第六章 狭义相对论基础
§1.力学相对性原理和伽里略变换一.力学相对性原理
原理：牛顿力学规律在一切惯性系中形式相同，或一切惯性系对力学规律平权。
二,伽里略变换
运动描述的相对性和力学规律的普适性，要求给出不同惯性系对同一对象描述的力学量间的变换关系，以与力学相对性原理在理论上自洽 。
伽里略变换式是在牛顿绝对时空观基础上给出的时空坐标变换关系式。
事件的时空坐标：每个参考系中各有静止于其中的尺度和一系列的同步钟，某一事件发生的时空坐标就用该参考系中的尺和当地钟测量。
设S'系相对S系以u沿x轴匀速运动,两参考系的y与y'、z与z'轴平行，x与x'轴重合，t = t' =0时，
原点 O、O'重合。
对事件P，其在S'系和S系中的时空坐标间变换关系如下,x '= x- ut
y' = y
z' = z
t' = t
上述一组变换式称为伽里略变换式.显然，这是认为时间和长度的测量与参考系（运动）无关，即绝对时空观的结果。
由此还可导出质点速度间的变换关系：
该式称为伽里略速度相加定理。
讨论,设S系为惯性系，对其中的质点有
S'系为另一惯性系，由伽里略变换知，其中质点的加速度 ,牛顿力学观点：质量和力与参考系(运动）无关，即 ,故在S'系中有
伽里略变换与牛顿定律的不变性相协调，亦即与由牛顿定律导出的力学规律的不变性相协调。
由于牛顿力学的巨大成功和伽里略变换与力学相对性原理相自洽，使人们对伽里略变换赖以成立的绝对时空观深信不疑，到19世纪末、它才遇到了严重的挑战。
§2，狭义相对论的基本假设
一,伽里略变换的困难
19世纪中叶电磁学已发展为完整的理论体系，其基本方程为麦克斯韦方程组，由方程组出发可以导出电磁波的波动方程，并求得真空中电磁波的传播速度为
=3×108 m/s,此即真空中光速。
问题：1）此c是在什么参考系中测量？如果存在这个特殊的参考系（以太参考系），由伽里略变换，通过测量其他参考系中的光速就可确定该参考系的运动,
2）电磁学规律在伽里略变换下不满足相对性原理。
理性思考：取舍？物理学的基本规律应当具有普适性－满足相对性原理，伽里略变换应舍弃？ 实验：测光速，确定相对以太的运动,
代表性实验：迈克尔孙－莫雷实验（1887年作）。
结论：光速的测量不满足伽里略变换。 对光学（电磁学）规律亦不存在特殊的参考系，由光学（电磁学）实验不能确定所在参考系的速度。
理性与实验观测两方面迫使人们怀疑伽氏变换和绝对时空观，在当时物理学界引起极大震动。
二.爱因斯坦的狭义相对论基本假设
1.一切物理学的基本规律（无论力学的、电磁学的、光学的···）在所有惯性系中形式相同，即所有惯性系对一切物理规律平权 － 爱因斯坦相对性原理。
2.真空中光的速率与发射体的运动无关，在所有惯性系中均同为C －光速不变原理。
爱因斯坦的两个假设是对绝对时空观的彻底否定，由此导出的一系列结论，引起了物理学的一次大革命，把物理学由经典物理带入了近代物理的相对论世界。
§3,同时性的相对性
狭义相对论的基本假设的直接结果就是时间、空间的相对性，即时间和长度的测量和参考系（运动）有关。
一.同时性的相对性
爱因斯坦的思想实验：火车相对地面以u高速行驶,设地面为S系（惯性系），火车为S'系 。
S'系中两固定点A'、B'，其中点M'处发闪光，
事件1：闪光（自M'向左）到达A'
事件2：闪光（自M'向右）到达B'
S'系中测量,
光速为C，M'A'、M'B'等距，两事件同时发生，即 t1' = t2'
S中测量，结论如何？
闪光自M' 传向（左）A'，自M' 传向（右）B'的速率仍然均为C！，但是在光传播过程中，A'随车迎向闪光运动，B'却顺着闪光光路运动，因此 闪光先到达A'，而后到达B'，即事件1先发生，有
t1〈 t2 S S'
A' B'
S系中测量，两事件不再同时发生。当然，这是光速不变原理的结果！
两参考系的运动是相对的，上述结论也具有相对性。
2）S系中两固定点A、B，其中点M处发闪光，
事件1：闪光（自M向左）到达A
事件2：闪光（自M向右）到达B
类前分析:
S系中测量：两事件同时发生，即
t1 = t2
S'系中测量,S系以 -u运动，B随S向左迎向闪光运动，而A则顺着闪光光路运动，因此事件2先发生，有
t2' < t1'
两事件不再同时!
结论：对两相对运动的惯性系，
如在其中一惯性系中测量两事件在不同地点同时发生，则在另一惯性系中测量两事件不同时，而是处于前一惯性系运动后方的事件先发生.这一结论称为同时性的相对性。
*讨论：若一惯性系中同时发生的两事件,
下面定量的具体讨论在S惯性系中两个事件的时间间隔，在S'惯性系中时间间隔是多少。
设S'惯性系相对于惯性系S，具有沿x轴方向的速度v，在S'系的原点上有一光源，其上方d处有一反光镜，如图所示：
事件1：光源发光，
时间2：发出去的光经过反光镜的反射，回到光源，即原点。
在S'惯性系中看到的两事件的时间间隔是：
在S惯性系中看到的光线所走的路径为
在S惯性系中看到的两事件的时间间隔是:
由此式可以解出，
与的关系为。
说明：
在S'惯性系中看到的两个事件的时间间隔与在S惯性系中看到的同样的两个事件的时间间隔不相同。
，说明是所有时间间隔中最小的，因为这个时间间隔可以用单钟测量，或者说在同S'系中的同一点测量。这个时间间隔比较特殊，称为固有时。
二．长度测量的相对性
和同时性的相对性紧密联系的就是长度测量的相对性.
仍假设S'惯性系相对于S惯性系，具有x方向的速度u。有一根棒AB固定在S'系中，在S系中测量它的长度l，我们假定在某一时刻，B端经过。由于棒的速度为u，在时刻，A端经过，这时B端所在位置为。所以在S系中棒长为。
在S'系中测棒的长度
B端经过的时刻为，在时刻，A端经过。所以在S'系中测得的棒的长度为。
和都是指同样两个事件之间的时间间隔，根据时间延缓的关系，有
可以得到
这就时尺缩效应。
说明：
在不同惯性系中测得的长度不一定相同。
棒静止时测得的长度最长，称为固有长度。
§4.洛仑兹变换
从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测量的时空坐标间的变换关系。
洛仑兹变换式的导出
设S，S'两个惯性系，S'以速度u相对与S运动，二者原点在t＝t'＝0时重合。在空间P点发生一个事件。
在S'系中测量：事件发生的时刻为t'，发生的位置为x'，y'，z'。
在S系中测量：事件发生的时刻为t，发生的位置为x，y，z。
如图:根据长度收缩,有或.
下面求时间的变换公式：
x'表示为：
得到：。
垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。
最后导出洛仑兹变换式为：
x’=γ(x-ut) x =γ(x’+ut’)
y’=y 和 y=y’
z’=z z=z’
t’ =γ(t-u x/c2) t =γ(t’+u x’/c2)
其中
左侧一组公式为正变换，右侧一组的为逆变换,两者的差异除变换量互换外，还需将u→-u 。
说明：
1）公式满足对应原理，即当u<<c时，γ→1，洛仑兹变换→伽里略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。
2）变换式体现了时空和运动有关，时间、空间紧密相连，两者构成统一的四维时空。
3）只有当u<c 时，变换才有意义。即存在极限速率c，一切实物的运动速率均小于c 。
例题1：S‘系相对S系以u = 0.6c运动。有两个事件，在S系中测量：x1=0,t1=0 ；x2=3000m，t2=4╳10-6s,求S’系中测量的相应时空坐标。
解：由已知 ，代入洛仑兹变换式，得 x1’=γ（x 1-ut1）= 0
t1’=γ（t1-ux1/c2）= 0
x 2’=γ（x 2-ut2）= 2.85 ╳ 103m
t2’= γ（t2-u x 2/c2）= -2.5╳10-6 s
*S‘系中测量 t2‘（负值）〈 t1’（零），表明其中事件的时间顺序与S系中的相比发生了颠倒。
例题2:前Eeinstein思想实验中,设火车参考系中两固定点的间距A’B’=2L,火车速率u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测量,中点M’发出的闪光到达A’,B’所需的时间.
解：设发闪光为事件0，闪光到达A’为事件1，到达B’为事件2，由题设，
S’系中：x2’-x0’=L,x1’-x0’= -L,而向B’传播的光速为c，向A’传播的光速为-c,故t2’-t0’=
t1’-t0’=L/c，由洛仑兹变换，在S系中，
t2-t0=γ(t2’+ux2’/c2)-γ(t0’+ux0’/c2)
=γ(Δt20’+uΔx20’/c2)
=1.25(L/c+0.6L/c)=2L/c
同理，t1-t0=γ(Δt10’+uΔx10’/c2)
=1.25[L/c+0.6(-L)/c]
=0.5L/c
二.时序和因果律一般情况下，两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同，甚至可能发生时序颠倒（如前节例1）。但是，如果两事件间有因果关系，则时序永不可能颠倒。因为由洛仑兹变换
△t’ =γ(△t-u△x/c2)=
=γ△t{1-(△x/△t)(u/c2)}
当两事件间有因果关系时，△x/△t 代表其间物理过程进行速度或信号运动速度，它不可能大于c,而u<c，故(△x/△t)(u/c2)<1,Δt’与△t正负符号相同，即时序不颠倒。
*三.时空不变量
伽里略变换中，时间间隔和空间间隔分别都是不变量；洛仑兹变换中，时间间隔和空间间隔分别都会发生改变。可以证明（课下自己证明）：洛仑兹变换下有
c2 (△t)2-{(△x)2+(△y)2+(△z)2}=
c2(△t’)2-{(△x’)2+(△y’)2+(△z’)2}
令(△S)2＝c2(△t)2-{(△x)2+(△y)2+(z)2}，称△S为两事件的时空间隔，则上式表示时空间隔为洛仑兹不变量。
§6.速度变换由洛仑兹变换可求出两惯性系间速度变换关系。仍设S’系相对S系以速度u沿x轴运动。S系中：质点速度（vx,vy,vz）
S’系中,vx’=dx’/dt’=(dx’/dt)(dt/dt’)
={γ（dx/dt –u）}/{γ(1-u dx/(c2dt)}
=(vx-u)/(1- vxu/c2)
vy’=dy’/dt’ =(dy/dt)(dt/dt’)
= vy /{γ(1- vxu/c2)
同理 vz’ = vz /{γ(1- vxu/c2)
重新整理如下：
低速情况下上述公式变为伽里略速度相加关系,vx’=vx-u vy’=vy vz’=vz
逆变换：变换量互换，且u→-u 。
例题1：S’系中:光沿y轴传播，即vx’=0,vy’=c
vz’=0,求S系中的光速。
解：由逆变换公式，有
vx=(0+u)/ (1+0)=u vy=c,vz=0
其速度方向发生改变，但速率的平方v2=vx2+vy2+vz2=u2+(1-u2/c2)c2= c2,光速仍为c，符合光速不变原理。
例题2：一飞船以0.6c的速率向东飞行，另一不明飞行物以0.8c的速率向西飞行，在宇航员看来，该不明飞行物的速度如何？
解：设由西向东为x轴,由题设 u=0.6c
v=vx= -0.8c 代入速度变换式，有
vy’=vz’=0.
注意：从地面测量，二者相互接近的速度仍为1.4c 。
第二部分 相对论动力学高速运动时动力学概念如何发展？考虑问题的基本出发点：1）基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变；2）低速下应回到牛顿力学。
基本规律：守恒定律（动量守恒，能量守恒，质量守恒…）
§7.相对论性质量和动量质量和动量保留动量和力的定义,p = mv,F=d(mv)/dt
问题的提出：若力F持续作用 → p→增大，且可→∞，但速率值有上限，v→c,故只能质量m随v而增大，且当v→c时，m应→∞。由于空间的各向同性，质量只是速率的函数，设为m(v)，m(v)的形式？
在S'系中有一粒子M，原来静止于原点O'，在某时刻此粒子分裂为完全相同的A和B，分别沿x'轴的正方向和反方向运动。A和Ｂ的速率应该相等，设为u。
参考系S以u的速度沿x'的反方向运动。在此参考系中A是静止的，而B是运动的。我们以，分别表示二者的质量。由于O'的速度为u，所以根据相对论速度变换，S系中观察B的速度为
方向沿x轴正向。
根据动量守恒
在S参考系中假定粒子在分裂前后质量守恒，即。则
在S系中不再等于
利用
得：
这个公式说明：在S'系中看到的质量相同的两个物体在S系中测量的质量不同。由于在S'系中A，B是静止的，它们的质量叫静止质量，以m0表示。在S系中，以速率v运动的物体的质量为
通常称为相对论性质量。
而粒子动量 称为相对论性动量。
当v<<c,γ→1,p=m0v∝v 回到了牛顿力学情况。
二.狭义相对论运动方程因为相对论质量随速率而变，其运动方程为
F=d(mv)/dt=mdv/dt+vdm/dt
=ma+vdm/dt
一般情况下a≠F/m,即m=γm0不再是惯性的量度。
低速时，m=m0，dm/dt =0，回到牛顿定律。
特例：若，即，这表明动量（因而速度）只改变方向，不改变大小，故dm/dt =0，有 ,高速情况下的运动和牛顿力学的情况相同（仅需以相对论性质量代入相关公式即可）。运动电荷受磁力作用时即属于此。因此，当电荷以垂直于磁场的初速度进入磁场时，电荷将作圆周运动，其半径R=mv/qB,式中的m应是相对论性质量。因此通过测定已知q,v,B的电荷的运动半径R，可以测定粒子的质量m。1909年布歇恩按此法实验，验证了相对论性质量式的正确性。
§8,相对论性能量相对论动能牛顿力学中动能Ek=(1/2)mv2,高速时Ek=?
保留动能定理，由此导出相对论性动能。
设粒子初静止，质量m0，力F作用，有
由 ，平方后微分可得：
mvdv+v2dm=c2dm,代入上式，有
当速率由0→v，质量由m→m0,积分上式，得粒子动能 Ek= m c2- m0c2
即 形式和牛顿力学截然不同。
实验验证：带电粒子在电场中加速，得到的动能Ek=qU(U为加速电压),通过测q，U可测Ek，再测定粒子速率 v，画出Ek～v曲线，与上述关系吻合。
低速时，由台劳公式展开并略去高阶小量，有
则 Ek=(1+v2/2c2-1)m0c2=(1/2)m0v2,与牛顿力学的结果一致。
二．相对论能量讨论 Ek=mc2-m0c2的物理内涵。右侧两项均为能量量纲，爱因斯坦称
E0=m0c2 …… 静止能量（简称静能）
E=mc2=γm0c2……相对论总能量（动能及静能之和）。
内涵：1）宏观静止的物体具有能量－内部结构各层次粒子的能量的总和。
2）∵E=mc2 ∴能量守恒和质量守恒统一（同时满足），相对论性质量可以认为是能量的量度。粒子物理中常使用粒子质量为××Mev的说法。
数据例：电子静能
E0=9.1×10-31×(3×108)2/1.6×10-19=0.511Mev
重要意义：对孤立系统 Ek+m0c2=常量（能量守恒），在经过一过程后，应满足△Ek=(-△m0)c2 。重核裂变、轻核聚变后静止质量均减少，相应释放出巨大的动能，此即为核能。相对论为人类开辟了可谓取之不尽的新能源。
例如，太阳每时每刻进行着热核反应（聚变），释放的核能以热辐射的形式放出。由地面接收到的太阳辐射为1.7×103w/m2,可以推知太阳的辐射功率dE/dt为4.9×1026w，并计算出太阳质量的年损失量为△m =1.7×1017kg 。
例题1：北京正负电子对撞机中电子动能Ek=2.8×109ev,求电子速率v 。
解：∵Ek>>m0c2 (0.511×106ev)
∴Ek≈mc2=
得 c2-v2=(m0c2/ Ek)2c2
又v∽c,故 c2-v2=(c+v)(c-v)≈2c(c-v)
求得 c-v=(1/2)(m0c2/ Ek)2c = 5 m/s
例题2：两全同粒子，静止质量为m0，以相等速率v相向而行，碰后复合，求碰后复合粒子的速度和质量。
解：系统动量、能量均守恒，有
MV=mv+m(-v)=0
Mc2=2mc2
解出 V=0,。
注意：此处M＝M0>2m0,损失的动能转换成静能，静止质量增大。
相对论动量能量关系由p = mv，E=mc2和，各式平方后运算，可导出关系式
E2=c2p2+m02c4
此即为相对论动量能量公式。
特例：1）Ek<<m0c2,E2≈2 Ek m0c2+ m02c4,
Ek ≈p2/2m0 … 牛顿力学结果。
2）高速且 v∽c,Ek>>m0c2,E ＝cp,光子和高能粒子均可按此计算。
如：频率为ν的光子，由量子论其能量E=hν,由相对论 p= E/c＝ hν/c=h/λ。光子的静止质量m0＝0 。
一、基本要求
１．掌握洛仑兹坐标变换及狭义相对论的时空观。
２．理解狭义相对论的两个基本假设。
３．理解洛仑兹速度变换式。
４．理解相对论质量、动量、能量及动能等概念。
５．了解伽里略坐标变换及牛顿的绝对时空论。
二、知识系统图
例题
１．讨论以下观点是否正确，并说明原因。
（１）以匀速飞离地球的飞船向着地球发出的光信号相对地球的速率为。
（２）在某一惯性系中，两个同时发生的事件，在其他惯性系肯定不同时。
（３）在某一惯性系中，两个不同时发生的事件，总能找到另一惯性系使之同时发生。
（４）在某一惯性系中，两个不同地发生的事件，总能找到另一惯性系使之同地发生。解：选题目的 灵活运用光速不变原理，理解狭义相对论时空观。
（1）错误。
根据光速不变原理，光信号相对于任何惯性系的速率均为。
（2）错误。
设在S系中，由洛仑兹变换，可见要使两事件在S(系中不同时，需要满足。即S系中同时同地的两事件或在垂直于x轴平面上同时发生的两事件在其他惯性系中都是同时发生的。
（3）错误。
由洛仑兹变换，因S系中不同时，即，而要求在S(系中同时，且有，而总小于光速，所以(。因此只有在S系中满足(，即两事件无因果关系，才能找到另一惯性系使之同时发生。
（4）错误。
由洛仑兹变换，因S系中不同地，而要求在S(系中同地，则必须有，且有，而总小于光速，所以(。因此只有在S系满足(，即两事件可能有因果关系才能找到另一惯性系使之同地发生。
２．（１）有人说：相对S系以匀速率沿x向运动的棒；用洛仑兹变换，令，所以，即运动长度比静长要长。
（２）有人说：相对S系以匀速率沿x向运动的钟A，用洛仑兹变换,，令，所以，即动钟变快了。对以上问题你认为如何？
解：
（1）选题目的 明确固有长度（原长）的概念。
原长或静长是相对棒静止的观察者测得的长度，由于棒静止，其两端坐标值无论同时与不同时测量结果都一样。当棒相对于观察者运动时要求同时记录棒两端坐标值，其差作为棒的运动长度。本题中为S系测得的运动长度这就要求同时记录棒两端坐标值，即，但原题令，根据同时的相对性一定不为零，所以不是运动长度。正确的推导应求与对应的作为棒的运动长度，用洛仑兹变换,
，由于，得，即运动长度比静长要短。
（2）选题目的：明确时间测量的相对性，会判断原时。
同一地点先后发生两个事件，相对于该地点静止的钟测得的时间间隔为原时，即相对于钟A静止的S(系中，有，其为原时。但原题令，根据洛仑兹变换不为零，所以不是原时。正确的推导应求与对应的作为原时，用洛仑兹变换,，由于，得，即动钟变慢了。
３．一粒子静质量为，以运动，所以粒子质量为动能
，以上结论是否正确？
答：选题目的：明确相对论动能与质量概念。
不正确。
狭义相对论的动能不能表示为，应为
4．两个静止质量都是的小球，其中一个静止，另一个以运动。它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
解：选题目的 明确相对论动量和能量守恒定律与非相对论守恒定律的区别。
对两个小球的系统，碰撞前后能量守恒
式中为碰后合成小球的总质量。
此系统碰撞前后动量也守恒，式中为碰后合成小球的速度。将
代入,得
再由 可得
5．火车以恒定速度通过隧道，火车和隧道的静长都为。从地面上看，当火车的前端b到达隧道的B端同时，有一道闪电击中隧道的A端，如图所示。试问此闪电能否在火车的末端a留下痕迹？
解：选题目的 明确原长与运动长度的关系及同时性的相对性。
在地面参照系S中，火车是运动的，长度缩短为运动长度(。即当火车的前端b到达隧道的B端时，火车的末端a已进入隧道内，所以隧道A端的闪电不会在火车的末端a留下痕迹。如图（a）。
在火车参照系S(中，如图（b）虽然隧道的长度缩短为运动长度(，但火车的前端b到达隧道的B端这一事件与A端闪电事件不是同时的，而是b端到达B端比闪电击中A端先发生，闪电击中A端时火车的a端已进入隧道内，所以闪电不会在a端留下痕迹。计算如下：
b端到达B端事件与闪电击中A端事件的时间差为：
在此时间差内隧道向左移动的距离为
而当b端到达B端时，由于隧道的缩短火车的a端露在隧道A端外面的长度为
易证(，即隧道的A端向左越过了火车的a端后闪电才发生，当然不能击中火车的a端。
6.地球上的观察者发现一只以的速率向东航行的宇宙飞船将在s后同一个以的速率向西飞行的彗星相撞。（1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。（2）按照他们的钟，还有多长时间允许他们离开原来航线避免碰撞。
解：选题目的 相对论运动学基本概念的应用计算
(1)建立地面参照系S及飞船参照系S(，如图,和分别为飞船与彗星相对地面的速度。为彗星相对飞船的速率，根据洛仑兹变换得
负号表示沿轴负方向。
（2）根据不同思路，可有下列不同解法方法1 开始时飞船经过地面上的位置，与彗星相撞时到达位置，如图，这两个事件在飞船上观察是在同一地点发生的，其时间间隔为原时，地球上测得这两个事件的时间间隔为s，所以
s
方法2 如图，以飞船经过地面上位置为事件1，同时观测到彗星经过地面上位置为事件2，再设飞船和彗星在地面上位置相撞为事件3。从地面上看事件1，2是同时在时刻发生的，而事件3发生在时刻。在飞船参照系看，则这三个事件发生时间分别为。要注意到1，2两事件在飞船参照系中不是同时的，即，而可由飞船中同一时钟给出，其间隔即为所求的时间。已知在地面参照系中。根据洛仑兹变换得
s
7．一宇宙飞船的原长为，以速率相对于地面作匀速直线运动。有个小球从飞船的尾部运动到头部，宇航员测得小球的速度恒为，试分别求出宇航员和地面观察者测得小球由尾部运动到头部所需的时间。有人做了如下解答：
建立地面参照系S及飞船参照系S(，则，同理有：，式中和为地面参照系S测出的飞船长度及小球速度，根据运动长度缩短，再由速度变换，则
你认为以上的计算对吗？
解：选题目的 明确原长的概念及相对论速度变换的计算建立地面参照系S及飞船参照系S(。本题需计算的时间间隔可视为小球从船尾发出与小球到达船头这两个事件的时间间隔。在S(中飞船长度即原长，小球相对于此参照系的速度恒为，则：。（请同学们考虑是否可视为原时？）
但的计算却是错误的。地面参照系S测出的飞船长度为(。在小球运动过程中飞船始终在向前飞行，所以小球从船尾到船头运动的距离比飞船长度要长，对上述两事件应用洛仑兹变换
小球相对地面的速度，地面观察者测得小球由尾部运动到头部所需的时间为
也可直接应用洛仑兹变换求地面参照系的时间为
此解法比前一解法简捷许多，但前一解法物理概念更明确更清楚。
8．已知太阳辐射常数为W(m-2用质能关系讨论太阳质量的流失。
解：选题目的 灵活运用质能关系由得
kg(s-1
m是太阳的半径。一年的质量相对损失率为（太阳质量为kg，一年约s）：
至今太阳只流失了它很小一部分质量（太阳寿命约年），即
%
补充习题在参照系K中，有两个静止质量都是的粒子A和B，分别以速度相向运动，两者碰撞后合在一起成为一个静止质量为的粒子。在求时有一种解答如下：这个解答对否？为什么？
体积为，质量为的立方体沿某一棱的方向相对于观察者A以速度运动。求观察者A测得其密度为多少？
火箭相对于地面以（为真空中光速）的匀速度向上飞离地球。在火箭发射秒钟后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面不动。
在惯性系K中，有两个事件同时发生在x轴上相距为1000m的两点，在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m。求在K′系中测得这两个事件的时间间隔。
§1.力学相对性原理和伽里略变换一.力学相对性原理
原理：牛顿力学规律在一切惯性系中形式相同，或一切惯性系对力学规律平权。
二,伽里略变换
运动描述的相对性和力学规律的普适性，要求给出不同惯性系对同一对象描述的力学量间的变换关系，以与力学相对性原理在理论上自洽 。
伽里略变换式是在牛顿绝对时空观基础上给出的时空坐标变换关系式。
事件的时空坐标：每个参考系中各有静止于其中的尺度和一系列的同步钟，某一事件发生的时空坐标就用该参考系中的尺和当地钟测量。
设S'系相对S系以u沿x轴匀速运动,两参考系的y与y'、z与z'轴平行，x与x'轴重合，t = t' =0时，
原点 O、O'重合。
对事件P，其在S'系和S系中的时空坐标间变换关系如下,x '= x- ut
y' = y
z' = z
t' = t
上述一组变换式称为伽里略变换式.显然，这是认为时间和长度的测量与参考系（运动）无关，即绝对时空观的结果。
由此还可导出质点速度间的变换关系：
该式称为伽里略速度相加定理。
讨论,设S系为惯性系，对其中的质点有
S'系为另一惯性系，由伽里略变换知，其中质点的加速度 ,牛顿力学观点：质量和力与参考系(运动）无关，即 ,故在S'系中有
伽里略变换与牛顿定律的不变性相协调，亦即与由牛顿定律导出的力学规律的不变性相协调。
由于牛顿力学的巨大成功和伽里略变换与力学相对性原理相自洽，使人们对伽里略变换赖以成立的绝对时空观深信不疑，到19世纪末、它才遇到了严重的挑战。
§2，狭义相对论的基本假设
一,伽里略变换的困难
19世纪中叶电磁学已发展为完整的理论体系，其基本方程为麦克斯韦方程组，由方程组出发可以导出电磁波的波动方程，并求得真空中电磁波的传播速度为
=3×108 m/s,此即真空中光速。
问题：1）此c是在什么参考系中测量？如果存在这个特殊的参考系（以太参考系），由伽里略变换，通过测量其他参考系中的光速就可确定该参考系的运动,
2）电磁学规律在伽里略变换下不满足相对性原理。
理性思考：取舍？物理学的基本规律应当具有普适性－满足相对性原理，伽里略变换应舍弃？ 实验：测光速，确定相对以太的运动,
代表性实验：迈克尔孙－莫雷实验（1887年作）。
结论：光速的测量不满足伽里略变换。 对光学（电磁学）规律亦不存在特殊的参考系，由光学（电磁学）实验不能确定所在参考系的速度。
理性与实验观测两方面迫使人们怀疑伽氏变换和绝对时空观，在当时物理学界引起极大震动。
二.爱因斯坦的狭义相对论基本假设
1.一切物理学的基本规律（无论力学的、电磁学的、光学的···）在所有惯性系中形式相同，即所有惯性系对一切物理规律平权 － 爱因斯坦相对性原理。
2.真空中光的速率与发射体的运动无关，在所有惯性系中均同为C －光速不变原理。
爱因斯坦的两个假设是对绝对时空观的彻底否定，由此导出的一系列结论，引起了物理学的一次大革命，把物理学由经典物理带入了近代物理的相对论世界。
§3,同时性的相对性
狭义相对论的基本假设的直接结果就是时间、空间的相对性，即时间和长度的测量和参考系（运动）有关。
一.同时性的相对性
爱因斯坦的思想实验：火车相对地面以u高速行驶,设地面为S系（惯性系），火车为S'系 。
S'系中两固定点A'、B'，其中点M'处发闪光，
事件1：闪光（自M'向左）到达A'
事件2：闪光（自M'向右）到达B'
S'系中测量,
光速为C，M'A'、M'B'等距，两事件同时发生，即 t1' = t2'
S中测量，结论如何？
闪光自M' 传向（左）A'，自M' 传向（右）B'的速率仍然均为C！，但是在光传播过程中，A'随车迎向闪光运动，B'却顺着闪光光路运动，因此 闪光先到达A'，而后到达B'，即事件1先发生，有
t1〈 t2 S S'
A' B'
S系中测量，两事件不再同时发生。当然，这是光速不变原理的结果！
两参考系的运动是相对的，上述结论也具有相对性。
2）S系中两固定点A、B，其中点M处发闪光，
事件1：闪光（自M向左）到达A
事件2：闪光（自M向右）到达B
类前分析:
S系中测量：两事件同时发生，即
t1 = t2
S'系中测量,S系以 -u运动，B随S向左迎向闪光运动，而A则顺着闪光光路运动，因此事件2先发生，有
t2' < t1'
两事件不再同时!
结论：对两相对运动的惯性系，
如在其中一惯性系中测量两事件在不同地点同时发生，则在另一惯性系中测量两事件不同时，而是处于前一惯性系运动后方的事件先发生.这一结论称为同时性的相对性。
*讨论：若一惯性系中同时发生的两事件,
下面定量的具体讨论在S惯性系中两个事件的时间间隔，在S'惯性系中时间间隔是多少。
设S'惯性系相对于惯性系S，具有沿x轴方向的速度v，在S'系的原点上有一光源，其上方d处有一反光镜，如图所示：
事件1：光源发光，
时间2：发出去的光经过反光镜的反射，回到光源，即原点。
在S'惯性系中看到的两事件的时间间隔是：
在S惯性系中看到的光线所走的路径为
在S惯性系中看到的两事件的时间间隔是:
由此式可以解出，
与的关系为。
说明：
在S'惯性系中看到的两个事件的时间间隔与在S惯性系中看到的同样的两个事件的时间间隔不相同。
，说明是所有时间间隔中最小的，因为这个时间间隔可以用单钟测量，或者说在同S'系中的同一点测量。这个时间间隔比较特殊，称为固有时。
二．长度测量的相对性
和同时性的相对性紧密联系的就是长度测量的相对性.
仍假设S'惯性系相对于S惯性系，具有x方向的速度u。有一根棒AB固定在S'系中，在S系中测量它的长度l，我们假定在某一时刻，B端经过。由于棒的速度为u，在时刻，A端经过，这时B端所在位置为。所以在S系中棒长为。
在S'系中测棒的长度
B端经过的时刻为，在时刻，A端经过。所以在S'系中测得的棒的长度为。
和都是指同样两个事件之间的时间间隔，根据时间延缓的关系，有
可以得到
这就时尺缩效应。
说明：
在不同惯性系中测得的长度不一定相同。
棒静止时测得的长度最长，称为固有长度。
§4.洛仑兹变换
从狭义相对论的基本原理出发可得到两惯性系对同一事件测量的时空坐标间的变换关系。
洛仑兹变换式的导出
设S，S'两个惯性系，S'以速度u相对与S运动，二者原点在t＝t'＝0时重合。在空间P点发生一个事件。
在S'系中测量：事件发生的时刻为t'，发生的位置为x'，y'，z'。
在S系中测量：事件发生的时刻为t，发生的位置为x，y，z。
如图:根据长度收缩,有或.
下面求时间的变换公式：
x'表示为：
得到：。
垂直于运动方向的长度与参考系的运动无关。
最后导出洛仑兹变换式为：
x’=γ(x-ut) x =γ(x’+ut’)
y’=y 和 y=y’
z’=z z=z’
t’ =γ(t-u x/c2) t =γ(t’+u x’/c2)
其中
左侧一组公式为正变换，右侧一组的为逆变换,两者的差异除变换量互换外，还需将u→-u 。
说明：
1）公式满足对应原理，即当u<<c时，γ→1，洛仑兹变换→伽里略变换。故伽里略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。
2）变换式体现了时空和运动有关，时间、空间紧密相连，两者构成统一的四维时空。
3）只有当u<c 时，变换才有意义。即存在极限速率c，一切实物的运动速率均小于c 。
例题1：S‘系相对S系以u = 0.6c运动。有两个事件，在S系中测量：x1=0,t1=0 ；x2=3000m，t2=4╳10-6s,求S’系中测量的相应时空坐标。
解：由已知 ，代入洛仑兹变换式，得 x1’=γ（x 1-ut1）= 0
t1’=γ（t1-ux1/c2）= 0
x 2’=γ（x 2-ut2）= 2.85 ╳ 103m
t2’= γ（t2-u x 2/c2）= -2.5╳10-6 s
*S‘系中测量 t2‘（负值）〈 t1’（零），表明其中事件的时间顺序与S系中的相比发生了颠倒。
例题2:前Eeinstein思想实验中,设火车参考系中两固定点的间距A’B’=2L,火车速率u=0.6c,求在火车参考系和地面参考系中测量,中点M’发出的闪光到达A’,B’所需的时间.
解：设发闪光为事件0，闪光到达A’为事件1，到达B’为事件2，由题设，
S’系中：x2’-x0’=L,x1’-x0’= -L,而向B’传播的光速为c，向A’传播的光速为-c,故t2’-t0’=
t1’-t0’=L/c，由洛仑兹变换，在S系中，
t2-t0=γ(t2’+ux2’/c2)-γ(t0’+ux0’/c2)
=γ(Δt20’+uΔx20’/c2)
=1.25(L/c+0.6L/c)=2L/c
同理，t1-t0=γ(Δt10’+uΔx10’/c2)
=1.25[L/c+0.6(-L)/c]
=0.5L/c
二.时序和因果律一般情况下，两事件的时间间隔在不同参考系测量不相同，甚至可能发生时序颠倒（如前节例1）。但是，如果两事件间有因果关系，则时序永不可能颠倒。因为由洛仑兹变换
△t’ =γ(△t-u△x/c2)=
=γ△t{1-(△x/△t)(u/c2)}
当两事件间有因果关系时，△x/△t 代表其间物理过程进行速度或信号运动速度，它不可能大于c,而u<c，故(△x/△t)(u/c2)<1,Δt’与△t正负符号相同，即时序不颠倒。
*三.时空不变量
伽里略变换中，时间间隔和空间间隔分别都是不变量；洛仑兹变换中，时间间隔和空间间隔分别都会发生改变。可以证明（课下自己证明）：洛仑兹变换下有
c2 (△t)2-{(△x)2+(△y)2+(△z)2}=
c2(△t’)2-{(△x’)2+(△y’)2+(△z’)2}
令(△S)2＝c2(△t)2-{(△x)2+(△y)2+(z)2}，称△S为两事件的时空间隔，则上式表示时空间隔为洛仑兹不变量。
§6.速度变换由洛仑兹变换可求出两惯性系间速度变换关系。仍设S’系相对S系以速度u沿x轴运动。S系中：质点速度（vx,vy,vz）
S’系中,vx’=dx’/dt’=(dx’/dt)(dt/dt’)
={γ（dx/dt –u）}/{γ(1-u dx/(c2dt)}
=(vx-u)/(1- vxu/c2)
vy’=dy’/dt’ =(dy/dt)(dt/dt’)
= vy /{γ(1- vxu/c2)
同理 vz’ = vz /{γ(1- vxu/c2)
重新整理如下：
低速情况下上述公式变为伽里略速度相加关系,vx’=vx-u vy’=vy vz’=vz
逆变换：变换量互换，且u→-u 。
例题1：S’系中:光沿y轴传播，即vx’=0,vy’=c
vz’=0,求S系中的光速。
解：由逆变换公式，有
vx=(0+u)/ (1+0)=u vy=c,vz=0
其速度方向发生改变，但速率的平方v2=vx2+vy2+vz2=u2+(1-u2/c2)c2= c2,光速仍为c，符合光速不变原理。
例题2：一飞船以0.6c的速率向东飞行，另一不明飞行物以0.8c的速率向西飞行，在宇航员看来，该不明飞行物的速度如何？
解：设由西向东为x轴,由题设 u=0.6c
v=vx= -0.8c 代入速度变换式，有
vy’=vz’=0.
注意：从地面测量，二者相互接近的速度仍为1.4c 。
第二部分 相对论动力学高速运动时动力学概念如何发展？考虑问题的基本出发点：1）基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变；2）低速下应回到牛顿力学。
基本规律：守恒定律（动量守恒，能量守恒，质量守恒…）
§7.相对论性质量和动量质量和动量保留动量和力的定义,p = mv,F=d(mv)/dt
问题的提出：若力F持续作用 → p→增大，且可→∞，但速率值有上限，v→c,故只能质量m随v而增大，且当v→c时，m应→∞。由于空间的各向同性，质量只是速率的函数，设为m(v)，m(v)的形式？
在S'系中有一粒子M，原来静止于原点O'，在某时刻此粒子分裂为完全相同的A和B，分别沿x'轴的正方向和反方向运动。A和Ｂ的速率应该相等，设为u。
参考系S以u的速度沿x'的反方向运动。在此参考系中A是静止的，而B是运动的。我们以，分别表示二者的质量。由于O'的速度为u，所以根据相对论速度变换，S系中观察B的速度为
方向沿x轴正向。
根据动量守恒
在S参考系中假定粒子在分裂前后质量守恒，即。则
在S系中不再等于
利用
得：
这个公式说明：在S'系中看到的质量相同的两个物体在S系中测量的质量不同。由于在S'系中A，B是静止的，它们的质量叫静止质量，以m0表示。在S系中，以速率v运动的物体的质量为
通常称为相对论性质量。
而粒子动量 称为相对论性动量。
当v<<c,γ→1,p=m0v∝v 回到了牛顿力学情况。
二.狭义相对论运动方程因为相对论质量随速率而变，其运动方程为
F=d(mv)/dt=mdv/dt+vdm/dt
=ma+vdm/dt
一般情况下a≠F/m,即m=γm0不再是惯性的量度。
低速时，m=m0，dm/dt =0，回到牛顿定律。
特例：若，即，这表明动量（因而速度）只改变方向，不改变大小，故dm/dt =0，有 ,高速情况下的运动和牛顿力学的情况相同（仅需以相对论性质量代入相关公式即可）。运动电荷受磁力作用时即属于此。因此，当电荷以垂直于磁场的初速度进入磁场时，电荷将作圆周运动，其半径R=mv/qB,式中的m应是相对论性质量。因此通过测定已知q,v,B的电荷的运动半径R，可以测定粒子的质量m。1909年布歇恩按此法实验，验证了相对论性质量式的正确性。
§8,相对论性能量相对论动能牛顿力学中动能Ek=(1/2)mv2,高速时Ek=?
保留动能定理，由此导出相对论性动能。
设粒子初静止，质量m0，力F作用，有
由 ，平方后微分可得：
mvdv+v2dm=c2dm,代入上式，有
当速率由0→v，质量由m→m0,积分上式，得粒子动能 Ek= m c2- m0c2
即 形式和牛顿力学截然不同。
实验验证：带电粒子在电场中加速，得到的动能Ek=qU(U为加速电压),通过测q，U可测Ek，再测定粒子速率 v，画出Ek～v曲线，与上述关系吻合。
低速时，由台劳公式展开并略去高阶小量，有
则 Ek=(1+v2/2c2-1)m0c2=(1/2)m0v2,与牛顿力学的结果一致。
二．相对论能量讨论 Ek=mc2-m0c2的物理内涵。右侧两项均为能量量纲，爱因斯坦称
E0=m0c2 …… 静止能量（简称静能）
E=mc2=γm0c2……相对论总能量（动能及静能之和）。
内涵：1）宏观静止的物体具有能量－内部结构各层次粒子的能量的总和。
2）∵E=mc2 ∴能量守恒和质量守恒统一（同时满足），相对论性质量可以认为是能量的量度。粒子物理中常使用粒子质量为××Mev的说法。
数据例：电子静能
E0=9.1×10-31×(3×108)2/1.6×10-19=0.511Mev
重要意义：对孤立系统 Ek+m0c2=常量（能量守恒），在经过一过程后，应满足△Ek=(-△m0)c2 。重核裂变、轻核聚变后静止质量均减少，相应释放出巨大的动能，此即为核能。相对论为人类开辟了可谓取之不尽的新能源。
例如，太阳每时每刻进行着热核反应（聚变），释放的核能以热辐射的形式放出。由地面接收到的太阳辐射为1.7×103w/m2,可以推知太阳的辐射功率dE/dt为4.9×1026w，并计算出太阳质量的年损失量为△m =1.7×1017kg 。
例题1：北京正负电子对撞机中电子动能Ek=2.8×109ev,求电子速率v 。
解：∵Ek>>m0c2 (0.511×106ev)
∴Ek≈mc2=
得 c2-v2=(m0c2/ Ek)2c2
又v∽c,故 c2-v2=(c+v)(c-v)≈2c(c-v)
求得 c-v=(1/2)(m0c2/ Ek)2c = 5 m/s
例题2：两全同粒子，静止质量为m0，以相等速率v相向而行，碰后复合，求碰后复合粒子的速度和质量。
解：系统动量、能量均守恒，有
MV=mv+m(-v)=0
Mc2=2mc2
解出 V=0,。
注意：此处M＝M0>2m0,损失的动能转换成静能，静止质量增大。
相对论动量能量关系由p = mv，E=mc2和，各式平方后运算，可导出关系式
E2=c2p2+m02c4
此即为相对论动量能量公式。
特例：1）Ek<<m0c2,E2≈2 Ek m0c2+ m02c4,
Ek ≈p2/2m0 … 牛顿力学结果。
2）高速且 v∽c,Ek>>m0c2,E ＝cp,光子和高能粒子均可按此计算。
如：频率为ν的光子，由量子论其能量E=hν,由相对论 p= E/c＝ hν/c=h/λ。光子的静止质量m0＝0 。
一、基本要求
１．掌握洛仑兹坐标变换及狭义相对论的时空观。
２．理解狭义相对论的两个基本假设。
３．理解洛仑兹速度变换式。
４．理解相对论质量、动量、能量及动能等概念。
５．了解伽里略坐标变换及牛顿的绝对时空论。
二、知识系统图
例题
１．讨论以下观点是否正确，并说明原因。
（１）以匀速飞离地球的飞船向着地球发出的光信号相对地球的速率为。
（２）在某一惯性系中，两个同时发生的事件，在其他惯性系肯定不同时。
（３）在某一惯性系中，两个不同时发生的事件，总能找到另一惯性系使之同时发生。
（４）在某一惯性系中，两个不同地发生的事件，总能找到另一惯性系使之同地发生。解：选题目的 灵活运用光速不变原理，理解狭义相对论时空观。
（1）错误。
根据光速不变原理，光信号相对于任何惯性系的速率均为。
（2）错误。
设在S系中，由洛仑兹变换，可见要使两事件在S(系中不同时，需要满足。即S系中同时同地的两事件或在垂直于x轴平面上同时发生的两事件在其他惯性系中都是同时发生的。
（3）错误。
由洛仑兹变换，因S系中不同时，即，而要求在S(系中同时，且有，而总小于光速，所以(。因此只有在S系中满足(，即两事件无因果关系，才能找到另一惯性系使之同时发生。
（4）错误。
由洛仑兹变换，因S系中不同地，而要求在S(系中同地，则必须有，且有，而总小于光速，所以(。因此只有在S系满足(，即两事件可能有因果关系才能找到另一惯性系使之同地发生。
２．（１）有人说：相对S系以匀速率沿x向运动的棒；用洛仑兹变换，令，所以，即运动长度比静长要长。
（２）有人说：相对S系以匀速率沿x向运动的钟A，用洛仑兹变换,，令，所以，即动钟变快了。对以上问题你认为如何？
解：
（1）选题目的 明确固有长度（原长）的概念。
原长或静长是相对棒静止的观察者测得的长度，由于棒静止，其两端坐标值无论同时与不同时测量结果都一样。当棒相对于观察者运动时要求同时记录棒两端坐标值，其差作为棒的运动长度。本题中为S系测得的运动长度这就要求同时记录棒两端坐标值，即，但原题令，根据同时的相对性一定不为零，所以不是运动长度。正确的推导应求与对应的作为棒的运动长度，用洛仑兹变换,
，由于，得，即运动长度比静长要短。
（2）选题目的：明确时间测量的相对性，会判断原时。
同一地点先后发生两个事件，相对于该地点静止的钟测得的时间间隔为原时，即相对于钟A静止的S(系中，有，其为原时。但原题令，根据洛仑兹变换不为零，所以不是原时。正确的推导应求与对应的作为原时，用洛仑兹变换,，由于，得，即动钟变慢了。
３．一粒子静质量为，以运动，所以粒子质量为动能
，以上结论是否正确？
答：选题目的：明确相对论动能与质量概念。
不正确。
狭义相对论的动能不能表示为，应为
4．两个静止质量都是的小球，其中一个静止，另一个以运动。它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
解：选题目的 明确相对论动量和能量守恒定律与非相对论守恒定律的区别。
对两个小球的系统，碰撞前后能量守恒
式中为碰后合成小球的总质量。
此系统碰撞前后动量也守恒，式中为碰后合成小球的速度。将
代入,得
再由 可得
5．火车以恒定速度通过隧道，火车和隧道的静长都为。从地面上看，当火车的前端b到达隧道的B端同时，有一道闪电击中隧道的A端，如图所示。试问此闪电能否在火车的末端a留下痕迹？
解：选题目的 明确原长与运动长度的关系及同时性的相对性。
在地面参照系S中，火车是运动的，长度缩短为运动长度(。即当火车的前端b到达隧道的B端时，火车的末端a已进入隧道内，所以隧道A端的闪电不会在火车的末端a留下痕迹。如图（a）。
在火车参照系S(中，如图（b）虽然隧道的长度缩短为运动长度(，但火车的前端b到达隧道的B端这一事件与A端闪电事件不是同时的，而是b端到达B端比闪电击中A端先发生，闪电击中A端时火车的a端已进入隧道内，所以闪电不会在a端留下痕迹。计算如下：
b端到达B端事件与闪电击中A端事件的时间差为：
在此时间差内隧道向左移动的距离为
而当b端到达B端时，由于隧道的缩短火车的a端露在隧道A端外面的长度为
易证(，即隧道的A端向左越过了火车的a端后闪电才发生，当然不能击中火车的a端。
6.地球上的观察者发现一只以的速率向东航行的宇宙飞船将在s后同一个以的速率向西飞行的彗星相撞。（1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。（2）按照他们的钟，还有多长时间允许他们离开原来航线避免碰撞。
解：选题目的 相对论运动学基本概念的应用计算
(1)建立地面参照系S及飞船参照系S(，如图,和分别为飞船与彗星相对地面的速度。为彗星相对飞船的速率，根据洛仑兹变换得
负号表示沿轴负方向。
（2）根据不同思路，可有下列不同解法方法1 开始时飞船经过地面上的位置，与彗星相撞时到达位置，如图，这两个事件在飞船上观察是在同一地点发生的，其时间间隔为原时，地球上测得这两个事件的时间间隔为s，所以
s
方法2 如图，以飞船经过地面上位置为事件1，同时观测到彗星经过地面上位置为事件2，再设飞船和彗星在地面上位置相撞为事件3。从地面上看事件1，2是同时在时刻发生的，而事件3发生在时刻。在飞船参照系看，则这三个事件发生时间分别为。要注意到1，2两事件在飞船参照系中不是同时的，即，而可由飞船中同一时钟给出，其间隔即为所求的时间。已知在地面参照系中。根据洛仑兹变换得
s
7．一宇宙飞船的原长为，以速率相对于地面作匀速直线运动。有个小球从飞船的尾部运动到头部，宇航员测得小球的速度恒为，试分别求出宇航员和地面观察者测得小球由尾部运动到头部所需的时间。有人做了如下解答：
建立地面参照系S及飞船参照系S(，则，同理有：，式中和为地面参照系S测出的飞船长度及小球速度，根据运动长度缩短，再由速度变换，则
你认为以上的计算对吗？
解：选题目的 明确原长的概念及相对论速度变换的计算建立地面参照系S及飞船参照系S(。本题需计算的时间间隔可视为小球从船尾发出与小球到达船头这两个事件的时间间隔。在S(中飞船长度即原长，小球相对于此参照系的速度恒为，则：。（请同学们考虑是否可视为原时？）
但的计算却是错误的。地面参照系S测出的飞船长度为(。在小球运动过程中飞船始终在向前飞行，所以小球从船尾到船头运动的距离比飞船长度要长，对上述两事件应用洛仑兹变换
小球相对地面的速度，地面观察者测得小球由尾部运动到头部所需的时间为
也可直接应用洛仑兹变换求地面参照系的时间为
此解法比前一解法简捷许多，但前一解法物理概念更明确更清楚。
8．已知太阳辐射常数为W(m-2用质能关系讨论太阳质量的流失。
解：选题目的 灵活运用质能关系由得
kg(s-1
m是太阳的半径。一年的质量相对损失率为（太阳质量为kg，一年约s）：
至今太阳只流失了它很小一部分质量（太阳寿命约年），即
%
补充习题在参照系K中，有两个静止质量都是的粒子A和B，分别以速度相向运动，两者碰撞后合在一起成为一个静止质量为的粒子。在求时有一种解答如下：这个解答对否？为什么？
体积为，质量为的立方体沿某一棱的方向相对于观察者A以速度运动。求观察者A测得其密度为多少？
火箭相对于地面以（为真空中光速）的匀速度向上飞离地球。在火箭发射秒钟后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面不动。
在惯性系K中，有两个事件同时发生在x轴上相距为1000m的两点，在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m。求在K′系中测得这两个事件的时间间隔。
