第二章 静电场中的导体和电介质
§1 导体的静电平衡
一.静电平衡状态
1.静电平衡状态：导体内部和表面都没有
电荷的宏观移动。
2.静电平衡条件,
导体内部 E内= 0
导体表面 E表面 ( 表面二.静电平衡时的特点
1.场强特点,E内 = 0
E表面 ( 表面
2.电势特点：导体是等势体
表面是等势面
3.电荷分布特点：
(1)电荷只分布在表面上(可用高斯定理分析)。
(2)对空腔导体，腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上。
(3)对孤立导体，表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电荷密度大。
三.导体表面的场强与面电荷密度的关系
在导体表面某点附近取扁筒状高斯面，
由
有 E(S = ((S/(0
E = (/(0
导体表面附近的场强
—表面法向单位矢量
§2 有导体存在时静电场的分析与计算
分析方法:·用电荷守恒
·用静电平衡条件
·用高斯定理
常见导体组:·板状导体组
·球状导体组
[例1]导体球A(带电q)与导体球壳B(带
电量Q)同心。求
(1)各表面电荷分布；
(2)A的电势UA；
(3)将B接地，各表面电荷分布；
(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时
各表面电荷分布。
解:(1)各表面电荷分布
·在B上选高斯面如图，知
B内表面电荷为 -q
B内外表面电荷之和为Q，由电荷守恒，
B外表面电荷为Q +q
(2)A的电势UA
导体组可看成三层均匀带电球面
由均匀带电球面的电势结果可得，
(3)将B接地，
各表面电
荷分布
易得：B内表面电荷为 -q；
外表面电荷为零。
(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时
各表面电荷分布
A接地后，电荷
不再为q，设为
q ((待求)
·则B内表面为- q (，外表面为 -q +q (
·由电势叠加有
可得 q (
§3 静电屏蔽
一.空腔导体可保护腔内空间不受腔外带电体的影响
[EQ + Eq(]外表面以内空间 = 0
·当Q大小或位置改变时，q ((感应电荷)
将自动调整，保证上述关系成立。
·若腔内有带电体，上述关系依然成立。
如图，空腔内表面电荷均匀分布，Q的变化，不会影响内表面电荷分布。腔外带电体的变化(大小、位置)，不会影响腔内电场。
二.接地空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响
[ Eq + Eq(]内表面以外空间 = 0
·先看空腔导体未接地情形
当腔内q位置移动时,q ((感应电荷)将自动调整，保证上述关系成立。
腔内带电体位置的移动，不影响腔外电场。但q大小变化时，将影响腔外电场
·接地空腔导体情形
接地空腔导体可使腔内带电体的变化(大小、位置)对腔外电场没有影响。 接地空腔导体可使腔内、腔外互不影响。
第三章 静电场中的电介质
§1 电介质及其极化一.电介质(Dielectric)
电介质—绝缘介质
1.电介质内没有可以自由移动的电荷在电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。
2.分子电矩
·分子—电偶极子(模型)
分子的正负电中心相对错开。
·分子电矩
二.电介质的极化
1.极性电介质的极化极性分子
·正常情况下，内部电荷分布不对称，正负电中心已错开，有固有电矩。
·极性分子：如HCl,H2O、CO等。
(2)无外电场时
·每个分子
·由于热运动，各取向混乱
·小体积(V(宏观小、微观大，内有大量
分子)内
(3)有外电场时
·各向电场方向取向(由于热运动，取向并非完全一致)
·(V内
·且外电场越强 ( 越大
·这种极化称取向极化
2.非极性电介质的极化
(1)非极性分子(Non-polar molecule)
·正常情况下电荷分布对称，正负电中心重合，无固有电矩。
非极性分子：如He,H2,N2,O2、CO2等。
(2)无外电场时
·每个分子 p分 = 0
·(V内 ( p分 = 0
(3)有外电场时
·正负电中心产生相对位移，
·(V内
·且外电场越强 (越大
·这种极化称位移极化
三.电极化强度(Polarization)
1.电极化强度为描写电介质极化的强弱，引入电极化强度(矢量)。
·定义：单位体积内分子电矩的矢量和
·对非极性电介质，因各相同，有，n单位体积内的分子数
·综上，对极性、非极性电介质都有
无外电场时,P = 0
有外电场时,P ( 0
且电场越强 ( | P | 越大
2.电极化强度和场强的关系由实验，对各向同性电介质，当电介质中电场E不太强时，有
P = (0(eE
(e,电极化率((e ( 0)，决定于电介质性质。
·E：是电介质中某点的场强(包括该点的外电场以及电介质上所有电荷在该点产生的电场)。
·对各向同性介质,P ( E
四.束缚电荷电介质极化后，在电介质体内及表面上可以出现束缚电荷(又称极化电荷)。
1.体束缚电荷
(1)体束缚电荷
·考虑电介质体内面元dS处的极化
·以位移极化为例，设负电中心不动，
在电场作用下，dV= l分dS cos(内所有分子的正电荷中心将越过dS面。
·越过dS面元的总电荷
dq(= q分n(l分dS cos( )
= np分cos( dS
= P cos( dS
dq( = P ( dS
在电介质体内取任一封闭曲面S，则净穿出整个封闭面的电荷为
·留在封闭面内的电荷为
q(内 = - q (出
电介质体内任一封闭面内的束缚电荷为
·可得出束缚电荷体密度
(( = -(( P
2.面束缚电荷
·若前述dS面元刚好在电介质表面上，
n 即电介质的外法线方向，则
dq( = P( dS
即为电介质表面dS面积上的束缚电荷。
·单位面积上的束缚电荷
(( = dq( /dS
束缚电荷面密度
((= P ( n
n—电介质表面外法线方向的单位矢量
(方向：由电介质体内 指向 体外)
·如图电介质
§2 电位移矢量D D的高斯定理
·由真空中的高斯定理
(q内应包括高斯面所包围的自由电荷与束缚电荷。
(q内= (qf内+(q(内
·由前，高斯面包围的束缚电荷为
·于是
·引入电位移矢量
单位,C/m2
·的高斯定理
通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
二.关于的讨论
1.对的理解
(1) 只和自由电荷有关吗?
·的高斯定理说明在闭合面上的通量只和自由电荷有关，这不等于说只和自由电荷有关。
·由 ，也说明既和自由电荷又和束缚电荷有关 ( 是空间所有电荷共同产生的)。
(2)电位移线
·类似于电力线(线)，在电场中也可以
画出电位移线(线)；
·由于闭合面的电位移通量等于被包围的自由电荷，所以线发自正自由电荷止于负自由电荷。
2,、、的关系
(1)一般关系
(2)对各向同性电介质(且场强不太大时)
·引入：相对介电常数
(r = (1+ (e),((r ( 1)
介电常数 ( = (0 (r
P可写作
·对各向同性电介质(且场强不太大时)
三.有电介质时电场的计算
例：带电分别为正负Q的两均匀带电导体板间充满相对介电常数为(r的均匀电介质，求
(1)电介质中的电场
(2)电介质表面的束缚电荷
解：(1)求电场
·求D：画高斯面如图
由
DS0 = (Q/S)S0
( D = (Q/S) = (f
·求E,E = D/( = (f /(0(r
= Q/(S(0(r)
(2)求束缚电荷
·求P,
·求((、q(：
上表面，
下表面，
第四章 电容器的电容与电场的能量
§1 电容器与电容一.电容器
1.构成：两金属极板，其间充以电介质。
2.指标：电容量
耐压二.电容(量)
1.定义：电容器带电量与其电压之比
·电容决定于电容器本身的结构(极板的形状、尺寸及极板间的电介质情况)和所带电量无关。
·单位：法(F)
2.计算
[例1]求如下球形电容器的电容。
解:·设内、外极板分别带电Q、-Q
·求D：在电介质1中画高斯面，有
由对称性分析可得
D1(4(r2) = Q
,
电介质2中，同理有
,
·求E：由 D = (E有
电介质1中
,
电介质2中，同理有
,
·求C,由C = Q/ V 有
三.电容器的串并联
1.串联：等效电容
2.并联：等效电容
C = C1 + C2+ C3+…
§2 电场的能量一.电容器储能
·当电容器带电后，同时也储存了能量。
·因静电能和具体带电方式无关，以下面
方法给电容器带电,
以平板电容器为例，其电容量为C 。
·自t = 0开始，每次自下极板把微量电荷dq移至上极板，电容器间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动外力都要克服静电力作功。
至t时刻，电容器已带电q，此时若再移动dq，外力作功为
dA = (dq = (q/C)dq
最后，使电容器带电Q,则外力作功共为
外力作的功全部储存在电容器中。
电容器储能
二.电场的能量
电容器的能量是储存在电容器的电场中。
平板电容器情形
·电容
·储能
·引入
电场能量密度：电场单位体积中的能量。
2.一般情形
三.电场的能量
前面已由电容器储能公式得出了计算
电场能量的式子
W = ( (ed(体
这说明：一个带电体系所产生的电场的
场能就是该体系所具有的静电
势能。
四.带电体在外电场中的电势能
·带电体系
此体系的相互作用能应包括：
A、B间的相互作用能；
A、C间的相互作用能；
B、C间的相互作用能。
·如果把带电体A从体系中分离出来，则A处于B和C的电场之，此电场对A 来说就是外电场。
· (A、B间的相互作用能) +
C间的相互作用能)
= A在外电场中的电势能
一个带电体在外电场中的电势能即是此带电体和产生外电场的电荷间的相互作用能。
如带电体A是一点电荷qA,则A在外电场中的电势能为
W外 = qAU外
U外—外电场在A所在处产生的电势。
·如A是一有一定大小的带电体，外电场在A上各点产生的电势U外可能不同。这时需把A分成许多小体积元d((设A
为体电荷分布，电荷体密度为()，每个体积元带电为dq = ( d(
dq在外电场中的电势能为
dqU外= ( U外d(
整个带电体A在外电场中的电势能
W外= ( (U外d(
(对所讨论的带电体A积分)
·和连续带电体静电能公式
对比：除相差因子1/2之外，
U外—是被积带电体上某点由外电场产
生的电势，不包括此带电体自己
产生的电势。
U — 是被积带电体上某点的电势，此
电势是由其他带电体和被积带电
体共同产生的。
一、本章要求掌握导体的静电平衡条件及处于静电平衡状态的导体的性质。
理解静电屏蔽和尖端放电的原理。
理解电容的概念，会计算一些特殊形状电容器的电容；理解电场的能量，加深对电场物质性的理解；理解介质中的高斯定理。
了解介质的极化及其微观解释。
二、知识系统图
例题
1．带电量为Q的孤立导体球，处于静电平衡时，导体球表面附近一点P的场强是多少？P点的场强是否只由P点附近的电荷产生？
答：P点的场强，方向垂直于导体球表面，它是从高斯定理和导体静电平衡条件求出的普遍结论，是导体球所带电荷在P点产生的总场。
上题中在导体球附近移来一个带电为q的另一导体A，达到静电平衡后
q是否在导体球内产生电场？导体球内场强是否仍为零？
导体球上Q的分布是否改变？为什么？
（3）P点的场强是否改变？公式是否成立？它是否反映了q的影响？
答：（1）q应在导体球内产生场，但球内任一点的场强仍为零。
（2）Q的分布必须改变以抵消q在球内的场，否则不能保证导体球内任一点的场强为零。
（3）P点的场强大小改变，但公式仍然成立，此时已由原来的处处相同变为不同，而q的影响反映在的改变中，即反映了q对P点场的影响。
由以上两例可总结以下几点：
静电平衡时导体内部的场强为零是导体和静电场相互作用的结果。
电荷分布对电场分布起着调节作用，静电平衡时导体内是由电荷的恰当分布来保证的。
静电平衡时，导体表面附近场强普遍成立，但是空间所有电荷的总场。
3,带电为Q的导体薄球壳A，半径为R，壳内中心处有点电荷q，已知球壳电势为Ua，则壳内任一点P的电势，对不对，试分析之。
答：不对。
已知球壳电势为Ua，壳内有点电荷q，因此壳内电势不等于Ua，据电势迭加原理，壳内任一点P的电势应是壳上电荷Q及点电荷q在该点的电势的迭加，即
球壳的电势
∴P点的电势
另一种方法求Up，选无穷远为电势零点，则
4．同心金属球壳A、B分别带有电荷q、Q，已测得A、B间电势差为U，且RA<RB，问由A、B组成的球形电容器的电容值为何？
答：由高斯定理和导体的静电平衡条件知，金属球壳B的内表面带电-q，外表面有电荷 Q+q，按电容器电容的定义得,
5．一空气平行板电容器接电源后，极板上的电荷面密度为±σ，在保持与电源接通的情况下，将相对介电常数为εr的各向同性均匀介质充满两极板之间，问板间场强E、电压U、电容C、电容器能量W如何变化（忽略边缘效应）？若与电源断开，情况如何？
答：与电源接通时：
板间电压U不变；由知，场强E不变；，故电容增大为原来的εr倍；电容器能量W=，故能量亦增大为原来的εr倍
与电源断开时：板上电荷±σ不变，板间场强，故场强减少为原来的；U=Ed，板间电压亦减少为原来的；电容增大为原来的倍；电容器能量，故能量减少为原来的。
6,已知电荷面密度为σ的无限大均匀带电平板，两侧场强为，这个公式对有限大的均匀带电面两侧紧邻处的场强也成立。又已知静电平衡的导体表面某处面电荷密度为σ，在表面外紧靠该处的场强等于，说明为什么前者比后者小一半？
解：设导体表面dS处面电荷密度为σ，则这一小面元上的电荷在其两侧紧邻处的场强如图所示。
除上述小面电荷外，导体上其它电荷在dS两侧紧邻处的场强为及′，且因为dS很小，可认为在其附近其它电荷的电场均匀，即
(2)
据电场迭加原理，导体外紧邻dS处的场强
(3)
导体内紧邻dS处的场强
由于导体静电平衡则应有
则 （4）
将（1）（2）（4）代入（3）得这就是导体表面外紧邻处的电场强度，其大小为，其方向沿该处导体表面外法向。比无限大均匀带电平板两侧场强大一倍。
在一不带电的金属球旁，有一点电荷+q，金属球半径为R，求
（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势U；
（2）若将金属球接地，球上的净电荷为何？已知+q与金属球心间距离为r。
（选题目的：导体静电感应的感应电荷的计算及其电场的计算）
解：（1）设金属球上的感应电荷为，球心O点的场强为的电场和点电荷q 的电场的迭加，即
据静电平衡条件金属球内场强处处为零，即，若如图坐标，原点为O，则
因为分布在金属球表面上，它在球心处的电势
点电荷q在O的电势
据电势迭加原理，球心处的电势
(2)若将金属球接地，设球上有净电荷q1，这时金属球的电势应为零，即，由电势迭加原理，金属球的电势
解得,
8．A、B为靠得很近的两块平行的大金属板，板的面积为S，板间距为d，使A、B板分别带电为qA、qB，且qA>qB。求：
A板内侧的带电量；（2）两板间的电势差。
解：（1）设A、B板的两侧面分别带电q1、q2、q3、q4，忽略边缘效应。据导体静电平衡条件，有
得 ①
又有
得 ②
由电荷守恒有 ③
④
联立解以上四式得
解以上四式还可得
两带电平板间为均匀电场，电场强度
两板间电势差
9．带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内外半径为R2、R3。
（1）把球壳接地后再绝缘，求球壳的电荷及球壳内外电势分布；
（2）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。
解：（1）把外球壳接地，则q外=0，q内=-q。求电势分布：
（2）把内球接地，电荷重新分布，设各表面分别带电荷。在外球壳内部场强处处为零，取高斯面S，则。由高斯定理知S面内包含的净电荷必为零，即
①
由电荷守恒知
②
由于内球接地，内球电势U1=0，但从电荷分布求得
据给出
③
解①、②、③得内球带电荷为
外球壳外表面带电荷为
外球壳的电势
总结：求解、讨论有导体存在时的静电学问题的理论依据
（1）静电场中的高斯定理。
（2）导体的静电平衡条件。
（3）电荷守恒定律。
10.平行板电容器，极板面积为S，板间距为d。相对介电常数分别为的两种电介质各充满板间的一半，
（1）此电容器带电后，两介质所对的极板上自由电荷面密度是否相等？
（2）此时介质内的是否相等？
（3）此电容器的电容多大？
（选题目的：有介质时电场及电容的计算）
解：（1）设两介质所对的极板上的电荷面密度分别为±σ1和±σ2。两极板都是导体，故每个极板各处电势相等，因而电容器两部分极板间的电势差相等，即
由此得
对于平行板电场
由给出
（2）对平行板电场有
（3）两部分的电容分别是
由于并联，所以总电容
11．图示为一空气平行板电容器，上极板固定，下极板悬空。极板面积为S，板间距为d，极板质量为m。问当电容器两极板间加多大电压时，下极板才能保持平衡？（忽略边缘效应）（选题目的：平行板电容器的计算）
解：设电容器极板带电Q，则下极板受电力为
(1)
由平衡条件，有 (2)
由（1）、（2）可得
两极板间场强为
两极板间电压为
补充习题
1．半径分别为R1和R2（R1>R2）的两个同心导体薄球壳，分别带电量Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电，求相连后导体球所带电量。
两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势，计算变为等势体的过程中，静电力所作的功。
两块“无限大”平行平面带电导体板，证明：静电平衡时
（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反；
（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同。
两导体球A、B，半径分别为R1=0.5m,R2=1.0m,中间以导线连接,两球外分别包以内半径为R=1.2m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地,导体间的介质均为空气。已知：空气的击穿场强为3×106V/m，今使A、B两球所带电量逐渐增加，计算：
1)此系统何处首先被击穿？
2)击穿时两球所带的总电量Q为多 少？（设导线本身不带电，且对电场无影响）
半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：
(1)每个球上分配到的电荷是多少？
(2)按电容定义式，计算此系统的电容。
如图所示，一内半径a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无穷远处为电势零点，求：
(1)球壳内外表面上的电荷；
(2)球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；
(3)球心O点处的电势。
空气中有一半径为R的孤立导体球，令无限远处电势为零，试计算：
(1)该导体球的电容；
(2)球上所带电荷为Q时储存的静电能；
(3)若空气的击穿场强为Eg，导体球上能储存的最大电荷值。
如图所示，三个“无限长“的同轴导体圆柱面A、B、C，半径分别为Ra、Rb、Rc，圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内外表面上电荷线密度、?之比值 。
如图示，两个同心导体球壳，其间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空，内球壳半径为R1，带电量为Q1，外球壳内、外半径分别R2和R3，带电量为Q2，
（1）求整个空间的电场强度的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线；
（2）求电介质中电场能量的表达式。
如图示一电容器由三片面积均为S=6.0cm2的金属箔组成，相邻两箔间的距离都是d=0.10mm，外面两箔片联在一起为一极，中间箔片作为另一极。
（1）求电容C；
（2）当在这电容器上加U=220V电压时，三箔片上的电荷面密度各是多少？
两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R（d?R），导线上电荷线密度分别为+?和-?，求该导体组单位长度的电容。
设想电荷Q在真空中均匀分布在一半径为R的球体内，求这电荷分布的电场能量。
§1 导体的静电平衡
一.静电平衡状态
1.静电平衡状态：导体内部和表面都没有
电荷的宏观移动。
2.静电平衡条件,
导体内部 E内= 0
导体表面 E表面 ( 表面二.静电平衡时的特点
1.场强特点,E内 = 0
E表面 ( 表面
2.电势特点：导体是等势体
表面是等势面
3.电荷分布特点：
(1)电荷只分布在表面上(可用高斯定理分析)。
(2)对空腔导体，腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上。
(3)对孤立导体，表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电荷密度大。
三.导体表面的场强与面电荷密度的关系
在导体表面某点附近取扁筒状高斯面，
由
有 E(S = ((S/(0
E = (/(0
导体表面附近的场强
—表面法向单位矢量
§2 有导体存在时静电场的分析与计算
分析方法:·用电荷守恒
·用静电平衡条件
·用高斯定理
常见导体组:·板状导体组
·球状导体组
[例1]导体球A(带电q)与导体球壳B(带
电量Q)同心。求
(1)各表面电荷分布；
(2)A的电势UA；
(3)将B接地，各表面电荷分布；
(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时
各表面电荷分布。
解:(1)各表面电荷分布
·在B上选高斯面如图，知
B内表面电荷为 -q
B内外表面电荷之和为Q，由电荷守恒，
B外表面电荷为Q +q
(2)A的电势UA
导体组可看成三层均匀带电球面
由均匀带电球面的电势结果可得，
(3)将B接地，
各表面电
荷分布
易得：B内表面电荷为 -q；
外表面电荷为零。
(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时
各表面电荷分布
A接地后，电荷
不再为q，设为
q ((待求)
·则B内表面为- q (，外表面为 -q +q (
·由电势叠加有
可得 q (
§3 静电屏蔽
一.空腔导体可保护腔内空间不受腔外带电体的影响
[EQ + Eq(]外表面以内空间 = 0
·当Q大小或位置改变时，q ((感应电荷)
将自动调整，保证上述关系成立。
·若腔内有带电体，上述关系依然成立。
如图，空腔内表面电荷均匀分布，Q的变化，不会影响内表面电荷分布。腔外带电体的变化(大小、位置)，不会影响腔内电场。
二.接地空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响
[ Eq + Eq(]内表面以外空间 = 0
·先看空腔导体未接地情形
当腔内q位置移动时,q ((感应电荷)将自动调整，保证上述关系成立。
腔内带电体位置的移动，不影响腔外电场。但q大小变化时，将影响腔外电场
·接地空腔导体情形
接地空腔导体可使腔内带电体的变化(大小、位置)对腔外电场没有影响。 接地空腔导体可使腔内、腔外互不影响。
第三章 静电场中的电介质
§1 电介质及其极化一.电介质(Dielectric)
电介质—绝缘介质
1.电介质内没有可以自由移动的电荷在电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。
2.分子电矩
·分子—电偶极子(模型)
分子的正负电中心相对错开。
·分子电矩
二.电介质的极化
1.极性电介质的极化极性分子
·正常情况下，内部电荷分布不对称，正负电中心已错开，有固有电矩。
·极性分子：如HCl,H2O、CO等。
(2)无外电场时
·每个分子
·由于热运动，各取向混乱
·小体积(V(宏观小、微观大，内有大量
分子)内
(3)有外电场时
·各向电场方向取向(由于热运动，取向并非完全一致)
·(V内
·且外电场越强 ( 越大
·这种极化称取向极化
2.非极性电介质的极化
(1)非极性分子(Non-polar molecule)
·正常情况下电荷分布对称，正负电中心重合，无固有电矩。
非极性分子：如He,H2,N2,O2、CO2等。
(2)无外电场时
·每个分子 p分 = 0
·(V内 ( p分 = 0
(3)有外电场时
·正负电中心产生相对位移，
·(V内
·且外电场越强 (越大
·这种极化称位移极化
三.电极化强度(Polarization)
1.电极化强度为描写电介质极化的强弱，引入电极化强度(矢量)。
·定义：单位体积内分子电矩的矢量和
·对非极性电介质，因各相同，有，n单位体积内的分子数
·综上，对极性、非极性电介质都有
无外电场时,P = 0
有外电场时,P ( 0
且电场越强 ( | P | 越大
2.电极化强度和场强的关系由实验，对各向同性电介质，当电介质中电场E不太强时，有
P = (0(eE
(e,电极化率((e ( 0)，决定于电介质性质。
·E：是电介质中某点的场强(包括该点的外电场以及电介质上所有电荷在该点产生的电场)。
·对各向同性介质,P ( E
四.束缚电荷电介质极化后，在电介质体内及表面上可以出现束缚电荷(又称极化电荷)。
1.体束缚电荷
(1)体束缚电荷
·考虑电介质体内面元dS处的极化
·以位移极化为例，设负电中心不动，
在电场作用下，dV= l分dS cos(内所有分子的正电荷中心将越过dS面。
·越过dS面元的总电荷
dq(= q分n(l分dS cos( )
= np分cos( dS
= P cos( dS
dq( = P ( dS
在电介质体内取任一封闭曲面S，则净穿出整个封闭面的电荷为
·留在封闭面内的电荷为
q(内 = - q (出
电介质体内任一封闭面内的束缚电荷为
·可得出束缚电荷体密度
(( = -(( P
2.面束缚电荷
·若前述dS面元刚好在电介质表面上，
n 即电介质的外法线方向，则
dq( = P( dS
即为电介质表面dS面积上的束缚电荷。
·单位面积上的束缚电荷
(( = dq( /dS
束缚电荷面密度
((= P ( n
n—电介质表面外法线方向的单位矢量
(方向：由电介质体内 指向 体外)
·如图电介质
§2 电位移矢量D D的高斯定理
·由真空中的高斯定理
(q内应包括高斯面所包围的自由电荷与束缚电荷。
(q内= (qf内+(q(内
·由前，高斯面包围的束缚电荷为
·于是
·引入电位移矢量
单位,C/m2
·的高斯定理
通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
二.关于的讨论
1.对的理解
(1) 只和自由电荷有关吗?
·的高斯定理说明在闭合面上的通量只和自由电荷有关，这不等于说只和自由电荷有关。
·由 ，也说明既和自由电荷又和束缚电荷有关 ( 是空间所有电荷共同产生的)。
(2)电位移线
·类似于电力线(线)，在电场中也可以
画出电位移线(线)；
·由于闭合面的电位移通量等于被包围的自由电荷，所以线发自正自由电荷止于负自由电荷。
2,、、的关系
(1)一般关系
(2)对各向同性电介质(且场强不太大时)
·引入：相对介电常数
(r = (1+ (e),((r ( 1)
介电常数 ( = (0 (r
P可写作
·对各向同性电介质(且场强不太大时)
三.有电介质时电场的计算
例：带电分别为正负Q的两均匀带电导体板间充满相对介电常数为(r的均匀电介质，求
(1)电介质中的电场
(2)电介质表面的束缚电荷
解：(1)求电场
·求D：画高斯面如图
由
DS0 = (Q/S)S0
( D = (Q/S) = (f
·求E,E = D/( = (f /(0(r
= Q/(S(0(r)
(2)求束缚电荷
·求P,
·求((、q(：
上表面，
下表面，
第四章 电容器的电容与电场的能量
§1 电容器与电容一.电容器
1.构成：两金属极板，其间充以电介质。
2.指标：电容量
耐压二.电容(量)
1.定义：电容器带电量与其电压之比
·电容决定于电容器本身的结构(极板的形状、尺寸及极板间的电介质情况)和所带电量无关。
·单位：法(F)
2.计算
[例1]求如下球形电容器的电容。
解:·设内、外极板分别带电Q、-Q
·求D：在电介质1中画高斯面，有
由对称性分析可得
D1(4(r2) = Q
,
电介质2中，同理有
,
·求E：由 D = (E有
电介质1中
,
电介质2中，同理有
,
·求C,由C = Q/ V 有
三.电容器的串并联
1.串联：等效电容
2.并联：等效电容
C = C1 + C2+ C3+…
§2 电场的能量一.电容器储能
·当电容器带电后，同时也储存了能量。
·因静电能和具体带电方式无关，以下面
方法给电容器带电,
以平板电容器为例，其电容量为C 。
·自t = 0开始，每次自下极板把微量电荷dq移至上极板，电容器间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动外力都要克服静电力作功。
至t时刻，电容器已带电q，此时若再移动dq，外力作功为
dA = (dq = (q/C)dq
最后，使电容器带电Q,则外力作功共为
外力作的功全部储存在电容器中。
电容器储能
二.电场的能量
电容器的能量是储存在电容器的电场中。
平板电容器情形
·电容
·储能
·引入
电场能量密度：电场单位体积中的能量。
2.一般情形
三.电场的能量
前面已由电容器储能公式得出了计算
电场能量的式子
W = ( (ed(体
这说明：一个带电体系所产生的电场的
场能就是该体系所具有的静电
势能。
四.带电体在外电场中的电势能
·带电体系
此体系的相互作用能应包括：
A、B间的相互作用能；
A、C间的相互作用能；
B、C间的相互作用能。
·如果把带电体A从体系中分离出来，则A处于B和C的电场之，此电场对A 来说就是外电场。
· (A、B间的相互作用能) +
C间的相互作用能)
= A在外电场中的电势能
一个带电体在外电场中的电势能即是此带电体和产生外电场的电荷间的相互作用能。
如带电体A是一点电荷qA,则A在外电场中的电势能为
W外 = qAU外
U外—外电场在A所在处产生的电势。
·如A是一有一定大小的带电体，外电场在A上各点产生的电势U外可能不同。这时需把A分成许多小体积元d((设A
为体电荷分布，电荷体密度为()，每个体积元带电为dq = ( d(
dq在外电场中的电势能为
dqU外= ( U外d(
整个带电体A在外电场中的电势能
W外= ( (U外d(
(对所讨论的带电体A积分)
·和连续带电体静电能公式
对比：除相差因子1/2之外，
U外—是被积带电体上某点由外电场产
生的电势，不包括此带电体自己
产生的电势。
U — 是被积带电体上某点的电势，此
电势是由其他带电体和被积带电
体共同产生的。
一、本章要求掌握导体的静电平衡条件及处于静电平衡状态的导体的性质。
理解静电屏蔽和尖端放电的原理。
理解电容的概念，会计算一些特殊形状电容器的电容；理解电场的能量，加深对电场物质性的理解；理解介质中的高斯定理。
了解介质的极化及其微观解释。
二、知识系统图
例题
1．带电量为Q的孤立导体球，处于静电平衡时，导体球表面附近一点P的场强是多少？P点的场强是否只由P点附近的电荷产生？
答：P点的场强，方向垂直于导体球表面，它是从高斯定理和导体静电平衡条件求出的普遍结论，是导体球所带电荷在P点产生的总场。
上题中在导体球附近移来一个带电为q的另一导体A，达到静电平衡后
q是否在导体球内产生电场？导体球内场强是否仍为零？
导体球上Q的分布是否改变？为什么？
（3）P点的场强是否改变？公式是否成立？它是否反映了q的影响？
答：（1）q应在导体球内产生场，但球内任一点的场强仍为零。
（2）Q的分布必须改变以抵消q在球内的场，否则不能保证导体球内任一点的场强为零。
（3）P点的场强大小改变，但公式仍然成立，此时已由原来的处处相同变为不同，而q的影响反映在的改变中，即反映了q对P点场的影响。
由以上两例可总结以下几点：
静电平衡时导体内部的场强为零是导体和静电场相互作用的结果。
电荷分布对电场分布起着调节作用，静电平衡时导体内是由电荷的恰当分布来保证的。
静电平衡时，导体表面附近场强普遍成立，但是空间所有电荷的总场。
3,带电为Q的导体薄球壳A，半径为R，壳内中心处有点电荷q，已知球壳电势为Ua，则壳内任一点P的电势，对不对，试分析之。
答：不对。
已知球壳电势为Ua，壳内有点电荷q，因此壳内电势不等于Ua，据电势迭加原理，壳内任一点P的电势应是壳上电荷Q及点电荷q在该点的电势的迭加，即
球壳的电势
∴P点的电势
另一种方法求Up，选无穷远为电势零点，则
4．同心金属球壳A、B分别带有电荷q、Q，已测得A、B间电势差为U，且RA<RB，问由A、B组成的球形电容器的电容值为何？
答：由高斯定理和导体的静电平衡条件知，金属球壳B的内表面带电-q，外表面有电荷 Q+q，按电容器电容的定义得,
5．一空气平行板电容器接电源后，极板上的电荷面密度为±σ，在保持与电源接通的情况下，将相对介电常数为εr的各向同性均匀介质充满两极板之间，问板间场强E、电压U、电容C、电容器能量W如何变化（忽略边缘效应）？若与电源断开，情况如何？
答：与电源接通时：
板间电压U不变；由知，场强E不变；，故电容增大为原来的εr倍；电容器能量W=，故能量亦增大为原来的εr倍
与电源断开时：板上电荷±σ不变，板间场强，故场强减少为原来的；U=Ed，板间电压亦减少为原来的；电容增大为原来的倍；电容器能量，故能量减少为原来的。
6,已知电荷面密度为σ的无限大均匀带电平板，两侧场强为，这个公式对有限大的均匀带电面两侧紧邻处的场强也成立。又已知静电平衡的导体表面某处面电荷密度为σ，在表面外紧靠该处的场强等于，说明为什么前者比后者小一半？
解：设导体表面dS处面电荷密度为σ，则这一小面元上的电荷在其两侧紧邻处的场强如图所示。
除上述小面电荷外，导体上其它电荷在dS两侧紧邻处的场强为及′，且因为dS很小，可认为在其附近其它电荷的电场均匀，即
(2)
据电场迭加原理，导体外紧邻dS处的场强
(3)
导体内紧邻dS处的场强
由于导体静电平衡则应有
则 （4）
将（1）（2）（4）代入（3）得这就是导体表面外紧邻处的电场强度，其大小为，其方向沿该处导体表面外法向。比无限大均匀带电平板两侧场强大一倍。
在一不带电的金属球旁，有一点电荷+q，金属球半径为R，求
（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势U；
（2）若将金属球接地，球上的净电荷为何？已知+q与金属球心间距离为r。
（选题目的：导体静电感应的感应电荷的计算及其电场的计算）
解：（1）设金属球上的感应电荷为，球心O点的场强为的电场和点电荷q 的电场的迭加，即
据静电平衡条件金属球内场强处处为零，即，若如图坐标，原点为O，则
因为分布在金属球表面上，它在球心处的电势
点电荷q在O的电势
据电势迭加原理，球心处的电势
(2)若将金属球接地，设球上有净电荷q1，这时金属球的电势应为零，即，由电势迭加原理，金属球的电势
解得,
8．A、B为靠得很近的两块平行的大金属板，板的面积为S，板间距为d，使A、B板分别带电为qA、qB，且qA>qB。求：
A板内侧的带电量；（2）两板间的电势差。
解：（1）设A、B板的两侧面分别带电q1、q2、q3、q4，忽略边缘效应。据导体静电平衡条件，有
得 ①
又有
得 ②
由电荷守恒有 ③
④
联立解以上四式得
解以上四式还可得
两带电平板间为均匀电场，电场强度
两板间电势差
9．带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内外半径为R2、R3。
（1）把球壳接地后再绝缘，求球壳的电荷及球壳内外电势分布；
（2）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。
解：（1）把外球壳接地，则q外=0，q内=-q。求电势分布：
（2）把内球接地，电荷重新分布，设各表面分别带电荷。在外球壳内部场强处处为零，取高斯面S，则。由高斯定理知S面内包含的净电荷必为零，即
①
由电荷守恒知
②
由于内球接地，内球电势U1=0，但从电荷分布求得
据给出
③
解①、②、③得内球带电荷为
外球壳外表面带电荷为
外球壳的电势
总结：求解、讨论有导体存在时的静电学问题的理论依据
（1）静电场中的高斯定理。
（2）导体的静电平衡条件。
（3）电荷守恒定律。
10.平行板电容器，极板面积为S，板间距为d。相对介电常数分别为的两种电介质各充满板间的一半，
（1）此电容器带电后，两介质所对的极板上自由电荷面密度是否相等？
（2）此时介质内的是否相等？
（3）此电容器的电容多大？
（选题目的：有介质时电场及电容的计算）
解：（1）设两介质所对的极板上的电荷面密度分别为±σ1和±σ2。两极板都是导体，故每个极板各处电势相等，因而电容器两部分极板间的电势差相等，即
由此得
对于平行板电场
由给出
（2）对平行板电场有
（3）两部分的电容分别是
由于并联，所以总电容
11．图示为一空气平行板电容器，上极板固定，下极板悬空。极板面积为S，板间距为d，极板质量为m。问当电容器两极板间加多大电压时，下极板才能保持平衡？（忽略边缘效应）（选题目的：平行板电容器的计算）
解：设电容器极板带电Q，则下极板受电力为
(1)
由平衡条件，有 (2)
由（1）、（2）可得
两极板间场强为
两极板间电压为
补充习题
1．半径分别为R1和R2（R1>R2）的两个同心导体薄球壳，分别带电量Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电，求相连后导体球所带电量。
两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势，计算变为等势体的过程中，静电力所作的功。
两块“无限大”平行平面带电导体板，证明：静电平衡时
（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反；
（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同。
两导体球A、B，半径分别为R1=0.5m,R2=1.0m,中间以导线连接,两球外分别包以内半径为R=1.2m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地,导体间的介质均为空气。已知：空气的击穿场强为3×106V/m，今使A、B两球所带电量逐渐增加，计算：
1)此系统何处首先被击穿？
2)击穿时两球所带的总电量Q为多 少？（设导线本身不带电，且对电场无影响）
半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：
(1)每个球上分配到的电荷是多少？
(2)按电容定义式，计算此系统的电容。
如图所示，一内半径a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无穷远处为电势零点，求：
(1)球壳内外表面上的电荷；
(2)球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；
(3)球心O点处的电势。
空气中有一半径为R的孤立导体球，令无限远处电势为零，试计算：
(1)该导体球的电容；
(2)球上所带电荷为Q时储存的静电能；
(3)若空气的击穿场强为Eg，导体球上能储存的最大电荷值。
如图所示，三个“无限长“的同轴导体圆柱面A、B、C，半径分别为Ra、Rb、Rc，圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内外表面上电荷线密度、?之比值 。
如图示，两个同心导体球壳，其间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空，内球壳半径为R1，带电量为Q1，外球壳内、外半径分别R2和R3，带电量为Q2，
（1）求整个空间的电场强度的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线；
（2）求电介质中电场能量的表达式。
如图示一电容器由三片面积均为S=6.0cm2的金属箔组成，相邻两箔间的距离都是d=0.10mm，外面两箔片联在一起为一极，中间箔片作为另一极。
（1）求电容C；
（2）当在这电容器上加U=220V电压时，三箔片上的电荷面密度各是多少？
两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R（d?R），导线上电荷线密度分别为+?和-?，求该导体组单位长度的电容。
设想电荷Q在真空中均匀分布在一半径为R的球体内，求这电荷分布的电场能量。
