第2章 牛顿运动定律
§1 牛顿运动定律一、第一定律(惯性定律):
任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
定义了惯性系定性的给出了力与惯性的概念惯性系：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，不是维持物体运动状态的原因。
二、第二定律：
：物体所受的合外力。
m,质量，它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量。
若m 恒定.,则有：
：物体的加速度。
三、第三定律：
说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系；
2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
§2 牛顿定律应用举例
1．已知:桶绕z轴转动，= const,水对桶静止。求：水面形状（z - r关系）。
解：
*选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；
*看运动：m作匀速率圆周运动 ；
*查受力：受力及，。
（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；
*列方程：
为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：
(3)
由(1)(2)(3)得：
分离变量,
积分,
得,（旋转抛物面）
若已知不旋转时水深为h，桶半径为R,则由旋转前后水的体积不变，有：
得
检验结果,
·单位：[]=1/s2,[r]=m,[g]=m/s2
，正确。
·过渡到特殊情形：= 0，有z = z0，正确。
·看变化趋势：r一定时，↑→(z-zo)↑,合理。
复杂问题往往除动力学方程外，还需补充一些运动学方程或几何关系[如上（3）式]。
§6 非惯性系中的动力学问题牛顿定律仅适用于惯性系，例如：
但是：
有些问题需在非惯性系中研究；
·地面参考系：地球自转 （赤道上）
·地心参考系：地球公转
有时非惯性系中研究问题较为方便。
一,平动非惯性系中的惯性力
设：非惯性系S＇相对惯性系S平动，加速度为 。
S,
S′：
故
由 ，
得 ,
定义惯性力：
则有
上式表明，在非惯性系S＇中，只要将通常的合外力再加上惯性力，则牛顿第二定律形式上成立。
惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯性的体现。它不是物体间的相互作用，没有施力物体，因而也就没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。例如图示情况，设M >> m，当去掉支撑物后，分析m的运动：
小故事,二战中，美军Tinosa号潜艇携带了16枚鱼雷攻击敌主力舰。在4000码处侧面攻击，发射了4枚鱼雷，使敌舰停航了。但在875码处正面攻击，发射了11枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么呢？
解释:正面短距离攻击→鱼雷(S′系)撞舰体时加速度a0大→惯性力F0大→撞针滑块与导板间的摩擦力大→撞针撞击雷管末速度变小→不能引发雷管。
二,匀速转动非惯性系中的惯性力
设S＇系相对惯性系S匀速转动。
1.物体m在S＇中静止：
S,，得,
S＇：
令,
则
─ 惯性离心力
S＇中向心力与惯性离心力平衡，m静止。
有关惯性离心力的几个问题：
▲失重：在绕地球转动的飞船（非惯性系）中观察，引力和惯性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定律的地方（真正显示不受力的情形）。
▲重力和纬度的关系：重力是物体所受的地球引力和惯性离心力的合力,
可以证明（自己推导）重力加速度g和地球纬度(的关系式为,
上式中：，
，
G ─ 万有引力常量，─ 地球质量，
R ─地球半径,ω─地球自转角速度 。
在地表面用上式的g，已将惯性离心力的影响考虑在内。
一、基本要求掌握力学中三种常见力（万有引力、弹性力和摩擦力）的性质和计算方法。
掌握运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的方法和步骤。
了解非惯性系和惯性系的区别，能在非惯性系中解决简单的力学问题。
二、知识系统图
例题
1．如图所示，质量均为的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？
有人这样回答这个问题，他说如取A、B两木块和弹簧为系统，因弹力是内力，撤去支持面后，A、B木块仅受重力作用，根据牛顿第二定律，它们一定作自由落体运动。所以木块A、B的加速度均为。试分析他的回答错在哪里？并指出正确的做法。
答：回答这个问题的错误在于他忘了牛顿第二定律仅对质点使用的条件。用弹簧连接的木块A和B组成的系统不能看为一个质点，所以对此系统不能用牛顿定律，必须用隔离体法，对每个物体进行受力分析，再用牛顿定律列方程。
在支持面C撤去前，木块A、B均处在平衡状态。木块A受重力和弹簧的弹力（向上）作用,所以
木块B受重力，弹簧的弹力（向下）和水平面的支持力N(向上)作用,所以
在支持面撤去瞬时，弹簧仍维持原来的状态，而支持力消失了。因此木块B所受的合外力
故木块B的加速度
木块A的合外力
所以加速度
2．判断下列说法是否正确？说明理由。
（1）质点作圆周运动时受到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。
（2）质点作圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。
答：两个结论都不正确。
（1）向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。质点受到的作用力中，只要法向方向的分量不为零，它对向心力就有贡献，不管它指向圆心还是不指向圆心，但它可能只提供向心力的一部分。即使某个力指向圆心，也不能说它就是向心力，这要看是否还有其它力的法向分量。
（2）作圆周运动的质点，所受合外力有两个分量，一个是指向圆心的法向分量，另一个是切向分量，只要质点不是做匀速率圆周运动，它的切向分量就不为零，所受合外力就不指向圆心。
3．一个绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出。另有人沿绳子拉力的方向求合力，写出。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？
答：是错误的。
因为物体的加速度始终指向O点，在拉力的方向上的分量不为零，沿绳子拉力的方向上应有
它与 同时成立。
4．已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，k是比例常数。设质点在时的速度为零，求处的速度的大小。
解：根据牛顿第二定律
∴
∴
5.一质量分布均匀的绳子，质量为，长度为，一端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为处绳中的张力。
解：绳子在水平面内转动时，由于绳上各段转动速度不同，所以各处绳子的张力也不同。现取距转轴为处，长为的小段绳子，其质量为。设左右绳子对它的拉力分别是
与。由于绳子做圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得：
∵
∴
由于绳子的末端是自由端 ∴
∴
§1 牛顿运动定律一、第一定律(惯性定律):
任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
定义了惯性系定性的给出了力与惯性的概念惯性系：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，不是维持物体运动状态的原因。
二、第二定律：
：物体所受的合外力。
m,质量，它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量。
若m 恒定.,则有：
：物体的加速度。
三、第三定律：
说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系；
2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
§2 牛顿定律应用举例
1．已知:桶绕z轴转动，= const,水对桶静止。求：水面形状（z - r关系）。
解：
*选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；
*看运动：m作匀速率圆周运动 ；
*查受力：受力及，。
（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；
*列方程：
为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：
(3)
由(1)(2)(3)得：
分离变量,
积分,
得,（旋转抛物面）
若已知不旋转时水深为h，桶半径为R,则由旋转前后水的体积不变，有：
得
检验结果,
·单位：[]=1/s2,[r]=m,[g]=m/s2
，正确。
·过渡到特殊情形：= 0，有z = z0，正确。
·看变化趋势：r一定时，↑→(z-zo)↑,合理。
复杂问题往往除动力学方程外，还需补充一些运动学方程或几何关系[如上（3）式]。
§6 非惯性系中的动力学问题牛顿定律仅适用于惯性系，例如：
但是：
有些问题需在非惯性系中研究；
·地面参考系：地球自转 （赤道上）
·地心参考系：地球公转
有时非惯性系中研究问题较为方便。
一,平动非惯性系中的惯性力
设：非惯性系S＇相对惯性系S平动，加速度为 。
S,
S′：
故
由 ，
得 ,
定义惯性力：
则有
上式表明，在非惯性系S＇中，只要将通常的合外力再加上惯性力，则牛顿第二定律形式上成立。
惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯性的体现。它不是物体间的相互作用，没有施力物体，因而也就没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。例如图示情况，设M >> m，当去掉支撑物后，分析m的运动：
小故事,二战中，美军Tinosa号潜艇携带了16枚鱼雷攻击敌主力舰。在4000码处侧面攻击，发射了4枚鱼雷，使敌舰停航了。但在875码处正面攻击，发射了11枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么呢？
解释:正面短距离攻击→鱼雷(S′系)撞舰体时加速度a0大→惯性力F0大→撞针滑块与导板间的摩擦力大→撞针撞击雷管末速度变小→不能引发雷管。
二,匀速转动非惯性系中的惯性力
设S＇系相对惯性系S匀速转动。
1.物体m在S＇中静止：
S,，得,
S＇：
令,
则
─ 惯性离心力
S＇中向心力与惯性离心力平衡，m静止。
有关惯性离心力的几个问题：
▲失重：在绕地球转动的飞船（非惯性系）中观察，引力和惯性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定律的地方（真正显示不受力的情形）。
▲重力和纬度的关系：重力是物体所受的地球引力和惯性离心力的合力,
可以证明（自己推导）重力加速度g和地球纬度(的关系式为,
上式中：，
，
G ─ 万有引力常量，─ 地球质量，
R ─地球半径,ω─地球自转角速度 。
在地表面用上式的g，已将惯性离心力的影响考虑在内。
一、基本要求掌握力学中三种常见力（万有引力、弹性力和摩擦力）的性质和计算方法。
掌握运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的方法和步骤。
了解非惯性系和惯性系的区别，能在非惯性系中解决简单的力学问题。
二、知识系统图
例题
1．如图所示，质量均为的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？
有人这样回答这个问题，他说如取A、B两木块和弹簧为系统，因弹力是内力，撤去支持面后，A、B木块仅受重力作用，根据牛顿第二定律，它们一定作自由落体运动。所以木块A、B的加速度均为。试分析他的回答错在哪里？并指出正确的做法。
答：回答这个问题的错误在于他忘了牛顿第二定律仅对质点使用的条件。用弹簧连接的木块A和B组成的系统不能看为一个质点，所以对此系统不能用牛顿定律，必须用隔离体法，对每个物体进行受力分析，再用牛顿定律列方程。
在支持面C撤去前，木块A、B均处在平衡状态。木块A受重力和弹簧的弹力（向上）作用,所以
木块B受重力，弹簧的弹力（向下）和水平面的支持力N(向上)作用,所以
在支持面撤去瞬时，弹簧仍维持原来的状态，而支持力消失了。因此木块B所受的合外力
故木块B的加速度
木块A的合外力
所以加速度
2．判断下列说法是否正确？说明理由。
（1）质点作圆周运动时受到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。
（2）质点作圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。
答：两个结论都不正确。
（1）向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。质点受到的作用力中，只要法向方向的分量不为零，它对向心力就有贡献，不管它指向圆心还是不指向圆心，但它可能只提供向心力的一部分。即使某个力指向圆心，也不能说它就是向心力，这要看是否还有其它力的法向分量。
（2）作圆周运动的质点，所受合外力有两个分量，一个是指向圆心的法向分量，另一个是切向分量，只要质点不是做匀速率圆周运动，它的切向分量就不为零，所受合外力就不指向圆心。
3．一个绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出。另有人沿绳子拉力的方向求合力，写出。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？
答：是错误的。
因为物体的加速度始终指向O点，在拉力的方向上的分量不为零，沿绳子拉力的方向上应有
它与 同时成立。
4．已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，k是比例常数。设质点在时的速度为零，求处的速度的大小。
解：根据牛顿第二定律
∴
∴
5.一质量分布均匀的绳子，质量为，长度为，一端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为处绳中的张力。
解：绳子在水平面内转动时，由于绳上各段转动速度不同，所以各处绳子的张力也不同。现取距转轴为处，长为的小段绳子，其质量为。设左右绳子对它的拉力分别是
与。由于绳子做圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得：
∵
∴
由于绳子的末端是自由端 ∴
∴
