第4章 功和能
§1 功
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。
·功依赖于参考系；
·功是标量，有正、负之分。
§2 动能定理
对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
（对惯性系）
── 动能
对质点系，有动能定理：
即
注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（(各质点位移不一定相同）。
§3 一对力的功
一对力
分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为“一对力”。
一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的与就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。
二,一对力的功
：m2相对于m1的元位移。
令：(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2；
(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。
则,
说明：
1.W对 与参考系选取无关。为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。
2.一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。
以地面为参考系：
以滑块为参考系：
3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下，一对力的功必为零。
上图中,,,
,,
但 。
§4 保守力
定义
如果一对力所做的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用的物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。
如图示，在(1)和(2)点间有路径和路径，用积分上下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功，必有：
即 （为相对元位移）
上式表明：保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这一结论也可以作为保守力的定义，它和保守力的功与路径无关的定义是完全等价的。
二,几种保守力
1.万有引力,
如图示，质点M和m间有万有引力作用。认为M静止，
且选M为原点，则M对m的万有引力为, 。
一对万有引力的功：
上式表明，一对万有引力的功与路径无关。所以万有引力是保守力。实际上，任何中心力都是保守力。
2.弹力： （一维运动时）
x ─ 对自然长度的增加量，
k ─ 弹簧的劲度。
3.重力：
需要指明的是，严格地讲，重力并不是地球表面附近的万有引力。在第二章中已经指出，重力是地球表面附近的万有引力和惯性离心力的合力，在重力加速度中已经考虑了惯性离心力的贡献。
三,非保守力
作功与路径有关的力称为非保守力。例如：
·摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负；
·爆炸力：作功为正。
§5 势能利用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能”的概念。
一,系统的势能设两个以保守力相互作用的质点系统在位形（1）和（2）分别有势能Ep1和Ep2 。
定义
以上定义式表明，系统由位形（1）变到位形（2）的过程中，保守内力的功等于系统势能的减少（势能增量的负值）。
若规定系统在位形（0）的势能为零，即规定Ep 0 = 0,则系统在位形（1）的势能为：
说明：1.势能属于相互作用的系统；
2.势能不依赖于参考系的选择，但不可将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。
二,几种势能
1.万有引力势能
,
令，则 。
2.重力势能
，
令，则 。
3.弹性势能
,
x ─ 对自然长度的增加量，
k ─ 弹簧的劲度（倔强系数）。
令 ，则 。
§6 由势能求保守力
保守力的元功：
∴
这正是弹簧的弹力。
通常EP可以是几个坐标的函数，则
如 ,则
称为EP的梯度。
§7 机械能守恒定律
一,功能原理
对质点系有动能定理：
将内力分为保守内力与非保守内力，有：
由保守力的功和势能增量的关系：
有
引入系统的机械能 ，有：
─功能原理 （积分形式）
─功能原理
二,机械能守恒定律
由功能原理，在只有保守内力作功的情况下，系统的机械能不变。即
──机械能守恒定律需要指明，根据功能原理的微分形式，机械能守恒的条件应是。但是实际中且而又满足的情况几乎是不存在的。所以从实际出发，机械能守恒的条件定为“只有保守内力作功”，也就是说过程中既要求，又要求。
如果系统内各个质点间的作用力都是保守力，那么这样的系统称为保守系统。
一个不受外界作用的系统称为孤立系统（必然有）。显然，孤立的保守系统机械能守恒。
,
保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。
§8 守恒定律的意义
自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：
守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。
对称─在某种“变换”下的不变性。
每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）：
动量守恒相应于空间平移的对称性；
能量守恒相应于时间平移的对称性；
角动量守恒相应于空间转动的对称性。
一、基本要求掌握功的定义及变力作功的计算方法。
掌握保守力作功的特点及势能的概念，并会计算势能。
理解一对力作功的特点及其计算方法。
能灵活运用动能定理、功能原理解决动力学问题。
掌握机械能守恒的条件，并能应用机械能守恒定律解决动力学问题。
二、知识系统图
例题
1．在下列几种情况中，机械能守恒的系统是：
（1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。
（2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。
（3）子弹水平的射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。
（4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。
答：（1）当物体在空气中下落时，有空气阻力的作用，此力是物体与地球系统的外力，它对物体要作负功，所以系统的机械能不守恒。
（2）当地球表面物体匀速上升时，一定受有竖直向上与物体所受重力相等的力，此力对于物体与地球系统是外力，由于它作正功，所以系统的机械能不守恒。
（3）当子弹射入木块时，两者之间的摩擦力要作功。对于子弹木块系统，摩擦力的功是非保守内力的功，所以系统的机械能不守恒。
（4）当小球沿光滑的固定斜面下滑时，对小球和地球系统，斜面的支持力为外力，但它与小球的位移垂直故不作功，而系统仅有保守内力（重力）作用，所以系统的机械能守恒。
2．在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为）和一个氦核（质量为），沿一直线相向运动，速率都是，求二者能达到的最近距离。
本题有如下的解法：
以质子，氦核为一系统，因仅有保守力（库仑力）的功，故系统机械能（其中势能为库仑电势能）守恒。则有
将 代入上式后有
你认为以上解法对吗？说明理由。
答：题所给出的解法是错误的。首先由动量守恒定律可以初步判断：对二粒子系统合外力为零，所以系统应有动量守恒。而其初态动量为，末态动量却为零，这样就违反了动量守恒定律，所以其结果一定是错误的。
正确解法如下：
物理过程分析：二粒子相向运动时，由于受库仑斥力作用，所以二者的加速度方向与其速度方向均相反，二者均做减速运动，但二粒子的质量是不相等的（），而斥力相等，所以二者的加速度不等（）。因此当的速度减为零时，仍沿原方向减速运动。而后在库仑斥力的作用下改变了它的运动方向，即沿的运动方向加速运动，刚开始时有，所以二者继续接近。以后不断在增大，不断在减小，只有在时，二粒子间距离最小。当后，则二者间距离又会拉大，可见二者速度不可能同时为零，更不是二者速度为零时，相距最近。
以质子与氦核为系统，因该系统所受合外力为零，故动量守恒。设二者间最小距离为，此时二者的速度均为。考虑两粒子相距很远与距离最近这两个状态，根据动量守恒定律有：
因系统只有保守内力（库仑力）作功，故系统的机械能守恒，因而有
由以上三式可解出
3．质量为kg的物体沿x轴作直线运动，所受合外力(SI)。如果在处时速度，试求该物体运动到m处时速度的大小。
解：用动能定理，对物体
得 ,解出 m/s
4．倔强系数为、原长为的弹簧，一端固定在圆周上的A点，圆周的半径，弹簧的另一端从距A点的B点沿圆周移动周长到C点，如图所示。求弹性力在此过程中所作的功。
解：弹簧长为AB时，其伸长量为
弹簧长为AC时，其伸长量为
弹性力的功等于弹性势能的减少
5．两个自由质点，其质量分别为和，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为时，两质点的速度各为多少？
解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒。设两质点之间的间距变为时，它们的速度分别为及，则有
①
②
联立①、②，解得
6．光滑圆盘上有一质量为的物体A，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心O的距离为，并以角速度绕盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点A的径向距离由减少到时，向下拉的速度为，求下拉过程中拉力所作的功。
解：质点所受合外力为有心力，角动量守恒
为时小球的横向速度。
根据质点的动能定理，拉力作功
为小球对地的总速度，而
当时
习作题在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半圆形屏障。质量为的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为。试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为：
§1 功
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。
·功依赖于参考系；
·功是标量，有正、负之分。
§2 动能定理
对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
（对惯性系）
── 动能
对质点系，有动能定理：
即
注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（(各质点位移不一定相同）。
§3 一对力的功
一对力
分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为“一对力”。
一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的与就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。
二,一对力的功
：m2相对于m1的元位移。
令：(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2；
(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。
则,
说明：
1.W对 与参考系选取无关。为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。
2.一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。
以地面为参考系：
以滑块为参考系：
3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下，一对力的功必为零。
上图中,,,
,,
但 。
§4 保守力
定义
如果一对力所做的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用的物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。
如图示，在(1)和(2)点间有路径和路径，用积分上下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功，必有：
即 （为相对元位移）
上式表明：保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这一结论也可以作为保守力的定义，它和保守力的功与路径无关的定义是完全等价的。
二,几种保守力
1.万有引力,
如图示，质点M和m间有万有引力作用。认为M静止，
且选M为原点，则M对m的万有引力为, 。
一对万有引力的功：
上式表明，一对万有引力的功与路径无关。所以万有引力是保守力。实际上，任何中心力都是保守力。
2.弹力： （一维运动时）
x ─ 对自然长度的增加量，
k ─ 弹簧的劲度。
3.重力：
需要指明的是，严格地讲，重力并不是地球表面附近的万有引力。在第二章中已经指出，重力是地球表面附近的万有引力和惯性离心力的合力，在重力加速度中已经考虑了惯性离心力的贡献。
三,非保守力
作功与路径有关的力称为非保守力。例如：
·摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负；
·爆炸力：作功为正。
§5 势能利用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能”的概念。
一,系统的势能设两个以保守力相互作用的质点系统在位形（1）和（2）分别有势能Ep1和Ep2 。
定义
以上定义式表明，系统由位形（1）变到位形（2）的过程中，保守内力的功等于系统势能的减少（势能增量的负值）。
若规定系统在位形（0）的势能为零，即规定Ep 0 = 0,则系统在位形（1）的势能为：
说明：1.势能属于相互作用的系统；
2.势能不依赖于参考系的选择，但不可将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。
二,几种势能
1.万有引力势能
,
令，则 。
2.重力势能
，
令，则 。
3.弹性势能
,
x ─ 对自然长度的增加量，
k ─ 弹簧的劲度（倔强系数）。
令 ，则 。
§6 由势能求保守力
保守力的元功：
∴
这正是弹簧的弹力。
通常EP可以是几个坐标的函数，则
如 ,则
称为EP的梯度。
§7 机械能守恒定律
一,功能原理
对质点系有动能定理：
将内力分为保守内力与非保守内力，有：
由保守力的功和势能增量的关系：
有
引入系统的机械能 ，有：
─功能原理 （积分形式）
─功能原理
二,机械能守恒定律
由功能原理，在只有保守内力作功的情况下，系统的机械能不变。即
──机械能守恒定律需要指明，根据功能原理的微分形式，机械能守恒的条件应是。但是实际中且而又满足的情况几乎是不存在的。所以从实际出发，机械能守恒的条件定为“只有保守内力作功”，也就是说过程中既要求，又要求。
如果系统内各个质点间的作用力都是保守力，那么这样的系统称为保守系统。
一个不受外界作用的系统称为孤立系统（必然有）。显然，孤立的保守系统机械能守恒。
,
保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。
§8 守恒定律的意义
自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：
守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。
对称─在某种“变换”下的不变性。
每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）：
动量守恒相应于空间平移的对称性；
能量守恒相应于时间平移的对称性；
角动量守恒相应于空间转动的对称性。
一、基本要求掌握功的定义及变力作功的计算方法。
掌握保守力作功的特点及势能的概念，并会计算势能。
理解一对力作功的特点及其计算方法。
能灵活运用动能定理、功能原理解决动力学问题。
掌握机械能守恒的条件，并能应用机械能守恒定律解决动力学问题。
二、知识系统图
例题
1．在下列几种情况中，机械能守恒的系统是：
（1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。
（2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。
（3）子弹水平的射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。
（4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。
答：（1）当物体在空气中下落时，有空气阻力的作用，此力是物体与地球系统的外力，它对物体要作负功，所以系统的机械能不守恒。
（2）当地球表面物体匀速上升时，一定受有竖直向上与物体所受重力相等的力，此力对于物体与地球系统是外力，由于它作正功，所以系统的机械能不守恒。
（3）当子弹射入木块时，两者之间的摩擦力要作功。对于子弹木块系统，摩擦力的功是非保守内力的功，所以系统的机械能不守恒。
（4）当小球沿光滑的固定斜面下滑时，对小球和地球系统，斜面的支持力为外力，但它与小球的位移垂直故不作功，而系统仅有保守内力（重力）作用，所以系统的机械能守恒。
2．在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为）和一个氦核（质量为），沿一直线相向运动，速率都是，求二者能达到的最近距离。
本题有如下的解法：
以质子，氦核为一系统，因仅有保守力（库仑力）的功，故系统机械能（其中势能为库仑电势能）守恒。则有
将 代入上式后有
你认为以上解法对吗？说明理由。
答：题所给出的解法是错误的。首先由动量守恒定律可以初步判断：对二粒子系统合外力为零，所以系统应有动量守恒。而其初态动量为，末态动量却为零，这样就违反了动量守恒定律，所以其结果一定是错误的。
正确解法如下：
物理过程分析：二粒子相向运动时，由于受库仑斥力作用，所以二者的加速度方向与其速度方向均相反，二者均做减速运动，但二粒子的质量是不相等的（），而斥力相等，所以二者的加速度不等（）。因此当的速度减为零时，仍沿原方向减速运动。而后在库仑斥力的作用下改变了它的运动方向，即沿的运动方向加速运动，刚开始时有，所以二者继续接近。以后不断在增大，不断在减小，只有在时，二粒子间距离最小。当后，则二者间距离又会拉大，可见二者速度不可能同时为零，更不是二者速度为零时，相距最近。
以质子与氦核为系统，因该系统所受合外力为零，故动量守恒。设二者间最小距离为，此时二者的速度均为。考虑两粒子相距很远与距离最近这两个状态，根据动量守恒定律有：
因系统只有保守内力（库仑力）作功，故系统的机械能守恒，因而有
由以上三式可解出
3．质量为kg的物体沿x轴作直线运动，所受合外力(SI)。如果在处时速度，试求该物体运动到m处时速度的大小。
解：用动能定理，对物体
得 ,解出 m/s
4．倔强系数为、原长为的弹簧，一端固定在圆周上的A点，圆周的半径，弹簧的另一端从距A点的B点沿圆周移动周长到C点，如图所示。求弹性力在此过程中所作的功。
解：弹簧长为AB时，其伸长量为
弹簧长为AC时，其伸长量为
弹性力的功等于弹性势能的减少
5．两个自由质点，其质量分别为和，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为时，两质点的速度各为多少？
解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒。设两质点之间的间距变为时，它们的速度分别为及，则有
①
②
联立①、②，解得
6．光滑圆盘上有一质量为的物体A，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心O的距离为，并以角速度绕盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点A的径向距离由减少到时，向下拉的速度为，求下拉过程中拉力所作的功。
解：质点所受合外力为有心力，角动量守恒
为时小球的横向速度。
根据质点的动能定理，拉力作功
为小球对地的总速度，而
当时
习作题在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半圆形屏障。质量为的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为。试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为：
