第七章 电磁感应
§1 法拉第电磁感应定律电流产生磁场：毕奥－萨伐尔定律变化的磁场在闭合电路中产生电流，即感应电流楞次定律：给出判断感应电流的方法法拉第电磁感应定律：
对一匝线圈有感应电动势
式中的负号反映了感应电动势的方向应用：
（1）选定回路L的正方向。
（2）的方向与回路L的正方向成右手螺旋关系时，为正，反之为负。
（3）若d〉0,则(〈0，表明(的方向与L的正 方向相反；
若d〈0,则( 〉0，表明(的方向与L的正方向相同。
N匝线圈串联：
当每一匝线圈的磁通都是( 时，
法拉第抓住感应电动势，比感应电流更本质。
§2 动生电动势一,动生电动势产生的机理----洛仑兹力
方向,b( a
产生动生电动势的原因,是洛仑兹力
电子在b端集中，建立起来的静电场使电子受到电场力
当时,就达到了平衡状态。
a端电势高，b端电势低，ab相当一个电源。
洛仑兹力正是电源中的非静电力，此非静电场的强度为
二．动生电动势的计算方法由电动势的定义
现在有
式中的 都是 处的 。
对不均匀磁场或导线上各个部分速度不同的情况，利用上式原则上都能求得(动。
§3 感生电动势和感应电场一,感生电动势产生的原因
1861年麦克斯韦（1831-1879）大胆假设“变化的磁场会产生感应电场”。
他提出的感应电场的电力线是闭合的，是一种非静电场。正是这种非静电场产生了感生电动势。
按电动势的普遍定义:
现在有
即感生电动势等于感应电场场强的环流。
按照法拉第电磁感应定律
所以有
（的正方向与L成右手螺旋关系）。
而因为感应电场的电力线是闭合的，
所以有
感应电场与静电场的比较:
产生根源
电荷
变化的磁场
环流
势场
非势场
通量
电力线不闭合
电力线闭合
一般有
感生电动势与感应电场的计算
(方法一.
(方法二.
（有时需设计一个闭合回路）。
§ 4 互感
什么叫互感电动势(
线圈1，2固定不动。
假设线圈1中的电流i1随时间t变化，
在线圈2中产生的感应电动势称为
互感电动势(21。
若周围无铁磁质,则由毕萨定律:
电流i1的磁场正比于i1,
电流i1在线圈2中的全磁通(21也正比于i1,有
-----线圈1对线圈2的互感系数,简称互感。
它取决于两线圈的形状,大小,匝数,相对位置,以及周围磁介质的分布情况。它与电流i1无关。
另外
假设线圈2中的电流i2随时间t变化，在线圈1中产生的互感电动势为 (12。
同理有
------线圈2对线圈1的互感系数。
可以证明
互感的单位(SI制),亨利(H)
§ 5 自感
一个线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的全磁通也会发生变化,线圈内会产生自感电动势。
若无铁磁质,
有 ( ()
L-----线圈的自感系数,简称自感。
它在数值上等于线圈中通有单位电流强度时,通过线圈自身的全磁通的大小。
它取决于线圈的形状,大小,匝数以及周围磁介质的情况,与电流i无关。
自感电动势
自感在数值上也等于线圈中有单位电流变化率时,线圈中产生的自感电动势的大小。
当回路中有自感现象时,应考虑自感电动势 (L。 考虑自感电动势时,通常选电流的方向为回路的正方向,并且假设 (L的方向与正方向一致,由
可以看出，
若di>0,则 (L<0,与正方向相反,阻碍电流的变化;
若di<0,则 (L>0,与正方向相同,也阻碍电流的变化
------所以自感电动势也称为反电动势
自感一般由实验测定，
对简单的情况也可以计算。
计算思路,设i ( B ( ( ( L
§ 6 磁场的能量实验:开关拉开时，灯泡反而闪亮一下。为什么?
通电线圈中储藏着能 量。
从另一角度说是自感电动势作了功。
设拉闸后，dt内通过灯泡的电流为i，则dt内自感电动势作的功为
它也就是自感线圈的磁能:
反过来利用上式，如果知道了磁能，也可以求自感
对一个长直螺线管来说
其磁场是在螺线管内，而且是均匀的，所以单位体积的磁场能量（磁场能量密度）为
（有普遍性）
任意磁场的能量计算公式为
、基本要求
1．掌握楞次定律和法拉第定律，并能熟练地应用这些定律。
2．掌握动生电动势和感生电动势产生的原因和计算方法。
3．了解感生电场的性质。
4．掌握自感、互感现象及其规律，并能计算自感、互感系数。
5．掌握磁场能量的概念和计算磁场能量的方法。
二、知识系统图
例题判断图中导线AC内和导体线圈L内有无感应电动势？
答：(a)导体线圈L以速率v垂直磁感应强度方向运动时，该线圈内的磁通量不发生变化，所以导体线圈L内不产生感应电动势。
（b）因为导线AO与CO中产生的感应电动势方向相反，大小相等，所以导线AC内无感应电动势。
（c）导线AC在磁场中做如图旋转时，洛仑兹力与导线AC垂直，所以导线AC中不产生感应电动势。
（d）导体线圈L在无限长直导线的磁场中做如图旋转时，导体线圈L内的磁通量不发生变化，所以导体线圈L内不产生感应电动势。
（e）因磁场被限制在无限长直圆柱内，柱外无磁场，线圈L内的磁通量为总是零，所以导体线圈L 内不产生感应电动势。
（f）由于线圈采用双头并绕，所以线圈内磁感应强度总是为零，所以线圈L内不产生感应电动势。
2.如图，矩形区域内为均匀稳恒磁场，半圆形闭合导线回路在纸面内绕着轴线O逆时针方向匀角速转动，O点是圆心且恰好落在磁场的边缘上，半圆形闭合导线完全在磁场外时开始记时，图（A）—（D）的函数图象中哪一条属于半圆形导线回路中产生的感应电动势？
答:选COD方向即逆时针方向为回路的正方向。
半圆形闭合导线绕着轴线O旋转一周，分两个阶段考虑，第一阶段，导线OC进入均匀磁场并在其中转动（OD导线在磁场外）。导线OC在均匀磁场中转动并切割磁力线产生动生电动势，因OC上各点角速度不变.速度大小不变,所以OC中产生的动生电动势恒定。导线CD弧也在磁场中转动，弧上任一元段的速度沿该元段的切向，该元段上电荷所受的洛仑兹力()的方向沿径向，与该元段垂直,所以CD 弧上不产生动生电动势。OD段在磁场外运动也不产生动生电动势。总之，在OD导线进入均匀磁场区域之前半圆形线圈内的动生电动势只等于OC 中产生的动生电动势的大小，方向为COD 回路的正方向。在图上为一段平行t 轴的在t 轴上方的线段。第二阶段，当OD 刚进入均匀磁场区时，OC恰退出均匀磁场区，OC不再产生动生电动势，这时OD在均匀磁场中转动并切割磁力线，开始产生动生电动势，OD产生的动生电动势与OC中产生的动生电动势大小相等，但方向恰好相反，所以为负值。CD弧上仍不产生动生电动势，半圆形线圈内的动生电动势在图上为一段平行t轴的在t轴下方的线段。从导线OC刚进入均匀磁场到OD恰离开均匀磁场，半圆形线圈内的动生电动势完成一个周期的变化。综合上述分析可知（A）正确。也可由法拉第电磁感应定律分析，留给同学自己做。
3.均匀磁场被封闭在半径R的无限长圆柱内，磁场随时间变化，有闭合导体线框L1和L2置于图示位置。试问：
（1）L1和L2上各点是否为零？ 感生电场场强Ei是否为零？
（2）L1和L2内有无感应电流？
答：(1) L1上各点不为零，L2上各点为零。
原因是变化的磁场被封闭在无限长圆柱内，柱外无磁场。但L1和L2上各点Ei不为零。因为变化的磁场在其周围空间（管内和管外）都产生感生电场，所以管内和管外各点Ei都不为零。
(2) L1内有感应电流，L2内无感应电流。根据法拉第电磁感应定律，因L1内不为零,所以感应电动势不等于零，有感应电流。 因L2内为零，所以感应电动势等于零，无感应电流。同学也可从感生电场的角度分析。
4.如图无限长直导线中通以稳恒电流I，一段直导线CD与无限长直导线同在纸面内，且互相垂直，CD以平行无限长导线的速度运动，CD长b。CD中的动生电动势可按下面四式计算，试判断正误,
⑴
⑵
⑶
答：（1）不正确。
根据动生电动势公式，本题中指向x轴负方向，即CD直导线中的正电荷所受的洛仑兹力指向x轴负方向，C为正极，D为负极。积分路径取从D到C，积分
结果表示末端电势减始端电势，所以应大于零，而（1）中的前一式的小于
零，所以（1）不正确。错误原因是，CD上取的元段的方向与积分路径取向应相同，
即沿x轴负方向，为统一变量取,<0,而（1）的式中把写作），多了
一个负号，所以积分结果也多一个负号。又从D到C的每个上的都大于零，所以
大于零，而（1）中的小于零，所以（1）不正确。（1）中的后一式正确。
（2）不正确。
（2）中的积分路径取从C到D，表示，而（2）中的后一式写成，所以（2）不正确。（2）中的前一式正确，的方向与积分路径取向相同，即沿x轴正方向，为统一变量取，这里。从C到D的每个上的都小于零，所以小于零，而（2）中的恰小于零。
（3）、（4）都正确。
计算动生电动势，可以从负极积分到正极，也可以从正极积分到负极。两种情况下的取向都与积分路径取向相同，统一变量时，因为dx本身已经包含正、负符号，所以不必在dx之前另加负号；积分结果表示末端电势减始端电势。
5.两条平行的很长的直导线，间距为b，与电源组成闭合回路，如图，已知导线中的电流为I，在I保持不变的情况下将导线间的距离增大，则空间的总磁能将增大；（B）总磁能将减小；
（C）总磁能保持不变；（D）总磁能的变化不确定。
答：（A）正确。
两条导线中电流在周围空间的磁能由计算不方便。但是两条导线组成的线圈有一定的自感系数，线圈中电流的磁场在周围空间的磁能也可用表示。设导线直径为2a，长的一段线圈的自感系数为
单位长度线圈的自感系数和磁能分别为当I保持不变，两导线间距离增大时，即b增大，则Wm增大，磁能增大，所以（A）正确。当两平行直导线通以相反方向的电流时，它们之间的安培力为斥力，他们之间的距离增大时，安培力作正功，磁能应减少，但是磁能却增加了。能量从哪里来？导线间距增大时，导线所包围面积的磁通量增加，根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生感应电动势和感应电流，它们的方向与线圈中原来电流（外电源供给的）的方向相反，使线圈中原来的电流强度减少，但是要保持线圈中电流强度不变，外电源必须作功，外电源多输出的电能转变为磁能。
6．如图,载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MEN 与长直导线共面，且端点M、N的连线与长直导线垂直，半圆环的半径为b，环心O与导线相距a，设半圆环以速度平行长直导线平移，求半圆环内动生电动势的大小和方向，以及M、N两端的电压。
解：选坐标O’xyz
第一法：在载流长直导线的磁场中，导体半圆环MEN 切割磁力线运动，半圆环内产生动生电动势，该电动势用动生电动势公式计算。
把半圆环分成若干元段，任取元段，因元段很小，其上各点的磁感应强度近似相等，根据动生电动势公式
=
=
=
= 。
∵，∴。电动势方向由N指向M。
第二法：若用一条直导线把M、N两点连接起来，构成一个闭合导线圈。当该线圈以速度平行长直导线运动时，线圈内的磁通量保持不变，即,根据法拉第电磁
感应定律，线圈内感应电动势为零。从动生电动势的角度看，导体半圆环和直导线MN都切割磁力线运动，因此它们各自产生动生电动势。又因为线圈内感应电动势为零，所以导体半圆环中的动生电动势等于直导线MN中的动生电动势，但它们方向相反。直导线MN中的动生电动势为
∵，∴，即为半圆环内的动生电动势。
7.如图(a)真空中一长直导线通有电流为常量，t为时间），有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a,矩形导线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b,并且以匀速（方向平行长直导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻矩形框中的感应电动势及方向。
解：在长直导线电流的变化磁场中线框中产生感生电动势，同时矩形导线框的滑动边以匀速（方向平行长直导线）滑动，线框中又有动生电动势产生，矩形框中的感应电动势为两者之和。
第一法,如图(b),选坐标系Oxyz,由磁场变化产生的感应电动势，用法拉第电磁感应定律计算，因为,所以要明确面元的方向。面元的方向规定与其所在回路的正方向成右螺旋关系，因此先规定回路的正方向，选顺时针方向为回路的正方向，这相当给回路选了坐标。与回路的正方向成右螺旋关系的磁感强度，在该回路内的磁通量为正，否则为负。长直导线中的电流产生的磁场在回路内各点的磁感强度与回路的正方向成右螺旋关系，所以回路内的磁通量为正。回路内的磁通量为
顺时针方向。
根据动生电动势公式，滑动边产生的动生电动势为
,逆时针方向。
矩形框中的感应电动势
当>1时，为顺时针方向，当<1时，为逆时针方向。
第二法：因一切电磁感应现象都遵从法拉第电磁感应定律，所以无论感生电动势还是动生电动势都可用公式计算。仍选顺时针方向为回路的正方向，回路所包围面积上的磁通量为
当>1时，为顺时针方向，当<1时，为逆时针方向。
说明：第一法动生电动势和感生电动势概念分明，易于接受，但计算略显麻烦。第二法计算简单，但对电磁感应现象要有比较深刻地理解，才能熟练应用。
8．如图(a)，有被限制在半径R的无限长圆柱内的均匀磁场，磁场的磁感应强度均匀增加。磁场中有一根导体棒CG，且CD=DG=R。求CG棒内的感应电动势。
解：第一法：变化的磁场在其周围产生感生电场，管内感生电场强度，管外感生电场强度负号表示与成左螺旋关系。因B均匀增加，与同方向，按左螺旋关系和的方向分别如图（b）和（c）。在感生电场力作用下棒内正电荷向C端移动，C端出现过剩正电荷，G端出现过剩负电荷。这些过剩电荷在其周围又建立起静电场，当导体内的电荷受到的感生电场力与静电场力达到平衡时，导体内无电荷定向移动，导体棒两端形成稳定的电势差，它等于棒内的感应电动势的大小。因管内、外的感生电场强度不同，所以把棒分成GD和DC两段计算，棒内的感应电动势为
∵ ,
∴
。
C端电势高。
第二法：作辅助线OG、OC，构成三角形回路OGC，由法拉第电磁感应定律求解三角形回中的感应电动势，因感生电场强度与OG、OC垂直，所以OG、OC中不产生感应电动势，三角形回路OGC中的感应电动势由导体棒GC产生。选逆时针方向为三角形回路OGC的正方向，的方向与三角形回路OGC的法线的正方向相反，三角形回路OGC所包围面积上的磁通量为
∵, (见图c),
∴。
三角形回路OGC中的感应电动势为
。C端电势高。
9．如图,同轴电缆是由内、外半径分别为R1和R2的两个无限长的同轴导电薄壁圆筒组成，二筒间充满相对磁导率为的均匀磁介质，求单位长度电缆的自感系数。
解：第一法，由自感系数定义式计算。
设同轴电缆的内筒通以电流I，电流I在无限远处流入外筒，内、外筒形成一个大线圈。这个线圈的面积不易度量，因此磁通量不便计算。若把内筒沿轴向分成若干窄条，沿径向在外筒上取一根窄条与之对应，两根窄条相当两条平行直导线在无限远处闭合，形成一个分线圈。内、外筒间可形成若干个这样的分线圈，这些分线圈的面积相等，只要筒的长度给定，其面积确定，且其面积上的磁通量相等。当电流I变化时，它们中产生的自感电动势也相等，每个线圈相当一个电源，因为各个分线圈的两长直边分别在内、外筒上，所以相当这些分线圈并联，并联后的总电动势即为内、外筒形成的大线圈中的自感电动势，其值与一个分线圈中的自感电动势相等。又因为，无论大线圈还是分线圈中的自感电动势都是电流I引起的，所以两者的相等，因此大线圈的自感系数与一个分线圈的自感系数相等，单位长度大线圈的自感系数与一个单位长度分线圈的自感系数相等，即单位长度电缆的自感系数等于一个单位长度分线圈的自感系数。一个长的分线圈面积上的磁通量为
由自感系数定义式，单位长度电缆的自感系数为
第二法：由磁能公式，求解自感系数。
因内、外筒间存在磁场，故储有磁能，半径r处的磁能密度，半径r厚度dr长的圆筒形体积内储有磁能为
,
长的电缆储存的磁能为
。
单位长度电缆的自感系数为
。
说明：计算芯线为圆筒的同轴电缆的自感系数有两种方法：
1.由自感系数的定义式计算；
2.由磁能公式计算。
当芯线为实心圆柱时，仿芯线为圆筒的作法，把实心圆柱分成若干窄条，外筒也分成若干窄条，实心圆柱上的窄条与外筒上的窄条两两之间构成线圈。这些线圈的面积不相等，其上磁通量也不相同，当电流变化时，产生的自感电动势也不相等。所以用定义式计算困难，通常采用磁能公式计算自感系数。
10.一无限长直导线和一矩形线框，如图(a)放置，他们同在纸面内，彼此绝缘，线框短边与长直导线平行，线框的尺寸如图(a)所示，且求：
(1)直导线和线框的互感系数；
(2)若长直导线中通以电流，求线框中的互感电动势；
（3）若线框中通以电流，求直导线中的互感电动势。
解：（1）选坐标系Oxyz,如图(b)。因长直导线和矩形线框的互感系数相等，即，矩形线框的面积有限大，容易计算其面积上的磁通量，用互感系数定义式可计算其互感系数，所以长直导线的互感系数也就有了。设长直导线中通用以电流I，在矩形线框中坐标x处取dx宽的窄条面元，其上磁通量为：
因为长直载流导线磁场的对称性，矩形DNPE和矩形NHMP面积上的磁通量大小相等，符号相反，互相抵消。矩形HGFM面积上的磁通量，即为矩形DGFE面积上的磁通量。其式为
。
由互感系数定义式
。
（2）长直导线中通以电流，，由互感电动势公式计算线框中的互感电动势。
。
（3）线框中通以电流，仍由互感电动势公式计算直导线中的互感电动势，因为，所以，直导线中的互感电动势为
与线框中的互感电动势相等。
说明：互感系数计算中要充分利用这个关系，选容易计算互感系数的一方计算，如：两无限长直平行导线中间置一导体圆环，三者共面，且导体圆环与两无限长直平行导线相切，并绝缘。计算两无限长直导线形成的无限大线圈与导体圆环的互感系数。
因无限大线圈面积无限大，磁通量不易计算，但导体连环面上的磁通量易于计算，所以设无限长直平行导线中通以电流I，计算导体圆环的互感系数，这也是两无限长直导线形成的无限大线圈的互感系数。
11．两线圈的自感系数分别为L1和L2，它们之间的互感系数为M。
（1）将两线圈顺串联，如图（a）所示，求1端和4端之间的自感系数；
（2）将两线圈反串联，如图（b）所示，求1端和3端之间的自感系数。
解：（1）第一法：用自感系数定义式求解。
设线圈中通以电流I，顺串联时，两线圈中电流方向相同，磁感强度方向相同，顺串联线圈的总磁通量为
。
根据自感系数定义式，1端和4端之间的自感系数
第二法：由磁场能量公式计算。
设线圈中通以电流I，顺串联线圈中的总磁能量为
又设顺串联线圈的自感系数为L，它中的总磁能量也可写作
所以1端和4端之间的自感系数为
第三法：用自感电动势公式计算：
当顺串联线圈中电流变化时，1线圈中产生的自感电动势和互感电动势同方向，2线圈中自感电动势和互感电动势也同方向，且两线圈中的感应电动势方向都相同，顺串联线圈的等效电路如图（c）所示，
顺串联线圈中的总感应电动势为
（2）两线圈反串联时，两线圈中电流产生的磁感应强度方向相反，两线圈中的磁通量的正、负符号的确定容易使同学们发生困惑，但电磁感应现象的本质是产生感应电动势，反串联线圈中的自感电动势和互感电动势在线圈中的方向容易确定。以反串联线圈中电流增加为例,当电流I 增大时，1线圈中产生与电流I 反向的自感电流I11阻止线圈中电流I 的增大，自感电动势与自感电电流I11同方向，由2端指向1端；由于2线圈中的电流I 产生的磁场的磁感强度不仅在2线圈中存在，而且存在于1线圈中，且与1线圈中的电流I 产生的磁场的磁感强度反向。当2线圈中的电流I 增大时，磁感强度增大，1线圈中产生互感电流I12，I12产生的磁感强度阻止的增大，即与反向，与同向，因此1线圈中的互感电流I12与1线圈中的电流I 方向相同。在电源内部电动势的方向与电流的方向相同，所以1线圈中互感电动势的方向与1线圈中的互感电流I12同方向，即与电流I 方向相同，由1端指向2端。1线圈中的自感电动势与互感电动势反向。同理，当电流增大时，2线圈中产生的自感电动势和互感电动势也反向，反串联线圈的等效电路如图(d)。 反串联线圈的自感电动势为
反串联线圈中的自感系数为
补充习题两相互平行无限长的直导线，载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD，与两导线共面且垂直，相对位置如图。CD杆以速度v平行直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断CD的两端哪端电势较高？
均匀磁场被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以T·S-1的匀速率增加，已知cm，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转。在离细杆a端L/5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为，求ab两端间的电势差。
两根平行放置相距为2a的无限长载流直导线，其中一条通以稳恒电流I0，另一根通以交变电流两导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为和2b，边与长直导线平行，且线圈以速度v垂直直导线向右运动（如图）。当线圈运动到两导线的中心位置（即线圈中心线与距两导线均为a的中心线重合）时，两导线中的电流方向恰好相反，且，求此时线圈中的感应电动势。
半径为R的无限长实心圆柱体载有电流I，电流沿轴向流动，并均匀地分布在导体横截面上。一个与导体轴线位于同一平面的宽度为R的单位长度矩形回路绝缘地插在导体内，且矩形回路中心线与导体边线重合（如图，设导体有一个很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布）。
(1)求回路在此位置时与圆柱体的互感系数；
(2)若圆柱导体上流过交变电流，求回路中的感应电动势（回路中的自感忽略不计）。
电量Q均匀分布在半径为a长为L（L>>a）的绝缘薄壁长圆筒状表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半径为2a电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上（如图所示）。若圆筒转速按照的规律(是已知常数）随时间线性地减少，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。
在半径为R的圆柱型空间内，充满磁感应强度为的均匀磁场，的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a>R，如图所示。已知磁感应强度随时间的变化率为dB/dt，求长直导线中的感应电动势，并讨论其方向。
如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈ABC共面放置，三角形高为h,AB边平行于直导线，且与直导线的距离为b，三角形线圈中通有电流，电流的正方向如箭头所示，求直导线中的感生电动势。
用手捏住变压器或电机线圈的两端，在普通手电筒电池的两极接触一下，然后离开，会有强烈的电击感觉,为什么？用万用表检查变压器或电机线圈是否断线时，要注意什么？
§1 法拉第电磁感应定律电流产生磁场：毕奥－萨伐尔定律变化的磁场在闭合电路中产生电流，即感应电流楞次定律：给出判断感应电流的方法法拉第电磁感应定律：
对一匝线圈有感应电动势
式中的负号反映了感应电动势的方向应用：
（1）选定回路L的正方向。
（2）的方向与回路L的正方向成右手螺旋关系时，为正，反之为负。
（3）若d〉0,则(〈0，表明(的方向与L的正 方向相反；
若d〈0,则( 〉0，表明(的方向与L的正方向相同。
N匝线圈串联：
当每一匝线圈的磁通都是( 时，
法拉第抓住感应电动势，比感应电流更本质。
§2 动生电动势一,动生电动势产生的机理----洛仑兹力
方向,b( a
产生动生电动势的原因,是洛仑兹力
电子在b端集中，建立起来的静电场使电子受到电场力
当时,就达到了平衡状态。
a端电势高，b端电势低，ab相当一个电源。
洛仑兹力正是电源中的非静电力，此非静电场的强度为
二．动生电动势的计算方法由电动势的定义
现在有
式中的 都是 处的 。
对不均匀磁场或导线上各个部分速度不同的情况，利用上式原则上都能求得(动。
§3 感生电动势和感应电场一,感生电动势产生的原因
1861年麦克斯韦（1831-1879）大胆假设“变化的磁场会产生感应电场”。
他提出的感应电场的电力线是闭合的，是一种非静电场。正是这种非静电场产生了感生电动势。
按电动势的普遍定义:
现在有
即感生电动势等于感应电场场强的环流。
按照法拉第电磁感应定律
所以有
（的正方向与L成右手螺旋关系）。
而因为感应电场的电力线是闭合的，
所以有
感应电场与静电场的比较:
产生根源
电荷
变化的磁场
环流
势场
非势场
通量
电力线不闭合
电力线闭合
一般有
感生电动势与感应电场的计算
(方法一.
(方法二.
（有时需设计一个闭合回路）。
§ 4 互感
什么叫互感电动势(
线圈1，2固定不动。
假设线圈1中的电流i1随时间t变化，
在线圈2中产生的感应电动势称为
互感电动势(21。
若周围无铁磁质,则由毕萨定律:
电流i1的磁场正比于i1,
电流i1在线圈2中的全磁通(21也正比于i1,有
-----线圈1对线圈2的互感系数,简称互感。
它取决于两线圈的形状,大小,匝数,相对位置,以及周围磁介质的分布情况。它与电流i1无关。
另外
假设线圈2中的电流i2随时间t变化，在线圈1中产生的互感电动势为 (12。
同理有
------线圈2对线圈1的互感系数。
可以证明
互感的单位(SI制),亨利(H)
§ 5 自感
一个线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的全磁通也会发生变化,线圈内会产生自感电动势。
若无铁磁质,
有 ( ()
L-----线圈的自感系数,简称自感。
它在数值上等于线圈中通有单位电流强度时,通过线圈自身的全磁通的大小。
它取决于线圈的形状,大小,匝数以及周围磁介质的情况,与电流i无关。
自感电动势
自感在数值上也等于线圈中有单位电流变化率时,线圈中产生的自感电动势的大小。
当回路中有自感现象时,应考虑自感电动势 (L。 考虑自感电动势时,通常选电流的方向为回路的正方向,并且假设 (L的方向与正方向一致,由
可以看出，
若di>0,则 (L<0,与正方向相反,阻碍电流的变化;
若di<0,则 (L>0,与正方向相同,也阻碍电流的变化
------所以自感电动势也称为反电动势
自感一般由实验测定，
对简单的情况也可以计算。
计算思路,设i ( B ( ( ( L
§ 6 磁场的能量实验:开关拉开时，灯泡反而闪亮一下。为什么?
通电线圈中储藏着能 量。
从另一角度说是自感电动势作了功。
设拉闸后，dt内通过灯泡的电流为i，则dt内自感电动势作的功为
它也就是自感线圈的磁能:
反过来利用上式，如果知道了磁能，也可以求自感
对一个长直螺线管来说
其磁场是在螺线管内，而且是均匀的，所以单位体积的磁场能量（磁场能量密度）为
（有普遍性）
任意磁场的能量计算公式为
、基本要求
1．掌握楞次定律和法拉第定律，并能熟练地应用这些定律。
2．掌握动生电动势和感生电动势产生的原因和计算方法。
3．了解感生电场的性质。
4．掌握自感、互感现象及其规律，并能计算自感、互感系数。
5．掌握磁场能量的概念和计算磁场能量的方法。
二、知识系统图
例题判断图中导线AC内和导体线圈L内有无感应电动势？
答：(a)导体线圈L以速率v垂直磁感应强度方向运动时，该线圈内的磁通量不发生变化，所以导体线圈L内不产生感应电动势。
（b）因为导线AO与CO中产生的感应电动势方向相反，大小相等，所以导线AC内无感应电动势。
（c）导线AC在磁场中做如图旋转时，洛仑兹力与导线AC垂直，所以导线AC中不产生感应电动势。
（d）导体线圈L在无限长直导线的磁场中做如图旋转时，导体线圈L内的磁通量不发生变化，所以导体线圈L内不产生感应电动势。
（e）因磁场被限制在无限长直圆柱内，柱外无磁场，线圈L内的磁通量为总是零，所以导体线圈L 内不产生感应电动势。
（f）由于线圈采用双头并绕，所以线圈内磁感应强度总是为零，所以线圈L内不产生感应电动势。
2.如图，矩形区域内为均匀稳恒磁场，半圆形闭合导线回路在纸面内绕着轴线O逆时针方向匀角速转动，O点是圆心且恰好落在磁场的边缘上，半圆形闭合导线完全在磁场外时开始记时，图（A）—（D）的函数图象中哪一条属于半圆形导线回路中产生的感应电动势？
答:选COD方向即逆时针方向为回路的正方向。
半圆形闭合导线绕着轴线O旋转一周，分两个阶段考虑，第一阶段，导线OC进入均匀磁场并在其中转动（OD导线在磁场外）。导线OC在均匀磁场中转动并切割磁力线产生动生电动势，因OC上各点角速度不变.速度大小不变,所以OC中产生的动生电动势恒定。导线CD弧也在磁场中转动，弧上任一元段的速度沿该元段的切向，该元段上电荷所受的洛仑兹力()的方向沿径向，与该元段垂直,所以CD 弧上不产生动生电动势。OD段在磁场外运动也不产生动生电动势。总之，在OD导线进入均匀磁场区域之前半圆形线圈内的动生电动势只等于OC 中产生的动生电动势的大小，方向为COD 回路的正方向。在图上为一段平行t 轴的在t 轴上方的线段。第二阶段，当OD 刚进入均匀磁场区时，OC恰退出均匀磁场区，OC不再产生动生电动势，这时OD在均匀磁场中转动并切割磁力线，开始产生动生电动势，OD产生的动生电动势与OC中产生的动生电动势大小相等，但方向恰好相反，所以为负值。CD弧上仍不产生动生电动势，半圆形线圈内的动生电动势在图上为一段平行t轴的在t轴下方的线段。从导线OC刚进入均匀磁场到OD恰离开均匀磁场，半圆形线圈内的动生电动势完成一个周期的变化。综合上述分析可知（A）正确。也可由法拉第电磁感应定律分析，留给同学自己做。
3.均匀磁场被封闭在半径R的无限长圆柱内，磁场随时间变化，有闭合导体线框L1和L2置于图示位置。试问：
（1）L1和L2上各点是否为零？ 感生电场场强Ei是否为零？
（2）L1和L2内有无感应电流？
答：(1) L1上各点不为零，L2上各点为零。
原因是变化的磁场被封闭在无限长圆柱内，柱外无磁场。但L1和L2上各点Ei不为零。因为变化的磁场在其周围空间（管内和管外）都产生感生电场，所以管内和管外各点Ei都不为零。
(2) L1内有感应电流，L2内无感应电流。根据法拉第电磁感应定律，因L1内不为零,所以感应电动势不等于零，有感应电流。 因L2内为零，所以感应电动势等于零，无感应电流。同学也可从感生电场的角度分析。
4.如图无限长直导线中通以稳恒电流I，一段直导线CD与无限长直导线同在纸面内，且互相垂直，CD以平行无限长导线的速度运动，CD长b。CD中的动生电动势可按下面四式计算，试判断正误,
⑴
⑵
⑶
答：（1）不正确。
根据动生电动势公式，本题中指向x轴负方向，即CD直导线中的正电荷所受的洛仑兹力指向x轴负方向，C为正极，D为负极。积分路径取从D到C，积分
结果表示末端电势减始端电势，所以应大于零，而（1）中的前一式的小于
零，所以（1）不正确。错误原因是，CD上取的元段的方向与积分路径取向应相同，
即沿x轴负方向，为统一变量取,<0,而（1）的式中把写作），多了
一个负号，所以积分结果也多一个负号。又从D到C的每个上的都大于零，所以
大于零，而（1）中的小于零，所以（1）不正确。（1）中的后一式正确。
（2）不正确。
（2）中的积分路径取从C到D，表示，而（2）中的后一式写成，所以（2）不正确。（2）中的前一式正确，的方向与积分路径取向相同，即沿x轴正方向，为统一变量取，这里。从C到D的每个上的都小于零，所以小于零，而（2）中的恰小于零。
（3）、（4）都正确。
计算动生电动势，可以从负极积分到正极，也可以从正极积分到负极。两种情况下的取向都与积分路径取向相同，统一变量时，因为dx本身已经包含正、负符号，所以不必在dx之前另加负号；积分结果表示末端电势减始端电势。
5.两条平行的很长的直导线，间距为b，与电源组成闭合回路，如图，已知导线中的电流为I，在I保持不变的情况下将导线间的距离增大，则空间的总磁能将增大；（B）总磁能将减小；
（C）总磁能保持不变；（D）总磁能的变化不确定。
答：（A）正确。
两条导线中电流在周围空间的磁能由计算不方便。但是两条导线组成的线圈有一定的自感系数，线圈中电流的磁场在周围空间的磁能也可用表示。设导线直径为2a，长的一段线圈的自感系数为
单位长度线圈的自感系数和磁能分别为当I保持不变，两导线间距离增大时，即b增大，则Wm增大，磁能增大，所以（A）正确。当两平行直导线通以相反方向的电流时，它们之间的安培力为斥力，他们之间的距离增大时，安培力作正功，磁能应减少，但是磁能却增加了。能量从哪里来？导线间距增大时，导线所包围面积的磁通量增加，根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生感应电动势和感应电流，它们的方向与线圈中原来电流（外电源供给的）的方向相反，使线圈中原来的电流强度减少，但是要保持线圈中电流强度不变，外电源必须作功，外电源多输出的电能转变为磁能。
6．如图,载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MEN 与长直导线共面，且端点M、N的连线与长直导线垂直，半圆环的半径为b，环心O与导线相距a，设半圆环以速度平行长直导线平移，求半圆环内动生电动势的大小和方向，以及M、N两端的电压。
解：选坐标O’xyz
第一法：在载流长直导线的磁场中，导体半圆环MEN 切割磁力线运动，半圆环内产生动生电动势，该电动势用动生电动势公式计算。
把半圆环分成若干元段，任取元段，因元段很小，其上各点的磁感应强度近似相等，根据动生电动势公式
=
=
=
= 。
∵，∴。电动势方向由N指向M。
第二法：若用一条直导线把M、N两点连接起来，构成一个闭合导线圈。当该线圈以速度平行长直导线运动时，线圈内的磁通量保持不变，即,根据法拉第电磁
感应定律，线圈内感应电动势为零。从动生电动势的角度看，导体半圆环和直导线MN都切割磁力线运动，因此它们各自产生动生电动势。又因为线圈内感应电动势为零，所以导体半圆环中的动生电动势等于直导线MN中的动生电动势，但它们方向相反。直导线MN中的动生电动势为
∵，∴，即为半圆环内的动生电动势。
7.如图(a)真空中一长直导线通有电流为常量，t为时间），有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a,矩形导线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b,并且以匀速（方向平行长直导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻矩形框中的感应电动势及方向。
解：在长直导线电流的变化磁场中线框中产生感生电动势，同时矩形导线框的滑动边以匀速（方向平行长直导线）滑动，线框中又有动生电动势产生，矩形框中的感应电动势为两者之和。
第一法,如图(b),选坐标系Oxyz,由磁场变化产生的感应电动势，用法拉第电磁感应定律计算，因为,所以要明确面元的方向。面元的方向规定与其所在回路的正方向成右螺旋关系，因此先规定回路的正方向，选顺时针方向为回路的正方向，这相当给回路选了坐标。与回路的正方向成右螺旋关系的磁感强度，在该回路内的磁通量为正，否则为负。长直导线中的电流产生的磁场在回路内各点的磁感强度与回路的正方向成右螺旋关系，所以回路内的磁通量为正。回路内的磁通量为
顺时针方向。
根据动生电动势公式，滑动边产生的动生电动势为
,逆时针方向。
矩形框中的感应电动势
当>1时，为顺时针方向，当<1时，为逆时针方向。
第二法：因一切电磁感应现象都遵从法拉第电磁感应定律，所以无论感生电动势还是动生电动势都可用公式计算。仍选顺时针方向为回路的正方向，回路所包围面积上的磁通量为
当>1时，为顺时针方向，当<1时，为逆时针方向。
说明：第一法动生电动势和感生电动势概念分明，易于接受，但计算略显麻烦。第二法计算简单，但对电磁感应现象要有比较深刻地理解，才能熟练应用。
8．如图(a)，有被限制在半径R的无限长圆柱内的均匀磁场，磁场的磁感应强度均匀增加。磁场中有一根导体棒CG，且CD=DG=R。求CG棒内的感应电动势。
解：第一法：变化的磁场在其周围产生感生电场，管内感生电场强度，管外感生电场强度负号表示与成左螺旋关系。因B均匀增加，与同方向，按左螺旋关系和的方向分别如图（b）和（c）。在感生电场力作用下棒内正电荷向C端移动，C端出现过剩正电荷，G端出现过剩负电荷。这些过剩电荷在其周围又建立起静电场，当导体内的电荷受到的感生电场力与静电场力达到平衡时，导体内无电荷定向移动，导体棒两端形成稳定的电势差，它等于棒内的感应电动势的大小。因管内、外的感生电场强度不同，所以把棒分成GD和DC两段计算，棒内的感应电动势为
∵ ,
∴
。
C端电势高。
第二法：作辅助线OG、OC，构成三角形回路OGC，由法拉第电磁感应定律求解三角形回中的感应电动势，因感生电场强度与OG、OC垂直，所以OG、OC中不产生感应电动势，三角形回路OGC中的感应电动势由导体棒GC产生。选逆时针方向为三角形回路OGC的正方向，的方向与三角形回路OGC的法线的正方向相反，三角形回路OGC所包围面积上的磁通量为
∵, (见图c),
∴。
三角形回路OGC中的感应电动势为
。C端电势高。
9．如图,同轴电缆是由内、外半径分别为R1和R2的两个无限长的同轴导电薄壁圆筒组成，二筒间充满相对磁导率为的均匀磁介质，求单位长度电缆的自感系数。
解：第一法，由自感系数定义式计算。
设同轴电缆的内筒通以电流I，电流I在无限远处流入外筒，内、外筒形成一个大线圈。这个线圈的面积不易度量，因此磁通量不便计算。若把内筒沿轴向分成若干窄条，沿径向在外筒上取一根窄条与之对应，两根窄条相当两条平行直导线在无限远处闭合，形成一个分线圈。内、外筒间可形成若干个这样的分线圈，这些分线圈的面积相等，只要筒的长度给定，其面积确定，且其面积上的磁通量相等。当电流I变化时，它们中产生的自感电动势也相等，每个线圈相当一个电源，因为各个分线圈的两长直边分别在内、外筒上，所以相当这些分线圈并联，并联后的总电动势即为内、外筒形成的大线圈中的自感电动势，其值与一个分线圈中的自感电动势相等。又因为，无论大线圈还是分线圈中的自感电动势都是电流I引起的，所以两者的相等，因此大线圈的自感系数与一个分线圈的自感系数相等，单位长度大线圈的自感系数与一个单位长度分线圈的自感系数相等，即单位长度电缆的自感系数等于一个单位长度分线圈的自感系数。一个长的分线圈面积上的磁通量为
由自感系数定义式，单位长度电缆的自感系数为
第二法：由磁能公式，求解自感系数。
因内、外筒间存在磁场，故储有磁能，半径r处的磁能密度，半径r厚度dr长的圆筒形体积内储有磁能为
,
长的电缆储存的磁能为
。
单位长度电缆的自感系数为
。
说明：计算芯线为圆筒的同轴电缆的自感系数有两种方法：
1.由自感系数的定义式计算；
2.由磁能公式计算。
当芯线为实心圆柱时，仿芯线为圆筒的作法，把实心圆柱分成若干窄条，外筒也分成若干窄条，实心圆柱上的窄条与外筒上的窄条两两之间构成线圈。这些线圈的面积不相等，其上磁通量也不相同，当电流变化时，产生的自感电动势也不相等。所以用定义式计算困难，通常采用磁能公式计算自感系数。
10.一无限长直导线和一矩形线框，如图(a)放置，他们同在纸面内，彼此绝缘，线框短边与长直导线平行，线框的尺寸如图(a)所示，且求：
(1)直导线和线框的互感系数；
(2)若长直导线中通以电流，求线框中的互感电动势；
（3）若线框中通以电流，求直导线中的互感电动势。
解：（1）选坐标系Oxyz,如图(b)。因长直导线和矩形线框的互感系数相等，即，矩形线框的面积有限大，容易计算其面积上的磁通量，用互感系数定义式可计算其互感系数，所以长直导线的互感系数也就有了。设长直导线中通用以电流I，在矩形线框中坐标x处取dx宽的窄条面元，其上磁通量为：
因为长直载流导线磁场的对称性，矩形DNPE和矩形NHMP面积上的磁通量大小相等，符号相反，互相抵消。矩形HGFM面积上的磁通量，即为矩形DGFE面积上的磁通量。其式为
。
由互感系数定义式
。
（2）长直导线中通以电流，，由互感电动势公式计算线框中的互感电动势。
。
（3）线框中通以电流，仍由互感电动势公式计算直导线中的互感电动势，因为，所以，直导线中的互感电动势为
与线框中的互感电动势相等。
说明：互感系数计算中要充分利用这个关系，选容易计算互感系数的一方计算，如：两无限长直平行导线中间置一导体圆环，三者共面，且导体圆环与两无限长直平行导线相切，并绝缘。计算两无限长直导线形成的无限大线圈与导体圆环的互感系数。
因无限大线圈面积无限大，磁通量不易计算，但导体连环面上的磁通量易于计算，所以设无限长直平行导线中通以电流I，计算导体圆环的互感系数，这也是两无限长直导线形成的无限大线圈的互感系数。
11．两线圈的自感系数分别为L1和L2，它们之间的互感系数为M。
（1）将两线圈顺串联，如图（a）所示，求1端和4端之间的自感系数；
（2）将两线圈反串联，如图（b）所示，求1端和3端之间的自感系数。
解：（1）第一法：用自感系数定义式求解。
设线圈中通以电流I，顺串联时，两线圈中电流方向相同，磁感强度方向相同，顺串联线圈的总磁通量为
。
根据自感系数定义式，1端和4端之间的自感系数
第二法：由磁场能量公式计算。
设线圈中通以电流I，顺串联线圈中的总磁能量为
又设顺串联线圈的自感系数为L，它中的总磁能量也可写作
所以1端和4端之间的自感系数为
第三法：用自感电动势公式计算：
当顺串联线圈中电流变化时，1线圈中产生的自感电动势和互感电动势同方向，2线圈中自感电动势和互感电动势也同方向，且两线圈中的感应电动势方向都相同，顺串联线圈的等效电路如图（c）所示，
顺串联线圈中的总感应电动势为
（2）两线圈反串联时，两线圈中电流产生的磁感应强度方向相反，两线圈中的磁通量的正、负符号的确定容易使同学们发生困惑，但电磁感应现象的本质是产生感应电动势，反串联线圈中的自感电动势和互感电动势在线圈中的方向容易确定。以反串联线圈中电流增加为例,当电流I 增大时，1线圈中产生与电流I 反向的自感电流I11阻止线圈中电流I 的增大，自感电动势与自感电电流I11同方向，由2端指向1端；由于2线圈中的电流I 产生的磁场的磁感强度不仅在2线圈中存在，而且存在于1线圈中，且与1线圈中的电流I 产生的磁场的磁感强度反向。当2线圈中的电流I 增大时，磁感强度增大，1线圈中产生互感电流I12，I12产生的磁感强度阻止的增大，即与反向，与同向，因此1线圈中的互感电流I12与1线圈中的电流I 方向相同。在电源内部电动势的方向与电流的方向相同，所以1线圈中互感电动势的方向与1线圈中的互感电流I12同方向，即与电流I 方向相同，由1端指向2端。1线圈中的自感电动势与互感电动势反向。同理，当电流增大时，2线圈中产生的自感电动势和互感电动势也反向，反串联线圈的等效电路如图(d)。 反串联线圈的自感电动势为
反串联线圈中的自感系数为
补充习题两相互平行无限长的直导线，载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD，与两导线共面且垂直，相对位置如图。CD杆以速度v平行直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断CD的两端哪端电势较高？
均匀磁场被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以T·S-1的匀速率增加，已知cm，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转。在离细杆a端L/5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为，求ab两端间的电势差。
两根平行放置相距为2a的无限长载流直导线，其中一条通以稳恒电流I0，另一根通以交变电流两导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为和2b，边与长直导线平行，且线圈以速度v垂直直导线向右运动（如图）。当线圈运动到两导线的中心位置（即线圈中心线与距两导线均为a的中心线重合）时，两导线中的电流方向恰好相反，且，求此时线圈中的感应电动势。
半径为R的无限长实心圆柱体载有电流I，电流沿轴向流动，并均匀地分布在导体横截面上。一个与导体轴线位于同一平面的宽度为R的单位长度矩形回路绝缘地插在导体内，且矩形回路中心线与导体边线重合（如图，设导体有一个很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布）。
(1)求回路在此位置时与圆柱体的互感系数；
(2)若圆柱导体上流过交变电流，求回路中的感应电动势（回路中的自感忽略不计）。
电量Q均匀分布在半径为a长为L（L>>a）的绝缘薄壁长圆筒状表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半径为2a电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上（如图所示）。若圆筒转速按照的规律(是已知常数）随时间线性地减少，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。
在半径为R的圆柱型空间内，充满磁感应强度为的均匀磁场，的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a>R，如图所示。已知磁感应强度随时间的变化率为dB/dt，求长直导线中的感应电动势，并讨论其方向。
如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈ABC共面放置，三角形高为h,AB边平行于直导线，且与直导线的距离为b，三角形线圈中通有电流，电流的正方向如箭头所示，求直导线中的感生电动势。
用手捏住变压器或电机线圈的两端，在普通手电筒电池的两极接触一下，然后离开，会有强烈的电击感觉,为什么？用万用表检查变压器或电机线圈是否断线时，要注意什么？
