部分，不发生重叠的只有第1级。每一级彩色谱线靠中心侧为紫光(400nm)，外侧为红光(760nm)，即第3级的紫光与第2级的(1重叠，第2级中大于(1的光（直到760nm）都和第3级重叠。
因为第3级的紫光和第2级的(1重叠，它们的衍射角位置相同，就有
3×400=2(1
(1 = 600nm
第2级光谱被重叠的范围是600nm∽700nm.
14．人眼的瞳孔直径约为3mm,若视觉感受最灵敏的光波长为5500?,试问：
a)人眼最小分辨率是多大?
b)在教室的黑板上,画一等号,其两横线相距2mm,试分析坐在黑板10 m处的同学能否分辨这两条横线?
解：（1）人眼的最小分辨角为：
=
（2）等号两横线在人眼处所张角为
所以距黑板处的同学看不清楚。
