第二章 波 动
§1 机械波的产生和传播一.机械波的产生
1.产生条件,(1)波源
(2)媒质
2.弹性波：机械振动在弹性媒质中的传播(如弹性绳上的波)。
弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。
3.简谐波(SHW)：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动，此种波称简谐波。
以下我们主要讨论简谐波。
二.波的传播
1.波是振动状态的传播
以弹性绳上的横波为例(教材P44图)。由图可见：
(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。
(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间的弹性力)。
(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义。
(4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相点。相邻的同相点间的距离叫做波长(,它们的相位差是2(。
2.波是相位的传播
·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态的传播”也可说成是“相位的传播”，即某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下游”某处。
·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。
图中b点比a点的相位落后
即a点在t时刻的相位(或振动状态)经(t的时间传给了与它相距为(x的b点，或 b点在t +(t时刻的相位(或振动状态)与a点在t时刻的情况相同 ( 即波的传播速度 )。
三.波形曲线(波形图)
1.波形曲线(((x曲线)
(－质元的位移
x－质元平衡位置的坐标
(( x曲线反映某时刻t各质元位移(
在空间的分布情况。
(t时刻用照相机为所有质元拍的团体相)
·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次)，波形向前传播一个波长的距离。
·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。
·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。
2.注意区别波形曲线和振动曲线
波形曲线：(( x曲线
振动曲线：(( t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。
四.波的特征量
1.波长(：两相邻同相点间的距离。
波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度，或一个振动周期内波传过的距离。
2.波的频率(：即媒质质点(元)的振动频率。
·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的波的个数。
·通常情况下有波的频率( = 波源的振动频率(s
3.波速u：单位时间波所传过的距离。
·波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。
·波速u又称相速度(相位传播速度)。
·要注意区分波的传播速度u和媒质质元的振动速度。
五.横波和纵波
横波：质元振动方向 ( 波的传播方向
纵波：质元振动方向 ‖波的传播方向
§2 一维简谐波的表达式(波函数)
一.一维简谐波的表达式(波函数)
讨论：沿+x方向传播的一维简谐波
(波速u，振动角频率为()
假设：媒质无吸收(质元振幅均为A)
已知：参考点a的振动表达式为
(a(t) = Acos((t ( (a)
求写：任一点p的振动表达式
比较,p点和a点的振动
·其A和 (均各相同
·但p点比a点相位落后
任一点p的振动表达式为
一维简谐波的表达式
它即是任一点的振动表达式，反映任一点(位置在x)在任一时刻t的位移。
此情形下波的表达式还有几种形式：
((x,t) = Acos[(t - kx]
((x,t) = Acosk[ut - x]
三.平面波和球面波
1.波的几何描述
·波线：沿波传播方向的射线。
·波面：波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点是同时开始振动的，具有相同的相位，波面又称同相面。
·波前(波阵面)：最前沿的波面。
·平面波：波面是一些平行平面的波。
·球面波：波面是一些同心球面的波。
在各向同性的媒质中 波线 ( 波面。
2.平面简谐波的表达式
若平面简谐波沿+x向传播，空间任一点p(x,y,z)的振动相位只和x与t有关，而和其它空间坐标无关。所以前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。
3.球面简谐波的表达式设一各向同性的点波源，在各向同性媒质中向四面八方发出球面波。
·各点的频率仍决定于波源，
·但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因见波的能量部分)，其表达式为
式中A0为距波源r0处的振幅。
为r处的振幅，随r的增大而减小
§3 波动方程和波速
本节对媒质的波动行为作动力学分析，导出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方程(波动方程。
一.平面波波动方程
1.一般形式
此即沿x向传播的平面波的动力学方程，等号右端项的系数即波速u的平方。
·前面所讲的一维简谐波的表达式就是此波动方程的解(可用代入法检验)。
2.弹性绳上的横波
·波动方程,
·波速,,T -绳的初始张力
( -绳的线密度
3.固体棒中的纵波
·波动方程,
·波速,,Y -杨氏弹性模量 ( -体密度
·相应形变：长变
4.固体中的横波
·波动方程：
·波速,,G -切变模量
∵ Ｇ <Ｙ，固体中u横波< u纵波
·相应形变：切变
二.固体棒中纵波的波动方程(推导)
思路：·由胡克定律(应力、应变关系)
·由牛顿第二定律
1.某截面处的应力、应变关系
在棒上取长为(x的一小段质元，
·t时刻，x处截面的位移：((x,t)x +(x处截面的位移：((x+(x,t)
·波引起的(x段的平均应变：
·当(x(0时，得x处截面t时刻的应变
为
·x处截面的应力为
·由胡克定律有
x处截面的应力,应变关系
2.波动方程
·在棒上取质元(x，其质心位移为((x,t)
·由牛顿定律有，
·将前述应力、应变结果代入有
·令(x(0，并取极限即得所求波动方程
§4 波的能量
·前已讲：波是振动状态的传播相位的传播，外观上有波形在传播。
·现讨论：随着波的传播 能量也在传播。
·对于“流动着”的能量，要由能量密和能流密度两个概念来描述。
一.弹性波的能量,能量密度波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。
·对一块弹性媒质，
因振动 ( 有振动动能；
因形变 ( 有形变势能，
两者之和称此媒质中弹性波的能量。
(一)弹性波的能量密度
1.动能密度
·取细长棒上质元 (x，其动能为
·动能密度
2.势能密度
考虑一棒的长变，
·棒长：l,截面：S
·两端拉力：由0 ( F
·相应形变：增至(l，形变 ( 拉力。
·拉力作功,,它等于棒形变(l时的弹性势能。
·势能密度,
·棒中有纵波时，各小段反复地拉、压，某时某地的wp由当时当地的应力和应变决定。由胡克定律有，
3.能量密度
(二)平面简谐波的能量密度
·设沿x轴传播的平面简谐波为
((x,t) = Acos((t - kx)
1.能量密度
·可得
·可见，wk、wp、w能 均随(x,t)变化。
2.物理意义
(1)固定x，即看定一个质元。
·wk、wp均随t周期性变化(角频率2(),
且 wk = wp，两者 同相同大。
·此质元某时处于平衡位置时,
速度最大( wk最大,
变形最大( wp最大,
·此质元某时处于位移最大处时，
速度为0 ( wk=0
变形为0 ( wp=0
和弹簧振子的情况不同，这里没有动能和势能的相互转化。
·w能随t而变，并不守恒，这是由于此质元和周围媒质有能量交换(由于弹性力的作用)。每一质元都从上游接收能量，又向下游传去。波在传输能量!
(2)固定t，即看定某一时刻。
·此时wk、wp随x周期分布，
( = 0的质元,其wk、wp最大，
(最大的质元，其wk、wp为0。
·此时能量是“一堆一堆”地集中于位
移为零的那些质元处。
·随着波形的传播，能量也向前传播，其
传播速度也是u(波速)。
二.能流(能通量)、波的强度
1.能流(能通量)
如图柱体，厚为
u(波速)、面积为
S((于传播方向)。
·能流(能通量)：
单位时间内通过S面的能量，即
w能uS
·能流密度(能通量密度)：垂直于传播方向的单位面积上的能流(能通量)，即w能u
·平面简谐波的能流密度为
w能u = (u(2A2sin2((t - kx)
它随 (x,t) 而变。
2.波的强度：能流密度的时间平均值。
·数值上等于平均说来单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的能量。
·平面简谐波的强度为
单位：W/m2，
·媒质的特性阻抗,Z = (u，是反映媒质特性的一个常量。
·可见，对于弹性媒质中的简谐波
强度I ( A2，(2，(u
·均匀媒质中，(u不随地点变，
(强度 I ( A2
§5 惠更斯原理
·前面讨论了波动的基本概念,现在讨论：与波的传播特性有关的原理、现象和规律。
·波在传播过程中，由于某些原因其传播方向,频率 和 振幅有可能改变。(这和各向同性、均匀、无限媒质中一维简谐波的情况不尽相同)。
惠更斯原理给出的方法(惠更斯作图法)，是一种处理波传播方向的普遍方法。
一.惠更斯原理
1.原理：
媒质中波传到的各点，都可看作开始发射子波(次级波)的子波源(点波源)，
在以后的任一时刻，这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前。
2.应用：已知t时刻的波面(t +(t时刻的波面，从而可得出波的传播方向。
·实例如图(下图中媒质均匀各向同性，各子波都是以波速u向外扩展的球面波)。
3.不足：
(1) 不能说明子波为何不能倒退。
(2) 未涉及波在传播过程中的强度问题，因而对某些波动现象(如干涉等)不能说明。
二.波的衍射
1.现象：波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象(偏离了直线传播)。
2.作图：可用惠更斯原理作图。
可见，相对而言，长波衍射现象明显，方向性不好；短波衍射现象不明显，方向性好。(长波、短波是以波长与障碍物的线度相比较而言的)
三.波的反射和折射
1.波的反射(略)
2.波的折射
根据惠更斯原理，用作图法可由已知的
入射波波前求出折射波波前，从而求出
折射波的传播方向。
作图法共分四步：
(1)画出入射波的波前AB
设t1时刻入射波到A点，波前为AB，t2时刻入射波到C点，
BC=u1(t2-t1)
(2)画子波的波面
画出A、D、C各点向媒质2所发子波在t2时刻(C到界面的时刻)的子波面，图中
AE=u2(t2-t1)
(3)画子波波面的包络面(图中的EFC)，此即媒质2 中的波前。
(4)由入射点画通过切点(包络面与子波面的切点)的直线，此即折射波的传播方向。由图有，波的折射定律
i1--入射角,i2--折射角
§6 多普勒效应
多普勒效应，当波源S或接收器(观察者)R，或S、R都相对媒质运动时，接收器所测得的频率(R不等于波源振动频率(S 的现象(对机械波)。
一.机械波的多普勒效应
·参照系：媒质。
·设S和R的运动沿二者连线。
·符号规定：
S和R相
互靠近时(S > 0,(R > 0
·三个频率：
(S：波源振动频率，即波源单位时间所发波的个数。
(：波的频率，即媒质质元的振动频率(数值等于单位时间内通过波线上一固定点完整波形的个数)。
(R：接收频率，即单位时间内接收器所收到的波的个数。
分四种情况讨论：
1.波源和接收器都静止 ((S = 0，(R = 0)
(R = ( = (S
2.波源静止，接收器运动((S= 0，设(R > 0)
此情况下，( = (S,
但 (R ( (
由于R向着静止的S运动，单位时间R所接收的波分布在u +(R范围内，其个数为
可见，R向S靠近时((R > 0)，有 (R > (S
3.接收器静止，波源运动((R = 0，设(S > 0)
·此情况下，(R = (,但 ( ( (S
·S运动 ( 运动前方波长缩短
S发出“波头”后，前进(STS再发“波尾”
·实际波长 = S不动时的波长 ( (STS
可见，S向R靠近((S > 0)时,则
(R > (S
4.接收器、波源都运动(设 (S,(R均 > 0)
·此情况下,(S ( ( ( (R
·综合2、3两情况有，
S、R相互靠近((S >0、(R >0)时，
(R >(S
S、R相互远离((S <0、(R <0)时，
(R < (S
§7 波的叠加
研究：媒质中有几列波同时在传播时，所发生的……。
一.波传播的独立性
媒质中同时有几列波时，每列波都将保持自己原有的特性
(传播方向、振动方向、频率等),不受其它波的影响，和其它波不存在一样。
二.波的叠加原理
1.波的叠加原理：在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
2.波动方程的线性决定了波服从叠加原理波为什么服从叠加原理？任何波都服从叠加原理吗？ 否!
·对于小振幅的波
(媒质可看作线性媒质(波引起的应变不大，应力(应变，符合胡克定律)。
(波动方程是线性方程(曾记否推导波动方程时用了胡克定律)
一维齐次线性偏微分方程
(波动方程的线性决定了波服从叠加原理。
上述方程有如下性质：
若(1(x,t) 和 (2(x,t)分别是它的解，则 ((x,t) = (1(x,t) + (2(x,t)也是它的解(或用线性组合表示)。
这就是波动方程的解的可叠加性。
·对非线性波(波幅大以至使媒质成为非线性媒质)，叠加原理不成立。
§8 驻波
驻波---波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。
一.波的形成
由两列频率相同、振动方向相同、且振幅相等，但传播方向相反的行波 叠加而成的。
图中红线即驻波的波形曲线。可见，驻波波形原地起伏变化。
驻波波形不传播二.驻波表达式
·两列行波的表达式
(1(x,t) = Acos((t + (1 - kx)
(2(x,t) = Acos((t + (2 + kx)
其中
适当选择坐标原点和时间零点，使 (1,(2均等于零，则表达式变为
(1(x,t) = Acos((t - kx)
(2(x,t) = Acos((t + kx)
·两行波叠加
((x,t) = (1(x,t) + (2(x,t)
得驻波表达式：
((x,t) = 2Acos kx ( cos(t
二.驻波的特点
1.频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作谐振动。
2.幅特点：
(1)各点的振幅|2Acos kx|和位置x有关，振幅在空间按余弦规律分布。
(2)波节：有些点始终静止，这些点称波节。
·波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。
·由cos kx＝0得波节位置
（m = 0,1,2,…）
·两相邻波节间的距离为 ( /2。
波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹。
波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。
由|cos kx|＝1得波腹位置
,( m = 0,1,2,…)
两相邻波腹间的距离亦为 ( /2。
3.相位特点
驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长(/2),
·同一分段中的各质元振动相位相同；
·相邻分段中的质元振动相位相反。
驻波相位不传播
---“驻”字的第二层含义。
4.能量特点
·驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波
腹间的(/4的范围内，
在此范围内有能量的
反复流动，但能量不
能越过波腹和波节传
播(理由略)。
·驻波没有单向的能量传输。
驻波不传播能量三.实际中驻波的形成实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。
1.波在固定端的反射
(如一端固定的弹性绳)
·密媒质：特性阻抗((相对较大，
疏媒质：特性阻抗((相对较小。
图中固定点左边相当于特性阻抗为无限大的密媒质，
( 反射比R = 1 ；
( 反射波振幅 = 入射波振幅；
( 无透射波。
·反射波有相位突变 (
(反射波和入射波分别引起的边界点的两振动反相，叠加后相消；
(反射点是波节(和固定点情况吻合)。
2.波在自由端的反射
·反射波无相位突变
(反射波和入射波分别引起的边界点的两振动同相，叠加后加强；
(反射点是波腹。
§9 波场的强度分布
1.波场中任一点的合振动
·相干波源,S1、S2
·波源振动,
(10 = A10cos((t +(10)
(20 = A20cos((t +(20)
为分析简便，设振动方向 ( 屏面。
·p点两分振动
(1 = A1cos((t + (10 - kr1)
(2 = A2cos((t + (20 - kr2),式中
相位差：
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1)
((决定于两因素,相位差 (20 - (10
波程差 r2 - r1
可见，p点两分振动,
·频率相同；
·振动方向相同；
·相位差恒定(不随t变)。
·p点合振动
( = (1+(2 = Acos((t + ()
合振幅
A = (A12+A22 +2A1A2cos(()1/2
2.波场中的强度分布(以振幅的平方示强度)
I = I1+I2 + 2(I1I2)1/2cos((
·I1：(1单独存在时p点的强度
I2：(2单独存在时p点的强度
·相干叠加,I ( I1+ I2
存在干涉项 2(I1I2)1/2cos((，(其正、负决定于(()
·非相干叠加：不满足相干条件时的叠加
I = I1+ I2 (无干涉项)
I = A12+A22
3.加强、减弱条件
关心：何处加强？ 何处减弱？
(1)加强条件
·p点两振动同相时加强---相长干涉
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( 2m(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 - r1满足下式的地点加强
(m =0,1,2,…)
加强处的强度
Imax = I1 + I2 + 2(I1I2)1/2 (相长)
= (A1 + A2)2
若 A1 = A2，则
Imax = 4 I1
·特殊：当(10 = (20时,加强条件
(m =0,1,2,…)
即：波程差等于波长的整数倍，或半波长的偶数倍 的点加强。
(2)减弱条件
·p点两振动反相时减弱---相消干涉
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( (2m +1)(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 -r1满足下式的地点减弱
(m =0,1,2,…)
减弱处的强度
Imin= I1+ I2 - 2(I1I2)1/2 (相消)
= (A1 - A2)2
若 A1=A2,则
Imin= 0
·特殊：当(10 = (20时,减弱条件
(m =0,1,2,…)
即：波程差等于半波长的奇数倍的点减弱。
可见，波的干涉的问题，也就是波场中任 一点处同方向同频率振动合成的问题。
二.空间拍---最简单的调制波空间拍：由两列频率相近的简谐波叠加而成。
·设两简谐波为，
(1(x,t) = Acos((1t - k1x)
(2(x,t) = Acos((2t - k2x)
·叠加得合成波
引入记号：
,
:称平均角频率，(m：称调制角频率
因(1 ( (2,有 ,
则合成波可表示为，
合成波特点:
(1)是“振幅” 缓变的近似简谐波
(2)固定一地点，如令x = 0，则有
此即时间拍
(3)固定一时刻，如令t = 0，则有
((x,0) = 2Acos(kmx) cos( kx )
= Am cos( kx )
此称空间拍。
一、基本要求理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义，理解波形曲线，了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析，确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
了解驻波及其形成条件，了解驻波和行波的区别。
了解机械波的多普勒效应及其产生的原因，在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
了解电磁波的性质。
二、知识系统图
例题
1.一平面简谐波以速度沿X轴正方向传播，O为坐标原点，已知P点的振动方程为，则
O点的振动方程为
波动方程为
波动方程为
C点的振动方程为
答：（C）。已知波的传播方向为X轴正方向，O点振动超前P点，即O点振动的相位应为，X轴上任意一个点（坐标为）的相位比O点的相位落后，即任意一点的相位为，因此选C。
2.一平面简谐波沿OX正方向传播，波动方程为 （SI），
该波在时刻的波形图是
答：（B）。首先由波动方程得出O点的振动方程，即当时，方程为，其振动速度为，当时，代入O点振动方程和速度方程，得，因此应选B。
3.一平面简谐波，探X轴负方向传播，圆频率为，波速为，设时刻的波形如图所示，求该波的表达式。
解：首先设O点的振动方程为，由图可知，当时，O点在平衡位置且向正的最大位移处运动，即，由此可知
由此得，由于波的传播方向沿X轴负方向，所以任意一点的想比O点超前，
由此知该波的波动方程为。
4.设反射波的表达式是 （SI），波在处发生发射，反射点为自由端，求形成驻波的表达式。
解：波在自由端发生反射，没有半波损失，即反射波与入射波在处的位相相等，
因此入射波在反射端的振动方程为，由于传播方向与反射波相反，因此入射波的表达式为，两个波的方程合成为驻波方程，表达式为 （SI）。
5.如果把头凑近地面听一架飞机飞近的声音，其噪音的音调似乎升高了。同样，若我们站在瀑布附近的墙旁，那么除了正常的瀑布声外，还可以听到一种较柔和的背景声音。
站得离墙越近，这种背景声音的音调就越高。在上述两种情况下，为什么我们听到的这种声音，其音调回取决于我们耳朵接近固体结构物的远近？
答：在离地面几米的范围内，直接来自飞机的声波能够同来自地面反射的声波发生干涉，
从而使某些频率得到增强，能发生相长干涉的高度与声波的波长有关，离地面越近，相长干涉的波长越短，所听到的音调越高。当耳朵离地面越远，就会听到较长的波，即音调较低。瀑布的例子与此理相同。
一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为u，设时刻的波形曲线如图所示，求：
（1）x=0处质点振动方程 ；
（2）该波的波动方程。
解：（1）设x=0处质点振动方程为,
由图可知，时，
处质点振动方程为：
（2）该波的波动方程为：
因为波速沿X轴正方向，所以取负号。
如图所示，一平面简谐波沿OX轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为，
求：（1）O处质点的振动方程；
（2）该波的波动方程；
（3）与P处质点振动状态相同的那些点的位置。
解：（1）O点质点的振动比P点质点的振动超前，应取正号
（2）质点的振动方程如上，则波动方程应取正号
（3） (k=1,2,3……)
6.在均匀介质中，有两列余弦波沿OX轴传播，波动方程分别为 与，试求OX轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解：（1）最大振幅的点的位置处，最大合振幅为
又因为 时，合振幅最大，
故 (k=0,1,2……)
（2）最小振幅的点的位置处，最小合振幅为
因为时，合振幅最小
故 (=0,1,2……)
7.由振动频率为400HZ的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立的驻波，这个驻波共有三个波腹，其振幅为0.30cm波在弦上的速度为320m/s。求
（1）此弦线的长度；
（2）若以弦线中点为坐标原点，试写出驻波的表达式。
解：（1）
（2）弦的中点是波腹，故
（SI）
式中的?可由初始条件来选择。
8.在绳上传播的入射波方程为，入射波在处绳端反射，反射端为自由端，设反射波不衰减，求驻波方程。
解：入射波在处引起的振动方程为，由于反射端为自由端，所以反射波在O点的振动方程为，由此得反射波方程为：
合成的驻波方程为
9．绳上传播的入射波方程为，入射波在处绳端反射，反射端为固定端，设反射波不衰减，求驻波方程。
解：入射波在处引起的振动方程为，由于反射端为固定端，有半波损失，所以反射波在 O点处的振动方程为
所以反射波方程为或
驻波方程为
或
补充习题如图，一平面波在介质中以速度沿X轴负方向传播，已知A点的振动方程为 （SI）
(1)以A点为坐标原点写出波动方程；
(2)以距A点为5cm处的B点为坐标原点，写出波动 方程。
弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，其波动方程为 （SI），若在处有一媒质分界面，且在分界面处位相突变π。设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。
一弦上的驻波方程为 （SI）
(1)求相邻波节之间的距离；
(2)求时，位于处质点的振动速度。
波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为
（SI）
（SI）
求：（1）两波的频率、波长、波速；
（2）两波叠加后的节点位置；
（3）叠加后振幅最大的那些点的位置。
如图所示，原点O是波源，振动方向垂直与纸面，波长是?，AB为波的反射平面，反射时无半波损失，O点位于A点的正上方，，OX轴平行与AB，求OX轴上干涉加强点的坐标（限于。
如图所示，S为点波源，振动方向垂直于纸面，波长为?，和是屏AB上的两个狭缝，，，并且，X轴以为坐标原点，并且垂直于AB，求X轴上干涉减弱点的坐标。
一平面简谐波沿OX轴正方向传播，波动方程为，而另一平面简谐波沿OX轴负方向传播，波动方程为，求：
（1）处介质质点的合振动方程； （2）处介质质点的速度表达式。
一振幅为10cm,波长为200cm的一维余弦波，沿X轴正方向传播，波速为100cm/s,在t=0时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动，求：
(1)原点处质点的振动方程；
(2)在x=150cm处质点的振动方程。
平面简谐波沿X轴正方向出发，振幅为2cm,频率为50Hz,波速为200m/s,在t=0时，x=0处的质点正在平衡位置向Y轴正方向运动，求x=4m处媒质质点振动的表达式及该点在t=2s 时的振动速度。
如图所示,两相干波源和的距离为，和都在X坐标轴上，位于坐标原点O，设由和分别发出的两列波沿X轴传播时，强度保持不变，和处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点，求两波的波长和两波源间最小相位差。
如图所示，A和B是两个同周相的波源，相距7cm，同时以30Hz的频率发出波动，波速为50cm/s。p点位于与AB成25角距A为3m处，求两波通过p点的周相差。
位于A、B点的两相干波源，周相差为π，振动频率都为100Hz，产生的波以10m/s的速度传播。介质中的P点与A、B等距离，如图所示，A、B两波源在P点所引起的分振动的振幅都为0.05m。求P点的振动方程。如果A、B的周相差为零或，则又如何？
两波在一很长的弦线上传播，设其方程式为
振幅的单位为厘米，时间的单位为秒。
（1）求各波的频率、波长和波速；
（2）求节点的位置；
（3）在哪些位置上振幅最大？
一弦的振动表示式为。式中、以米计，以秒计。
（1）组成此振动的各分振动的振幅及波速为多少？
（2）节点间的距离为多大？
（3）时，位于处的 质点的速度为多少？
设入射波的波动方程为，在处发生反射，反射处为自由端，求：（1）反射波的波动方程；
（2）合成波（驻波）的方程，并说出波节和波腹点的位置。
一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传波，设波沿着x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25HZ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当t=0时，在x=0处质元的位移为零，并向x轴正向运动。写出该波波动方程。
一平面简谐波沿着x轴正向传播，波的振幅A=10cm，波的圆频率，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负向运动，而x=2cm处的b质点正通过y=5.0cm点向y轴正向运动。设该波波长，求该平面波的表达式。
§1 机械波的产生和传播一.机械波的产生
1.产生条件,(1)波源
(2)媒质
2.弹性波：机械振动在弹性媒质中的传播(如弹性绳上的波)。
弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。
3.简谐波(SHW)：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动，此种波称简谐波。
以下我们主要讨论简谐波。
二.波的传播
1.波是振动状态的传播
以弹性绳上的横波为例(教材P44图)。由图可见：
(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。
(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间的弹性力)。
(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义。
(4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相点。相邻的同相点间的距离叫做波长(,它们的相位差是2(。
2.波是相位的传播
·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态的传播”也可说成是“相位的传播”，即某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下游”某处。
·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。
图中b点比a点的相位落后
即a点在t时刻的相位(或振动状态)经(t的时间传给了与它相距为(x的b点，或 b点在t +(t时刻的相位(或振动状态)与a点在t时刻的情况相同 ( 即波的传播速度 )。
三.波形曲线(波形图)
1.波形曲线(((x曲线)
(－质元的位移
x－质元平衡位置的坐标
(( x曲线反映某时刻t各质元位移(
在空间的分布情况。
(t时刻用照相机为所有质元拍的团体相)
·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次)，波形向前传播一个波长的距离。
·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。
·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。
2.注意区别波形曲线和振动曲线
波形曲线：(( x曲线
振动曲线：(( t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。
四.波的特征量
1.波长(：两相邻同相点间的距离。
波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度，或一个振动周期内波传过的距离。
2.波的频率(：即媒质质点(元)的振动频率。
·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的波的个数。
·通常情况下有波的频率( = 波源的振动频率(s
3.波速u：单位时间波所传过的距离。
·波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。
·波速u又称相速度(相位传播速度)。
·要注意区分波的传播速度u和媒质质元的振动速度。
五.横波和纵波
横波：质元振动方向 ( 波的传播方向
纵波：质元振动方向 ‖波的传播方向
§2 一维简谐波的表达式(波函数)
一.一维简谐波的表达式(波函数)
讨论：沿+x方向传播的一维简谐波
(波速u，振动角频率为()
假设：媒质无吸收(质元振幅均为A)
已知：参考点a的振动表达式为
(a(t) = Acos((t ( (a)
求写：任一点p的振动表达式
比较,p点和a点的振动
·其A和 (均各相同
·但p点比a点相位落后
任一点p的振动表达式为
一维简谐波的表达式
它即是任一点的振动表达式，反映任一点(位置在x)在任一时刻t的位移。
此情形下波的表达式还有几种形式：
((x,t) = Acos[(t - kx]
((x,t) = Acosk[ut - x]
三.平面波和球面波
1.波的几何描述
·波线：沿波传播方向的射线。
·波面：波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点是同时开始振动的，具有相同的相位，波面又称同相面。
·波前(波阵面)：最前沿的波面。
·平面波：波面是一些平行平面的波。
·球面波：波面是一些同心球面的波。
在各向同性的媒质中 波线 ( 波面。
2.平面简谐波的表达式
若平面简谐波沿+x向传播，空间任一点p(x,y,z)的振动相位只和x与t有关，而和其它空间坐标无关。所以前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。
3.球面简谐波的表达式设一各向同性的点波源，在各向同性媒质中向四面八方发出球面波。
·各点的频率仍决定于波源，
·但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因见波的能量部分)，其表达式为
式中A0为距波源r0处的振幅。
为r处的振幅，随r的增大而减小
§3 波动方程和波速
本节对媒质的波动行为作动力学分析，导出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方程(波动方程。
一.平面波波动方程
1.一般形式
此即沿x向传播的平面波的动力学方程，等号右端项的系数即波速u的平方。
·前面所讲的一维简谐波的表达式就是此波动方程的解(可用代入法检验)。
2.弹性绳上的横波
·波动方程,
·波速,,T -绳的初始张力
( -绳的线密度
3.固体棒中的纵波
·波动方程,
·波速,,Y -杨氏弹性模量 ( -体密度
·相应形变：长变
4.固体中的横波
·波动方程：
·波速,,G -切变模量
∵ Ｇ <Ｙ，固体中u横波< u纵波
·相应形变：切变
二.固体棒中纵波的波动方程(推导)
思路：·由胡克定律(应力、应变关系)
·由牛顿第二定律
1.某截面处的应力、应变关系
在棒上取长为(x的一小段质元，
·t时刻，x处截面的位移：((x,t)x +(x处截面的位移：((x+(x,t)
·波引起的(x段的平均应变：
·当(x(0时，得x处截面t时刻的应变
为
·x处截面的应力为
·由胡克定律有
x处截面的应力,应变关系
2.波动方程
·在棒上取质元(x，其质心位移为((x,t)
·由牛顿定律有，
·将前述应力、应变结果代入有
·令(x(0，并取极限即得所求波动方程
§4 波的能量
·前已讲：波是振动状态的传播相位的传播，外观上有波形在传播。
·现讨论：随着波的传播 能量也在传播。
·对于“流动着”的能量，要由能量密和能流密度两个概念来描述。
一.弹性波的能量,能量密度波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。
·对一块弹性媒质，
因振动 ( 有振动动能；
因形变 ( 有形变势能，
两者之和称此媒质中弹性波的能量。
(一)弹性波的能量密度
1.动能密度
·取细长棒上质元 (x，其动能为
·动能密度
2.势能密度
考虑一棒的长变，
·棒长：l,截面：S
·两端拉力：由0 ( F
·相应形变：增至(l，形变 ( 拉力。
·拉力作功,,它等于棒形变(l时的弹性势能。
·势能密度,
·棒中有纵波时，各小段反复地拉、压，某时某地的wp由当时当地的应力和应变决定。由胡克定律有，
3.能量密度
(二)平面简谐波的能量密度
·设沿x轴传播的平面简谐波为
((x,t) = Acos((t - kx)
1.能量密度
·可得
·可见，wk、wp、w能 均随(x,t)变化。
2.物理意义
(1)固定x，即看定一个质元。
·wk、wp均随t周期性变化(角频率2(),
且 wk = wp，两者 同相同大。
·此质元某时处于平衡位置时,
速度最大( wk最大,
变形最大( wp最大,
·此质元某时处于位移最大处时，
速度为0 ( wk=0
变形为0 ( wp=0
和弹簧振子的情况不同，这里没有动能和势能的相互转化。
·w能随t而变，并不守恒，这是由于此质元和周围媒质有能量交换(由于弹性力的作用)。每一质元都从上游接收能量，又向下游传去。波在传输能量!
(2)固定t，即看定某一时刻。
·此时wk、wp随x周期分布，
( = 0的质元,其wk、wp最大，
(最大的质元，其wk、wp为0。
·此时能量是“一堆一堆”地集中于位
移为零的那些质元处。
·随着波形的传播，能量也向前传播，其
传播速度也是u(波速)。
二.能流(能通量)、波的强度
1.能流(能通量)
如图柱体，厚为
u(波速)、面积为
S((于传播方向)。
·能流(能通量)：
单位时间内通过S面的能量，即
w能uS
·能流密度(能通量密度)：垂直于传播方向的单位面积上的能流(能通量)，即w能u
·平面简谐波的能流密度为
w能u = (u(2A2sin2((t - kx)
它随 (x,t) 而变。
2.波的强度：能流密度的时间平均值。
·数值上等于平均说来单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的能量。
·平面简谐波的强度为
单位：W/m2，
·媒质的特性阻抗,Z = (u，是反映媒质特性的一个常量。
·可见，对于弹性媒质中的简谐波
强度I ( A2，(2，(u
·均匀媒质中，(u不随地点变，
(强度 I ( A2
§5 惠更斯原理
·前面讨论了波动的基本概念,现在讨论：与波的传播特性有关的原理、现象和规律。
·波在传播过程中，由于某些原因其传播方向,频率 和 振幅有可能改变。(这和各向同性、均匀、无限媒质中一维简谐波的情况不尽相同)。
惠更斯原理给出的方法(惠更斯作图法)，是一种处理波传播方向的普遍方法。
一.惠更斯原理
1.原理：
媒质中波传到的各点，都可看作开始发射子波(次级波)的子波源(点波源)，
在以后的任一时刻，这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前。
2.应用：已知t时刻的波面(t +(t时刻的波面，从而可得出波的传播方向。
·实例如图(下图中媒质均匀各向同性，各子波都是以波速u向外扩展的球面波)。
3.不足：
(1) 不能说明子波为何不能倒退。
(2) 未涉及波在传播过程中的强度问题，因而对某些波动现象(如干涉等)不能说明。
二.波的衍射
1.现象：波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象(偏离了直线传播)。
2.作图：可用惠更斯原理作图。
可见，相对而言，长波衍射现象明显，方向性不好；短波衍射现象不明显，方向性好。(长波、短波是以波长与障碍物的线度相比较而言的)
三.波的反射和折射
1.波的反射(略)
2.波的折射
根据惠更斯原理，用作图法可由已知的
入射波波前求出折射波波前，从而求出
折射波的传播方向。
作图法共分四步：
(1)画出入射波的波前AB
设t1时刻入射波到A点，波前为AB，t2时刻入射波到C点，
BC=u1(t2-t1)
(2)画子波的波面
画出A、D、C各点向媒质2所发子波在t2时刻(C到界面的时刻)的子波面，图中
AE=u2(t2-t1)
(3)画子波波面的包络面(图中的EFC)，此即媒质2 中的波前。
(4)由入射点画通过切点(包络面与子波面的切点)的直线，此即折射波的传播方向。由图有，波的折射定律
i1--入射角,i2--折射角
§6 多普勒效应
多普勒效应，当波源S或接收器(观察者)R，或S、R都相对媒质运动时，接收器所测得的频率(R不等于波源振动频率(S 的现象(对机械波)。
一.机械波的多普勒效应
·参照系：媒质。
·设S和R的运动沿二者连线。
·符号规定：
S和R相
互靠近时(S > 0,(R > 0
·三个频率：
(S：波源振动频率，即波源单位时间所发波的个数。
(：波的频率，即媒质质元的振动频率(数值等于单位时间内通过波线上一固定点完整波形的个数)。
(R：接收频率，即单位时间内接收器所收到的波的个数。
分四种情况讨论：
1.波源和接收器都静止 ((S = 0，(R = 0)
(R = ( = (S
2.波源静止，接收器运动((S= 0，设(R > 0)
此情况下，( = (S,
但 (R ( (
由于R向着静止的S运动，单位时间R所接收的波分布在u +(R范围内，其个数为
可见，R向S靠近时((R > 0)，有 (R > (S
3.接收器静止，波源运动((R = 0，设(S > 0)
·此情况下，(R = (,但 ( ( (S
·S运动 ( 运动前方波长缩短
S发出“波头”后，前进(STS再发“波尾”
·实际波长 = S不动时的波长 ( (STS
可见，S向R靠近((S > 0)时,则
(R > (S
4.接收器、波源都运动(设 (S,(R均 > 0)
·此情况下,(S ( ( ( (R
·综合2、3两情况有，
S、R相互靠近((S >0、(R >0)时，
(R >(S
S、R相互远离((S <0、(R <0)时，
(R < (S
§7 波的叠加
研究：媒质中有几列波同时在传播时，所发生的……。
一.波传播的独立性
媒质中同时有几列波时，每列波都将保持自己原有的特性
(传播方向、振动方向、频率等),不受其它波的影响，和其它波不存在一样。
二.波的叠加原理
1.波的叠加原理：在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
2.波动方程的线性决定了波服从叠加原理波为什么服从叠加原理？任何波都服从叠加原理吗？ 否!
·对于小振幅的波
(媒质可看作线性媒质(波引起的应变不大，应力(应变，符合胡克定律)。
(波动方程是线性方程(曾记否推导波动方程时用了胡克定律)
一维齐次线性偏微分方程
(波动方程的线性决定了波服从叠加原理。
上述方程有如下性质：
若(1(x,t) 和 (2(x,t)分别是它的解，则 ((x,t) = (1(x,t) + (2(x,t)也是它的解(或用线性组合表示)。
这就是波动方程的解的可叠加性。
·对非线性波(波幅大以至使媒质成为非线性媒质)，叠加原理不成立。
§8 驻波
驻波---波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。
一.波的形成
由两列频率相同、振动方向相同、且振幅相等，但传播方向相反的行波 叠加而成的。
图中红线即驻波的波形曲线。可见，驻波波形原地起伏变化。
驻波波形不传播二.驻波表达式
·两列行波的表达式
(1(x,t) = Acos((t + (1 - kx)
(2(x,t) = Acos((t + (2 + kx)
其中
适当选择坐标原点和时间零点，使 (1,(2均等于零，则表达式变为
(1(x,t) = Acos((t - kx)
(2(x,t) = Acos((t + kx)
·两行波叠加
((x,t) = (1(x,t) + (2(x,t)
得驻波表达式：
((x,t) = 2Acos kx ( cos(t
二.驻波的特点
1.频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作谐振动。
2.幅特点：
(1)各点的振幅|2Acos kx|和位置x有关，振幅在空间按余弦规律分布。
(2)波节：有些点始终静止，这些点称波节。
·波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。
·由cos kx＝0得波节位置
（m = 0,1,2,…）
·两相邻波节间的距离为 ( /2。
波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹。
波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。
由|cos kx|＝1得波腹位置
,( m = 0,1,2,…)
两相邻波腹间的距离亦为 ( /2。
3.相位特点
驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长(/2),
·同一分段中的各质元振动相位相同；
·相邻分段中的质元振动相位相反。
驻波相位不传播
---“驻”字的第二层含义。
4.能量特点
·驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波
腹间的(/4的范围内，
在此范围内有能量的
反复流动，但能量不
能越过波腹和波节传
播(理由略)。
·驻波没有单向的能量传输。
驻波不传播能量三.实际中驻波的形成实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。
1.波在固定端的反射
(如一端固定的弹性绳)
·密媒质：特性阻抗((相对较大，
疏媒质：特性阻抗((相对较小。
图中固定点左边相当于特性阻抗为无限大的密媒质，
( 反射比R = 1 ；
( 反射波振幅 = 入射波振幅；
( 无透射波。
·反射波有相位突变 (
(反射波和入射波分别引起的边界点的两振动反相，叠加后相消；
(反射点是波节(和固定点情况吻合)。
2.波在自由端的反射
·反射波无相位突变
(反射波和入射波分别引起的边界点的两振动同相，叠加后加强；
(反射点是波腹。
§9 波场的强度分布
1.波场中任一点的合振动
·相干波源,S1、S2
·波源振动,
(10 = A10cos((t +(10)
(20 = A20cos((t +(20)
为分析简便，设振动方向 ( 屏面。
·p点两分振动
(1 = A1cos((t + (10 - kr1)
(2 = A2cos((t + (20 - kr2),式中
相位差：
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1)
((决定于两因素,相位差 (20 - (10
波程差 r2 - r1
可见，p点两分振动,
·频率相同；
·振动方向相同；
·相位差恒定(不随t变)。
·p点合振动
( = (1+(2 = Acos((t + ()
合振幅
A = (A12+A22 +2A1A2cos(()1/2
2.波场中的强度分布(以振幅的平方示强度)
I = I1+I2 + 2(I1I2)1/2cos((
·I1：(1单独存在时p点的强度
I2：(2单独存在时p点的强度
·相干叠加,I ( I1+ I2
存在干涉项 2(I1I2)1/2cos((，(其正、负决定于(()
·非相干叠加：不满足相干条件时的叠加
I = I1+ I2 (无干涉项)
I = A12+A22
3.加强、减弱条件
关心：何处加强？ 何处减弱？
(1)加强条件
·p点两振动同相时加强---相长干涉
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( 2m(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 - r1满足下式的地点加强
(m =0,1,2,…)
加强处的强度
Imax = I1 + I2 + 2(I1I2)1/2 (相长)
= (A1 + A2)2
若 A1 = A2，则
Imax = 4 I1
·特殊：当(10 = (20时,加强条件
(m =0,1,2,…)
即：波程差等于波长的整数倍，或半波长的偶数倍 的点加强。
(2)减弱条件
·p点两振动反相时减弱---相消干涉
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( (2m +1)(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 -r1满足下式的地点减弱
(m =0,1,2,…)
减弱处的强度
Imin= I1+ I2 - 2(I1I2)1/2 (相消)
= (A1 - A2)2
若 A1=A2,则
Imin= 0
·特殊：当(10 = (20时,减弱条件
(m =0,1,2,…)
即：波程差等于半波长的奇数倍的点减弱。
可见，波的干涉的问题，也就是波场中任 一点处同方向同频率振动合成的问题。
二.空间拍---最简单的调制波空间拍：由两列频率相近的简谐波叠加而成。
·设两简谐波为，
(1(x,t) = Acos((1t - k1x)
(2(x,t) = Acos((2t - k2x)
·叠加得合成波
引入记号：
,
:称平均角频率，(m：称调制角频率
因(1 ( (2,有 ,
则合成波可表示为，
合成波特点:
(1)是“振幅” 缓变的近似简谐波
(2)固定一地点，如令x = 0，则有
此即时间拍
(3)固定一时刻，如令t = 0，则有
((x,0) = 2Acos(kmx) cos( kx )
= Am cos( kx )
此称空间拍。
一、基本要求理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义，理解波形曲线，了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析，确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
了解驻波及其形成条件，了解驻波和行波的区别。
了解机械波的多普勒效应及其产生的原因，在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
了解电磁波的性质。
二、知识系统图
例题
1.一平面简谐波以速度沿X轴正方向传播，O为坐标原点，已知P点的振动方程为，则
O点的振动方程为
波动方程为
波动方程为
C点的振动方程为
答：（C）。已知波的传播方向为X轴正方向，O点振动超前P点，即O点振动的相位应为，X轴上任意一个点（坐标为）的相位比O点的相位落后，即任意一点的相位为，因此选C。
2.一平面简谐波沿OX正方向传播，波动方程为 （SI），
该波在时刻的波形图是
答：（B）。首先由波动方程得出O点的振动方程，即当时，方程为，其振动速度为，当时，代入O点振动方程和速度方程，得，因此应选B。
3.一平面简谐波，探X轴负方向传播，圆频率为，波速为，设时刻的波形如图所示，求该波的表达式。
解：首先设O点的振动方程为，由图可知，当时，O点在平衡位置且向正的最大位移处运动，即，由此可知
由此得，由于波的传播方向沿X轴负方向，所以任意一点的想比O点超前，
由此知该波的波动方程为。
4.设反射波的表达式是 （SI），波在处发生发射，反射点为自由端，求形成驻波的表达式。
解：波在自由端发生反射，没有半波损失，即反射波与入射波在处的位相相等，
因此入射波在反射端的振动方程为，由于传播方向与反射波相反，因此入射波的表达式为，两个波的方程合成为驻波方程，表达式为 （SI）。
5.如果把头凑近地面听一架飞机飞近的声音，其噪音的音调似乎升高了。同样，若我们站在瀑布附近的墙旁，那么除了正常的瀑布声外，还可以听到一种较柔和的背景声音。
站得离墙越近，这种背景声音的音调就越高。在上述两种情况下，为什么我们听到的这种声音，其音调回取决于我们耳朵接近固体结构物的远近？
答：在离地面几米的范围内，直接来自飞机的声波能够同来自地面反射的声波发生干涉，
从而使某些频率得到增强，能发生相长干涉的高度与声波的波长有关，离地面越近，相长干涉的波长越短，所听到的音调越高。当耳朵离地面越远，就会听到较长的波，即音调较低。瀑布的例子与此理相同。
一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为u，设时刻的波形曲线如图所示，求：
（1）x=0处质点振动方程 ；
（2）该波的波动方程。
解：（1）设x=0处质点振动方程为,
由图可知，时，
处质点振动方程为：
（2）该波的波动方程为：
因为波速沿X轴正方向，所以取负号。
如图所示，一平面简谐波沿OX轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为，
求：（1）O处质点的振动方程；
（2）该波的波动方程；
（3）与P处质点振动状态相同的那些点的位置。
解：（1）O点质点的振动比P点质点的振动超前，应取正号
（2）质点的振动方程如上，则波动方程应取正号
（3） (k=1,2,3……)
6.在均匀介质中，有两列余弦波沿OX轴传播，波动方程分别为 与，试求OX轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
解：（1）最大振幅的点的位置处，最大合振幅为
又因为 时，合振幅最大，
故 (k=0,1,2……)
（2）最小振幅的点的位置处，最小合振幅为
因为时，合振幅最小
故 (=0,1,2……)
7.由振动频率为400HZ的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立的驻波，这个驻波共有三个波腹，其振幅为0.30cm波在弦上的速度为320m/s。求
（1）此弦线的长度；
（2）若以弦线中点为坐标原点，试写出驻波的表达式。
解：（1）
（2）弦的中点是波腹，故
（SI）
式中的?可由初始条件来选择。
8.在绳上传播的入射波方程为，入射波在处绳端反射，反射端为自由端，设反射波不衰减，求驻波方程。
解：入射波在处引起的振动方程为，由于反射端为自由端，所以反射波在O点的振动方程为，由此得反射波方程为：
合成的驻波方程为
9．绳上传播的入射波方程为，入射波在处绳端反射，反射端为固定端，设反射波不衰减，求驻波方程。
解：入射波在处引起的振动方程为，由于反射端为固定端，有半波损失，所以反射波在 O点处的振动方程为
所以反射波方程为或
驻波方程为
或
补充习题如图，一平面波在介质中以速度沿X轴负方向传播，已知A点的振动方程为 （SI）
(1)以A点为坐标原点写出波动方程；
(2)以距A点为5cm处的B点为坐标原点，写出波动 方程。
弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，其波动方程为 （SI），若在处有一媒质分界面，且在分界面处位相突变π。设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。
一弦上的驻波方程为 （SI）
(1)求相邻波节之间的距离；
(2)求时，位于处质点的振动速度。
波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为
（SI）
（SI）
求：（1）两波的频率、波长、波速；
（2）两波叠加后的节点位置；
（3）叠加后振幅最大的那些点的位置。
如图所示，原点O是波源，振动方向垂直与纸面，波长是?，AB为波的反射平面，反射时无半波损失，O点位于A点的正上方，，OX轴平行与AB，求OX轴上干涉加强点的坐标（限于。
如图所示，S为点波源，振动方向垂直于纸面，波长为?，和是屏AB上的两个狭缝，，，并且，X轴以为坐标原点，并且垂直于AB，求X轴上干涉减弱点的坐标。
一平面简谐波沿OX轴正方向传播，波动方程为，而另一平面简谐波沿OX轴负方向传播，波动方程为，求：
（1）处介质质点的合振动方程； （2）处介质质点的速度表达式。
一振幅为10cm,波长为200cm的一维余弦波，沿X轴正方向传播，波速为100cm/s,在t=0时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动，求：
(1)原点处质点的振动方程；
(2)在x=150cm处质点的振动方程。
平面简谐波沿X轴正方向出发，振幅为2cm,频率为50Hz,波速为200m/s,在t=0时，x=0处的质点正在平衡位置向Y轴正方向运动，求x=4m处媒质质点振动的表达式及该点在t=2s 时的振动速度。
如图所示,两相干波源和的距离为，和都在X坐标轴上，位于坐标原点O，设由和分别发出的两列波沿X轴传播时，强度保持不变，和处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点，求两波的波长和两波源间最小相位差。
如图所示，A和B是两个同周相的波源，相距7cm，同时以30Hz的频率发出波动，波速为50cm/s。p点位于与AB成25角距A为3m处，求两波通过p点的周相差。
位于A、B点的两相干波源，周相差为π，振动频率都为100Hz，产生的波以10m/s的速度传播。介质中的P点与A、B等距离，如图所示，A、B两波源在P点所引起的分振动的振幅都为0.05m。求P点的振动方程。如果A、B的周相差为零或，则又如何？
两波在一很长的弦线上传播，设其方程式为
振幅的单位为厘米，时间的单位为秒。
（1）求各波的频率、波长和波速；
（2）求节点的位置；
（3）在哪些位置上振幅最大？
一弦的振动表示式为。式中、以米计，以秒计。
（1）组成此振动的各分振动的振幅及波速为多少？
（2）节点间的距离为多大？
（3）时，位于处的 质点的速度为多少？
设入射波的波动方程为，在处发生反射，反射处为自由端，求：（1）反射波的波动方程；
（2）合成波（驻波）的方程，并说出波节和波腹点的位置。
一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传波，设波沿着x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25HZ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当t=0时，在x=0处质元的位移为零，并向x轴正向运动。写出该波波动方程。
一平面简谐波沿着x轴正向传播，波的振幅A=10cm，波的圆频率，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负向运动，而x=2cm处的b质点正通过y=5.0cm点向y轴正向运动。设该波波长，求该平面波的表达式。
