第五章 刚体定轴转动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。
刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。
§1 刚体的运动一,刚体的运动形式
1.平动
在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学规律都适用于刚体的平动。
2.转动
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为：
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。（本章着重讨论定轴转动）
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动）。
在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便。
二,刚体转动的描述（运动学问题）
1.定点转动
（1）角量的描述
刚体绕基点O的转动，其转轴是可以改变的。为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量。
式中是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。
规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关系。
为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量
一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。
在定轴转动的情况下，和都只有沿固定转轴的分量，此时可用代数量和来表示角速度和角加速度。设定转轴的取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的和为正量，反之为负量。
（2）线量和角量的关系
刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动，
P点线速度：
P点线加速度：
称作旋转加速度；
称作向轴加速度。
2.定轴转动
此时转轴固定，矢量退化为代数量。刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，且各点都分别相同。
当恒定时，刚体作匀角加速转动，此时有运动学关系：
§2 刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成的质点系，则
令 ─ 刚体对z轴的转动惯量则 ,
即 ─ 转动定律其中 是对z轴的外力矩和。定轴情况下，可不写下标z，记作：,
J反映刚体的转动惯性。
转动定律与牛顿第二定律相比，有
M～ F,J ～ m,～ a 。
§3 转动惯量的计算
J由质量对轴的分布决定。
一,常用的几种转动惯量表示式
细圆环,
均匀圆盘：
均匀细杆：
，
二.计算转动惯量的几条规律对同一轴J具有可叠加性
2.平行轴定理
§4 转动定律应用举例
已知：如图示，轮 R = 0.2m，
m =1kg，vo=0，h =1.5m，绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t =3s。
求：轮对O轴J =？
解：动力学关系：
对轮： (1)
对m, (2)
运动学关系：
(3)
(4)
(1)~(4)联立解得
分析结果：·单位对；
·h、m一定，J↑→t↑，合理；
·若J = 0，得 ，正确。
代入数据：
§5 定轴转动中的功能关系
力矩的功
力矩的空间积累效应：
力矩的功
二,定轴转动动能定理
令 ─ 转动动能
于是得到刚体定轴转动动能定理：
四,应用举例
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。
[例]已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，
。
求:杆下摆到角时，角速度？轴对杆的作用力？
解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。
初态：
末态：
则, (1)
由平行轴定理 ,
有 (2)
(1)、(2)解得, 。
应用质心运动定理求轴力：
(3)
(4)
(5)
(6)
由(3)(4)(5)(6)解得：
§6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。
质点系,
对点：，
对轴,
刚体,Lz =Jz
由此得到刚体定轴转动的角动量定理：
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
若M外z= 0，则Jz= 常量,
若几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴转动。则在刚体系的情况下，有，这时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
[例] 如图示，已知：h，R，M=2m，=60(
求：碰撞后的瞬刻盘的
P转到x轴时盘 的
=?
解：m下落：
(1)
对（m +盘）系统，碰撞极小，冲力远大于重力，故重力对O轴力矩可忽略，又轴处外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒：
(2)
又 (3)
由(1)(2)(3)得,
(4)
对（m + M +地球）系统，只有重力作功，E守恒，令P、x重合时EP = 0，则：
(5)
由(3)(4)(5)得：
。
一、基本要求
1．掌握质点系对定轴的角动量守恒定律并应用其解题。
2．理解刚体定轴转动定律，会求解定轴转动刚体与质点的联动问题。
3．理解刚体定轴转动的动能定律及刚体与质点系统的功能关系。
4．了解转动惯量的定义及计算方法。
二、知识系统图
例题
1.判断对错
（1）匀速定轴转动的刚体上任一点的切向加速度和法向加速度均为零。
（2）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力为零时，合力矩也一定为零，总功也一定为零。
（3）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力矩为零时，合力也一定为零，总功也一定为零。
（4）一物体可绕定轴无摩擦匀速转动，当它热胀冷缩时，其角速度保持不变。
（5）已知刚体质心C距离转轴为,则刚体对该轴的转动惯量为。
答：
（1）选题目的 明确匀速定轴转动刚体上任一点的运动情况。
错误。 匀速定轴转动刚体上的任一点都作匀速圆周运动，速度的大小不变而方向时刻在改变，所以切向加速度为零，而法向加速度不为零。
（2）选题目的 明确对定轴转动刚体的力与力矩的区别及力与力矩的功的区别。
错误。 大小相等方向相反的两个力，如果作用在刚体上距转轴距离不同的两个点，则合力为零但合力矩不为零，合力矩不为零时总功也不为零。
（3）选题目的 同（2）。
错误。 作用在刚体上距转轴距离不同的两个点上的两个力，合力矩为零时，合力必然不为零。但因合力矩为零，所以总功为零。
（4）选题目的 对定轴的角动量守恒定律的灵活运用。
错误。 物体热胀冷缩，是质元间内力相互作用的结果，因外力矩为零，所以对定轴的角动量守恒。热胀时增大减小，冷缩时减小增大。
（5）选题目的 对转动惯量定义的理解。
错误。转动惯量定义为,根据质心的定义（是刚体的质量）显然有。
2．一个内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。管是刚性的，转动惯量为。环的半径为，初角速度为，一质量为的小球静止于管的最高点A处，如图所示，由于微小干扰，小球向下滑动。试判断小球在管内下滑过程中，下列说法是否正确，并说明理由。（1）地球、环与小球系统的机械能不守恒；（2）小球的动量不守恒；（3）小球对OO′轴的角动量守恒。
解：选题目的 明确机械能、动量和角动量守恒的条件及分析方法。
（1）不正确。
对小球、环管、地球系统，外力的功为零，非保守内力只有一对小球与管壁之间的相互作用力和。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以和这一对力做功之和为零，此结论与参照系的选择无关，所以有，因此系统满足机械能守恒的条件。
（2）正确。
在小球下滑过程中，始终受管壁的压力和重力，二力的方向不在一条直线上，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（3）不正确。
开始小球在A点时，小球对OO′轴的角动量为零，小球滑到B点时，由于随同管壁转动而具有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再为零。越过最底的C点时，它对OO′轴的角动量又为零了，由此可知，小球下滑时对OO′轴的角动量是变化的，从条件上分析，是因为小球下滑过程中，受管壁的压力的方向不通过OO′轴，因而对OO′轴有力矩的缘故。
3．两个均匀圆柱，对各自中心轴的转动惯量分别为和，两轴平行，两柱沿同一转向分别以角速度和绕各自中心轴匀速转动，平移两轴使其边缘相接触，当接触处无相对滑动时，两个圆柱的角速度分别为和。有人认为此过程两圆柱系统的角动量守恒，有：,你认为这个方程成立吗？
答：选题目的 明确角动量守恒的条件及分析方法。
该方程不成立。
此方程的列出是把两圆柱看作一个系统，因无外力矩，所以角动量守恒。而质点系对定轴的角动量守恒定律要求质点系绕同一定轴转动，本题中两柱转动的轴不重合，所以方程不成立。对每个柱来说，均受到外力矩的作用，所以角动量不守恒，此外力矩即相互之间的摩擦力矩。
4．长为质量为的匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，开始时杆静止在竖直位置，被一质量为水平速度为的子弹击中距O点为的地方，且埋于杆内，求杆刚被击中后的角速度。有人认为子弹与杆的碰撞过程动量守恒，杆的动量为,所以,得,你以为此解如何？
答：选题目的 明确动量和角动量守恒的条件及分析方法。
上述解答是错误的。子弹与杆的碰撞过程中系统的动量不守恒，因为还受到轴的作用力，该力是冲击力，不能忽略。由于碰撞过程极为短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因此子弹与杆系统的重力对定轴O无力矩，轴的作用力也无力矩，所以碰撞过程中系统对定轴O的角动量守恒，有,可解得
。
5.一根轻绳绕过质量为，半径为的定滑轮，定滑轮的质量均匀分布在边缘上。绳的一端系一质量为的重物，绳的另一端由质量为的人抓住，如图，绳与滑轮不打滑。当人以匀速率相对绳子向上爬时，求重物上升的加速度。
解：选题目的 牛顿定律与刚体定轴转动定律的综合应用。
重物受重力和向上的张力，人受重力和向上的张力，滑轮受张力和的力矩的作用，设重物上升的加速度为，分别用牛顿定律与刚体定轴转动定律列运动方程
式中为刚体转动的角加速度。因人以匀速率相对绳子向上爬，所以人对地与重物对地的加速度相等。因绳与滑轮不打滑，有，解方程得。可见与人爬的速率无关。
6.质量为半径为的匀质圆盘可绕过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。盘与桌面间的滑动摩擦系数为。若用外力使其角速度达到时撤去外力，求：（1）此后圆盘还能转动多长时间？共转了多大角度？（2）上述过程中摩擦力矩所做的功。
解：选题目的 刚体转动定律、动能定理及运动学知识的综合应用。
（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩作用下最终停止转动。盘的质量密度为，取半径为宽为的质元，它受到的摩擦力矩为
总的摩擦力矩为
注：由于盘不同处的摩擦力矩不同，因此只能选取质元，求出质元的摩擦力矩再积分求出盘总的摩擦力矩。因圆形底面上同一半径圆周上质元的摩擦力矩相同，故选取半径为宽为的圆环为质元。
据转动定律,
转动时间：,转过的角度：
（2）根据动能定理可得摩擦力矩所做的功
7.长为质量为匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，另一质量也为的小球，用长为的轻绳系于O轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最大摆角为，求小球最初被拉开的角度。
解：选题目的 明确机械能、动量和角动量守恒的条件及分析方法。
在小球下落过程中，对小球与地球系统，只有重力做功，所以机械能守恒，设为小球碰前速度，有
（1）
球与杆的碰撞过程极短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因此球与杆系统的重力对定轴O无力矩，轴的支持力也无力矩，所以系统在碰撞过程中对轴的角动量守恒，有：
（2）
式中为小球碰后的速度，为杆碰后的角速度。
又因为是弹性碰撞，故动能也守恒，有
（3）
碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）联立解得 。
8．一个质量为半径为的匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为半径为的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为的物体，如图。求当物体由静止下落时的速度。
解：选题目的 牛顿定律与刚体定轴转动定律的综合应用，也可用能量关系求解。
方法1 设绳对球壳和物体的拉力分别为和，球壳和圆盘的角加速度分别为和，根据牛顿定律与刚体定轴转动定律分别列出运动方程因绳子不打滑，所以
以上方程联立可求得
再利用
得
方法 2 对球壳、圆盘、物体和地球组成的系统，无外力做功，非保守的内力即绳子的张力所做总功为零，所以机械能守恒。的初始高度作为势能零点，有
式中与分别表示球壳与圆盘在物体下落时的角速度，它们有下列关系,两式联立解出
由以上计算看出第二种解法较简便，显示出守恒定律的优越性。
另外，此题还有实用意义，测出物体下落高度时的速度，可计算处于球壳位置上任意不规则物体的转动惯量。
9．有一转台，质量为半径为，可绕光滑竖直中心轴转动，初始角速度为，一质量为的人站在转台中心。若人相对转台以恒定速率沿半径向边缘走去，求人走了时间后，转台的角速度及转过的角度。
解：在人走动过程中，人和转台组成的系统不受对竖直轴的外力矩，因此角动量守恒，设时间时，人走到距轴为处，人看作质点，转动惯量为,有
可求出
根据和的关系，积分得
习作题如图所示，长为的轻杆，两端各固定质量分别为和2的小球，杆可绕水平光滑轴在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和。原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的水平速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
质量为的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为，长为的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小。
如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为kg(m2和 kg(m2。开始时，A轮转速为600rev(min-1，B轮静止。C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计。A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：
两轮啮合后的转速n；
两轮各自角动量的变化量。
如图，钢球A和B质量相等，正被绳牵着以角速度4 rad(s-1绕竖直轴转动，两球与轴的距离都为 15cm，现在把轴环C下移，使两球与轴的距离减为5cm。此时钢球的角速度= 。
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。
刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。
§1 刚体的运动一,刚体的运动形式
1.平动
在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学规律都适用于刚体的平动。
2.转动
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为：
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。（本章着重讨论定轴转动）
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动）。
在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便。
二,刚体转动的描述（运动学问题）
1.定点转动
（1）角量的描述
刚体绕基点O的转动，其转轴是可以改变的。为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量。
式中是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。
规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关系。
为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量
一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。
在定轴转动的情况下，和都只有沿固定转轴的分量，此时可用代数量和来表示角速度和角加速度。设定转轴的取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的和为正量，反之为负量。
（2）线量和角量的关系
刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动，
P点线速度：
P点线加速度：
称作旋转加速度；
称作向轴加速度。
2.定轴转动
此时转轴固定，矢量退化为代数量。刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，且各点都分别相同。
当恒定时，刚体作匀角加速转动，此时有运动学关系：
§2 刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成的质点系，则
令 ─ 刚体对z轴的转动惯量则 ,
即 ─ 转动定律其中 是对z轴的外力矩和。定轴情况下，可不写下标z，记作：,
J反映刚体的转动惯性。
转动定律与牛顿第二定律相比，有
M～ F,J ～ m,～ a 。
§3 转动惯量的计算
J由质量对轴的分布决定。
一,常用的几种转动惯量表示式
细圆环,
均匀圆盘：
均匀细杆：
，
二.计算转动惯量的几条规律对同一轴J具有可叠加性
2.平行轴定理
§4 转动定律应用举例
已知：如图示，轮 R = 0.2m，
m =1kg，vo=0，h =1.5m，绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t =3s。
求：轮对O轴J =？
解：动力学关系：
对轮： (1)
对m, (2)
运动学关系：
(3)
(4)
(1)~(4)联立解得
分析结果：·单位对；
·h、m一定，J↑→t↑，合理；
·若J = 0，得 ，正确。
代入数据：
§5 定轴转动中的功能关系
力矩的功
力矩的空间积累效应：
力矩的功
二,定轴转动动能定理
令 ─ 转动动能
于是得到刚体定轴转动动能定理：
四,应用举例
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。
[例]已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，
。
求:杆下摆到角时，角速度？轴对杆的作用力？
解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。
初态：
末态：
则, (1)
由平行轴定理 ,
有 (2)
(1)、(2)解得, 。
应用质心运动定理求轴力：
(3)
(4)
(5)
(6)
由(3)(4)(5)(6)解得：
§6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。
质点系,
对点：，
对轴,
刚体,Lz =Jz
由此得到刚体定轴转动的角动量定理：
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
若M外z= 0，则Jz= 常量,
若几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴转动。则在刚体系的情况下，有，这时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
[例] 如图示，已知：h，R，M=2m，=60(
求：碰撞后的瞬刻盘的
P转到x轴时盘 的
=?
解：m下落：
(1)
对（m +盘）系统，碰撞极小，冲力远大于重力，故重力对O轴力矩可忽略，又轴处外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒：
(2)
又 (3)
由(1)(2)(3)得,
(4)
对（m + M +地球）系统，只有重力作功，E守恒，令P、x重合时EP = 0，则：
(5)
由(3)(4)(5)得：
。
一、基本要求
1．掌握质点系对定轴的角动量守恒定律并应用其解题。
2．理解刚体定轴转动定律，会求解定轴转动刚体与质点的联动问题。
3．理解刚体定轴转动的动能定律及刚体与质点系统的功能关系。
4．了解转动惯量的定义及计算方法。
二、知识系统图
例题
1.判断对错
（1）匀速定轴转动的刚体上任一点的切向加速度和法向加速度均为零。
（2）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力为零时，合力矩也一定为零，总功也一定为零。
（3）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力矩为零时，合力也一定为零，总功也一定为零。
（4）一物体可绕定轴无摩擦匀速转动，当它热胀冷缩时，其角速度保持不变。
（5）已知刚体质心C距离转轴为,则刚体对该轴的转动惯量为。
答：
（1）选题目的 明确匀速定轴转动刚体上任一点的运动情况。
错误。 匀速定轴转动刚体上的任一点都作匀速圆周运动，速度的大小不变而方向时刻在改变，所以切向加速度为零，而法向加速度不为零。
（2）选题目的 明确对定轴转动刚体的力与力矩的区别及力与力矩的功的区别。
错误。 大小相等方向相反的两个力，如果作用在刚体上距转轴距离不同的两个点，则合力为零但合力矩不为零，合力矩不为零时总功也不为零。
（3）选题目的 同（2）。
错误。 作用在刚体上距转轴距离不同的两个点上的两个力，合力矩为零时，合力必然不为零。但因合力矩为零，所以总功为零。
（4）选题目的 对定轴的角动量守恒定律的灵活运用。
错误。 物体热胀冷缩，是质元间内力相互作用的结果，因外力矩为零，所以对定轴的角动量守恒。热胀时增大减小，冷缩时减小增大。
（5）选题目的 对转动惯量定义的理解。
错误。转动惯量定义为,根据质心的定义（是刚体的质量）显然有。
2．一个内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。管是刚性的，转动惯量为。环的半径为，初角速度为，一质量为的小球静止于管的最高点A处，如图所示，由于微小干扰，小球向下滑动。试判断小球在管内下滑过程中，下列说法是否正确，并说明理由。（1）地球、环与小球系统的机械能不守恒；（2）小球的动量不守恒；（3）小球对OO′轴的角动量守恒。
解：选题目的 明确机械能、动量和角动量守恒的条件及分析方法。
（1）不正确。
对小球、环管、地球系统，外力的功为零，非保守内力只有一对小球与管壁之间的相互作用力和。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以和这一对力做功之和为零，此结论与参照系的选择无关，所以有，因此系统满足机械能守恒的条件。
（2）正确。
在小球下滑过程中，始终受管壁的压力和重力，二力的方向不在一条直线上，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（3）不正确。
开始小球在A点时，小球对OO′轴的角动量为零，小球滑到B点时，由于随同管壁转动而具有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再为零。越过最底的C点时，它对OO′轴的角动量又为零了，由此可知，小球下滑时对OO′轴的角动量是变化的，从条件上分析，是因为小球下滑过程中，受管壁的压力的方向不通过OO′轴，因而对OO′轴有力矩的缘故。
3．两个均匀圆柱，对各自中心轴的转动惯量分别为和，两轴平行，两柱沿同一转向分别以角速度和绕各自中心轴匀速转动，平移两轴使其边缘相接触，当接触处无相对滑动时，两个圆柱的角速度分别为和。有人认为此过程两圆柱系统的角动量守恒，有：,你认为这个方程成立吗？
答：选题目的 明确角动量守恒的条件及分析方法。
该方程不成立。
此方程的列出是把两圆柱看作一个系统，因无外力矩，所以角动量守恒。而质点系对定轴的角动量守恒定律要求质点系绕同一定轴转动，本题中两柱转动的轴不重合，所以方程不成立。对每个柱来说，均受到外力矩的作用，所以角动量不守恒，此外力矩即相互之间的摩擦力矩。
4．长为质量为的匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，开始时杆静止在竖直位置，被一质量为水平速度为的子弹击中距O点为的地方，且埋于杆内，求杆刚被击中后的角速度。有人认为子弹与杆的碰撞过程动量守恒，杆的动量为,所以,得,你以为此解如何？
答：选题目的 明确动量和角动量守恒的条件及分析方法。
上述解答是错误的。子弹与杆的碰撞过程中系统的动量不守恒，因为还受到轴的作用力，该力是冲击力，不能忽略。由于碰撞过程极为短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因此子弹与杆系统的重力对定轴O无力矩，轴的作用力也无力矩，所以碰撞过程中系统对定轴O的角动量守恒，有,可解得
。
5.一根轻绳绕过质量为，半径为的定滑轮，定滑轮的质量均匀分布在边缘上。绳的一端系一质量为的重物，绳的另一端由质量为的人抓住，如图，绳与滑轮不打滑。当人以匀速率相对绳子向上爬时，求重物上升的加速度。
解：选题目的 牛顿定律与刚体定轴转动定律的综合应用。
重物受重力和向上的张力，人受重力和向上的张力，滑轮受张力和的力矩的作用，设重物上升的加速度为，分别用牛顿定律与刚体定轴转动定律列运动方程
式中为刚体转动的角加速度。因人以匀速率相对绳子向上爬，所以人对地与重物对地的加速度相等。因绳与滑轮不打滑，有，解方程得。可见与人爬的速率无关。
6.质量为半径为的匀质圆盘可绕过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。盘与桌面间的滑动摩擦系数为。若用外力使其角速度达到时撤去外力，求：（1）此后圆盘还能转动多长时间？共转了多大角度？（2）上述过程中摩擦力矩所做的功。
解：选题目的 刚体转动定律、动能定理及运动学知识的综合应用。
（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩作用下最终停止转动。盘的质量密度为，取半径为宽为的质元，它受到的摩擦力矩为
总的摩擦力矩为
注：由于盘不同处的摩擦力矩不同，因此只能选取质元，求出质元的摩擦力矩再积分求出盘总的摩擦力矩。因圆形底面上同一半径圆周上质元的摩擦力矩相同，故选取半径为宽为的圆环为质元。
据转动定律,
转动时间：,转过的角度：
（2）根据动能定理可得摩擦力矩所做的功
7.长为质量为匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，另一质量也为的小球，用长为的轻绳系于O轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最大摆角为，求小球最初被拉开的角度。
解：选题目的 明确机械能、动量和角动量守恒的条件及分析方法。
在小球下落过程中，对小球与地球系统，只有重力做功，所以机械能守恒，设为小球碰前速度，有
（1）
球与杆的碰撞过程极短暂，可认为杆的位置还来不及变化，因此球与杆系统的重力对定轴O无力矩，轴的支持力也无力矩，所以系统在碰撞过程中对轴的角动量守恒，有：
（2）
式中为小球碰后的速度，为杆碰后的角速度。
又因为是弹性碰撞，故动能也守恒，有
（3）
碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）联立解得 。
8．一个质量为半径为的匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为半径为的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为的物体，如图。求当物体由静止下落时的速度。
解：选题目的 牛顿定律与刚体定轴转动定律的综合应用，也可用能量关系求解。
方法1 设绳对球壳和物体的拉力分别为和，球壳和圆盘的角加速度分别为和，根据牛顿定律与刚体定轴转动定律分别列出运动方程因绳子不打滑，所以
以上方程联立可求得
再利用
得
方法 2 对球壳、圆盘、物体和地球组成的系统，无外力做功，非保守的内力即绳子的张力所做总功为零，所以机械能守恒。的初始高度作为势能零点，有
式中与分别表示球壳与圆盘在物体下落时的角速度，它们有下列关系,两式联立解出
由以上计算看出第二种解法较简便，显示出守恒定律的优越性。
另外，此题还有实用意义，测出物体下落高度时的速度，可计算处于球壳位置上任意不规则物体的转动惯量。
9．有一转台，质量为半径为，可绕光滑竖直中心轴转动，初始角速度为，一质量为的人站在转台中心。若人相对转台以恒定速率沿半径向边缘走去，求人走了时间后，转台的角速度及转过的角度。
解：在人走动过程中，人和转台组成的系统不受对竖直轴的外力矩，因此角动量守恒，设时间时，人走到距轴为处，人看作质点，转动惯量为,有
可求出
根据和的关系，积分得
习作题如图所示，长为的轻杆，两端各固定质量分别为和2的小球，杆可绕水平光滑轴在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和。原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的水平速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
质量为的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为，长为的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小。
如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为kg(m2和 kg(m2。开始时，A轮转速为600rev(min-1，B轮静止。C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计。A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：
两轮啮合后的转速n；
两轮各自角动量的变化量。
如图，钢球A和B质量相等，正被绳牵着以角速度4 rad(s-1绕竖直轴转动，两球与轴的距离都为 15cm，现在把轴环C下移，使两球与轴的距离减为5cm。此时钢球的角速度= 。
